段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數）

中山女高 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題 11 格（51 分）、混合題 1 題組 3 小題（10 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 90 分）　一、單選題（占 15 分）　說明：第 1 題至第 3 題，每題 5 分。

研究指出人體對鹹味的感知是壓縮型，即當食物中鹽的濃度增加為原本的

10

倍，我們感知到的鹹味強度大約增加為原本的

1 0^{0.8}

倍。依據考卷上方所給的參考數據，請問

1 0^{0.8}

介於下列哪個區間內？（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 4 \approx 0.6020

、

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7781

、

lo g 7 \approx 0.8451

、

lo g 8 \approx 0.9030

、

lo g 9 \approx 0.9542

）

(1) $(7, 8)$
(2) $(6, 7)$
(3) $(5, 6)$
(4) $(4, 5)$
(5) 條件不足，無法判斷

已知不等式

∣ a x + 10∣ \geq b

的解為「

x \leq 2

或

x \geq 8

」，則

a + b

的值為下列何者？

(1) $- 8$
(2) $- 4$
(3) $4$
(4) $8$
(5) 以上皆非

不等式

∣2 x - 4∣ > x - 3

的解為下列何者？

(1) $1 < x < \frac{7}{3}$
(2) $x < 1$ 或 $x > \frac{7}{3}$
(3) $x > 2$
(4) 無實數解
(5) 全實數解

二、多選題（占 24 分）　說明：第 4 題至第 6 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

圖為一個半圓形紙片，其中

\overline{A B}

為直徑長

8

單位，點

P_{1}

、

P_{2}

、

P_{3}

、…、

P_{7}

將直徑

8

等分。過這些等分點做垂直於直徑

\overline{A B}

的線段

\overline{P_{1} Q_{1}}

、

\overline{P_{2} Q_{2}}

、

\overline{P_{3} Q_{3}}

、…、

\overline{P_{7} Q_{7}}

，點

Q_{1}

、

Q_{2}

、

Q_{3}

、…、

Q_{7}

在圓周上。請問下列何者可能為這

7

個線段的長度？

(1) $22$
(2) $10$
(3) $23$
(4) $14$
(5) $4$

載入中...

下列敘述何者正確？

(1) $5 + 22 > 6 + 7$
(2) $\frac{4 2 + 3 3}{7} > \frac{2 2 + 3 3}{5}$
(3) $\frac{5 ^{6} + 7 ^{6}}{2} > 3 5^{3}$
(4) $2^{\frac{1}{3}} > 5^{\frac{1}{7}}$
(5) $1 0^{l o g 2025} > (\frac{1}{2})^{- 10}$

細菌培養實驗中，已知

A

細菌每

2

小時數量會增為原來的

2

倍，

B

細菌每

3

小時數量會增為原來的

4

倍。已知，一開始

A

細菌的數量為

a

、

B

細菌的數量為

b

且實驗同時開始後

6

個小時，測得兩細菌數量相等。請問下列敘述何者正確？

(1) $a : b = 2 : 1$
(2) 實驗開始後 $3$ 小時， $A$ 細菌的數量剛好是 $B$ 細菌數量的 $1.5$ 倍
(3) 實驗開始後 $3$ 小時， $A$ 細菌的數量剛好是 $B$ 細菌數量的 $\frac{2}{2}$ 倍
(4) 實驗開始後 $15$ 小時， $B$ 細菌數量超過 $A$ 細菌的數量的 $2$ 倍
(5) 實驗開始後 $18$ 小時， $A$ 、 $B$ 兩細菌的總量超過一開始兩細菌總量的 $1000$ 倍

三、填充題（占 51 分）　說明：第 7 題至第 14 題。依答對格數給分：答對 1～11 格依序得 5、10、15、20、25、30、35、39、43、47、51 分。（本頁第 7～17 題依序為原卷填充第 7、8(1)、8(2)、9、10、11、12、13(1)、13(2)、14(1)、14(2) 格）

數線上有兩點

A (- 3)

、

B (5)

，另有一點

P

滿足

\overline{P A} : \overline{P B} = 1 : 3

。已知符合上述條件的點

P

有兩個

P_{1}

、

P_{2}

，則線段

\overline{P_{1} P_{2}}

的長 ____。

填充第 8 題（第 8～9 題）　化簡下列各式：

(1)

3 4^{(3 + 2)} \cdot 6 2^{(3 - 22)} =

____。

(2)

lo g 1 \times lo g 1000 + lo g 100 \times lo g 10 =

____。

設

2 + 11

的小數部分為

b

。則

b^{2} + 6 b =

____。

化簡

0.1 \overline{5} + \frac{7}{45} =

____。

化簡

28 - 720 =

____。

已知

12 8^{114} \approx 1 0^{240.198}

，則

12 8^{114}

的整數部分是 ____ 位數。

填充第 13 題（第 14～15 題）　已知

a

、

b

為兩正數，且

lo g a = 10

、

lo g b = 13

。

則 (1)

b

是

a

的 ____ 倍。

(2)

3 a + 2 b

表示成科學記號為 ____。

填充第 14 題（第 16～17 題）　已知

3^{x} + 2^{x} = a

、

1 8^{x} + 1 2^{x} = 5 a

，請回答下列各題：

(1)

6^{x} =

____。

(2)

2 7^{x} + 8^{x} =

____。（以

a

表示）

第貳部分：混合題（占 10 分）　說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。（本頁第 18～20 題依序為原卷第 15～17 題）

混合題（原卷第 15－17 題組）（第 18～20 題）　一般市售的不鏽鋼伸縮圍欄柱可拉出

2

公尺長的欄帶（圖一），欄帶拉出後可扣在另一個圍欄柱上，多個圍欄柱連接在一起可作為區域劃分（圖二）或動線引導用。中山活動公司倉庫中共有

60

支不鏽鋼伸縮圍欄柱，請回答下列問題：

若將

60

支不鏽鋼伸縮圍欄柱圍成一個長方形，則此長方形的最大周長為多少公尺？（單選題，2 分）

(1) $60$ 公尺
(2) $90$ 公尺
(3) $120$ 公尺
(4) $150$ 公尺

載入中...

活動公司想用不鏽鋼伸縮圍欄柱圍成一個長方形的活動區域，其面積至少要

1000

平方公尺。設此長方形的長為

x

公尺、寬為

y

公尺，請利用算幾不等式說明目前倉庫中的不鏽鋼圍欄柱是否夠用？詳述理由？（非選擇題，6 分）

承 16 題，若夠用，「只」需要多少支不鏽鋼伸縮圍欄柱即可圍成面積要

1000

平方公尺的長方形？若不夠用，則至少需「再」補多少支不鏽鋼伸縮圍欄柱才夠？請說明理由。（非選擇題，2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(5)

第 4 題(3)(5)

第 5 題(3)(4)(5)

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題

6

第 8 題

22

第 9 題

1

第 10 題

2

第 11 題

\frac{14}{45}

第 12 題

32 - 10

第 13 題

241

第 14 題

1000

第 15 題

2.003 \times 1 0^{13}

第 16 題

5

第 17 題

a^{3} - 15 a

第 18 題(3)

第 19 題不夠用；

60

支最多圍出周長

120

公尺，這時面積最大只有

900

平方公尺，小於

1000

平方公尺

第 20 題至少需再補

4

支（共

64

支）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：對數估值與絕對值不等式

第 1 題答案 (2)。要知道

1 0^{0.8}

在哪兩個整數之間，就看

0.8

夾在哪兩個 log 值之間。參考數據裡

lo g 6 \approx 0.7781 < 0.8 < 0.8451 \approx lo g 7

，而

6 = 1 0^{l o g 6}

、

7 = 1 0^{l o g 7}

，指數越大、

10

的次方越大，所以

6 < 1 0^{0.8} < 7

。

lo g 6 \approx 0.7781

的意思是

1 0^{0.7781} \approx 6

，把參考數據都讀成「

10

的幾次方」就能直接比。流傳版本題幹印作「我們敢知道的鹹味強度」，依文意應為「感知到的」。

第 2 題答案 (3)。解「

x \leq 2

或

x \geq 8

」的兩個端點中點是

5

、到中點的距離是

3

，所以它就是

∣ x - 5∣ \geq 3

。兩邊乘以

2

：

∣2 x - 10∣ \geq 6

，也就是

∣ - 2 x + 10∣ \geq 6

。和

∣ a x + 10∣ \geq b

對照，常數項要是

+ 10

，所以

a = - 2

、

b = 6

，

a + b = 4

。驗算：

∣ - 2 x + 10∣ \geq 6

即

- 2 x + 10 \geq 6

或

- 2 x + 10 \leq - 6

，得

x \leq 2

或

x \geq 8

。

∣2 x - 10∣

和

∣ - 2 x + 10∣

相等，要配合題目的「

+ 10

」選後者，

a

是負的。

第 3 題答案 (5)。右邊是

x - 3

不是常數，分段去絕對值。當

x \geq 2

時，

2 x - 4 > x - 3

，得

x > 1

；和

x \geq 2

取共同部分，

x \geq 2

的數全部滿足。當

x < 2

時，

- (2 x - 4) > x - 3

，

7 > 3 x

，得

x < \frac{7}{3}

；和

x < 2

取共同部分，

x < 2

的數全部滿足。兩段合起來是全部實數。

每一段解出來的範圍要和那一段的前提取交集，最後兩段再取聯集。另一個看法：

x < 3

時右邊是負的、左邊不小於

0

，一定成立；

x \geq 3

時

2 x - 4 > x - 3

即

x > 1

，也成立。

02多選 4～6：半圓內的線段、大小比較、指數成長

第 4 題答案 (3)(5)。圓心

O

是直徑的中點，也就是

P_{4}

，半徑是

4

。

P_{k}

到

A

的距離是

k

，所以

\overline{O P_{k}} = ∣ k - 4∣

。連

\overline{O Q_{k}}

（長度是半徑

4

），直角三角形

O P_{k} Q_{k}

中

\overline{P_{k} Q_{k}} = 4^{2} - (k - 4)^{2}

。

k = 1, 2, \dots, 7

依序得

7

、

12 = 23

、

15

、

4

、

15

、

23

、

7

。選項中只有

23

和

4

出現；

22 = 8

、

10

、

14

都不在裡面。

\overline{P_{4} Q_{4}}

就是半徑，長度

4

；其餘六條左右對稱，兩兩等長。

第 5 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：兩邊都是正數，比平方。左邊平方

5 + 8 + 410 = 13 + 160

，右邊平方

6 + 7 + 242 = 13 + 168

，左邊比較小。(2) 錯：兩邊同乘以

35

，左邊

5 (42 + 33) = 202 + 153

，右邊

7 (22 + 33) = 142 + 213

，左減右

= 62 - 63 < 0

，左邊比較小。(3) 對：由算幾不等式

\frac{5 ^{6} + 7 ^{6}}{2} \geq 5^{6} \cdot 7^{6} = 5^{3} \cdot 7^{3} = 3 5^{3}

，等號要

5^{6} = 7^{6}

才成立，這裡不相等，所以是

>

。(4) 對：兩邊同取

21

次方，左邊

2^{7} = 128

，右邊

5^{3} = 125

，

128 > 125

。(5) 對：

1 0^{l o g 2025} = 2025

，

(\frac{1}{2})^{- 10} = 2^{10} = 1024

，

2025 > 1024

。

(2) 的兩個數都是

2

和

3

之間的分點：左邊離

2

比較近（比例

3 : 4

），右邊離

3

比較近（比例

3 : 2

），所以右邊大。(4) 的

21

是

3

和

7

的最小公倍數。

第 6 題答案 (1)(4)(5)。

t

小時後，

A

的數量是

a \cdot 2^{\frac{t}{2}}

，

B

的數量是

b \cdot 4^{\frac{t}{3}} = b \cdot 2^{\frac{2 t}{3}}

。

t = 6

時

8 a = 16 b

，所以

a = 2 b

。(1) 對：

a : b = 2 : 1

。(2)(3) 錯：

t = 3

時

A

是

a \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2 b \cdot 22 = 42 b

，

B

是

4 b

，

A

是

B

的

2

倍，不是

1.5

倍，也不是

\frac{2}{2}

倍。(4) 對：

t = 15

時

A

是

2 b \cdot 2^{7.5} = 2^{8.5} b

，

B

是

2^{10} b

，

B

是

A

的

2^{1.5} = 22 \approx 2.83

倍，超過

2

倍。(5) 對：

t = 18

時

A

是

2 b \cdot 2^{9} = 1024 b

，

B

是

2^{12} b = 4096 b

，總量

5120 b

；一開始總量

a + b = 3 b

，

\frac{5120}{3} \approx 1707 > 1000

。

「每

2

小時變

2

倍」經過

t

小時是乘以

2^{\frac{t}{2}}

，

t = 3

時次方是

\frac{3}{2}

，不是整數也照樣算。

比較大小時，根式比平方、分數指數取公倍數次方、分數同乘分母，把兩邊都化成可以直接比的整數或同型的根式。

03填充第 7～11 題（本頁第 7～12 題）：分點、指數與根式的化簡

第 7 題設

P (x)

，

\overline{P A} = ∣ x + 3∣

、

\overline{P B} = ∣ x - 5∣

，條件是

3∣ x + 3∣ = ∣ x - 5∣

。

3 (x + 3) = x - 5

得

x = - 7

；

3 (x + 3) = - (x - 5)

得

x = - 1

。兩點是

- 7

和

- 1

，距離

\overline{P_{1} P_{2}} = ∣ - 1 - (- 7) ∣ = 6

。

x = - 1

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{P A} = 2

、

\overline{P B} = 6

），

x = - 7

是外分點（

\overline{P A} = 4

、

\overline{P B} = 12

）。

第 8 題全部化成

2

的次方。

3 4^{(3 + 2)} = 4^{\frac{3 + 2}{6}} = 2^{\frac{3 + 2}{3}}

；

6 2^{(3 - 22)} = 2^{\frac{3 - 2 2}{6}}

。相乘時指數相加：

\frac{3 + 2}{3} + \frac{3 - 2 2}{6} = \frac{6 + 2 2 + 3 - 2 2}{6} = \frac{3}{2}

。所以原式

= 2^{\frac{3}{2}} = 22

。

先開平方再開三次方，合起來是

\frac{1}{6}

次方；指數裡的

2

通分後剛好消掉。

第 9 題

lo g 1 = 0

，

lo g 1000 = lo g 1 0^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}

，

lo g 100 = 2

，

lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。原式

= 0 \times \frac{3}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = 1

。

第 10 題

3 < 11 < 4

，所以

5 < 2 + 11 < 6

，整數部分是

5

，小數部分

b = 2 + 11 - 5 = 11 - 3

。移項得

b + 3 = 11

，兩邊平方：

b^{2} + 6 b + 9 = 11

，所以

b^{2} + 6 b = 2

。

把

b + 3 = 11

整個平方，比把

b = 11 - 3

代進去展開省事。

第 11 題設

x = 0.1 \overline{5} = 0.1555 \dots

，則

10 x = 1.555 \dots

、

100 x = 15.555 \dots

，相減得

90 x = 14

，

x = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}

。所以原式

= \frac{7}{45} + \frac{7}{45} = \frac{14}{45}

。

循環節只有

5

，前面的

1

不循環，所以用

100 x - 10 x

把循環的部分消掉。

第 12 題

720 = 2180

，所以原式

= 28 - 2180

。找兩數和

28

、積

180

：

18

和

10

。

28 - 2180 = 18 - 10 = 32 - 10

。

裡面的根號前面要先湊出

2

；結果要寫大減小（

18 - 10 > 0

）。

04填充第 12～14 題（本頁第 13～17 題）：位數、科學記號與指數式求值

第 13 題

240 < 240.198 < 241

，所以

1 0^{240} < 12 8^{114} < 1 0^{241}

。

1 0^{240}

是最小的

241

位數，

1 0^{241}

是最小的

242

位數，所以

12 8^{114}

的整數部分是

241

位數。

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

的整數部分是

n + 1

位數，指數的整數部分要加

1

。題目給的近似值來自

12 8^{114} = 2^{798}

，

798 \times 0.3010 = 240.198

。

第 14 題(1)

lo g a = 10

表示

a = 1 0^{10}

，

lo g b = 13

表示

b = 1 0^{13}

。

\frac{b}{a} = \frac{1 0 ^{13}}{1 0 ^{10}} = 1 0^{3} = 1000

，

b

是

a

的

1000

倍。

log 值差

3

，本數差

1 0^{3}

倍，不是

3

倍，也不是

\frac{13}{10}

倍。

第 15 題(2)

3 a + 2 b = 3 \times 1 0^{10} + 2 \times 1 0^{13}

。把

3 \times 1 0^{10}

改寫成

0.003 \times 1 0^{13}

，相加得

2.003 \times 1 0^{13}

。

次方不同不能直接把係數相加，要先化成同一個次方；科學記號的係數要在

1

和

10

之間。

第 16 題(1)

1 8^{x} = 6^{x} \cdot 3^{x}

，

1 2^{x} = 6^{x} \cdot 2^{x}

，所以

1 8^{x} + 1 2^{x} = 6^{x} (3^{x} + 2^{x}) = 6^{x} \cdot a

。條件是

6^{x} \cdot a = 5 a

，而

a = 3^{x} + 2^{x} > 0

，兩邊除以

a

得

6^{x} = 5

。

第 17 題(2)

2 7^{x} = (3^{x})^{3}

，

8^{x} = (2^{x})^{3}

。用

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，其中

p = 3^{x}

、

q = 2^{x}

，

p + q = a

，

pq = 6^{x} = 5

。所以

2 7^{x} + 8^{x} = a^{3} - 3 \times 5 \times a = a^{3} - 15 a

。

3^{x} \cdot 2^{x} = 6^{x}

，第 (1) 格算出的

5

就是這裡的

pq

。

指數式求值先找出「和」與「積」（這裡是

3^{x} + 2^{x} = a

、

3^{x} \cdot 2^{x} = 5

），再用乘法公式把所求改寫成和與積。

05混合題（本頁第 18～20 題，原卷第 15～17 題）：圍欄柱與算幾不等式

第 18 題答案 (3)。圍成一圈時，每支柱子拉出一條欄帶扣到下一支，

60

支柱子就有

60

條欄帶。每條最長

2

公尺，所以周長最大是

60 \times 2 = 120

公尺。這個長度圍得出長方形，例如長

40

公尺（

20

條）、寬

20

公尺（

10

條）。

圍成封閉的一圈時，柱子的支數和欄帶的條數相同。流傳版本題組敘述印作「連接再一起」，依文意應為「連接在一起」。

第 19 題不夠用。

60

支最多圍出周長

120

公尺，所以

2 (x + y) \leq 120

，

x + y \leq 60

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

，得

x y \leq \frac{x + y}{2} \leq 30

，兩邊平方

x y \leq 900

。面積最大只有

900

平方公尺（

x = y = 30

時），小於

1000

平方公尺，所以目前的

60

支不夠用。

算幾不等式在這裡的用法是「和固定（或有上限）時，積有最大值」，等號在

x = y

時成立。

第 20 題至少需再補

4

支。面積要

x y \geq 1000

。用

n

支柱子時周長最多

2 n

公尺，所以

x + y \leq n

，由算幾不等式

x y \leq (\frac{x + y}{2})^{2} \leq \frac{n ^{2}}{4}

。

n = 63

時

\frac{6 3 ^{2}}{4} = 992.25 < 1000

，不夠；

n = 64

時可以每邊

16

條欄帶、圍成邊長

32

公尺的正方形，面積

1024 \geq 1000

，夠用（也可以圍成長

34

公尺、寬

30

公尺，面積

1020

）。所以至少要

64

支，需再補

64 - 60 = 4

支。

也可以從周長看：

2 (x + y) \geq 4 x y \geq 41000 = 4010 \approx 126.5

公尺，欄帶至少要

64

條（

63

條只有

126

公尺）。要兩邊都檢查：

63

支不夠、

64

支真的圍得出來。

兩個正數的和固定時，積在兩數相等時最大；積固定時，和在兩數相等時最小。周長與面積的問題兩個方向都會用到。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

中山女高 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

中山女高 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題不等式右邊含 x，要分段討論再把每一段的結果和前提取交集，答案是全部實數；第 6 題要先由六小時後數量相等求出 a 是 b 的兩倍，三小時的次方是二分之三；填充第 14 題第 (2) 格要用立方和公式並代入第 (1) 格的結果；混合題最後一小題要先用算幾不等式求出需要的周長，再換算成支數並檢查 63 支不夠、64 支夠。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自中山女高 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數）

中山女高 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題 11 格（51 分）、混合題 1 題組 3 小題（10 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 90 分）　一、單選題（占 15 分）　說明：第 1 題至第 3 題，每題 5 分。

研究指出人體對鹹味的感知是壓縮型，即當食物中鹽的濃度增加為原本的

10

倍，我們感知到的鹹味強度大約增加為原本的

1 0^{0.8}

倍。依據考卷上方所給的參考數據，請問

1 0^{0.8}

介於下列哪個區間內？（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 4 \approx 0.6020

、

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7781

、

lo g 7 \approx 0.8451

、

lo g 8 \approx 0.9030

、

lo g 9 \approx 0.9542

）

(1) $(7, 8)$
(2) $(6, 7)$
(3) $(5, 6)$
(4) $(4, 5)$
(5) 條件不足，無法判斷

已知不等式

∣ a x + 10∣ \geq b

的解為「

x \leq 2

或

x \geq 8

」，則

a + b

的值為下列何者？

(1) $- 8$
(2) $- 4$
(3) $4$
(4) $8$
(5) 以上皆非

不等式

∣2 x - 4∣ > x - 3

的解為下列何者？

(1) $1 < x < \frac{7}{3}$
(2) $x < 1$ 或 $x > \frac{7}{3}$
(3) $x > 2$
(4) 無實數解
(5) 全實數解

二、多選題（占 24 分）　說明：第 4 題至第 6 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

圖為一個半圓形紙片，其中

\overline{A B}

為直徑長

8

單位，點

P_{1}

、

P_{2}

、

P_{3}

、…、

P_{7}

將直徑

8

等分。過這些等分點做垂直於直徑

\overline{A B}

的線段

\overline{P_{1} Q_{1}}

、

\overline{P_{2} Q_{2}}

、

\overline{P_{3} Q_{3}}

、…、

\overline{P_{7} Q_{7}}

，點

Q_{1}

、

Q_{2}

、

Q_{3}

、…、

Q_{7}

在圓周上。請問下列何者可能為這

7

個線段的長度？

(1) $22$
(2) $10$
(3) $23$
(4) $14$
(5) $4$

載入中...

下列敘述何者正確？

(1) $5 + 22 > 6 + 7$
(2) $\frac{4 2 + 3 3}{7} > \frac{2 2 + 3 3}{5}$
(3) $\frac{5 ^{6} + 7 ^{6}}{2} > 3 5^{3}$
(4) $2^{\frac{1}{3}} > 5^{\frac{1}{7}}$
(5) $1 0^{l o g 2025} > (\frac{1}{2})^{- 10}$

細菌培養實驗中，已知

A

細菌每

2

小時數量會增為原來的

2

倍，

B

細菌每

3

小時數量會增為原來的

4

倍。已知，一開始

A

細菌的數量為

a

、

B

細菌的數量為

b

且實驗同時開始後

6

個小時，測得兩細菌數量相等。請問下列敘述何者正確？

(1) $a : b = 2 : 1$
(2) 實驗開始後 $3$ 小時， $A$ 細菌的數量剛好是 $B$ 細菌數量的 $1.5$ 倍
(3) 實驗開始後 $3$ 小時， $A$ 細菌的數量剛好是 $B$ 細菌數量的 $\frac{2}{2}$ 倍
(4) 實驗開始後 $15$ 小時， $B$ 細菌數量超過 $A$ 細菌的數量的 $2$ 倍
(5) 實驗開始後 $18$ 小時， $A$ 、 $B$ 兩細菌的總量超過一開始兩細菌總量的 $1000$ 倍

數線上有兩點

A (- 3)

、

B (5)

，另有一點

P

滿足

\overline{P A} : \overline{P B} = 1 : 3

。已知符合上述條件的點

P

有兩個

P_{1}

、

P_{2}

，則線段

\overline{P_{1} P_{2}}

的長 ____。

填充第 8 題（第 8～9 題）　化簡下列各式：

(1)

3 4^{(3 + 2)} \cdot 6 2^{(3 - 22)} =

____。

(2)

lo g 1 \times lo g 1000 + lo g 100 \times lo g 10 =

____。

設

2 + 11

的小數部分為

b

。則

b^{2} + 6 b =

____。

化簡

0.1 \overline{5} + \frac{7}{45} =

____。

化簡

28 - 720 =

____。

已知

12 8^{114} \approx 1 0^{240.198}

，則

12 8^{114}

的整數部分是 ____ 位數。

填充第 13 題（第 14～15 題）　已知

a

、

b

為兩正數，且

lo g a = 10

、

lo g b = 13

。

則 (1)

b

是

a

的 ____ 倍。

(2)

3 a + 2 b

表示成科學記號為 ____。

填充第 14 題（第 16～17 題）　已知

3^{x} + 2^{x} = a

、

1 8^{x} + 1 2^{x} = 5 a

，請回答下列各題：

(1)

6^{x} =

____。

(2)

2 7^{x} + 8^{x} =

____。（以

a

表示）

混合題（原卷第 15－17 題組）（第 18～20 題）　一般市售的不鏽鋼伸縮圍欄柱可拉出

2

公尺長的欄帶（圖一），欄帶拉出後可扣在另一個圍欄柱上，多個圍欄柱連接在一起可作為區域劃分（圖二）或動線引導用。中山活動公司倉庫中共有

60

支不鏽鋼伸縮圍欄柱，請回答下列問題：

若將

60

支不鏽鋼伸縮圍欄柱圍成一個長方形，則此長方形的最大周長為多少公尺？（單選題，2 分）

(1) $60$ 公尺
(2) $90$ 公尺
(3) $120$ 公尺
(4) $150$ 公尺

載入中...

活動公司想用不鏽鋼伸縮圍欄柱圍成一個長方形的活動區域，其面積至少要

1000

平方公尺。設此長方形的長為

x

公尺、寬為

y

公尺，請利用算幾不等式說明目前倉庫中的不鏽鋼圍欄柱是否夠用？詳述理由？（非選擇題，6 分）

承 16 題，若夠用，「只」需要多少支不鏽鋼伸縮圍欄柱即可圍成面積要

1000

平方公尺的長方形？若不夠用，則至少需「再」補多少支不鏽鋼伸縮圍欄柱才夠？請說明理由。（非選擇題，2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(5)

第 4 題(3)(5)

第 5 題(3)(4)(5)

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題

6

第 8 題

22

第 9 題

1

第 10 題

2

第 11 題

\frac{14}{45}

第 12 題

32 - 10

第 13 題

241

第 14 題

1000

第 15 題

2.003 \times 1 0^{13}

第 16 題

5

第 17 題

a^{3} - 15 a

第 18 題(3)

第 19 題不夠用；

60

支最多圍出周長

120

公尺，這時面積最大只有

900

平方公尺，小於

1000

平方公尺

第 20 題至少需再補

4

支（共

64

支）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：對數估值與絕對值不等式

第 1 題答案 (2)。要知道

1 0^{0.8}

在哪兩個整數之間，就看

0.8

夾在哪兩個 log 值之間。參考數據裡

lo g 6 \approx 0.7781 < 0.8 < 0.8451 \approx lo g 7

，而

6 = 1 0^{l o g 6}

、

7 = 1 0^{l o g 7}

，指數越大、

10

的次方越大，所以

6 < 1 0^{0.8} < 7

。

lo g 6 \approx 0.7781

的意思是

1 0^{0.7781} \approx 6

，把參考數據都讀成「

10

的幾次方」就能直接比。流傳版本題幹印作「我們敢知道的鹹味強度」，依文意應為「感知到的」。

第 2 題答案 (3)。解「

x \leq 2

或

x \geq 8

」的兩個端點中點是

5

、到中點的距離是

3

，所以它就是

∣ x - 5∣ \geq 3

。兩邊乘以

2

：

∣2 x - 10∣ \geq 6

，也就是

∣ - 2 x + 10∣ \geq 6

。和

∣ a x + 10∣ \geq b

對照，常數項要是

+ 10

，所以

a = - 2

、

b = 6

，

a + b = 4

。驗算：

∣ - 2 x + 10∣ \geq 6

即

- 2 x + 10 \geq 6

或

- 2 x + 10 \leq - 6

，得

x \leq 2

或

x \geq 8

。

∣2 x - 10∣

和

∣ - 2 x + 10∣

相等，要配合題目的「

+ 10

」選後者，

a

是負的。

第 3 題答案 (5)。右邊是

x - 3

不是常數，分段去絕對值。當

x \geq 2

時，

2 x - 4 > x - 3

，得

x > 1

；和

x \geq 2

取共同部分，

x \geq 2

的數全部滿足。當

x < 2

時，

- (2 x - 4) > x - 3

，

7 > 3 x

，得

x < \frac{7}{3}

；和

x < 2

取共同部分，

x < 2

的數全部滿足。兩段合起來是全部實數。

每一段解出來的範圍要和那一段的前提取交集，最後兩段再取聯集。另一個看法：

x < 3

時右邊是負的、左邊不小於

0

，一定成立；

x \geq 3

時

2 x - 4 > x - 3

即

x > 1

，也成立。

02多選 4～6：半圓內的線段、大小比較、指數成長

第 4 題答案 (3)(5)。圓心

O

是直徑的中點，也就是

P_{4}

，半徑是

4

。

P_{k}

到

A

的距離是

k

，所以

\overline{O P_{k}} = ∣ k - 4∣

。連

\overline{O Q_{k}}

（長度是半徑

4

），直角三角形

O P_{k} Q_{k}

中

\overline{P_{k} Q_{k}} = 4^{2} - (k - 4)^{2}

。

k = 1, 2, \dots, 7

依序得

7

、

12 = 23

、

15

、

4

、

15

、

23

、

7

。選項中只有

23

和

4

出現；

22 = 8

、

10

、

14

都不在裡面。

\overline{P_{4} Q_{4}}

就是半徑，長度

4

；其餘六條左右對稱，兩兩等長。

第 5 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：兩邊都是正數，比平方。左邊平方

5 + 8 + 410 = 13 + 160

，右邊平方

6 + 7 + 242 = 13 + 168

，左邊比較小。(2) 錯：兩邊同乘以

35

，左邊

5 (42 + 33) = 202 + 153

，右邊

7 (22 + 33) = 142 + 213

，左減右

= 62 - 63 < 0

，左邊比較小。(3) 對：由算幾不等式

\frac{5 ^{6} + 7 ^{6}}{2} \geq 5^{6} \cdot 7^{6} = 5^{3} \cdot 7^{3} = 3 5^{3}

，等號要

5^{6} = 7^{6}

才成立，這裡不相等，所以是

>

。(4) 對：兩邊同取

21

次方，左邊

2^{7} = 128

，右邊

5^{3} = 125

，

128 > 125

。(5) 對：

1 0^{l o g 2025} = 2025

，

(\frac{1}{2})^{- 10} = 2^{10} = 1024

，

2025 > 1024

。

(2) 的兩個數都是

2

和

3

之間的分點：左邊離

2

比較近（比例

3 : 4

），右邊離

3

比較近（比例

3 : 2

），所以右邊大。(4) 的

21

是

3

和

7

的最小公倍數。

第 6 題答案 (1)(4)(5)。

t

小時後，

A

的數量是

a \cdot 2^{\frac{t}{2}}

，

B

的數量是

b \cdot 4^{\frac{t}{3}} = b \cdot 2^{\frac{2 t}{3}}

。

t = 6

時

8 a = 16 b

，所以

a = 2 b

。(1) 對：

a : b = 2 : 1

。(2)(3) 錯：

t = 3

時

A

是

a \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2 b \cdot 22 = 42 b

，

B

是

4 b

，

A

是

B

的

2

倍，不是

1.5

倍，也不是

\frac{2}{2}

倍。(4) 對：

t = 15

時

A

是

2 b \cdot 2^{7.5} = 2^{8.5} b

，

B

是

2^{10} b

，

B

是

A

的

2^{1.5} = 22 \approx 2.83

倍，超過

2

倍。(5) 對：

t = 18

時

A

是

2 b \cdot 2^{9} = 1024 b

，

B

是

2^{12} b = 4096 b

，總量

5120 b

；一開始總量

a + b = 3 b

，

\frac{5120}{3} \approx 1707 > 1000

。

「每

2

小時變

2

倍」經過

t

小時是乘以

2^{\frac{t}{2}}

，

t = 3

時次方是

\frac{3}{2}

，不是整數也照樣算。

比較大小時，根式比平方、分數指數取公倍數次方、分數同乘分母，把兩邊都化成可以直接比的整數或同型的根式。

03填充第 7～11 題（本頁第 7～12 題）：分點、指數與根式的化簡

第 7 題設

P (x)

，

\overline{P A} = ∣ x + 3∣

、

\overline{P B} = ∣ x - 5∣

，條件是

3∣ x + 3∣ = ∣ x - 5∣

。

3 (x + 3) = x - 5

得

x = - 7

；

3 (x + 3) = - (x - 5)

得

x = - 1

。兩點是

- 7

和

- 1

，距離

\overline{P_{1} P_{2}} = ∣ - 1 - (- 7) ∣ = 6

。

x = - 1

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{P A} = 2

、

\overline{P B} = 6

），

x = - 7

是外分點（

\overline{P A} = 4

、

\overline{P B} = 12

）。

第 8 題全部化成

2

的次方。

3 4^{(3 + 2)} = 4^{\frac{3 + 2}{6}} = 2^{\frac{3 + 2}{3}}

；

6 2^{(3 - 22)} = 2^{\frac{3 - 2 2}{6}}

。相乘時指數相加：

\frac{3 + 2}{3} + \frac{3 - 2 2}{6} = \frac{6 + 2 2 + 3 - 2 2}{6} = \frac{3}{2}

。所以原式

= 2^{\frac{3}{2}} = 22

。

先開平方再開三次方，合起來是

\frac{1}{6}

次方；指數裡的

2

通分後剛好消掉。

第 9 題

lo g 1 = 0

，

lo g 1000 = lo g 1 0^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}

，

lo g 100 = 2

，

lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。原式

= 0 \times \frac{3}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = 1

。

第 10 題

3 < 11 < 4

，所以

5 < 2 + 11 < 6

，整數部分是

5

，小數部分

b = 2 + 11 - 5 = 11 - 3

。移項得

b + 3 = 11

，兩邊平方：

b^{2} + 6 b + 9 = 11

，所以

b^{2} + 6 b = 2

。

把

b + 3 = 11

整個平方，比把

b = 11 - 3

代進去展開省事。

第 11 題設

x = 0.1 \overline{5} = 0.1555 \dots

，則

10 x = 1.555 \dots

、

100 x = 15.555 \dots

，相減得

90 x = 14

，

x = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}

。所以原式

= \frac{7}{45} + \frac{7}{45} = \frac{14}{45}

。

循環節只有

5

，前面的

1

不循環，所以用

100 x - 10 x

把循環的部分消掉。

第 12 題

720 = 2180

，所以原式

= 28 - 2180

。找兩數和

28

、積

180

：

18

和

10

。

28 - 2180 = 18 - 10 = 32 - 10

。

裡面的根號前面要先湊出

2

；結果要寫大減小（

18 - 10 > 0

）。

04填充第 12～14 題（本頁第 13～17 題）：位數、科學記號與指數式求值

第 13 題

240 < 240.198 < 241

，所以

1 0^{240} < 12 8^{114} < 1 0^{241}

。

1 0^{240}

是最小的

241

位數，

1 0^{241}

是最小的

242

位數，所以

12 8^{114}

的整數部分是

241

位數。

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

的整數部分是

n + 1

位數，指數的整數部分要加

1

。題目給的近似值來自

12 8^{114} = 2^{798}

，

798 \times 0.3010 = 240.198

。

第 14 題(1)

lo g a = 10

表示

a = 1 0^{10}

，

lo g b = 13

表示

b = 1 0^{13}

。

\frac{b}{a} = \frac{1 0 ^{13}}{1 0 ^{10}} = 1 0^{3} = 1000

，

b

是

a

的

1000

倍。

log 值差

3

，本數差

1 0^{3}

倍，不是

3

倍，也不是

\frac{13}{10}

倍。

第 15 題(2)

3 a + 2 b = 3 \times 1 0^{10} + 2 \times 1 0^{13}

。把

3 \times 1 0^{10}

改寫成

0.003 \times 1 0^{13}

，相加得

2.003 \times 1 0^{13}

。

次方不同不能直接把係數相加，要先化成同一個次方；科學記號的係數要在

1

和

10

之間。

第 16 題(1)

1 8^{x} = 6^{x} \cdot 3^{x}

，

1 2^{x} = 6^{x} \cdot 2^{x}

，所以

1 8^{x} + 1 2^{x} = 6^{x} (3^{x} + 2^{x}) = 6^{x} \cdot a

。條件是

6^{x} \cdot a = 5 a

，而

a = 3^{x} + 2^{x} > 0

，兩邊除以

a

得

6^{x} = 5

。

第 17 題(2)

2 7^{x} = (3^{x})^{3}

，

8^{x} = (2^{x})^{3}

。用

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，其中

p = 3^{x}

、

q = 2^{x}

，

p + q = a

，

pq = 6^{x} = 5

。所以

2 7^{x} + 8^{x} = a^{3} - 3 \times 5 \times a = a^{3} - 15 a

。

3^{x} \cdot 2^{x} = 6^{x}

，第 (1) 格算出的

5

就是這裡的

pq

。

指數式求值先找出「和」與「積」（這裡是

3^{x} + 2^{x} = a

、

3^{x} \cdot 2^{x} = 5

），再用乘法公式把所求改寫成和與積。

05混合題（本頁第 18～20 題，原卷第 15～17 題）：圍欄柱與算幾不等式

第 18 題答案 (3)。圍成一圈時，每支柱子拉出一條欄帶扣到下一支，

60

支柱子就有

60

條欄帶。每條最長

2

公尺，所以周長最大是

60 \times 2 = 120

公尺。這個長度圍得出長方形，例如長

40

公尺（

20

條）、寬

20

公尺（

10

條）。

圍成封閉的一圈時，柱子的支數和欄帶的條數相同。流傳版本題組敘述印作「連接再一起」，依文意應為「連接在一起」。

第 19 題不夠用。

60

支最多圍出周長

120

公尺，所以

2 (x + y) \leq 120

，

x + y \leq 60

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

，得

x y \leq \frac{x + y}{2} \leq 30

，兩邊平方

x y \leq 900

。面積最大只有

900

平方公尺（

x = y = 30

時），小於

1000

平方公尺，所以目前的

60

支不夠用。

算幾不等式在這裡的用法是「和固定（或有上限）時，積有最大值」，等號在

x = y

時成立。

第 20 題至少需再補

4

支。面積要

x y \geq 1000

。用

n

支柱子時周長最多

2 n

公尺，所以

x + y \leq n

，由算幾不等式

x y \leq (\frac{x + y}{2})^{2} \leq \frac{n ^{2}}{4}

。

n = 63

時

\frac{6 3 ^{2}}{4} = 992.25 < 1000

，不夠；

n = 64

時可以每邊

16

條欄帶、圍成邊長

32

公尺的正方形，面積

1024 \geq 1000

，夠用（也可以圍成長

34

公尺、寬

30

公尺，面積

1020

）。所以至少要

64

支，需再補

64 - 60 = 4

支。

也可以從周長看：

2 (x + y) \geq 4 x y \geq 41000 = 4010 \approx 126.5

公尺，欄帶至少要

64

條（

63

條只有

126

公尺）。要兩邊都檢查：

63

支不夠、

64

支真的圍得出來。

兩個正數的和固定時，積在兩數相等時最大；積固定時，和在兩數相等時最小。周長與面積的問題兩個方向都會用到。

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03填充第 7～11 題（本頁第 7～12 題）：分點、指數與根式的化簡

04填充第 12～14 題（本頁第 13～17 題）：位數、科學記號與指數式求值

05混合題（本頁第 18～20 題，原卷第 15～17 題）：圍欄柱與算幾不等式

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