北一女中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

① 先寫出兩個向量：$\overrightarrow{AB}=(2-(-2),10-3)=(4,7)$，$\overrightarrow{AC}=(-3-(-2),11-3)=(-1,8)$。

(1) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times (-1)+7\times 8=-4+56=52$。

(2) $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$，$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$，

$$\cos (\angle BAC)=\frac{52}{\sqrt{65}\times \sqrt{65}}=\frac{52}{65}=\frac{4}{5}$$

(3) 重心是三頂點坐標的平均：$\left(\frac{-2+2-3}{3},\frac{3+10+11}{3}\right)=(-1,8)$。

(4) 平行四邊形 $ABCD$ 中 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-5,1)$，所以 $D=(-2-5,3+1)=(-7,4)$。

(5) 平行四邊形 $ABCD$ 的面積是 $△ABC$ 的兩倍，等於 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 所成行列式的絕對值：

$$\left|\left|\begin{array}{cc}4& 7\\ -1& 8\end{array}\right|\right|=|32+7|=39$$

答案 (1) $52$；(2) $\frac{4}{5}$；(3) $(-1,8)$；(4) $(-7,4)$；(5) $39$。

① 先算內積：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=5\sqrt{3}\times 4\times \cos 30^{\circ }=20\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=30$。

② 長度平方展開：

$${\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2=4{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=4\times 75-4\times 30+16=196$$

③ 開根號：$\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{196}=14$。

答案 $14$。

① 兩直線的法向量：$L_1$ 是 $\overrightarrow{n_1}=(1,1)$，$L_2$ 是 $\overrightarrow{n_2}=(1,-7)$。

② 兩法向量夾角的餘弦：

$$\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{1-7}{\sqrt{2}\times \sqrt{50}}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}$$

③ 兩直線相交成兩組對頂角，一個夾角與法向量的夾角相等，另一個是它的補角，餘弦差一個負號。

④ 題目沒有指定是哪一個夾角，所以 $\cos \theta =\frac{3}{5}$ 或 $-\frac{3}{5}$。

答案 $\pm \frac{3}{5}$。

① 兩個方程式右邊都是 $0$，$(x,y)=(0,0)$ 一定是解；兩條直線都通過原點。

② 有無限多解，就是兩條直線重合，係數行列式等於 $0$：

$$\left|\begin{array}{cc}2k-5& k+1\\ k+5& k-5\end{array}\right|=(2k-5)(k-5)-(k+1)(k+5)=0$$

③ 展開：$(2k^2-15k+25)-(k^2+6k+5)=k^2-21k+20=0$，即 $(k-1)(k-20)=0$。

④ 檢查：$k=1$ 時兩式為 $-3x+2y=0$、$6x-4y=0$，是同一條直線；$k=20$ 時兩式為 $35x+21y=0$、$25x+15y=0$，都是 $5x+3y=0$。兩個值都成立。

⑤ 所有可能值之和為 $1+20=21$。

答案 $21$。

① 二階行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$：

$${\left(20+\sqrt{26}\right)}^2-{\left(20-\sqrt{26}\right)}^2$$

② 平方差：$\left[\left(20+\sqrt{26}\right)+\left(20-\sqrt{26}\right)\right]\left[\left(20+\sqrt{26}\right)-\left(20-\sqrt{26}\right)\right]=40\times 2\sqrt{26}$。

③ 所以值為 $80\sqrt{26}$，$26=2\times 13$ 沒有平方因數，已是最簡根式。

答案 $80\sqrt{26}$。

① $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=17\times (-2)+14\times 1=-20$，${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=4+1=5$。

(1) 正射影：

$$\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\overrightarrow{b}=\frac{-20}{5}(-2,1)=-4(-2,1)=(8,-4)$$

(2) ② $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=(17-2t,14+t)$，長度平方：

$${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2=(17-2t{)}^2+(14+t{)}^2=5t^2-40t+485=5(t-4{)}^2+405$$

③ $t=4$ 時最小，${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2=405$，$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{405}=9\sqrt{5}$。

④ 幾何上，此時 $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}=(9,18)$，正是 $\overrightarrow{a}$ 扣掉它在 $\overrightarrow{b}$ 上的正射影，與 $\overrightarrow{b}$ 垂直。

答案 (1) $(8,-4)$；(2) $9\sqrt{5}$。

① 兩個三角形都以 $\overline{AB}$ 為底，面積比等於 $P$ 與 $C$ 到直線 $AB$ 的距離比（圖未依比例）。

② 用行列式表示面積：$△ABP$ 面積 $=\frac{1}{2}\left|\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\right)\right|$。

③ 代入 $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{20}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{26}\overrightarrow{AC}$，因為 $\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\right)=0$：

$$\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\right)=-\frac{1}{26}\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$$

④ 取絕對值再比：

$$\frac{△ABP\text{ 的面積}}{△ABC\text{ 的面積}}=\frac{1}{26}$$

答案 $\frac{1}{26}$。

① 把 $x^2+4y^2$ 看成 $x^2+(2y{)}^2$，條件 $x-2y=-8$ 看成 $1\cdot x+(-1)\cdot (2y)=-8$。

② 柯西不等式：

$$\left[x^2+(2y{)}^2\right]\left[1^2+(-1{)}^2\right]\ge {\left[1\cdot x+(-1)\cdot 2y\right]}^2=(-8{)}^2=64$$

③ 所以 $x^2+4y^2\ge \frac{64}{2}=32$。

④ 等號成立時 $\frac{x}{1}=\frac{2y}{-1}$，即 $x=-2y$；代入 $x-2y=-8$ 得 $-4y=-8$，$y=2$，$x=-4$。

答案 (1) $32$；(2) $(-4,2)$。

① 設 $\overrightarrow{c}=(p,q)$，把兩個內積寫出來：

$$\{\begin{array}{l}5p-8q=20\\ 3p-2q=26\end{array}$$

② 第二式乘 $4$：$12p-8q=104$，減去第一式：$7p=84$，$p=12$。

③ 代回第二式：$36-2q=26$，$q=5$。

④ 檢查：$(12,5)\cdot (5,-8)=60-40=20$，$(12,5)\cdot (3,-2)=36-10=26$。

答案 $(12,5)$。

① 走 $A\to D\to C$：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$。

② 梯形 $ABCD$ 中 $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$，而且頂點依序相連，$\overrightarrow{DC}$ 與 $\overrightarrow{AB}$ 同方向（圖未依比例），所以

$$\overrightarrow{DC}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AB}}\overrightarrow{AB}$$

③ 得 $\overrightarrow{AC}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AB}}\overrightarrow{AB}+1\cdot \overrightarrow{AD}$。

④ $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 不平行，線性組合的係數唯一，所以 $x=\frac{\overline{CD}}{\overline{AB}}$、$y=1$。

⑤ 由 $x+y=2026$ 得 $x=2025$。

答案 $2025$。

① $P$ 在直線 $CD$ 上：設 $\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AD}+(1-s)\overrightarrow{AC}=4s\overrightarrow{AB}+(1-s)\overrightarrow{AC}$。

② $P$ 在直線 $BE$ 上：設 $\overrightarrow{AP}=r\overrightarrow{AB}+(1-r)\overrightarrow{AE}=r\overrightarrow{AB}+7(1-r)\overrightarrow{AC}$。

③ $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 不平行，係數對應相等：

$$\{\begin{array}{l}4s=r\\ 1-s=7(1-r)\end{array}$$

④ 把 $r=4s$ 代入第二式：$1-s=7-28s$，$27s=6$，$s=\frac{2}{9}$。

⑤ 所以 $x=4s=\frac{8}{9}$，$y=1-s=\frac{7}{9}$。

答案 $\left(\frac{8}{9},\frac{7}{9}\right)$。

① 令三個單位向量為 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{v}$、$\overrightarrow{w}$，$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{w}$，兩邊取長度平方：$1+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+1=1$，得 $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-\frac{1}{2}$。

② 同理每兩個的內積都是 $-\frac{1}{2}$，所以 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ }$（圖中 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$、$\overline{PC}$ 的長度未依比例）。

③ 設 $\left|\overrightarrow{PC}\right|=c$。由 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$：

$${\overline{AB}}^2=20^2+26^2-2\times 20\times 26\cos 120^{\circ }=400+676+520=1596$$

④ 同理 ${\overline{AC}}^2=20^2+c^2+20c$，${\overline{BC}}^2=26^2+c^2+26c$。

⑤ $\angle A=90^{\circ }$，${\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2={\overline{BC}}^2$：

$$1596+400+c^2+20c=676+c^2+26c$$

⑥ 整理得 $6c=1320$，$c=220$。

答案 $220$。