段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與圖形、對數與對數律、換底公式、常用對數、對數函數與圖形、指數與對數的應用）

北一女中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、多選題 2 題（每題 10 分，共 20 分）、填充題 6 格（每格 7 分，共 42 分）、混合題 1 題組 2 小題（第 13 題多選 10 分、第 14 題非選擇題 8 分，共 18 分），合計 100 分；另有加分題 1 題組 2 小題（第 15 題 4 分、第 16 題 6 分，共 10 分）。本頁題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占 20 分，每題 5 分）｜說明：每題有5個選項，只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得5分；答錯或未作答者，該題以零分計算。

已知

a > 0

且

a \neq = 1

，下列哪一個圖形最不可能是

y = a^{x}

、

y = lo g_{a} x

和

y = x

同時出現的部分圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

已知

(113)^{1000}

的整數部分是

2054

位數，則

lo g 1.13

位於下列哪個區間之內？

(1) $[0.053, 0.054)$
(2) $[0.054, 0.055)$
(3) $[0.02053, 0.02054)$
(4) $[2.053, 2.054)$
(5) $[2.054, 2.055)$

某項實驗中培養了兩種菌，

A

菌每經過

N

日後會增加為原本的

2

倍，

B

菌每經過

M

日後會增加為原本的

4

倍，其中

N, M

為正數。在實驗開始時，

A

菌數量是

B

菌的

2

倍，

100

日後

A, B

菌的數量相同。則關於

N, M

的關係下列哪一個選項正確？

(1) $2 \times 2^{\frac{N}{100}} = 4^{\frac{M}{100}}$
(2) $1 + \frac{100}{N} = \frac{200}{M}$
(3) $1 + \frac{100}{N} = \frac{100}{M}$
(4) $1 + lo g_{2} \frac{100}{N} = lo g_{2} \frac{200}{M}$
(5) $1 + lo g_{2} \frac{100}{N} = lo g_{2} \frac{100}{M}$

設實數

a

滿足

\frac{1}{9} < a < 1

，且直線

y = 1

與兩個曲線

y = lo g_{a} x

和

y = lo g_{9 a} x

交於

A, B

兩點；直線

y = - 1

與兩個曲線

y = lo g_{a} x

和

y = lo g_{9 a} x

交於

C, D

兩點。若四邊形

A B C D

為長方形，則

a

的值為？

(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{2}{9}$
(3) $\frac{1}{3}$
(4) $\frac{2}{3}$
(5) $\frac{2}{3}$

二、多選題（占 20 分，每題 10 分，每個選項 2 分）｜說明：每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，每答對一個選項得2分；所有選項均未作答者，該題以零分計算。

關於下列不等式，試選出正確的選項。（參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $lo g_{3} 2024 < lo g_{3} 113$
(2) $(lo g_{8} 4)^{- 5} > (lo g_{8} 4)^{- 7}$
(3) $lo g_{4} \frac{1}{3} < lo g_{3} \frac{1}{4}$
(4) $\frac{lo g 17 + lo g 29}{2} < lo g 23$
(5) $2^{79} > 3^{50}$

試選出下列各方程式中沒有實數解的選項。

(1) $lo g (x^{2} + 4 x + 12) = 0$
(2) $- x = lo g_{0.5} x$
(3) $1 - x = 2^{x}$
(4) $x = lo g x^{4}$
(5) $(\frac{1}{3})^{1 - x} - x = 0$

三、填充題（占 42 分，每格 7 分）｜說明：請將正確答案在答案卷之「填充題答案區」作答，答案需完全答對才給分。

已知

3 + lo g_{2} 45 - 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} N

，其中

N

為正整數，則

N =

____。

方程式

2 lo g (1 - x) = lo g (7 - x)

的解為

x =

____。

已知

a

為正實數。

Γ

的圖形可由

y = 2^{x}

的圖形以

x

軸為基準線，鉛直伸縮為原來的

4

倍得到，亦可由

y = 2^{x}

的圖形

□

移

a

單位得到。則

(□, a) =

____，其中

□

只可填入上、下、左、右。

已知

t

為正實數，

y = t lo g x

的函數圖形和

y = 7^{x}

的函數圖形對稱於

y = x

，則

t =

____。

貨幣具有時間價值，在不同時間點的價值不同。舉例來說，假設年初存

10000

元，年利率為

10%

，若以複利計息，每年計息一次，兩年後期滿的本利和是

10000 \times (1 + 10%)^{2} = 12100

元。反過來說，兩年後的

12100

元換成今天的價值為

\frac{12100}{( 1 + 10% ) ^{2}} = 10000

元，以此定義未來貨幣在今天的價值為現值（PV, Present Value）。假設年利率為

10%

，考慮複利計息，每年計息一次，至少要

n

年後的

100

萬的現值才會低於

20

萬，則

n =

____。（無條件進入至整數位）（參考數據：

lo g 1.1 \approx 0.0414

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

設

1 < a < b

，考慮坐標平面上四點

A (a, lo g_{2} a)

，

B (b, lo g_{2} b)

，

C (a, lo g_{8} a)

，

D (b, lo g_{8} b)

，若直線

A B

和直線

C D

的

y

截距相同，且

a^{b} = 100

，則

b^{2 a}

的值為 ____。

四、混合題（占 18 分）｜說明：本部分共有 1 個題組，配分標於題末。選擇題、填充題與非選擇題限在「混合題答案區」作答，非選擇題作答時請由左而右橫式書寫，且作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

13,14 題為題組（第 13～14 題）　令

f (x) = (lo g x) \times (lo g_{2} x)

、

g (x) = lo g x + lo g_{2} x

，試回答下列問題：

關於下列有關

f (x)

、

g (x)

的敘述，試選出正確的選項。（多選題，10 分，1 個選項 2 分）

(1) $lo g_{2} x = \frac{lo g x}{lo g 2}$
(2) $\frac{1}{lo g 2} = lo g_{2} 1$
(3) $f (x) = \frac{( lo g x ) ^{2}}{lo g 2}$
(4) $1 + lo g_{2} 10 = lo g_{2} 11$
(5) $g (x) = lo g x \times lo g 20$

求不等式

f (x) > g (x)

的解為 ____。（非選擇題，8 分）

五、加分題（占 10 分）｜說明：本部分共有 1 個題組，請將正確答案在答案卷之「加分題答案區」作答，答案需完全答對才給分。（15,16 題為題組）

令

t = 2^{x} + 2^{4 - x}

，當

x = a

時，

t

有最小值

b

，則數對

(a, b) =

____。（填充題，4 分）

設

f (x) = [2^{2 x} + 2^{2 (4 - x)}] - 16 (2^{x} + 2^{4 - x}) + 60

，

0 \leq x \leq 3

，則

f (x)

的最小值為 ____。（填充題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(4)

第 6 題(1)(2)

第 7 題

40

第 8 題

- 2

第 9 題(左,

2

)

第 10 題

lo g_{7} 10

（

= \frac{1}{l o g 7}

）

第 11 題

17

第 12 題

10000

第 13 題(1)(3)

第 14 題

0 < x < 1

或

x > 20

第 15 題

(2, 8)

第 16 題

- 36

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：圖形對稱、位數、倍增模型、長方形

第 1 題答案 (5)。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

互為反函數，兩個圖形對稱於直線

y = x

。所以若指數曲線與直線

y = x

有交點

(p, p)

，把它對

y = x

作對稱還是

(p, p)

，對數曲線也一定經過這一點。圖 (1)：兩條曲線都不碰直線，互相對稱，可能（例如

a = 2

）。圖 (2)：兩條曲線在直線上同兩點相交，可能（例如

a = 2

，交於

(2, 2)

與

(4, 4)

）。圖 (3)：

0 < a < 1

，兩條遞減曲線交在直線上一點，可能。圖 (4)：兩條曲線在直線上同一點與直線相切，可能。圖 (5)：指數曲線與直線交於兩點，但對數曲線整條都在直線下方、沒有經過這兩點，違反對稱性，最不可能。

判斷這類圖只要抓一件事：指數曲線與

y = x

的每個交點，對數曲線都必須經過。

第 2 題答案 (1)。整數部分是

2054

位數，表示

1 0^{2053} \leq 11 3^{1000} < 1 0^{2054}

，取常用對數得

2053 \leq 1000 lo g 113 < 2054

，所以

2.053 \leq lo g 113 < 2.054

。又

lo g 113 = lo g (100 \times 1.13) = 2 + lo g 1.13

，得

0.053 \leq lo g 1.13 < 0.054

。

n

位數的正數

x

滿足

n - 1 \leq lo g x < n

，等號只在左端。

第 3 題答案 (2)。設開始時

B

菌有

k

隻，

A

菌有

2 k

隻。

100

日內

A

菌翻倍

\frac{100}{N}

次，數量

2 k \cdot 2^{\frac{100}{N}}

；

B

菌變為

4

倍

\frac{100}{M}

次，數量

k \cdot 4^{\frac{100}{M}}

。兩者相等：

2 \cdot 2^{\frac{100}{N}} = 4^{\frac{100}{M}}

，即

2^{1 + \frac{100}{N}} = 2^{\frac{200}{M}}

，所以

1 + \frac{100}{N} = \frac{200}{M}

。

選項 (1) 把指數寫成

\frac{N}{100}

、

\frac{M}{100}

，上下顛倒了；經過

100

日是經過了

\frac{100}{N}

個「

N

日」。

第 4 題答案 (3)。

lo g_{a} x = 1

得

x = a

，

lo g_{9 a} x = 1

得

x = 9 a

，所以

A (a, 1)

、

B (9 a, 1)

。

lo g_{a} x = - 1

得

x = \frac{1}{a}

，

lo g_{9 a} x = - 1

得

x = \frac{1}{9 a}

，所以

C (\frac{1}{a}, - 1)

、

D (\frac{1}{9 a}, - 1)

。

\overline{A B}

與

\overline{C D}

都是水平線段，

A B C D

依序相連為長方形，

\overline{B C}

與

\overline{A D}

必須是鉛直的：

9 a = \frac{1}{a}

且

a = \frac{1}{9 a}

，都得

a^{2} = \frac{1}{9}

。

a > 0

，所以

a = \frac{1}{3}

，在

\frac{1}{9} < a < 1

的範圍內。

此時

A (\frac{1}{3}, 1)

、

B (3, 1)

、

C (3, - 1)

、

D (\frac{1}{3}, - 1)

，確實是長方形。

02多選題（第 5～6 題）：比大小、判斷方程式有沒有解

第 5 題答案 (4)。(1) 錯誤。 底數

3 > 1

，

y = lo g_{3} x

遞增，

2024 > 113

，所以

lo g_{3} 2024 > lo g_{3} 113

。(2) 錯誤。

lo g_{8} 4 = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} 8} = \frac{2}{3}

，

(\frac{2}{3})^{- 5} = (\frac{3}{2})^{5}

、

(\frac{2}{3})^{- 7} = (\frac{3}{2})^{7}

；底數

\frac{3}{2} > 1

，指數大的較大，所以前者較小。(3) 錯誤。

lo g_{4} \frac{1}{3} = - \frac{lo g 3}{2 lo g 2} \approx - \frac{0.4771}{0.6020} \approx - 0.79

，

lo g_{3} \frac{1}{4} = - \frac{2 lo g 2}{lo g 3} \approx - \frac{0.6020}{0.4771} \approx - 1.26

，前者較大。(4) 正確。

\frac{lo g 17 + lo g 29}{2} = \frac{1}{2} lo g 493 = lo g 493

，而

2 3^{2} = 529 > 493

，所以

493 < 23

，

lo g 493 < lo g 23

。(5) 錯誤。

lo g 2^{79} = 79 lo g 2 \approx 23.779

，

lo g 3^{50} = 50 lo g 3 \approx 23.855

，所以

2^{79} < 3^{50}

。

(5) 兩邊的對數只差約

0.08

，參考數據取到小數第四位就足以判斷；(3) 也可以不算數值：兩個都是負的，比絕對值

\frac{l o g 3}{l o g 4} < 1 < \frac{l o g 4}{l o g 3}

。

第 6 題答案 (1)(2)。(1) 正確（沒有解）。

lo g (x^{2} + 4 x + 12) = 0

即

x^{2} + 4 x + 12 = 1

，

x^{2} + 4 x + 11 = 0

，判別式

16 - 44 < 0

，沒有實數解。(2) 正確（沒有解）。

lo g_{0.5} x = - lo g_{2} x

，方程式即

x = lo g_{2} x

（

x > 0

）。

0 < x \leq 1

時

lo g_{2} x \leq 0 < x

；

x > 1

時，取正整數

m

使

m < x \leq m + 1

，則

lo g_{2} x \leq lo g_{2} (m + 1) \leq m < x

（因為

2^{m} \geq m + 1

）。所以

lo g_{2} x < x

恆成立，沒有實數解。(3) 錯誤（有解）。

x = 0

時

1 - 0 = 1 = 2^{0}

。(4) 錯誤（有解）。 真數

x^{4} > 0

只要

x \neq = 0

，負數也可以代入。令

h (x) = lo g x^{4} - x

：

h (- 1) = 0 + 1 = 1 > 0

，

h (- \frac{1}{10}) = lo g 1 0^{- 4} + \frac{1}{10} = - 3.9 < 0

；在

- 1

到

- \frac{1}{10}

之間

y = lo g x^{4}

的圖形連續，從直線

y = x

的上方跑到下方，所以兩圖形有交點，方程式有實數解。(5) 錯誤（有解）。

x = 1

時

(\frac{1}{3})^{0} - 1 = 0

。

(4) 若只看

x > 0

，

lo g x^{4} = 4 lo g x

的圖形始終在

y = x

下方，會誤以為無解；解在負數那一側。

03填充題（第 7～12 題）：對數律、真數條件、伸縮平移、反函數、現值、截距

第 7 題

3 = lo g_{2} 8

，

2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9

，所以左式

= lo g_{2} 8 + lo g_{2} 45 - lo g_{2} 9 = lo g_{2} \frac{8 \times 45}{9} = lo g_{2} 40

，

N = 40

。

第 8 題真數條件：

1 - x > 0

且

7 - x > 0

，即

x < 1

。

2 lo g (1 - x) = lo g (1 - x)^{2}

，所以

(1 - x)^{2} = 7 - x

，

x^{2} - 2 x + 1 = 7 - x

，

x^{2} - x - 6 = 0

，

(x - 3) (x + 2) = 0

，

x = 3

或

x = - 2

。

x = 3

不滿足

x < 1

，不合，所以

x = - 2

。

驗算：

x = - 2

時左式

2 lo g 3 = lo g 9

，右式

lo g 9

。

第 9 題鉛直伸縮為

4

倍得

y = 4 \cdot 2^{x} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 2^{x + 2}

。

y = 2^{x + 2}

是把

y = 2^{x}

的

x

換成

x + 2

，也就是圖形向左平移

2

單位。所以

(□, a) =

（左,

2

）。

把

x

換成

x + 2

是向左移，不是向右。

第 10 題與

y = 7^{x}

的圖形對稱於

y = x

的是它的反函數

y = lo g_{7} x

。由換底公式

lo g_{7} x = \frac{lo g x}{lo g 7} = \frac{1}{lo g 7} lo g x

，所以

t = \frac{1}{lo g 7} = lo g_{7} 10

。

\frac{1}{l o g 7} = \frac{l o g 10}{l o g 7} = lo g_{7} 10

，兩種寫法相同。

第 11 題

n

年後的

100

萬，現值為

\frac{100}{1. 1 ^{n}}

萬。要

\frac{100}{1. 1 ^{n}} < 20

，即

1. 1^{n} > 5

。取常用對數：

n lo g 1.1 > lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

，

n > \frac{0.6990}{0.0414} \approx 16.88

。

n

為整數，至少

n = 17

。

第 12 題直線

A B

的

y

截距：

y_{A} - a \cdot \frac{y _{B} - y _{A}}{b - a} = \frac{b lo g _{2} a - a lo g _{2} b}{b - a}

。又

lo g_{8} x = \frac{lo g _{2} x}{3}

，所以

C

、

D

的縱坐標都是

A

、

B

的

\frac{1}{3}

，同理直線

C D

的

y

截距是

\frac{b lo g _{2} a - a lo g _{2} b}{3 ( b - a )}

，是直線

A B

截距的

\frac{1}{3}

。兩者相同只能都是

0

：

b lo g_{2} a = a lo g_{2} b

，即

lo g_{2} a^{b} = lo g_{2} b^{a}

，

a^{b} = b^{a}

。所以

b^{a} = a^{b} = 100

，

b^{2 a} = (b^{a})^{2} = 10 0^{2} = 10000

。

截距為

0

表示直線

A B

過原點，也就是

\frac{l o g _{2} a}{a} = \frac{l o g _{2} b}{b}

。滿足

1 < a < b

、

a^{b} = b^{a} = 100

的

a, b

確實存在（約

a \approx 1.062

、

b \approx 76.38

）。

04混合題（第 13～14 題）：換底公式與對數不等式

第 13 題答案 (1)(3)。(1) 正確。 換底公式。(2) 錯誤。

lo g_{2} 1 = 0

，而

\frac{1}{lo g 2} = lo g_{2} 10 \neq = 0

。(3) 正確。

f (x) = lo g x \cdot \frac{lo g x}{lo g 2} = \frac{( lo g x ) ^{2}}{lo g 2}

。(4) 錯誤。

1 + lo g_{2} 10 = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 10 = lo g_{2} 20 \neq = lo g_{2} 11

。(5) 錯誤。

g (x) = lo g x + \frac{lo g x}{lo g 2} = lo g x \cdot \frac{lo g 2 + 1}{lo g 2} = lo g x \cdot \frac{lo g 20}{lo g 2} = lo g x \times lo g_{2} 20

，不是

lo g x \times lo g 20

。

第 14 題定義域：

x > 0

。令

u = lo g x

。由第 13 題，

f (x) = \frac{u ^{2}}{lo g 2}

、

g (x) = \frac{u lo g 20}{lo g 2}

。

f (x) > g (x)

兩邊乘以

lo g 2 > 0

，不等號不變：

u^{2} > u lo g 20

，

u (u - lo g 20) > 0

，所以

u < 0

或

u > lo g 20

。

lo g x < 0 = lo g 1

得

x < 1

；

lo g x > lo g 20

得

x > 20

（底數

10 > 1

，對數函數遞增）。再配合

x > 0

，解為

0 < x < 1

或

x > 20

。

學校的給分方式（學校令

t = lo g x

，即本解的

u

）：

f (x)

、

g (x)

的化簡兩個都對 1 分，化成

t (t - lo g 20) > 0

2 分，判斷

t

的範圍正確 2 分，考慮真數為正 2 分，寫出答案 1 分；沒有判斷真數而寫成

x > 20

或

x < 1

，最高給 6 分。

05加分題（第 15～16 題）：算幾不等式與代換成二次函數

第 15 題

2^{x} > 0

、

2^{4 - x} > 0

，由算幾不等式

t = 2^{x} + 2^{4 - x} \geq 2 2^{x} \cdot 2^{4 - x} = 216 = 8

。等號成立於

2^{x} = 2^{4 - x}

，即

x = 4 - x

，

x = 2

。所以

(a, b) = (2, 8)

。

第 16 題令

t = 2^{x} + 2^{4 - x}

，則

t^{2} = 2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{4 - x} + 2^{2 (4 - x)} = 2^{2 x} + 2^{2 (4 - x)} + 32

，所以

2^{2 x} + 2^{2 (4 - x)} = t^{2} - 32

。

f (x) = t^{2} - 32 - 16 t + 60 = t^{2} - 16 t + 28 = (t - 8)^{2} - 36

。由第 15 題

t \geq 8

，且

x = 2

時

t = 8

，而

x = 2

在

0 \leq x \leq 3

的範圍內，所以

f (x)

的最小值為

- 36

。

在

0 \leq x \leq 3

上，

t

的範圍是

8 \leq t \leq 17

（

x = 0

時

t = 17

，

x = 3

時

t = 10

），

t = 8

取得到。

指對數的題目最後都要回頭看兩件事：真數要大於 0、底數決定遞增還是遞減。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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上傳考卷

常見問題

北一女中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要記得指數與對數曲線對稱於直線 y＝x，指數曲線碰到這條直線的地方對數曲線也一定經過；第 6 題選項 (4) 的真數是 x 的四次方，負數也可以代入，才有實數解；第 12 題要看出兩條直線的 y 截距一條是另一條的三分之一，相同就只能都是 0；第 14 題化成二次不等式後別忘了真數要大於 0，答案不能寫成 x 小於 1。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 113 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與圖形、對數與對數律、換底公式、常用對數、對數函數與圖形、指數與對數的應用）

北一女中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

已知

a > 0

且

a \neq = 1

，下列哪一個圖形最不可能是

y = a^{x}

、

y = lo g_{a} x

和

y = x

同時出現的部分圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

已知

(113)^{1000}

的整數部分是

2054

位數，則

lo g 1.13

位於下列哪個區間之內？

(1) $[0.053, 0.054)$
(2) $[0.054, 0.055)$
(3) $[0.02053, 0.02054)$
(4) $[2.053, 2.054)$
(5) $[2.054, 2.055)$

某項實驗中培養了兩種菌，

A

菌每經過

N

日後會增加為原本的

2

倍，

B

菌每經過

M

日後會增加為原本的

4

倍，其中

N, M

為正數。在實驗開始時，

A

菌數量是

B

菌的

2

倍，

100

日後

A, B

菌的數量相同。則關於

N, M

的關係下列哪一個選項正確？

(1) $2 \times 2^{\frac{N}{100}} = 4^{\frac{M}{100}}$
(2) $1 + \frac{100}{N} = \frac{200}{M}$
(3) $1 + \frac{100}{N} = \frac{100}{M}$
(4) $1 + lo g_{2} \frac{100}{N} = lo g_{2} \frac{200}{M}$
(5) $1 + lo g_{2} \frac{100}{N} = lo g_{2} \frac{100}{M}$

設實數

a

滿足

\frac{1}{9} < a < 1

，且直線

y = 1

與兩個曲線

y = lo g_{a} x

和

y = lo g_{9 a} x

交於

A, B

兩點；直線

y = - 1

與兩個曲線

y = lo g_{a} x

和

y = lo g_{9 a} x

交於

C, D

兩點。若四邊形

A B C D

為長方形，則

a

的值為？

(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{2}{9}$
(3) $\frac{1}{3}$
(4) $\frac{2}{3}$
(5) $\frac{2}{3}$

關於下列不等式，試選出正確的選項。（參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $lo g_{3} 2024 < lo g_{3} 113$
(2) $(lo g_{8} 4)^{- 5} > (lo g_{8} 4)^{- 7}$
(3) $lo g_{4} \frac{1}{3} < lo g_{3} \frac{1}{4}$
(4) $\frac{lo g 17 + lo g 29}{2} < lo g 23$
(5) $2^{79} > 3^{50}$

試選出下列各方程式中沒有實數解的選項。

(1) $lo g (x^{2} + 4 x + 12) = 0$
(2) $- x = lo g_{0.5} x$
(3) $1 - x = 2^{x}$
(4) $x = lo g x^{4}$
(5) $(\frac{1}{3})^{1 - x} - x = 0$

三、填充題（占 42 分，每格 7 分）｜說明：請將正確答案在答案卷之「填充題答案區」作答，答案需完全答對才給分。

已知

3 + lo g_{2} 45 - 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} N

，其中

N

為正整數，則

N =

____。

方程式

2 lo g (1 - x) = lo g (7 - x)

的解為

x =

____。

已知

a

為正實數。

Γ

的圖形可由

y = 2^{x}

的圖形以

x

軸為基準線，鉛直伸縮為原來的

4

倍得到，亦可由

y = 2^{x}

的圖形

□

移

a

單位得到。則

(□, a) =

____，其中

□

只可填入上、下、左、右。

已知

t

為正實數，

y = t lo g x

的函數圖形和

y = 7^{x}

的函數圖形對稱於

y = x

，則

t =

____。

貨幣具有時間價值，在不同時間點的價值不同。舉例來說，假設年初存

10000

元，年利率為

10%

，若以複利計息，每年計息一次，兩年後期滿的本利和是

10000 \times (1 + 10%)^{2} = 12100

元。反過來說，兩年後的

12100

元換成今天的價值為

\frac{12100}{( 1 + 10% ) ^{2}} = 10000

元，以此定義未來貨幣在今天的價值為現值（PV, Present Value）。假設年利率為

10%

，考慮複利計息，每年計息一次，至少要

n

年後的

100

萬的現值才會低於

20

萬，則

n =

____。（無條件進入至整數位）（參考數據：

lo g 1.1 \approx 0.0414

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

設

1 < a < b

，考慮坐標平面上四點

A (a, lo g_{2} a)

，

B (b, lo g_{2} b)

，

C (a, lo g_{8} a)

，

D (b, lo g_{8} b)

，若直線

A B

和直線

C D

的

y

截距相同，且

a^{b} = 100

，則

b^{2 a}

的值為 ____。

13,14 題為題組（第 13～14 題）　令

f (x) = (lo g x) \times (lo g_{2} x)

、

g (x) = lo g x + lo g_{2} x

，試回答下列問題：

關於下列有關

f (x)

、

g (x)

的敘述，試選出正確的選項。（多選題，10 分，1 個選項 2 分）

(1) $lo g_{2} x = \frac{lo g x}{lo g 2}$
(2) $\frac{1}{lo g 2} = lo g_{2} 1$
(3) $f (x) = \frac{( lo g x ) ^{2}}{lo g 2}$
(4) $1 + lo g_{2} 10 = lo g_{2} 11$
(5) $g (x) = lo g x \times lo g 20$

求不等式

f (x) > g (x)

的解為 ____。（非選擇題，8 分）

五、加分題（占 10 分）｜說明：本部分共有 1 個題組，請將正確答案在答案卷之「加分題答案區」作答，答案需完全答對才給分。（15,16 題為題組）

令

t = 2^{x} + 2^{4 - x}

，當

x = a

時，

t

有最小值

b

，則數對

(a, b) =

____。（填充題，4 分）

設

f (x) = [2^{2 x} + 2^{2 (4 - x)}] - 16 (2^{x} + 2^{4 - x}) + 60

，

0 \leq x \leq 3

，則

f (x)

的最小值為 ____。（填充題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(4)

第 6 題(1)(2)

第 7 題

40

第 8 題

- 2

第 9 題(左,

2

)

第 10 題

lo g_{7} 10

（

= \frac{1}{l o g 7}

）

第 11 題

17

第 12 題

10000

第 13 題(1)(3)

第 14 題

0 < x < 1

或

x > 20

第 15 題

(2, 8)

第 16 題

- 36

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：圖形對稱、位數、倍增模型、長方形

第 1 題答案 (5)。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

互為反函數，兩個圖形對稱於直線

y = x

。所以若指數曲線與直線

y = x

有交點

(p, p)

，把它對

y = x

作對稱還是

(p, p)

，對數曲線也一定經過這一點。圖 (1)：兩條曲線都不碰直線，互相對稱，可能（例如

a = 2

）。圖 (2)：兩條曲線在直線上同兩點相交，可能（例如

a = 2

，交於

(2, 2)

與

(4, 4)

）。圖 (3)：

0 < a < 1

判斷這類圖只要抓一件事：指數曲線與

y = x

的每個交點，對數曲線都必須經過。

第 2 題答案 (1)。整數部分是

2054

位數，表示

1 0^{2053} \leq 11 3^{1000} < 1 0^{2054}

，取常用對數得

2053 \leq 1000 lo g 113 < 2054

，所以

2.053 \leq lo g 113 < 2.054

。又

lo g 113 = lo g (100 \times 1.13) = 2 + lo g 1.13

，得

0.053 \leq lo g 1.13 < 0.054

。

n

位數的正數

x

滿足

n - 1 \leq lo g x < n

，等號只在左端。

第 3 題答案 (2)。設開始時

B

菌有

k

隻，

A

菌有

2 k

隻。

100

日內

A

菌翻倍

\frac{100}{N}

次，數量

2 k \cdot 2^{\frac{100}{N}}

；

B

菌變為

4

倍

\frac{100}{M}

次，數量

k \cdot 4^{\frac{100}{M}}

。兩者相等：

2 \cdot 2^{\frac{100}{N}} = 4^{\frac{100}{M}}

，即

2^{1 + \frac{100}{N}} = 2^{\frac{200}{M}}

，所以

1 + \frac{100}{N} = \frac{200}{M}

。

選項 (1) 把指數寫成

\frac{N}{100}

、

\frac{M}{100}

，上下顛倒了；經過

100

日是經過了

\frac{100}{N}

個「

N

日」。

第 4 題答案 (3)。

lo g_{a} x = 1

得

x = a

，

lo g_{9 a} x = 1

得

x = 9 a

，所以

A (a, 1)

、

B (9 a, 1)

。

lo g_{a} x = - 1

得

x = \frac{1}{a}

，

lo g_{9 a} x = - 1

得

x = \frac{1}{9 a}

，所以

C (\frac{1}{a}, - 1)

、

D (\frac{1}{9 a}, - 1)

。

\overline{A B}

與

\overline{C D}

都是水平線段，

A B C D

依序相連為長方形，

\overline{B C}

與

\overline{A D}

必須是鉛直的：

9 a = \frac{1}{a}

且

a = \frac{1}{9 a}

，都得

a^{2} = \frac{1}{9}

。

a > 0

，所以

a = \frac{1}{3}

，在

\frac{1}{9} < a < 1

的範圍內。

此時

A (\frac{1}{3}, 1)

、

B (3, 1)

、

C (3, - 1)

、

D (\frac{1}{3}, - 1)

，確實是長方形。

02多選題（第 5～6 題）：比大小、判斷方程式有沒有解

第 5 題答案 (4)。(1) 錯誤。 底數

3 > 1

，

y = lo g_{3} x

遞增，

2024 > 113

，所以

lo g_{3} 2024 > lo g_{3} 113

。(2) 錯誤。

lo g_{8} 4 = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} 8} = \frac{2}{3}

，

(\frac{2}{3})^{- 5} = (\frac{3}{2})^{5}

、

(\frac{2}{3})^{- 7} = (\frac{3}{2})^{7}

；底數

\frac{3}{2} > 1

，指數大的較大，所以前者較小。(3) 錯誤。

lo g_{4} \frac{1}{3} = - \frac{lo g 3}{2 lo g 2} \approx - \frac{0.4771}{0.6020} \approx - 0.79

，

lo g_{3} \frac{1}{4} = - \frac{2 lo g 2}{lo g 3} \approx - \frac{0.6020}{0.4771} \approx - 1.26

，前者較大。(4) 正確。

\frac{lo g 17 + lo g 29}{2} = \frac{1}{2} lo g 493 = lo g 493

，而

2 3^{2} = 529 > 493

，所以

493 < 23

，

lo g 493 < lo g 23

。(5) 錯誤。

lo g 2^{79} = 79 lo g 2 \approx 23.779

，

lo g 3^{50} = 50 lo g 3 \approx 23.855

，所以

2^{79} < 3^{50}

。

(5) 兩邊的對數只差約

0.08

，參考數據取到小數第四位就足以判斷；(3) 也可以不算數值：兩個都是負的，比絕對值

\frac{l o g 3}{l o g 4} < 1 < \frac{l o g 4}{l o g 3}

。

第 6 題答案 (1)(2)。(1) 正確（沒有解）。

lo g (x^{2} + 4 x + 12) = 0

即

x^{2} + 4 x + 12 = 1

，

x^{2} + 4 x + 11 = 0

，判別式

16 - 44 < 0

，沒有實數解。(2) 正確（沒有解）。

lo g_{0.5} x = - lo g_{2} x

，方程式即

x = lo g_{2} x

（

x > 0

）。

0 < x \leq 1

時

lo g_{2} x \leq 0 < x

；

x > 1

時，取正整數

m

使

m < x \leq m + 1

，則

lo g_{2} x \leq lo g_{2} (m + 1) \leq m < x

（因為

2^{m} \geq m + 1

）。所以

lo g_{2} x < x

恆成立，沒有實數解。(3) 錯誤（有解）。

x = 0

時

1 - 0 = 1 = 2^{0}

。(4) 錯誤（有解）。 真數

x^{4} > 0

只要

x \neq = 0

，負數也可以代入。令

h (x) = lo g x^{4} - x

：

h (- 1) = 0 + 1 = 1 > 0

，

h (- \frac{1}{10}) = lo g 1 0^{- 4} + \frac{1}{10} = - 3.9 < 0

；在

- 1

到

- \frac{1}{10}

之間

y = lo g x^{4}

的圖形連續，從直線

y = x

的上方跑到下方，所以兩圖形有交點，方程式有實數解。(5) 錯誤（有解）。

x = 1

時

(\frac{1}{3})^{0} - 1 = 0

。

(4) 若只看

x > 0

，

lo g x^{4} = 4 lo g x

的圖形始終在

y = x

下方，會誤以為無解；解在負數那一側。

03填充題（第 7～12 題）：對數律、真數條件、伸縮平移、反函數、現值、截距

第 7 題

3 = lo g_{2} 8

，

2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9

，所以左式

= lo g_{2} 8 + lo g_{2} 45 - lo g_{2} 9 = lo g_{2} \frac{8 \times 45}{9} = lo g_{2} 40

，

N = 40

。

第 8 題真數條件：

1 - x > 0

且

7 - x > 0

，即

x < 1

。

2 lo g (1 - x) = lo g (1 - x)^{2}

，所以

(1 - x)^{2} = 7 - x

，

x^{2} - 2 x + 1 = 7 - x

，

x^{2} - x - 6 = 0

，

(x - 3) (x + 2) = 0

，

x = 3

或

x = - 2

。

x = 3

不滿足

x < 1

，不合，所以

x = - 2

。

驗算：

x = - 2

時左式

2 lo g 3 = lo g 9

，右式

lo g 9

。

第 9 題鉛直伸縮為

4

倍得

y = 4 \cdot 2^{x} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 2^{x + 2}

。

y = 2^{x + 2}

是把

y = 2^{x}

的

x

換成

x + 2

，也就是圖形向左平移

2

單位。所以

(□, a) =

（左,

2

）。

把

x

換成

x + 2

是向左移，不是向右。

第 10 題與

y = 7^{x}

的圖形對稱於

y = x

的是它的反函數

y = lo g_{7} x

。由換底公式

lo g_{7} x = \frac{lo g x}{lo g 7} = \frac{1}{lo g 7} lo g x

，所以

t = \frac{1}{lo g 7} = lo g_{7} 10

。

\frac{1}{l o g 7} = \frac{l o g 10}{l o g 7} = lo g_{7} 10

，兩種寫法相同。

第 11 題

n

年後的

100

萬，現值為

\frac{100}{1. 1 ^{n}}

萬。要

\frac{100}{1. 1 ^{n}} < 20

，即

1. 1^{n} > 5

。取常用對數：

n lo g 1.1 > lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

，

n > \frac{0.6990}{0.0414} \approx 16.88

。

n

為整數，至少

n = 17

。

第 12 題直線

A B

的

y

截距：

y_{A} - a \cdot \frac{y _{B} - y _{A}}{b - a} = \frac{b lo g _{2} a - a lo g _{2} b}{b - a}

。又

lo g_{8} x = \frac{lo g _{2} x}{3}

，所以

C

、

D

的縱坐標都是

A

、

B

的

\frac{1}{3}

，同理直線

C D

的

y

截距是

\frac{b lo g _{2} a - a lo g _{2} b}{3 ( b - a )}

，是直線

A B

截距的

\frac{1}{3}

。兩者相同只能都是

0

：

b lo g_{2} a = a lo g_{2} b

，即

lo g_{2} a^{b} = lo g_{2} b^{a}

，

a^{b} = b^{a}

。所以

b^{a} = a^{b} = 100

，

b^{2 a} = (b^{a})^{2} = 10 0^{2} = 10000

。

截距為

0

表示直線

A B

過原點，也就是

\frac{l o g _{2} a}{a} = \frac{l o g _{2} b}{b}

。滿足

1 < a < b

、

a^{b} = b^{a} = 100

的

a, b

確實存在（約

a \approx 1.062

、

b \approx 76.38

）。

04混合題（第 13～14 題）：換底公式與對數不等式

第 13 題答案 (1)(3)。(1) 正確。 換底公式。(2) 錯誤。

lo g_{2} 1 = 0

，而

\frac{1}{lo g 2} = lo g_{2} 10 \neq = 0

。(3) 正確。

f (x) = lo g x \cdot \frac{lo g x}{lo g 2} = \frac{( lo g x ) ^{2}}{lo g 2}

。(4) 錯誤。

1 + lo g_{2} 10 = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 10 = lo g_{2} 20 \neq = lo g_{2} 11

。(5) 錯誤。

g (x) = lo g x + \frac{lo g x}{lo g 2} = lo g x \cdot \frac{lo g 2 + 1}{lo g 2} = lo g x \cdot \frac{lo g 20}{lo g 2} = lo g x \times lo g_{2} 20

，不是

lo g x \times lo g 20

。

第 14 題定義域：

x > 0

。令

u = lo g x

。由第 13 題，

f (x) = \frac{u ^{2}}{lo g 2}

、

g (x) = \frac{u lo g 20}{lo g 2}

。

f (x) > g (x)

兩邊乘以

lo g 2 > 0

，不等號不變：

u^{2} > u lo g 20

，

u (u - lo g 20) > 0

，所以

u < 0

或

u > lo g 20

。

lo g x < 0 = lo g 1

得

x < 1

；

lo g x > lo g 20

得

x > 20

（底數

10 > 1

，對數函數遞增）。再配合

x > 0

，解為

0 < x < 1

或

x > 20

。

學校的給分方式（學校令

t = lo g x

，即本解的

u

）：

f (x)

、

g (x)

的化簡兩個都對 1 分，化成

t (t - lo g 20) > 0

2 分，判斷

t

的範圍正確 2 分，考慮真數為正 2 分，寫出答案 1 分；沒有判斷真數而寫成

x > 20

或

x < 1

，最高給 6 分。

05加分題（第 15～16 題）：算幾不等式與代換成二次函數

第 15 題

2^{x} > 0

、

2^{4 - x} > 0

，由算幾不等式

t = 2^{x} + 2^{4 - x} \geq 2 2^{x} \cdot 2^{4 - x} = 216 = 8

。等號成立於

2^{x} = 2^{4 - x}

，即

x = 4 - x

，

x = 2

。所以

(a, b) = (2, 8)

。

第 16 題令

t = 2^{x} + 2^{4 - x}

，則

t^{2} = 2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{4 - x} + 2^{2 (4 - x)} = 2^{2 x} + 2^{2 (4 - x)} + 32

，所以

2^{2 x} + 2^{2 (4 - x)} = t^{2} - 32

。

f (x) = t^{2} - 32 - 16 t + 60 = t^{2} - 16 t + 28 = (t - 8)^{2} - 36

。由第 15 題

t \geq 8

，且

x = 2

時

t = 8

，而

x = 2

在

0 \leq x \leq 3

的範圍內，所以

f (x)

的最小值為

- 36

。

在

0 \leq x \leq 3

上，

t

的範圍是

8 \leq t \leq 17

（

x = 0

時

t = 17

，

x = 3

時

t = 10

），

t = 8

取得到。

指對數的題目最後都要回頭看兩件事：真數要大於 0、底數決定遞增還是遞減。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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北一女中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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對完答案了？勾你錯的題號

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每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～4 題）：圖形對稱、位數、倍增模型、長方形

02多選題（第 5～6 題）：比大小、判斷方程式有沒有解

03填充題（第 7～12 題）：對數律、真數條件、伸縮平移、反函數、現值、截距

04混合題（第 13～14 題）：換底公式與對數不等式

05加分題（第 15～16 題）：算幾不等式與代換成二次函數

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北一女中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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