段考詳解範圍：數與式（有理數與無理數、乘法公式與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數）

基隆高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題（20 分）、多重選擇題 4 題（20 分）、選填題 8 格（48 分）、計算題 1 題（12 分）

一、單一選擇題（每題 5 分，共 20 分。）

下列何者為循環小數？

(A) $π$
(B) $2^{- 3}$
(C) $\frac{2}{21}$
(D) $2.56$

20 + 19

介於哪兩個整數之間？

(A) $3 \sim 4$ 之間
(B) $4 \sim 5$ 之間
(C) $5 \sim 6$ 之間
(D) $6 \sim 7$ 之間

試比較

a = \frac{2 + 2 3}{3}

、

b = \frac{3 2 + 3}{4}

、

c = \frac{2 2 + 3 3}{5}

的大小？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$

某放射性元素原來的質量為

96

克，其半衰期為

100

年，試問經過幾年後，這個放射性元素僅剩

3

公克？

(A) $350$ 年
(B) $400$ 年
(C) $450$ 年
(D) $500$ 年

二、多重選擇題（每題 5 分，共 20 分。錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上不給分。）

已知

a, b > 0

，下列何者為真？

(A) $(a^{- 3})^{2} \times (a^{- 4})^{- 3} = a^{6}$
(B) $(a^{2} b^{- 1})^{- 2} \cdot (a^{3} b^{4})^{2} = a^{2} b^{10}$
(C) $9^{\frac{3}{2}} = 27$
(D) $8^{\frac{2}{3}} \cdot 4^{- \frac{1}{2}} = 2$
(E) $3 2^{- \frac{3}{5}} = 8$

設

a

為非零之有理數，

b

為無理數。請從下列敘述中，選出所有正確選項：

(A) $b^{2}$ 為有理數
(B) $\frac{a}{b}$ 為無理數
(C) $\frac{2 a + b}{3}$ 為無理數
(D) $\frac{2 a + b}{2 + 1}$ 為無理數
(E) 若 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = b = 0$

下列選項何者正確？

(A) $8 + 215 = 5 + 3$
(B) $21 - 45 = 25 - 1$
(C) $5^{3} \times 5^{2 - 3} = - 25$
(D) $(a - b + 2)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} + 4 a - 4 b + 4$
(E) $(2 x + y)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}$

關於常用對數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) $lo g 1 = 0$
(B) $lo g 10 = 1$
(C) $1 0^{l o g 0.5} > 1$
(D) $lo g 10 0^{3} = 23$
(E) $1 0^{2 l o g 3} > 1 0^{3 l o g 2}$

三、選填題（每格 6 分，共 48 分。）（本頁第 9～16 題依序為原卷甲(1)、甲(2)、乙(1)、乙(2)、丙、丁、戊第一格、戊第二格）

選填題甲（第 9～10 題）　設

a + b = 4

，

ab = 2

，試求下列各式的值：

(1)

a^{2} + b^{2} =

____。

(2)

a^{3} + b^{3} =

____。

選填題乙（第 11～12 題）　試化簡下列各式：

(1)

18 + 8 - 72 + 2 =

____。

(2)

\frac{3 + 2}{3 - 2} + \frac{3 - 2}{3 + 2} =

____。

已知

a

是位於區間

(0, 10)

內的整數，且

\frac{290 + a}{140}

可以化為有限小數，則將

\frac{290 + a}{140}

化為有限小數後的值為 ____。

設

a

、

b

均為實數。若

∣ a x - 3∣ \geq b

之解為

x \leq - 6

或

x \geq 4

，則

b - a =

____。

選填題戊（第 15～16 題）　基中數學科團隊為慶祝基中

100

週年校慶，打算設計一款底面為長方形的四角柱水杯（無握柄），經數學老師討論後，希望此水杯高度為

10

公分，最大容量為

360

ml（把水杯裝滿的情況下），且在杯壁厚度忽略不計的情況下，底面和側邊四個面的表面積總和要最小。

試問：底面和側邊四個面的表面積總和最小是 ____ 平方公分；

此時水杯底面的長是 ____ 公分。

四、計算題（共 12 分，請詳列計算過程，否則不予計分。）（本頁第 17 題為原卷己）

已知小叮噹、小夫、胖虎三人住在同一直線街道上。將他們的家標示在座標上，小叮噹家標示為

A (- 1)

，小夫家標示為

B (3)

，胖虎家標示為

C (x)

，若不確定胖虎家在哪，只知胖虎家到小叮噹家的距離與胖虎家到小夫家的距離和為

6

，試求以下問題：(1) 請將上述句子轉換成

x

的方程式。（4 分）(2) 請解出上述之方程式。（將數線分成三段來討論解的情況）（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(A)(B)(C)(D)

第 6 題(B)(C)

第 7 題(A)(B)(D)(E)

第 8 題(A)(B)(D)(E)

第 9 題

12

第 10 題

40

第 11 題

0

第 12 題

- 14

第 13 題

2.1

第 14 題

18

第 15 題

276

第 16 題

6

第 17 題(1)

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ = 6

；(2)

x = - 2

或

x = 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：循環小數、根式估算與比大小、半衰期

第 1 題答案 (C)。(A)

π

是無理數，是不循環的無限小數。(B)

2^{- 3} = \frac{1}{8} = 0.125

，是有限小數。(C)

\frac{2}{21}

已是最簡分數，分母

21 = 3 \times 7

含有

2

、

5

以外的質因數，所以化成小數是循環小數（

\frac{2}{21} = 0. \overline{095238}

）。(D)

2.56 = 1.6

，是有限小數。

最簡分數的分母只含質因數

2

、

5

時是有限小數，含有其他質因數就是循環小數。

第 2 題答案 (B)。

16 < 19 < 25

，所以

4 < 19 < 5

，

24 < 20 + 19 < 25

。開根號：

24 < 20 + 19 < 5

，而

24 > 16 = 4

，所以它介於

4

和

5

之間。

先估裡面的

19

，再估外面那一層。

第 3 題答案 (B)。兩兩相減看正負。

a - c = \frac{5 ( 2 + 2 3 ) - 3 ( 2 2 + 3 3 )}{15} = \frac{3 - 2}{15} > 0

，所以

a > c

。

c - b = \frac{4 ( 2 2 + 3 3 ) - 5 ( 3 2 + 3 )}{20} = \frac{7 3 - 7 2}{20} > 0

，所以

c > b

。合起來

a > c > b

。

另一個看法：

a

、

b

、

c

都是數線上

2

與

3

之間的分點，

3

佔的比重分別是

\frac{2}{3}

、

\frac{1}{4}

、

\frac{3}{5}

，比重越大越靠近

3

，也就越大；

\frac{2}{3} > \frac{3}{5} > \frac{1}{4}

。

第 4 題答案 (D)。每經過一個半衰期（

100

年）質量變成一半。

\frac{3}{96} = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^{5}

，要經過

5

個半衰期，也就是

500

年。逐次檢查：

96 \to 48 \to 24 \to 12 \to 6 \to 3

，剛好

5

次。

02多選 5～8：指數律、有理數與無理數、乘法公式、常用對數

第 5 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A) 對：

(a^{- 3})^{2} \times (a^{- 4})^{- 3} = a^{- 6} \times a^{12} = a^{6}

。(B) 對：

(a^{2} b^{- 1})^{- 2} = a^{- 4} b^{2}

，

(a^{3} b^{4})^{2} = a^{6} b^{8}

，相乘得

a^{2} b^{10}

。(C) 對：

9^{\frac{3}{2}} = (3^{2})^{\frac{3}{2}} = 3^{3} = 27

。(D) 對：

8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 4

，

4^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

，相乘得

2

。(E) 錯：

3 2^{- \frac{3}{5}} = (2^{5})^{- \frac{3}{5}} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

。

(E) 的指數是負的，結果是

8

的倒數。

第 6 題答案 (B)(C)。(A) 錯：取

b = 2 + 1

，

b^{2} = 3 + 22

是無理數。(B) 對：假設

\frac{a}{b} = r

是有理數，因為

a \neq = 0

所以

r \neq = 0

，於是

b = \frac{a}{r}

是有理數，矛盾。(C) 對：假設

\frac{2 a + b}{3} = r

是有理數，則

b = 3 r - 2 a

是有理數，矛盾。(D) 錯：取

a = 1

、

b = 2 + 2

，分子是

2 + 2 + 2 = 2 (2 + 1)

，整個式子等於

2

，是有理數。(E) 錯：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b 2 = 2 - 2 = 0

成立，但

a

、

b

都不是

0

。

(E) 的結論「

a = b = 0

」要在

a

、

b

都是有理數時才成立；這裡

b

是無理數，不能用。(D) 的反例是讓分子變成分母的有理數倍。

第 7 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) 對：兩數和

8

、積

15

是

5

和

3

，

8 + 215 = 5 + 3

。(B) 對：

21 - 45 = 21 - 220

，兩數和

21

、積

20

是

20

和

1

，所以等於

20 - 1 = 25 - 1

。(C) 錯：

5^{3} \times 5^{2 - 3} = 5^{3 + 2 - 3} = 5^{2} = 25

，不是

- 25

。(D) 對：把

a - b

看成一項，

((a - b) + 2)^{2} = (a - b)^{2} + 4 (a - b) + 4 = a^{2} - 2 ab + b^{2} + 4 a - 4 b + 4

。(E) 對：

(2 x + y)^{3} = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} y + 3 (2 x) y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}

。

(B) 要先把

45

改寫成

220

才能找兩數；(C) 正數的任何次方都是正的，不可能是負數。

第 8 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) 對：

1 0^{0} = 1

，所以

lo g 1 = 0

。(B) 對：

1 0^{1} = 10

，所以

lo g 10 = 1

。(C) 錯：

1 0^{l o g 0.5} = 0.5 < 1

。(D) 對：

10 0^{3} = (1 0^{2})^{3} = 1 0^{23}

，所以

lo g 10 0^{3} = 23

。(E) 對：

1 0^{2 l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

，

1 0^{3 l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{3} = 2^{3} = 8

，

9 > 8

。

都用同一件事：

lo g a

就是「

10

的幾次方等於

a

」，所以

1 0^{l o g a} = a

。

判斷「一定是無理數」用反證法（假設是有理數，推出

b

是有理數）；判斷「不一定」只要舉一個反例。

03選填甲～丁（第 9～14 題）：乘法公式、根式化簡、有限小數、絕對值不等式

第 9 題(1)

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 4^{2} - 2 \times 2 = 12

。

第 10 題(2)

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 4^{3} - 3 \times 2 \times 4 = 64 - 24 = 40

。也可以用

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = 4 \times (12 - 2) = 40

，兩種算法一致。

第 11 題(1) 各項化成

2

的倍數：

18 = 32

，

8 = 22

，

72 = 62

。原式

= 32 + 22 - 62 + 2 = 0

。

第 12 題(2) 通分，公分母是

(3 - 2) (3 + 2) = 3 - 4 = - 1

。分子是

(3 + 2)^{2} + (3 - 2)^{2} = (7 + 43) + (7 - 43) = 14

。所以原式

= \frac{14}{- 1} = - 14

。

3 < 2

，所以

3 - 2

是負的，兩個分數都是負數，答案是負的。答案卡上第一格劃負號。

第 13 題

140 = 2^{2} \times 5 \times 7

。分數要能化成有限小數，約分後分母只能有質因數

2

和

5

，所以分子

290 + a

必須是

7

的倍數，才能把分母的

7

約掉。

a

是

1

到

9

的整數，

290 + a

在

291

到

299

之間，其中

7

的倍數只有

294 = 7 \times 42

，所以

a = 4

。

\frac{294}{140} = \frac{21}{10} = 2.1

。

區間

(0, 10)

不含端點，

a

只能是

1, 2, \dots, 9

。

第 14 題解是「

x \leq - 6

或

x \geq 4

」，兩個端點

- 6

、

4

的中點是

- 1

，到中點的距離是

5

，所以解等於

∣ x + 1∣ \geq 5

。要和

∣ a x - 3∣

對照，常數項要是

- 3

：兩邊乘以

3

得

∣3 x + 3∣ \geq 15

，而

∣3 x + 3∣ = ∣ - 3 x - 3∣

，所以

∣ - 3 x - 3∣ \geq 15

。對照得

a = - 3

、

b = 15

，

b - a = 15 - (- 3) = 18

。驗算：

∣ - 3 x - 3∣ \geq 15

即

- 3 x - 3 \geq 15

或

- 3 x - 3 \leq - 15

，得

x \leq - 6

或

x \geq 4

。

∣3 x + 3∣

和

∣ - 3 x - 3∣

相等，要配合題目的「

- 3

」選後者，所以

a

是負的。

「

x \leq p

或

x \geq q

」這種解，先找兩個端點的中點

m

和端點到中點的距離

r

，寫成

∣ x - m ∣ \geq r

，再乘上適當的倍數去對照題目的式子。

04選填戊與計算題己（第 15～17 題）：算幾不等式、絕對值方程式

第 15 題設底面長方形的兩邊長是

x

、

y

公分（

x > 0

，

y > 0

）。

360

ml 就是

360

立方公分，高

10

公分，所以

10 x y = 360

，

x y = 36

。底面面積是

x y = 36

；四個側面是兩個

10 x

和兩個

10 y

，合計

20 (x + y)

。表面積總和

S = 36 + 20 (x + y)

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y = 6

，得

x + y \geq 12

，所以

S \geq 36 + 20 \times 12 = 276

。等號在

x = y = 6

時成立，最小值是

276

平方公分。

水杯沒有蓋子，只算一個底面和四個側面。底面面積

x y = 36

是固定的，會變的只有側面的

20 (x + y)

。

第 16 題算幾不等式的等號在

x = y

時成立，配合

x y = 36

得

x = y = 6

。這時底面是邊長

6

公分的正方形，底面的長是

6

公分。驗算：

36 + 4 \times (6 \times 10) = 276

。

第 17 題(1) 數線上兩點的距離是坐標差的絕對值。胖虎家到小叮噹家的距離是

∣ x - (- 1) ∣ = ∣ x + 1∣

，到小夫家的距離是

∣ x - 3∣

，所以方程式是

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ = 6

。(2) 以

- 1

和

3

為分界分三段。①

x < - 1

：

x + 1 < 0

、

x - 3 < 0

，方程式變成

- (x + 1) - (x - 3) = 6

，

- 2 x + 2 = 6

，

x = - 2

，符合

x < - 1

。②

- 1 \leq x \leq 3

：

x + 1 \geq 0

、

x - 3 \leq 0

，方程式變成

(x + 1) - (x - 3) = 6

，也就是

4 = 6

，不成立，這一段沒有解。③

x > 3

：方程式變成

(x + 1) + (x - 3) = 6

，

2 x - 2 = 6

，

x = 4

，符合

x > 3

。所以

x = - 2

或

x = 4

。驗算：

x = - 2

時

1 + 5 = 6

；

x = 4

時

5 + 1 = 6

。

A

、

B

相距

4

。胖虎家在兩家之間時距離和恆為

4

，不可能是

6

；所以一定在外側，往外多走

1

就會讓距離和多

2

，得到

- 2

和

4

。每一段解出來都要檢查有沒有落在那一段的範圍裡。

兩個正數的積固定時，和在兩數相等時最小；兩個絕對值相加的方程式，照絕對值裡面變號的點把數線分段討論。

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常見問題

基隆高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 6 題的 (D) 和 (E) 要自己舉反例，(E) 的結論只在兩個數都是有理數時才成立；單選第 3 題三個根式要兩兩相減才比得出來；選填丁要把解寫回絕對值不等式再對照係數，a 是負的；選填戊要先由容量得到底面積固定，再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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御藍教育／段考卷／高一

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一、單一選擇題（每題 5 分，共 20 分。）

下列何者為循環小數？

(A) $π$
(B) $2^{- 3}$
(C) $\frac{2}{21}$
(D) $2.56$

20 + 19

介於哪兩個整數之間？

(A) $3 \sim 4$ 之間
(B) $4 \sim 5$ 之間
(C) $5 \sim 6$ 之間
(D) $6 \sim 7$ 之間

試比較

a = \frac{2 + 2 3}{3}

、

b = \frac{3 2 + 3}{4}

、

c = \frac{2 2 + 3 3}{5}

的大小？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$

某放射性元素原來的質量為

96

克，其半衰期為

100

年，試問經過幾年後，這個放射性元素僅剩

3

公克？

(A) $350$ 年
(B) $400$ 年
(C) $450$ 年
(D) $500$ 年

二、多重選擇題（每題 5 分，共 20 分。錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上不給分。）

已知

a, b > 0

，下列何者為真？

(A) $(a^{- 3})^{2} \times (a^{- 4})^{- 3} = a^{6}$
(B) $(a^{2} b^{- 1})^{- 2} \cdot (a^{3} b^{4})^{2} = a^{2} b^{10}$
(C) $9^{\frac{3}{2}} = 27$
(D) $8^{\frac{2}{3}} \cdot 4^{- \frac{1}{2}} = 2$
(E) $3 2^{- \frac{3}{5}} = 8$

設

a

為非零之有理數，

b

為無理數。請從下列敘述中，選出所有正確選項：

(A) $b^{2}$ 為有理數
(B) $\frac{a}{b}$ 為無理數
(C) $\frac{2 a + b}{3}$ 為無理數
(D) $\frac{2 a + b}{2 + 1}$ 為無理數
(E) 若 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = b = 0$

下列選項何者正確？

(A) $8 + 215 = 5 + 3$
(B) $21 - 45 = 25 - 1$
(C) $5^{3} \times 5^{2 - 3} = - 25$
(D) $(a - b + 2)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} + 4 a - 4 b + 4$
(E) $(2 x + y)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}$

關於常用對數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) $lo g 1 = 0$
(B) $lo g 10 = 1$
(C) $1 0^{l o g 0.5} > 1$
(D) $lo g 10 0^{3} = 23$
(E) $1 0^{2 l o g 3} > 1 0^{3 l o g 2}$

三、選填題（每格 6 分，共 48 分。）（本頁第 9～16 題依序為原卷甲(1)、甲(2)、乙(1)、乙(2)、丙、丁、戊第一格、戊第二格）

選填題甲（第 9～10 題）　設

a + b = 4

，

ab = 2

，試求下列各式的值：

(1)

a^{2} + b^{2} =

____。

(2)

a^{3} + b^{3} =

____。

選填題乙（第 11～12 題）　試化簡下列各式：

(1)

18 + 8 - 72 + 2 =

____。

(2)

\frac{3 + 2}{3 - 2} + \frac{3 - 2}{3 + 2} =

____。

已知

a

是位於區間

(0, 10)

內的整數，且

\frac{290 + a}{140}

可以化為有限小數，則將

\frac{290 + a}{140}

化為有限小數後的值為 ____。

設

a

、

b

均為實數。若

∣ a x - 3∣ \geq b

之解為

x \leq - 6

或

x \geq 4

，則

b - a =

____。

選填題戊（第 15～16 題）　基中數學科團隊為慶祝基中

100

週年校慶，打算設計一款底面為長方形的四角柱水杯（無握柄），經數學老師討論後，希望此水杯高度為

10

公分，最大容量為

360

ml（把水杯裝滿的情況下），且在杯壁厚度忽略不計的情況下，底面和側邊四個面的表面積總和要最小。

試問：底面和側邊四個面的表面積總和最小是 ____ 平方公分；

此時水杯底面的長是 ____ 公分。

四、計算題（共 12 分，請詳列計算過程，否則不予計分。）（本頁第 17 題為原卷己）

已知小叮噹、小夫、胖虎三人住在同一直線街道上。將他們的家標示在座標上，小叮噹家標示為

A (- 1)

，小夫家標示為

B (3)

，胖虎家標示為

C (x)

，若不確定胖虎家在哪，只知胖虎家到小叮噹家的距離與胖虎家到小夫家的距離和為

6

，試求以下問題：(1) 請將上述句子轉換成

x

的方程式。（4 分）(2) 請解出上述之方程式。（將數線分成三段來討論解的情況）（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(A)(B)(C)(D)

第 6 題(B)(C)

第 7 題(A)(B)(D)(E)

第 8 題(A)(B)(D)(E)

第 9 題

12

第 10 題

40

第 11 題

0

第 12 題

- 14

第 13 題

2.1

第 14 題

18

第 15 題

276

第 16 題

6

第 17 題(1)

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ = 6

；(2)

x = - 2

或

x = 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：循環小數、根式估算與比大小、半衰期

第 1 題答案 (C)。(A)

π

是無理數，是不循環的無限小數。(B)

2^{- 3} = \frac{1}{8} = 0.125

，是有限小數。(C)

\frac{2}{21}

已是最簡分數，分母

21 = 3 \times 7

含有

2

、

5

以外的質因數，所以化成小數是循環小數（

\frac{2}{21} = 0. \overline{095238}

）。(D)

2.56 = 1.6

，是有限小數。

最簡分數的分母只含質因數

2

、

5

時是有限小數，含有其他質因數就是循環小數。

第 2 題答案 (B)。

16 < 19 < 25

，所以

4 < 19 < 5

，

24 < 20 + 19 < 25

。開根號：

24 < 20 + 19 < 5

，而

24 > 16 = 4

，所以它介於

4

和

5

之間。

先估裡面的

19

，再估外面那一層。

第 3 題答案 (B)。兩兩相減看正負。

a - c = \frac{5 ( 2 + 2 3 ) - 3 ( 2 2 + 3 3 )}{15} = \frac{3 - 2}{15} > 0

，所以

a > c

。

c - b = \frac{4 ( 2 2 + 3 3 ) - 5 ( 3 2 + 3 )}{20} = \frac{7 3 - 7 2}{20} > 0

，所以

c > b

。合起來

a > c > b

。

另一個看法：

a

、

b

、

c

都是數線上

2

與

3

之間的分點，

3

佔的比重分別是

\frac{2}{3}

、

\frac{1}{4}

、

\frac{3}{5}

，比重越大越靠近

3

，也就越大；

\frac{2}{3} > \frac{3}{5} > \frac{1}{4}

。

第 4 題答案 (D)。每經過一個半衰期（

100

年）質量變成一半。

\frac{3}{96} = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^{5}

，要經過

5

個半衰期，也就是

500

年。逐次檢查：

96 \to 48 \to 24 \to 12 \to 6 \to 3

，剛好

5

次。

02多選 5～8：指數律、有理數與無理數、乘法公式、常用對數

第 5 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A) 對：

(a^{- 3})^{2} \times (a^{- 4})^{- 3} = a^{- 6} \times a^{12} = a^{6}

。(B) 對：

(a^{2} b^{- 1})^{- 2} = a^{- 4} b^{2}

，

(a^{3} b^{4})^{2} = a^{6} b^{8}

，相乘得

a^{2} b^{10}

。(C) 對：

9^{\frac{3}{2}} = (3^{2})^{\frac{3}{2}} = 3^{3} = 27

。(D) 對：

8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 4

，

4^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

，相乘得

2

。(E) 錯：

3 2^{- \frac{3}{5}} = (2^{5})^{- \frac{3}{5}} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

。

(E) 的指數是負的，結果是

8

的倒數。

第 6 題答案 (B)(C)。(A) 錯：取

b = 2 + 1

，

b^{2} = 3 + 22

是無理數。(B) 對：假設

\frac{a}{b} = r

是有理數，因為

a \neq = 0

所以

r \neq = 0

，於是

b = \frac{a}{r}

是有理數，矛盾。(C) 對：假設

\frac{2 a + b}{3} = r

是有理數，則

b = 3 r - 2 a

是有理數，矛盾。(D) 錯：取

a = 1

、

b = 2 + 2

，分子是

2 + 2 + 2 = 2 (2 + 1)

，整個式子等於

2

，是有理數。(E) 錯：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b 2 = 2 - 2 = 0

成立，但

a

、

b

都不是

0

。

(E) 的結論「

a = b = 0

」要在

a

、

b

都是有理數時才成立；這裡

b

是無理數，不能用。(D) 的反例是讓分子變成分母的有理數倍。

第 7 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) 對：兩數和

8

、積

15

是

5

和

3

，

8 + 215 = 5 + 3

。(B) 對：

21 - 45 = 21 - 220

，兩數和

21

、積

20

是

20

和

1

，所以等於

20 - 1 = 25 - 1

。(C) 錯：

5^{3} \times 5^{2 - 3} = 5^{3 + 2 - 3} = 5^{2} = 25

，不是

- 25

。(D) 對：把

a - b

看成一項，

((a - b) + 2)^{2} = (a - b)^{2} + 4 (a - b) + 4 = a^{2} - 2 ab + b^{2} + 4 a - 4 b + 4

。(E) 對：

(2 x + y)^{3} = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} y + 3 (2 x) y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}

。

(B) 要先把

45

改寫成

220

才能找兩數；(C) 正數的任何次方都是正的，不可能是負數。

第 8 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) 對：

1 0^{0} = 1

，所以

lo g 1 = 0

。(B) 對：

1 0^{1} = 10

，所以

lo g 10 = 1

。(C) 錯：

1 0^{l o g 0.5} = 0.5 < 1

。(D) 對：

10 0^{3} = (1 0^{2})^{3} = 1 0^{23}

，所以

lo g 10 0^{3} = 23

。(E) 對：

1 0^{2 l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

，

1 0^{3 l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{3} = 2^{3} = 8

，

9 > 8

。

都用同一件事：

lo g a

就是「

10

的幾次方等於

a

」，所以

1 0^{l o g a} = a

。

判斷「一定是無理數」用反證法（假設是有理數，推出

b

是有理數）；判斷「不一定」只要舉一個反例。

03選填甲～丁（第 9～14 題）：乘法公式、根式化簡、有限小數、絕對值不等式

第 9 題(1)

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 4^{2} - 2 \times 2 = 12

。

第 10 題(2)

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 4^{3} - 3 \times 2 \times 4 = 64 - 24 = 40

。也可以用

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = 4 \times (12 - 2) = 40

，兩種算法一致。

第 11 題(1) 各項化成

2

的倍數：

18 = 32

，

8 = 22

，

72 = 62

。原式

= 32 + 22 - 62 + 2 = 0

。

第 12 題(2) 通分，公分母是

(3 - 2) (3 + 2) = 3 - 4 = - 1

。分子是

(3 + 2)^{2} + (3 - 2)^{2} = (7 + 43) + (7 - 43) = 14

。所以原式

= \frac{14}{- 1} = - 14

。

3 < 2

，所以

3 - 2

是負的，兩個分數都是負數，答案是負的。答案卡上第一格劃負號。

第 13 題

140 = 2^{2} \times 5 \times 7

。分數要能化成有限小數，約分後分母只能有質因數

2

和

5

，所以分子

290 + a

必須是

7

的倍數，才能把分母的

7

約掉。

a

是

1

到

9

的整數，

290 + a

在

291

到

299

之間，其中

7

的倍數只有

294 = 7 \times 42

，所以

a = 4

。

\frac{294}{140} = \frac{21}{10} = 2.1

。

區間

(0, 10)

不含端點，

a

只能是

1, 2, \dots, 9

。

第 14 題解是「

x \leq - 6

或

x \geq 4

」，兩個端點

- 6

、

4

的中點是

- 1

，到中點的距離是

5

，所以解等於

∣ x + 1∣ \geq 5

。要和

∣ a x - 3∣

對照，常數項要是

- 3

：兩邊乘以

3

得

∣3 x + 3∣ \geq 15

，而

∣3 x + 3∣ = ∣ - 3 x - 3∣

，所以

∣ - 3 x - 3∣ \geq 15

。對照得

a = - 3

、

b = 15

，

b - a = 15 - (- 3) = 18

。驗算：

∣ - 3 x - 3∣ \geq 15

即

- 3 x - 3 \geq 15

或

- 3 x - 3 \leq - 15

，得

x \leq - 6

或

x \geq 4

。

∣3 x + 3∣

和

∣ - 3 x - 3∣

相等，要配合題目的「

- 3

」選後者，所以

a

是負的。

「

x \leq p

或

x \geq q

」這種解，先找兩個端點的中點

m

和端點到中點的距離

r

，寫成

∣ x - m ∣ \geq r

，再乘上適當的倍數去對照題目的式子。

04選填戊與計算題己（第 15～17 題）：算幾不等式、絕對值方程式

第 15 題設底面長方形的兩邊長是

x

、

y

公分（

x > 0

，

y > 0

）。

360

ml 就是

360

立方公分，高

10

公分，所以

10 x y = 360

，

x y = 36

。底面面積是

x y = 36

；四個側面是兩個

10 x

和兩個

10 y

，合計

20 (x + y)

。表面積總和

S = 36 + 20 (x + y)

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y = 6

，得

x + y \geq 12

，所以

S \geq 36 + 20 \times 12 = 276

。等號在

x = y = 6

時成立，最小值是

276

平方公分。

水杯沒有蓋子，只算一個底面和四個側面。底面面積

x y = 36

是固定的，會變的只有側面的

20 (x + y)

。

第 16 題算幾不等式的等號在

x = y

時成立，配合

x y = 36

得

x = y = 6

。這時底面是邊長

6

公分的正方形，底面的長是

6

公分。驗算：

36 + 4 \times (6 \times 10) = 276

。

第 17 題(1) 數線上兩點的距離是坐標差的絕對值。胖虎家到小叮噹家的距離是

∣ x - (- 1) ∣ = ∣ x + 1∣

，到小夫家的距離是

∣ x - 3∣

，所以方程式是

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ = 6

。(2) 以

- 1

和

3

為分界分三段。①

x < - 1

：

x + 1 < 0

、

x - 3 < 0

，方程式變成

- (x + 1) - (x - 3) = 6

，

- 2 x + 2 = 6

，

x = - 2

，符合

x < - 1

。②

- 1 \leq x \leq 3

：

x + 1 \geq 0

、

x - 3 \leq 0

，方程式變成

(x + 1) - (x - 3) = 6

，也就是

4 = 6

，不成立，這一段沒有解。③

x > 3

：方程式變成

(x + 1) + (x - 3) = 6

，

2 x - 2 = 6

，

x = 4

，符合

x > 3

。所以

x = - 2

或

x = 4

。驗算：

x = - 2

時

1 + 5 = 6

；

x = 4

時

5 + 1 = 6

。

A

、

B

相距

4

。胖虎家在兩家之間時距離和恆為

4

，不可能是

6

；所以一定在外側，往外多走

1

就會讓距離和多

2

，得到

- 2

和

4

。每一段解出來都要檢查有沒有落在那一段的範圍裡。

兩個正數的積固定時，和在兩數相等時最小；兩個絕對值相加的方程式，照絕對值裡面變號的點把數線分段討論。

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