段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數、絕對值、指數與常用對數、算幾不等式、直線方程式）

中山大學附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 中山大學附中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 中山大學附中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題要先解出整數 m 的範圍，再用 m 等於 0 檢查每個選項；填充第 3 題相減的那一項有正負兩個值；填充第 7 題第幾天的起算方式會讓答案差一天；填充第 9 題第 (3) 小題要用相似形把著色面積寫成一個變數的式子再用算幾不等式，而且題幹括號裡的三角形名稱要以附圖著色的兩塊為準。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（24 分）、填充題 9 題共 12 格（76 分）

一、多重選擇題（一題 8 分，共 24 分，錯一個選項扣 3 分）

有關下列描述，何者正確？

(A) 已知 $\frac{22}{7}$ 不可化為有限小數，故 $\frac{22}{7}$ 為無理數
(B) 若 $a$ 、 $b$ 是有理數且 $ab \neq = 0$ ，則 $a + b 5$ 可能等於 $0$
(C) 已知 $a$ 、 $b$ 屬於實數，若 $a + b 5 = 0$ ，則 $a$ 、 $b$ 必為有理數
(D) 已知 $∣3 x - 1∣ \geq 2$ ，則解的範圍區間可以寫成 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [1, \infty)$
(E) 設 $∣ α ∣ > ∣ β ∣$ ，且 $α$ 、 $β$ 屬於實數，則 $∣ α ∣ + ∣ β ∣ > ∣ α ∣ > ∣ β ∣ > 0$

設整數

m

滿足不等式

∣10 m - 14∣ \geq 5∣ m ∣

，試問下列選項哪些正確？

(A) $∣10 m - 5 m ∣ \geq 14$
(B) $- 1 \leq \frac{5 m}{10 m - 14} \leq 1$
(C) $10 m - 14 \geq 5 m$
(D) $(10 m - 14)^{2} \geq 25 m^{2}$
(E) 對於 $m$ 屬於任意整數， $\frac{( 10 m - 14 ) + 5 m}{2} \geq (5 m) \times (10 m - 14)$ 恆成立

三直線

L_{1}

：

2 x + y - 4 = 0

、

L_{2}

：

5 x - y + 10 = 0

、

L_{3}

：

x + a y + 3 = 0

，

a

屬於任意實數，下列何者敘述正確？

(A) 若 $a = - \frac{1}{2}$ ，則 $L_{1} ∥ L_{3}$
(B) 若 $a = 5$ ，則 $L_{2} ⊥ L_{3}$
(C) 若 $a = 6$ ，則 $L_{3}$ 的 $x$ 截距為 $3$
(D) 若 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 、 $L_{3}$ 可圍成直角三角形，則 $a = - 2$ 或 $5$
(E) 若 $a > 0$ ，則 $L_{3}$ 必不通過第四象限；若 $a < 0$ ，則 $L_{3}$ 必不通過第一象限

二、填充題（1～8 題每題 8 分，第 9 題內每小題 4 分，共 76 分）（直線方程式答案請使用一般式 $L$：$ax+by+c=0$，$a$、$b$、$c\in\mathbb{Z}$ 且 $(a,b,c)=1$，否則不予計分）（本頁第 4～10 題依序為原卷填充 1～7，第 11、12 題為填充 8(1)、8(2)，第 13～15 題為填充 9(1)～9(3)）

解不等式

1 < ∣2 x + 3∣ \leq 9

。

計算將

\frac{3}{13}

化為小數時，小數點後第

2025

位的數字。

已知

a + a^{- 1} = 5

，試問

(a^{3} + a^{- 3}) (a^{4} - a^{- 4})

。

設

x

、

y

均為不為

0

的實數，若

1 6^{x} = 2 5^{y} = 2 0^{x y}

，則問

x + y

。

已知直線

L_{1}

：

3 x + 5 y - 7 = 0

，今有另一直線

L_{2}

平行於

L_{1}

且

y

截距為

2

，試求

L_{2}

直線方程式。

現某種有害人體的病菌在人體內會以指數方式增長，每小時會由

1

個分裂成

2

個。當人體內的病菌達

100

萬個時，身體便會出現不適症狀。若某人一開始將

1000

個該病菌吸入體內，則將在多少小時後身體開始出現不適症狀。（取整數）

投資一直以來是人們關注的數學難題，其中一個常選擇的問題是「選擇

100

萬元，還是選擇在一個月內每天變

2

倍的

1

分錢（

0.01

元）？」。若選擇每天變

2

倍的

1

分錢（

0.01

元）且不限時間，試問達第幾天時當日拿到的錢會超過

100

萬？（

lo g 2 \approx 0.3010

）

填充題 8（第 11～12 題）　已知通過點

(3, 5)

的直線有無限多條，試求在第一象限與兩坐標軸所圍成之三角形：

(1) 三角形面積的最小值。

(2) 三角形面積最小時直線方程式。

填充題 9（第 13～15 題）　如圖，已知坐標平面上有矩形

A B C D

且點坐標分別為

A (0, 3)

、

B (4, 0)

、

C (16, 16)

、

D (12, 19)

，試回答下列問題：

(1) 求

\overline{B C}

中垂線方程式。

載入中...

(2) 今在

\overline{B C}

上取一點

R

，且

\overline{B R} : \overline{C R} = 1 : 3

，試求

R

坐標。

(3) 今在

\overline{B C}

上取另一點

P

，並將

D

連結

P

並延伸

\overline{D P}

至

\overline{A B}

延伸線上交於

Q

（如圖），試問圖中著色面積（

△ C D P + △ B QP

面積）最小值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)(D)

第 3 題(B)(D)

第 4 題

- 6 \leq x < - 2

或

- 1 < x \leq 3

第 5 題

0

第 6 題

\pm 1265021

第 7 題

2

第 8 題

3 x + 5 y - 10 = 0

第 9 題

10

第 10 題

27

第 11 題

30

第 12 題

5 x + 3 y - 30 = 0

第 13 題

3 x + 4 y - 62 = 0

第 14 題

(7, 4)

第 15 題

1002 - 100

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～3：實數的敘述、絕對值不等式、三條直線

第 1 題答案 (D)。(A) 錯：

\frac{22}{7}

是兩個整數的比，是有理數；不能化成有限小數只表示它是循環小數。(B) 錯：若

a + b 5 = 0

且

b \neq = 0

，則

5 = - \frac{a}{b}

是有理數，矛盾；所以

a

、

b

是有理數時只可能

a = b = 0

，和

ab \neq = 0

不合。(C) 錯：

a

、

b

只說是實數，取

a = - 5

、

b = 1

就有

a + b 5 = 0

，但

a

是無理數。(D) 對：

∣3 x - 1∣ \geq 2

即

3 x - 1 \geq 2

或

3 x - 1 \leq - 2

，得

x \geq 1

或

x \leq - \frac{1}{3}

。(E) 錯：取

α = 1

、

β = 0

，

∣ α ∣ > ∣ β ∣

成立，但

∣ β ∣ > 0

與

∣ α ∣ + ∣ β ∣ > ∣ α ∣

都不成立。

(B) 和 (C) 的差別在

a

、

b

是有理數還是實數：有理數時

a + b 5 = 0

只有

a = b = 0

；只說實數時沒有這個結論。

第 2 題答案 (B)(D)。兩邊都不是負的，平方後等價：

(10 m - 14)^{2} \geq 25 m^{2}

，移項分解得

(10 m - 14 - 5 m) (10 m - 14 + 5 m) \geq 0

，即

(5 m - 14) (15 m - 14) \geq 0

，所以

m \leq \frac{14}{15}

或

m \geq \frac{14}{5}

。

m

是整數，所以

m \leq 0

或

m \geq 3

。(A) 錯：

∣10 m - 5 m ∣ = 5∣ m ∣

，

m = 0

滿足原式但

0 \geq 14

不成立。(B) 對：

m

是整數，

10 m - 14 \neq = 0

，原式兩邊同除以

∣10 m - 14∣

得

\frac{5 m}{10 m - 14} \leq 1

，就是

- 1 \leq \frac{5 m}{10 m - 14} \leq 1

。(C) 錯：

m = 0

時

- 14 \geq 0

不成立。(D) 對：就是原式兩邊平方。(E) 錯：

m = 0

時左邊是

- 7

、右邊是

0

；算幾不等式要兩個數都不是負的才能用，而

m \leq 0

時

5 m

和

10 m - 14

不是正數。

第二個流傳版本的 (A) 印作

∣10 m - 5 n ∣ \geq 14

，

n

沒有定義，本頁採

∣10 m - 5 m ∣ \geq 14

；兩種寫法 (A) 都不選。

第 3 題答案 (B)(D)。

L_{1}

的斜率是

- 2

，

L_{2}

的斜率是

5

；

a \neq = 0

時

L_{3}

的斜率是

- \frac{1}{a}

。(A) 錯：

a = - \frac{1}{2}

時

L_{3}

的斜率是

2

，和

- 2

不相等。(B) 對：

a = 5

時

L_{3}

的斜率是

- \frac{1}{5}

，

5 \times (- \frac{1}{5}) = - 1

。(C) 錯：令

y = 0

得

x = - 3

，不論

a

是多少，

x

截距都是

- 3

。(D) 對：

L_{1}

和

L_{2}

的斜率相乘是

- 10

，不垂直，所以直角只能在

L_{3}

上。

L_{3} ⊥ L_{1}

：

- 2 \times (- \frac{1}{a}) = - 1

，

a = - 2

；

L_{3} ⊥ L_{2}

：

5 \times (- \frac{1}{a}) = - 1

，

a = 5

。這兩個

a

值下三線兩兩不平行，且

L_{1}

、

L_{2}

的交點

(- \frac{6}{7}, \frac{40}{7})

不在

L_{3}

上（要

a = - \frac{3}{8}

才會通過），確實圍成三角形。(E) 錯：

a = 1

時

L_{3}

：

x + y + 3 = 0

通過

(1, - 4)

，在第四象限；

a = - 1

時

L_{3}

：

x - y + 3 = 0

通過

(1, 4)

，在第一象限。

L_{3}

一定通過

(- 3, 0)

。

a > 0

時斜率為負，通過第二、三、四象限；

a < 0

時斜率為正，通過第一、二、三象限。

02填充 1～4（第 4～7 題）：絕對值不等式、循環小數、指數求值

第 4 題

1 < ∣2 x + 3∣ \leq 9

分成兩種情形。

2 x + 3

為正：

1 < 2 x + 3 \leq 9

，得

- 1 < x \leq 3

。

2 x + 3

為負：

- 9 \leq 2 x + 3 < - 1

，得

- 6 \leq x < - 2

。所以

- 6 \leq x < - 2

或

- 1 < x \leq 3

。

左邊是

<

、右邊是

\leq

，拆開後每個端點有沒有等號要分別照抄：

- 6

和

3

有等號，

- 2

和

- 1

沒有。

第 5 題直式除法得

\frac{3}{13} = 0. \overline{230769}

，每

6

位循環一次。

2025 = 6 \times 337 + 3

，所以第

2025

位和循環節的第

3

位相同，是

0

。

驗算：

230769 \times 13 = 2999997 = 3 \times 999999

。

第 6 題

a^{2} + a^{- 2} = (a + a^{- 1})^{2} - 2 = 23

。

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 125 - 15 = 110

。

(a - a^{- 1})^{2} = (a + a^{- 1})^{2} - 4 = 21

，所以

a - a^{- 1} = \pm 21

。

a^{4} - a^{- 4} = (a^{2} + a^{- 2}) (a + a^{- 1}) (a - a^{- 1}) = 23 \times 5 \times (\pm 21) = \pm 11521

。所求為

110 \times (\pm 11521) = \pm 1265021

。

a + a^{- 1} = 5

的兩個解

a = \frac{5 \pm 21}{2}

互為倒數，一個大於

1

、一個小於

1

，題目沒有限制，所以

a - a^{- 1}

正負兩個都要。

第 7 題設

1 6^{x} = 2 5^{y} = 2 0^{x y} = k

。因為

x \neq = 0

，

k \neq = 1

。把三個式子分別開

x

、

y

、

x y

次方：

16 = k^{\frac{1}{x}}

，

25 = k^{\frac{1}{y}}

，

20 = k^{\frac{1}{x y}}

。

16 \times 25 = 400 = 2 0^{2}

，所以

k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{2}{x y}}

，指數相等：

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{x y}

。兩邊同乘以

x y

得

x + y = 2

。

關鍵是三個底數的關係

16 \times 25 = 2 0^{2}

。

a + a^{- 1}

已知時，

a^{2} + a^{- 2}

、

a^{3} + a^{- 3}

都能直接算；只要出現相減的

a - a^{- 1}

，就要先求它的平方再討論正負。

03填充 5～7（第 8～10 題）：平行線、指數成長

第 8 題和

L_{1}

平行的直線可設為

3 x + 5 y + c = 0

。

y

截距為

2

表示通過

(0, 2)

：

10 + c = 0

，

c = - 10

。所以

L_{2}

：

3 x + 5 y - 10 = 0

。

第 9 題

t

小時後有

1000 \times 2^{t}

個。要達到

100

萬個：

1000 \times 2^{t} \geq 1 0^{6}

，即

2^{t} \geq 1000

。

2^{9} = 512 < 1000

，

2^{10} = 1024 \geq 1000

，所以在

10

小時後開始出現不適症狀。

第 10 題

1

分錢每過一天變

2

倍，第

n

天拿到

0.01 \times 2^{n}

元。要超過

100

萬：

0.01 \times 2^{n} > 1 0^{6}

，即

2^{n} > 1 0^{8}

。

2^{n} = 1 0^{n l o g 2} \approx 1 0^{0.3010 n}

，所以要

0.3010 n > 8

，

n > 26.57 \dots

，最小的整數是

n = 27

。驗算：

2^{26} = 67108864 < 1 0^{8} < 134217728 = 2^{27}

。

這裡把一開始的

1

分錢當作起點，過一天算第

1

天（

0.02

元），流傳版本的參考答案

27

是這個算法。如果把拿到

1

分錢的那天算作第

1

天，第

n

天是

0.01 \times 2^{n - 1}

元，答案會變成第

28

天。

04填充 8、9（第 11～15 題）：截距式與算幾不等式、矩形上的直線問題

第 11 題(1) 設直線的

x

截距為

a

、

y

截距為

b

（

a > 0

，

b > 0

），方程式為

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

。通過

(3, 5)

：

\frac{3}{a} + \frac{5}{b} = 1

。由算幾不等式

\frac{\frac{3}{a} + \frac{5}{b}}{2} \geq \frac{3}{a} \cdot \frac{5}{b}

，即

\frac{1}{2} \geq \frac{15}{ab}

，兩邊平方得

\frac{1}{4} \geq \frac{15}{ab}

，

ab \geq 60

。三角形面積

\frac{1}{2} ab \geq 30

，最小值是

30

。

第 12 題(2) 等號成立在

\frac{3}{a} = \frac{5}{b} = \frac{1}{2}

，即

a = 6

、

b = 10

。直線為

\frac{x}{6} + \frac{y}{10} = 1

，同乘以

30

：

5 x + 3 y - 30 = 0

。

這時

(3, 5)

剛好是兩個截距點

(6, 0)

、

(0, 10)

的中點。

第 13 題(1)

\overline{B C}

的中點是

(\frac{4 + 16}{2}, \frac{0 + 16}{2}) = (10, 8)

。

\overline{B C}

的斜率是

\frac{16 - 0}{16 - 4} = \frac{4}{3}

，中垂線的斜率是

- \frac{3}{4}

。中垂線：

y - 8 = - \frac{3}{4} (x - 10)

，整理得

3 x + 4 y - 62 = 0

。

第 14 題(2)

R

在

\overline{B C}

上且

\overline{B R} : \overline{R C} = 1 : 3

，由分點公式

R = (\frac{3 \times 4 + 1 \times 16}{4}, \frac{3 \times 0 + 1 \times 16}{4}) = (7, 4)

。

R

離

B

比較近，所以

B

的坐標要乘比較大的

3

。

第 15 題(3)

\overline{A B} = 4^{2} + 3^{2} = 5

，

\overline{B C} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 20

，所以

\overline{C D} = 5

。設

\overline{C P} = u

（

0 < u < 20

），則

\overline{B P} = 20 - u

。

\overline{C D}

平行

\overline{A B}

，所以

△ C D P

和

△ B QP

相似（對頂角相等、內錯角相等），

\frac{B Q}{C D} = \frac{B P}{C P}

，

\overline{B Q} = \frac{5 ( 20 - u )}{u}

。兩個三角形在

C

、

B

都是直角：

△ C D P = \frac{1}{2} \times 5 \times u = \frac{5 u}{2}

，

△ B QP = \frac{1}{2} (20 - u) \times \frac{5 ( 20 - u )}{u} = \frac{5 ( 20 - u ) ^{2}}{2 u} = \frac{1000}{u} - 100 + \frac{5 u}{2}

。著色面積是

5 u + \frac{1000}{u} - 100

。由算幾不等式

5 u + \frac{1000}{u} \geq 2 5 u \cdot \frac{1000}{u} = 25000 = 1002

，等號在

5 u = \frac{1000}{u}

，即

u = 102

時成立（

102 \approx 14.14 < 20

，

P

在

\overline{B C}

上）。最小值是

1002 - 100

。

流傳版本題幹括號內印作「

△ A D P + △ C QP

面積」，依附圖著色的兩塊與參考答案應為

△ C D P + △ B QP

。照印的字算：

△ A D P

的面積固定是

50

，

△ C QP = \frac{1}{2} u \times \overline{B Q} = \frac{5 ( 20 - u )}{2}

，兩者的和隨

P

靠近

B

一直變小，沒有最小值。

用算幾不等式求極值的步驟：把要求的量寫成兩個正數的和（或把條件寫成兩個正數的和），讓它們的乘積是定值，最後一定要檢查等號成立的條件做得到。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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中山大學附中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題要先解出整數 m 的範圍，再用 m 等於 0 檢查每個選項；填充第 3 題相減的那一項有正負兩個值；填充第 7 題第幾天的起算方式會讓答案差一天；填充第 9 題第 (3) 小題要用相似形把著色面積寫成一個變數的式子再用算幾不等式，而且題幹括號裡的三角形名稱要以附圖著色的兩塊為準。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自中山大學附中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數、絕對值、指數與常用對數、算幾不等式、直線方程式）

中山大學附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（24 分）、填充題 9 題共 12 格（76 分）

一、多重選擇題（一題 8 分，共 24 分，錯一個選項扣 3 分）

有關下列描述，何者正確？

(A) 已知 $\frac{22}{7}$ 不可化為有限小數，故 $\frac{22}{7}$ 為無理數
(B) 若 $a$ 、 $b$ 是有理數且 $ab \neq = 0$ ，則 $a + b 5$ 可能等於 $0$
(C) 已知 $a$ 、 $b$ 屬於實數，若 $a + b 5 = 0$ ，則 $a$ 、 $b$ 必為有理數
(D) 已知 $∣3 x - 1∣ \geq 2$ ，則解的範圍區間可以寫成 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [1, \infty)$
(E) 設 $∣ α ∣ > ∣ β ∣$ ，且 $α$ 、 $β$ 屬於實數，則 $∣ α ∣ + ∣ β ∣ > ∣ α ∣ > ∣ β ∣ > 0$

設整數

m

滿足不等式

∣10 m - 14∣ \geq 5∣ m ∣

，試問下列選項哪些正確？

(A) $∣10 m - 5 m ∣ \geq 14$
(B) $- 1 \leq \frac{5 m}{10 m - 14} \leq 1$
(C) $10 m - 14 \geq 5 m$
(D) $(10 m - 14)^{2} \geq 25 m^{2}$
(E) 對於 $m$ 屬於任意整數， $\frac{( 10 m - 14 ) + 5 m}{2} \geq (5 m) \times (10 m - 14)$ 恆成立

三直線

L_{1}

：

2 x + y - 4 = 0

、

L_{2}

：

5 x - y + 10 = 0

、

L_{3}

：

x + a y + 3 = 0

，

a

屬於任意實數，下列何者敘述正確？

(A) 若 $a = - \frac{1}{2}$ ，則 $L_{1} ∥ L_{3}$
(B) 若 $a = 5$ ，則 $L_{2} ⊥ L_{3}$
(C) 若 $a = 6$ ，則 $L_{3}$ 的 $x$ 截距為 $3$
(D) 若 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 、 $L_{3}$ 可圍成直角三角形，則 $a = - 2$ 或 $5$
(E) 若 $a > 0$ ，則 $L_{3}$ 必不通過第四象限；若 $a < 0$ ，則 $L_{3}$ 必不通過第一象限

解不等式

1 < ∣2 x + 3∣ \leq 9

。

計算將

\frac{3}{13}

化為小數時，小數點後第

2025

位的數字。

已知

a + a^{- 1} = 5

，試問

(a^{3} + a^{- 3}) (a^{4} - a^{- 4})

。

設

x

、

y

均為不為

0

的實數，若

1 6^{x} = 2 5^{y} = 2 0^{x y}

，則問

x + y

。

已知直線

L_{1}

：

3 x + 5 y - 7 = 0

，今有另一直線

L_{2}

平行於

L_{1}

且

y

截距為

2

，試求

L_{2}

直線方程式。

現某種有害人體的病菌在人體內會以指數方式增長，每小時會由

1

個分裂成

2

個。當人體內的病菌達

100

萬個時，身體便會出現不適症狀。若某人一開始將

1000

個該病菌吸入體內，則將在多少小時後身體開始出現不適症狀。（取整數）

投資一直以來是人們關注的數學難題，其中一個常選擇的問題是「選擇

100

萬元，還是選擇在一個月內每天變

2

倍的

1

分錢（

0.01

元）？」。若選擇每天變

2

倍的

1

分錢（

0.01

元）且不限時間，試問達第幾天時當日拿到的錢會超過

100

萬？（

lo g 2 \approx 0.3010

）

填充題 8（第 11～12 題）　已知通過點

(3, 5)

的直線有無限多條，試求在第一象限與兩坐標軸所圍成之三角形：

(1) 三角形面積的最小值。

(2) 三角形面積最小時直線方程式。

填充題 9（第 13～15 題）　如圖，已知坐標平面上有矩形

A B C D

且點坐標分別為

A (0, 3)

、

B (4, 0)

、

C (16, 16)

、

D (12, 19)

，試回答下列問題：

(1) 求

\overline{B C}

中垂線方程式。

載入中...

(2) 今在

\overline{B C}

上取一點

R

，且

\overline{B R} : \overline{C R} = 1 : 3

，試求

R

坐標。

(3) 今在

\overline{B C}

上取另一點

P

，並將

D

連結

P

並延伸

\overline{D P}

至

\overline{A B}

延伸線上交於

Q

（如圖），試問圖中著色面積（

△ C D P + △ B QP

面積）最小值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)(D)

第 3 題(B)(D)

第 4 題

- 6 \leq x < - 2

或

- 1 < x \leq 3

第 5 題

0

第 6 題

\pm 1265021

第 7 題

2

第 8 題

3 x + 5 y - 10 = 0

第 9 題

10

第 10 題

27

第 11 題

30

第 12 題

5 x + 3 y - 30 = 0

第 13 題

3 x + 4 y - 62 = 0

第 14 題

(7, 4)

第 15 題

1002 - 100

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～3：實數的敘述、絕對值不等式、三條直線

第 1 題答案 (D)。(A) 錯：

\frac{22}{7}

是兩個整數的比，是有理數；不能化成有限小數只表示它是循環小數。(B) 錯：若

a + b 5 = 0

且

b \neq = 0

，則

5 = - \frac{a}{b}

是有理數，矛盾；所以

a

、

b

是有理數時只可能

a = b = 0

，和

ab \neq = 0

不合。(C) 錯：

a

、

b

只說是實數，取

a = - 5

、

b = 1

就有

a + b 5 = 0

，但

a

是無理數。(D) 對：

∣3 x - 1∣ \geq 2

即

3 x - 1 \geq 2

或

3 x - 1 \leq - 2

，得

x \geq 1

或

x \leq - \frac{1}{3}

。(E) 錯：取

α = 1

、

β = 0

，

∣ α ∣ > ∣ β ∣

成立，但

∣ β ∣ > 0

與

∣ α ∣ + ∣ β ∣ > ∣ α ∣

都不成立。

(B) 和 (C) 的差別在

a

、

b

是有理數還是實數：有理數時

a + b 5 = 0

只有

a = b = 0

；只說實數時沒有這個結論。

第 2 題答案 (B)(D)。兩邊都不是負的，平方後等價：

(10 m - 14)^{2} \geq 25 m^{2}

，移項分解得

(10 m - 14 - 5 m) (10 m - 14 + 5 m) \geq 0

，即

(5 m - 14) (15 m - 14) \geq 0

，所以

m \leq \frac{14}{15}

或

m \geq \frac{14}{5}

。

m

是整數，所以

m \leq 0

或

m \geq 3

。(A) 錯：

∣10 m - 5 m ∣ = 5∣ m ∣

，

m = 0

滿足原式但

0 \geq 14

不成立。(B) 對：

m

是整數，

10 m - 14 \neq = 0

，原式兩邊同除以

∣10 m - 14∣

得

\frac{5 m}{10 m - 14} \leq 1

，就是

- 1 \leq \frac{5 m}{10 m - 14} \leq 1

。(C) 錯：

m = 0

時

- 14 \geq 0

不成立。(D) 對：就是原式兩邊平方。(E) 錯：

m = 0

時左邊是

- 7

、右邊是

0

；算幾不等式要兩個數都不是負的才能用，而

m \leq 0

時

5 m

和

10 m - 14

不是正數。

第二個流傳版本的 (A) 印作

∣10 m - 5 n ∣ \geq 14

，

n

沒有定義，本頁採

∣10 m - 5 m ∣ \geq 14

；兩種寫法 (A) 都不選。

第 3 題答案 (B)(D)。

L_{1}

的斜率是

- 2

，

L_{2}

的斜率是

5

；

a \neq = 0

時

L_{3}

的斜率是

- \frac{1}{a}

。(A) 錯：

a = - \frac{1}{2}

時

L_{3}

的斜率是

2

，和

- 2

不相等。(B) 對：

a = 5

時

L_{3}

的斜率是

- \frac{1}{5}

，

5 \times (- \frac{1}{5}) = - 1

。(C) 錯：令

y = 0

得

x = - 3

，不論

a

是多少，

x

截距都是

- 3

。(D) 對：

L_{1}

和

L_{2}

的斜率相乘是

- 10

，不垂直，所以直角只能在

L_{3}

上。

L_{3} ⊥ L_{1}

：

- 2 \times (- \frac{1}{a}) = - 1

，

a = - 2

；

L_{3} ⊥ L_{2}

：

5 \times (- \frac{1}{a}) = - 1

，

a = 5

。這兩個

a

值下三線兩兩不平行，且

L_{1}

、

L_{2}

的交點

(- \frac{6}{7}, \frac{40}{7})

不在

L_{3}

上（要

a = - \frac{3}{8}

才會通過），確實圍成三角形。(E) 錯：

a = 1

時

L_{3}

：

x + y + 3 = 0

通過

(1, - 4)

，在第四象限；

a = - 1

時

L_{3}

：

x - y + 3 = 0

通過

(1, 4)

，在第一象限。

L_{3}

一定通過

(- 3, 0)

。

a > 0

時斜率為負，通過第二、三、四象限；

a < 0

時斜率為正，通過第一、二、三象限。

02填充 1～4（第 4～7 題）：絕對值不等式、循環小數、指數求值

第 4 題

1 < ∣2 x + 3∣ \leq 9

分成兩種情形。

2 x + 3

為正：

1 < 2 x + 3 \leq 9

，得

- 1 < x \leq 3

。

2 x + 3

為負：

- 9 \leq 2 x + 3 < - 1

，得

- 6 \leq x < - 2

。所以

- 6 \leq x < - 2

或

- 1 < x \leq 3

。

左邊是

<

、右邊是

\leq

，拆開後每個端點有沒有等號要分別照抄：

- 6

和

3

有等號，

- 2

和

- 1

沒有。

第 5 題直式除法得

\frac{3}{13} = 0. \overline{230769}

，每

6

位循環一次。

2025 = 6 \times 337 + 3

，所以第

2025

位和循環節的第

3

位相同，是

0

。

驗算：

230769 \times 13 = 2999997 = 3 \times 999999

。

第 6 題

a^{2} + a^{- 2} = (a + a^{- 1})^{2} - 2 = 23

。

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 125 - 15 = 110

。

(a - a^{- 1})^{2} = (a + a^{- 1})^{2} - 4 = 21

，所以

a - a^{- 1} = \pm 21

。

a^{4} - a^{- 4} = (a^{2} + a^{- 2}) (a + a^{- 1}) (a - a^{- 1}) = 23 \times 5 \times (\pm 21) = \pm 11521

。所求為

110 \times (\pm 11521) = \pm 1265021

。

a + a^{- 1} = 5

的兩個解

a = \frac{5 \pm 21}{2}

互為倒數，一個大於

1

、一個小於

1

，題目沒有限制，所以

a - a^{- 1}

正負兩個都要。

第 7 題設

1 6^{x} = 2 5^{y} = 2 0^{x y} = k

。因為

x \neq = 0

，

k \neq = 1

。把三個式子分別開

x

、

y

、

x y

次方：

16 = k^{\frac{1}{x}}

，

25 = k^{\frac{1}{y}}

，

20 = k^{\frac{1}{x y}}

。

16 \times 25 = 400 = 2 0^{2}

，所以

k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{2}{x y}}

，指數相等：

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{x y}

。兩邊同乘以

x y

得

x + y = 2

。

關鍵是三個底數的關係

16 \times 25 = 2 0^{2}

。

a + a^{- 1}

已知時，

a^{2} + a^{- 2}

、

a^{3} + a^{- 3}

都能直接算；只要出現相減的

a - a^{- 1}

，就要先求它的平方再討論正負。

03填充 5～7（第 8～10 題）：平行線、指數成長

第 8 題和

L_{1}

平行的直線可設為

3 x + 5 y + c = 0

。

y

截距為

2

表示通過

(0, 2)

：

10 + c = 0

，

c = - 10

。所以

L_{2}

：

3 x + 5 y - 10 = 0

。

第 9 題

t

小時後有

1000 \times 2^{t}

個。要達到

100

萬個：

1000 \times 2^{t} \geq 1 0^{6}

，即

2^{t} \geq 1000

。

2^{9} = 512 < 1000

，

2^{10} = 1024 \geq 1000

，所以在

10

小時後開始出現不適症狀。

第 10 題

1

分錢每過一天變

2

倍，第

n

天拿到

0.01 \times 2^{n}

元。要超過

100

萬：

0.01 \times 2^{n} > 1 0^{6}

，即

2^{n} > 1 0^{8}

。

2^{n} = 1 0^{n l o g 2} \approx 1 0^{0.3010 n}

，所以要

0.3010 n > 8

，

n > 26.57 \dots

，最小的整數是

n = 27

。驗算：

2^{26} = 67108864 < 1 0^{8} < 134217728 = 2^{27}

。

這裡把一開始的

1

分錢當作起點，過一天算第

1

天（

0.02

元），流傳版本的參考答案

27

是這個算法。如果把拿到

1

分錢的那天算作第

1

天，第

n

天是

0.01 \times 2^{n - 1}

元，答案會變成第

28

天。

04填充 8、9（第 11～15 題）：截距式與算幾不等式、矩形上的直線問題

第 11 題(1) 設直線的

x

截距為

a

、

y

截距為

b

（

a > 0

，

b > 0

），方程式為

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

。通過

(3, 5)

：

\frac{3}{a} + \frac{5}{b} = 1

。由算幾不等式

\frac{\frac{3}{a} + \frac{5}{b}}{2} \geq \frac{3}{a} \cdot \frac{5}{b}

，即

\frac{1}{2} \geq \frac{15}{ab}

，兩邊平方得

\frac{1}{4} \geq \frac{15}{ab}

，

ab \geq 60

。三角形面積

\frac{1}{2} ab \geq 30

，最小值是

30

。

第 12 題(2) 等號成立在

\frac{3}{a} = \frac{5}{b} = \frac{1}{2}

，即

a = 6

、

b = 10

。直線為

\frac{x}{6} + \frac{y}{10} = 1

，同乘以

30

：

5 x + 3 y - 30 = 0

。

這時

(3, 5)

剛好是兩個截距點

(6, 0)

、

(0, 10)

的中點。

第 13 題(1)

\overline{B C}

的中點是

(\frac{4 + 16}{2}, \frac{0 + 16}{2}) = (10, 8)

。

\overline{B C}

的斜率是

\frac{16 - 0}{16 - 4} = \frac{4}{3}

，中垂線的斜率是

- \frac{3}{4}

。中垂線：

y - 8 = - \frac{3}{4} (x - 10)

，整理得

3 x + 4 y - 62 = 0

。

第 14 題(2)

R

在

\overline{B C}

上且

\overline{B R} : \overline{R C} = 1 : 3

，由分點公式

R = (\frac{3 \times 4 + 1 \times 16}{4}, \frac{3 \times 0 + 1 \times 16}{4}) = (7, 4)

。

R

離

B

比較近，所以

B

的坐標要乘比較大的

3

。

第 15 題(3)

\overline{A B} = 4^{2} + 3^{2} = 5

，

\overline{B C} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 20

，所以

\overline{C D} = 5

。設

\overline{C P} = u

（

0 < u < 20

），則

\overline{B P} = 20 - u

。

\overline{C D}

平行

\overline{A B}

，所以

△ C D P

和

△ B QP

相似（對頂角相等、內錯角相等），

\frac{B Q}{C D} = \frac{B P}{C P}

，

\overline{B Q} = \frac{5 ( 20 - u )}{u}

。兩個三角形在

C

、

B

都是直角：

△ C D P = \frac{1}{2} \times 5 \times u = \frac{5 u}{2}

，

△ B QP = \frac{1}{2} (20 - u) \times \frac{5 ( 20 - u )}{u} = \frac{5 ( 20 - u ) ^{2}}{2 u} = \frac{1000}{u} - 100 + \frac{5 u}{2}

。著色面積是

5 u + \frac{1000}{u} - 100

。由算幾不等式

5 u + \frac{1000}{u} \geq 2 5 u \cdot \frac{1000}{u} = 25000 = 1002

，等號在

5 u = \frac{1000}{u}

，即

u = 102

時成立（

102 \approx 14.14 < 20

，

P

在

\overline{B C}

上）。最小值是

1002 - 100

。

流傳版本題幹括號內印作「

△ A D P + △ C QP

面積」，依附圖著色的兩塊與參考答案應為

△ C D P + △ B QP

。照印的字算：

△ A D P

的面積固定是

50

，

△ C QP = \frac{1}{2} u \times \overline{B Q} = \frac{5 ( 20 - u )}{2}

，兩者的和隨

P

靠近

B

一直變小，沒有最小值。

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中山大學附中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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02填充 1～4（第 4～7 題）：絕對值不等式、循環小數、指數求值

03填充 5～7（第 8～10 題）：平行線、指數成長

04填充 8、9（第 11～15 題）：截距式與算幾不等式、矩形上的直線問題

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中山大學附中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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