段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

高雄女中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄女中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 28 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄女中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 13 題要分清楚按根號鍵是把十的次方除以二、按 log 鍵是取出十的次方，選項 D 的次數要實際算；第 18 題要先用個位數和千位數縮小範圍再逐一平方；第 20 題要對整數部分分情況討論並檢查小數部分小於一；第 26 題要把立方根設成代號後整體三次方。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 28 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 28 題，照原卷順序

是非題 5 題（5 分）、單選題 5 題（20 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 15 題（60 分）

一、是非題（每題 1 分，共 5 分）

0. \overline{9} = 0.9999 \dots < 1

。

若

0 < a < 1

，則

a + \frac{1}{a}

的最小值為

2

。

3 - 8 = (- 8)^{\frac{1}{3}} = - 2

。

8^{\frac{1}{3}}

和

8^{\frac{- 1}{3}}

互為倒數。

lo g 10 = 1 0^{0}

。

二、單選題：（共 20 分）

設

a = 5 - 13

，

b = 6 - 14

，

c = 7 - 15

，請選出正確的大小關係。

(A) $a < b < c$
(B) $b < c < a$
(C) $c < b < a$
(D) $b < a < c$
(E) $a < c < b$

設

A (3 π)

、

B (7 π)

為數線上兩點，若

P

在

\overline{A B}

外且

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 5

，試求

P

的坐標。

(A) $0$
(B) $π$
(C) $2 π$
(D) $8 π$
(E) $9 π$

不等式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 4∣ \leq 12

有幾個整數解？

(A) $9$
(B) $10$
(C) $11$
(D) $12$
(E) $13$

本校的校訂必修課程以「聯合國永續發展目標（簡稱 SDGs）」為主軸。在「氣候行動」方面，我國自主承諾

2030

年溫室氣體排放量相當於

2005

年的排放量再減

20%

。假設我國每年依固定比率（當年和前一年排放量的比）逐年減少溫室氣體排放量。若要達到這個承諾，則這

25

年間，我國每年需減少溫室氣體排放量應接近下列哪一個選項？（利用

0. 8^{0.04} \approx 0.9911

）

(A) $0.35%$
(B) $0.89%$
(C) $1.76%$
(D) $2.48%$
(E) $3.96%$

已知最大質數（截至

2024

年

10

月）為

2^{136279841} - 1

。若想印出此質數至少需要多少張 A4 紙？假定每張 A4 紙可印出

3000

個數字。在下列選項中，選出最接近的張數。

(A) $700$
(B) $3800$
(C) $6900$
(D) $14000$
(E) $25000$

三、多選題：（共 15 分）

已知

a

、

b

、

c

、

d

皆為有理數，

p

、

q

均為無理數。試選出正確的選項（應選

2

項）。

(A) $\frac{a}{b}$ 是有理數
(B) $a + b p$ 為無理數
(C) 若 $p + q$ 為有理數，則 $pq$ 為有理數
(D) 若 $a + b p = c + d p$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(E) 若 $p \neq = q$ ，則 $p$ 與 $q$ 之間存在無限多個有理數，也存在無限多個無理數

若

a

、

b

均為正實數，已知

3^{a} > 1

、

3^{b} > 1

且

a + b = 2

，試選出可能是

3^{a} + 3^{b}

之值的選項。（應選

2

項）

(A) $3$
(B) $4$
(C) $6$
(D) $8$
(E) $10$

考慮計算機上的

x

（取正平方根）與

lo g

（取常用對數）按鈕。已知此計算機一按下

x

鍵或

lo g

鍵，就會把計算數值呈現在螢幕上。假設目前計算機螢幕上顯示的數字為

20251141015

。試選出正確的選項（應選

3

項）

(A) 按一下 $lo g$ 鍵，螢幕顯示的數字 $A$ 的範圍為 $10 \leq A < 11$
(B) 按一下 $x$ 鍵再按 $lo g$ 鍵，螢幕顯示數字 $B$ 的範圍為 $5 \leq B < 6$
(C) 按兩下 $lo g$ 鍵，螢幕顯示數字 $C$ 的範圍為 $0 \leq C < 1$
(D) 若按 $m$ 次 $x$ 鍵之後，螢幕顯示數字 $D < 10$ ，則 $m$ 至少為 $5$
(E) 若按了第 $n$ 次 $lo g$ 鍵時，螢幕顯示數字 $E$ 的範圍為 $0 \leq E < 1$ ，則 $n$ 至少為 $3$

四、填充題：（共 15 題，佔 60 分）

將有理數

\frac{61}{495}

化為小數後，小數點後第

2025

位為 ____。

一正最簡分數，分子與分母的和為

15

，若將其化為小數（依四捨五入法取至小數點後兩位）得

0.36

，則此分數的分子與分母之差為 ____。

已知

a

、

b

為實數，若方程式

2∣ x - a ∣ + b = 5

的解為

x = 1

或

3

，則

a + b =

____。

已知

a

、

b

為實數，若不等式

∣ a x + 1∣ > b

的解為

x < - 2

或

x > 4

，則

a + b =

____。

設

K

、

G

、

H

、

S

為

1 \sim 9

的阿拉伯數字且均相異，若

K G H S = K S

，則

K - G - H - S =

____。

設

4 - 7 = a + b

，其中

a

為正整數，

0 \leq b < 1

，求

\frac{1}{a + b} + \frac{b}{b + 1}

的值為 ____。

設

a

為正實數，且

a

的小數部分為

b

，若

a^{2} + b^{2} = 5

，則

(a + b)^{2} =

____。

若

a > 4

，則

a + \frac{1}{a - 4}

的最小值為 ____。

設

△ A B C

是一個面積為

33. \overline{3}

的直角三角形，

∠ B = 9 0^{\circ}

，點

D

、

E

分別在

\overline{A B}

、

\overline{B C}

上且

\overline{A D} : \overline{D B} = 1 : 4

，

\overline{B E} : \overline{E C} = 3 : 2

，試求

\overline{D E}

的最小值為 ____。

試求

(\frac{1}{2})^{π - 1} \times 2^{π + 1} + (2 - 3)^{- l o g π} (7 - 43)^{l o g π} =

____。

設

A (3 \times 1 0^{8})

、

B (6 \times 1 0^{23})

為數線上兩點，若

P

在

A

、

B

兩點之間且

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

，將

P

的坐標以科學記號表示為

p \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq p < 10

，

n

是整數，則

p

的整數部份為 ____。

曾經有一位日本小學的校長製作了一個「

0.99

法則」的標語：「每天都只比前一天偷懶

1%

，一年後的能力會退步到低於原來的

3%

。」（即

0.9 9^{365} < 0.03

）若依「

0.99

法則」，假設某人上高中後，每天都只比前一天偷懶

1%

，則最快幾個月後，他的能力就會退步到低於剛上高中時的一半？（利用

1 0^{- 0.3010} \approx 0.5

，

1 0^{- 0.004} \approx 0.99

）

若

x = 1 - 32 + 34

，則

1 0^{l o g (x^{3} - 3 x^{2} + 9 x)} =

____。

若

A

、

B

為正實數，已知

lo g A = 0.8

，

lo g B = 1.4

，則

A B^{2}

的整數部份為 ____ 位數。

根據班佛法則（Benford's law）：銀行存款金額最高位數字是

n

的比例約為

lo g (1 + \frac{1}{n})

，那麼銀行存款金額最高位數字不超過

4

的比例約為 ____ 成（四捨五入至個位數）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 6 題(A)

第 7 題(C)

第 8 題(E)

第 9 題(B)

第 10 題(D)

第 11 題(D)(E)

第 12 題(C)(D)

第 13 題(A)(B)(E)

第 14 題

3

第 15 題

7

第 16 題

5

第 17 題

2

第 18 題

0

第 19 題

1

第 20 題

6

第 21 題

6

第 22 題

8

第 23 題

5

第 24 題

4

第 25 題

3

第 26 題

9

第 27 題

4

第 28 題

7

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：循環小數、算幾不等式的等號、分數指數與 log 的定義

第 1 題2設

x = 0. \overline{9}

，則

10 x = 9. \overline{9}

，兩式相減得

9 x = 9

，

x = 1

。所以

0. \overline{9} = 1

，不是小於

1

。答 ×。

也可以從

\frac{1}{3} = 0. \overline{3}

兩邊同乘

3

得到

1 = 0. \overline{9}

。

第 2 題2由算幾不等式

a + \frac{1}{a} \geq 2 a \cdot \frac{1}{a} = 2

，等號要

a = \frac{1}{a}

，也就是

a = 1

才成立。但題目限制

0 < a < 1

，取不到

a = 1

，所以

a + \frac{1}{a}

恆大於

2

，

2

不是它的最小值（這個範圍內沒有最小值）。答 ×。

用算幾不等式求極值，一定要檢查等號成立的條件在不在題目給的範圍內。

第 3 題2

3 - 8 = - 2

是對的，因為

(- 2)^{3} = - 8

。但分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只對底數

a > 0

定義，

(- 8)^{\frac{1}{3}}

這個寫法沒有意義，所以中間那個等號不成立。答 ×。

如果允許負數當底數，會出現

(- 8)^{\frac{1}{3}} = (- 8)^{\frac{2}{6}} = 6 (- 8)^{2} = 2

這種矛盾，所以規定底數要是正數。

第 4 題1

8^{\frac{1}{3}} \times 8^{- \frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} = 8^{0} = 1

，兩數相乘等於

1

，互為倒數。（實際上

8^{\frac{1}{3}} = 2

，

8^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

。）答 ○。

第 5 題1

lo g 10

是「

10

的幾次方等於

10

」的那個次方，所以

lo g 10 = 1

；而

1 0^{0} = 1

。兩邊都是

1

。答 ○。

是非題考的都是定義的邊界：等號取不取得到、底數能不能是負數、

lo g

到底在問什麼。

02單選 6～10：根式比大小、外分點、絕對值的和、固定比率與位數

第 6 題三個數都是負數，先有理化分子：

a = \frac{( 5 - 13 ) ( 5 + 13 )}{5 + 13} = \frac{- 8}{5 + 13}

，同理

b = \frac{- 8}{6 + 14}

，

c = \frac{- 8}{7 + 15}

。分母

5 + 13 < 6 + 14 < 7 + 15

，所以

\frac{8}{5 + 13} > \frac{8}{6 + 14} > \frac{8}{7 + 15}

，加上負號後不等號反向：

a < b < c

。選 (A)。

三個數根號裡的差都是

8

，才能用同一個分子來比。

第 7 題

\overline{A B} = 7 π - 3 π = 4 π

。

P

在線段外且

\overline{A P} < \overline{B P}

，所以

P

在

A

的左邊，這時

\overline{B P} - \overline{A P} = \overline{A B} = 4 π

。設

\overline{A P} = t

，則

\overline{B P} = 5 t

，

5 t - t = 4 π

，

t = π

。

P

的坐標是

3 π - π = 2 π

。選 (C)。

若

P

在

B

的右邊，會是

\overline{A P} > \overline{B P}

，與

1 : 5

不合。

第 8 題

∣ x + 2∣ + ∣ x - 4∣

是數線上

x

到

- 2

與到

4

的距離和。

x

在

- 2

和

4

之間時，距離和固定是

6

；

x

每往外走

1

單位，距離和增加

2

。要距離和不超過

12

，可以往外走

\frac{12 - 6}{2} = 3

單位，所以

- 5 \leq x \leq 7

。整數解有

7 - (- 5) + 1 = 13

個。選 (E)。

第 9 題設每年的排放量是前一年的

r

倍。從

2005

年到

2030

年共

25

年，要

r^{25} = 1 - 20% = 0.8

，所以

r = 0. 8^{\frac{1}{25}} = 0. 8^{0.04} \approx 0.9911

。每年是前一年的

99.11%

，也就是每年減少

1 - 0.9911 = 0.0089 = 0.89%

。選 (B)。

不能用

20% \div 25 = 0.8%

；每年減少的量是以「前一年」為基準，不是以

2005

年為基準。

第 10 題用

2 \approx 1 0^{0.3010}

：

2^{136279841} \approx 1 0^{0.3010 \times 136279841} \approx 1 0^{41020232.1}

，介於

1 0^{41020232}

和

1 0^{41020233}

之間，是

41020233

位數，約

4.1 \times 1 0^{7}

位。

2

的次方個位數不是

0

，減

1

之後位數不變。需要的張數約為

\frac{4.1 \times 1 0 ^{7}}{3000} \approx 1.37 \times 1 0^{4}

，最接近

14000

。選 (D)。

題目沒有印

lo g 2

的近似值，要自己記得

lo g 2 \approx 0.3010

。

「每年依固定比率」「連按幾次」這類題目，先寫成某個數的次方，再用指數律或

10

的次方處理。

03多選 11～13：有理數與無理數、指數和的範圍、根號鍵與 log 鍵

第 11 題(A) 錯：

b = 0

時

\frac{a}{b}

沒有意義。(B) 錯：

b = 0

時

a + b p = a

是有理數。(C) 錯：取

p = 2

、

q = 1 - 2

，

p + q = 1

是有理數，但

pq = 2 - 2

是無理數。(D) 對：移項得

a - c = (d - b) p

；若

d \neq = b

，則

p = \frac{a - c}{d - b}

是有理數，矛盾，所以

b = d

，進而

a = c

。(E) 對：任意兩個相異實數之間都有無限多個有理數，也有無限多個無理數。選 (D)(E)。

(A)、(B) 都是「係數可能是

0

」的陷阱；題目只說

b

是有理數，沒說

b \neq = 0

。

第 12 題

a

、

b

是正數且

a + b = 2

，所以

0 < a < 2

。令

t = 3^{a}

，則

1 < t < 9

，而

3^{b} = 3^{2 - a} = \frac{9}{t}

，所求為

t + \frac{9}{t}

。下界：由算幾不等式

t + \frac{9}{t} \geq 29 = 6

，等號在

t = 3

（

a = b = 1

）時成立。上界：

t + \frac{9}{t} < 10

等價於

t^{2} - 10 t + 9 < 0

，即

(t - 1) (t - 9) < 0

，在

1 < t < 9

時恆成立。所以

6 \leq 3^{a} + 3^{b} < 10

。

3

、

4

太小，

10

取不到；

6

在

a = b = 1

時取到，

8

在

t = 4 + 7

（介於

1

和

9

之間）時取到。選 (C)(D)。

條件

3^{a} > 1

、

3^{b} > 1

就是

a > 0

、

b > 0

。

10

對應

a = 0

或

b = 0

，題目規定是正實數，所以取不到。

第 13 題螢幕上的數

N = 20251141015

是

11

位數，

1 0^{10} \leq N < 1 0^{11}

，所以

lo g N

介於

10

和

11

之間；更精確地說

N \approx 2.03 \times 1 0^{10} \approx 1 0^{10.3}

。(A) 對：

A = lo g N

，

10 \leq A < 11

。(B) 對：

N = N^{\frac{1}{2}} \approx 1 0^{5.15}

，所以

B \approx 5.15

。(C) 錯：

C = lo g A

，而

10 \leq A < 11

，所以

1 \leq C < 2

。(D) 錯：按

m

次根號鍵得到

N^{\frac{1}{2 ^{m}}} \approx 1 0^{\frac{10.3}{2 ^{m}}}

，要小於

10

需要

2^{m} > 10.3

，

m

至少為

4

（按

3

次是

1 0^{1.29}

，按

4

次是

1 0^{0.64}

）。(E) 對：第

1

次顯示

A

（介於

10

和

11

）、第

2

次顯示

C

（介於

1

和

2

），都不在

0

到

1

之間；第

3

次顯示

lo g C

，因為

1 \leq C < 10

，所以

0 \leq lo g C < 1

。選 (A)(B)(E)。

按一次根號鍵，

10

的次方除以

2

；按一次

lo g

鍵，螢幕上變成原來那個數的「

10

的次方」。

04填充 14～18：循環小數、近似值、絕對值回推係數與數字謎

第 14 題

\frac{61}{495} = \frac{122}{990} = \frac{99}{990} + \frac{23}{990} = 0.1 + 0.0 \overline{23} = 0.1 \overline{23} = 0.1232323 \dots

。小數點後第

1

位是

1

，從第

2

位起「

2

、

3

」循環：偶數位是

2

、第

3

位以後的奇數位是

3

。

2025

是奇數，所以第

2025

位是

3

。

循環節不是從第

1

位開始，要先扣掉不循環的那一位再數。

第 15 題四捨五入後是

0.36

，表示原分數介於

0.355

和

0.365

之間，比

\frac{1}{2}

小，所以分子小於分母。分子與分母的和是

15

，逐一試：

\frac{3}{12} = 0.25

，

\frac{4}{11} = 0.3636 \dots

，

\frac{5}{10} = 0.5

。只有

\frac{4}{11}

合乎條件，而且是最簡分數。分子與分母之差為

11 - 4 = 7

。

也可以設分子為

k

，由

0.355 \leq \frac{k}{15 - k} < 0.365

解得

3.92 < k < 4.02

，所以

k = 4

。

第 16 題方程式化成

∣ x - a ∣ = \frac{5 - b}{2}

，解是數線上與

a

的距離等於

\frac{5 - b}{2}

的兩個點，

a

是兩解的中點：

a = \frac{1 + 3}{2} = 2

。距離

\frac{5 - b}{2} = 3 - 2 = 1

，得

b = 3

。

a + b = 5

。

第 17 題解是

x < - 2

或

x > 4

，邊界

x = - 2

、

x = 4

都滿足

∣ a x + 1∣ = b

，所以

∣ - 2 a + 1∣ = ∣4 a + 1∣

。若

- 2 a + 1 = 4 a + 1

則

a = 0

，這時不等式與

x

無關，不合；所以

- 2 a + 1 = - (4 a + 1)

，得

a = - 1

，

b = ∣4 a + 1∣ = 3

。驗算：

∣ - x + 1∣ > 3

就是

∣ x - 1∣ > 3

，解為

x < - 2

或

x > 4

。

a + b = 2

。

∣ a x + 1∣ > b

的解以

x = - \frac{1}{a}

為中心；中心是

\frac{- 2 + 4}{2} = 1

，也可以直接得到

a = - 1

。

第 18 題這裡

K G H S

是四位數、

K S

是二位數，條件是

(10 K + S)^{2} = 1000 K + 100 G + 10 H + S

。個位數：

S^{2}

的個位數要等於

S

，在

1 \sim 9

中只有

S = 1

、

5

、

6

。千位數：

K \leq 7

時

(10 K + S)^{2} < (10 K + 10)^{2} = 100 (K + 1)^{2} \leq 1000 K

，千位數不到

K

；

K = 8

時最大是

8 6^{2} = 7396 < 8000

，也不合；所以

K = 9

。逐一算：

9 1^{2} = 8281

（千位不是

9

）、

9 5^{2} = 9025

（

G = 0

不合）、

9 6^{2} = 9216

（合）。所以

K = 9

，

G = 2

，

H = 1

，

S = 6

，四個數字相異，

K - G - H - S = 9 - 2 - 1 - 6 = 0

。

絕對值方程式和不等式的解，在數線上都以某個點為中心左右對稱；先找中心，再找距離。

05填充 19～23：整數部分與小數部分、算幾不等式、指數律

第 19 題

2 < 7 < 3

，所以

1 < 4 - 7 < 2

，開根號後

1 < 4 - 7 < 2

，整數部分

a = 1

。把

a = 1

代入所求：

\frac{1}{1 + b} + \frac{b}{b + 1} = \frac{1 + b}{1 + b} = 1

。

不必把

b

求出來。若要求，

4 - 7 = \frac{8 - 2 7}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{14 - 2}{2}

，

b = \frac{14 - 2}{2} - 1

。

第 20 題設

a

的整數部分為

n

（

n

是非負整數），則

a = n + b

，

0 \leq b < 1

。由

a^{2} \leq a^{2} + b^{2} = 5

知

a < 3

，所以

n \leq 2

。

n = 0

：

2 b^{2} = 5

，

b > 1

，不合。

n = 1

：

(1 + b)^{2} + b^{2} = 5

，

b^{2} + b - 2 = 0

，

b = 1

或

- 2

，不合。

n = 2

：

(2 + b)^{2} + b^{2} = 5

，

2 b^{2} + 4 b - 1 = 0

，

b = \frac{- 2 + 6}{2} \approx 0.22

，合。這時

a + b = 2 + 2 b = 6

，

(a + b)^{2} = 6

。

n = 1

時解出

b = 1

，但小數部分必須小於

1

，所以不合。

第 21 題

a > 4

時

a - 4 > 0

。把式子改寫成

a + \frac{1}{a - 4} = (a - 4) + \frac{1}{a - 4} + 4

，由算幾不等式

(a - 4) + \frac{1}{a - 4} \geq 2 (a - 4) \cdot \frac{1}{a - 4} = 2

，所以原式

\geq 6

。等號在

a - 4 = \frac{1}{a - 4}

，即

a = 5

時成立（合於

a > 4

）。最小值為

6

。

直接對

a

和

\frac{1}{a - 4}

用算幾不等式，乘積不是定值，求不出最小值；要先湊出

a - 4

。

第 22 題

33. \overline{3} = \frac{100}{3}

。設

\overline{A B} = x

，

\overline{B C} = y

，面積

\frac{1}{2} x y = \frac{100}{3}

，

x y = \frac{200}{3}

。

\overline{D B} = \frac{4}{5} x

，

\overline{B E} = \frac{3}{5} y

，

∠ B = 9 0^{\circ}

，由畢氏定理

\overline{D E}^{2} = \frac{16}{25} x^{2} + \frac{9}{25} y^{2}

。由算幾不等式

\frac{16}{25} x^{2} + \frac{9}{25} y^{2} \geq 2 \frac{16}{25} x^{2} \cdot \frac{9}{25} y^{2} = \frac{24}{25} x y = \frac{24}{25} \cdot \frac{200}{3} = 64

。等號在

\frac{4}{5} x = \frac{3}{5} y

（即

\overline{D B} = \overline{B E} = 42

）時成立，所以

\overline{D E}

的最小值為

8

。

等號成立時

x = 52

，

y = \frac{20 2}{3}

，確實滿足

x y = \frac{200}{3}

。

第 23 題前項：

(\frac{1}{2})^{π - 1} = 2^{- (π - 1)} = 2^{1 - π}

，所以

(\frac{1}{2})^{π - 1} \times 2^{π + 1} = 2^{(1 - π) + (π + 1)} = 2^{2} = 4

。後項：

7 - 43 = (2 - 3)^{2}

且

2 - 3 > 0

，所以

7 - 43 = 2 - 3

，後項

= (2 - 3)^{- l o g π} \times (2 - 3)^{l o g π} = (2 - 3)^{0} = 1

。合計

4 + 1 = 5

。

lo g π

的值不用算，兩個次方相加剛好是

0

。

用算幾不等式求極值的三步：湊成兩個正數、讓和或積是定值、檢查等號成立的條件取得到。

06填充 24～28：科學記號、指數不等式、立方根求值與 log 的意義

第 24 題

P

在

A

、

B

之間且

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 1

，由分點公式

P

的坐標

= \frac{1 \cdot ( 3 \times 1 0 ^{8} ) + 2 \cdot ( 6 \times 1 0 ^{23} )}{2 + 1} = 1 0^{8} + 4 \times 1 0^{23}

。

1 0^{8}

只有

4 \times 1 0^{23}

的

\frac{1}{4 \times 1 0 ^{15}}

，所以

P

的坐標是

4.000000000000001 \times 1 0^{23}

，

n = 23

，

p

的整數部分是

4

。

P

比較靠近

B

，所以

B

的坐標要乘上比較大的

2

。

第 25 題

n

天後的能力是原來的

0.9 9^{n}

倍。要

0.9 9^{n} < 0.5

，用題目給的近似值改寫成

(1 0^{- 0.004})^{n} < 1 0^{- 0.3010}

，即

1 0^{- 0.004 n} < 1 0^{- 0.3010}

。指數愈小、數值愈小，所以

- 0.004 n < - 0.3010

，

n > 75.25

，最少要

76

天。兩個月最多

62

天，還不到；三個月至少

89

天，已經超過

76

天。所以最快

3

個月後。

不等式兩邊同除以負數，不等號要反向。

第 26 題

1 0^{l o g M} = M

，所以要求的就是

x^{3} - 3 x^{2} + 9 x

的值。令

t = 32

，則

t^{3} = 2

，

x - 1 = t^{2} - t = t (t - 1)

。兩邊三次方：

(x - 1)^{3} = t^{3} (t - 1)^{3} = 2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1) = 2 [1 - 3 (t^{2} - t)] = 2 [1 - 3 (x - 1)] = 8 - 6 x

。左邊展開

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = 8 - 6 x

，移項得

x^{3} - 3 x^{2} + 9 x = 9

。

另一個做法：

(1 + t) (1 - t + t^{2}) = 1 + t^{3} = 3

，所以

x = \frac{3}{1 + t}

，

t = \frac{3}{x} - 1

，再代入

t^{3} = 2

，同樣得到

x^{3} - 3 x^{2} + 9 x = 9

。

第 27 題

A = 1 0^{0.8}

，

B = 1 0^{1.4}

，所以

A B^{2} = 1 0^{0.8} \times (1 0^{1.4})^{2} = 1 0^{0.8 + 2.8} = 1 0^{3.6}

。

1 0^{3} < 1 0^{3.6} < 1 0^{4}

，

A B^{2}

介於

1000

和

10000

之間，整數部分是

4

位數。

第 28 題最高位數字不超過

4

就是最高位數字為

1

、

2

、

3

、

4

，比例是

lo g 2 + lo g \frac{3}{2} + lo g \frac{4}{3} + lo g \frac{5}{4}

。由

lo g

的意義，

1 0^{l o g 2} \times 1 0^{l o g \frac{3}{2}} \times 1 0^{l o g \frac{4}{3}} \times 1 0^{l o g \frac{5}{4}} = 2 \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} = 5

，左邊用指數律合併就是

10

的「四個

lo g

相加」次方，所以這四項的和等於

lo g 5

。又

5 = \frac{10}{2} \approx \frac{1 0 ^{1}}{1 0 ^{0.3010}} = 1 0^{0.699}

，

lo g 5 \approx 0.699

，約

69.9%

，四捨五入後是

7

成。

連乘時前一項的分子和後一項的分母會約掉，只剩

\frac{5}{1}

。

看到

lo g

就先換回「

10

的幾次方」：

lo g A = 0.8

是

A = 1 0^{0.8}

，之後全部用指數律算。

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高雄女中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 13 題要分清楚按根號鍵是把十的次方除以二、按 log 鍵是取出十的次方，選項 D 的次數要實際算；第 18 題要先用個位數和千位數縮小範圍再逐一平方；第 20 題要對整數部分分情況討論並檢查小數部分小於一；第 26 題要把立方根設成代號後整體三次方。詳解逐題寫在本頁。

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02單選 6～10：根式比大小、外分點、絕對值的和、固定比率與位數

03多選 11～13：有理數與無理數、指數和的範圍、根號鍵與 log 鍵

04填充 14～18：循環小數、近似值、絕對值回推係數與數字謎

05填充 19～23：整數部分與小數部分、算幾不等式、指數律

06填充 24～28：科學記號、指數不等式、立方根求值與 log 的意義

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