段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

大同高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 10 題（60 分）、混合題 1 題組 3 小題（10 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 90 分）　一、單選題（占 15 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題 5 分。

計算

\frac{0.1 2}{0. 12} =

？

(1) $\frac{121}{999}$
(2) $\frac{121}{990}$
(3) $\frac{119}{999}$
(4) $\frac{119}{990}$
(5) $\frac{121}{120}$

已知

m

、

n

為實數且

m < n

，令

a = \frac{m + 4 n}{5}

、

b = \frac{3 m + 4 n}{7}

、

c = \frac{3 m - n}{2}

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為下列何者？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

設

lo g a = \frac{1}{1 + 5} + \frac{1}{5 + 3} + \frac{1}{3 + 13} + \dots + \frac{1}{117 + 11}

，且將

a

表示為科學記號時為

b \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq b < 10

，

n

是正整數，則

a

的整數部分是幾位數？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $10$
(5) $11$

二、多選題（占 15 分）說明：第 4 題至第 6 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

請問下列哪些選項是正確的？

(1) $\frac{1127}{280}$ 可化為有限小數
(2) 設 $m$ 、 $n$ 為正整數，將 $\frac{m}{n}$ 化為循環小數時，循環節至多為 $n - 1$ 位
(3) 設 $x$ 為正數，則 $x$ 皆可用尺規作圖得到
(4) 設 $x > 0$ ，則 $x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = x - \frac{1}{x}$
(5) 任意兩個相異有理數之間，必定存在其他的有理數

關於方程式

∣ x - 4∣ + ∣ x - 10∣ = 6

的解，與下列何者相同？

(1) $x = 7$
(2) $∣ x - 4∣ = 3$
(3) $∣ - 2 x + 14∣ \leq 6$
(4) ${∣ x - 2∣ \geq 3 0 \leq x \leq 10$
(5) $2 \leq ∣ x - 6∣ \leq 4$

關於指數、對數的敘述，下列何者正確？

(1) 若 $a$ 為實數且 $m$ 、 $n$ 為正整數，則 $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$
(2) 設 $a > 0$ ，若 $1 0^{x} = a$ ，則 $x = lo g a$
(3) $1 0^{l o g 0.4771} = 3$
(4) 設 $a$ 、 $b$ 皆為正數， $1 0^{l o g a} + 1 0^{l o g b} = a \times b$
(5) 已知 $lo g 3 \approx 0.4771$ ，則 $3^{100}$ 是 $48$ 位數

三、填充題（占 60 分）說明：第 7 題至第 16 題，每題 6 分。

計算

1 0^{l o g 45 - l o g 30} + lo g 10 - lo g \frac{1}{1000} + lo g 0.1 =

____。

化簡

2 7^{1 + 2} \times 9^{\frac{- 3 2}{2}} \times 3128 \div 32 \div 332 \times 4 =

____。

解絕對值方程式

2∣ x - 1∣ - 3 x = 7

，則

x =

____。

設

a^{2 x} = 3 - 2

，且

a > 0

，

x

為實數，則

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} =

____。

已知

a

為正整數，若

a - 48 + 28 + 512

是有理數，則

a =

____。

設

a

、

b

為實數，滿足

72 0^{a} = 4

，

4 5^{b} = 128

，求

\frac{2}{a} - \frac{7}{b} =

____。

設

lo g a = 1.14

，已知

b

是

a

的

\frac{1}{1000}

倍，則

lo g b =

____。

已知

a = 2.0251014 \times 1 0^{9} + 1.142025 \times 1 0^{8}

，將

a

用科學記號表示且係數部分取

3

位有效數字則

a =

____

\times 1 0^{9}

。

放射性物質的半衰期

T

定義為：每經過時間

T

，該物質的質量會衰減為原來的一半，已知某放射性物質重

4000

克，經過

8

年質量剩下

500

克，則當此物質的質量剩下

62.5

克時，需要經過的總時間長為 ____ 年。

設

E (r)

為芮氏地震規模

r

的地震震央所釋放出來的能量，

E (r)

與

r

的關係為：

lo g E (r) = 11.8 + 1.5 \times r

。已知 2024 年台灣花蓮發生地震規模為

7.2

，2016 年高雄美濃地震的規模為

6.6

，試問花蓮地震所釋放出的能量為美濃地震的 ____ 倍。（已知

1 0^{0.9} \approx 7.9433

，請四捨五入到整數位）

第貳部分：混合題（占 10 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

第 17～19 題題組（第 17～19 題）　臺北市立大同高中將迎向 90 周年校慶，校方想在操場製作一個「90」的紀念圖案。學校想在操場中央布置一個「90」的樣子，並利用空拍機由上往下拍攝這個紀念性的一刻。設計的方式如下：以

\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D A} + \overline{C E} + \overline{F G} + \overline{G H} + \overline{H I} + \overline{F I}

作為紀念圖案的邊長，其中四邊形

A B C D

與四邊形

F G H I

皆為矩形，且

\overline{A B} = \overline{F G}

，

\overline{G H} = 2 \overline{B C} = 2 \overline{C E}

，為了使空拍效果達到最好，矩形

A B C D

與

F G H I

的面積總和必須愈大愈好。已知學校準備的彩虹布條只有

112

公尺，並且希望能夠把準備的布條全部用完，試問：（示意圖附在第 17 題）

設

\overline{A B} = x

，

\overline{A D} = y

，試以

x

、

y

表示此紀念圖案的總長

112

公尺。（非選擇題，2 分）

載入中...

矩形

A B C D

與

F G H I

的面積總和最大值為多少？（非選擇題，4 分）

承 18 題，滿足面積總和有最大值時，此時的

x

、

y

分別是多少公尺？（非選擇題，4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)

第 3 題(3)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題(3)

第 6 題(2)(5)

第 7 題

4

第 8 題

54

第 9 題

- 1

第 10 題

23 - 1

第 11 題

7

第 12 題

4

第 13 題

- 1.86

第 14 題

2.14

第 15 題

16

第 16 題

8

第 17 題

4 x + 7 y = 112

第 18 題

336

平方公尺

第 19 題

x = 14

，

y = 8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：循環小數、比大小、有理化求和

第 1 題答案 (5)。分子

0.1 \overline{2} = 0.1 + 0.0 \overline{2} = \frac{1}{10} + \frac{2}{90} = \frac{11}{90}

；分母

0. \overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}

。相除：

\frac{11}{90} \times \frac{33}{4} = \frac{363}{360} = \frac{121}{120}

。

分子只有

2

在循環（

0.1222 \dots

），分母是

12

兩位一起循環（

0.1212 \dots

），兩個數不一樣。分子比分母大，所以答案大於

1

，只有 (5) 符合。

第 2 題答案 (1)。用相減比大小。

a - b = \frac{7 ( m + 4 n ) - 5 ( 3 m + 4 n )}{35} = \frac{8 ( n - m )}{35} > 0

，所以

a > b

。

b - c = \frac{2 ( 3 m + 4 n ) - 7 ( 3 m - n )}{14} = \frac{15 ( n - m )}{14} > 0

，所以

b > c

。合起來

a > b > c

。

也可以代數字檢查：取

m = 0

、

n = 1

，得

a = \frac{4}{5}

、

b = \frac{4}{7}

、

c = - \frac{1}{2}

。

第 3 題答案 (3)。分母的根號內依序是

1, 5, 9, 13, \dots, 117, 121

，每次多

4

。每一項有理化：

\frac{1}{k + k + 4} = \frac{k + 4 - k}{4}

。相加時中間各項前後消去，只剩

\frac{121 - 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

。所以

lo g a = 2.5

，

a = 1 0^{2.5} = 1 0^{0.5} \times 1 0^{2} = 10 \times 1 0^{2} \approx 316

，整數部分是

3

位數。

1 0^{2} \leq a < 1 0^{3}

，科學記號的

n = 2

，位數是

n + 1 = 3

，不是

2

。

02多選 4～6：實數的性質、絕對值的幾何意義、指數與對數的定義

第 4 題答案 (1)(2)(5)。(1) 對：

1127 = 7^{2} \times 23

，

280 = 2^{3} \times 5 \times 7

，約分後是

\frac{161}{40}

，分母只有質因數

2

和

5

，可化為有限小數（

4.025

）。(2) 對：用長除法算

m \div n

，每一步的餘數只可能是

1, 2, \dots, n - 1

（餘

0

就除盡了），最多

n - 1

步之後餘數一定重複，所以循環節至多

n - 1

位。(3) 錯：尺規作圖要先能作出長度

x

的線段才能作

x

，但不是每個正數都作得出來，例如

x = π

時

π

就無法用尺規作出。(4) 錯：

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = (x - \frac{1}{x})^{2}

，開根號得

x - \frac{1}{x}

；當

0 < x < 1

時

x - \frac{1}{x} < 0

，等式不成立（例如

x = \frac{1}{2}

，左邊是

\frac{3}{2}

，右邊是

- \frac{3}{2}

）。(5) 對：兩個相異有理數

p

、

q

的平均

\frac{p + q}{2}

仍是有理數，而且在兩數之間。

(3) 課本作的是

2, 3, \dots

這類從單位長出發作得出來的長度；

π

作不出來是已知的結論，高中不證明。(4) 開平方之後要加絕對值。

第 5 題答案 (3)。

∣ x - 4∣ + ∣ x - 10∣

是數線上

x

到

4

與到

10

的距離和，而

4

與

10

相距

6

，所以距離和等於

6

就是

x

在兩點之間：

4 \leq x \leq 10

。(1)(2) 只有一個或兩個點（

x = 7

；

x = 1

或

7

），不同。(3)

∣ - 2 x + 14∣ = 2∣ x - 7∣ \leq 6

，即

∣ x - 7∣ \leq 3

，

4 \leq x \leq 10

，相同。(4)

∣ x - 2∣ \geq 3

是

x \geq 5

或

x \leq - 1

，與

0 \leq x \leq 10

取共同部分得

5 \leq x \leq 10

，不同。(5)

2 \leq ∣ x - 6∣ \leq 4

是

8 \leq x \leq 10

或

2 \leq x \leq 4

，不同。

流傳版本的參考答案寫 (3)(4)，但照印的 (4) 解為

5 \leq x \leq 10

（

x = 4

滿足原方程式，卻不滿足

∣ x - 2∣ \geq 3

），與原方程式的解不同；若 (4) 的第一式是

∣ x - 1∣ \geq 3

，解才會是

4 \leq x \leq 10

。本頁依照印的選項作答。

第 6 題答案 (2)(5)。(1) 錯：分數指數

a^{\frac{m}{n}}

只對

a > 0

定義，

a

為負數或

0

時不一定有意義（例如

a = - 1

、

m = 1

、

n = 2

）。(2) 對：這就是

lo g a

的定義。(3) 錯：

1 0^{l o g 0.4771} = 0.4771

；等於

3

的是

1 0^{0.4771}

。(4) 錯：

1 0^{l o g a} = a

、

1 0^{l o g b} = b

，左邊是

a + b

。(5) 對：

3 \approx 1 0^{0.4771}

，

3^{100} \approx 1 0^{47.71}

，介於

1 0^{47}

與

1 0^{48}

之間，是

48

位數。

(3)

lo g 3 \approx 0.4771

的意思是

1 0^{0.4771} \approx 3

，指數位置放的是

0.4771

本身，不是

lo g 0.4771

。

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣

看成到兩點的距離和：等於兩點距離時解是整段區間，大於時是兩個點，小於時無解。

03填充 7～11：對數求值、指數律、絕對值方程式、雙重根號

第 7 題

1 0^{l o g 45 - l o g 30} = \frac{1 0 ^{l o g 45}}{1 0 ^{l o g 30}} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}

。

lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

，

lo g \frac{1}{1000} = lo g 1 0^{- 3} = - 3

，

lo g 0.1 = - 1

。原式

= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - (- 3) + (- 1) = 4

。

第 8 題底數

3

的部分：

2 7^{1 + 2} = 3^{3 + 32}

，

9^{\frac{- 3 2}{2}} = 3^{- 32}

，相乘得

3^{3} = 27

。底數

2

的部分：

3128 = 2^{\frac{7}{3}}

，

32 = 2^{\frac{5}{2}}

，

332 = 2^{\frac{5}{6}}

，

4 = 2^{2}

，指數是

\frac{7}{3} - \frac{5}{2} - \frac{5}{6} + 2 = \frac{14 - 15 - 5 + 12}{6} = 1

。所以原式

= 27 \times 2 = 54

。

流傳版本題幹的第一個除數印作

32

，照印計算得

27 \times 2^{\frac{9}{4}} = 10842

，不是整數，填不進兩個格子；依參考答案

54

應為

32

，本頁題幹已改。（另一種可能是末項

\times 4

原為

\times 48

，同樣得

54

。）

第 9 題分兩段。

x \geq 1

時：

2 (x - 1) - 3 x = 7

，

x = - 9

，不在

x \geq 1

的範圍，不合。

x < 1

時：

2 (1 - x) - 3 x = 7

，

- 5 x = 5

，

x = - 1

，符合

x < 1

。所以

x = - 1

。驗算：

2 \times ∣ - 2∣ - 3 \times (- 1) = 4 + 3 = 7

。

分段解出來的值要檢查是否在那一段的範圍內，

x = - 9

要捨去。

第 10 題由立方和公式

a^{3 x} + a^{- 3 x} = (a^{x} + a^{- x}) (a^{2 x} - 1 + a^{- 2 x})

，所以所求

= a^{2 x} - 1 + a^{- 2 x}

。

a^{- 2 x} = \frac{1}{3 - 2} = 3 + 2

，代入得

(3 - 2) - 1 + (3 + 2) = 23 - 1

。

立方和分解後中間那一項是

a^{x} \cdot a^{- x} = 1

。

第 11 題

28 + 512 = 28 + 275

，兩數和

28

、積

75

是

25

和

3

，所以等於

5 + 3

。設總和是有理數

r

，則

a - 48 = (r - 5) - 3

。令

s = r - 5

（有理數），兩邊平方：

a - 43 = s^{2} + 3 - 2 s 3

。比較

3

的係數得

2 s = 4

，

s = 2

；比較有理數部分得

a = s^{2} + 3 = 7

。驗算：

7 - 43 = 7 - 212 = 2 - 3

，總和

(2 - 3) + (5 + 3) = 7

。

512

要先把

5

收進根號並湊出係數

2

：

512 = 103 = 275

。

04填充 12～16：化成同底、log 的意義、科學記號、半衰期與地震能量

第 12 題把兩式都化成底數

2

。

72 0^{a} = 4 = 2^{2}

，兩邊取

\frac{1}{a}

次方得

720 = 2^{\frac{2}{a}}

；

4 5^{b} = 128 = 2^{7}

，兩邊取

\frac{1}{b}

次方得

45 = 2^{\frac{7}{b}}

。相除：

2^{\frac{2}{a} - \frac{7}{b}} = \frac{720}{45} = 16 = 2^{4}

，所以

\frac{2}{a} - \frac{7}{b} = 4

。

所求是

\frac{2}{a}

和

\frac{7}{b}

，所以把

a

、

b

移到

2

的指數上，再利用

720 \div 45 = 16

。

第 13 題

lo g a = 1.14

表示

a = 1 0^{1.14}

。

b = \frac{a}{1000} = 1 0^{1.14} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{- 1.86}

，所以

lo g b = - 1.86

。

縮小成

\frac{1}{1000}

倍，

lo g

值是減

3

，不是除以

1000

。

第 14 題先把兩數化成同樣的

1 0^{9}

：

1.142025 \times 1 0^{8} = 0.1142025 \times 1 0^{9}

。相加：

a = (2.0251014 + 0.1142025) \times 1 0^{9} = 2.1393039 \times 1 0^{9}

。係數取

3

位有效數字，第四位是

9

要進位，得

2.14 \times 1 0^{9}

。

次方不同不能直接把係數相加，要先調成相同的次方。

第 15 題

4000

克剩下

500

克是原來的

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，表示

8

年經過了

3

個半衰期，

T = \frac{8}{3}

年。

62.5

克是

4000

克的

\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}

，要經過

6

個半衰期，總時間

6 \times \frac{8}{3} = 16

年。

題目問的是從

4000

克開始算的總時間。從

500

克到

62.5

克是再經過

3

個半衰期（再

8

年），合計

16

年。

第 16 題

lo g E (7.2) = 11.8 + 1.5 \times 7.2 = 22.6

，

lo g E (6.6) = 11.8 + 1.5 \times 6.6 = 21.7

，所以

E (7.2) = 1 0^{22.6}

，

E (6.6) = 1 0^{21.7}

。倍數

= \frac{1 0 ^{22.6}}{1 0 ^{21.7}} = 1 0^{0.9} \approx 7.9433

，四捨五入到整數位是

8

倍。

規模相差

0.6

，能量的指數相差

1.5 \times 0.6 = 0.9

。

lo g x = k

就是

x = 1 0^{k}

。遇到倍數、位數的問題，先把數寫成

10

的次方，再用指數律處理。

05混合題 17～19：用算幾不等式求「90」圖案的最大面積

第 17 題矩形

A B C D

：

\overline{A B} = \overline{C D} = x

，

\overline{B C} = \overline{D A} = y

。

\overline{C E} = \overline{B C} = y

。矩形

F G H I

：

\overline{F G} = \overline{H I} = x

，

\overline{G H} = \overline{F I} = 2 y

。九段相加：

(2 x + 2 y) + y + (2 x + 4 y) = 4 x + 7 y

，所以

4 x + 7 y = 112

。

\overline{C E}

只有一段，不要漏掉；「0」的直邊是

2 y

不是

y

。

第 18 題面積總和

= x y + x \cdot 2 y = 3 x y

。

x > 0

、

y > 0

，由算幾不等式

\frac{4 x + 7 y}{2} \geq 4 x \cdot 7 y

，即

56 \geq 28 x y

。兩邊平方：

3136 \geq 28 x y

，

x y \leq 112

。所以面積總和

3 x y \leq 336

，最大值是

336

平方公尺（等號成立的情形見第 19 題）。

算幾不等式要用在

4 x

與

7 y

這兩個「和為定值」的數上，不是直接用在

x

與

y

上。

第 19 題算幾不等式的等號在

4 x = 7 y

時成立。又

4 x + 7 y = 112

，所以

4 x = 7 y = 56

，得

x = 14

、

y = 8

（公尺）。驗算：總長

4 \times 14 + 7 \times 8 = 112

，面積總和

3 \times 14 \times 8 = 336

。

兩個正數的和固定時，乘積在兩數相等時最大。先把限制式寫成「兩項之和＝定值」，再對這兩項用算幾不等式。

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常見問題

大同高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

大同高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要先把每一項有理化、前後相消求出 log a 等於 2.5，再判斷位數是 3 而不是 2；第 4 題的選項 (4) 開平方後要加絕對值；第 11 題要先化簡第二個雙重根號，再用有理數與無理數分開比較求 a；第 18 題的算幾不等式要用在 4x 與 7y 這兩項上。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自大同高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

大同高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 10 題（60 分）、混合題 1 題組 3 小題（10 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 90 分）　一、單選題（占 15 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題 5 分。

計算

\frac{0.1 2}{0. 12} =

？

(1) $\frac{121}{999}$
(2) $\frac{121}{990}$
(3) $\frac{119}{999}$
(4) $\frac{119}{990}$
(5) $\frac{121}{120}$

已知

m

、

n

為實數且

m < n

，令

a = \frac{m + 4 n}{5}

、

b = \frac{3 m + 4 n}{7}

、

c = \frac{3 m - n}{2}

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為下列何者？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

設

lo g a = \frac{1}{1 + 5} + \frac{1}{5 + 3} + \frac{1}{3 + 13} + \dots + \frac{1}{117 + 11}

，且將

a

表示為科學記號時為

b \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq b < 10

，

n

是正整數，則

a

的整數部分是幾位數？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $10$
(5) $11$

二、多選題（占 15 分）說明：第 4 題至第 6 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

請問下列哪些選項是正確的？

(1) $\frac{1127}{280}$ 可化為有限小數
(2) 設 $m$ 、 $n$ 為正整數，將 $\frac{m}{n}$ 化為循環小數時，循環節至多為 $n - 1$ 位
(3) 設 $x$ 為正數，則 $x$ 皆可用尺規作圖得到
(4) 設 $x > 0$ ，則 $x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = x - \frac{1}{x}$
(5) 任意兩個相異有理數之間，必定存在其他的有理數

關於方程式

∣ x - 4∣ + ∣ x - 10∣ = 6

的解，與下列何者相同？

(1) $x = 7$
(2) $∣ x - 4∣ = 3$
(3) $∣ - 2 x + 14∣ \leq 6$
(4) ${∣ x - 2∣ \geq 3 0 \leq x \leq 10$
(5) $2 \leq ∣ x - 6∣ \leq 4$

關於指數、對數的敘述，下列何者正確？

(1) 若 $a$ 為實數且 $m$ 、 $n$ 為正整數，則 $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$
(2) 設 $a > 0$ ，若 $1 0^{x} = a$ ，則 $x = lo g a$
(3) $1 0^{l o g 0.4771} = 3$
(4) 設 $a$ 、 $b$ 皆為正數， $1 0^{l o g a} + 1 0^{l o g b} = a \times b$
(5) 已知 $lo g 3 \approx 0.4771$ ，則 $3^{100}$ 是 $48$ 位數

三、填充題（占 60 分）說明：第 7 題至第 16 題，每題 6 分。

計算

1 0^{l o g 45 - l o g 30} + lo g 10 - lo g \frac{1}{1000} + lo g 0.1 =

____。

化簡

2 7^{1 + 2} \times 9^{\frac{- 3 2}{2}} \times 3128 \div 32 \div 332 \times 4 =

____。

解絕對值方程式

2∣ x - 1∣ - 3 x = 7

，則

x =

____。

設

a^{2 x} = 3 - 2

，且

a > 0

，

x

為實數，則

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} =

____。

已知

a

為正整數，若

a - 48 + 28 + 512

是有理數，則

a =

____。

設

a

、

b

為實數，滿足

72 0^{a} = 4

，

4 5^{b} = 128

，求

\frac{2}{a} - \frac{7}{b} =

____。

設

lo g a = 1.14

，已知

b

是

a

的

\frac{1}{1000}

倍，則

lo g b =

____。

已知

a = 2.0251014 \times 1 0^{9} + 1.142025 \times 1 0^{8}

，將

a

用科學記號表示且係數部分取

3

位有效數字則

a =

____

\times 1 0^{9}

。

放射性物質的半衰期

T

定義為：每經過時間

T

，該物質的質量會衰減為原來的一半，已知某放射性物質重

4000

克，經過

8

年質量剩下

500

克，則當此物質的質量剩下

62.5

克時，需要經過的總時間長為 ____ 年。

設

E (r)

為芮氏地震規模

r

的地震震央所釋放出來的能量，

E (r)

與

r

的關係為：

lo g E (r) = 11.8 + 1.5 \times r

。已知 2024 年台灣花蓮發生地震規模為

7.2

，2016 年高雄美濃地震的規模為

6.6

，試問花蓮地震所釋放出的能量為美濃地震的 ____ 倍。（已知

1 0^{0.9} \approx 7.9433

，請四捨五入到整數位）

\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D A} + \overline{C E} + \overline{F G} + \overline{G H} + \overline{H I} + \overline{F I}

作為紀念圖案的邊長，其中四邊形

A B C D

與四邊形

F G H I

皆為矩形，且

\overline{A B} = \overline{F G}

，

\overline{G H} = 2 \overline{B C} = 2 \overline{C E}

，為了使空拍效果達到最好，矩形

A B C D

與

F G H I

的面積總和必須愈大愈好。已知學校準備的彩虹布條只有

112

公尺，並且希望能夠把準備的布條全部用完，試問：（示意圖附在第 17 題）

設

\overline{A B} = x

，

\overline{A D} = y

，試以

x

、

y

表示此紀念圖案的總長

112

公尺。（非選擇題，2 分）

載入中...

矩形

A B C D

與

F G H I

的面積總和最大值為多少？（非選擇題，4 分）

承 18 題，滿足面積總和有最大值時，此時的

x

、

y

分別是多少公尺？（非選擇題，4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)

第 3 題(3)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題(3)

第 6 題(2)(5)

第 7 題

4

第 8 題

54

第 9 題

- 1

第 10 題

23 - 1

第 11 題

7

第 12 題

4

第 13 題

- 1.86

第 14 題

2.14

第 15 題

16

第 16 題

8

第 17 題

4 x + 7 y = 112

第 18 題

336

平方公尺

第 19 題

x = 14

，

y = 8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：循環小數、比大小、有理化求和

第 1 題答案 (5)。分子

0.1 \overline{2} = 0.1 + 0.0 \overline{2} = \frac{1}{10} + \frac{2}{90} = \frac{11}{90}

；分母

0. \overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}

。相除：

\frac{11}{90} \times \frac{33}{4} = \frac{363}{360} = \frac{121}{120}

。

分子只有

2

在循環（

0.1222 \dots

），分母是

12

兩位一起循環（

0.1212 \dots

），兩個數不一樣。分子比分母大，所以答案大於

1

，只有 (5) 符合。

第 2 題答案 (1)。用相減比大小。

a - b = \frac{7 ( m + 4 n ) - 5 ( 3 m + 4 n )}{35} = \frac{8 ( n - m )}{35} > 0

，所以

a > b

。

b - c = \frac{2 ( 3 m + 4 n ) - 7 ( 3 m - n )}{14} = \frac{15 ( n - m )}{14} > 0

，所以

b > c

。合起來

a > b > c

。

也可以代數字檢查：取

m = 0

、

n = 1

，得

a = \frac{4}{5}

、

b = \frac{4}{7}

、

c = - \frac{1}{2}

。

第 3 題答案 (3)。分母的根號內依序是

1, 5, 9, 13, \dots, 117, 121

，每次多

4

。每一項有理化：

\frac{1}{k + k + 4} = \frac{k + 4 - k}{4}

。相加時中間各項前後消去，只剩

\frac{121 - 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

。所以

lo g a = 2.5

，

a = 1 0^{2.5} = 1 0^{0.5} \times 1 0^{2} = 10 \times 1 0^{2} \approx 316

，整數部分是

3

位數。

1 0^{2} \leq a < 1 0^{3}

，科學記號的

n = 2

，位數是

n + 1 = 3

，不是

2

。

02多選 4～6：實數的性質、絕對值的幾何意義、指數與對數的定義

第 4 題答案 (1)(2)(5)。(1) 對：

1127 = 7^{2} \times 23

，

280 = 2^{3} \times 5 \times 7

，約分後是

\frac{161}{40}

，分母只有質因數

2

和

5

，可化為有限小數（

4.025

）。(2) 對：用長除法算

m \div n

，每一步的餘數只可能是

1, 2, \dots, n - 1

（餘

0

就除盡了），最多

n - 1

步之後餘數一定重複，所以循環節至多

n - 1

位。(3) 錯：尺規作圖要先能作出長度

x

的線段才能作

x

，但不是每個正數都作得出來，例如

x = π

時

π

就無法用尺規作出。(4) 錯：

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = (x - \frac{1}{x})^{2}

，開根號得

x - \frac{1}{x}

；當

0 < x < 1

時

x - \frac{1}{x} < 0

，等式不成立（例如

x = \frac{1}{2}

，左邊是

\frac{3}{2}

，右邊是

- \frac{3}{2}

）。(5) 對：兩個相異有理數

p

、

q

的平均

\frac{p + q}{2}

仍是有理數，而且在兩數之間。

(3) 課本作的是

2, 3, \dots

這類從單位長出發作得出來的長度；

π

作不出來是已知的結論，高中不證明。(4) 開平方之後要加絕對值。

第 5 題答案 (3)。

∣ x - 4∣ + ∣ x - 10∣

是數線上

x

到

4

與到

10

的距離和，而

4

與

10

相距

6

，所以距離和等於

6

就是

x

在兩點之間：

4 \leq x \leq 10

。(1)(2) 只有一個或兩個點（

x = 7

；

x = 1

或

7

），不同。(3)

∣ - 2 x + 14∣ = 2∣ x - 7∣ \leq 6

，即

∣ x - 7∣ \leq 3

，

4 \leq x \leq 10

，相同。(4)

∣ x - 2∣ \geq 3

是

x \geq 5

或

x \leq - 1

，與

0 \leq x \leq 10

取共同部分得

5 \leq x \leq 10

，不同。(5)

2 \leq ∣ x - 6∣ \leq 4

是

8 \leq x \leq 10

或

2 \leq x \leq 4

，不同。

流傳版本的參考答案寫 (3)(4)，但照印的 (4) 解為

5 \leq x \leq 10

（

x = 4

滿足原方程式，卻不滿足

∣ x - 2∣ \geq 3

），與原方程式的解不同；若 (4) 的第一式是

∣ x - 1∣ \geq 3

，解才會是

4 \leq x \leq 10

。本頁依照印的選項作答。

第 6 題答案 (2)(5)。(1) 錯：分數指數

a^{\frac{m}{n}}

只對

a > 0

定義，

a

為負數或

0

時不一定有意義（例如

a = - 1

、

m = 1

、

n = 2

）。(2) 對：這就是

lo g a

的定義。(3) 錯：

1 0^{l o g 0.4771} = 0.4771

；等於

3

的是

1 0^{0.4771}

。(4) 錯：

1 0^{l o g a} = a

、

1 0^{l o g b} = b

，左邊是

a + b

。(5) 對：

3 \approx 1 0^{0.4771}

，

3^{100} \approx 1 0^{47.71}

，介於

1 0^{47}

與

1 0^{48}

之間，是

48

位數。

(3)

lo g 3 \approx 0.4771

的意思是

1 0^{0.4771} \approx 3

，指數位置放的是

0.4771

本身，不是

lo g 0.4771

。

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣

看成到兩點的距離和：等於兩點距離時解是整段區間，大於時是兩個點，小於時無解。

03填充 7～11：對數求值、指數律、絕對值方程式、雙重根號

第 7 題

1 0^{l o g 45 - l o g 30} = \frac{1 0 ^{l o g 45}}{1 0 ^{l o g 30}} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}

。

lo g 10 = lo g 1 0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

，

lo g \frac{1}{1000} = lo g 1 0^{- 3} = - 3

，

lo g 0.1 = - 1

。原式

= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - (- 3) + (- 1) = 4

。

第 8 題底數

3

的部分：

2 7^{1 + 2} = 3^{3 + 32}

，

9^{\frac{- 3 2}{2}} = 3^{- 32}

，相乘得

3^{3} = 27

。底數

2

的部分：

3128 = 2^{\frac{7}{3}}

，

32 = 2^{\frac{5}{2}}

，

332 = 2^{\frac{5}{6}}

，

4 = 2^{2}

，指數是

\frac{7}{3} - \frac{5}{2} - \frac{5}{6} + 2 = \frac{14 - 15 - 5 + 12}{6} = 1

。所以原式

= 27 \times 2 = 54

。

流傳版本題幹的第一個除數印作

32

，照印計算得

27 \times 2^{\frac{9}{4}} = 10842

，不是整數，填不進兩個格子；依參考答案

54

應為

32

，本頁題幹已改。（另一種可能是末項

\times 4

原為

\times 48

，同樣得

54

。）

第 9 題分兩段。

x \geq 1

時：

2 (x - 1) - 3 x = 7

，

x = - 9

，不在

x \geq 1

的範圍，不合。

x < 1

時：

2 (1 - x) - 3 x = 7

，

- 5 x = 5

，

x = - 1

，符合

x < 1

。所以

x = - 1

。驗算：

2 \times ∣ - 2∣ - 3 \times (- 1) = 4 + 3 = 7

。

分段解出來的值要檢查是否在那一段的範圍內，

x = - 9

要捨去。

第 10 題由立方和公式

a^{3 x} + a^{- 3 x} = (a^{x} + a^{- x}) (a^{2 x} - 1 + a^{- 2 x})

，所以所求

= a^{2 x} - 1 + a^{- 2 x}

。

a^{- 2 x} = \frac{1}{3 - 2} = 3 + 2

，代入得

(3 - 2) - 1 + (3 + 2) = 23 - 1

。

立方和分解後中間那一項是

a^{x} \cdot a^{- x} = 1

。

第 11 題

28 + 512 = 28 + 275

，兩數和

28

、積

75

是

25

和

3

，所以等於

5 + 3

。設總和是有理數

r

，則

a - 48 = (r - 5) - 3

。令

s = r - 5

（有理數），兩邊平方：

a - 43 = s^{2} + 3 - 2 s 3

。比較

3

的係數得

2 s = 4

，

s = 2

；比較有理數部分得

a = s^{2} + 3 = 7

。驗算：

7 - 43 = 7 - 212 = 2 - 3

，總和

(2 - 3) + (5 + 3) = 7

。

512

要先把

5

收進根號並湊出係數

2

：

512 = 103 = 275

。

04填充 12～16：化成同底、log 的意義、科學記號、半衰期與地震能量

第 12 題把兩式都化成底數

2

。

72 0^{a} = 4 = 2^{2}

，兩邊取

\frac{1}{a}

次方得

720 = 2^{\frac{2}{a}}

；

4 5^{b} = 128 = 2^{7}

，兩邊取

\frac{1}{b}

次方得

45 = 2^{\frac{7}{b}}

。相除：

2^{\frac{2}{a} - \frac{7}{b}} = \frac{720}{45} = 16 = 2^{4}

，所以

\frac{2}{a} - \frac{7}{b} = 4

。

所求是

\frac{2}{a}

和

\frac{7}{b}

，所以把

a

、

b

移到

2

的指數上，再利用

720 \div 45 = 16

。

第 13 題

lo g a = 1.14

表示

a = 1 0^{1.14}

。

b = \frac{a}{1000} = 1 0^{1.14} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{- 1.86}

，所以

lo g b = - 1.86

。

縮小成

\frac{1}{1000}

倍，

lo g

值是減

3

，不是除以

1000

。

第 14 題先把兩數化成同樣的

1 0^{9}

：

1.142025 \times 1 0^{8} = 0.1142025 \times 1 0^{9}

。相加：

a = (2.0251014 + 0.1142025) \times 1 0^{9} = 2.1393039 \times 1 0^{9}

。係數取

3

位有效數字，第四位是

9

要進位，得

2.14 \times 1 0^{9}

。

次方不同不能直接把係數相加，要先調成相同的次方。

第 15 題

4000

克剩下

500

克是原來的

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，表示

8

年經過了

3

個半衰期，

T = \frac{8}{3}

年。

62.5

克是

4000

克的

\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}

，要經過

6

個半衰期，總時間

6 \times \frac{8}{3} = 16

年。

題目問的是從

4000

克開始算的總時間。從

500

克到

62.5

克是再經過

3

個半衰期（再

8

年），合計

16

年。

第 16 題

lo g E (7.2) = 11.8 + 1.5 \times 7.2 = 22.6

，

lo g E (6.6) = 11.8 + 1.5 \times 6.6 = 21.7

，所以

E (7.2) = 1 0^{22.6}

，

E (6.6) = 1 0^{21.7}

。倍數

= \frac{1 0 ^{22.6}}{1 0 ^{21.7}} = 1 0^{0.9} \approx 7.9433

，四捨五入到整數位是

8

倍。

規模相差

0.6

，能量的指數相差

1.5 \times 0.6 = 0.9

。

lo g x = k

就是

x = 1 0^{k}

。遇到倍數、位數的問題，先把數寫成

10

的次方，再用指數律處理。

05混合題 17～19：用算幾不等式求「90」圖案的最大面積

第 17 題矩形

A B C D

：

\overline{A B} = \overline{C D} = x

，

\overline{B C} = \overline{D A} = y

。

\overline{C E} = \overline{B C} = y

。矩形

F G H I

：

\overline{F G} = \overline{H I} = x

，

\overline{G H} = \overline{F I} = 2 y

。九段相加：

(2 x + 2 y) + y + (2 x + 4 y) = 4 x + 7 y

，所以

4 x + 7 y = 112

。

\overline{C E}

只有一段，不要漏掉；「0」的直邊是

2 y

不是

y

。

第 18 題面積總和

= x y + x \cdot 2 y = 3 x y

。

x > 0

、

y > 0

，由算幾不等式

\frac{4 x + 7 y}{2} \geq 4 x \cdot 7 y

，即

56 \geq 28 x y

。兩邊平方：

3136 \geq 28 x y

，

x y \leq 112

。所以面積總和

3 x y \leq 336

，最大值是

336

平方公尺（等號成立的情形見第 19 題）。

算幾不等式要用在

4 x

與

7 y

這兩個「和為定值」的數上，不是直接用在

x

與

y

上。

第 19 題算幾不等式的等號在

4 x = 7 y

時成立。又

4 x + 7 y = 112

，所以

4 x = 7 y = 56

，得

x = 14

、

y = 8

（公尺）。驗算：總長

4 \times 14 + 7 \times 8 = 112

，面積總和

3 \times 14 \times 8 = 336

。

兩個正數的和固定時，乘積在兩數相等時最大。先把限制式寫成「兩項之和＝定值」，再對這兩項用算幾不等式。

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02多選 4～6：實數的性質、絕對值的幾何意義、指數與對數的定義

03填充 7～11：對數求值、指數律、絕對值方程式、雙重根號

04填充 12～16：化成同底、log 的意義、科學記號、半衰期與地震能量

05混合題 17～19：用算幾不等式求「90」圖案的最大面積

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