段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

新店高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 4 題（24 分）、填充題 12 題共 15 格（76 分，依答對格數給分）

一、多選題（每題 6 分，共 24 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個以上則 0 分）

試選出敘述正確的選項：

(A) 若 $a$ 、 $b$ 為實數，則 $\frac{a + b}{2} \geq ab$
(B) $0.1 \overline{9} < 0.2$
(C) 若 $a^{2} > b^{2}$ ，則 $∣ a ∣ > ∣ b ∣$
(D) 若 $a^{2} b > a^{2} c$ ，則 $b > c$
(E) 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 為實數， $a + b 2 = c + d 2$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$

試選出正確的選項：

(A) 若 $a + b$ 、 $ab$ 皆為有理數，則 $a$ 、 $b$ 至少有一為有理數
(B) 若 $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，則 $a - b$ 為無理數
(C) 若 $ab$ 、 $\frac{a}{b}$ 皆為無理數，則 $a + b$ 為無理數
(D) 若 $a + b$ 、 $a - b$ 皆為有理數，則 $a$ 、 $b$ 皆為有理數
(E) 若 $a^{2}$ 、 $a^{3}$ 皆為無理數，則 $a$ 為無理數

下列選項哪些是正確的？

(A) 若 $a < b$ ，則 $\frac{a + 2 b}{3} > \frac{a + 3 b}{4} > \frac{2 a + 3 b}{5}$
(B) $10 + 3 > 8 + 5 > 7 + 6$
(C) $7 - 3 > 8 - 2 > 3 - 5$
(D) $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}} < 4^{\frac{1}{4}}$
(E) $10 0^{l o g 2} < 1 0^{l o g 5} < 1 0^{l o g 3 + l o g 2}$

設

a

、

b

為正實數，且

a = 2^{0.4}

、

b = 2^{0.02}

，下列選項哪些是正確的？

(A) $a > b > 1$
(B) $a^{10} < b^{100}$
(C) $a^{5} b^{50} = 2$
(D) $\frac{b ^{10}}{a ^{5}} > 1$
(E) $\frac{8}{a ^{10} b ^{50}} = a^{- 5}$

二、填充題（共 76 分，依下列答對格數給分）答對 1～15 格依序得 8、16、24、32、38、44、50、54、58、62、66、69、72、74、76 分。（本頁第 5～16 題依序為原卷填充第 1～12 題，共 15 格）

美國 NASA 發射的衛星以光速約

3.0 \times 1 0^{8}

公尺/秒向地球傳輸資料，傳輸時間需要時

1

小時

10

分

20

秒，則衛星距離地球大約是 ____ 公里。（答案以二位有效數字用科學記號表示）

若

x > 0

，求

x + \frac{9}{x}

的最小值為 ____，此時

x =

____。

已知

A (a)

、

B (b)

、

P

在數線上，

a < b

，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 3

，若點

P

在

\overline{A B}

上則

P

點坐標為

- 1

，若點

P

不在

\overline{A B}

上則

P

點坐標為

- 7

，則數對

(a, b) =

____。

若

a = lo g 3

，

b = lo g 2

，則

10 0^{a + b} + 1 0^{2 - b} =

____。

求

(\frac{16}{8})^{0.8} (7 + 5)^{- 3} (7 - 5)^{- 3} =

____。

已知

7^{100}

為

85

位數，

3^{100}

為

48

位數，則

2 1^{10}

為 ____ 位數。

設

x = \frac{5 - 3}{5 + 3}

，求下列各式的值：(1)

x + x^{- 1} =

____。(2)

x^{3} + x^{- 3} =

____。(3)

x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} =

____。

解

2∣ x - 1∣ + 3∣ x + 2∣ \leq 8

，以區間符號表示此不等式的解為 ____。

A

元素之半衰期為

20

天，

B

元素之半衰期為

30

天，若一礦石中

A

、

B

兩元素之質量比為

2 : 3

，則

120

天後

A

、

B

兩元素質量比值為 ____。

已知

28 - 512

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

\frac{1}{a - b + 1} + \frac{1}{b} =

____。

已知

a

、

b

、

c

為實數，且不等式

c \leq ∣ a x + 1∣ < b

之解為

(- 3, - 1] \cup [2, 4)

，則數組

(a, b, c) =

____。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（

W/ m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

）；當測得的聲音強度為

I

（

W/ m^{2}

）時，所產生噪音分貝數

d = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

。若一隻吉娃娃的叫聲為

60

分貝，則

100

隻吉娃娃一起叫，聲音會達 ____ 分貝。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)

第 2 題(B)(D)(E)

第 3 題(C)(E)

第 4 題(A)(E)

第 5 題

1.3 \times 1 0^{9}

第 6 題最小值

6

；此時

x = 3

第 7 題

(- 3, 5)

第 8 題

86

第 9 題

\frac{1}{2}

第 10 題

14

第 11 題(1)

8

；(2)

488

；(3)

- 6

第 12 題

[- \frac{12}{5}, 0]

第 13 題

\frac{1}{6}

第 14 題

4

第 15 題

(- 2, 7, 3)

第 16 題

80

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：實數的性質、有理數與無理數

第 1 題答案 (C)(D)。(A) 錯：算幾不等式要

a

、

b

都不是負數才成立，取

a = b = - 1

，左邊

- 1

、右邊

1 = 1

，不成立。(B) 錯：

0.1 \overline{9} = 0.1 + 0.0 \overline{9} = 0.1 + 0.1 = 0.2

，兩數相等。(C) 對：

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

、

b^{2} = ∣ b ∣^{2}

，

∣ a ∣

、

∣ b ∣

都不是負數，平方較大的本身也較大。(D) 對：

a^{2} b > a^{2} c

表示

a \neq = 0

（否則兩邊都是

0

），所以

a^{2} > 0

，兩邊同除以

a^{2}

得

b > c

。(E) 錯：取

a = 2

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 1

，兩邊都是

2

，但

a \neq = c

。

(E) 要

a

、

b

、

c

、

d

都是有理數才能比較係數，題目寫的是實數。

第 2 題答案 (B)(D)(E)。(A) 錯：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

、

ab = - 2

都是有理數，但兩個都是無理數。(B) 對：若

a - b = r

是有理數，則

b = a - r

是有理數，矛盾。(C) 錯：取

a = 2

、

b = 1 - 2

，

ab = 2 - 2

、

\frac{a}{b} = \frac{2}{1 - 2} = - 2 - 2

都是無理數，但

a + b = 1

是有理數。(D) 對：

a = \frac{( a + b ) + ( a - b )}{2}

、

b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}

，有理數加減、除以

2

還是有理數。(E) 對：如果

a

是有理數，

a^{2}

就是有理數，和條件矛盾，所以

a

是無理數。

判斷「錯」只要舉一個反例；判斷「對」要說明理由，常用的寫法是先假設結論不成立再推出矛盾。

02多選 3～4：比大小與指數律

第 3 題答案 (C)(E)。(A) 錯：

\frac{a + 3 b}{4} - \frac{a + 2 b}{3} = \frac{b - a}{12} > 0

，所以

\frac{a + 2 b}{3} < \frac{a + 3 b}{4}

，第一個不等號方向相反。(B) 錯：三個數都是正數，平方後依序是

13 + 230

、

13 + 240

、

13 + 242

，越來越大，所以

10 + 3 < 8 + 5 < 7 + 6

。(C) 對：

7 - 3 = \frac{4}{7 + 3}

，

8 - 2 = 8 - 4 = \frac{4}{8 + 4}

，

3 - 5 = 9 - 5 = \frac{4}{9 + 5}

；分子都是

4

，分母

7 + 3 < 8 + 4 < 9 + 5

，分母越大值越小。(D) 錯：三數都取

12

次方，依序是

2^{6} = 64

、

3^{4} = 81

、

4^{3} = 64

，所以

2^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{4}} < 3^{\frac{1}{3}}

，後半

3^{\frac{1}{3}} < 4^{\frac{1}{4}}

不成立。(E) 對：

10 0^{l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{2} = 2^{2} = 4

，

1 0^{l o g 5} = 5

，

1 0^{l o g 3 + l o g 2} = 1 0^{l o g 3} \times 1 0^{l o g 2} = 6

，而

4 < 5 < 6

。

(B) 三組的兩數和都是

13

，平方後只差在乘積；(C) 三組的兩數差都是

4

，把分子有理化後只差在分母。

第 4 題答案 (A)(E)。全部化成

2

的次方。(A) 對：

0.4 > 0.02 > 0

，所以

2^{0.4} > 2^{0.02} > 2^{0} = 1

。(B) 錯：

a^{10} = 2^{4} = 16

，

b^{100} = 2^{2} = 4

，

a^{10} > b^{100}

。(C) 錯：

a^{5} = 2^{2}

，

a^{5} = 2

；

b^{50} = 2^{1} = 2

；相乘是

4

。(D) 錯：

\frac{b ^{10}}{a ^{5}} = \frac{2 ^{0.2}}{2 ^{2}} = 2^{- 1.8} < 1

。(E) 對：

a^{10} b^{50} = 2^{4} \times 2^{1} = 2^{5}

，左邊

\frac{2 ^{3}}{2 ^{5}} = 2^{- 2}

；右邊

a^{- 5} = 2^{- 2}

，兩邊相等。

a^{5}

；即使連

b^{50}

一起開根號，結果是

2^{3} = 22

，也不等於

2

。

比大小時先找共同點：和相同就平方、差相同就把分子有理化、指數是分數就取公倍數次方。

03填充 1～6（第 5～10 題）：科學記號、算幾不等式、分點、指數與對數

第 5 題

1

小時

10

分

20

秒

= 3600 + 600 + 20 = 4220

秒。距離

= 3.0 \times 1 0^{8} \times 4220 = 1.266 \times 1 0^{12}

公尺。

1

公里

= 1 0^{3}

公尺，所以是

1.266 \times 1 0^{9}

公里，取二位有效數字得

1.3 \times 1 0^{9}

公里。

單位要從公尺換成公里（除以

1 0^{3}

），再四捨五入到二位有效數字。

第 6 題

x > 0

時

x

和

\frac{9}{x}

都是正數，由算幾不等式

\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \geq x \cdot \frac{9}{x} = 3

，所以

x + \frac{9}{x} \geq 6

。等號在

x = \frac{9}{x}

時成立，即

x^{2} = 9

，

x = 3

（取正）。最小值

6

，此時

x = 3

。

第 7 題

P

在

\overline{A B}

上時是內分點，

\overline{A P} : \overline{P B} = 1 : 3

，坐標

\frac{3 a + b}{4} = - 1

，即

3 a + b = - 4

。

P

不在

\overline{A B}

上時，因為

\overline{A P} < \overline{B P}

，

P

在

A

的左邊，這時

\overline{A B} = \overline{B P} - \overline{A P} = 2 \overline{A P}

，所以

a - (- 7) = \frac{b - a}{2}

，即

3 a - b = - 14

。兩式相加得

6 a = - 18

，

a = - 3

，代回得

b = 5

。驗算：

A (- 3)

、

B (5)

，

P (- 1)

時距離是

2

和

6

；

P (- 7)

時距離是

4

和

12

，都是

1 : 3

。

外分點在離得近的那一端外側：

\overline{A P}

比較短，所以

P

在

A

的那一側。

第 8 題

a = lo g 3

、

b = lo g 2

表示

1 0^{a} = 3

、

1 0^{b} = 2

。

10 0^{a + b} = (1 0^{a + b})^{2} = (1 0^{a} \times 1 0^{b})^{2} = 6^{2} = 36

；

1 0^{2 - b} = \frac{1 0 ^{2}}{1 0 ^{b}} = \frac{100}{2} = 50

。相加得

86

。

第 9 題

\frac{16}{8} = \frac{2 ^{4}}{2 ^{\frac{3}{2}}} = 2^{\frac{5}{2}}

，所以

(\frac{16}{8})^{0.8} = 2^{\frac{5}{2} \times \frac{4}{5}} = 2^{2} = 4

。後兩項的指數相同，可以合併：

[(7 + 5) (7 - 5)]^{- 3} = (7 - 5)^{- 3} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

。相乘得

4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

。

第 10 題

7^{100}

是

85

位數，表示

1 0^{84} \leq 7^{100} < 1 0^{85}

；

3^{100}

是

48

位數，表示

1 0^{47} \leq 3^{100} < 1 0^{48}

。兩式相乘：

1 0^{131} \leq 2 1^{100} < 1 0^{133}

。各取

\frac{1}{10}

次方：

1 0^{13.1} \leq 2 1^{10} < 1 0^{13.3}

。所以

1 0^{13} < 2 1^{10} < 1 0^{14}

，是

14

位數。

用

lo g

寫也一樣：

84 \leq 100 lo g 7 < 85

、

47 \leq 100 lo g 3 < 48

，相加除以

10

得

13.1 \leq lo g 2 1^{10} < 13.3

。

N

是

n

位數就是

1 0^{n - 1} \leq N < 1 0^{n}

；位數的題目都先翻成這個不等式。

04填充 7～9（第 11～13 題）：乘法公式求值、兩個絕對值、半衰期

第 11 題先有理化：

x = \frac{( 5 - 3 ) ^{2}}{5 - 3} = \frac{8 - 2 15}{2} = 4 - 15

，

x^{- 1} = \frac{5 + 3}{5 - 3} = 4 + 15

。(1)

x + x^{- 1} = 8

。(2)

x^{3} + x^{- 3} = (x + x^{- 1})^{3} - 3 (x + x^{- 1}) = 512 - 24 = 488

。(3)

(x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}})^{2} = x - 2 + x^{- 1} = 8 - 2 = 6

，所以

x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = \pm 6

。因為

0 < x < 1

，

x^{\frac{1}{2}} < 1 < x^{- \frac{1}{2}}

，差是負的，答案

- 6

。

(3) 平方之後有正負兩個可能，要用

x = 4 - 15 \approx 0.127

小於

1

判斷正負。

第 12 題以

x = - 2

、

x = 1

分成三段。①

x < - 2

：

- 2 (x - 1) - 3 (x + 2) \leq 8

，

- 5 x - 4 \leq 8

，

x \geq - \frac{12}{5}

，得

- \frac{12}{5} \leq x < - 2

。②

- 2 \leq x < 1

：

- 2 (x - 1) + 3 (x + 2) \leq 8

，

x + 8 \leq 8

，

x \leq 0

，得

- 2 \leq x \leq 0

。③

x \geq 1

：

2 (x - 1) + 3 (x + 2) \leq 8

，

5 x + 4 \leq 8

，

x \leq \frac{4}{5}

，和

x \geq 1

沒有共同部分。①②合起來是

- \frac{12}{5} \leq x \leq 0

，寫成區間

[- \frac{12}{5}, 0]

。

每一段解出來要和該段的範圍取共同部分；兩端都有等號，用中括號。

第 13 題設一開始

A

、

B

的質量是

2 k

、

3 k

。

120

天是

A

的

6

個半衰期，剩

2 k \times (\frac{1}{2})^{6} = \frac{k}{32}

；是

B

的

4

個半衰期，剩

3 k \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{3 k}{16}

。比值

\frac{k}{32} \div \frac{3 k}{16} = \frac{k}{32} \times \frac{16}{3 k} = \frac{1}{6}

。

兩種元素的半衰期不同，

120

天各自經過的半衰期次數（

6

次和

4

次）要分開算。

05填充 10～12（第 14～16 題）：雙重根號、由解回推係數、分貝

第 14 題

512 = 300 = 275

，所以

28 - 512 = 28 - 275

。找兩數和

28

、積

75

：

25

和

3

，

28 - 275 = 25 - 3 = 5 - 3

。

1 < 3 < 2

，所以

3 < 5 - 3 < 4

，整數部分

a = 3

，小數部分

b = 5 - 3 - 3 = 2 - 3

。

a - b + 1 = 3 - (2 - 3) + 1 = 2 + 3

。

\frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

，

\frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

，相加得

4

。

雙重根號要先把裡面那項整理成

2

的形式，才能找「和、積」。

第 15 題解

(- 3, - 1] \cup [2, 4)

左右對稱，兩段的中心都是

\frac{- 3 + 4}{2} = \frac{1}{2}

。到

\frac{1}{2}

的距離：

- 1

和

2

是

\frac{3}{2}

（含），

- 3

和

4

是

\frac{7}{2}

（不含），所以解就是

\frac{3}{2} \leq x - \frac{1}{2} < \frac{7}{2}

。各乘以

2

：

3 \leq ∣2 x - 1∣ < 7

，也就是

3 \leq ∣ - 2 x + 1∣ < 7

。和

c \leq ∣ a x + 1∣ < b

對照，常數項要是

+ 1

，所以

a = - 2

、

b = 7

、

c = 3

。

∣2 x - 1∣

和

∣ - 2 x + 1∣

相等，要配合題目的「

+ 1

」選後者；數組的順序是

(a, b, c)

，

b

是外圈、

c

是內圈。

第 16 題設一隻吉娃娃叫聲的強度是

I

，

60 = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，所以

lo g \frac{I}{I _{0}} = 6

，

\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{6}

。

100

隻一起叫，強度是

100 I

，

\frac{100 I}{I _{0}} = 1 0^{2} \times 1 0^{6} = 1 0^{8}

，分貝數

d = 10 lo g 1 0^{8} = 80

。

相加的是聲音強度，不是分貝數；強度變成

100

倍，分貝數只多

10 lo g 100 = 20

。

絕對值不等式的解是「到某個中心的距離」的範圍；先找中心和距離，再調整係數去對題目給的式子。

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新店高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題要用平方、分子有理化、取十二次方三種方法分別比大小；填充第 3 題（本頁第 7 題）的外分點要先判斷 P 在 A 的哪一側；填充第 7 題第 (3) 格（本頁第 11 題）平方後要用 x 小於 1 判斷正負；填充第 11 題（本頁第 15 題）要先把兩段解寫成到中心的距離，再配合常數項是正一決定 a 是負的。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新店高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

新店高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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每一題，錯在哪一步

01多選 1～2：實數的性質、有理數與無理數

02多選 3～4：比大小與指數律

03填充 1～6（第 5～10 題）：科學記號、算幾不等式、分點、指數與對數

04填充 7～9（第 11～13 題）：乘法公式求值、兩個絕對值、半衰期

05填充 10～12（第 14～16 題）：雙重根號、由解回推係數、分貝

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常見問題

新店高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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新店高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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