段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數與根式、絕對值、乘法公式、算幾不等式、指數、常用對數、斜率與直線方程式、分點坐標）

福誠高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 6 題（24 分）、多重選擇題 4 題（20 分）、填充題 10 題（60 分）；卷面所印配分相加為 104 分

一、單選題（一題 4 分，共 24 分）

下列何者為不等式

3 < ∣8 - x ∣ \leq 6

的解？

(A) $0$
(B) $8$
(C) $5$
(D) $4$
(E) $6$

下列數字何者最大？

(A) $(- 5)^{2}$
(B) $- 5^{2}$
(C) $(\frac{1}{5})^{- 3}$
(D) $5^{- 3}$
(E) $5^{2}$

設

a

、

b

為正數，且

a + 3 b = 12

，當

ab

有最大值時，

a

、

b

之值為何？

(A) $a = 3$ ， $b = 3$
(B) $a = 6$ ， $b = 2$
(C) $a = 9$ ， $b = 1$
(D) $a = 10$ ， $b = \frac{2}{3}$
(E) $a = 4$ ， $b = 8$

已知

lo g 2 = 0.3010

、

lo g 3 = 0.4771

，若實數

a = 1 0^{1.35}

，則下列何者正確？

(A) $2 < a < 3$
(B) $300 < a < 400$
(C) $200 < a < 300$
(D) $10 < a < 20$
(E) $20 < a < 30$

已知

3^{100} \approx 0.05137752 \times 1 0^{49}

，試問

3^{100}

整數部分是幾位數？

(A) $51$
(B) $50$
(C) $49$
(D) $48$
(E) $47$

在

x y

坐標平面上，已知直線

L

：

3 x + 4 y = 5

，下列哪一點坐標在直線

L

的圖形上？

(A) $(\frac{5}{4}, 0)$
(B) $(15, - 11)$
(C) $(3 + a, 3 - a)$
(D) $(1 + 4 a, 1 - 3 a)$
(E) $(15 + 4 a, - 10 - 3 a)$

二、多重選擇題（一題 5 分，共 20 分，錯一個選項扣 2 分）（本頁第 7～10 題依序為卷面多重選擇題第 1～4 題）

已知

a

、

b

、

c

、

d

為實數，下列敘述哪些正確？

(A) $2. \overline{34}$ 為有理數
(B) $2 + 3$ 為無理數
(C) $3^{\frac{1}{3}}$ 為無理數
(D) 數線上 $A (a)$ 、 $B (b)$ 兩點的距離為 $b - a$
(E) $a + 3 b = c + 3 d$ ，則 $a = c$ 、 $b = d$

下列敘述哪些正確？

(A) $(2 a - 3 b)^{2} = 4 a^{2} - 12 ab + 9 b^{2}$
(B) $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(C) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = x + \frac{1}{x}$
(D) $\frac{a + b}{2} \geq ab$
(E) 若 $a^{2} > b^{2}$ ，則 $∣ a ∣ > ∣ b ∣$

下列敘述哪些正確？

(A) $lo g 10 = \frac{1}{10}$
(B) $32 = 2^{\frac{1}{5}}$
(C) 若 $lo g 5 = 0.6990$ ，且 $lo g a = - 1.3010$ ，則 $a = 0.05$
(D) $lo g a = 3.6$ ，則 $a$ 為 $4$ 位數
(E) $lo g (lo g a) = 2$ ，則 $a$ 為 $101$ 位數

在

x y

平面，下列敘述哪些正確？

(A) 直線 $3 x + 2 y = 4$ 與 $3 x - 2 y = 4$ 垂直
(B) $3 x + 2 y + 6 = 0$ 與 $x$ 軸截距為 $- 2$
(C) 過點 $(- 1, 3)$ 、 $(2, 5)$ 之直線斜率為 $\frac{2}{3}$
(D) $3 x + 2 y + 6 = 0$ 與兩軸所圍成面積為 $6$
(E) 直線 $x + 2 = 0$ 之斜率為 $0$

三、填充題（一題 6 分，共 60 分）（本頁第 11～20 題依序為卷面填充題第 1～10 題）

將

\frac{1}{13}

化為小數，則小數點後第

30

位數字為何？

已知

x > 7

且滿足

∣ x + 5∣ - 3∣ x - 7∣ = 0

，求

x

之值。

設

a

、

b

為實數，且滿足

a - b = 5

，

ab = 6

，試求

a^{2} + b^{2}

之值。

若

16 - 67 = a + b

，其中

a

為整數，

0 < b < 1

，試求

b + \frac{2}{b}

之值。

請利用

lo g 7 \approx 0.8451

，求

7^{50}

為幾位數。

求過

A (3, 4)

且與直線

4 x - 3 y = 2025

平行的直線方程式。（將所求直線寫成

a x + b y + c = 0

形式）

設

A (1, - 1)

、

B (- 5, 3)

為平面上相異兩點，

P

為

\overline{A B}

上一點，且滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 3

，試求

P

點坐標。

考慮坐標平面上的直線

L

：

5 y + (2 k - 4) x - 10 k = 0

（其中

k

為常數）以及長方形

O A B C

，其中頂點坐標為

O (0, 0)

、

A (10, 0)

、

B (10, 6)

、

C (0, 6)

。設直線

L

分別交

\overline{O C}

於

D

，交

\overline{A B}

於

E

。求四邊形

O A E D

面積。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，求

1 0^{3 a - 2 b}

之值。

計算

(2 - 3)^{5} (2 + 3)^{5} + lo g \frac{10}{1000} + 9^{- \frac{4}{3}} \times (\frac{4}{81})^{- 0.25} \times \frac{27 \cdot 3 3}{2}

之值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(B)

第 4 題(E)

第 5 題(D)

第 6 題(E)

第 7 題(A)(B)(C)

第 8 題(A)(E)

第 9 題(C)(D)(E)

第 10 題(B)(C)

第 11 題

3

第 12 題

13

第 13 題

37

第 14 題

6

第 15 題

43

第 16 題

4 x - 3 y = 0

第 17 題

(- \frac{1}{2}, 0)

第 18 題

40

第 19 題

\frac{8}{9}

第 20 題

- 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

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01單選 1～6：絕對值、指數比大小、算幾不等式、位數與直線上的點

第 1 題答案 (D)。把五個數逐一代入

∣8 - x ∣

：

x = 0

得

8

，

x = 8

得

0

，

x = 5

得

3

，

x = 4

得

4

，

x = 6

得

2

。要同時滿足「大於

3

」且「不超過

6

」的只有

4

。也可以直接解：

3 < ∣ x - 8∣ \leq 6

即

3 < x - 8 \leq 6

或

- 6 \leq x - 8 < - 3

，得

11 < x \leq 14

或

2 \leq x < 5

，選項中只有

4

在範圍內。

左邊是嚴格的

3 <

，所以

x = 5

（

∣8 - 5∣ = 3

）不算。

第 2 題答案 (C)。逐一算：(A)

(- 5)^{2} = 25

；(B)

- 5^{2} = - 25

；(C)

(\frac{1}{5})^{- 3} = 5^{3} = 125

；(D)

5^{- 3} = \frac{1}{125}

；(E)

1 < 2 < 2

，所以

5 < 5^{2} < 25

。最大的是 (C)。

- 5^{2}

是先平方再加負號；

(- 5)^{2}

才是把

- 5

平方。

第 3 題答案 (B)。

a

、

3 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{a + 3 b}{2} \geq a \cdot 3 b

，即

6 \geq 3 ab

，平方得

36 \geq 3 ab

，

ab \leq 12

。等號在

a = 3 b

時成立，配合

a + 3 b = 12

得

a = 6

、

b = 2

，此時

ab = 12

是最大值。

等號成立的條件是「相加的兩項相等」，也就是

a = 3 b

，不是

a = b

。(E)

a = 4

、

b = 8

不滿足

a + 3 b = 12

。

第 4 題答案 (E)。

a = 1 0^{1.35} = 1 0^{1} \times 1 0^{0.35}

。因為

lo g 2 = 0.3010 < 0.35 < 0.4771 = lo g 3

，所以

2 < 1 0^{0.35} < 3

，乘以

10

得

20 < a < 30

。

lo g 2 = 0.3010

的意思是

1 0^{0.3010} = 2

；把指數拆成整數部分和小數部分，小數部分決定首位數字。

第 5 題答案 (D)。把它改寫成科學記號：

0.05137752 \times 1 0^{49} = 5.137752 \times 1 0^{47}

。

1 0^{47} \leq 3^{100} < 1 0^{48}

，整數部分是

47 + 1 = 48

位數。

題目給的

0.0513 \dots

不是科學記號的形式（要介於

1

和

10

之間），小數點要先右移兩位、指數減

2

。

第 6 題答案 (E)。把各點代入

3 x + 4 y

：(A)

\frac{15}{4}

；(B)

45 - 44 = 1

；(C)

3 (3 + a) + 4 (3 - a) = 21 - a

；(D)

3 (1 + 4 a) + 4 (1 - 3 a) = 7

；(E)

3 (15 + 4 a) + 4 (- 10 - 3 a) = 45 + 12 a - 40 - 12 a = 5

。只有 (E) 不論

a

是多少都等於

5

。

a = 16

時才在

L

上，不是對所有

a

都成立。(D) 和 (E) 的

a

都會消掉：

x

每增加

4

、

y

就減少

3

，正是沿著

L

的方向移動；(E) 的起點

(15, - 10)

在

L

上，(D) 的起點

(1, 1)

不在。

02多重選擇 1～4（第 7～10 題）：有理數與無理數、乘法公式、對數、直線

第 7 題答案 (A)(B)(C)。(A) 對：循環小數都是有理數，

2. \overline{34} = 2 + \frac{34}{99} = \frac{232}{99}

。(B) 對：若

2 + 3 = r

是有理數，則

3 = r - 2

是有理數，矛盾。(C) 對：

3^{\frac{1}{3}} = 33

。假設它等於最簡分數

\frac{p}{q}

，則

p^{3} = 3 q^{3}

，

p

是

3

的倍數；設

p = 3 m

，得

q^{3} = 9 m^{3}

，

q

也是

3

的倍數，和最簡分數矛盾。(D) 錯：距離是

∣ b - a ∣

，當

a > b

時

b - a

是負的。(E) 錯：

a

、

b

、

c

、

d

只說是實數，例如

a = 3

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 1

，兩邊都等於

3

，但

a \neq = c

。

(E) 的結論要在

a

、

b

、

c

、

d

都是有理數時才成立，題目給的條件是實數。

第 8 題答案 (A)(E)。(A) 對：

(2 a - 3 b)^{2} = (2 a)^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot 3 b + (3 b)^{2} = 4 a^{2} - 12 ab + 9 b^{2}

。(B) 錯：立方和公式是

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

，中間是

- ab

。(C) 錯：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = (x + \frac{1}{x})^{2}

，開根號得

x + \frac{1}{x}

；

x < 0

時（例如

x = - 1

）左邊是

2

、右邊是

- 2

。(D) 錯：沒有說

a

、

b

是正數，例如

a = b = - 1

時左邊是

- 1

、右邊是

1

。(E) 對：

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

、

b^{2} = ∣ b ∣^{2}

，

∣ a ∣

、

∣ b ∣

都不是負數，所以

∣ a ∣^{2} > ∣ b ∣^{2}

可推得

∣ a ∣ > ∣ b ∣

。

A^{2} = ∣ A ∣

；(D) 的算幾不等式要求兩數都是正數（或

0

）。這兩個選項都沒有給這樣的條件，所以不能算恆成立。

第 9 題答案 (C)(D)(E)。(A) 錯：

10 = 1 0^{\frac{1}{2}}

，所以

lo g 10 = \frac{1}{2}

。(B) 錯：

32 = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}}

。(C) 對：

- 1.3010 = - 2 + 0.6990

，所以

a = 1 0^{- 2} \times 1 0^{0.6990} = 1 0^{- 2} \times 5 = 0.05

。(D) 對：

a = 1 0^{3.6}

，

1 0^{3} < a < 1 0^{4}

，整數部分是

4

位數（

a \approx 3981

）。(E) 對：

lo g (lo g a) = 2

表示

lo g a = 1 0^{2} = 100

，所以

a = 1 0^{100}

，是

1

後面

100

個

0

，共

101

位數。

(B) 根號套根號時指數相乘（

\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}

），不是把

2

和

3

相加。(C) 負的對數值要拆成「負整數＋介於

0

和

1

的小數」。

第 10 題答案 (B)(C)。(A) 錯：兩線斜率分別是

- \frac{3}{2}

和

\frac{3}{2}

，相乘是

- \frac{9}{4}

，不是

- 1

，所以不垂直。(B) 對：令

y = 0

，

3 x + 6 = 0

，

x = - 2

。(C) 對：斜率

= \frac{5 - 3}{2 - ( - 1 )} = \frac{2}{3}

。(D) 錯：

x

截距

- 2

、

y

截距

- 3

，和兩軸圍成直角三角形，面積是

\frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3

。(E) 錯：

x + 2 = 0

是鉛直線，沒有斜率；斜率為

0

的是水平線。

(D) 面積要乘

\frac{1}{2}

；(E) 鉛直線「沒有斜率」和水平線「斜率為

0

」不同。

03填充 1～5（第 11～15 題）：循環小數、絕對值、乘法公式、雙重根號、位數

第 11 題用長除法：

\frac{1}{13} = 0. \overline{076923}

，每

6

位循環一次。

30 \div 6 = 5

整除，所以第

30

位是循環節的最後一位（第

6

位），數字是

3

。

整除時對應的是循環節的最後一位，不是第一位。

第 12 題

x > 7

時

x + 5 > 0

、

x - 7 > 0

，絕對值可以直接拿掉：

(x + 5) - 3 (x - 7) = 0

，

- 2 x + 26 = 0

，

x = 13

。

13 > 7

，符合條件。驗算：

∣18∣ - 3∣6∣ = 0

。

如果沒有

x > 7

的條件，

- 5 \leq x \leq 7

時還會得到另一個解

x = 4

。

第 13 題

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

，所以

a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab = 25 + 12 = 37

。

實際上

(a, b) = (6, 1)

或

(- 1, - 6)

，兩組都得

37

。

第 14 題

16 - 67 = 16 - 263

，找兩數和為

16

、積為

63

：

9

和

7

，所以

16 - 67 = 9 - 7 = 3 - 7

。因為

2 < 7 < 3

，

0 < 3 - 7 < 1

，所以整數部分

a = 0

，

b = 3 - 7

。

\frac{2}{b} = \frac{2}{3 - 7} = \frac{2 ( 3 + 7 )}{9 - 7} = 3 + 7

，所以

b + \frac{2}{b} = (3 - 7) + (3 + 7) = 6

。

係數是

6

不是

2

時，先把

67

改寫成

263

再找兩數。

第 15 題

lo g 7^{50}

就是把

7^{50}

寫成

10

的次方時的指數：

7 \approx 1 0^{0.8451}

，所以

7^{50} \approx 1 0^{0.8451 \times 50} = 1 0^{42.255}

。

1 0^{42} < 7^{50} < 1 0^{43}

，是

42 + 1 = 43

位數。

判斷位數：把數寫成

10

的次方，

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

的整數部分是

n + 1

位數。

04填充 6～10（第 16～20 題）：直線方程式、分點、過定點的直線、指對數計算

第 16 題和

4 x - 3 y = 2025

平行的直線可設為

4 x - 3 y = c

。代入

A (3, 4)

：

c = 12 - 12 = 0

。所求為

4 x - 3 y = 0

（已是

a x + b y + c = 0

的形式，

c = 0

）。

平行線的

x

、

y

係數相同，只有常數項不同。這條線通過原點。

第 17 題

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{P B} = 1 : 3

，由分點公式

P = \frac{3 A + 1 B}{1 + 3}

：

x = \frac{3 \times 1 + ( - 5 )}{4} = - \frac{1}{2}

，

y = \frac{3 \times ( - 1 ) + 3}{4} = 0

，所以

P (- \frac{1}{2}, 0)

。驗算：

A

到

P

的位移是

(- \frac{3}{2}, 1)

，

P

到

B

的位移是

(- \frac{9}{2}, 3)

，剛好是

3

倍。

分點公式的係數是交叉乘：靠近

A

，所以

A

的係數是

3

。另一個流傳版本的參考答案寫

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

，但那一點不在直線

A B

上（直線

A B

為

2 x + 3 y + 1 = 0

，代入得

\frac{3}{2} \neq = 0

）；本卷所附簡答為

(- \frac{1}{2}, 0)

，與本站重算一致。

第 18 題

D

在

\overline{O C}

上，

x = 0

：

5 y - 10 k = 0

，

y = 2 k

，所以

D (0, 2 k)

。

E

在

\overline{A B}

上，

x = 10

：

5 y + 10 (2 k - 4) - 10 k = 0

，

5 y = 40 - 10 k

，

y = 8 - 2 k

，所以

E (10, 8 - 2 k)

。四邊形

O A E D

中

\overline{O D}

與

\overline{A E}

都是鉛直線段，互相平行，是梯形：兩底為

2 k

與

8 - 2 k

，高為

\overline{O A} = 10

，面積

= \frac{2 k + ( 8 - 2 k )}{2} \times 10 = 40

。

面積和

k

無關。原因是把方程式依

k

整理成

(5 y - 4 x) + k (2 x - 10) = 0

，不論

k

是多少，直線都通過

(5, 4)

，而它正是

\overline{D E}

的中點，所以兩底的平均永遠是

4

。（要讓

D

、

E

落在兩邊上，

k

需滿足

1 \leq k \leq 3

。）

第 19 題

lo g 2 = a

表示

1 0^{a} = 2

，

lo g 3 = b

表示

1 0^{b} = 3

。

1 0^{3 a - 2 b} = \frac{1 0 ^{3 a}}{1 0 ^{2 b}} = \frac{( 1 0 ^{a} ) ^{3}}{( 1 0 ^{b} ) ^{2}} = \frac{2 ^{3}}{3 ^{2}} = \frac{8}{9}

。

第 20 題分三部分。第一部分：

(2 - 3)^{5} (2 + 3)^{5} = [(2 - 3) (2 + 3)]^{5} = 1^{5} = 1

。第二部分：

\frac{10}{1000} = 1 0^{\frac{1}{2} - 3} = 1 0^{- \frac{5}{2}}

，所以

lo g \frac{10}{1000} = - \frac{5}{2}

。第三部分全部化成

3

和

2

的次方：

9^{- \frac{4}{3}} = 3^{- \frac{8}{3}}

；

(\frac{4}{81})^{- 0.25} = (\frac{81}{4})^{\frac{1}{4}} = \frac{3}{2 ^{\frac{1}{2}}}

；

\frac{27 \cdot 3 3}{2} = (\frac{3 ^{\frac{10}{3}}}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{3 ^{\frac{5}{3}}}{2 ^{\frac{1}{2}}}

。相乘：

3

的指數是

- \frac{8}{3} + 1 + \frac{5}{3} = 0

，分母是

2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2

，得

\frac{1}{2}

。合計

1 - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = - 1

。

另一個流傳版本的參考答案寫

- \frac{1}{2}

，但三部分分別是

1

、

- \frac{5}{2}

、

\frac{1}{2}

，相加是

- 1

（數值計算亦為

- 1

）；本卷所附簡答為

- 1

，與本站重算一致。

指數與對數的計算題先把每一項都化成同一個底數的次方（

10

、

2

、

3

），再用指數律把指數相加減。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

福誠高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

福誠高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題的根號開出來要加絕對值、算幾不等式要有正數的條件，這兩個選項都不算恆成立；多重選擇第 1 題最後一個選項的條件是實數不是有理數；填充第 8 題要先分別求出直線和長方形兩邊的交點，再看出四邊形是梯形；填充第 10 題要把三部分分開算，最後一部分全部化成 3 和 2 的次方。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自福誠高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數與根式、絕對值、乘法公式、算幾不等式、指數、常用對數、斜率與直線方程式、分點坐標）

福誠高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 6 題（24 分）、多重選擇題 4 題（20 分）、填充題 10 題（60 分）；卷面所印配分相加為 104 分

一、單選題（一題 4 分，共 24 分）

下列何者為不等式

3 < ∣8 - x ∣ \leq 6

的解？

(A) $0$
(B) $8$
(C) $5$
(D) $4$
(E) $6$

下列數字何者最大？

(A) $(- 5)^{2}$
(B) $- 5^{2}$
(C) $(\frac{1}{5})^{- 3}$
(D) $5^{- 3}$
(E) $5^{2}$

設

a

、

b

為正數，且

a + 3 b = 12

，當

ab

有最大值時，

a

、

b

之值為何？

(A) $a = 3$ ， $b = 3$
(B) $a = 6$ ， $b = 2$
(C) $a = 9$ ， $b = 1$
(D) $a = 10$ ， $b = \frac{2}{3}$
(E) $a = 4$ ， $b = 8$

已知

lo g 2 = 0.3010

、

lo g 3 = 0.4771

，若實數

a = 1 0^{1.35}

，則下列何者正確？

(A) $2 < a < 3$
(B) $300 < a < 400$
(C) $200 < a < 300$
(D) $10 < a < 20$
(E) $20 < a < 30$

已知

3^{100} \approx 0.05137752 \times 1 0^{49}

，試問

3^{100}

整數部分是幾位數？

(A) $51$
(B) $50$
(C) $49$
(D) $48$
(E) $47$

在

x y

坐標平面上，已知直線

L

：

3 x + 4 y = 5

，下列哪一點坐標在直線

L

的圖形上？

(A) $(\frac{5}{4}, 0)$
(B) $(15, - 11)$
(C) $(3 + a, 3 - a)$
(D) $(1 + 4 a, 1 - 3 a)$
(E) $(15 + 4 a, - 10 - 3 a)$

二、多重選擇題（一題 5 分，共 20 分，錯一個選項扣 2 分）（本頁第 7～10 題依序為卷面多重選擇題第 1～4 題）

已知

a

、

b

、

c

、

d

為實數，下列敘述哪些正確？

(A) $2. \overline{34}$ 為有理數
(B) $2 + 3$ 為無理數
(C) $3^{\frac{1}{3}}$ 為無理數
(D) 數線上 $A (a)$ 、 $B (b)$ 兩點的距離為 $b - a$
(E) $a + 3 b = c + 3 d$ ，則 $a = c$ 、 $b = d$

下列敘述哪些正確？

(A) $(2 a - 3 b)^{2} = 4 a^{2} - 12 ab + 9 b^{2}$
(B) $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(C) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = x + \frac{1}{x}$
(D) $\frac{a + b}{2} \geq ab$
(E) 若 $a^{2} > b^{2}$ ，則 $∣ a ∣ > ∣ b ∣$

下列敘述哪些正確？

(A) $lo g 10 = \frac{1}{10}$
(B) $32 = 2^{\frac{1}{5}}$
(C) 若 $lo g 5 = 0.6990$ ，且 $lo g a = - 1.3010$ ，則 $a = 0.05$
(D) $lo g a = 3.6$ ，則 $a$ 為 $4$ 位數
(E) $lo g (lo g a) = 2$ ，則 $a$ 為 $101$ 位數

在

x y

平面，下列敘述哪些正確？

(A) 直線 $3 x + 2 y = 4$ 與 $3 x - 2 y = 4$ 垂直
(B) $3 x + 2 y + 6 = 0$ 與 $x$ 軸截距為 $- 2$
(C) 過點 $(- 1, 3)$ 、 $(2, 5)$ 之直線斜率為 $\frac{2}{3}$
(D) $3 x + 2 y + 6 = 0$ 與兩軸所圍成面積為 $6$
(E) 直線 $x + 2 = 0$ 之斜率為 $0$

三、填充題（一題 6 分，共 60 分）（本頁第 11～20 題依序為卷面填充題第 1～10 題）

將

\frac{1}{13}

化為小數，則小數點後第

30

位數字為何？

已知

x > 7

且滿足

∣ x + 5∣ - 3∣ x - 7∣ = 0

，求

x

之值。

設

a

、

b

為實數，且滿足

a - b = 5

，

ab = 6

，試求

a^{2} + b^{2}

之值。

若

16 - 67 = a + b

，其中

a

為整數，

0 < b < 1

，試求

b + \frac{2}{b}

之值。

請利用

lo g 7 \approx 0.8451

，求

7^{50}

為幾位數。

求過

A (3, 4)

且與直線

4 x - 3 y = 2025

平行的直線方程式。（將所求直線寫成

a x + b y + c = 0

形式）

設

A (1, - 1)

、

B (- 5, 3)

為平面上相異兩點，

P

為

\overline{A B}

上一點，且滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 3

，試求

P

點坐標。

考慮坐標平面上的直線

L

：

5 y + (2 k - 4) x - 10 k = 0

（其中

k

為常數）以及長方形

O A B C

，其中頂點坐標為

O (0, 0)

、

A (10, 0)

、

B (10, 6)

、

C (0, 6)

。設直線

L

分別交

\overline{O C}

於

D

，交

\overline{A B}

於

E

。求四邊形

O A E D

面積。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，求

1 0^{3 a - 2 b}

之值。

計算

(2 - 3)^{5} (2 + 3)^{5} + lo g \frac{10}{1000} + 9^{- \frac{4}{3}} \times (\frac{4}{81})^{- 0.25} \times \frac{27 \cdot 3 3}{2}

之值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(B)

第 4 題(E)

第 5 題(D)

第 6 題(E)

第 7 題(A)(B)(C)

第 8 題(A)(E)

第 9 題(C)(D)(E)

第 10 題(B)(C)

第 11 題

3

第 12 題

13

第 13 題

37

第 14 題

6

第 15 題

43

第 16 題

4 x - 3 y = 0

第 17 題

(- \frac{1}{2}, 0)

第 18 題

40

第 19 題

\frac{8}{9}

第 20 題

- 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：絕對值、指數比大小、算幾不等式、位數與直線上的點

第 1 題答案 (D)。把五個數逐一代入

∣8 - x ∣

：

x = 0

得

8

，

x = 8

得

0

，

x = 5

得

3

，

x = 4

得

4

，

x = 6

得

2

。要同時滿足「大於

3

」且「不超過

6

」的只有

4

。也可以直接解：

3 < ∣ x - 8∣ \leq 6

即

3 < x - 8 \leq 6

或

- 6 \leq x - 8 < - 3

，得

11 < x \leq 14

或

2 \leq x < 5

，選項中只有

4

在範圍內。

左邊是嚴格的

3 <

，所以

x = 5

（

∣8 - 5∣ = 3

）不算。

第 2 題答案 (C)。逐一算：(A)

(- 5)^{2} = 25

；(B)

- 5^{2} = - 25

；(C)

(\frac{1}{5})^{- 3} = 5^{3} = 125

；(D)

5^{- 3} = \frac{1}{125}

；(E)

1 < 2 < 2

，所以

5 < 5^{2} < 25

。最大的是 (C)。

- 5^{2}

是先平方再加負號；

(- 5)^{2}

才是把

- 5

平方。

第 3 題答案 (B)。

a

、

3 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{a + 3 b}{2} \geq a \cdot 3 b

，即

6 \geq 3 ab

，平方得

36 \geq 3 ab

，

ab \leq 12

。等號在

a = 3 b

時成立，配合

a + 3 b = 12

得

a = 6

、

b = 2

，此時

ab = 12

是最大值。

等號成立的條件是「相加的兩項相等」，也就是

a = 3 b

，不是

a = b

。(E)

a = 4

、

b = 8

不滿足

a + 3 b = 12

。

第 4 題答案 (E)。

a = 1 0^{1.35} = 1 0^{1} \times 1 0^{0.35}

。因為

lo g 2 = 0.3010 < 0.35 < 0.4771 = lo g 3

，所以

2 < 1 0^{0.35} < 3

，乘以

10

得

20 < a < 30

。

lo g 2 = 0.3010

的意思是

1 0^{0.3010} = 2

；把指數拆成整數部分和小數部分，小數部分決定首位數字。

第 5 題答案 (D)。把它改寫成科學記號：

0.05137752 \times 1 0^{49} = 5.137752 \times 1 0^{47}

。

1 0^{47} \leq 3^{100} < 1 0^{48}

，整數部分是

47 + 1 = 48

位數。

題目給的

0.0513 \dots

不是科學記號的形式（要介於

1

和

10

之間），小數點要先右移兩位、指數減

2

。

第 6 題答案 (E)。把各點代入

3 x + 4 y

：(A)

\frac{15}{4}

；(B)

45 - 44 = 1

；(C)

3 (3 + a) + 4 (3 - a) = 21 - a

；(D)

3 (1 + 4 a) + 4 (1 - 3 a) = 7

；(E)

3 (15 + 4 a) + 4 (- 10 - 3 a) = 45 + 12 a - 40 - 12 a = 5

。只有 (E) 不論

a

是多少都等於

5

。

a = 16

時才在

L

上，不是對所有

a

都成立。(D) 和 (E) 的

a

都會消掉：

x

每增加

4

、

y

就減少

3

，正是沿著

L

的方向移動；(E) 的起點

(15, - 10)

在

L

上，(D) 的起點

(1, 1)

不在。

02多重選擇 1～4（第 7～10 題）：有理數與無理數、乘法公式、對數、直線

第 7 題答案 (A)(B)(C)。(A) 對：循環小數都是有理數，

2. \overline{34} = 2 + \frac{34}{99} = \frac{232}{99}

。(B) 對：若

2 + 3 = r

是有理數，則

3 = r - 2

是有理數，矛盾。(C) 對：

3^{\frac{1}{3}} = 33

。假設它等於最簡分數

\frac{p}{q}

，則

p^{3} = 3 q^{3}

，

p

是

3

的倍數；設

p = 3 m

，得

q^{3} = 9 m^{3}

，

q

也是

3

的倍數，和最簡分數矛盾。(D) 錯：距離是

∣ b - a ∣

，當

a > b

時

b - a

是負的。(E) 錯：

a

、

b

、

c

、

d

只說是實數，例如

a = 3

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 1

，兩邊都等於

3

，但

a \neq = c

。

(E) 的結論要在

a

、

b

、

c

、

d

都是有理數時才成立，題目給的條件是實數。

第 8 題答案 (A)(E)。(A) 對：

(2 a - 3 b)^{2} = (2 a)^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot 3 b + (3 b)^{2} = 4 a^{2} - 12 ab + 9 b^{2}

。(B) 錯：立方和公式是

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

，中間是

- ab

。(C) 錯：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = (x + \frac{1}{x})^{2}

，開根號得

x + \frac{1}{x}

；

x < 0

時（例如

x = - 1

）左邊是

2

、右邊是

- 2

。(D) 錯：沒有說

a

、

b

是正數，例如

a = b = - 1

時左邊是

- 1

、右邊是

1

。(E) 對：

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

、

b^{2} = ∣ b ∣^{2}

，

∣ a ∣

、

∣ b ∣

都不是負數，所以

∣ a ∣^{2} > ∣ b ∣^{2}

可推得

∣ a ∣ > ∣ b ∣

。

A^{2} = ∣ A ∣

；(D) 的算幾不等式要求兩數都是正數（或

0

）。這兩個選項都沒有給這樣的條件，所以不能算恆成立。

第 9 題答案 (C)(D)(E)。(A) 錯：

10 = 1 0^{\frac{1}{2}}

，所以

lo g 10 = \frac{1}{2}

。(B) 錯：

32 = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}}

。(C) 對：

- 1.3010 = - 2 + 0.6990

，所以

a = 1 0^{- 2} \times 1 0^{0.6990} = 1 0^{- 2} \times 5 = 0.05

。(D) 對：

a = 1 0^{3.6}

，

1 0^{3} < a < 1 0^{4}

，整數部分是

4

位數（

a \approx 3981

）。(E) 對：

lo g (lo g a) = 2

表示

lo g a = 1 0^{2} = 100

，所以

a = 1 0^{100}

，是

1

後面

100

個

0

，共

101

位數。

(B) 根號套根號時指數相乘（

\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}

），不是把

2

和

3

相加。(C) 負的對數值要拆成「負整數＋介於

0

和

1

的小數」。

第 10 題答案 (B)(C)。(A) 錯：兩線斜率分別是

- \frac{3}{2}

和

\frac{3}{2}

，相乘是

- \frac{9}{4}

，不是

- 1

，所以不垂直。(B) 對：令

y = 0

，

3 x + 6 = 0

，

x = - 2

。(C) 對：斜率

= \frac{5 - 3}{2 - ( - 1 )} = \frac{2}{3}

。(D) 錯：

x

截距

- 2

、

y

截距

- 3

，和兩軸圍成直角三角形，面積是

\frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3

。(E) 錯：

x + 2 = 0

是鉛直線，沒有斜率；斜率為

0

的是水平線。

(D) 面積要乘

\frac{1}{2}

；(E) 鉛直線「沒有斜率」和水平線「斜率為

0

」不同。

03填充 1～5（第 11～15 題）：循環小數、絕對值、乘法公式、雙重根號、位數

第 11 題用長除法：

\frac{1}{13} = 0. \overline{076923}

，每

6

位循環一次。

30 \div 6 = 5

整除，所以第

30

位是循環節的最後一位（第

6

位），數字是

3

。

整除時對應的是循環節的最後一位，不是第一位。

第 12 題

x > 7

時

x + 5 > 0

、

x - 7 > 0

，絕對值可以直接拿掉：

(x + 5) - 3 (x - 7) = 0

，

- 2 x + 26 = 0

，

x = 13

。

13 > 7

，符合條件。驗算：

∣18∣ - 3∣6∣ = 0

。

如果沒有

x > 7

的條件，

- 5 \leq x \leq 7

時還會得到另一個解

x = 4

。

第 13 題

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

，所以

a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab = 25 + 12 = 37

。

實際上

(a, b) = (6, 1)

或

(- 1, - 6)

，兩組都得

37

。

第 14 題

16 - 67 = 16 - 263

，找兩數和為

16

、積為

63

：

9

和

7

，所以

16 - 67 = 9 - 7 = 3 - 7

。因為

2 < 7 < 3

，

0 < 3 - 7 < 1

，所以整數部分

a = 0

，

b = 3 - 7

。

\frac{2}{b} = \frac{2}{3 - 7} = \frac{2 ( 3 + 7 )}{9 - 7} = 3 + 7

，所以

b + \frac{2}{b} = (3 - 7) + (3 + 7) = 6

。

係數是

6

不是

2

時，先把

67

改寫成

263

再找兩數。

第 15 題

lo g 7^{50}

就是把

7^{50}

寫成

10

的次方時的指數：

7 \approx 1 0^{0.8451}

，所以

7^{50} \approx 1 0^{0.8451 \times 50} = 1 0^{42.255}

。

1 0^{42} < 7^{50} < 1 0^{43}

，是

42 + 1 = 43

位數。

判斷位數：把數寫成

10

的次方，

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

的整數部分是

n + 1

位數。

04填充 6～10（第 16～20 題）：直線方程式、分點、過定點的直線、指對數計算

第 16 題和

4 x - 3 y = 2025

平行的直線可設為

4 x - 3 y = c

。代入

A (3, 4)

：

c = 12 - 12 = 0

。所求為

4 x - 3 y = 0

（已是

a x + b y + c = 0

的形式，

c = 0

）。

平行線的

x

、

y

係數相同，只有常數項不同。這條線通過原點。

第 17 題

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{P B} = 1 : 3

，由分點公式

P = \frac{3 A + 1 B}{1 + 3}

：

x = \frac{3 \times 1 + ( - 5 )}{4} = - \frac{1}{2}

，

y = \frac{3 \times ( - 1 ) + 3}{4} = 0

，所以

P (- \frac{1}{2}, 0)

。驗算：

A

到

P

的位移是

(- \frac{3}{2}, 1)

，

P

到

B

的位移是

(- \frac{9}{2}, 3)

，剛好是

3

倍。

分點公式的係數是交叉乘：靠近

A

，所以

A

的係數是

3

。另一個流傳版本的參考答案寫

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

，但那一點不在直線

A B

上（直線

A B

為

2 x + 3 y + 1 = 0

，代入得

\frac{3}{2} \neq = 0

）；本卷所附簡答為

(- \frac{1}{2}, 0)

，與本站重算一致。

第 18 題

D

在

\overline{O C}

上，

x = 0

：

5 y - 10 k = 0

，

y = 2 k

，所以

D (0, 2 k)

。

E

在

\overline{A B}

上，

x = 10

：

5 y + 10 (2 k - 4) - 10 k = 0

，

5 y = 40 - 10 k

，

y = 8 - 2 k

，所以

E (10, 8 - 2 k)

。四邊形

O A E D

中

\overline{O D}

與

\overline{A E}

都是鉛直線段，互相平行，是梯形：兩底為

2 k

與

8 - 2 k

，高為

\overline{O A} = 10

，面積

= \frac{2 k + ( 8 - 2 k )}{2} \times 10 = 40

。

面積和

k

無關。原因是把方程式依

k

整理成

(5 y - 4 x) + k (2 x - 10) = 0

，不論

k

是多少，直線都通過

(5, 4)

，而它正是

\overline{D E}

的中點，所以兩底的平均永遠是

4

。（要讓

D

、

E

落在兩邊上，

k

需滿足

1 \leq k \leq 3

。）

第 19 題

lo g 2 = a

表示

1 0^{a} = 2

，

lo g 3 = b

表示

1 0^{b} = 3

。

1 0^{3 a - 2 b} = \frac{1 0 ^{3 a}}{1 0 ^{2 b}} = \frac{( 1 0 ^{a} ) ^{3}}{( 1 0 ^{b} ) ^{2}} = \frac{2 ^{3}}{3 ^{2}} = \frac{8}{9}

。

第 20 題分三部分。第一部分：

(2 - 3)^{5} (2 + 3)^{5} = [(2 - 3) (2 + 3)]^{5} = 1^{5} = 1

。第二部分：

\frac{10}{1000} = 1 0^{\frac{1}{2} - 3} = 1 0^{- \frac{5}{2}}

，所以

lo g \frac{10}{1000} = - \frac{5}{2}

。第三部分全部化成

3

和

2

的次方：

9^{- \frac{4}{3}} = 3^{- \frac{8}{3}}

；

(\frac{4}{81})^{- 0.25} = (\frac{81}{4})^{\frac{1}{4}} = \frac{3}{2 ^{\frac{1}{2}}}

；

\frac{27 \cdot 3 3}{2} = (\frac{3 ^{\frac{10}{3}}}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{3 ^{\frac{5}{3}}}{2 ^{\frac{1}{2}}}

。相乘：

3

的指數是

- \frac{8}{3} + 1 + \frac{5}{3} = 0

，分母是

2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2

，得

\frac{1}{2}

。合計

1 - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = - 1

。

另一個流傳版本的參考答案寫

- \frac{1}{2}

，但三部分分別是

1

、

- \frac{5}{2}

、

\frac{1}{2}

，相加是

- 1

（數值計算亦為

- 1

）；本卷所附簡答為

- 1

，與本站重算一致。

指數與對數的計算題先把每一項都化成同一個底數的次方（

10

、

2

、

3

），再用指數律把指數相加減。

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04填充 6～10（第 16～20 題）：直線方程式、分點、過定點的直線、指對數計算

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