段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

宜蘭高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 2 題（10 分）、填充題 16 題（80 分）、混合題 1 題組 2 小題（10 分）。卷首給參考數值 log 2≈0.3010、log 3≈0.4771、log 7≈0.8451

參考數值：log 2≈0.3010，log 3≈0.4771，log 7≈0.8451｜第壹部分：選擇（填）題（占 90 分）｜一、多選題（占 10 分）｜說明：第 1 題至第 2 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

下列選項的敘述哪些是正確的？

(1) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 必為無理數
(2) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，且 $\frac{b}{a}$ 有意義，則 $\frac{b}{a}$ 必為無理數
(3) 若 $a + 2 b$ 與 $b + 2 a$ 皆為有理數，則 $a$ ， $b$ 皆為有理數
(4) 若 $a^{4}$ 與 $a^{7}$ 都是有理數，則 $a$ 為有理數
(5) 若 $a^{6}$ 與 $a^{9}$ 都是有理數，則 $a$ 為有理數

計算機中的

lo g

鍵是常用對數的符號，可以算出

lo g p

（

p

為正數）的近似值或正確值。例如在計算機中依次輸入

2

lo g

=

可以得到

lo g 2 \approx 0.30102995 \dots

，請依照此次計算機的使用方式，選出下列敘述當中正確的選項。

(1) 先輸入數字「 $20251017$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ ，得到的數字會介於 $8$ 到 $9$ 之間
(2) 先輸入數字「 $0.20251017$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ ，得到的數字會介於 $- 9$ 到 $- 8$ 之間
(3) 若先輸入一個正數「 $a$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ ，得到的數字為 $- 2$ ，則正數 $a = 0.01$
(4) 若先輸入一個正數「 $b$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ $lo g$ $=$ ，即算出 $lo g (lo g b)$ ，得到的數字為 $0$ ，則正數 $b = 10$
(5) 若先輸入一個正數「 $c$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ $lo g$ $=$ ，即算出 $lo g (lo g c)$ ，得到的數字為 $1$ ，則正數 $c = 1 0^{(1 0^{10})}$

二、填充題（占 80 分）｜說明：第 3 題至第 18 題，每題 5 分。

展開

(2 - 2)^{3}

並化簡為最簡根式 ____。

設

A (\frac{1}{2})

，

B (2)

為數線上兩點，

P

為數線上另一點，且

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 4

。若

P

點介於

A

，

B

兩點之間，則

P

點坐標為 ____。（化為最簡根式）

將循環小數

1.0 \overline{34}

化簡成最簡分數 ____。

將

6 - 25

化簡為最簡根式 ____。

設

a > 0

，將根式

3 \frac{a ^{3}}{7 a ^{5}}

化為指數式

a^{x}

，求

x =

____。

化簡

[(5 - 2)^{2} (5 + 2)^{2}]^{22} =

____。

化簡

(1 0^{l o g 216})^{\frac{2}{3}} =

____。

化簡

lo g 1000 + lo g 0.0001 =

____。

以區間表示法表示不等式

∣ x - 2∣ + ∣ x - 4∣ \geq x

的解為 ____。

設

a

，

b

為正實數，且滿足

3 a + 4 b = 36

，試求

ab

的最大值為 ____。

若

x

為整數，且滿足

100 \leq ∣3 x + 1∣ < 200

，試求這樣的整數

x

共有 ____ 個。

比哥與謝哥同解絕對值不等式

∣ p x + 1∣ < q

，比哥看錯

p

解得

x

的範圍為

- 6 < x < 12

，謝哥看錯

q

解得

x

的範圍為

- 10 < x < 4

，求原本的不等式正確的解為 ____。

已知

7 9^{100}

展開後為

190

位數，試求

7 9^{21}

展開後為 ____ 位數。

設

a

為整數，使得

\frac{1}{5} < \frac{11}{a} < \frac{1}{2}

，且

\frac{11}{a}

可化為有限小數，請問滿足這樣條件的整數

a

共有 ____ 個。

pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，其定義如下：pH 值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子的濃度（莫耳/升）。比哥將一瓶 pH 值為

3

的鹽酸

20

毫升以及一瓶 pH 值為

4

的鹽酸

10

毫升混合在一起，試問混合溶液的 pH 值是多少？ ____。（四捨五入至小數點第一位）

在梯形

A B C D

中，

\overline{A D}

與

\overline{B C}

平行，

\overline{A D} = 2

，梯形的高為

5

，

\overline{C D}

上有一動點

P

，直線

A P

交直線

B C

於

Q

，求

△ A D P

與

△ C P Q

面積和的最小值為 ____。

第貳部分：混合題（占 10 分）｜說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

19－20 題組（第 19～20 題）　若一張

A 4

影印紙的厚度約為

0.05

公分，且假設這張

A 4

紙的厚度，可以一直對折下去，試回答下列問題。

對折

8

次後，試問紙張的厚度為多少公尺？（化做科學記號，以

2

位有效數字表示）（填充題，3 分）

已知地球到月球的距離約為

384400 \approx 1 0^{5.6}

公里，試問這張

A 4

影印紙至少要對折幾次，紙張的厚度就能超過地球到月球的距離。（非選擇題，7 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(4)

第 2 題(3)(4)

第 3 題

20 - 142

第 4 題

\frac{5 2}{7}

第 5 題

\frac{512}{495}

第 6 題

5 - 1

第 7 題

\frac{11}{42}

第 8 題

81

第 9 題

36

第 10 題

- 1

第 11 題

(- \infty, 2] \cup [6, \infty)

第 12 題

27

第 13 題

67

第 14 題

- 12 < x < 6

第 15 題

40

第 16 題

5

第 17 題

3.2

第 18 題

210 - 25

第 19 題

1.3 \times 1 0^{- 1}

公尺

第 20 題

40

次

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：有理數與無理數、log 鍵的意義

第 1 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1) 對：若

a + b = r

是有理數，則

b = r - a

是有理數，矛盾。(2) 對：

\frac{b}{a}

有意義表示

a \neq = 0

；若

\frac{b}{a} = r

是有理數，則

b = a r

是有理數，矛盾。(3) 對：設

a + 2 b = r

、

b + 2 a = s

，解聯立得

a = \frac{2 s - r}{3}

、

b = \frac{2 r - s}{3}

，都是有理數。(4) 對：

a = 0

時成立；

a \neq = 0

時

a^{8} = (a^{4})^{2}

是有理數，

a = \frac{a ^{8}}{a ^{7}}

是兩個有理數相除，也是有理數。(5) 錯：取

a = 32

，

a^{6} = 4

、

a^{9} = 8

都是有理數，但

a

是無理數。

(4) 和 (5) 的差別：

4

和

7

互質，可以湊出

a^{1}

（

2 \times 4 - 7 = 1

）；

6

和

9

都是

3

的倍數，最多只能湊出

a^{3}

是有理數。

第 2 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

1 0^{7} < 20251017 < 1 0^{8}

，所以

lo g 20251017

介於

7

到

8

之間。(2) 錯：

1 0^{- 1} < 0.20251017 < 1 0^{0}

，所以

lo g 0.20251017

介於

- 1

到

0

之間。(3) 對：

lo g a = - 2

表示

a = 1 0^{- 2} = 0.01

。(4) 對：

lo g (lo g b) = 0

表示

lo g b = 1 0^{0} = 1

，所以

b = 1 0^{1} = 10

。(5) 錯：

lo g (lo g c) = 1

表示

lo g c = 1 0^{1} = 10

，所以

c = 1 0^{10}

；如果

c = 1 0^{(1 0^{10})}

，則

lo g c = 1 0^{10}

，

lo g (lo g c) = 10

。

(1)

20251017

是

8

位數，

lo g

值的整數部分是

7

（位數減

1

）。(4)(5) 由外往內一層一層解：先求出

lo g b

、

lo g c

，再求

b

、

c

。

02填充 3～6：乘法公式、分點、循環小數、雙重根號

第 3 題用

(x - y)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

，

x = 2

、

y = 2

：

8 - 3 \times 4 \times 2 + 3 \times 2 \times 2 - 22 = 8 - 122 + 12 - 22 = 20 - 142

。

(2)^{2} = 2

、

(2)^{3} = 22

。

第 4 題

A

的坐標

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

。

P

在

A

、

B

之間且

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 4

，由分點公式，

P

的坐標是

\frac{4 \times \frac{2}{2} + 3 \times 2}{3 + 4} = \frac{2 2 + 3 2}{7} = \frac{5 2}{7}

。

分點公式是交叉相乘：

P

離

A

比較近，

A

的坐標要乘比較大的

4

。驗算：

\overline{P A} = \frac{5 2}{7} - \frac{2}{2} = \frac{3 2}{14}

，

\overline{P B} = 2 - \frac{5 2}{7} = \frac{4 2}{14}

。

第 5 題設

x = 1.0 \overline{34} = 1.0343434 \dots

。

10 x = 10.3434 \dots

，

1000 x = 1034.3434 \dots

，兩式相減：

990 x = 1024

，

x = \frac{1024}{990} = \frac{512}{495}

。

循環節是

34

兩位，小數點後第一位的

0

不循環。

512 = 2^{9}

、

495 = 3^{2} \times 5 \times 11

，已經是最簡分數。

第 6 題找兩個正數，和是

6

、積是

5

：

5

和

1

。

6 - 25 = (5)^{2} - 25 \times 1 + 1^{2} = (5 - 1)^{2}

，而

5 - 1 > 0

，所以

6 - 25 = 5 - 1

。

開根號的結果不能是負的，要寫成大的減小的：

5 - 1

，不是

1 - 5

。

03填充 7～10：分數指數、指數律與 log 的意義

第 7 題

a^{3} = a^{\frac{3}{2}}

，

7 a^{5} = a^{\frac{5}{7}}

，相除得

a^{\frac{3}{2} - \frac{5}{7}} = a^{\frac{21 - 10}{14}} = a^{\frac{11}{14}}

。再開三次方：

(a^{\frac{11}{14}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{11}{42}}

，所以

x = \frac{11}{42}

。

由內往外處理：相除是指數相減，開三次方是指數乘以

\frac{1}{3}

。

第 8 題中括號內兩項的指數相同，用

a^{r} b^{r} = (ab)^{r}

：

[(5 - 2) (5 + 2)]^{2} = (5 - 2)^{2} = 3^{2}

。再用

(a^{r})^{s} = a^{r s}

：

(3^{2})^{22} = 3^{2 \times 22} = 3^{4} = 81

。

第 9 題

lo g 216

的意義是「

10

的幾次方會等於

216

」，所以

1 0^{l o g 216} = 216 = 6^{3}

。

(6^{3})^{\frac{2}{3}} = 6^{2} = 36

。

第 10 題

1000 = 1 0^{3}

，所以

lo g 1000 = 3

；

0.0001 = 1 0^{- 4}

，所以

lo g 0.0001 = - 4

。相加得

3 + (- 4) = - 1

。

lo g a

就是「

10

的幾次方等於

a

」：

1 0^{l o g a} = a

，

lo g 1 0^{k} = k

。

04填充 11～14：絕對值不等式與算幾不等式

第 11 題以

2

、

4

為分界分三段。①

x < 2

：

(2 - x) + (4 - x) \geq x

，

6 \geq 3 x

，

x \leq 2

，這一段全部成立，得

x < 2

。②

2 \leq x \leq 4

：

(x - 2) + (4 - x) \geq x

，

2 \geq x

，只有

x = 2

。③

x > 4

：

(x - 2) + (x - 4) \geq x

，

x \geq 6

。合起來是

x \leq 2

或

x \geq 6

，即

(- \infty, 2] \cup [6, \infty)

。

∣ x - 2∣ + ∣ x - 4∣

是

x

到

2

和到

4

的距離和，在

2

到

4

之間固定是

2

。不等號含等號，端點

2

和

6

要用中括號。

第 12 題

3 a

、

4 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 a + 4 b}{2} \geq 3 a \cdot 4 b

，即

18 \geq 12 ab

。兩邊平方：

324 \geq 12 ab

，

ab \leq 27

。等號在

3 a = 4 b = 18

，也就是

a = 6

、

b = \frac{9}{2}

時成立，所以最大值是

27

。

要對

3 a

和

4 b

用算幾不等式（它們的和才是定值

36

），不是對

a

和

b

。

第 13 題分兩種情形。①

100 \leq 3 x + 1 < 200

：

99 \leq 3 x < 199

，

33 \leq x < 66.3 \dots

，整數

x = 33, 34, \dots, 66

，共

34

個。②

- 200 < 3 x + 1 \leq - 100

：

- 201 < 3 x \leq - 101

，

- 67 < x \leq - 33.6 \dots

，整數

x = - 66, - 65, \dots, - 34

，共

33

個。合計

34 + 33 = 67

個。

兩邊的個數不一樣，不能只算一邊再乘以

2

。左邊有等號、右邊沒有，端點要分別檢查：

x = 33

時

∣3 x + 1∣ = 100

可以；

x = - 67

時

∣3 x + 1∣ = 200

不可以。

第 14 題比哥只看錯

p

，他的

q

是對的。

- 6 < x < 12

的中點是

3

、半徑是

9

，即

∣ x - 3∣ < 9

；要讓常數項是

+ 1

，兩邊同乘

\frac{1}{3}

：

- \frac{1}{3} x + 1 < 3

，所以

q = 3

。謝哥只看錯

q

，他的

p

是對的。

- 10 < x < 4

的中點是

- 3

、半徑是

7

，即

∣ x + 3∣ < 7

，兩邊同乘

\frac{1}{3}

：

\frac{1}{3} x + 1 < \frac{7}{3}

，所以

p = \frac{1}{3}

。正確的不等式是

\frac{1}{3} x + 1 < 3

，即

∣ x + 3∣ < 9

，解為

- 12 < x < 6

。

∣ p x + 1∣ < q

的解的中點是

- \frac{1}{p}

（只跟

p

有關），所以正確的中點用謝哥的

- 3

；

q

用比哥的

3

。

∣ x - c ∣ < r

的解是以

c

為中點、

r

為半徑的區間；看到解的範圍就先算中點和半徑，再改寫回題目的形式。

05填充 15～18：位數、有限小數、pH 值、面積和的最小值

第 15 題

7 9^{100}

是

190

位數，表示

1 0^{189} \leq 7 9^{100} < 1 0^{190}

。設

79 = 1 0^{t}

（

t = lo g 79

），則

7 9^{100} = 1 0^{100 t}

，所以

189 \leq 100 t < 190

，

1.89 \leq t < 1.90

。

7 9^{21} = 1 0^{21 t}

，而

39.69 \leq 21 t < 39.9

，所以

1 0^{39} < 7 9^{21} < 1 0^{40}

，是

40

位數。

N

是

n

位數就是

1 0^{n - 1} \leq N < 1 0^{n}

。這裡

21 t

的整數部分是

39

，位數要加

1

。

第 16 題

\frac{11}{a} > \frac{1}{5} > 0

，所以

a

是正整數；三項都是正數，取倒數後大小相反：

2 < \frac{a}{11} < 5

，

22 < a < 55

。最簡分數能化成有限小數的條件是分母只有

2

和

5

的質因數。①

a

不是

11

的倍數：

\frac{11}{a}

已是最簡分數，

a

只能含質因數

2

、

5

，在

23

到

54

之間有

25

、

32

、

40

、

50

。②

a = 11 k

：

\frac{11}{a} = \frac{1}{k}

，

2 < k < 5

，

k = 3

或

4

，只有

k = 4

（

a = 44

）可以。共

5

個。

a = 44

的分母含有

11

，但約分後是

\frac{1}{4} = 0.25

，要先約分再判斷。

第 17 題pH 值為

3

表示

[H^{+}] = 1 0^{- 3}

莫耳/升，

20

毫升

= 0.02

升，含氫離子

1 0^{- 3} \times 0.02 = 2 \times 1 0^{- 5}

莫耳。pH 值為

4

表示

[H^{+}] = 1 0^{- 4}

莫耳/升，

10

毫升

= 0.01

升，含

1 0^{- 4} \times 0.01 = 1 0^{- 6} = 0.1 \times 1 0^{- 5}

莫耳。混合後共

2.1 \times 1 0^{- 5}

莫耳、體積

0.03

升，濃度是

\frac{2.1 \times 1 0 ^{- 5}}{0.03} = 7 \times 1 0^{- 4}

莫耳/升。由參考數值

7 \approx 1 0^{0.8451}

，

7 \times 1 0^{- 4} \approx 1 0^{- 3.1549}

，pH 值

= 3.1549 \approx 3.2

。

pH 值不能直接平均，要先換回氫離子的量，相加後除以總體積，再取

lo g

。

第 18 題設

P

到直線

A D

的距離是

h

（

0 < h < 5

），則

P

到直線

B C

的距離是

5 - h

。因為

\overline{A D}

與

\overline{B C}

平行，

△ A D P

與

△ QC P

相似（對頂角相等、內錯角相等），對應高的比是

h : (5 - h)

，所以

\overline{C Q} = \frac{2 ( 5 - h )}{h}

。

△ A D P

面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times h = h

；

△ C P Q

面積

= \frac{1}{2} \times \frac{2 ( 5 - h )}{h} \times (5 - h) = \frac{( 5 - h ) ^{2}}{h} = \frac{5}{h} - 25 + h

。面積和

= 2 h + \frac{5}{h} - 25

。由算幾不等式

2 h + \frac{5}{h} \geq 2 2 h \cdot \frac{5}{h} = 210

，所以面積和

\geq 210 - 25

。等號在

2 h = \frac{5}{h}

，即

h = \frac{10}{2}

時成立，而

\frac{10}{2} \approx 1.58 < 5

，

P

確實在

\overline{C D}

上，所以最小值是

210 - 25

。

題目沒有給

\overline{B C}

的長，因為兩個三角形的面積只跟

\overline{A D}

、梯形的高和

P

的高度有關。用算幾不等式後要檢查等號成立時的

h

有沒有在

0

到

5

之間。

06混合題 19～20：對折紙張的厚度

第 19 題每對折一次厚度變成

2

倍，對折

8

次後是

0.05 \times 2^{8} = 0.05 \times 256 = 12.8

公分

= 0.128

公尺。寫成科學記號是

1.28 \times 1 0^{- 1}

，取

2

位有效數字（第三位

8

進位）得

1.3 \times 1 0^{- 1}

公尺。

題目問的單位是公尺，

1

公尺

= 100

公分，要記得換算。

第 20 題對折

n

次後厚度是

0.05 \times 2^{n}

公分。

1

公里

= 1 0^{5}

公分，所以地球到月球的距離約

1 0^{5.6} \times 1 0^{5} = 1 0^{10.6}

公分。要求

0.05 \times 2^{n} > 1 0^{10.6}

。

0.05 = \frac{1}{20}

，兩邊同乘

20

：

2^{n} > 2 \times 10 \times 1 0^{10.6} = 2 \times 1 0^{11.6}

，兩邊同除以

2

：

2^{n - 1} > 1 0^{11.6}

。由參考數值

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

2^{n - 1} \approx 1 0^{0.3010 (n - 1)}

，所以

0.3010 (n - 1) > 11.6

，

n - 1 > 38.5 \dots

，

n > 39.5 \dots

。

n

是整數，最小是

40

。驗算：

n = 39

時

0.3010 \times 38 = 11.438 < 11.6

，不夠；

n = 40

時

0.3010 \times 39 = 11.739 > 11.6

，超過。至少要對折

40

次。

兩邊的單位要先統一（這裡都換成公分）。把每個數都寫成

10

的次方，就可以直接比較指數。

比較很大的數時，把它們都寫成

10

的次方（

2 \approx 1 0^{0.3010}

），再比較指數。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

宜蘭高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

宜蘭高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 4 和選項 5 看起來一樣，差別在兩個指數是否互質；第 13 題正負兩邊的整數個數不同，要分開數；第 14 題要分清楚哪個人的哪個係數是對的，正確的中點用謝哥的、半徑的條件用比哥的；第 18 題要先用相似形把兩個三角形的面積都用同一個高度表示，再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自宜蘭高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

宜蘭高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 2 題（10 分）、填充題 16 題（80 分）、混合題 1 題組 2 小題（10 分）。卷首給參考數值 log 2≈0.3010、log 3≈0.4771、log 7≈0.8451

下列選項的敘述哪些是正確的？

(1) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 必為無理數
(2) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，且 $\frac{b}{a}$ 有意義，則 $\frac{b}{a}$ 必為無理數
(3) 若 $a + 2 b$ 與 $b + 2 a$ 皆為有理數，則 $a$ ， $b$ 皆為有理數
(4) 若 $a^{4}$ 與 $a^{7}$ 都是有理數，則 $a$ 為有理數
(5) 若 $a^{6}$ 與 $a^{9}$ 都是有理數，則 $a$ 為有理數

計算機中的

lo g

鍵是常用對數的符號，可以算出

lo g p

（

p

為正數）的近似值或正確值。例如在計算機中依次輸入

2

lo g

=

可以得到

lo g 2 \approx 0.30102995 \dots

，請依照此次計算機的使用方式，選出下列敘述當中正確的選項。

(1) 先輸入數字「 $20251017$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ ，得到的數字會介於 $8$ 到 $9$ 之間
(2) 先輸入數字「 $0.20251017$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ ，得到的數字會介於 $- 9$ 到 $- 8$ 之間
(3) 若先輸入一個正數「 $a$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ ，得到的數字為 $- 2$ ，則正數 $a = 0.01$
(4) 若先輸入一個正數「 $b$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ $lo g$ $=$ ，即算出 $lo g (lo g b)$ ，得到的數字為 $0$ ，則正數 $b = 10$
(5) 若先輸入一個正數「 $c$ 」後，再依次輸入 $lo g$ $=$ $lo g$ $=$ ，即算出 $lo g (lo g c)$ ，得到的數字為 $1$ ，則正數 $c = 1 0^{(1 0^{10})}$

二、填充題（占 80 分）｜說明：第 3 題至第 18 題，每題 5 分。

展開

(2 - 2)^{3}

並化簡為最簡根式 ____。

設

A (\frac{1}{2})

，

B (2)

為數線上兩點，

P

為數線上另一點，且

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 4

。若

P

點介於

A

，

B

兩點之間，則

P

點坐標為 ____。（化為最簡根式）

將循環小數

1.0 \overline{34}

化簡成最簡分數 ____。

將

6 - 25

化簡為最簡根式 ____。

設

a > 0

，將根式

3 \frac{a ^{3}}{7 a ^{5}}

化為指數式

a^{x}

，求

x =

____。

化簡

[(5 - 2)^{2} (5 + 2)^{2}]^{22} =

____。

化簡

(1 0^{l o g 216})^{\frac{2}{3}} =

____。

化簡

lo g 1000 + lo g 0.0001 =

____。

以區間表示法表示不等式

∣ x - 2∣ + ∣ x - 4∣ \geq x

的解為 ____。

設

a

，

b

為正實數，且滿足

3 a + 4 b = 36

，試求

ab

的最大值為 ____。

若

x

為整數，且滿足

100 \leq ∣3 x + 1∣ < 200

，試求這樣的整數

x

共有 ____ 個。

比哥與謝哥同解絕對值不等式

∣ p x + 1∣ < q

，比哥看錯

p

解得

x

的範圍為

- 6 < x < 12

，謝哥看錯

q

解得

x

的範圍為

- 10 < x < 4

，求原本的不等式正確的解為 ____。

已知

7 9^{100}

展開後為

190

位數，試求

7 9^{21}

展開後為 ____ 位數。

設

a

為整數，使得

\frac{1}{5} < \frac{11}{a} < \frac{1}{2}

，且

\frac{11}{a}

可化為有限小數，請問滿足這樣條件的整數

a

共有 ____ 個。

pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，其定義如下：pH 值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子的濃度（莫耳/升）。比哥將一瓶 pH 值為

3

的鹽酸

20

毫升以及一瓶 pH 值為

4

的鹽酸

10

毫升混合在一起，試問混合溶液的 pH 值是多少？ ____。（四捨五入至小數點第一位）

在梯形

A B C D

中，

\overline{A D}

與

\overline{B C}

平行，

\overline{A D} = 2

，梯形的高為

5

，

\overline{C D}

上有一動點

P

，直線

A P

交直線

B C

於

Q

，求

△ A D P

與

△ C P Q

面積和的最小值為 ____。

19－20 題組（第 19～20 題）　若一張

A 4

影印紙的厚度約為

0.05

公分，且假設這張

A 4

紙的厚度，可以一直對折下去，試回答下列問題。

對折

8

次後，試問紙張的厚度為多少公尺？（化做科學記號，以

2

位有效數字表示）（填充題，3 分）

已知地球到月球的距離約為

384400 \approx 1 0^{5.6}

公里，試問這張

A 4

影印紙至少要對折幾次，紙張的厚度就能超過地球到月球的距離。（非選擇題，7 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(4)

第 2 題(3)(4)

第 3 題

20 - 142

第 4 題

\frac{5 2}{7}

第 5 題

\frac{512}{495}

第 6 題

5 - 1

第 7 題

\frac{11}{42}

第 8 題

81

第 9 題

36

第 10 題

- 1

第 11 題

(- \infty, 2] \cup [6, \infty)

第 12 題

27

第 13 題

67

第 14 題

- 12 < x < 6

第 15 題

40

第 16 題

5

第 17 題

3.2

第 18 題

210 - 25

第 19 題

1.3 \times 1 0^{- 1}

公尺

第 20 題

40

次

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：有理數與無理數、log 鍵的意義

第 1 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1) 對：若

a + b = r

是有理數，則

b = r - a

是有理數，矛盾。(2) 對：

\frac{b}{a}

有意義表示

a \neq = 0

；若

\frac{b}{a} = r

是有理數，則

b = a r

是有理數，矛盾。(3) 對：設

a + 2 b = r

、

b + 2 a = s

，解聯立得

a = \frac{2 s - r}{3}

、

b = \frac{2 r - s}{3}

，都是有理數。(4) 對：

a = 0

時成立；

a \neq = 0

時

a^{8} = (a^{4})^{2}

是有理數，

a = \frac{a ^{8}}{a ^{7}}

是兩個有理數相除，也是有理數。(5) 錯：取

a = 32

，

a^{6} = 4

、

a^{9} = 8

都是有理數，但

a

是無理數。

(4) 和 (5) 的差別：

4

和

7

互質，可以湊出

a^{1}

（

2 \times 4 - 7 = 1

）；

6

和

9

都是

3

的倍數，最多只能湊出

a^{3}

是有理數。

第 2 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

1 0^{7} < 20251017 < 1 0^{8}

，所以

lo g 20251017

介於

7

到

8

之間。(2) 錯：

1 0^{- 1} < 0.20251017 < 1 0^{0}

，所以

lo g 0.20251017

介於

- 1

到

0

之間。(3) 對：

lo g a = - 2

表示

a = 1 0^{- 2} = 0.01

。(4) 對：

lo g (lo g b) = 0

表示

lo g b = 1 0^{0} = 1

，所以

b = 1 0^{1} = 10

。(5) 錯：

lo g (lo g c) = 1

表示

lo g c = 1 0^{1} = 10

，所以

c = 1 0^{10}

；如果

c = 1 0^{(1 0^{10})}

，則

lo g c = 1 0^{10}

，

lo g (lo g c) = 10

。

(1)

20251017

是

8

位數，

lo g

值的整數部分是

7

（位數減

1

）。(4)(5) 由外往內一層一層解：先求出

lo g b

、

lo g c

，再求

b

、

c

。

02填充 3～6：乘法公式、分點、循環小數、雙重根號

第 3 題用

(x - y)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

，

x = 2

、

y = 2

：

8 - 3 \times 4 \times 2 + 3 \times 2 \times 2 - 22 = 8 - 122 + 12 - 22 = 20 - 142

。

(2)^{2} = 2

、

(2)^{3} = 22

。

第 4 題

A

的坐標

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

。

P

在

A

、

B

之間且

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 4

，由分點公式，

P

的坐標是

\frac{4 \times \frac{2}{2} + 3 \times 2}{3 + 4} = \frac{2 2 + 3 2}{7} = \frac{5 2}{7}

。

分點公式是交叉相乘：

P

離

A

比較近，

A

的坐標要乘比較大的

4

。驗算：

\overline{P A} = \frac{5 2}{7} - \frac{2}{2} = \frac{3 2}{14}

，

\overline{P B} = 2 - \frac{5 2}{7} = \frac{4 2}{14}

。

第 5 題設

x = 1.0 \overline{34} = 1.0343434 \dots

。

10 x = 10.3434 \dots

，

1000 x = 1034.3434 \dots

，兩式相減：

990 x = 1024

，

x = \frac{1024}{990} = \frac{512}{495}

。

循環節是

34

兩位，小數點後第一位的

0

不循環。

512 = 2^{9}

、

495 = 3^{2} \times 5 \times 11

，已經是最簡分數。

第 6 題找兩個正數，和是

6

、積是

5

：

5

和

1

。

6 - 25 = (5)^{2} - 25 \times 1 + 1^{2} = (5 - 1)^{2}

，而

5 - 1 > 0

，所以

6 - 25 = 5 - 1

。

開根號的結果不能是負的，要寫成大的減小的：

5 - 1

，不是

1 - 5

。

03填充 7～10：分數指數、指數律與 log 的意義

第 7 題

a^{3} = a^{\frac{3}{2}}

，

7 a^{5} = a^{\frac{5}{7}}

，相除得

a^{\frac{3}{2} - \frac{5}{7}} = a^{\frac{21 - 10}{14}} = a^{\frac{11}{14}}

。再開三次方：

(a^{\frac{11}{14}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{11}{42}}

，所以

x = \frac{11}{42}

。

由內往外處理：相除是指數相減，開三次方是指數乘以

\frac{1}{3}

。

第 8 題中括號內兩項的指數相同，用

a^{r} b^{r} = (ab)^{r}

：

[(5 - 2) (5 + 2)]^{2} = (5 - 2)^{2} = 3^{2}

。再用

(a^{r})^{s} = a^{r s}

：

(3^{2})^{22} = 3^{2 \times 22} = 3^{4} = 81

。

第 9 題

lo g 216

的意義是「

10

的幾次方會等於

216

」，所以

1 0^{l o g 216} = 216 = 6^{3}

。

(6^{3})^{\frac{2}{3}} = 6^{2} = 36

。

第 10 題

1000 = 1 0^{3}

，所以

lo g 1000 = 3

；

0.0001 = 1 0^{- 4}

，所以

lo g 0.0001 = - 4

。相加得

3 + (- 4) = - 1

。

lo g a

就是「

10

的幾次方等於

a

」：

1 0^{l o g a} = a

，

lo g 1 0^{k} = k

。

04填充 11～14：絕對值不等式與算幾不等式

第 11 題以

2

、

4

為分界分三段。①

x < 2

：

(2 - x) + (4 - x) \geq x

，

6 \geq 3 x

，

x \leq 2

，這一段全部成立，得

x < 2

。②

2 \leq x \leq 4

：

(x - 2) + (4 - x) \geq x

，

2 \geq x

，只有

x = 2

。③

x > 4

：

(x - 2) + (x - 4) \geq x

，

x \geq 6

。合起來是

x \leq 2

或

x \geq 6

，即

(- \infty, 2] \cup [6, \infty)

。

∣ x - 2∣ + ∣ x - 4∣

是

x

到

2

和到

4

的距離和，在

2

到

4

之間固定是

2

。不等號含等號，端點

2

和

6

要用中括號。

第 12 題

3 a

、

4 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 a + 4 b}{2} \geq 3 a \cdot 4 b

，即

18 \geq 12 ab

。兩邊平方：

324 \geq 12 ab

，

ab \leq 27

。等號在

3 a = 4 b = 18

，也就是

a = 6

、

b = \frac{9}{2}

時成立，所以最大值是

27

。

要對

3 a

和

4 b

用算幾不等式（它們的和才是定值

36

），不是對

a

和

b

。

第 13 題分兩種情形。①

100 \leq 3 x + 1 < 200

：

99 \leq 3 x < 199

，

33 \leq x < 66.3 \dots

，整數

x = 33, 34, \dots, 66

，共

34

個。②

- 200 < 3 x + 1 \leq - 100

：

- 201 < 3 x \leq - 101

，

- 67 < x \leq - 33.6 \dots

，整數

x = - 66, - 65, \dots, - 34

，共

33

個。合計

34 + 33 = 67

個。

兩邊的個數不一樣，不能只算一邊再乘以

2

。左邊有等號、右邊沒有，端點要分別檢查：

x = 33

時

∣3 x + 1∣ = 100

可以；

x = - 67

時

∣3 x + 1∣ = 200

不可以。

第 14 題比哥只看錯

p

，他的

q

是對的。

- 6 < x < 12

的中點是

3

、半徑是

9

，即

∣ x - 3∣ < 9

；要讓常數項是

+ 1

，兩邊同乘

\frac{1}{3}

：

- \frac{1}{3} x + 1 < 3

，所以

q = 3

。謝哥只看錯

q

，他的

p

是對的。

- 10 < x < 4

的中點是

- 3

、半徑是

7

，即

∣ x + 3∣ < 7

，兩邊同乘

\frac{1}{3}

：

\frac{1}{3} x + 1 < \frac{7}{3}

，所以

p = \frac{1}{3}

。正確的不等式是

\frac{1}{3} x + 1 < 3

，即

∣ x + 3∣ < 9

，解為

- 12 < x < 6

。

∣ p x + 1∣ < q

的解的中點是

- \frac{1}{p}

（只跟

p

有關），所以正確的中點用謝哥的

- 3

；

q

用比哥的

3

。

∣ x - c ∣ < r

的解是以

c

為中點、

r

為半徑的區間；看到解的範圍就先算中點和半徑，再改寫回題目的形式。

05填充 15～18：位數、有限小數、pH 值、面積和的最小值

第 15 題

7 9^{100}

是

190

位數，表示

1 0^{189} \leq 7 9^{100} < 1 0^{190}

。設

79 = 1 0^{t}

（

t = lo g 79

），則

7 9^{100} = 1 0^{100 t}

，所以

189 \leq 100 t < 190

，

1.89 \leq t < 1.90

。

7 9^{21} = 1 0^{21 t}

，而

39.69 \leq 21 t < 39.9

，所以

1 0^{39} < 7 9^{21} < 1 0^{40}

，是

40

位數。

N

是

n

位數就是

1 0^{n - 1} \leq N < 1 0^{n}

。這裡

21 t

的整數部分是

39

，位數要加

1

。

第 16 題

\frac{11}{a} > \frac{1}{5} > 0

，所以

a

是正整數；三項都是正數，取倒數後大小相反：

2 < \frac{a}{11} < 5

，

22 < a < 55

。最簡分數能化成有限小數的條件是分母只有

2

和

5

的質因數。①

a

不是

11

的倍數：

\frac{11}{a}

已是最簡分數，

a

只能含質因數

2

、

5

，在

23

到

54

之間有

25

、

32

、

40

、

50

。②

a = 11 k

：

\frac{11}{a} = \frac{1}{k}

，

2 < k < 5

，

k = 3

或

4

，只有

k = 4

（

a = 44

）可以。共

5

個。

a = 44

的分母含有

11

，但約分後是

\frac{1}{4} = 0.25

，要先約分再判斷。

第 17 題pH 值為

3

表示

[H^{+}] = 1 0^{- 3}

莫耳/升，

20

毫升

= 0.02

升，含氫離子

1 0^{- 3} \times 0.02 = 2 \times 1 0^{- 5}

莫耳。pH 值為

4

表示

[H^{+}] = 1 0^{- 4}

莫耳/升，

10

毫升

= 0.01

升，含

1 0^{- 4} \times 0.01 = 1 0^{- 6} = 0.1 \times 1 0^{- 5}

莫耳。混合後共

2.1 \times 1 0^{- 5}

莫耳、體積

0.03

升，濃度是

\frac{2.1 \times 1 0 ^{- 5}}{0.03} = 7 \times 1 0^{- 4}

莫耳/升。由參考數值

7 \approx 1 0^{0.8451}

，

7 \times 1 0^{- 4} \approx 1 0^{- 3.1549}

，pH 值

= 3.1549 \approx 3.2

。

pH 值不能直接平均，要先換回氫離子的量，相加後除以總體積，再取

lo g

。

第 18 題設

P

到直線

A D

的距離是

h

（

0 < h < 5

），則

P

到直線

B C

的距離是

5 - h

。因為

\overline{A D}

與

\overline{B C}

平行，

△ A D P

與

△ QC P

相似（對頂角相等、內錯角相等），對應高的比是

h : (5 - h)

，所以

\overline{C Q} = \frac{2 ( 5 - h )}{h}

。

△ A D P

面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times h = h

；

△ C P Q

面積

= \frac{1}{2} \times \frac{2 ( 5 - h )}{h} \times (5 - h) = \frac{( 5 - h ) ^{2}}{h} = \frac{5}{h} - 25 + h

。面積和

= 2 h + \frac{5}{h} - 25

。由算幾不等式

2 h + \frac{5}{h} \geq 2 2 h \cdot \frac{5}{h} = 210

，所以面積和

\geq 210 - 25

。等號在

2 h = \frac{5}{h}

，即

h = \frac{10}{2}

時成立，而

\frac{10}{2} \approx 1.58 < 5

，

P

確實在

\overline{C D}

上，所以最小值是

210 - 25

。

題目沒有給

\overline{B C}

的長，因為兩個三角形的面積只跟

\overline{A D}

、梯形的高和

P

的高度有關。用算幾不等式後要檢查等號成立時的

h

有沒有在

0

到

5

之間。

06混合題 19～20：對折紙張的厚度

第 19 題每對折一次厚度變成

2

倍，對折

8

次後是

0.05 \times 2^{8} = 0.05 \times 256 = 12.8

公分

= 0.128

公尺。寫成科學記號是

1.28 \times 1 0^{- 1}

，取

2

位有效數字（第三位

8

進位）得

1.3 \times 1 0^{- 1}

公尺。

題目問的單位是公尺，

1

公尺

= 100

公分，要記得換算。

第 20 題對折

n

次後厚度是

0.05 \times 2^{n}

公分。

1

公里

= 1 0^{5}

公分，所以地球到月球的距離約

1 0^{5.6} \times 1 0^{5} = 1 0^{10.6}

公分。要求

0.05 \times 2^{n} > 1 0^{10.6}

。

0.05 = \frac{1}{20}

，兩邊同乘

20

：

2^{n} > 2 \times 10 \times 1 0^{10.6} = 2 \times 1 0^{11.6}

，兩邊同除以

2

：

2^{n - 1} > 1 0^{11.6}

。由參考數值

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

2^{n - 1} \approx 1 0^{0.3010 (n - 1)}

，所以

0.3010 (n - 1) > 11.6

，

n - 1 > 38.5 \dots

，

n > 39.5 \dots

。

n

是整數，最小是

40

。驗算：

n = 39

時

0.3010 \times 38 = 11.438 < 11.6

，不夠；

n = 40

時

0.3010 \times 39 = 11.739 > 11.6

，超過。至少要對折

40

次。

兩邊的單位要先統一（這裡都換成公分）。把每個數都寫成

10

的次方，就可以直接比較指數。

比較很大的數時，把它們都寫成

10

的次方（

2 \approx 1 0^{0.3010}

），再比較指數。

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02填充 3～6：乘法公式、分點、循環小數、雙重根號

03填充 7～10：分數指數、指數律與 log 的意義

04填充 11～14：絕對值不等式與算幾不等式

05填充 15～18：位數、有限小數、pH 值、面積和的最小值

06混合題 19～20：對折紙張的厚度

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