段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

松山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分）、多選題 2 題（12 分）、填充題 11 題（66 分）、混合題 1 題組 2 小題（12 分），合計 100 分

第壹部分：選擇（填）題（占 88 分）　一、單選題（占 12 分）｜第 1 題至第 2 題，每題 5 分。

設

x

，

y

為實數，且

3 1^{x} = 9

，

9 3^{y} = 27

，則

\frac{2}{x} - \frac{3}{y}

的值為何？

(1) $3$
(2) $1$
(3) $- 1$
(4) $- 3$
(5) $- 5$

設

a

，

b

為實數，若不等式

{∣1 + 2 x ∣ < 3 ∣1 - x ∣ > 2

和

∣ a x - 9∣ < b

的解相同，則

a - b =

？

(1) $- 1$
(2) $- 3$
(3) $- 5$
(4) $- 7$
(5) $- 9$

二、多選題（占 12 分）｜第 3 題至第 4 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

試問下列敘述何者正確？

(1) $7 - 3 > 17 - 13$
(2) 設 $a$ 為一實數，若 $a^{4}$ 與 $a^{8}$ 都是有理數，則 $a$ 是有理數
(3) 設 $a$ ， $b$ 為正實數，若 $a + b$ 為有理數， $a - b$ 為無理數，則 $a^{2} - b^{2}$ 必為無理數
(4) 已知 $x = 4 + 7$ ， $y = 4 - 7$ ，則 $x + y = 14$
(5) 已知 $a > 0$ 且 $b > 0$ ，則 $(a + 16 b) (\frac{9}{a} + \frac{1}{b})$ 的最小值為 $48$

已知

lo g 2 \approx 0.3010

和

lo g 3 \approx 0.4771

，試問下列敘述何者正確？

(1) 已知 $1 0^{x} = 3$ ，則 $1 0^{x} = 3$
(2) 已知正數 $x$ ，則必存在某一正數 $y$ ，使得 $x = 1 0^{y}$
(3) $1 0^{2 l o g 3} = 9$
(4) $1 0^{l o g 9} \times 10 0^{l o g 3} = 81$
(5) 若兩正數 $x$ ， $y$ ，滿足 $lo g x = 1 + lo g y$ ，則 $x = \frac{y}{10}$

三、填充題（占 66 分）｜第 5 題至第 15 題，每題 6 分。

設

a

，

b

是有理數，滿足

(1 - 35) a + (5 + 2) b = - 5 + 5

，則數對

(a, b) =

____。

在數線上

A

，

B

，

P

三點的坐標分別為

- 4

，

11

，

x

。若

\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 1

，試求

x

的值為 ____。（有兩解）

設

x

、

y

、

z

為正數，若

\frac{2 x + 3 y}{2} = 6 x y

且

\frac{4 y + 5 z}{2} = 20 y z

，試求

\frac{8 y + 5 z}{x}

之值為 ____。

試解不等式

∣3 x - 5∣ \leq 2 x

，並以「區間符號」來表示其解為 ____。

某首知名歌曲其中一句歌詞「也許未來遙遠在光年之外」，所謂

1

光年即光前進

1

年的距離，設光速大約以每秒

30

萬公里計，而

1

年以

365

天計，則

1

光年是 ____ 公里。（科學記號以

4

位有效數字表示）

設

x

為實數，滿足

2∣ x + 1∣ + ∣ x - 2∣ - x = 8

，則符合條件的解

x

之總和為 ____。

設

x

為實數，若

3^{x} + 3^{- x} = 7

，則

\frac{2 7 ^{x} - 2 7 ^{- x}}{9 ^{x} - 9 ^{- x}} =

____。

設

x

為正實數，

33333 = 3^{x}

，則

x =

____。

已知

lo g 168 \approx 2.225

，求

167 \times 169 \times (16 8^{2} + 168 + 1) \times (16 8^{2} - 168 + 1)

乘開後是 ____ 位數。

計算共有 ____ 組正整數

(k, m, n)

，滿足

2^{k} 4^{m} 8^{n} = 1024

。

如圖，崧崧玩無人島生存遊戲，想要用柵欄圍出的一塊階梯形狀的農地，且此區域若按照虛線可分為面積相等的九塊長方形，但崧崧只有總長

180

公分的柵欄材料可用，請問可以圍出最大的面積（柵欄圍成的部分為圖中實線的部分）為 ____ 平方公分。

載入中...

第貳部分：混合題（占 12 分）｜本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

16－17 題組（第 16～17 題）　聲音的強度是每平方公尺多少能量（單位：

W / m^{2}

，

W

為瓦特），若某一發聲體的強度為

I

（

W / m^{2}

）；將它換成分貝

d

表示時，定公式為

d (I) = 10 \times lo g \frac{I}{I _{0}}

，其中

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W / m^{2}

）。（已知

lo g 3 \approx 0.4771

）

根據汽車製造廠測試發現，某新車以每小時

60

公里速度行駛時，測得的聲音強度為

1 0^{- 4}

（

W / m^{2}

），問此聲音強度產生的噪音為多少分貝？（填充題，4 分）

若有一支

50

分貝的汽笛和二十支

40

分貝的汽笛齊響，則其所測得的音量最接近多少分貝？（四捨五入至整數位）（非選擇題，8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)(3)(4)

第 4 題(3)(4)

第 5 題

(1, 2)

第 6 題

8

或

16

第 7 題

8

第 8 題

[1, 5]

第 9 題

9.461 \times 1 0^{12}

第 10 題

2

第 11 題

\frac{48}{7}

第 12 題

\frac{31}{32}

第 13 題

14

第 14 題

4

第 15 題

1215

第 16 題

80

分貝

第 17 題

55

分貝

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：化成同底數、絕對值不等式的解

第 1 題答案 (3)。

3 1^{x} = 9 = 3^{2}

，兩邊取

\frac{1}{x}

次方（

x \neq = 0

）得

31 = 3^{\frac{2}{x}}

；同理

9 3^{y} = 27 = 3^{3}

得

93 = 3^{\frac{3}{y}}

。兩式相除：

3^{\frac{2}{x} - \frac{3}{y}} = \frac{31}{93} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}

，所以

\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = - 1

。

所求的

\frac{2}{x}

、

\frac{3}{y}

都在分母，所以把條件改寫成「

3

的

\frac{2}{x}

次方」「

3

的

\frac{3}{y}

次方」，再利用

93 = 31 \times 3

。

第 2 題答案 (5)。

∣1 + 2 x ∣ < 3

即

- 3 < 1 + 2 x < 3

，

- 2 < x < 1

。

∣1 - x ∣ > 2

即

∣ x - 1∣ > 2

，

x > 3

或

x < - 1

。兩者同時成立的範圍是

- 2 < x < - 1

。這個區間的中點是

- \frac{3}{2}

、半徑是

\frac{1}{2}

，寫成

x + \frac{3}{2} < \frac{1}{2}

。兩邊同乘

6

：

∣6 x + 9∣ < 3

，也就是

∣ - 6 x - 9∣ < 3

。和

∣ a x - 9∣ < b

對照，常數項要是

- 9

，所以

a = - 6

、

b = 3

，

a - b = - 9

。

∣6 x + 9∣

和

∣ - 6 x - 9∣

相等，要配合題目的「

- 9

」選後者，所以

a

是負的。驗算：

∣ - 6 x - 9∣ < 3

即

- 3 < 6 x + 9 < 3

，

- 2 < x < - 1

。

02多選 3～4：根式與有理數、常用對數的意義

第 3 題答案 (1)(3)(4)。(1) 對：

7 - 3 = \frac{4}{7 + 3}

，

17 - 13 = \frac{4}{17 + 13}

，分子相同，前者分母較小，所以前者較大。(2) 錯：取

a = 2

，

a^{4} = 4

、

a^{8} = 16

都是有理數，但

a

是無理數。(3) 對：

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

，其中

a + b

是不為

0

的有理數；若

a^{2} - b^{2}

是有理數，則

a - b = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b}

也是有理數，矛盾。(4) 對：

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 8 + 2 (4 + 7) (4 - 7) = 8 + 29 = 14

，且

x + y > 0

，所以

x + y = 14

。(5) 錯：展開得

9 + \frac{a}{b} + \frac{144 b}{a} + 16 = 25 + \frac{a}{b} + \frac{144 b}{a}

，由算幾不等式

\frac{a}{b} + \frac{144 b}{a} \geq 2144 = 24

，所以最小值是

49

（

a = 12 b

時成立）。

(5) 如果兩個括號分別用算幾不等式：

a + 16 b \geq 8 ab

、

\frac{9}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{6}{ab}

，相乘會得到

48

；但前者等號要

a = 16 b

、後者要

a = 9 b

，不能同時成立，所以

48

取不到。

第 4 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

3 = 3^{\frac{1}{2}} = (1 0^{x})^{\frac{1}{2}} = 1 0^{\frac{x}{2}}

，指數應該是

\frac{x}{2}

；這裡

x = lo g 3 \approx 0.4771

，

x \approx 0.69

，和

\frac{x}{2} \approx 0.24

不相等。(2) 錯：取

x = 1

，

1 = 1 0^{y}

只有

y = 0

；取

x = 0.1

，則

y = - 1

。只有

x > 1

時

y

才是正數。(3) 對：

1 0^{2 l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

。(4) 對：

1 0^{l o g 9} = 9

，

10 0^{l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 9

，相乘得

81

。(5) 錯：

x = 1 0^{l o g x} = 1 0^{1 + l o g y} = 10 \times 1 0^{l o g y} = 10 y

，不是

\frac{y}{10}

。

1 0^{l o g a} = a

（

a > 0

）是

lo g

的定義，(3)(4)(5) 都只用到這一件事和指數律。

03填充 5～10：比較係數、分點、算幾不等式的等號、絕對值、科學記號

第 5 題左邊整理成

(a + 2 b) + (- 3 a + b) 5

。

a

、

b

是有理數，

5

是無理數，所以兩邊的有理數部分、

5

的係數要分別相等：

a + 2 b = 5

，

- 3 a + b = - 1

。由第二式

b = 3 a - 1

代入第一式：

a + 6 a - 2 = 5

，

a = 1

，

b = 2

。

驗算：

(1 - 35) + 2 (5 + 2) = 5 - 5

。

第 6 題

\overline{P A} = ∣ x + 4∣

，

\overline{P B} = ∣ x - 11∣

，條件是

∣ x + 4∣ = 4∣ x - 11∣

。

x + 4 = 4 (x - 11)

得

x = 16

；

x + 4 = - 4 (x - 11)

得

x = 8

。

x = 8

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{P A} = 12

、

\overline{P B} = 3

），

x = 16

是外分點（

\overline{P A} = 20

、

\overline{P B} = 5

）。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，內分和外分兩種情形都要算。

第 7 題由算幾不等式，

\frac{2 x + 3 y}{2} \geq 2 x \cdot 3 y = 6 x y

，等號只在

2 x = 3 y

時成立；題目給的正是等號，所以

2 x = 3 y

。同理

\frac{4 y + 5 z}{2} \geq 4 y \cdot 5 z = 20 y z

，等號成立表示

4 y = 5 z

。於是

8 y + 5 z = 8 y + 4 y = 12 y

，而

x = \frac{3 y}{2}

，所以

\frac{8 y + 5 z}{x} = 12 y \div \frac{3 y}{2} = 8

。

也可以直接平方：

(2 x + 3 y)^{2} = 24 x y

整理成

(2 x - 3 y)^{2} = 0

，一樣得到

2 x = 3 y

。

第 8 題

∣3 x - 5∣ \leq 2 x

等於

- 2 x \leq 3 x - 5 \leq 2 x

（這時

2 x \geq 0

自動成立）。左半

- 2 x \leq 3 x - 5

得

x \geq 1

；右半

3 x - 5 \leq 2 x

得

x \leq 5

。所以

1 \leq x \leq 5

，用區間符號寫成

[1, 5]

。

右邊是

2 x

不是常數，要拆成兩個不等式分別解。驗算端點：

x = 1

時

∣ - 2∣ = 2

；

x = 5

時

∣10∣ = 10

，等號都成立。

第 9 題

1

年有

365 \times 24 \times 60 \times 60 = 31536000 = 3.1536 \times 1 0^{7}

秒。光速每秒

30

萬公里

= 3 \times 1 0^{5}

公里。

1

光年

= 3 \times 1 0^{5} \times 3.1536 \times 1 0^{7} = 9.4608 \times 1 0^{12}

公里，取

4

位有效數字，第五位是

8

要進位，得

9.461 \times 1 0^{12}

公里。

4

位有效數字是指

9.461

這四個數字；

9.4608

四捨五入後是

9.461

。

第 10 題分界點是

x = - 1

和

x = 2

。①

x \geq 2

：

2 (x + 1) + (x - 2) - x = 2 x = 8

，

x = 4

，符合

x \geq 2

。②

- 1 \leq x < 2

：

2 (x + 1) + (2 - x) - x = 4

，不等於

8

，無解。③

x < - 1

：

- 2 (x + 1) + (2 - x) - x = - 4 x = 8

，

x = - 2

，符合

x < - 1

。解是

x = 4

與

x = - 2

，總和

2

。

每一段解出來的

x

都要檢查是否落在那一段的範圍內。

絕對值的式子，右邊是常數時翻成「中點、半徑」；右邊含

x

或有兩個以上的絕對值時，就拆開或分段討論，最後檢查範圍。

04填充 11～15：指數的求值、位數與算幾不等式

第 11 題設

t = 3^{x}

，則

t + \frac{1}{t} = 7

。分子

2 7^{x} - 2 7^{- x} = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = (t - \frac{1}{t}) (t^{2} + 1 + \frac{1}{t ^{2}})

；分母

9^{x} - 9^{- x} = t^{2} - \frac{1}{t ^{2}} = (t - \frac{1}{t}) (t + \frac{1}{t})

。因為

t + \frac{1}{t} = 7 \neq = 2

，

t \neq = 1

，

t - \frac{1}{t} \neq = 0

，可以約掉。

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 7^{2} - 2 = 47

，所以所求

= \frac{47 + 1}{7} = \frac{48}{7}

。

用立方差與平方差把分子分母都分解出

t - \frac{1}{t}

，就不必去算

t - \frac{1}{t}

的值，也不必管它的正負。

第 12 題從最裡面往外算，每開一次根號指數就乘以

\frac{1}{2}

：

3 = 3^{\frac{1}{2}}

；

3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{4}}

；

3 \cdot 3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{7}{8}}

；

3 \cdot 3^{\frac{7}{8}} = 3^{\frac{15}{16}}

；

3 \cdot 3^{\frac{15}{16}} = 3^{\frac{31}{32}}

。所以

x = \frac{31}{32}

。

共五層根號，指數依序是

\frac{1}{2}

、

\frac{3}{4}

、

\frac{7}{8}

、

\frac{15}{16}

、

\frac{31}{32}

，也就是

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}

。

第 13 題

167 = 168 - 1

，

169 = 168 + 1

。由立方差與立方和公式：

(168 - 1) (16 8^{2} + 168 + 1) = 16 8^{3} - 1

，

(168 + 1) (16 8^{2} - 168 + 1) = 16 8^{3} + 1

。所以原式

= (16 8^{3} - 1) (16 8^{3} + 1) = 16 8^{6} - 1

。

lo g 168 \approx 2.225

表示

168 \approx 1 0^{2.225}

，

16 8^{6} \approx 1 0^{13.35}

，介於

1 0^{13}

和

1 0^{14}

之間，是

14

位數。

16 8^{6}

不是

10

的整數次方，減

1

之後位數不變，所以答案是

14

位數。

先把四個因式兩兩配成立方差、立方和，再用平方差，不要直接乘開。

第 14 題

2^{k} 4^{m} 8^{n} = 2^{k + 2 m + 3 n}

，

1024 = 2^{10}

，所以

k + 2 m + 3 n = 10

，

k

、

m

、

n

都是正整數。

n = 1

時

k + 2 m = 7

：

(k, m) = (5, 1), (3, 2), (1, 3)

，

3

組。

n = 2

時

k + 2 m = 4

：

(k, m) = (2, 1)

，

1

組。

n = 3

時

k + 2 m = 1

，無解。共

4

組。

係數最大的

n

能取的值最少，先固定

n

再數。注意是「正整數」，

0

不算。

第 15 題九塊長方形面積相等，同一層的高相同，所以寬也相同；上下層的寬相同，所以高也相同。設每塊寬

w

公分、高

h

公分。實線（外框）中橫的部分：底邊

5 w

，上方各段合起來也是

5 w

；直的部分：左右兩側各

3 h

。柵欄總長

10 w + 6 h = 180

。面積是

9 w h

。由算幾不等式

\frac{10 w + 6 h}{2} \geq 10 w \cdot 6 h

，即

90 \geq 60 w h

，兩邊平方得

8100 \geq 60 w h

，

w h \leq 135

。所以面積

9 w h \leq 1215

，等號在

10 w = 6 h = 90

，也就是

w = 9

、

h = 15

時成立，最大面積

1215

平方公分。

柵欄只圍實線的外框，虛線不用柵欄。流傳版本的附圖中央那一欄上方沒有畫出分隔的虛線（圖上只看得出八塊），本頁依題幹「九塊」補上；此處採「九塊都是同樣大小的長方形」的讀法，答案以校方公布為準。

用算幾不等式求極值時，把條件裡的兩項（這裡是

10 w

和

6 h

）當成兩個數，並寫出等號成立時的值，確認取得到。

05混合題 16～17：分貝公式

第 16 題代入公式：

d = 10 \times lo g \frac{1 0 ^{- 4}}{1 0 ^{- 12}} = 10 \times lo g 1 0^{8} = 10 \times 8 = 80

分貝。

第 17 題分貝不能直接相加，要先換回聲音強度。

50

分貝：

10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 50

，

\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{5}

，

I = 1 0^{5} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 7}

。

40

分貝：

\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{4}

，

I = 1 0^{- 8}

；二十支共

20 \times 1 0^{- 8} = 2 \times 1 0^{- 7}

。齊響時強度相加：

1 0^{- 7} + 2 \times 1 0^{- 7} = 3 \times 1 0^{- 7}

。換成分貝：

\frac{3 \times 1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 3 \times 1 0^{5}

，而

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

3 \times 1 0^{5} \approx 1 0^{5.4771}

，

d \approx 10 \times 5.4771 = 54.771

，四捨五入到整數位是

55

分貝。

相加的是強度

I

，不是分貝數。二十支

40

分貝合起來的強度是一支

50

分貝的兩倍，總強度是它的三倍，所以只比

50

分貝多

10 lo g 3 \approx 4.8

分貝。

分貝與強度的互換就是

lo g

與

10

的次方互換：分貝數除以

10

是

\frac{I}{I _{0}}

寫成

10

的次方時的指數。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

松山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先求兩個不等式共同的解，再寫成中點與半徑的形式並配合常數項決定係數的正負；第 3 題的選項 5 兩個括號分別用算幾不等式時等號不能同時成立，最小值要展開後再求；第 13 題要先用立方差、立方和與平方差把乘積化成一個數的六次方減一；第 17 題分貝不能直接相加，要先換回強度相加再換回分貝。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自松山高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

松山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分）、多選題 2 題（12 分）、填充題 11 題（66 分）、混合題 1 題組 2 小題（12 分），合計 100 分

第壹部分：選擇（填）題（占 88 分）　一、單選題（占 12 分）｜第 1 題至第 2 題，每題 5 分。

設

x

，

y

為實數，且

3 1^{x} = 9

，

9 3^{y} = 27

，則

\frac{2}{x} - \frac{3}{y}

的值為何？

(1) $3$
(2) $1$
(3) $- 1$
(4) $- 3$
(5) $- 5$

設

a

，

b

為實數，若不等式

{∣1 + 2 x ∣ < 3 ∣1 - x ∣ > 2

和

∣ a x - 9∣ < b

的解相同，則

a - b =

？

(1) $- 1$
(2) $- 3$
(3) $- 5$
(4) $- 7$
(5) $- 9$

二、多選題（占 12 分）｜第 3 題至第 4 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

試問下列敘述何者正確？

(1) $7 - 3 > 17 - 13$
(2) 設 $a$ 為一實數，若 $a^{4}$ 與 $a^{8}$ 都是有理數，則 $a$ 是有理數
(3) 設 $a$ ， $b$ 為正實數，若 $a + b$ 為有理數， $a - b$ 為無理數，則 $a^{2} - b^{2}$ 必為無理數
(4) 已知 $x = 4 + 7$ ， $y = 4 - 7$ ，則 $x + y = 14$
(5) 已知 $a > 0$ 且 $b > 0$ ，則 $(a + 16 b) (\frac{9}{a} + \frac{1}{b})$ 的最小值為 $48$

已知

lo g 2 \approx 0.3010

和

lo g 3 \approx 0.4771

，試問下列敘述何者正確？

(1) 已知 $1 0^{x} = 3$ ，則 $1 0^{x} = 3$
(2) 已知正數 $x$ ，則必存在某一正數 $y$ ，使得 $x = 1 0^{y}$
(3) $1 0^{2 l o g 3} = 9$
(4) $1 0^{l o g 9} \times 10 0^{l o g 3} = 81$
(5) 若兩正數 $x$ ， $y$ ，滿足 $lo g x = 1 + lo g y$ ，則 $x = \frac{y}{10}$

三、填充題（占 66 分）｜第 5 題至第 15 題，每題 6 分。

設

a

，

b

是有理數，滿足

(1 - 35) a + (5 + 2) b = - 5 + 5

，則數對

(a, b) =

____。

在數線上

A

，

B

，

P

三點的坐標分別為

- 4

，

11

，

x

。若

\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 1

，試求

x

的值為 ____。（有兩解）

設

x

、

y

、

z

為正數，若

\frac{2 x + 3 y}{2} = 6 x y

且

\frac{4 y + 5 z}{2} = 20 y z

，試求

\frac{8 y + 5 z}{x}

之值為 ____。

試解不等式

∣3 x - 5∣ \leq 2 x

，並以「區間符號」來表示其解為 ____。

某首知名歌曲其中一句歌詞「也許未來遙遠在光年之外」，所謂

1

光年即光前進

1

年的距離，設光速大約以每秒

30

萬公里計，而

1

年以

365

天計，則

1

光年是 ____ 公里。（科學記號以

4

位有效數字表示）

設

x

為實數，滿足

2∣ x + 1∣ + ∣ x - 2∣ - x = 8

，則符合條件的解

x

之總和為 ____。

設

x

為實數，若

3^{x} + 3^{- x} = 7

，則

\frac{2 7 ^{x} - 2 7 ^{- x}}{9 ^{x} - 9 ^{- x}} =

____。

設

x

為正實數，

33333 = 3^{x}

，則

x =

____。

已知

lo g 168 \approx 2.225

，求

167 \times 169 \times (16 8^{2} + 168 + 1) \times (16 8^{2} - 168 + 1)

乘開後是 ____ 位數。

計算共有 ____ 組正整數

(k, m, n)

，滿足

2^{k} 4^{m} 8^{n} = 1024

。

如圖，崧崧玩無人島生存遊戲，想要用柵欄圍出的一塊階梯形狀的農地，且此區域若按照虛線可分為面積相等的九塊長方形，但崧崧只有總長

180

公分的柵欄材料可用，請問可以圍出最大的面積（柵欄圍成的部分為圖中實線的部分）為 ____ 平方公分。

載入中...

16－17 題組（第 16～17 題）　聲音的強度是每平方公尺多少能量（單位：

W / m^{2}

，

W

為瓦特），若某一發聲體的強度為

I

（

W / m^{2}

）；將它換成分貝

d

表示時，定公式為

d (I) = 10 \times lo g \frac{I}{I _{0}}

，其中

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W / m^{2}

）。（已知

lo g 3 \approx 0.4771

）

根據汽車製造廠測試發現，某新車以每小時

60

公里速度行駛時，測得的聲音強度為

1 0^{- 4}

（

W / m^{2}

），問此聲音強度產生的噪音為多少分貝？（填充題，4 分）

若有一支

50

分貝的汽笛和二十支

40

分貝的汽笛齊響，則其所測得的音量最接近多少分貝？（四捨五入至整數位）（非選擇題，8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)(3)(4)

第 4 題(3)(4)

第 5 題

(1, 2)

第 6 題

8

或

16

第 7 題

8

第 8 題

[1, 5]

第 9 題

9.461 \times 1 0^{12}

第 10 題

2

第 11 題

\frac{48}{7}

第 12 題

\frac{31}{32}

第 13 題

14

第 14 題

4

第 15 題

1215

第 16 題

80

分貝

第 17 題

55

分貝

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：化成同底數、絕對值不等式的解

第 1 題答案 (3)。

3 1^{x} = 9 = 3^{2}

，兩邊取

\frac{1}{x}

次方（

x \neq = 0

）得

31 = 3^{\frac{2}{x}}

；同理

9 3^{y} = 27 = 3^{3}

得

93 = 3^{\frac{3}{y}}

。兩式相除：

3^{\frac{2}{x} - \frac{3}{y}} = \frac{31}{93} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}

，所以

\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = - 1

。

所求的

\frac{2}{x}

、

\frac{3}{y}

都在分母，所以把條件改寫成「

3

的

\frac{2}{x}

次方」「

3

的

\frac{3}{y}

次方」，再利用

93 = 31 \times 3

。

第 2 題答案 (5)。

∣1 + 2 x ∣ < 3

即

- 3 < 1 + 2 x < 3

，

- 2 < x < 1

。

∣1 - x ∣ > 2

即

∣ x - 1∣ > 2

，

x > 3

或

x < - 1

。兩者同時成立的範圍是

- 2 < x < - 1

。這個區間的中點是

- \frac{3}{2}

、半徑是

\frac{1}{2}

，寫成

x + \frac{3}{2} < \frac{1}{2}

。兩邊同乘

6

：

∣6 x + 9∣ < 3

，也就是

∣ - 6 x - 9∣ < 3

。和

∣ a x - 9∣ < b

對照，常數項要是

- 9

，所以

a = - 6

、

b = 3

，

a - b = - 9

。

∣6 x + 9∣

和

∣ - 6 x - 9∣

相等，要配合題目的「

- 9

」選後者，所以

a

是負的。驗算：

∣ - 6 x - 9∣ < 3

即

- 3 < 6 x + 9 < 3

，

- 2 < x < - 1

。

02多選 3～4：根式與有理數、常用對數的意義

第 3 題答案 (1)(3)(4)。(1) 對：

7 - 3 = \frac{4}{7 + 3}

，

17 - 13 = \frac{4}{17 + 13}

，分子相同，前者分母較小，所以前者較大。(2) 錯：取

a = 2

，

a^{4} = 4

、

a^{8} = 16

都是有理數，但

a

是無理數。(3) 對：

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

，其中

a + b

是不為

0

的有理數；若

a^{2} - b^{2}

是有理數，則

a - b = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b}

也是有理數，矛盾。(4) 對：

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 8 + 2 (4 + 7) (4 - 7) = 8 + 29 = 14

，且

x + y > 0

，所以

x + y = 14

。(5) 錯：展開得

9 + \frac{a}{b} + \frac{144 b}{a} + 16 = 25 + \frac{a}{b} + \frac{144 b}{a}

，由算幾不等式

\frac{a}{b} + \frac{144 b}{a} \geq 2144 = 24

，所以最小值是

49

（

a = 12 b

時成立）。

(5) 如果兩個括號分別用算幾不等式：

a + 16 b \geq 8 ab

、

\frac{9}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{6}{ab}

，相乘會得到

48

；但前者等號要

a = 16 b

、後者要

a = 9 b

，不能同時成立，所以

48

取不到。

第 4 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

3 = 3^{\frac{1}{2}} = (1 0^{x})^{\frac{1}{2}} = 1 0^{\frac{x}{2}}

，指數應該是

\frac{x}{2}

；這裡

x = lo g 3 \approx 0.4771

，

x \approx 0.69

，和

\frac{x}{2} \approx 0.24

不相等。(2) 錯：取

x = 1

，

1 = 1 0^{y}

只有

y = 0

；取

x = 0.1

，則

y = - 1

。只有

x > 1

時

y

才是正數。(3) 對：

1 0^{2 l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

。(4) 對：

1 0^{l o g 9} = 9

，

10 0^{l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 9

，相乘得

81

。(5) 錯：

x = 1 0^{l o g x} = 1 0^{1 + l o g y} = 10 \times 1 0^{l o g y} = 10 y

，不是

\frac{y}{10}

。

1 0^{l o g a} = a

（

a > 0

）是

lo g

的定義，(3)(4)(5) 都只用到這一件事和指數律。

03填充 5～10：比較係數、分點、算幾不等式的等號、絕對值、科學記號

第 5 題左邊整理成

(a + 2 b) + (- 3 a + b) 5

。

a

、

b

是有理數，

5

是無理數，所以兩邊的有理數部分、

5

的係數要分別相等：

a + 2 b = 5

，

- 3 a + b = - 1

。由第二式

b = 3 a - 1

代入第一式：

a + 6 a - 2 = 5

，

a = 1

，

b = 2

。

驗算：

(1 - 35) + 2 (5 + 2) = 5 - 5

。

第 6 題

\overline{P A} = ∣ x + 4∣

，

\overline{P B} = ∣ x - 11∣

，條件是

∣ x + 4∣ = 4∣ x - 11∣

。

x + 4 = 4 (x - 11)

得

x = 16

；

x + 4 = - 4 (x - 11)

得

x = 8

。

x = 8

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{P A} = 12

、

\overline{P B} = 3

），

x = 16

是外分點（

\overline{P A} = 20

、

\overline{P B} = 5

）。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，內分和外分兩種情形都要算。

第 7 題由算幾不等式，

\frac{2 x + 3 y}{2} \geq 2 x \cdot 3 y = 6 x y

，等號只在

2 x = 3 y

時成立；題目給的正是等號，所以

2 x = 3 y

。同理

\frac{4 y + 5 z}{2} \geq 4 y \cdot 5 z = 20 y z

，等號成立表示

4 y = 5 z

。於是

8 y + 5 z = 8 y + 4 y = 12 y

，而

x = \frac{3 y}{2}

，所以

\frac{8 y + 5 z}{x} = 12 y \div \frac{3 y}{2} = 8

。

也可以直接平方：

(2 x + 3 y)^{2} = 24 x y

整理成

(2 x - 3 y)^{2} = 0

，一樣得到

2 x = 3 y

。

第 8 題

∣3 x - 5∣ \leq 2 x

等於

- 2 x \leq 3 x - 5 \leq 2 x

（這時

2 x \geq 0

自動成立）。左半

- 2 x \leq 3 x - 5

得

x \geq 1

；右半

3 x - 5 \leq 2 x

得

x \leq 5

。所以

1 \leq x \leq 5

，用區間符號寫成

[1, 5]

。

右邊是

2 x

不是常數，要拆成兩個不等式分別解。驗算端點：

x = 1

時

∣ - 2∣ = 2

；

x = 5

時

∣10∣ = 10

，等號都成立。

第 9 題

1

年有

365 \times 24 \times 60 \times 60 = 31536000 = 3.1536 \times 1 0^{7}

秒。光速每秒

30

萬公里

= 3 \times 1 0^{5}

公里。

1

光年

= 3 \times 1 0^{5} \times 3.1536 \times 1 0^{7} = 9.4608 \times 1 0^{12}

公里，取

4

位有效數字，第五位是

8

要進位，得

9.461 \times 1 0^{12}

公里。

4

位有效數字是指

9.461

這四個數字；

9.4608

四捨五入後是

9.461

。

第 10 題分界點是

x = - 1

和

x = 2

。①

x \geq 2

：

2 (x + 1) + (x - 2) - x = 2 x = 8

，

x = 4

，符合

x \geq 2

。②

- 1 \leq x < 2

：

2 (x + 1) + (2 - x) - x = 4

，不等於

8

，無解。③

x < - 1

：

- 2 (x + 1) + (2 - x) - x = - 4 x = 8

，

x = - 2

，符合

x < - 1

。解是

x = 4

與

x = - 2

，總和

2

。

每一段解出來的

x

都要檢查是否落在那一段的範圍內。

絕對值的式子，右邊是常數時翻成「中點、半徑」；右邊含

x

或有兩個以上的絕對值時，就拆開或分段討論，最後檢查範圍。

04填充 11～15：指數的求值、位數與算幾不等式

第 11 題設

t = 3^{x}

，則

t + \frac{1}{t} = 7

。分子

2 7^{x} - 2 7^{- x} = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = (t - \frac{1}{t}) (t^{2} + 1 + \frac{1}{t ^{2}})

；分母

9^{x} - 9^{- x} = t^{2} - \frac{1}{t ^{2}} = (t - \frac{1}{t}) (t + \frac{1}{t})

。因為

t + \frac{1}{t} = 7 \neq = 2

，

t \neq = 1

，

t - \frac{1}{t} \neq = 0

，可以約掉。

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 7^{2} - 2 = 47

，所以所求

= \frac{47 + 1}{7} = \frac{48}{7}

。

用立方差與平方差把分子分母都分解出

t - \frac{1}{t}

，就不必去算

t - \frac{1}{t}

的值，也不必管它的正負。

第 12 題從最裡面往外算，每開一次根號指數就乘以

\frac{1}{2}

：

3 = 3^{\frac{1}{2}}

；

3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{4}}

；

3 \cdot 3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{7}{8}}

；

3 \cdot 3^{\frac{7}{8}} = 3^{\frac{15}{16}}

；

3 \cdot 3^{\frac{15}{16}} = 3^{\frac{31}{32}}

。所以

x = \frac{31}{32}

。

共五層根號，指數依序是

\frac{1}{2}

、

\frac{3}{4}

、

\frac{7}{8}

、

\frac{15}{16}

、

\frac{31}{32}

，也就是

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}

。

第 13 題

167 = 168 - 1

，

169 = 168 + 1

。由立方差與立方和公式：

(168 - 1) (16 8^{2} + 168 + 1) = 16 8^{3} - 1

，

(168 + 1) (16 8^{2} - 168 + 1) = 16 8^{3} + 1

。所以原式

= (16 8^{3} - 1) (16 8^{3} + 1) = 16 8^{6} - 1

。

lo g 168 \approx 2.225

表示

168 \approx 1 0^{2.225}

，

16 8^{6} \approx 1 0^{13.35}

，介於

1 0^{13}

和

1 0^{14}

之間，是

14

位數。

16 8^{6}

不是

10

的整數次方，減

1

之後位數不變，所以答案是

14

位數。

先把四個因式兩兩配成立方差、立方和，再用平方差，不要直接乘開。

第 14 題

2^{k} 4^{m} 8^{n} = 2^{k + 2 m + 3 n}

，

1024 = 2^{10}

，所以

k + 2 m + 3 n = 10

，

k

、

m

、

n

都是正整數。

n = 1

時

k + 2 m = 7

：

(k, m) = (5, 1), (3, 2), (1, 3)

，

3

組。

n = 2

時

k + 2 m = 4

：

(k, m) = (2, 1)

，

1

組。

n = 3

時

k + 2 m = 1

，無解。共

4

組。

係數最大的

n

能取的值最少，先固定

n

再數。注意是「正整數」，

0

不算。

第 15 題九塊長方形面積相等，同一層的高相同，所以寬也相同；上下層的寬相同，所以高也相同。設每塊寬

w

公分、高

h

公分。實線（外框）中橫的部分：底邊

5 w

，上方各段合起來也是

5 w

；直的部分：左右兩側各

3 h

。柵欄總長

10 w + 6 h = 180

。面積是

9 w h

。由算幾不等式

\frac{10 w + 6 h}{2} \geq 10 w \cdot 6 h

，即

90 \geq 60 w h

，兩邊平方得

8100 \geq 60 w h

，

w h \leq 135

。所以面積

9 w h \leq 1215

，等號在

10 w = 6 h = 90

，也就是

w = 9

、

h = 15

時成立，最大面積

1215

平方公分。

用算幾不等式求極值時，把條件裡的兩項（這裡是

10 w

和

6 h

）當成兩個數，並寫出等號成立時的值，確認取得到。

05混合題 16～17：分貝公式

第 16 題代入公式：

d = 10 \times lo g \frac{1 0 ^{- 4}}{1 0 ^{- 12}} = 10 \times lo g 1 0^{8} = 10 \times 8 = 80

分貝。

第 17 題分貝不能直接相加，要先換回聲音強度。

50

分貝：

10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 50

，

\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{5}

，

I = 1 0^{5} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 7}

。

40

分貝：

\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{4}

，

I = 1 0^{- 8}

；二十支共

20 \times 1 0^{- 8} = 2 \times 1 0^{- 7}

。齊響時強度相加：

1 0^{- 7} + 2 \times 1 0^{- 7} = 3 \times 1 0^{- 7}

。換成分貝：

\frac{3 \times 1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 3 \times 1 0^{5}

，而

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

3 \times 1 0^{5} \approx 1 0^{5.4771}

，

d \approx 10 \times 5.4771 = 54.771

，四捨五入到整數位是

55

分貝。

相加的是強度

I

，不是分貝數。二十支

40

分貝合起來的強度是一支

50

分貝的兩倍，總強度是它的三倍，所以只比

50

分貝多

10 lo g 3 \approx 4.8

分貝。

分貝與強度的互換就是

lo g

與

10

的次方互換：分貝數除以

10

是

\frac{I}{I _{0}}

寫成

10

的次方時的指數。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

松山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自松山高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

松山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～2：化成同底數、絕對值不等式的解

02多選 3～4：根式與有理數、常用對數的意義

03填充 5～10：比較係數、分點、算幾不等式的等號、絕對值、科學記號

04填充 11～15：指數的求值、位數與算幾不等式

05混合題 16～17：分貝公式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

松山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

松山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～2：化成同底數、絕對值不等式的解

02多選 3～4：根式與有理數、常用對數的意義

03填充 5～10：比較係數、分點、算幾不等式的等號、絕對值、科學記號

04填充 11～15：指數的求值、位數與算幾不等式

05混合題 16～17：分貝公式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

松山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

松山高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～2：化成同底數、絕對值不等式的解

02多選 3～4：根式與有理數、常用對數的意義

03填充 5～10：比較係數、分點、算幾不等式的等號、絕對值、科學記號

04填充 11～15：指數的求值、位數與算幾不等式

05混合題 16～17：分貝公式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

松山高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

松山高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～2：化成同底數、絕對值不等式的解

02多選 3～4：根式與有理數、常用對數的意義

03填充 5～10：比較係數、分點、算幾不等式的等號、絕對值、科學記號

04填充 11～15：指數的求值、位數與算幾不等式

05混合題 16～17：分貝公式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

松山高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

松山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

松山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

松山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

松山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？