段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

高師大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（40 分）、填充題 12 格（60 分），合計 100 分

一、多重選擇題（共 40 分。每題至少有一個選項正確，全對得 8 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，其他情形得 0 分）

已知

a, b

均為實數。下列何者正確？

(A) 若 $a, b$ 均為無理數，則 $a + b, a - b$ 至少有一個為無理數
(B) 若 $a + b, ab$ 均為無理數，則 $a, b$ 均為無理數
(C) 若 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = 0$ 且 $b = 0$
(D) 若 $a < b$ ，則必存在一個實數 $c$ ，使得 $a < c < b$
(E) 若 $a$ 為質數，則 $a$ 有可能是有理數

下列何者正確？

(A) $1 > 0. \overline{9}$
(B) $0.1 \overline{23}$ 為有理數
(C) $0^{0} = 0$
(D) $(2)^{0} = 1$
(E) $(- 8)^{\frac{1}{3}} = - 2$

數線上有四個點：

A (6), B (\frac{20}{3}), C (210), D (d)

，其中

d

是有理數。下列何者正確？

(A) $6 + \frac{20}{3} + 210 + d$ 必為一個無理數
(B) $6 \times \frac{20}{3} \times 210 \times d$ 必為一個無理數
(C) 點 $D$ 有可能與點 $C$ 的距離等於 $210 + 6$
(D) 點 $A$ 和點 $B$ 的中點在點 $C$ 的左邊
(E) 數線上和點 $B$ 距離小於 $8$ 的所有點中，整數有 $15$ 個

設

a, b > 0

，令

m = (a + \frac{3}{b}) (b + \frac{4}{a})

。下列何者正確？

(A) $m$ 有最大值為 $83$
(B) 當 $m$ 有最大值時， $ab = 4$
(C) 當 $m$ 有最小值時， $ab = 3$
(D) 當 $m$ 有最小值時， $ab = 23$
(E) $m > 83$

已知

lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771

。下列何者正確？

(A) $1 0^{0.3010} \approx 2$
(B) $2^{50}$ 是 $15$ 位數
(C) $2^{50}$ 的首位數字是 $2$
(D) $(\frac{1}{2})^{30}$ 在小數點後第 $9$ 位開始不為 $0$
(E) $(\frac{1}{2})^{30}$ 在小數點後第 $1$ 個不為 $0$ 的數字是 $9$

二、填充題（每格 5 分，共 60 分。全對才給分）（本頁第 6～17 題依序為原卷填充題第 1～12 題）

設

x = \frac{5 - 1}{2}

，求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

若

11 - 62

的整數部分為

a

，小數部分為

b

（

0 \leq b < 1

），則

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{5 - b} =

____。

設

a, b

均為實數，若

∣ a x - 1∣ > b

的解為

x > 1

或

x < - 4

，則數對

(a, b) =

____。

求

∣ x - 1∣ + ∣2 x - 3∣ \leq 8

的解的範圍為 ____。

若函數

f (x) = ∣ x + 3∣ + ∣ x - 2∣

與直線

y = k

兩圖形沒有交點，求實數

k

的範圍為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771

，若

1 0^{x} = 1 2^{10}

，則

x =

____。

設

n

是自然數，求

2^{n} + \frac{225}{2 ^{n}}

之最小值為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771, lo g 7 \approx 0.8451

，設

(349)^{100} = a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

，

n

為正整數。若

a

的整數部分為

m

，則

m + n =

____。

若

x > 0, y > 0

，且

x^{- \frac{1}{3}} y^{2} = 1, 2 lo g y = 1

，則

x + y =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771

，若

a = 2^{30}, b = 5^{14}, c = 6^{12}

，則

a, b, c

的大小關係為 ____。

已知台灣高鐵的時速是

300

公里，而光的速度是每秒

3 \times 1 0^{8}

公尺，如果利用科學記號來表示，光速約為台灣高鐵速度的

a \times 1 0^{n}

倍，則

a + n =

____。

定義區間

[a, b]

的長度為

b - a

。設

∣3 x - a ∣ \leq b

的解所形成的區間長度為

8

，且

x = 6

不是這個不等式的解，則

a

的範圍為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(D)

第 2 題(B)(D)

第 3 題(A)(C)

第 4 題(D)(E)

第 5 題(A)(E)

第 6 題

25

第 7 題

\frac{6}{7}

第 8 題

(- \frac{2}{3}, \frac{5}{3})

第 9 題

- \frac{4}{3} \leq x \leq 4

第 10 題

k < 5

第 11 題

10.791

第 12 題

30.0625

第 13 題

58

第 14 題

1000 + 10

第 15 題

b > c > a

第 16 題

9.6

第 17 題

a < 6

或

a > 30

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：有理數與無理數、循環小數、指數的規定、數線

第 1 題答案 (A)(D)。(A) 對：假設

a + b

、

a - b

都是有理數，兩式相加得

2 a

是有理數，

a

就是有理數，和「

a

是無理數」矛盾，所以至少有一個是無理數。(B) 錯：取

a = 1

、

b = 2

，

a + b = 1 + 2

、

ab = 2

都是無理數，但

a

是有理數。(C) 錯：題目只說

a

、

b

是實數，取

a = - 2

、

b = 1

就有

a + b 2 = 0

。(D) 對：取

c = \frac{a + b}{2}

，就有

a < c < b

。(E) 錯：若

a = \frac{q}{p}

（最簡分數），則

a p^{2} = q^{2}

，

a

必須是完全平方數；質數不是完全平方數，所以

a

一定是無理數。

a

、

b

是有理數」的前提下才成立，這題的前提是實數。

第 2 題答案 (B)(D)。(A) 錯：設

x = 0. \overline{9}

，則

10 x = 9. \overline{9}

，相減得

9 x = 9

，

x = 1

，所以

1 = 0. \overline{9}

。(B) 對：循環小數都是有理數，

0.1 \overline{23} = \frac{123 - 1}{990} = \frac{61}{495}

。(C) 錯：零次方只對不是

0

的底數規定，

0^{0}

沒有定義。(D) 對：

2 \neq = 0

，不是

0

的數的零次方都是

1

。(E) 錯：分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只對底數

a > 0

規定，底數是

- 8

時

(- 8)^{\frac{1}{3}}

沒有定義。

(E) 和

3 - 8 = - 2

不同：三次方根可以對負數開，但寫成分數指數時課本規定底數要是正數。

第 3 題答案 (A)(C)。(A) 對：

6 + \frac{20}{3} + d

是有理數，加上無理數

210

一定是無理數。(B) 錯：取

d = 0

，乘積是

0

，是有理數。(C) 對：距離是

d - 210

，取

d = - 6

時等於

210 + 6

，而

- 6

是有理數。(D) 錯：中點是

\frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{19}{3}

，

(\frac{19}{3})^{2} = \frac{361}{9} > \frac{360}{9} = 40 = (210)^{2}

，所以中點在

C

的右邊。(E) 錯：

n - \frac{20}{3} < 8

即

- \frac{4}{3} < n < \frac{44}{3}

，整數

n = - 1, 0, 1, \dots, 14

共

16

個。

(D) 的兩個數很接近（

6.333 \dots

和

6.324 \dots

），用平方比較才準。(C) 的

D

可以在

C

的左邊。

02多選 4～5：算幾不等式、位數與首位數字

第 4 題答案 (D)(E)。展開：

m = ab + 4 + 3 + \frac{12}{ab} = 7 + ab + \frac{12}{ab}

。

ab > 0

，由算幾不等式

ab + \frac{12}{ab} \geq 2 ab \cdot \frac{12}{ab} = 212 = 43

，所以

m \geq 7 + 43

，等號在

ab = \frac{12}{ab}

，也就是

ab = 23

時成立。最小值是

7 + 43

，(D) 對、(C) 錯。

ab

很大時

m

可以任意大，沒有最大值，(A)(B) 錯。(E)：

7 + 43 > 83

等於

7 > 43

，兩邊平方是

49 > 48

，成立；所以

m \geq 7 + 43 > 83

，(E) 對。

如果兩個括號各自用算幾不等式再相乘，會得到

m \geq 2 \frac{3 a}{b} \cdot 2 \frac{4 b}{a} = 83

，但兩個等號要

ab = 3

和

ab = 4

同時成立，做不到，所以

83

不是最小值，只知道

m > 83

。要先展開再用算幾。

第 5 題答案 (A)(E)。(A) 對：

lo g 2 \approx 0.3010

的意思就是

1 0^{0.3010} \approx 2

。(B) 錯：

lo g 2^{50} = 50 \times 0.3010 = 15.05

，

2^{50} = 1 0^{0.05} \times 1 0^{15}

，是

16

位數。(C) 錯：

1 0^{0} < 1 0^{0.05} < 1 0^{0.3010}

，即

1 < 1 0^{0.05} < 2

，首位數字是

1

。(D) 錯：

lo g (\frac{1}{2})^{30} = - 30 \times 0.3010 = - 9.03 = - 10 + 0.97

，所以

(\frac{1}{2})^{30} = 1 0^{0.97} \times 1 0^{- 10}

，在小數點後第

10

位開始不為

0

。(E) 對：

lo g 9 = 2 lo g 3 \approx 0.9542 < 0.97 < 1

，所以

9 < 1 0^{0.97} < 10

，第一個不為

0

的數字是

9

。

負的對數值要先改寫成「負整數＋介於

0

和

1

之間的數」：

- 9.03 = - 10 + 0.97

，不是

- 9 + 0.03

。

把數寫成

1 0^{小數} \times 1 0^{n}

：

n

決定位數（或小數點後第幾位開始不為

0

），

1 0^{小數}

決定首位數字。

03填充 1～5（第 6～10 題）：根式求值與絕對值

第 6 題

\frac{1}{x} = \frac{2}{5 - 1} = \frac{2 ( 5 + 1 )}{4} = \frac{5 + 1}{2}

，所以

x + \frac{1}{x} = 5

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 55 - 35 = 25

。

先算

x + \frac{1}{x}

再用乘法公式，不必把

x^{3}

直接乘開。

第 7 題

11 - 62 = 11 - 218

，找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 - 62 = 3 - 2 \approx 1.586

。整數部分

a = 1

，小數部分

b = 3 - 2 - 1 = 2 - 2

。

a + b = 3 - 2

，

5 - b = 3 + 2

，所以

\frac{1}{3 - 2} + \frac{1}{3 + 2} = \frac{( 3 + 2 ) + ( 3 - 2 )}{9 - 2} = \frac{6}{7}

。

a + b

就是原來的數

3 - 2

，不用分開代。

第 8 題解「

x > 1

或

x < - 4

」的兩個端點中點是

- \frac{3}{2}

，到中點的距離是

\frac{5}{2}

，所以解等於

x + \frac{3}{2} > \frac{5}{2}

。要對照成

∣ a x - 1∣ > b

，常數項要變成

- 1

：兩邊乘以

\frac{2}{3}

得

\frac{2}{3} x + 1 > \frac{5}{3}

，也就是

- \frac{2}{3} x - 1 > \frac{5}{3}

。所以

a = - \frac{2}{3}

、

b = \frac{5}{3}

。驗算：

x = 1

時

- \frac{2}{3} - 1 = \frac{5}{3}

，

x = - 4

時

\frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}

。

\frac{2}{3} x + 1

和

- \frac{2}{3} x - 1

相等，要配合題目的「

- 1

」選後者，

a

是負的。

第 9 題分界點是

x = 1

和

x = \frac{3}{2}

。①

x < 1

：

(1 - x) + (3 - 2 x) \leq 8

，

4 - 3 x \leq 8

，

x \geq - \frac{4}{3}

，得

- \frac{4}{3} \leq x < 1

。②

1 \leq x < \frac{3}{2}

：

(x - 1) + (3 - 2 x) \leq 8

，

2 - x \leq 8

，

x \geq - 6

，這一段全部成立。③

x \geq \frac{3}{2}

：

(x - 1) + (2 x - 3) \leq 8

，

3 x \leq 12

，

x \leq 4

，得

\frac{3}{2} \leq x \leq 4

。三段合起來是

- \frac{4}{3} \leq x \leq 4

。

∣2 x - 3∣

的分界點是

\frac{3}{2}

不是

3

。每一段解出來要和該段的範圍取交集。

第 10 題

∣ x + 3∣ + ∣ x - 2∣

是數線上

x

到

- 3

的距離加上

x

到

2

的距離。

x

在

- 3

和

2

之間時，兩段距離的和剛好是

5

；

x

在外面時大於

5

，而且離得越遠越大，可以任意大。所以

f (x)

的值是所有大於或等於

5

的數。

y = k

和圖形沒有交點，就是

f (x) = k

沒有解，所以

k < 5

。

k = 5

時有交點（

- 3 \leq x \leq 2

整段都是），所以不含等號。

絕對值不等式的解是「兩個端點之外」或「兩個端點之間」時，先找中點和半徑寫成

∣ x - 中點 ∣

的形式，再乘上適當的數去對照題目的係數。

04填充 6～9（第 11～14 題）：對數的意義、算幾不等式、科學記號

第 11 題

12 = 2^{2} \times 3 \approx 1 0^{0.3010 \times 2 + 0.4771} = 1 0^{1.0791}

，所以

1 2^{10} \approx 1 0^{10.791}

。

1 0^{x} = 1 2^{10}

，

x = 10.791

。

第 12 題由算幾不等式

2^{n} + \frac{225}{2 ^{n}} \geq 2225 = 30

，等號要

2^{n} = 15

，但

n

是自然數時

2^{n}

不會是

15

，所以取不到

30

，要找

2^{n}

最接近

15

的兩個：

n = 3

時

8 + \frac{225}{8} = 36.125

；

n = 4

時

16 + \frac{225}{16} = 30.0625

。其他的

n

：

n = 1

是

2 + 112.5 = 114.5

，

n = 2

是

4 + 56.25 = 60.25

，

n \geq 5

時

2^{n} \geq 32

，整個式子大於

32

。所以最小值是

30.0625

（

n = 4

）。

算幾不等式的等號條件

2^{n} = 15

不成立，

30

不是答案。

30.0625 = \frac{481}{16}

。

第 13 題

349 = 7^{\frac{2}{3}}

，所以

(349)^{100} = 7^{\frac{200}{3}} \approx 1 0^{0.8451 \times \frac{200}{3}} = 1 0^{56.34} = 1 0^{0.34} \times 1 0^{56}

。所以

n = 56

，

a = 1 0^{0.34}

。

0.3010 < 0.34 < 0.4771

，所以

2 < a < 3

，

m = 2

。

m + n = 58

。

0.8451 \times 200 = 169.02

，除以

3

得

56.34

。

a

的整數部分要拿

0.34

和

lo g 2

、

lo g 3

比。

第 14 題

2 lo g y = 1

得

lo g y = \frac{1}{2}

，

y = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

，

y^{2} = 10

。代入

x^{- \frac{1}{3}} y^{2} = 1

：

x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{10}

，即

x^{\frac{1}{3}} = 10

，兩邊三次方得

x = 1000

。所以

x + y = 1000 + 10

。

05填充 10～12（第 15～17 題）：比大小、單位換算、解區間

第 15 題都化成

10

的次方比指數。

a = 2^{30} \approx 1 0^{0.3010 \times 30} = 1 0^{9.03}

。

5 = \frac{10}{2} \approx 1 0^{1 - 0.3010} = 1 0^{0.6990}

，

b = 5^{14} \approx 1 0^{0.6990 \times 14} = 1 0^{9.786}

。

6 = 2 \times 3 \approx 1 0^{0.7781}

，

c = 6^{12} \approx 1 0^{0.7781 \times 12} = 1 0^{9.3372}

。

9.786 > 9.3372 > 9.03

，所以

b > c > a

。

lo g 5

沒有給，用

5 = 10 \div 2

得到

1 - 0.3010 = 0.6990

。

第 16 題先把單位統一成「每秒幾公尺」。高鐵時速

300

公里

= \frac{300 \times 1000}{3600} = \frac{250}{3}

（公尺／秒）。光速是它的

3 \times 1 0^{8} \div \frac{250}{3} = \frac{9 \times 1 0 ^{8}}{250} = 3.6 \times 1 0^{6}

倍。所以

a = 3.6

、

n = 6

，

a + n = 9.6

。

一個是時速、公里，一個是秒速、公尺，要先換成同一種單位再相除。

第 17 題解要形成區間，

b \geq 0

；

∣3 x - a ∣ \leq b

即

a - b \leq 3 x \leq a + b

，

\frac{a - b}{3} \leq x \leq \frac{a + b}{3}

。區間長度

\frac{a + b}{3} - \frac{a - b}{3} = \frac{2 b}{3} = 8

，所以

b = 12

。

x = 6

不是解，就是

∣18 - a ∣ \leq 12

不成立，即

∣ a - 18∣ > 12

，

a - 18 > 12

或

a - 18 < - 12

，所以

a > 30

或

a < 6

。

題目裡區間定義的

[a, b]

只是說明「長度」的記號，和不等式

∣3 x - a ∣ \leq b

裡的

a

、

b

是兩回事。

比大小、位數這類題目都先化成

10

的次方；沒有給的

lo g 5

、

lo g 6

用

5 = 10 \div 2

、

6 = 2 \times 3

拼出來。

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高師大附中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題要先展開再用算幾不等式，兩個括號各自用算幾得到的 8 根號 3 取不到；多選第 5 題負的對數值要改寫成負十加零點九七才能判斷小數點後第幾位；填充第 7 題（本頁第 12 題）算幾不等式的等號不成立，要代自然數比較；填充第 3 題（本頁第 8 題）要配合題目的常數項負一，a 是負的。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高師大附中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

高師大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（40 分）、填充題 12 格（60 分），合計 100 分

一、多重選擇題（共 40 分。每題至少有一個選項正確，全對得 8 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，其他情形得 0 分）

已知

a, b

均為實數。下列何者正確？

(A) 若 $a, b$ 均為無理數，則 $a + b, a - b$ 至少有一個為無理數
(B) 若 $a + b, ab$ 均為無理數，則 $a, b$ 均為無理數
(C) 若 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = 0$ 且 $b = 0$
(D) 若 $a < b$ ，則必存在一個實數 $c$ ，使得 $a < c < b$
(E) 若 $a$ 為質數，則 $a$ 有可能是有理數

下列何者正確？

(A) $1 > 0. \overline{9}$
(B) $0.1 \overline{23}$ 為有理數
(C) $0^{0} = 0$
(D) $(2)^{0} = 1$
(E) $(- 8)^{\frac{1}{3}} = - 2$

數線上有四個點：

A (6), B (\frac{20}{3}), C (210), D (d)

，其中

d

是有理數。下列何者正確？

(A) $6 + \frac{20}{3} + 210 + d$ 必為一個無理數
(B) $6 \times \frac{20}{3} \times 210 \times d$ 必為一個無理數
(C) 點 $D$ 有可能與點 $C$ 的距離等於 $210 + 6$
(D) 點 $A$ 和點 $B$ 的中點在點 $C$ 的左邊
(E) 數線上和點 $B$ 距離小於 $8$ 的所有點中，整數有 $15$ 個

設

a, b > 0

，令

m = (a + \frac{3}{b}) (b + \frac{4}{a})

。下列何者正確？

(A) $m$ 有最大值為 $83$
(B) 當 $m$ 有最大值時， $ab = 4$
(C) 當 $m$ 有最小值時， $ab = 3$
(D) 當 $m$ 有最小值時， $ab = 23$
(E) $m > 83$

已知

lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771

。下列何者正確？

(A) $1 0^{0.3010} \approx 2$
(B) $2^{50}$ 是 $15$ 位數
(C) $2^{50}$ 的首位數字是 $2$
(D) $(\frac{1}{2})^{30}$ 在小數點後第 $9$ 位開始不為 $0$
(E) $(\frac{1}{2})^{30}$ 在小數點後第 $1$ 個不為 $0$ 的數字是 $9$

二、填充題（每格 5 分，共 60 分。全對才給分）（本頁第 6～17 題依序為原卷填充題第 1～12 題）

設

x = \frac{5 - 1}{2}

，求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

若

11 - 62

的整數部分為

a

，小數部分為

b

（

0 \leq b < 1

），則

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{5 - b} =

____。

設

a, b

均為實數，若

∣ a x - 1∣ > b

的解為

x > 1

或

x < - 4

，則數對

(a, b) =

____。

求

∣ x - 1∣ + ∣2 x - 3∣ \leq 8

的解的範圍為 ____。

若函數

f (x) = ∣ x + 3∣ + ∣ x - 2∣

與直線

y = k

兩圖形沒有交點，求實數

k

的範圍為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771

，若

1 0^{x} = 1 2^{10}

，則

x =

____。

設

n

是自然數，求

2^{n} + \frac{225}{2 ^{n}}

之最小值為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771, lo g 7 \approx 0.8451

，設

(349)^{100} = a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

，

n

為正整數。若

a

的整數部分為

m

，則

m + n =

____。

若

x > 0, y > 0

，且

x^{- \frac{1}{3}} y^{2} = 1, 2 lo g y = 1

，則

x + y =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010, lo g 3 \approx 0.4771

，若

a = 2^{30}, b = 5^{14}, c = 6^{12}

，則

a, b, c

的大小關係為 ____。

已知台灣高鐵的時速是

300

公里，而光的速度是每秒

3 \times 1 0^{8}

公尺，如果利用科學記號來表示，光速約為台灣高鐵速度的

a \times 1 0^{n}

倍，則

a + n =

____。

定義區間

[a, b]

的長度為

b - a

。設

∣3 x - a ∣ \leq b

的解所形成的區間長度為

8

，且

x = 6

不是這個不等式的解，則

a

的範圍為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(D)

第 2 題(B)(D)

第 3 題(A)(C)

第 4 題(D)(E)

第 5 題(A)(E)

第 6 題

25

第 7 題

\frac{6}{7}

第 8 題

(- \frac{2}{3}, \frac{5}{3})

第 9 題

- \frac{4}{3} \leq x \leq 4

第 10 題

k < 5

第 11 題

10.791

第 12 題

30.0625

第 13 題

58

第 14 題

1000 + 10

第 15 題

b > c > a

第 16 題

9.6

第 17 題

a < 6

或

a > 30

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：有理數與無理數、循環小數、指數的規定、數線

第 1 題答案 (A)(D)。(A) 對：假設

a + b

、

a - b

都是有理數，兩式相加得

2 a

是有理數，

a

就是有理數，和「

a

是無理數」矛盾，所以至少有一個是無理數。(B) 錯：取

a = 1

、

b = 2

，

a + b = 1 + 2

、

ab = 2

都是無理數，但

a

是有理數。(C) 錯：題目只說

a

、

b

是實數，取

a = - 2

、

b = 1

就有

a + b 2 = 0

。(D) 對：取

c = \frac{a + b}{2}

，就有

a < c < b

。(E) 錯：若

a = \frac{q}{p}

（最簡分數），則

a p^{2} = q^{2}

，

a

必須是完全平方數；質數不是完全平方數，所以

a

一定是無理數。

a

、

b

是有理數」的前提下才成立，這題的前提是實數。

第 2 題答案 (B)(D)。(A) 錯：設

x = 0. \overline{9}

，則

10 x = 9. \overline{9}

，相減得

9 x = 9

，

x = 1

，所以

1 = 0. \overline{9}

。(B) 對：循環小數都是有理數，

0.1 \overline{23} = \frac{123 - 1}{990} = \frac{61}{495}

。(C) 錯：零次方只對不是

0

的底數規定，

0^{0}

沒有定義。(D) 對：

2 \neq = 0

，不是

0

的數的零次方都是

1

。(E) 錯：分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只對底數

a > 0

規定，底數是

- 8

時

(- 8)^{\frac{1}{3}}

沒有定義。

(E) 和

3 - 8 = - 2

不同：三次方根可以對負數開，但寫成分數指數時課本規定底數要是正數。

第 3 題答案 (A)(C)。(A) 對：

6 + \frac{20}{3} + d

是有理數，加上無理數

210

一定是無理數。(B) 錯：取

d = 0

，乘積是

0

，是有理數。(C) 對：距離是

d - 210

，取

d = - 6

時等於

210 + 6

，而

- 6

是有理數。(D) 錯：中點是

\frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{19}{3}

，

(\frac{19}{3})^{2} = \frac{361}{9} > \frac{360}{9} = 40 = (210)^{2}

，所以中點在

C

的右邊。(E) 錯：

n - \frac{20}{3} < 8

即

- \frac{4}{3} < n < \frac{44}{3}

，整數

n = - 1, 0, 1, \dots, 14

共

16

個。

(D) 的兩個數很接近（

6.333 \dots

和

6.324 \dots

），用平方比較才準。(C) 的

D

可以在

C

的左邊。

02多選 4～5：算幾不等式、位數與首位數字

第 4 題答案 (D)(E)。展開：

m = ab + 4 + 3 + \frac{12}{ab} = 7 + ab + \frac{12}{ab}

。

ab > 0

，由算幾不等式

ab + \frac{12}{ab} \geq 2 ab \cdot \frac{12}{ab} = 212 = 43

，所以

m \geq 7 + 43

，等號在

ab = \frac{12}{ab}

，也就是

ab = 23

時成立。最小值是

7 + 43

，(D) 對、(C) 錯。

ab

很大時

m

可以任意大，沒有最大值，(A)(B) 錯。(E)：

7 + 43 > 83

等於

7 > 43

，兩邊平方是

49 > 48

，成立；所以

m \geq 7 + 43 > 83

，(E) 對。

如果兩個括號各自用算幾不等式再相乘，會得到

m \geq 2 \frac{3 a}{b} \cdot 2 \frac{4 b}{a} = 83

，但兩個等號要

ab = 3

和

ab = 4

同時成立，做不到，所以

83

不是最小值，只知道

m > 83

。要先展開再用算幾。

第 5 題答案 (A)(E)。(A) 對：

lo g 2 \approx 0.3010

的意思就是

1 0^{0.3010} \approx 2

。(B) 錯：

lo g 2^{50} = 50 \times 0.3010 = 15.05

，

2^{50} = 1 0^{0.05} \times 1 0^{15}

，是

16

位數。(C) 錯：

1 0^{0} < 1 0^{0.05} < 1 0^{0.3010}

，即

1 < 1 0^{0.05} < 2

，首位數字是

1

。(D) 錯：

lo g (\frac{1}{2})^{30} = - 30 \times 0.3010 = - 9.03 = - 10 + 0.97

，所以

(\frac{1}{2})^{30} = 1 0^{0.97} \times 1 0^{- 10}

，在小數點後第

10

位開始不為

0

。(E) 對：

lo g 9 = 2 lo g 3 \approx 0.9542 < 0.97 < 1

，所以

9 < 1 0^{0.97} < 10

，第一個不為

0

的數字是

9

。

負的對數值要先改寫成「負整數＋介於

0

和

1

之間的數」：

- 9.03 = - 10 + 0.97

，不是

- 9 + 0.03

。

把數寫成

1 0^{小數} \times 1 0^{n}

：

n

決定位數（或小數點後第幾位開始不為

0

），

1 0^{小數}

決定首位數字。

03填充 1～5（第 6～10 題）：根式求值與絕對值

第 6 題

\frac{1}{x} = \frac{2}{5 - 1} = \frac{2 ( 5 + 1 )}{4} = \frac{5 + 1}{2}

，所以

x + \frac{1}{x} = 5

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 55 - 35 = 25

。

先算

x + \frac{1}{x}

再用乘法公式，不必把

x^{3}

直接乘開。

第 7 題

11 - 62 = 11 - 218

，找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 - 62 = 3 - 2 \approx 1.586

。整數部分

a = 1

，小數部分

b = 3 - 2 - 1 = 2 - 2

。

a + b = 3 - 2

，

5 - b = 3 + 2

，所以

\frac{1}{3 - 2} + \frac{1}{3 + 2} = \frac{( 3 + 2 ) + ( 3 - 2 )}{9 - 2} = \frac{6}{7}

。

a + b

就是原來的數

3 - 2

，不用分開代。

第 8 題解「

x > 1

或

x < - 4

」的兩個端點中點是

- \frac{3}{2}

，到中點的距離是

\frac{5}{2}

，所以解等於

x + \frac{3}{2} > \frac{5}{2}

。要對照成

∣ a x - 1∣ > b

，常數項要變成

- 1

：兩邊乘以

\frac{2}{3}

得

\frac{2}{3} x + 1 > \frac{5}{3}

，也就是

- \frac{2}{3} x - 1 > \frac{5}{3}

。所以

a = - \frac{2}{3}

、

b = \frac{5}{3}

。驗算：

x = 1

時

- \frac{2}{3} - 1 = \frac{5}{3}

，

x = - 4

時

\frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}

。

\frac{2}{3} x + 1

和

- \frac{2}{3} x - 1

相等，要配合題目的「

- 1

」選後者，

a

是負的。

第 9 題分界點是

x = 1

和

x = \frac{3}{2}

。①

x < 1

：

(1 - x) + (3 - 2 x) \leq 8

，

4 - 3 x \leq 8

，

x \geq - \frac{4}{3}

，得

- \frac{4}{3} \leq x < 1

。②

1 \leq x < \frac{3}{2}

：

(x - 1) + (3 - 2 x) \leq 8

，

2 - x \leq 8

，

x \geq - 6

，這一段全部成立。③

x \geq \frac{3}{2}

：

(x - 1) + (2 x - 3) \leq 8

，

3 x \leq 12

，

x \leq 4

，得

\frac{3}{2} \leq x \leq 4

。三段合起來是

- \frac{4}{3} \leq x \leq 4

。

∣2 x - 3∣

的分界點是

\frac{3}{2}

不是

3

。每一段解出來要和該段的範圍取交集。

第 10 題

∣ x + 3∣ + ∣ x - 2∣

是數線上

x

到

- 3

的距離加上

x

到

2

的距離。

x

在

- 3

和

2

之間時，兩段距離的和剛好是

5

；

x

在外面時大於

5

，而且離得越遠越大，可以任意大。所以

f (x)

的值是所有大於或等於

5

的數。

y = k

和圖形沒有交點，就是

f (x) = k

沒有解，所以

k < 5

。

k = 5

時有交點（

- 3 \leq x \leq 2

整段都是），所以不含等號。

絕對值不等式的解是「兩個端點之外」或「兩個端點之間」時，先找中點和半徑寫成

∣ x - 中點 ∣

的形式，再乘上適當的數去對照題目的係數。

04填充 6～9（第 11～14 題）：對數的意義、算幾不等式、科學記號

第 11 題

12 = 2^{2} \times 3 \approx 1 0^{0.3010 \times 2 + 0.4771} = 1 0^{1.0791}

，所以

1 2^{10} \approx 1 0^{10.791}

。

1 0^{x} = 1 2^{10}

，

x = 10.791

。

第 12 題由算幾不等式

2^{n} + \frac{225}{2 ^{n}} \geq 2225 = 30

，等號要

2^{n} = 15

，但

n

是自然數時

2^{n}

不會是

15

，所以取不到

30

，要找

2^{n}

最接近

15

的兩個：

n = 3

時

8 + \frac{225}{8} = 36.125

；

n = 4

時

16 + \frac{225}{16} = 30.0625

。其他的

n

：

n = 1

是

2 + 112.5 = 114.5

，

n = 2

是

4 + 56.25 = 60.25

，

n \geq 5

時

2^{n} \geq 32

，整個式子大於

32

。所以最小值是

30.0625

（

n = 4

）。

算幾不等式的等號條件

2^{n} = 15

不成立，

30

不是答案。

30.0625 = \frac{481}{16}

。

第 13 題

349 = 7^{\frac{2}{3}}

，所以

(349)^{100} = 7^{\frac{200}{3}} \approx 1 0^{0.8451 \times \frac{200}{3}} = 1 0^{56.34} = 1 0^{0.34} \times 1 0^{56}

。所以

n = 56

，

a = 1 0^{0.34}

。

0.3010 < 0.34 < 0.4771

，所以

2 < a < 3

，

m = 2

。

m + n = 58

。

0.8451 \times 200 = 169.02

，除以

3

得

56.34

。

a

的整數部分要拿

0.34

和

lo g 2

、

lo g 3

比。

第 14 題

2 lo g y = 1

得

lo g y = \frac{1}{2}

，

y = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

，

y^{2} = 10

。代入

x^{- \frac{1}{3}} y^{2} = 1

：

x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{10}

，即

x^{\frac{1}{3}} = 10

，兩邊三次方得

x = 1000

。所以

x + y = 1000 + 10

。

05填充 10～12（第 15～17 題）：比大小、單位換算、解區間

第 15 題都化成

10

的次方比指數。

a = 2^{30} \approx 1 0^{0.3010 \times 30} = 1 0^{9.03}

。

5 = \frac{10}{2} \approx 1 0^{1 - 0.3010} = 1 0^{0.6990}

，

b = 5^{14} \approx 1 0^{0.6990 \times 14} = 1 0^{9.786}

。

6 = 2 \times 3 \approx 1 0^{0.7781}

，

c = 6^{12} \approx 1 0^{0.7781 \times 12} = 1 0^{9.3372}

。

9.786 > 9.3372 > 9.03

，所以

b > c > a

。

lo g 5

沒有給，用

5 = 10 \div 2

得到

1 - 0.3010 = 0.6990

。

第 16 題先把單位統一成「每秒幾公尺」。高鐵時速

300

公里

= \frac{300 \times 1000}{3600} = \frac{250}{3}

（公尺／秒）。光速是它的

3 \times 1 0^{8} \div \frac{250}{3} = \frac{9 \times 1 0 ^{8}}{250} = 3.6 \times 1 0^{6}

倍。所以

a = 3.6

、

n = 6

，

a + n = 9.6

。

一個是時速、公里，一個是秒速、公尺，要先換成同一種單位再相除。

第 17 題解要形成區間，

b \geq 0

；

∣3 x - a ∣ \leq b

即

a - b \leq 3 x \leq a + b

，

\frac{a - b}{3} \leq x \leq \frac{a + b}{3}

。區間長度

\frac{a + b}{3} - \frac{a - b}{3} = \frac{2 b}{3} = 8

，所以

b = 12

。

x = 6

不是解，就是

∣18 - a ∣ \leq 12

不成立，即

∣ a - 18∣ > 12

，

a - 18 > 12

或

a - 18 < - 12

，所以

a > 30

或

a < 6

。

題目裡區間定義的

[a, b]

只是說明「長度」的記號，和不等式

∣3 x - a ∣ \leq b

裡的

a

、

b

是兩回事。

比大小、位數這類題目都先化成

10

的次方；沒有給的

lo g 5

、

lo g 6

用

5 = 10 \div 2

、

6 = 2 \times 3

拼出來。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高師大附中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～3：有理數與無理數、循環小數、指數的規定、數線

02多選 4～5：算幾不等式、位數與首位數字

03填充 1～5（第 6～10 題）：根式求值與絕對值

04填充 6～9（第 11～14 題）：對數的意義、算幾不等式、科學記號

05填充 10～12（第 15～17 題）：比大小、單位換算、解區間

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常見問題

高師大附中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高師大附中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

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02多選 4～5：算幾不等式、位數與首位數字

03填充 1～5（第 6～10 題）：根式求值與絕對值

04填充 6～9（第 11～14 題）：對數的意義、算幾不等式、科學記號

05填充 10～12（第 15～17 題）：比大小、單位換算、解區間

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高師大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

高師大附中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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高師大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高師大附中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？