段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數、算幾不等式、常用對數）

鳳山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 鳳山高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 鳳山高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 6 題（本頁第 13 題）要先把雙重根號化開，再把分子分母同乘 8 的 x 次方，答案是負的；填充第 8 題（本頁第 15 題）要把整數依照到三分之一的距離排好，兩個端點有沒有等號不一樣；填充第 5 題（本頁第 12 題）要平均的是氫離子濃度而不是 pH 值；填充第 1 題（本頁第 8 題）三個數有理化之後都是負的，大小順序要反過來。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單一選擇題 3 題（15 分）、多重選擇題 4 題（28 分）、填充題 9 題（47 分）、混合題 2 題（10 分）；可使用計算機

一、單一選擇題（一題 5 分，共 15 分）

「十二平均律」是鋼琴音階的依循規則：每一個音的弦長都是前一個音弦長的

122

倍。若第一個音弦長為

16

，試問第幾個音的弦長為

64

？

(A) $22$
(B) $23$
(C) $24$
(D) $25$
(E) $26$

請使用計算機找出有理數

x

為下列何值時，

1 0^{x}

最接近

114

。

(A) $1.02844$
(B) $1.02845$
(C) $1.02846$
(D) $1.02847$
(E) $1.02848$

已知一不等式的解如右圖斜線區域，請問下列哪一個選項為該不等式的解？

(A) $∣ x ∣ \geq 5 + 1$
(B) $∣ x + 1∣ \geq 5$
(C) $∣ x - 1∣ \geq 5$
(D) $x - 5 \geq 1$
(E) $x + 5 \geq 1$

載入中...

二、多重選擇題（一題 7 分，共 28 分）（本頁第 4～7 題依序為原卷多重選擇題 1～4）

設

a

、

b

為實數，則下列何者正確？

(A) 若 $a + b$ 、 $ab$ 為無理數，則 $a$ 、 $b$ 均為無理數
(B) 若 $a < b$ ，則 $a$ 、 $b$ 之間至少有一實數 $r$ 使得 $a < r < b$
(C) 若 $a + b 3 = 0$ ，則 $a = 0$ ， $b = 0$
(D) 若 $a$ 、 $b$ 為無理數，則 $a + b$ 、 $a - b$ 至少有一個無理數
(E) 若 $a^{4} b^{2}$ 與 $a^{3} b$ 均為有理數，則 $a$ 、 $b$ 都是有理數

設

x = - 2 + 5

，則下列選項哪些正確？

(A) $x - \frac{1}{x} = 4$
(B) $x + \frac{1}{x} = 4$
(C) $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = - 85$
(D) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 14$
(E) $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 345$

設

a > 0

且

a^{2} = 5

，則下列哪些正確？

(A) $a^{- 2} = - 5$
(B) $a^{22} = 25$
(C) $a^{\frac{2}{2}} = \pm 5$
(D) $a^{32} = 15$
(E) $a^{- \frac{3 2}{2}} = \frac{5}{25}$

若

7 + 43

的整數部分是

a

，小數部分是

b

，則下列哪些選項是正確的？

(A) $a = 4$
(B) $b = 0.732$
(C) $a - b = 4 + 3$
(D) $a + b = 2 + 3$
(E) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5 + 3 3}{6}$

三、填充題（共 47 分）（本頁第 8～16 題依序為原卷填充題 1～9）

已知

a = \frac{9}{2 - 11}

，

b = \frac{3}{5 - 2 2}

，

c = \frac{1}{6 - 7}

，試比較

a

、

b

、

c

三數的大小關係為 ____。

若

5 5^{20} \times 5^{12} \times [(\frac{1}{125})^{3} \times (625)^{2}]^{- 3} = 5^{x}

，試問

x =

____。

若某放射性線物質的半衰期（指該物質的質量經衰變後質量變成初始質量一半所需的時間）為

7

天，初始質量

100

克，則

4

天後其質量變為 ____ 克。（四捨五入至小數點後第一位）

已知

a

為一位數的正整數，若

\frac{2}{9} < 0.2 \overline{a 1} < \frac{23}{99}

，試問

a

值為 ____。

已知 pH 值是衡量溶液酸鹼值的尺度，定義 pH 值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

指的是溶液中氫離子的濃度（莫耳/公升），今小明欲調製蜂蜜檸檬，假設蜂蜜的 pH 值是

3.5

，檸檬的 pH 值是

2.4

，若將蜂蜜、檸檬兩者等體積混合，試求蜂蜜檸檬的 pH 值是 ____。（四捨五入到小數點後第一位）

假設

x

為實數，已知

4^{x} = 3 - 8

，則

\frac{3 2 ^{x} - 8 ^{- x}}{2 ^{x} + 2 ^{- x}} =

____。

設

x \geq 2

，

y \geq 1

且

(x - 2) (y - 1) = \frac{27}{2}

，則

3 x + 2 y

的最小值為 ____。

設

k

為實數，若滿足

x - \frac{1}{3} < k

的整數

x

恰有

5

個，則實數

k

值的範圍為 ____。

已知費馬數是以數學家費馬命名的一組自然數，具有形式：

F_{n} = 2^{2^{n}} + 1

，現在某人想列印

F_{10} = 2^{2^{10}} + 1

出來，則全部共有 ____ 個數字。（已知

lo g 2 = 0.3010

）

四、混合題（共 10 分，請詳細寫出計算過程否則不予計分）（本頁第 17～18 題依序為原卷混合題 1～2）

混合題（第 17～18 題）（第 17～18 題）　「蒲福風級」是英國海軍上將蒲福氏於 1805 年首創風力分級標準。先僅用於海上，後亦用於陸地，並屢經修訂，乃成今日通用之風級。風速與蒲福風級之關係式為：

V = 0.836 \times B^{\frac{3}{2}}

，其中

B

為蒲福風級，

V

為風速（單位：公尺/秒）。

已知有一個輕度颱風，其強度為蒲福風級的

9

級風，則其風速最接近每秒多少公尺？（單選題，4 分）

(A) $20.5$
(B) $21.5$
(C) $22.5$
(D) $23.5$
(E) $24$

2024 年的山陀兒颱風重創高雄，其近中心一分鐘平均風速達到每秒

55

公尺，試問相當於蒲福風級的幾級風？（四捨五入至整數位，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(B)(D)

第 5 題(C)(E)

第 6 題(B)(E)

第 7 題(D)(E)

第 8 題

a > b > c

第 9 題

10

第 10 題

67.3

第 11 題

3

第 12 題

2.7

第 13 題

4 - 42

第 14 題

26

第 15 題

\frac{7}{3} < k \leq \frac{8}{3}

第 16 題

309

第 17 題(C)

第 18 題

16

級

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：分數指數、計算機求 log、數線上的絕對值不等式

第 1 題答案 (D)。第

n

個音是從第一個音乘了

n - 1

次

122 = 2^{\frac{1}{12}}

，弦長為

16 \times 2^{\frac{n - 1}{12}}

。令它等於

64

：

2^{\frac{n - 1}{12}} = 4 = 2^{2}

，所以

\frac{n - 1}{12} = 2

，

n = 25

。

乘了

24

次，是第

25

個音，不是第

24

個。

第 2 題答案 (B)。要

1 0^{x} = 114

，就是

x = lo g 114

。

114 = 11 4^{\frac{1}{2}}

，而

1 0^{2 x} = 114

，所以

x = \frac{1}{2} lo g 114

。用計算機：

lo g 114 \approx 2.056905

，

x \approx 1.028452

，五個選項中最接近的是

1.02845

。直接代回檢查：

114 \approx 10.67708

，

1 0^{1.02845} \approx 10.67702

，

1 0^{1.02846} \approx 10.67726

，前者比較近。

1.028452

到

1.02845

的距離是

0.000002

，到

1.02846

的距離是

0.000008

。

第 3 題答案 (C)。圖上的解是

x \leq 1 - 5

或

x \geq 1 + 5

。兩個端點的中點是

\frac{( 1 - 5 ) + ( 1 + 5 )}{2} = 1

，端點到中點的距離是

5

。所以解是「到

1

的距離大於或等於

5

的點」，寫成

∣ x - 1∣ \geq 5

。

圖上

1

的位置就是中心。(A) 的解是

x \geq 5 + 1

或

x \leq - 5 - 1

，左端點不對。

∣ x - c ∣ \geq r

的解是數線上離

c

至少

r

的點：先找兩端點的中點當

c

，再量端點到中點的距離當

r

。

02多選 1～4（第 4～7 題）：有理數與無理數、倒數求值、指數律、雙重根號

第 4 題答案 (B)(D)。(A) 錯：取

a = 1

、

b = 2

，

a + b = 1 + 2

、

ab = 2

都是無理數，但

a

是有理數。(B) 對：取

r = \frac{a + b}{2}

，就有

a < r < b

。(C) 錯：

a

、

b

只是實數，取

a = 3

、

b = - 1

也成立。(D) 對：假設

a + b

和

a - b

都是有理數，兩者相加得

2 a

是有理數，

a

就是有理數，和

a

是無理數矛盾。(E) 錯：取

a = b = 2

，

a^{4} b^{2} = 4 \times 2 = 8

、

a^{3} b = 22 \times 2 = 4

都是有理數，但

a

、

b

是無理數。

a

、

b

是有理數才能推出

a = b = 0

，這裡題目只說實數。

第 5 題答案 (C)(E)。

x = 5 - 2

，

\frac{1}{x} = \frac{1}{5 - 2} = \frac{5 + 2}{5 - 4} = 5 + 2

。(A) 錯：

x - \frac{1}{x} = (5 - 2) - (5 + 2) = - 4

。(B) 錯：

x + \frac{1}{x} = 25

。(C) 對：

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = 25 \times (- 4) = - 85

。(D) 錯：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 20 - 2 = 18

。(E) 對：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 405 - 65 = 345

。

x \approx 0.236

比

\frac{1}{x} \approx 4.236

小，所以

x - \frac{1}{x}

是負的。

第 6 題答案 (B)(E)。把每個選項的指數寫成

2

的倍數。(A) 錯：

a^{- 2} = \frac{1}{a ^{2}} = \frac{1}{5}

。(B) 對：

a^{22} = (a^{2})^{2} = 25

。(C) 錯：

a^{\frac{2}{2}} = (a^{2})^{\frac{1}{2}} = 5

，

a > 0

時

a

的任何次方都是正數，不會是

- 5

。(D) 錯：

a^{32} = 5^{3} = 125

。(E) 對：

a^{- \frac{3 2}{2}} = 5^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{5 5} = \frac{5}{25}

。

正數的實數次方一定是正數，所以 (A) 的負號和 (C) 的

\pm

都不對。

第 7 題答案 (D)(E)。

7 + 43 = 7 + 212

，找兩數和

7

、積

12

：

4

和

3

，所以

7 + 43 = 4 + 3 = 2 + 3 \approx 3.732

。整數部分

a = 3

，小數部分

b = (2 + 3) - 3 = 3 - 1

。(A) 錯：

a = 3

。(B) 錯：

b = 3 - 1

是無理數，

0.732

只是近似值。(C) 錯：

a - b = 3 - (3 - 1) = 4 - 3

。(D) 對：

a + b

就是原來的數

2 + 3

。(E) 對：

\frac{1}{b} = \frac{1}{3 - 1} = \frac{3 + 1}{2}

，

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{3} + \frac{3 + 1}{2} = \frac{2 + 3 3 + 3}{6} = \frac{5 + 3 3}{6}

。

43

要先寫成

212

，才能套「和

7

、積

12

」。

03填充 1～5（第 8～12 題）：有理化比大小、指數律、半衰期、循環小數、pH 值

第 8 題三個數分母有理化：

a = \frac{9 ( 2 + 11 )}{2 - 11} = - (11 + 2)

；

b = \frac{3 ( 5 + 2 2 )}{5 - 8} = - (8 + 5)

；

c = \frac{6 + 7}{6 - 7} = - (7 + 6)

。比較括號裡三個正數的平方：

(11 + 2)^{2} = 13 + 222

，

(8 + 5)^{2} = 13 + 240

，

(7 + 6)^{2} = 13 + 242

。所以

11 + 2 < 8 + 5 < 7 + 6

，加上負號後大小相反：

a > b > c

。

三個數都是負的（分母都是小減大）；括號裡的數越大，加上負號後越小。

第 9 題全部化成

5

的次方。

5 5^{20} = 5^{\frac{20}{5}} = 5^{4}

；

5^{12} = 5^{12 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = 5^{3}

；

(\frac{1}{125})^{3} \times 62 5^{2} = 5^{- 9} \times 5^{8} = 5^{- 1}

，再取

- 3

次方得

5^{3}

。相乘：

5^{4 + 3 + 3} = 5^{10}

，

x = 10

。

第 10 題每過

7

天質量乘以

\frac{1}{2}

，所以

t

天後的質量是

100 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{7}}

。

t = 4

時為

100 \times (\frac{1}{2})^{\frac{4}{7}}

。用計算機：

(\frac{1}{2})^{\frac{4}{7}} = 0. 5^{0.5714 \dots} \approx 0.67295

，質量約

67.295

克，四捨五入到小數點後第一位是

67.3

克。

4

天還不到一個半衰期，答案應該在

50

和

100

之間；不能用「

7

天少

50

克，

4

天少

\frac{4}{7} \times 50

克」這種等量減少的算法。

第 11 題

\frac{2}{9} = 0.2222 \dots

，

\frac{23}{99} = 0.232323 \dots

，

0.2 \overline{a 1} = 0.2 a 1 a 1 a 1 \dots

。三個數的小數第一位都是

2

，比小數第二位：要大於

0.2222 \dots

，

a \geq 2

；要小於

0.2323 \dots

，

a \leq 3

。

a = 2

時是

0.22121 \dots

，第三位

1 < 2

，比

\frac{2}{9}

小，不合。

a = 3

時是

0.2313131 \dots

，大於

0.2222 \dots

，且和

0.2323 \dots

比到第三位

1 < 2

，比較小，符合。所以

a = 3

。

循環節是

a 1

兩位，

2

不在循環節裡。

第 12 題pH 值

= - lo g [H^{+}]

表示

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

。蜂蜜的氫離子濃度是

1 0^{- 3.5} \approx 0.000316

，檸檬是

1 0^{- 2.4} \approx 0.003981

。等體積混合後，濃度是兩者的平均：

\frac{0.000316 + 0.003981}{2} \approx 0.002149

。pH 值

= - lo g 0.002149 \approx 2.668

，四捨五入到小數點後第一位是

2.7

。

要平均的是濃度，不是 pH 值。把

3.5

和

2.4

直接平均會得到

2.95

，那是錯的。

情境題先把文字翻成指數式（

100 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{7}}

、

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

），再按計算機。

04填充 6～9（第 13～16 題）：指數式求值、算幾不等式、整數解個數、位數

第 13 題先化簡條件：

3 - 8 = 3 - 22

，和

3

、積

2

的兩數是

2

和

1

，所以

4^{x} = 2 - 1

。令

u = 4^{x} = 2 - 1

，則

\frac{1}{u} = 2 + 1

。所求的分子分母同乘以

8^{x}

：分子

8^{x} (3 2^{x} - 8^{- x}) = 25 6^{x} - 1 = u^{4} - 1

；分母

8^{x} (2^{x} + 2^{- x}) = 1 6^{x} + 4^{x} = u^{2} + u

。所以原式

= \frac{( u ^{2} + 1 ) ( u + 1 ) ( u - 1 )}{u ( u + 1 )} = (u + \frac{1}{u}) (u - 1)

。

u + \frac{1}{u} = 22

，

u - 1 = 2 - 2

，相乘得

22 (2 - 2) = 4 - 42

。

3 2^{x} \times 8^{x} = 25 6^{x} = (4^{x})^{4}

，

2^{x} \times 8^{x} = 1 6^{x} = (4^{x})^{2}

，同乘

8^{x}

之後每一項都是

4^{x}

的次方。答案約

- 1.657

，是負數。

第 14 題令

u = x - 2 \geq 0

、

v = y - 1 \geq 0

，則

uv = \frac{27}{2}

（所以

u

、

v

都是正數），且

3 x + 2 y = 3 (u + 2) + 2 (v + 1) = 3 u + 2 v + 8

。由算幾不等式

\frac{3 u + 2 v}{2} \geq 3 u \cdot 2 v = 6 uv = 81 = 9

，得

3 u + 2 v \geq 18

，所以

3 x + 2 y \geq 26

。等號在

3 u = 2 v = 9

，也就是

u = 3

、

v = \frac{9}{2}

（

x = 5

、

y = \frac{11}{2}

）時成立，最小值是

26

。

要對

3 (x - 2)

和

2 (y - 1)

用算幾不等式，乘積才是定值；最後記得把

8

加回來。

第 15 題

x - \frac{1}{3} < k

是數線上到

\frac{1}{3}

的距離小於

k

的點。把整數依照到

\frac{1}{3}

的距離由近到遠排：

0

（距離

\frac{1}{3}

）、

1

（

\frac{2}{3}

）、

- 1

（

\frac{4}{3}

）、

2

（

\frac{5}{3}

）、

- 2

（

\frac{7}{3}

）、

3

（

\frac{8}{3}

）、…。恰有

5

個整數，就是要包含第五個

- 2

、不包含第六個

3

：

k > \frac{7}{3}

且

k \leq \frac{8}{3}

，所以

\frac{7}{3} < k \leq \frac{8}{3}

。

不等式是嚴格的「

< k

」：

k = \frac{7}{3}

時

- 2

還沒被包進來，所以左端沒有等號；

k = \frac{8}{3}

時

3

也還沒被包進來，整數仍是

- 2, - 1, 0, 1, 2

共

5

個，所以右端有等號。

第 16 題

2^{10} = 1024

，所以

F_{10} = 2^{1024} + 1

。

lo g 2^{1024} = 1024 \times 0.3010 = 308.224

，即

1 0^{308} < 2^{1024} < 1 0^{309}

，

2^{1024}

是

309

位數。

2^{1024}

是偶數，個位數字不是

9

，加

1

不會進位，所以

F_{10}

也是

309

位數，共有

309

個數字。

指數是

2^{10} = 1024

，不是

2 \times 10 = 20

。

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

是

n + 1

位數：

lo g N

的整數部分加

1

就是位數。

05混合題 1～2（第 17～18 題）：蒲福風級與分數指數

第 17 題答案 (C)。

B = 9

代入：

9^{\frac{3}{2}} = (9)^{3} = 3^{3} = 27

，

V = 0.836 \times 27 = 22.572

，最接近

22.5

。

第 18 題

V = 55

代入：

0.836 \times B^{\frac{3}{2}} = 55

，

B^{\frac{3}{2}} = \frac{55}{0.836} \approx 65.789

。兩邊取

\frac{2}{3}

次方：

B = 65.78 9^{\frac{2}{3}} \approx 16.30

，四捨五入到整數位是

16

級。檢查：

B = 16

時

1 6^{\frac{3}{2}} = 4^{3} = 64

，

V = 0.836 \times 64 \approx 53.5

；

B = 17

時

1 7^{\frac{3}{2}} \approx 70.09

，

V \approx 58.6

；

55

介於兩者之間且比較靠近

53.5

。

B^{\frac{3}{2}} = c

要解

B

，兩邊取

\frac{2}{3}

次方：

(B^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = B

。計算機上是先算

55 \div 0.836

，再取

(2 \div 3)

次方。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

鳳山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

鳳山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 6 題（本頁第 13 題）要先把雙重根號化開，再把分子分母同乘 8 的 x 次方，答案是負的；填充第 8 題（本頁第 15 題）要把整數依照到三分之一的距離排好，兩個端點有沒有等號不一樣；填充第 5 題（本頁第 12 題）要平均的是氫離子濃度而不是 pH 值；填充第 1 題（本頁第 8 題）三個數有理化之後都是負的，大小順序要反過來。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自鳳山高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

鳳山高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～3：分數指數、計算機求 log、數線上的絕對值不等式

02多選 1～4（第 4～7 題）：有理數與無理數、倒數求值、指數律、雙重根號

03填充 1～5（第 8～12 題）：有理化比大小、指數律、半衰期、循環小數、pH 值

04填充 6～9（第 13～16 題）：指數式求值、算幾不等式、整數解個數、位數

05混合題 1～2（第 17～18 題）：蒲福風級與分數指數

同一次段考的其他學校

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常見問題

鳳山高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

鳳山高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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鳳山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

鳳山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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