段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

蘭陽女中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 2 題（10 分）、填充題 11 題共 14 格（70 分）

一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。

某個天秤的秤臺上，左側放置

5

公克的砝碼若干個，右側放置

3

公克的砝碼若干個。設左側

5

公克的砝碼數為

x

個，右側

3

公克的砝碼數比左側

5

公克的砝碼數多

4

個。若左右兩側的總重量誤差在

2

公克以下（含

2

公克），試問

x

的值有幾種可能？

(1) $2$ 種
(2) $3$ 種
(3) $4$ 種
(4) $5$ 種
(5) $6$ 種

設

a = \frac{2 3 + 3 7}{5}

，

b = \frac{3 3 + 2 7}{5}

，

c = \frac{4 3 + 7 7}{11}

，

d = \frac{7 3 + 4 7}{11}

，試問

a

，

b

，

c

，

d

何者最大？

(1) $a$
(2) $b$
(3) $c$
(4) $d$
(5) 無法比較

求

lo g 103100

之值為何？

(1) $1$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $\frac{2}{3}$
(4) $\frac{3}{5}$
(5) $\frac{5}{3}$

宜蘭縣政府為拚觀光，在安農溪兩旁整理出一條筆直的直線步道，供遊客欣賞宜蘭美麗的風景。縣政府為讓遊客知道自己的位置，將步道坐標化，在步道上有

A

，

B

兩家咖啡館。已知

A

點坐標為

4

，

B

點坐標為

8

，又在步道上設立休閒區，若休閒區上的點

P

坐標為

x

，且「

P

點至

A

點距離的

2

倍」與「

P

點至

B

點的距離」之和不大於

11

，設休閒區的範圍為

b \leq x \leq a

，則

\frac{a}{3} + 3 b

之值為？

(1) $8$
(2) $10$
(3) $15$
(4) $17$
(5) $18$

二、多選題（占 10 分）說明：第 5 題至第 6 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

設

a

，

b

，

c

，

d

為實數，則下列選項哪些是正確的？

(1) $0.4 \overline{9} = 0.5$
(2) 若 $a + b = c + d$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(3) $\frac{π}{3}$ 、 $1.414$ 、 $4 \frac{1}{9}$ 、 $3^{3} + 3^{3} \cdot 13 + 3^{2} \cdot 1 3^{2} + 1 3^{3}$ 、 $41 - 40$ 這五個數中無理數個數比有理數個數多。
(4) 若 $a^{2} < b^{2}$ ，則 $a < b$
(5) 若 $a + b$ 為有理數、 $a - b$ 為無理數，則 $a^{2} - b^{2}$ 必為無理數

已知

a

，

b

，

c

為相異實數，若

b = \frac{1}{4} a + \frac{3}{4} c

，試選出正確的選項。

(1) $a < b < c$
(2) $∣ a - b ∣ > ∣ b - c ∣$
(3) $∣ a - c ∣ = 4∣ b - c ∣$
(4) $∣ a ∣ + ∣ b ∣ = ∣ a + b ∣$
(5) 若 $∣ b ∣ = \frac{1}{4} ∣ a ∣ + \frac{3}{4} ∣ c ∣$ ，則 $a$ ， $b$ ， $c$ 均為正數

三、填充題（占 70 分）說明：第 7 題至第 17 題，每格 5 分。（本頁填充題一格一題：第 7～10 題為原卷第 7～10 題，第 11～13 題為原卷第 11 題的 (1)(2)(3)，第 14～16 題為原卷第 12～14 題，第 17～18 題為原卷第 15 題的兩格，第 19～20 題為原卷第 16～17 題）

9^{- \frac{1}{2}} \times 8^{\frac{1}{3}} \div 3 8 1^{- 3} =

____。

已知

9^{a} = 2

，若

2 7^{a + 1} - 300 \times 3^{- a - 1} =

____。

設

x

、

y

為有理數，若

x (26 + 1) - y (2 + 6) = 33 - 126

，試求

x + y =

____。

若

a

、

b \in R

，

∣ a x + 4∣ > b

之解為

x < - 2

或

x > 8

，則

b - a =

____。

原卷第 11 題（第 11～13 題）　已知

x = 2 - 3

，試求：

(1)

x^{2} + x^{- 2} =

____；

(2)

x^{3} + x^{- 3} =

____；

(3)

x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} =

____。

計算機操作面板上的

lo g

鍵就是常用對數的符號，可利用該鍵計算出

lo g ω

（

ω > 0

）的值。即在面板上依序輸入

ω \to lo g

，可得

lo g ω

。例如：面板上依序輸入

10 \to lo g

，可得

1

。設

a

，

b

均為正整數，已知在計算機操作面板上依序輸入

a \to lo g

，可得

b

；依序輸入

b \to lo g

，可得

2

。試問：

\frac{3 a}{b}

為 ____ 位數。

依據實驗，某細菌經過一天後，細菌的數目變為原來的

k

倍，已知

2

天後的細菌數為

720000

，

5

天後的細菌數為

2430000

，則

k =

____。

不等式

2 \leq ∣ x - 10∣ \leq t

，

t

為實數，若滿足此不等式的整數解

x

有四個，則

t

的範圍為

m \leq t < n

，試問：

m + n =

____。

原卷第 15 題（第 17～18 題）　如圖，矩形

F B E D

為直角

△ A B C

的內接矩形，

\overline{A F} = 5

，

\overline{E C} = 3

。

試求：

△ A B C

面積的最小值為 ____。

載入中...

此時，

\overline{F D} =

____。

心血管系統把血液輸送至全身各處，系統運作要能減少心臟打出血液所需能量，特別是降低血管阻力。根據「泊肅葉定律」（Poiseuille's law），血液流經血管所產生的阻力

R

和流經血管長度

L

成正比，和血管半徑

r

的四次方成反比，亦即

R = λ \cdot \frac{L}{r ^{4}}

，其中

λ

為常數且

λ > 0

。如下圖，一條半徑為

r_{1}

的主血管，及一條與主血管夾角為

θ

、半徑為

r_{2}

的較小分支血管，且經證明，當

\frac{B D}{B C} = \frac{r _{2}^{4}}{r _{1}^{4}}

時，血液流過

A B

段和

B C

段所產生的血管阻力總和為最小。若

r_{1} = 1 0^{0.25}

，

r_{2} = 2^{0.75}

，

a = \overline{A D} = 20

，

b = \overline{C D} = 12

，

\overline{A D} ⊥ \overline{C D}

，若在血液流過

A B

段和

B C

段所產生的血管阻力總和為最小的情形之下，試求血液流過

A B

段和

B C

段所產生的血管阻力總和為 ____

λ

。

載入中...

設

k = 2025101407

，

a = (1 + \frac{1}{k})^{k}

，

b = (1 + \frac{1}{k})^{k + 1}

，則

\frac{7 ^{2} \cdot a ^{b}}{b ^{a}} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(5)

第 4 題(1)

第 5 題(1)(3)

第 6 題(2)(3)

第 7 題

6

第 8 題

42

第 9 題

5

第 10 題

8

第 11 題

14

第 12 題

52

第 13 題

6

第 14 題

99

第 15 題

\frac{3}{2}

第 16 題

7

第 17 題

30

第 18 題

3

第 19 題

\frac{29}{10}

第 20 題

49

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～4：絕對值不等式、根式比大小、對數

第 1 題答案 (2)。左側重

5 x

公克，右側有

x + 4

個砝碼，重

3 (x + 4)

公克。誤差在

2

公克以下就是

∣5 x - 3 (x + 4) ∣ \leq 2

，即

∣2 x - 12∣ \leq 2

，兩邊除以

2

得

∣ x - 6∣ \leq 1

，所以

5 \leq x \leq 7

。

x

是砝碼個數，取正整數

5

、

6

、

7

，共

3

種。

「誤差在

2

公克以下」是兩側重量相減的絕對值不超過

2

，哪一側比較重都算。

第 2 題答案 (3)。兩兩相減：

a - b = \frac{7 - 3}{5} > 0

，所以

a > b

；

c - d = \frac{3 7 - 3 3}{11} > 0

，所以

c > d

。再比

a

和

c

，通分成分母

55

：

c - a = \frac{( 20 3 + 35 7 ) - ( 22 3 + 33 7 )}{55} = \frac{2 7 - 2 3}{55} > 0

，所以

c > a

。最大的是

c

。

四個數都是

3

和

7

的分點（係數和等於分母）：

c

裡

7

佔

\frac{7}{11}

，比

a

的

\frac{3}{5}

多，所以

c

最靠近

7

。

第 3 題答案 (5)。

3100 = (1 0^{2})^{\frac{1}{3}} = 1 0^{\frac{2}{3}}

，所以

103100 = 1 0^{1 + \frac{2}{3}} = 1 0^{\frac{5}{3}}

，

lo g 1 0^{\frac{5}{3}} = \frac{5}{3}

。

第 4 題答案 (1)。條件是

2∣ x - 4∣ + ∣ x - 8∣ \leq 11

，以

4

和

8

分三段。當

x < 4

：

2 (4 - x) + (8 - x) = 16 - 3 x \leq 11

，得

x \geq \frac{5}{3}

，所以

\frac{5}{3} \leq x < 4

。當

4 \leq x \leq 8

：

2 (x - 4) + (8 - x) = x \leq 11

，這一段全部成立。當

x > 8

：

2 (x - 4) + (x - 8) = 3 x - 16 \leq 11

，得

x \leq 9

，所以

8 < x \leq 9

。三段合起來是

\frac{5}{3} \leq x \leq 9

，

b = \frac{5}{3}

、

a = 9

，

\frac{a}{3} + 3 b = 3 + 5 = 8

。

題目寫的範圍是

b \leq x \leq a

：

b

是左端點、

a

是右端點，代入前看清楚哪個是哪個。

02多選 5～6：有理數與無理數、數線上的分點

第 5 題答案 (1)(3)。(1) 對：設

x = 0.4 \overline{9}

，

100 x - 10 x = 49. \overline{9} - 4. \overline{9} = 45

，

x = \frac{45}{90} = 0.5

。(2) 錯：題目只說是實數，取

a = 0

、

b = 4

、

c = 1

、

d = 1

，兩邊都是

2

，但

a \neq = c

。(3) 對：

\frac{π}{3}

是無理數；

1.414

是有限小數，有理數；

4 \frac{1}{9} = \frac{37}{3}

是無理數；

3^{3} + 3^{3} \cdot 13 + 3^{2} \cdot 1 3^{2} + 1 3^{3} = 27 + 351 + 1521 + 2197 = 4096 = 6 4^{2}

，開根號是

64

，有理數；

41 - 40

是無理數（若它等於有理數

r

，則

41 = r + 40

，兩邊平方得

40 = \frac{1 - r ^{2}}{2 r}

是有理數，矛盾）。無理數

3

個、有理數

2

個。(4) 錯：

a = 1

、

b = - 2

時

a^{2} = 1 < 4 = b^{2}

，但

a > b

。(5) 錯：

a = 2

、

b = - 2

時

a + b = 0

是有理數、

a - b = 22

是無理數，但

a^{2} - b^{2} = 0

是有理數。

(3) 的第四個數剛好是

(3 + 13)^{3} = 1 6^{3} = 4096

的展開式，而

4096 = 6 4^{2}

。(5) 只有在

a + b = 0

時會失敗：

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

，

a + b

是不為

0

的有理數時乘上無理數仍是無理數。

第 6 題答案 (2)(3)。由

b = \frac{1}{4} a + \frac{3}{4} c

得

b - a = \frac{3}{4} (c - a)

、

c - b = \frac{1}{4} (c - a)

，所以數線上

b

在

a

和

c

之間，且

∣ a - b ∣ : ∣ b - c ∣ = 3 : 1

。(1) 錯：也可能

a > b > c

，例如

a = 4

、

c = 0

、

b = 1

。(2) 對：

∣ a - b ∣ = \frac{3}{4} ∣ c - a ∣

，

∣ b - c ∣ = \frac{1}{4} ∣ c - a ∣

，而

a \neq = c

，所以前者較大。(3) 對：

∣ b - c ∣ = \frac{1}{4} ∣ a - c ∣

。(4) 錯：

a = - 1

、

c = 3

時

b = 2

，

∣ a ∣ + ∣ b ∣ = 3

，

∣ a + b ∣ = 1

。(5) 錯：

a = - 4

、

c = - 8

時

b = - 7

，

∣ b ∣ = 7 = \frac{1}{4} \times 4 + \frac{3}{4} \times 8

成立，但三個數都是負數。

b = \frac{1}{4} a + \frac{3}{4} c

的係數和是

1

，

b

就是把

a

到

c

分成

3 : 1

的內分點，比較靠近

c

。

03填充 7～10：指數律、雙重根號、絕對值不等式

第 7 題

9^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}

；

8^{\frac{1}{3}} = 2

；

3 8 1^{- 3} = (8 1^{- 3})^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = 8 1^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{9}

。所以原式

= \frac{1}{3} \times 2 \div \frac{1}{9} = \frac{2}{3} \times 9 = 6

。

第 8 題

9^{a} = (3^{a})^{2} = 2

且

3^{a} > 0

，所以

3^{a} = 2

。

2 7^{a + 1} = 27 \times (3^{a})^{3} = 27 \times 22 = 542

；

300 \times 3^{- a - 1} = \frac{300}{3 \times 3 ^{a}} = \frac{100}{2} = 502

。相減得

542 - 502 = 42

。

3^{- a - 1} = \frac{1}{3 ^{a} \times 3}

，負號是對整個

a + 1

取的。

第 9 題右邊：

33 - 126 = 33 - 2216

，找兩數和

33

、積

216

：

24

和

9

，所以

33 - 126 = 24 - 9 = 26 - 3

。左邊整理成

(x - 2 y) + (2 x - y) 6

。

x

、

y

是有理數，

6

是無理數，所以

x - 2 y = - 3

且

2 x - y = 2

。兩式相減：

(2 x - y) - (x - 2 y) = x + y = 2 - (- 3) = 5

。

實際解出來是

x = \frac{7}{3}

、

y = \frac{8}{3}

，但題目只問

x + y

，兩式相減就得到。

第 10 題解是「

x < - 2

或

x > 8

」，兩個端點的中點是

3

，到中點的距離是

5

，所以解等於

∣ x - 3∣ > 5

。另一方面

∣ a x + 4∣ = ∣ a ∣ x + \frac{4}{a}

，原式是

x + \frac{4}{a} > \frac{b}{∣ a ∣}

。對照得

- \frac{4}{a} = 3

，

a = - \frac{4}{3}

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 5

，

b = \frac{20}{3}

。

b - a = \frac{20}{3} + \frac{4}{3} = 8

。

驗算：

- \frac{4}{3} x + 4

在

x = - 2

和

x = 8

時都等於

\frac{20}{3}

。

a

是負的，

b - a

是相加。

指數求值題先把條件化成「某個底數的次方等於多少」（

3^{a} = 2

），再把所求的每一項都改寫成它的次方。

04填充 11～13（原卷第 11 題）：由 x 與它的倒數求值

第 11 題(1)

x^{- 1} = \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

，所以

x + x^{- 1} = 4

。兩邊平方：

x^{2} + 2 + x^{- 2} = 16

，

x^{2} + x^{- 2} = 14

。

第 12 題(2)

x^{3} + x^{- 3} = (x + x^{- 1})^{3} - 3 (x + x^{- 1}) = 64 - 12 = 52

。

(p + q)^{3} = p^{3} + q^{3} + 3 pq (p + q)

，這裡

pq = x \cdot x^{- 1} = 1

。

第 13 題(3)

(x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}})^{2} = x + 2 + x^{- 1} = 4 + 2 = 6

。

x = 2 - 3 > 0

，所以

x^{\frac{1}{2}}

和

x^{- \frac{1}{2}}

都是正數，和是正的，

x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 6

。

x

和

x^{- 1}

相乘是

1

，所以先求

x + x^{- 1}

，其他次方的和都可以用平方或立方公式從它算出來。

05填充 14～16（原卷第 12～14 題）：log 的意義、指數成長、整數解個數

第 14 題輸入

b

再按

lo g

得

2

：

lo g b = 2

，

b = 1 0^{2} = 100

。輸入

a

再按

lo g

得

b

：

lo g a = 100

，

a = 1 0^{100}

。

\frac{3 a}{b} = \frac{3 \times 1 0 ^{100}}{1 0 ^{2}} = 3 \times 1 0^{98}

，是

3

後面接

98

個

0

，共

99

位數。

1 0^{98} \leq 3 \times 1 0^{98} < 1 0^{99}

，

1 0^{98}

是

99

位數，位數是指數加

1

。

第 15 題設原來有

N

個，則

N k^{2} = 720000

，

N k^{5} = 2430000

。兩式相除：

k^{3} = \frac{2430000}{720000} = \frac{243}{72} = \frac{27}{8}

，所以

k = \frac{3}{2}

。

從第

2

天到第

5

天經過

3

天，數目變為

k^{3}

倍。驗算：

720000 \times \frac{27}{8} = 2430000

。

第 16 題

x

是整數時

∣ x - 10∣

是

0

以上的整數。

∣ x - 10∣ = 2

的整數有

8

、

12

兩個；

∣ x - 10∣ = 3

的有

7

、

13

兩個；

∣ x - 10∣ = 4

的有

6

、

14

兩個。要剛好四個整數解，就是包含

∣ x - 10∣ = 2

、

3

而不包含

4

，所以

3 \leq t < 4

。

m = 3

、

n = 4

，

m + n = 7

。

t = 3

時

7

和

13

已經算進去，所以左邊有等號；

t = 4

時會多出

6

和

14

變成六個，所以右邊沒有等號。

06填充 17～18（原卷第 15 題）：內接矩形與算幾不等式

第 17 題設

\overline{F D} = x

、

\overline{F B} = y

（

x > 0

，

y > 0

），則

\overline{B E} = x

、

\overline{D E} = y

。

\overline{F D}

平行

\overline{B C}

，所以

∠ A D F = ∠ D C E

，又兩個三角形各有一個直角，

△ A F D

和

△ D E C

相似：

\frac{A F}{F D} = \frac{D E}{E C}

，即

\frac{5}{x} = \frac{y}{3}

，

x y = 15

。

△ A B C

的面積

=

矩形

+ △ A F D + △ D E C = x y + \frac{5 x}{2} + \frac{3 y}{2} = 15 + \frac{5 x + 3 y}{2}

。由算幾不等式

\frac{5 x + 3 y}{2} \geq 5 x \cdot 3 y = 15 \times 15 = 15

，所以面積

\geq 15 + 15 = 30

，最小值是

30

。

矩形的面積

x y

固定是

15

，會變的只有兩個小三角形的面積和。

第 18 題算幾不等式的等號在

5 x = 3 y

時成立。配合

x y = 15

：

5 x \cdot 3 y = 225

，所以

5 x = 3 y = 15

，

x = 3

、

y = 5

。這時

\overline{F D} = x = 3

。

這時

\overline{A B} = 10

、

\overline{B C} = 6

，面積

\frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30

，

F

和

E

分別是兩股的中點。

兩個正數的乘積固定時，它們的和在兩數相等時最小；要用算幾不等式，先把要求的量寫成「乘積固定的兩項相加」。

07填充 19～20（原卷第 16～17 題）：指數律的應用

第 19 題

r_{1}^{4} = (1 0^{0.25})^{4} = 10

，

r_{2}^{4} = (2^{0.75})^{4} = 2^{3} = 8

，所以阻力總和最小時

\frac{B D}{B C} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

。設

\overline{B D} = 4 t

、

\overline{B C} = 5 t

（

t > 0

）。

\overline{A D} ⊥ \overline{C D}

，

△ B D C

是直角三角形，由畢氏定理

\overline{C D} = (5 t)^{2} - (4 t)^{2} = 3 t = 12

，

t = 4

，所以

\overline{B D} = 16

、

\overline{B C} = 20

、

\overline{A B} = 20 - 16 = 4

。

A B

段在主血管（半徑

r_{1}

），阻力

λ \cdot \frac{4}{10}

；

B C

段在分支血管（半徑

r_{2}

），阻力

λ \cdot \frac{20}{8}

。總和

= (\frac{2}{5} + \frac{5}{2}) λ = \frac{29}{10} λ

。

兩段的半徑不同，分母要分別用

r_{1}^{4} = 10

和

r_{2}^{4} = 8

；長度用的是

\overline{A B}

和

\overline{B C}

，不是

\overline{A D}

。

第 20 題令

u = 1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}

，則

a = u^{k}

、

b = u^{k + 1} = u \cdot a

。

a^{b} = (u^{k})^{b} = u^{k b}

，

b^{a} = (u^{k + 1})^{a} = u^{(k + 1) a}

。而

k b = k \cdot u \cdot a = (k + 1) a

（因為

k u = k + 1

），兩個指數相等，所以

a^{b} = b^{a}

，

\frac{7 ^{2} \cdot a ^{b}}{b ^{a}} = 7^{2} = 49

。

k

的值完全用不到，只用到

k (1 + \frac{1}{k}) = k + 1

。例如

k = 1

時

a = 2

、

b = 4

，

2^{4} = 4^{2}

。

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常見問題

蘭陽女中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題有兩個絕對值，要以 4 和 8 分三段去絕對值，而且題目的 b 是左端點、a 是右端點；多選第 5 題選項 (5) 要想到兩數和為 0 的反例；原卷第 14 題（本頁第 16 題）要分清楚 t 的範圍哪一端有等號；原卷第 15 題（本頁第 17、18 題）要先用相似形得到矩形面積固定，再對兩個小三角形用算幾不等式；原卷第 17 題（本頁第 20 題）要把 a 和 b 都寫成同一個底數的次方。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～4：絕對值不等式、根式比大小、對數

02多選 5～6：有理數與無理數、數線上的分點

03填充 7～10：指數律、雙重根號、絕對值不等式

04填充 11～13（原卷第 11 題）：由 x 與它的倒數求值

05填充 14～16（原卷第 12～14 題）：log 的意義、指數成長、整數解個數

06填充 17～18（原卷第 15 題）：內接矩形與算幾不等式

07填充 19～20（原卷第 16～17 題）：指數律的應用

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常見問題

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蘭陽女中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

蘭陽女中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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