新竹女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

Q: 新竹女中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 新竹女中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要自己舉反例判斷有理數與無理數、第 4 題 (2) 忽略了正負兩種可能、第 5 題 (2) 漏了外分點那一個解，以及第 17 題算幾不等式的等號在有理數範圍內做不到。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數、算幾不等式）｜單選題 2 題、多選題 3 題、填充題 9 題、偵錯說明題 4 題（流傳版本未標配分）

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、單選題（說明：第 1 題至第 2 題。）

試選出

1. \overline{4} \times 3

的值。

(1) $4. \overline{2}$
(2) $4. \overline{3}$
(3) $4. \overline{4}$
(4) $4. \overline{5}$
(5) $4. \overline{6}$

設實數

b

滿足

(lo g 1000) (lo g b) + 3 lo g 100 + lo g b = 0

，試問下列哪一選項正確？

(1) $0 < b \leq \frac{1}{50}$
(2) $\frac{1}{50} < b \leq \frac{1}{40}$
(3) $\frac{1}{40} < b \leq \frac{1}{30}$
(4) $\frac{1}{30} < b \leq \frac{1}{20}$
(5) $\frac{1}{20} < b \leq \frac{1}{10}$

二、多選題（說明：第 3 題至第 5 題。）

已知

a = 18

，

b = 20

，

c = 610

和

d

，且

d

為無理數，將這四個數標記在數線上，即

A (a)

、

B (b)

、

C (c)

、

D (d)

。試選出正確的選項。

(1) 若 $a + b + c + d$ 為無理數，則點 $C$ 與點 $D$ 的距離為無理數
(2) 若 $ab c d$ 為無理數，則點 $C$ 與點 $D$ 的距離為有理數
(3) 點 $B$ 與 $D$ 的距離可能為 $3$
(4) 點 $A$ 和點 $B$ 的中點位在點 $C$ 的右邊
(5) 數線上和點 $A$ 的距離小於 $5$ ，但與點 $C$ 的距離大於 $3$ 的整數點有 $3$ 個

已知

x

為實數且滿足

3^{x} + 3^{- x} = 4

，試選出正確的選項。

(1) $(3)^{x} + (3)^{- x} = 6$
(2) $3^{x} - 3^{- x} = 23$
(3) $9^{x} + 9^{- x} = 16$
(4) $9^{x} - 9^{- x} = \pm 83$
(5) $2 7^{x} + 2 7^{- x} = 52$

已知

a

與

b

均為實數且

a < b

，試選出正確的選項。

(1) $\frac{2 a + 3 b}{5}$ 是絕對值方程式 $2∣ x - a ∣ - 3∣ x - b ∣ = 0$ 的解
(2) 絕對值方程式 $2∣ x - a ∣ - 3∣ x - b ∣ = 0$ 的解為 $\frac{2 a + 3 b}{5}$
(3) 若 $x = \frac{7 a - 2 b}{5}$ ，則 $a = \frac{2 b + 5 x}{7}$
(4) 若 $A$ ， $B$ ， $P$ 為數線上三點，座標分別為 $a$ ， $b$ ， $\frac{7 a - 2 b}{5}$ ，則 $\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 7$
(5) 若 $A$ ， $B$ ， $P$ 為數線上三點，座標分別為 $a$ ， $b$ ， $x$ ，若 $\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 7$ ，且點 $P$ 不在 $\overline{A B}$ 上，則 $x = \frac{7 a - 2 b}{5}$

三、填充題（說明：第 6 題至第 14 題。）

已知

(1 - 23)^{3} = x + y 3

，其中

x

，

y

均為有理數，則數對

(x, y) =

____。

求

(6 \frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} + (\frac{16}{81})^{- 0.25} + 3 5^{\frac{9}{2}} \times 5^{- 3}

的值為 ____。

介在

4 + 3

與

\frac{11}{13 - 4 3}

之間的整數共有 ____ 個。

若絕對值不等式

3 \leq ∣ x - a ∣ < 4

的解為

- 3 < x \leq - 2

或

b \leq x < c

，則序對

(a, b, c) =

____。

設

a > 0

為實數，已知

a^{\frac{3}{2} x} = 8

，試估算

a^{50 x}

是 ____ 位數。

承第 10 題，將

a^{50 x}

表成

a^{50 x} = b \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq b < 10

，

n

為整數。若

k \leq b < k + 1

，

k

為正整數，則

k =

____。

絕對值不等式

2∣ x - 4∣ + x < 10

的解為 ____。

某機構在

12

點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，此時甲、乙益菌數量分別為

X

，

Y

。已知甲的數量每小時成長為原來的

A

倍，乙的數量每小時成長為原來的

B

倍，測量所得結果部分記錄如下：

12

點時甲、乙的數量分別為

X

、

Y

；

15

點時甲的數量為

2 X

；

14

點時乙的數量為

2 Y

；

16

點時乙的數量為

4 Y

。該機構在

18

點時測量發現甲、乙的數量相同。若在

19

點時，乙的數量為甲的

2^{k}

倍，則實數

k

為 ____。

數線上有四點

A (10)

，

B (30)

，

C (- 10)

，

D (x)

，其中

x

為實數。已知線段

\overline{A D}

，

\overline{B D}

，

\overline{C D}

長度大小關係為

\overline{A D} < \overline{B D} < \overline{C D}

，則

x

的範圍為 ____。

四、偵錯說明題（說明：第 15 題至第 18 題。）

愛好數學社的社長小軒找了一道有趣的題目，想與社員小彥和小聖分享，題目如下：設

a > 0

，

b > 0

，且

a

與

b

都是整數，滿足

ab = 4

。試求

a + 2 b

的最小值，且此時

a

與

b

的值分別為何？以下是小彥的解法：因為

a

與

b

都是正整數，滿足

ab = 4

，符合上述情況有

3

種，並將此

3

種情況逐一算出

a + 2 b

之值，結果如下：

(a, b) = (1, 4)

時

a + 2 b = 9

；

(a, b) = (2, 2)

時

a + 2 b = 6

；

(a, b) = (4, 1)

時

a + 2 b = 6

。故當

a = 2

、

b = 2

與

a = 4

、

b = 1

這兩種情況時，

a + 2 b

有最小值

6

。試問：你覺得小彥的解法正確嗎？若你覺得正確請勾選「正確」；若你覺得不正確，請勾選「不正確」。

承第 15 題，若將題目中「

a

與

b

都是整數」的條件刪除，即題目如下：設

a > 0

，

b > 0

，滿足

ab = 4

。試求：

a + 2 b

的最小值，且此時

a

與

b

的值分別為何？試問：你覺得小彥的解法在這裡適用嗎？若你覺得適用，請勾選「適用」；若你覺得不適用，請勾選「不適用」，並提供一個正確的解法，求出問題的答案。

承第 15 題，若將題目中「

a

與

b

都是整數」的條件換成「

a

與

b

都是有理數」的條件，

a + 2 b

的最小值會改變嗎？小聖說：「會改變。」以下為小聖的解法：因為

a > 0

，

b > 0

，由算幾不等式

\frac{a + 2 b}{2} \geq a (2 b) = 2 ab

，又

ab = 4

，故可推得

\frac{a + 2 b}{2} \geq 22

，即

a + 2 b

有最小值

42

。試問：你覺得小聖的解法在這道題目中適用嗎？若你覺得適用，請勾選「適用」；若你覺得不適用，請勾選「不適用」，並說明不適用的理由。

承第 17 題，小彥說：「因為整數也是有理數，所以，若

a

與

b

都是有理數時，

a + 2 b

的最小值為

6

。」試問：你覺得小彥的說法正確嗎？若你覺得正確請勾選「正確」；若你覺得不正確，請勾選「不正確」。並說明不正確的理由。

答案一覽

第 1 題　(2)

第 2 題　(3)

第 3 題　(4)(5)

第 4 題　(1)(4)(5)

第 5 題　(1)(3)(4)(5)

第 6 題　 $(37, - 30)$

第 7 題　 $9$

第 8 題　 $2$

第 9 題　 $(1, 4, 5)$

第 10 題　 $31$

第 11 題　 $1$

第 12 題　 $- 2 < x < 6$

第 13 題　 $\frac{1}{6}$

第 14 題　 $10 < x < 20$

第 15 題　正確

第 16 題　不適用；最小值 $42$ ，此時 $a = 22$ 、 $b = 2$

第 17 題　不適用（等號成立需 $b = 2$ ，不是有理數）

第 18 題　不正確（例： $a = \frac{8}{3}$ 、 $b = \frac{3}{2}$ 時 $a + 2 b = \frac{17}{3} < 6$ ）

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

單選題：循環小數與對數方程式

第 1 題

1. \overline{4} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}

，乘以

3

得

\frac{13}{3} = 4 \frac{1}{3} = 4. \overline{3}

。答案 (2)。

直接把

0.444 \dots

乘

3

得

1.333 \dots

，再加

3

，結果相同，可用來驗算。

第 2 題

lo g 1000 = 3

、

lo g 100 = 2

，方程式變成

3 lo g b + 6 + lo g b = 0

，

lo g b = - \frac{3}{2}

，

b = 1 0^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{10 10}

。

1010 = 1000

，而

3 0^{2} = 900 < 1000 < 1600 = 4 0^{2}

，所以

30 < 1010 < 40

，得

\frac{1}{40} < b < \frac{1}{30}

。答案 (3)。

比較

b

和分數大小，改成比較分母

1000

與整數的平方，不必查表。

多選題：有理數與無理數、指數乘法公式、內外分點

第 3 題答案 (4)(5)。(1) 錯：取

d = 610 + 1

，則

a + b + c + d = 39 + 1210

是無理數，但

\overline{C D} = 1

是有理數。(2) 錯：取

d = 2

，

ab c d = 216020 = 43205

是無理數，但

\overline{C D} = 610 - 2

是無理數。(3) 錯：

\overline{B D} = 3

表示

d = 17

或

23

，都是有理數，與

d

為無理數矛盾。(4) 對：

A

、

B

的中點是

19 = 361

，而

c = 360 < 19

，中點在

C

右邊。(5) 對：

∣ x - 18∣ < 5

得

13 < x < 23

；

∣ x - 610 ∣ > 3

得

x < 610 - 3

或

x > 610 + 3

，其中

610 \approx 18.97

，即

x < 15.97 \dots

或

x > 21.97 \dots

。整數有

14, 15, 22

，共

3

個。

「若…則…」的敘述要判錯，舉一個符合條件但結論不成立的例子就夠。

第 4 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：

((3)^{x} + (3)^{- x})^{2} = 3^{x} + 2 + 3^{- x} = 6

，而左邊括號內為正，所以等於

6

。(2) 錯：

(3^{x} - 3^{- x})^{2} = (3^{x} + 3^{- x})^{2} - 4 = 12

，所以

3^{x} - 3^{- x} = \pm 23

，

x

可正可負，不一定是

23

。(3) 錯：

9^{x} + 9^{- x} = (3^{x} + 3^{- x})^{2} - 2 = 14

。(4) 對：

9^{x} - 9^{- x} = (3^{x} + 3^{- x}) (3^{x} - 3^{- x}) = 4 \times (\pm 23) = \pm 83

。(5) 對：

2 7^{x} + 2 7^{- x} = (3^{x} + 3^{- x})^{3} - 3 (3^{x} + 3^{- x}) = 64 - 12 = 52

。

由

3^{x} + 3^{- x} = 4

可解出

3^{x} = 2 \pm 3

，代回 (2)(5) 得到相同結果，可當驗算。

第 5 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 對：

x = \frac{2 a + 3 b}{5}

時

x - a = \frac{3 ( b - a )}{5}

、

x - b = - \frac{2 ( b - a )}{5}

，

2 \cdot \frac{3 ( b - a )}{5} - 3 \cdot \frac{2 ( b - a )}{5} = 0

。(2) 錯：方程式即

∣ x - a ∣ : ∣ x - b ∣ = 3 : 2

，除了內分點

\frac{2 a + 3 b}{5}

，還有在

B

右邊的外分點

x = 3 b - 2 a

（代入：

2 \cdot 3 (b - a) - 3 \cdot 2 (b - a) = 0

），解有兩個。(3) 對：

5 x = 7 a - 2 b

，移項得

7 a = 2 b + 5 x

。(4) 對：

P = \frac{7 a - 2 b}{5}

，

\overline{A P} = \frac{2 a - 2 b}{5} = \frac{2 ( b - a )}{5}

，

\overline{B P} = \frac{7 a - 7 b}{5} = \frac{7 ( b - a )}{5}

，比為

2 : 7

。(5) 對：

P

不在

\overline{A B}

上且離

A

較近，所以

P

在

A

的左邊，

a - x = \frac{2}{5} (b - a)

，得

x = \frac{7 a - 2 b}{5}

。

「距離比為定值」的點在數線上有兩個：一個內分點、一個外分點。

填充 6～11：根式、指數律、估值與位數

第 6 題用

(p - q)^{3} = p^{3} - 3 p^{2} q + 3 p q^{2} - q^{3}

，

p = 1

、

q = 23

：

1 - 63 + 3 \cdot 12 - 243 = 37 - 303

。因

x, y

為有理數、

3

為無理數，比較得

(x, y) = (37, - 30)

。

驗算：

(1 - 23)^{2} = 13 - 43

，再乘

(1 - 23)

得

13 - 263 - 43 + 24 = 37 - 303

。

第 7 題

(\frac{25}{4})^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}

；

(\frac{16}{81})^{- \frac{1}{4}} = (\frac{81}{16})^{\frac{1}{4}} = \frac{3}{2}

；

5^{\frac{9}{2}} \times 5^{- \frac{3}{2}} = 5^{3}

，開立方得

5

。合計

\frac{5}{2} + \frac{3}{2} + 5 = 9

。

第 8 題

13 - 43 = 13 - 212 = (12 - 1)^{2}

，所以

13 - 43 = 23 - 1

，

\frac{11}{2 3 - 1} = \frac{11 ( 2 3 + 1 )}{12 - 1} = 23 + 1 \approx 4.46

。另一端

4 + 3 \approx 5.73

，介於

4

和

9

之間，所以

2 < 4 + 3 < 3

。兩數之間的整數是

3, 4

，共

2

個。

23 + 1

介於

4

和

5

（因

3 < 23 < 4

），所以整數

4

要算進去。

第 9 題

3 \leq ∣ x - a ∣ < 4

的解是

a - 4 < x \leq a - 3

或

a + 3 \leq x < a + 4

。對照

- 3 < x \leq - 2

：

a - 4 = - 3

、

a - 3 = - 2

，得

a = 1

。所以

b = a + 3 = 4

、

c = a + 4 = 5

，

(a, b, c) = (1, 4, 5)

。

第 10 題

a^{\frac{3}{2} x} = 8

，兩邊

\frac{2}{3}

次方：

a^{x} = 8^{\frac{2}{3}} = 4

。

a^{50 x} = 4^{50} = 2^{100}

，

lo g 2^{100} = 100 lo g 2 \approx 30.10

，所以

1 0^{30} < 2^{100} < 1 0^{31}

，是

31

位數。

第 11 題

2^{100} = 1 0^{30.10 \dots} = 1 0^{0.10 \dots} \times 1 0^{30}

，

b = 1 0^{0.10 \dots}

。因

0 < 0.10 \dots < lo g 2 \approx 0.3010

，所以

1 < b < 2

，

k = 1

。

首位數字看 log 值的小數部分落在哪兩個

lo g k

之間。

填充 12～14：絕對值不等式、指數成長、數線上的距離

第 12 題

x \geq 4

時：

2 (x - 4) + x < 10

，

x < 6

，得

4 \leq x < 6

。

x < 4

時：

2 (4 - x) + x < 10

，

x > - 2

，得

- 2 < x < 4

。合併得

- 2 < x < 6

。

兩段的解要各自和該段的範圍取交集，再聯集起來。

第 13 題甲

3

小時變

2

倍：

A^{3} = 2

，

A = 2^{\frac{1}{3}}

。乙

2

小時變

2

倍：

B^{2} = 2

，

B = 2^{\frac{1}{2}}

（

16

點

4 Y

也吻合）。

18

點時甲為

X A^{6} = 4 X

、乙為

Y B^{6} = 8 Y

，相等得

X = 2 Y

。

19

點時，乙

\div

甲

= \frac{8 Y \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{4 X \cdot 2 ^{\frac{1}{3}}} = \frac{8 Y}{8 Y} \cdot 2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}}

，所以

k = \frac{1}{6}

。

另一種看法：

18

點兩者相等，之後每小時乙多乘

B \div A = 2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}}

，一小時後比值就是

2^{\frac{1}{6}}

。

第 14 題

\overline{A D} < \overline{B D}

即

∣ x - 10∣ < ∣ x - 30∣

，

D

離

10

比離

30

近，在中點

20

左邊：

x < 20

。

\overline{B D} < \overline{C D}

即

∣ x - 30∣ < ∣ x + 10∣

，

D

在

30

與

- 10

的中點

10

右邊：

x > 10

。答案

10 < x < 20

。

流傳版本題幹印作「線段上有四點」，依題意應為「數線上有四點」，本頁已修正。

偵錯說明 15～18：算幾不等式的等號與條件

第 15 題答案「正確」。

a, b

為正整數且

ab = 4

，只有

(1, 4), (2, 2), (4, 1)

三組，逐一代入

a + 2 b

得

9, 6, 6

，最小值

6

，發生在

(a, b) = (2, 2)

或

(4, 1)

。情況有限時逐一列舉是完整的解法。

第 16 題答案「不適用」。沒有整數限制時

a, b

有無限多組，無法逐一列舉。正確解法：由算幾不等式

\frac{a + 2 b}{2} \geq a \cdot 2 b = 8 = 22

，得

a + 2 b \geq 42

；等號成立於

a = 2 b

，配合

ab = 4

得

2 b^{2} = 4

，

b = 2

、

a = 22

。所以最小值

42

，此時

a = 22

、

b = 2

。

42 \approx 5.66 < 6

，驗證了整數時的

6

不是這裡的最小值。

第 17 題答案「不適用」。算幾不等式只說明

a + 2 b \geq 42

，要成為最小值還必須等號做得到。等號成立需

a = 2 b

，配合

ab = 4

得

b = 2

，不是有理數，所以在有理數範圍內等號做不到，

42

不是

a + 2 b

的值，不能說最小值是

42

。

有理數

b

可以任意接近

2

，使

a + 2 b

任意接近

42

但永遠大於它，所以在有理數範圍內

a + 2 b

沒有最小值。

第 18 題答案「不正確」。整數是有理數的一部分，在較大的範圍裡可能找到更小的值。例如

b = \frac{3}{2}

、

a = \frac{4}{b} = \frac{8}{3}

，都是正有理數且

ab = 4

，而

a + 2 b = \frac{8}{3} + 3 = \frac{17}{3} < 6

，所以

6

不是最小值。

把範圍放大，極小值只可能變小或不存在，不能把小範圍的結果直接搬過去。

用算幾不等式求極值，要確認兩件事：乘積是定值、等號在題目允許的範圍內做得到。

下一次段考，考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

新竹女中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新竹女中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要自己舉反例判斷有理數與無理數、第 4 題 (2) 忽略了正負兩種可能、第 5 題 (2) 漏了外分點那一個解，以及第 17 題算幾不等式的等號在有理數範圍內做不到。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新竹女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷

新竹女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數、算幾不等式）｜單選題 2 題、多選題 3 題、填充題 9 題、偵錯說明題 4 題（流傳版本未標配分）

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、單選題（說明：第 1 題至第 2 題。）

試選出

1. \overline{4} \times 3

的值。

(1) $4. \overline{2}$
(2) $4. \overline{3}$
(3) $4. \overline{4}$
(4) $4. \overline{5}$
(5) $4. \overline{6}$

設實數

b

滿足

(lo g 1000) (lo g b) + 3 lo g 100 + lo g b = 0

，試問下列哪一選項正確？

(1) $0 < b \leq \frac{1}{50}$
(2) $\frac{1}{50} < b \leq \frac{1}{40}$
(3) $\frac{1}{40} < b \leq \frac{1}{30}$
(4) $\frac{1}{30} < b \leq \frac{1}{20}$
(5) $\frac{1}{20} < b \leq \frac{1}{10}$

二、多選題（說明：第 3 題至第 5 題。）

已知

a = 18

，

b = 20

，

c = 610

和

d

，且

d

為無理數，將這四個數標記在數線上，即

A (a)

、

B (b)

、

C (c)

、

D (d)

。試選出正確的選項。

(1) 若 $a + b + c + d$ 為無理數，則點 $C$ 與點 $D$ 的距離為無理數
(2) 若 $ab c d$ 為無理數，則點 $C$ 與點 $D$ 的距離為有理數
(3) 點 $B$ 與 $D$ 的距離可能為 $3$
(4) 點 $A$ 和點 $B$ 的中點位在點 $C$ 的右邊
(5) 數線上和點 $A$ 的距離小於 $5$ ，但與點 $C$ 的距離大於 $3$ 的整數點有 $3$ 個

已知

x

為實數且滿足

3^{x} + 3^{- x} = 4

，試選出正確的選項。

(1) $(3)^{x} + (3)^{- x} = 6$
(2) $3^{x} - 3^{- x} = 23$
(3) $9^{x} + 9^{- x} = 16$
(4) $9^{x} - 9^{- x} = \pm 83$
(5) $2 7^{x} + 2 7^{- x} = 52$

已知

a

與

b

均為實數且

a < b

，試選出正確的選項。

(1) $\frac{2 a + 3 b}{5}$ 是絕對值方程式 $2∣ x - a ∣ - 3∣ x - b ∣ = 0$ 的解
(2) 絕對值方程式 $2∣ x - a ∣ - 3∣ x - b ∣ = 0$ 的解為 $\frac{2 a + 3 b}{5}$
(3) 若 $x = \frac{7 a - 2 b}{5}$ ，則 $a = \frac{2 b + 5 x}{7}$
(4) 若 $A$ ， $B$ ， $P$ 為數線上三點，座標分別為 $a$ ， $b$ ， $\frac{7 a - 2 b}{5}$ ，則 $\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 7$
(5) 若 $A$ ， $B$ ， $P$ 為數線上三點，座標分別為 $a$ ， $b$ ， $x$ ，若 $\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 7$ ，且點 $P$ 不在 $\overline{A B}$ 上，則 $x = \frac{7 a - 2 b}{5}$

三、填充題（說明：第 6 題至第 14 題。）

已知

(1 - 23)^{3} = x + y 3

，其中

x

，

y

均為有理數，則數對

(x, y) =

____。

求

(6 \frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} + (\frac{16}{81})^{- 0.25} + 3 5^{\frac{9}{2}} \times 5^{- 3}

的值為 ____。

介在

4 + 3

與

\frac{11}{13 - 4 3}

之間的整數共有 ____ 個。

若絕對值不等式

3 \leq ∣ x - a ∣ < 4

的解為

- 3 < x \leq - 2

或

b \leq x < c

，則序對

(a, b, c) =

____。

設

a > 0

為實數，已知

a^{\frac{3}{2} x} = 8

，試估算

a^{50 x}

是 ____ 位數。

承第 10 題，將

a^{50 x}

表成

a^{50 x} = b \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq b < 10

，

n

為整數。若

k \leq b < k + 1

，

k

為正整數，則

k =

____。

絕對值不等式

2∣ x - 4∣ + x < 10

的解為 ____。

某機構在

12

點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，此時甲、乙益菌數量分別為

X

，

Y

。已知甲的數量每小時成長為原來的

A

倍，乙的數量每小時成長為原來的

B

倍，測量所得結果部分記錄如下：

12

點時甲、乙的數量分別為

X

、

Y

；

15

點時甲的數量為

2 X

；

14

點時乙的數量為

2 Y

；

16

點時乙的數量為

4 Y

。該機構在

18

點時測量發現甲、乙的數量相同。若在

19

點時，乙的數量為甲的

2^{k}

倍，則實數

k

為 ____。

數線上有四點

A (10)

，

B (30)

，

C (- 10)

，

D (x)

，其中

x

為實數。已知線段

\overline{A D}

，

\overline{B D}

，

\overline{C D}

長度大小關係為

\overline{A D} < \overline{B D} < \overline{C D}

，則

x

的範圍為 ____。

四、偵錯說明題（說明：第 15 題至第 18 題。）

愛好數學社的社長小軒找了一道有趣的題目，想與社員小彥和小聖分享，題目如下：設

a > 0

，

b > 0

，且

a

與

b

都是整數，滿足

ab = 4

。試求

a + 2 b

的最小值，且此時

a

與

b

的值分別為何？以下是小彥的解法：因為

a

與

b

都是正整數，滿足

ab = 4

，符合上述情況有

3

種，並將此

3

種情況逐一算出

a + 2 b

之值，結果如下：

(a, b) = (1, 4)

時

a + 2 b = 9

；

(a, b) = (2, 2)

時

a + 2 b = 6

；

(a, b) = (4, 1)

時

a + 2 b = 6

。故當

a = 2

、

b = 2

與

a = 4

、

b = 1

這兩種情況時，

a + 2 b

有最小值

6

。試問：你覺得小彥的解法正確嗎？若你覺得正確請勾選「正確」；若你覺得不正確，請勾選「不正確」。

承第 15 題，若將題目中「

a

與

b

都是整數」的條件刪除，即題目如下：設

a > 0

，

b > 0

，滿足

ab = 4

。試求：

a + 2 b

的最小值，且此時

a

與

b

承第 15 題，若將題目中「

a

與

b

都是整數」的條件換成「

a

與

b

都是有理數」的條件，

a + 2 b

的最小值會改變嗎？小聖說：「會改變。」以下為小聖的解法：因為

a > 0

，

b > 0

，由算幾不等式

\frac{a + 2 b}{2} \geq a (2 b) = 2 ab

，又

ab = 4

，故可推得

\frac{a + 2 b}{2} \geq 22

，即

a + 2 b

有最小值

42

。試問：你覺得小聖的解法在這道題目中適用嗎？若你覺得適用，請勾選「適用」；若你覺得不適用，請勾選「不適用」，並說明不適用的理由。

承第 17 題，小彥說：「因為整數也是有理數，所以，若

a

與

b

都是有理數時，

a + 2 b

的最小值為

6

。」試問：你覺得小彥的說法正確嗎？若你覺得正確請勾選「正確」；若你覺得不正確，請勾選「不正確」。並說明不正確的理由。

答案一覽

第 1 題　(2)

第 2 題　(3)

第 3 題　(4)(5)

第 4 題　(1)(4)(5)

第 5 題　(1)(3)(4)(5)

第 6 題　 $(37, - 30)$

第 7 題　 $9$

第 8 題　 $2$

第 9 題　 $(1, 4, 5)$

第 10 題　 $31$

第 11 題　 $1$

第 12 題　 $- 2 < x < 6$

第 13 題　 $\frac{1}{6}$

第 14 題　 $10 < x < 20$

第 15 題　正確

第 16 題　不適用；最小值 $42$ ，此時 $a = 22$ 、 $b = 2$

第 17 題　不適用（等號成立需 $b = 2$ ，不是有理數）

第 18 題　不正確（例： $a = \frac{8}{3}$ 、 $b = \frac{3}{2}$ 時 $a + 2 b = \frac{17}{3} < 6$ ）

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

單選題：循環小數與對數方程式

第 1 題

1. \overline{4} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}

，乘以

3

得

\frac{13}{3} = 4 \frac{1}{3} = 4. \overline{3}

。答案 (2)。

直接把

0.444 \dots

乘

3

得

1.333 \dots

，再加

3

，結果相同，可用來驗算。

第 2 題

lo g 1000 = 3

、

lo g 100 = 2

，方程式變成

3 lo g b + 6 + lo g b = 0

，

lo g b = - \frac{3}{2}

，

b = 1 0^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{10 10}

。

1010 = 1000

，而

3 0^{2} = 900 < 1000 < 1600 = 4 0^{2}

，所以

30 < 1010 < 40

，得

\frac{1}{40} < b < \frac{1}{30}

。答案 (3)。

比較

b

和分數大小，改成比較分母

1000

與整數的平方，不必查表。

多選題：有理數與無理數、指數乘法公式、內外分點

第 3 題答案 (4)(5)。(1) 錯：取

d = 610 + 1

，則

a + b + c + d = 39 + 1210

是無理數，但

\overline{C D} = 1

是有理數。(2) 錯：取

d = 2

，

ab c d = 216020 = 43205

是無理數，但

\overline{C D} = 610 - 2

是無理數。(3) 錯：

\overline{B D} = 3

表示

d = 17

或

23

，都是有理數，與

d

為無理數矛盾。(4) 對：

A

、

B

的中點是

19 = 361

，而

c = 360 < 19

，中點在

C

右邊。(5) 對：

∣ x - 18∣ < 5

得

13 < x < 23

；

∣ x - 610 ∣ > 3

得

x < 610 - 3

或

x > 610 + 3

，其中

610 \approx 18.97

，即

x < 15.97 \dots

或

x > 21.97 \dots

。整數有

14, 15, 22

，共

3

個。

「若…則…」的敘述要判錯，舉一個符合條件但結論不成立的例子就夠。

第 4 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：

((3)^{x} + (3)^{- x})^{2} = 3^{x} + 2 + 3^{- x} = 6

，而左邊括號內為正，所以等於

6

。(2) 錯：

(3^{x} - 3^{- x})^{2} = (3^{x} + 3^{- x})^{2} - 4 = 12

，所以

3^{x} - 3^{- x} = \pm 23

，

x

可正可負，不一定是

23

。(3) 錯：

9^{x} + 9^{- x} = (3^{x} + 3^{- x})^{2} - 2 = 14

。(4) 對：

9^{x} - 9^{- x} = (3^{x} + 3^{- x}) (3^{x} - 3^{- x}) = 4 \times (\pm 23) = \pm 83

。(5) 對：

2 7^{x} + 2 7^{- x} = (3^{x} + 3^{- x})^{3} - 3 (3^{x} + 3^{- x}) = 64 - 12 = 52

。

由

3^{x} + 3^{- x} = 4

可解出

3^{x} = 2 \pm 3

，代回 (2)(5) 得到相同結果，可當驗算。

第 5 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 對：

x = \frac{2 a + 3 b}{5}

時

x - a = \frac{3 ( b - a )}{5}

、

x - b = - \frac{2 ( b - a )}{5}

，

2 \cdot \frac{3 ( b - a )}{5} - 3 \cdot \frac{2 ( b - a )}{5} = 0

。(2) 錯：方程式即

∣ x - a ∣ : ∣ x - b ∣ = 3 : 2

，除了內分點

\frac{2 a + 3 b}{5}

，還有在

B

右邊的外分點

x = 3 b - 2 a

（代入：

2 \cdot 3 (b - a) - 3 \cdot 2 (b - a) = 0

），解有兩個。(3) 對：

5 x = 7 a - 2 b

，移項得

7 a = 2 b + 5 x

。(4) 對：

P = \frac{7 a - 2 b}{5}

，

\overline{A P} = \frac{2 a - 2 b}{5} = \frac{2 ( b - a )}{5}

，

\overline{B P} = \frac{7 a - 7 b}{5} = \frac{7 ( b - a )}{5}

，比為

2 : 7

。(5) 對：

P

不在

\overline{A B}

上且離

A

較近，所以

P

在

A

的左邊，

a - x = \frac{2}{5} (b - a)

，得

x = \frac{7 a - 2 b}{5}

。

「距離比為定值」的點在數線上有兩個：一個內分點、一個外分點。

填充 6～11：根式、指數律、估值與位數

第 6 題用

(p - q)^{3} = p^{3} - 3 p^{2} q + 3 p q^{2} - q^{3}

，

p = 1

、

q = 23

：

1 - 63 + 3 \cdot 12 - 243 = 37 - 303

。因

x, y

為有理數、

3

為無理數，比較得

(x, y) = (37, - 30)

。

驗算：

(1 - 23)^{2} = 13 - 43

，再乘

(1 - 23)

得

13 - 263 - 43 + 24 = 37 - 303

。

第 7 題

(\frac{25}{4})^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}

；

(\frac{16}{81})^{- \frac{1}{4}} = (\frac{81}{16})^{\frac{1}{4}} = \frac{3}{2}

；

5^{\frac{9}{2}} \times 5^{- \frac{3}{2}} = 5^{3}

，開立方得

5

。合計

\frac{5}{2} + \frac{3}{2} + 5 = 9

。

第 8 題

13 - 43 = 13 - 212 = (12 - 1)^{2}

，所以

13 - 43 = 23 - 1

，

\frac{11}{2 3 - 1} = \frac{11 ( 2 3 + 1 )}{12 - 1} = 23 + 1 \approx 4.46

。另一端

4 + 3 \approx 5.73

，介於

4

和

9

之間，所以

2 < 4 + 3 < 3

。兩數之間的整數是

3, 4

，共

2

個。

23 + 1

介於

4

和

5

（因

3 < 23 < 4

），所以整數

4

要算進去。

第 9 題

3 \leq ∣ x - a ∣ < 4

的解是

a - 4 < x \leq a - 3

或

a + 3 \leq x < a + 4

。對照

- 3 < x \leq - 2

：

a - 4 = - 3

、

a - 3 = - 2

，得

a = 1

。所以

b = a + 3 = 4

、

c = a + 4 = 5

，

(a, b, c) = (1, 4, 5)

。

第 10 題

a^{\frac{3}{2} x} = 8

，兩邊

\frac{2}{3}

次方：

a^{x} = 8^{\frac{2}{3}} = 4

。

a^{50 x} = 4^{50} = 2^{100}

，

lo g 2^{100} = 100 lo g 2 \approx 30.10

，所以

1 0^{30} < 2^{100} < 1 0^{31}

，是

31

位數。

第 11 題

2^{100} = 1 0^{30.10 \dots} = 1 0^{0.10 \dots} \times 1 0^{30}

，

b = 1 0^{0.10 \dots}

。因

0 < 0.10 \dots < lo g 2 \approx 0.3010

，所以

1 < b < 2

，

k = 1

。

首位數字看 log 值的小數部分落在哪兩個

lo g k

之間。

填充 12～14：絕對值不等式、指數成長、數線上的距離

第 12 題

x \geq 4

時：

2 (x - 4) + x < 10

，

x < 6

，得

4 \leq x < 6

。

x < 4

時：

2 (4 - x) + x < 10

，

x > - 2

，得

- 2 < x < 4

。合併得

- 2 < x < 6

。

兩段的解要各自和該段的範圍取交集，再聯集起來。

第 13 題甲

3

小時變

2

倍：

A^{3} = 2

，

A = 2^{\frac{1}{3}}

。乙

2

小時變

2

倍：

B^{2} = 2

，

B = 2^{\frac{1}{2}}

（

16

點

4 Y

也吻合）。

18

點時甲為

X A^{6} = 4 X

、乙為

Y B^{6} = 8 Y

，相等得

X = 2 Y

。

19

點時，乙

\div

甲

= \frac{8 Y \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{4 X \cdot 2 ^{\frac{1}{3}}} = \frac{8 Y}{8 Y} \cdot 2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}}

，所以

k = \frac{1}{6}

。

另一種看法：

18

點兩者相等，之後每小時乙多乘

B \div A = 2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}}

，一小時後比值就是

2^{\frac{1}{6}}

。

第 14 題

\overline{A D} < \overline{B D}

即

∣ x - 10∣ < ∣ x - 30∣

，

D

離

10

比離

30

近，在中點

20

左邊：

x < 20

。

\overline{B D} < \overline{C D}

即

∣ x - 30∣ < ∣ x + 10∣

，

D

在

30

與

- 10

的中點

10

右邊：

x > 10

。答案

10 < x < 20

。

流傳版本題幹印作「線段上有四點」，依題意應為「數線上有四點」，本頁已修正。

偵錯說明 15～18：算幾不等式的等號與條件

第 15 題答案「正確」。

a, b

為正整數且

ab = 4

，只有

(1, 4), (2, 2), (4, 1)

三組，逐一代入

a + 2 b

得

9, 6, 6

，最小值

6

，發生在

(a, b) = (2, 2)

或

(4, 1)

。情況有限時逐一列舉是完整的解法。

第 16 題答案「不適用」。沒有整數限制時

a, b

有無限多組，無法逐一列舉。正確解法：由算幾不等式

\frac{a + 2 b}{2} \geq a \cdot 2 b = 8 = 22

，得

a + 2 b \geq 42

；等號成立於

a = 2 b

，配合

ab = 4

得

2 b^{2} = 4

，

b = 2

、

a = 22

。所以最小值

42

，此時

a = 22

、

b = 2

。

42 \approx 5.66 < 6

，驗證了整數時的

6

不是這裡的最小值。

第 17 題答案「不適用」。算幾不等式只說明

a + 2 b \geq 42

，要成為最小值還必須等號做得到。等號成立需

a = 2 b

，配合

ab = 4

得

b = 2

，不是有理數，所以在有理數範圍內等號做不到，

42

不是

a + 2 b

的值，不能說最小值是

42

。

有理數

b

可以任意接近

2

，使

a + 2 b

任意接近

42

但永遠大於它，所以在有理數範圍內

a + 2 b

沒有最小值。

第 18 題答案「不正確」。整數是有理數的一部分，在較大的範圍裡可能找到更小的值。例如

b = \frac{3}{2}

、

a = \frac{4}{b} = \frac{8}{3}

，都是正有理數且

ab = 4

，而

a + 2 b = \frac{8}{3} + 3 = \frac{17}{3} < 6

，所以

6

不是最小值。

把範圍放大，極小值只可能變小或不存在，不能把小範圍的結果直接搬過去。

用算幾不等式求極值，要確認兩件事：乘積是定值、等號在題目允許的範圍內做得到。

下一次段考，考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

新竹女中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新竹女中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新竹女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

試題

答案一覽

對完答案了？勾你錯的題號

逐題詳解

單選題：循環小數與對數方程式

多選題：有理數與無理數、指數乘法公式、內外分點

填充 6～11：根式、指數律、估值與位數

填充 12～14：絕對值不等式、指數成長、數線上的距離

偵錯說明 15～18：算幾不等式的等號與條件

下一次段考，考前先拿一份自己的考前藍圖

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

新竹女中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹女中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

試題

答案一覽

對完答案了？勾你錯的題號

逐題詳解

單選題：循環小數與對數方程式

多選題：有理數與無理數、指數乘法公式、內外分點

填充 6～11：根式、指數律、估值與位數

填充 12～14：絕對值不等式、指數成長、數線上的距離

偵錯說明 15～18：算幾不等式的等號與條件

下一次段考，考前先拿一份自己的考前藍圖

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

新竹女中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹女中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

新竹女中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹女中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

新竹女中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹女中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？