北一女中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)。$f^{\prime }(x)=3a(x-h{)}^2+p$。$x=1$ 與 $x=9$ 都是極值點，所以 $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(9)=0$，得 $3a(1-h{)}^2=3a(9-h{)}^2$，$a\ne 0$，所以 $(1-h{)}^2=(9-h{)}^2$。因為 $1\ne 9$，只能 $1-h=-(9-h)$，得 $h=5$。

再把兩個極值相加：$f(1)+f(9)=[a(-4{)}^3+p(-4)+k]+[a\cdot 4^3+p\cdot 4+k]=2k$，而 $f(1)+f(9)=5+(-1)=4$，所以 $k=2$。$(h,k)=(5,2)$。

答案 (3)。多項式函數是連續函數。分母 $x-2\to 0$ 而極限存在，分子也必須趨近 $0$：$\underset{x\to 2}{\lim }(f(x)-5)=f(2)-5=0$，所以 $f(2)=5$。於是 $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=4$，由導數的定義 $f^{\prime }(2)=4$。

$x=2$ 處的切線：$y-5=4(x-2)$，即 $y=4x-3$，這就是 $f(x)$ 在 $x=2$ 附近的一次近似。

答案 (3)。由 $f^{\prime }(x)$ 的圖形：$x<1$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$x>1$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $x=1$ 左邊遞減、右邊遞增，在 $x=1$ 有極小值；又 $f^{\prime }(x)$ 是遞增的直線，表示 $f^{\prime \prime }(x)>0$，圖形凹口向上。

圖 (1) 是水平線，$f^{\prime }(x)$ 恆為 $0$，不合；圖 (2) 的最低點在 $x=0$，不合；圖 (3) 的最低點在 $x=1$，凹口向上，符合；圖 (4)、(5) 在 $x=1$ 是最高點，表示 $x=1$ 附近先增後減，不合。

答案 (4)。$f^{\prime }(x)=4x^3+2ax+3$，$f^{\prime \prime }(x)=12x^2+2a$。$(1,4)$ 是反曲點，所以 $f^{\prime \prime }(1)=12+2a=0$，$a=-6$；又 $(1,4)$ 在圖形上，$f(1)=1-6+3+b=4$，$b=6$。

於是 $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$，在 $x=-1$ 與 $x=1$ 兩側都變號，所以另一個反曲點的 $x$ 坐標是 $-1$，$f(-1)=1-6-3+6=-2$，另一個反曲點為 $(-1,-2)$。

答案 (1)(3)。

(1) 正確。 由圖，$x$ 從左邊趨近 $-1$ 時，線段上的點趨近 $(-1,0)$；從右邊趨近 $-1$ 時，曲線上的點也趨近 $(-1,0)$。左右極限都是 $0$，所以 $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=0$。

(2) 錯誤。 $x$ 從左右兩邊趨近 $2$ 時，圖形都沿著 $y=2$ 的水平線走，左右極限都是 $2$，所以 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=2$，極限存在；$f(2)=1$ 與極限值不同，只影響連續，不影響極限存在。

(3) 正確。 $-3<x<-1$ 這一段是通過 $(-3,2)$ 與 $(-1,0)$ 的線段，斜率 $\frac{0-2}{-1-(-3)}=-1$，所以 $f^{\prime }(-2)=-1$。

(4) 錯誤。 $x=-1$ 左邊是斜率 $-1$ 的線段，$h<0$ 時 $\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=-1$；右邊的曲線往上升，$h>0$ 時這個比值是正的。左右兩邊的比值趨近不同的數，$f^{\prime }(-1)$ 不存在，當然不等於 $0$。

(5) 錯誤。 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=2\ne 1=f(2)$，$f(x)$ 在 $x=2$ 不連續，所以在 $x=2$ 不可微分，$f^{\prime }(2)$ 不存在。

答案 (1)(2)(4)。由圖，$x$ 很大時圖形往下，所以 $a<0$；$x=-h$ 處是極小、$x=h$ 處是極大。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ 的兩根是 $h$ 與 $-h$，兩根和 $-\frac{2b}{3a}=0$，所以 $b=0$；兩根積 $\frac{c}{3a}=-h^2$，所以 $c=-3a{h}^2>0$。於是 $f^{\prime }(x)=3a(x^2-h^2)$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax$。

(1) 正確。 $f^{\prime \prime }(x)=6ax$ 在 $x=0$ 兩側變號，所以 $x=0$ 處是反曲點，坐標為 $(0,f(0))=(0,d)$。

(2) 正確。 $0<k<h$ 時 $k^2-h^2<0$，又 $a<0$，所以 $f^{\prime }(k)=3a(k^2-h^2)>0$；從圖看，$-h$ 到 $h$ 之間圖形上升，也是一樣的結論。

(3) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(k)=6ak$，$a<0$、$k>0$，所以 $f^{\prime \prime }(k)<0$，這一段凹口向下。

(4) 正確。 $b^2-3ac=0-3a(-3a{h}^2)=9a^2{h}^2>0$。也可以這樣看：$f^{\prime }(x)=0$ 有兩個相異實根，判別式 $(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2-3ac)>0$。

(5) 錯誤。 切線斜率就是 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c$，$a<0$，這是開口向下的二次函數，在 $x=0$ 時最大，斜率最大的切點是 $(0,d)$。$(h,f(h))$ 是極大點，那裡的切線斜率是 $0$，比 $f^{\prime }(0)=c>0$ 小。

答案 (2)(3)。$f^{\prime }(x)=3x^2-18x+15=3(x-1)(x-5)$，$f^{\prime \prime }(x)=6x-18=6(x-3)$。

(1) 錯誤。 $1<x<5$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，但 $5<x\le 6$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $[4,5]$ 遞減、在 $[5,6]$ 遞增，不是整段遞減。

(2) 正確。 $4\le x\le 6$ 時 $f^{\prime \prime }(x)=6(x-3)>0$，凹口向上。

(3) 正確。 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=5$ 左負右正，所以 $x=5$ 處有極小值；$f^{\prime }(x)$ 與 $k$ 無關，不論 $k$ 為何都成立。

(4) 錯誤。 $f(x)$ 的最高次項是 $x^3$，$x$ 往負的方向很小時 $f(x)$ 是很小的負數，不可能恆正。例如 $k=26$：$f(5)=125-225+75+26=1>0$，但 $f(-2)=-8-36-30+26=-48<0$。

(5) 錯誤。 交點個數與 $k$ 有關。極大值 $f(1)=7+k$，極小值 $f(5)=-25+k$；例如 $k=26$ 時極小值 $1>0$，圖形只在 $x=1$ 左邊穿過 $x$ 軸一次，只有 $1$ 個交點。

(1) 邊際成本函數就是成本函數的導函數，逐項微分：

$$C^{\prime }(x)=\frac{3}{10000}{x}^2-\frac{3}{10}x+175$$

（常數 $50000$ 微分後是 $0$；$\frac{3}{20}{x}^2$ 微分得 $\frac{6}{20}x=\frac{3}{10}x$。）

設截去的正方形邊長為 $x$ 公分，紙盒的長、寬、高分別是 $24-2x$、$9-2x$、$x$，要都是正數，所以 $0<x<\frac{9}{2}$。體積

$$V(x)=x(24-2x)(9-2x)=4x^3-66x^2+216x$$

$V^{\prime }(x)=12x^2-132x+216=12(x-2)(x-9)$。在 $0<x<\frac{9}{2}$ 內只有 $x=2$ 使 $V^{\prime }(x)=0$：$0<x<2$ 時 $V^{\prime }(x)>0$，$2<x<\frac{9}{2}$ 時 $V^{\prime }(x)<0$，所以 $x=2$ 時體積最大，$V(2)=2\times 20\times 5=200$（立方公分）。

$f^{\prime }(x)=6x^2+2bx+c$。有水平切線的點就是 $f^{\prime }(x)=0$ 的點。題目說 $(1,4)$ 是唯一的一點，所以二次方程式 $f^{\prime }(x)=0$ 只有一個實根 $x=1$，也就是重根：$f^{\prime }(x)=6(x-1{)}^2=6x^2-12x+6$，比較係數得 $2b=-12$、$c=6$，即 $b=-6$、$c=6$。

再由 $(1,4)$ 在圖形上：$f(1)=2-6+6+d=4$，得 $d=2$。所以 $(b,c,d)=(-6,6,2)$。

(1) 設 $f(x)=p{x}^2+qx+r$，則 $f^{\prime }(x)=2px+q$。與 $f^{\prime }(x)=400-0.4x$ 比較係數：$2p=-0.4$、$q=400$，所以 $p=-0.2$。再由 $f(500)=-0.2\times 250000+400\times 500+r=-50000+200000+r=150000+r=170000$，得 $r=20000$。

所以 $f(x)=-0.2x^2+400x+20000$。

(2) 設切點為 $(t,f(t))$，切線 $y-f(t)=f^{\prime }(t)(x-t)$ 通過 $P(-3,0)$：

$$-f(t)=f^{\prime }(t)(-3-t)$$

因為 $f(t)=t^3+3t^2+t+3=t^2(t+3)+(t+3)=(t+3)(t^2+1)$，上式變成 $(t+3)(t^2+1)=(t+3)(3t^2+6t+1)$，移項得 $(t+3)(2t^2+6t)=0$，即 $2t(t+3{)}^2=0$，所以 $t=-3$ 或 $t=0$。

$t=-3$ 就是第 (1) 小題以 $P$ 為切點的切線；另一條的切點 $t=0$：$f(0)=3$，$f^{\prime }(0)=1$，切線為 $y-3=1\cdot (x-0)$，即 $y=x+3$（代入 $x=-3$ 得 $y=0$，確實通過 $P$）。

答案 (1)。遞減要 $f^{\prime }(x)<0$，凹口向上要 $f^{\prime \prime }(x)>0$。由表，兩者同時成立的範圍是 $x<0$ 與 $1<x<\frac{3}{2}$。

選項 (1) 區間 $(-1,0)$ 在 $x<0$ 內，符合；(2) 區間 $(0,1)$ 凹口向下；(3) 區間 $(1,2)$ 中 $x>\frac{3}{2}$ 的部分遞增；(4)、(5) 都在 $x>\frac{3}{2}$，遞增。所以選 (1)。

先求出函數。 由表，$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 與 $x=1$ 兩側變號，所以兩個反曲點的 $x$ 坐標是 $0$ 與 $1$；$f^{\prime }(x)$ 在 $x=\frac{3}{2}$ 由負變正，所以 $x=\frac{3}{2}$ 處有極小值 $-\frac{27}{16}$，$f^{\prime }\left(\frac{3}{2}\right)=0$。

設 $f(x)=A{x}^4+B{x}^3+C{x}^2+Dx+E$，則 $f^{\prime }(x)=4A{x}^3+3B{x}^2+2Cx+D$，$f^{\prime \prime }(x)=12A{x}^2+6Bx+2C$。

$f^{\prime \prime }(0)=0$ 得 $C=0$；$f^{\prime \prime }(1)=0$ 得 $12A+6B=0$，$B=-2A$。於是 $f^{\prime }(x)=4A{x}^3-6A{x}^2+D$，$f^{\prime }\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{27}{2}A-\frac{27}{2}A+D=0$，得 $D=0$。

通過 $(2,0)$：$f(2)=16A-16A+E=0$，得 $E=0$，所以 $f(x)=A{x}^4-2A{x}^3=A{x}^3(x-2)$。極小值 $f\left(\frac{3}{2}\right)=A\cdot \frac{27}{8}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{27}{16}A=-\frac{27}{16}$，得 $A=1$。

所以 $f(x)=x^4-2x^3$。檢查：$f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)$，$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x=12x(x-1)$，正負與表完全相同；$f(0)=0$、$f(1)=1-2=-1$，反曲點 $(0,0)$、$(1,-1)$ 正好是題目的 $(a,0)$、$(b,-1)$，$a=0$、$b=1$。

再描繪圖形。 要標的點：極小點 $\left(\frac{3}{2},-\frac{27}{16}\right)$（唯一的極值點，落在虛線 $y=-\frac{27}{16}$ 上）、反曲點 $(0,0)$ 與 $(1,-1)$；另外圖形與 $x$ 軸交於 $(0,0)$ 與 $(2,0)$。

$x<0$：遞減、凹口向上，從左上方往下降到原點；$0<x<1$：遞減、凹口向下，從 $(0,0)$ 降到 $(1,-1)$；$1<x<\frac{3}{2}$：遞減、凹口向上，降到最低點 $\left(\frac{3}{2},-\frac{27}{16}\right)$；$x>\frac{3}{2}$：遞增、凹口向上，經過 $(2,0)$ 往右上方升高。圖見附圖。