段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期現象的數學模型）

北一女中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 5 題（30 分）、多選題 4 題（32 分）、填充題 5 題（30 分）、混合題 1 題組共 3 小題（18 分）；卷面註明本次考試滿分為 110 分，若得分超過 100 分則以 100 分計。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題全部相同。

一、單選題（共 30 分）｜第 1 題至第 5 題，每題 6 分。每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題的分數；答錯、未作答或作答多於一個選項者，該題以零分計算。

小美為了慶祝生日買了一個圓形蛋糕，將其等分切成

10

個全等的小扇形蛋糕分送給朋友，則每一塊小扇形蛋糕的圓心角

θ

為多少弳？

(1) $18$
(2) $36$
(3) $\frac{π}{5}$
(4) $\frac{π}{18}$
(5) $\frac{π}{36}$

坐標平面上，點

P (cos 3, sin 3)

位於第幾象限？

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) $P$ 點在坐標軸上

已知下圖為函數

y = a sin b x

一個週期的圖形，其中

a

、

b

皆為正數，則

a + b

之值為下列何者？

(1) $8$
(2) $9$
(3) $11$
(4) $12$
(5) $13$

載入中...

若將

y = sin x

的圖形先以

y

軸為中心沿水平方向伸縮

\frac{1}{2}

倍，再向右平移

5

單位可得

y = f (x)

的圖形，則下列選項何者正確？

(1) $f (x) = sin (2 x - 10)$
(2) $f (x) = sin (2 x - 5)$
(3) $f (x) = sin (2 x + 5)$
(4) $f (x) = 2 sin (x - 5)$
(5) $f (x) = sin (\frac{x - 5}{2})$

若

sin 4 x = \frac{1}{2024}

的正實數解由小到大依序為

x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots

，則

x_{2024} - x_{2023}

的值最接近下列哪一個選項？

(1) $2 π$
(2) $π$
(3) $\frac{π}{2}$
(4) $\frac{π}{4}$
(5) $\frac{π}{8}$

二、多選題（共 32 分）｜第 6 題至第 9 題，每題 8 分。每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 4 分；答錯 3 個選項得 2 分；答錯 4 個選項以上或所有選項均未作答者，該題得 0 分。

已知將

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{3 π}{7}

單位後即為函數

y = f (x)

的圖形，試選出所有正確的選項。

(1) $f (x) = sin (x - \frac{3 π}{7})$
(2) $f (x) = sin (x + \frac{3 π}{7})$
(3) $f (x) = sin (x - \frac{4 π}{7})$
(4) $f (x) = sin (x + \frac{11 π}{7})$
(5) $f (x) = sin (x - \frac{11 π}{7})$

設函數

y = f (x) = 2 sin (3 x - \frac{π}{2}) + 1

，則下列選項哪些敘述正確？

(1) $f (x)$ 的週期為 $6 π$
(2) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(3) 鉛直線 $x = π$ 是函數 $y = f (x)$ 圖形的一條對稱軸
(4) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = 2 sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 單位，再向上平移 $1$ 單位得到
(5) $f (1) > 3 + 1$

如圖，已知某風力發電機的轉軸中心距離地面

67

公尺，三個葉片的長度皆為

40

公尺，

P

點為某葉片頂端的一點。若當風力發電機開始運轉時

P

點恰在離地最高的位置上，接著葉片開始逆時針旋轉。若

x

秒後

P

點距離地面的高度

y

（公尺）可表示為

y = a sin (\frac{2 π}{5} x + c) + d

，其中

a

、

d

皆為正數且

- π < c < π

，則下列各選項敘述哪些正確？

(1) $a = 40$
(2) $d = 40$
(3) 此風力發電機旋轉一圈需時 $10$ 秒
(4) $c = - \frac{π}{2}$
(5) $P$ 點第一次距離地面 $27$ 公尺是在開始運轉後 $2.5$ 秒時

載入中...

坐標平面上，有一個以原點

O

為圓心且半徑為

10

公尺的圓形水池，阿翰從

A (10, 0)

逆時針繞

O

點作等速率圓周運動，小涵從

B (- 10, 0)

順時針繞

O

點作等速率圓周運動。若阿翰與小涵的速率比為

3 : 2

，則下列敘述哪些正確？

(1) 兩人第一次相遇的地點在第二象限
(2) 兩人第二次相遇的地點坐標為 $(10 cos 3 6^{\circ}, 10 sin 3 6^{\circ})$
(3) 兩人從第二次相遇到第三次相遇的過程中，阿翰總共繞圓形水池走了 $12 π$ 公尺
(4) 兩人在圓形水池的圓周上，共有 $4$ 個不同的相遇地點
(5) 兩人第 $7$ 次相遇的地點和第 $19$ 次相遇的地點對稱於 $x$ 軸

三、填充題（共 30 分）｜第 10 題至第 14 題，每題 6 分，每格須全部答對才給分，答錯不倒扣。

試求

sin \frac{π}{6} + cos \frac{5 π}{6} tan \frac{7 π}{6} + cos π =

____。

本次高二數學期中考的考試結束時間為

9

點

40

分，試問當

9

點

40

分考試結束時，時鐘上的時針與分針所夾的銳夾角為 ____ 弳。

如圖，設

O

為扇形

O A B

與扇形

O D C

的圓心，

\overline{O B} = R

，

\overline{O C} = r

，若

∠ A O B = \frac{3 π}{7}

，

\overline{B C} = 6

，且著色區域面積為

9 π

，則數對

(R, r) =

____。

載入中...

已知小熱早餐部有

4

種主食和

3

種醬料可供同學們自由選配，且每天都會推出一組限定搭配做特價。若主食是按照漢堡、吐司、蛋餅、卡啦雞的順序，醬料則是按照花生醬、草莓醬、巧克力醬的順序。因此第一天的特價組合為「漢堡＋花生醬」，第二天的特價組合為「吐司＋草莓醬」，依此類推。已知若特價組合是「卡啦雞＋巧克力醬」時小綠就一定會買，且今天的特價組合是「漢堡＋花生醬」，則最快 ____ 天後小綠會買到第三次「卡啦雞＋巧克力醬」的特價組合。

小綠想做一個三角形的餅乾在班日時送給學妹，她希望這個三角形的其中兩邊長分別為

3

公分及

4

公分，且這兩個邊所夾的角

θ

滿足

6 0^{\circ} \leq θ \leq 15 0^{\circ}

。若這個三角形餅乾面積的最大值為

M

平方公分，最小值為

m

平方公分，則

M + m =

____。

四、混合題（共 18 分）｜本部分共有 1 題組，單選題每題 5 分，非選擇題配分標於題末，限在標示題號之作答區內作答。非選擇題請由左而右以黑色原子筆橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。（第 15～17 題為題組）

15－17 題為題組（第 15～17 題）　「人有悲歡離合，月有陰晴圓缺」，小綠上國文課時聽老師介紹蘇軾的《水調歌頭》，想起數學老師曾說月球的月相是呈週期性的規律變化，且每天可看見的月亮面積比例與時間的關係可用正弦函數來表示。小綠上網查詢了 2024 年 9 月的月亮面積比例後，將日期

x

（日）與月亮面積比例

y

（%）紀錄如下表，並將表格的數據點，以日期為

x

軸、面積比例為

y

軸標示在坐標平面上，如圖所示（圖附在第 15 題）。試回答下列各題。

日期 x 比例 y % 日期 x 比例 y % 日期 x 比例 y % 1 3.7 11 51.8 21 89.8 2 0.9 12 62.4 22 81.1 3013 72.8 23 70.9 4 1.2 14 82.4 24 59.9 5 4.2 15 90.5 25 48.8 6 8.9 16 96.5 26 38.1 7 15.2 17 99.6 27 28.2 8 22.9 1810028 19.5 9 31.7 19 99.5 29 12.1 10 41.4 20 96.1 30 6.4

上表的數據資料來源為 Star Walk 月相計算器。

由上表與附圖可見：9 月 3 日時月亮面積比例恰為

0%

，9 月 18 日時月亮面積比例恰為

100%

。請根據此資料推估，月相變化的週期約為幾天？（單選題，5 分）

(1) $10$ 天
(2) $15$ 天
(3) $20$ 天
(4) $25$ 天
(5) $30$ 天

載入中...

小綠想要以函數

y = a sin (b x + c) + d

來擬合月亮面積比例

y

與日期

x

的關係，其中

a

、

b

、

d

皆為正數，

- π < c < π

，且此函數滿足以下兩個條件：① 資料點

(3, 0)

和

(18, 100)

落在函數圖形上　② 資料點

(3, 0)

和

(18, 100)

依序為圖形相鄰的最低點與最高點。試求序組

(a, b, c, d)

。（填充題，

a

、

b

、

c

、

d

每個答對得 2 分，共 8 分）

承上題，試利用該函數推估每個月的幾號到幾號之間，月亮面積的比例會不小於

75%

。（非選擇題，5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(5)

第 4 題(1)

第 5 題(4)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(1)(5)

第 9 題(1)(3)(5)

第 10 題

- 1

第 11 題

\frac{5 π}{18}

第 12 題

(\frac{13}{2}, \frac{1}{2})

第 13 題

35

第 14 題

9

第 15 題(5)

第 16 題

(50, \frac{π}{15}, - \frac{7 π}{10}, 50)

第 17 題

13

號到

23

號之間（

13 \leq x \leq 23

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：弧度、象限、讀圖、伸縮平移、相鄰兩解

第 1 題答案 (3)。一整圈是

2 π

弳，等分成

10

塊，每塊的圓心角是

\frac{2 π}{10} = \frac{π}{5}

弳。

36

是用「度」量出來的數字（

3 6^{\circ}

），題目問的是弳。

第 2 題答案 (2)。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，所以

\frac{π}{2} < 3 < π

，

3

弳是第二象限角。第二象限角的餘弦為負、正弦為正，

P (cos 3, sin 3)

的

x

坐標為負、

y

坐標為正，在第二象限。

3

弳大約是

17 2^{\circ}

，很接近

18 0^{\circ}

但還沒到，所以

sin 3

是很小的正數，

P

不在坐標軸上。

第 3 題答案 (5)。圖形最高到

3

、最低到

- 3

，振幅

a = 3

。從

x = 0

到

x = \frac{π}{5}

剛好一個週期，所以

\frac{2 π}{b} = \frac{π}{5}

，

b = 10

。

a + b = 13

。

圖形從原點出發先往上走，和

a > 0

、

b > 0

相符。

第 4 題答案 (1)。以

y

軸為中心水平伸縮

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再向右平移

5

單位，是把

x

換成

x - 5

，得

y = sin (2 (x - 5)) = sin (2 x - 10)

。

平移是對

x

本身做的，所以括號要先括住

x - 5

再乘

2

；直接寫成

sin (2 x - 5)

只向右移了

2.5

。

第 5 題答案 (4)。令

u = 4 x

，先看

sin u = \frac{1}{2024}

的正解。設

α

是

0

到

\frac{π}{2}

之間滿足

sin α = \frac{1}{2024}

的角，

α

非常接近

0

。每一個週期

2 π

內有兩個解：

2 k π + α

與

2 k π + π - α

（

k = 0, 1, 2, \dots

）。由小到大排，第奇數個是前者、第偶數個是後者，而第

2023

、

2024

個剛好是同一個週期（

k = 1011

）裡的兩個：

u_{2023} = 2022 π + α

，

u_{2024} = 2022 π + π - α

，相差

π - 2 α

。換回

x = \frac{u}{4}

：

x_{2024} - x_{2023} = \frac{π - 2 α}{4}

，因為

α

幾乎是

0

，這個值最接近

\frac{π}{4}

。

從圖形看：水平線

y = \frac{1}{2024}

幾乎貼著

x

軸，它和

y = sin 4 x

的交點幾乎就是圖形與

x

軸的交點，相鄰兩個交點相隔半個週期，而

y = sin 4 x

的週期是

\frac{π}{2}

，半個週期就是

\frac{π}{4}

。

02多選題（第 6、7 題）：平移與同界角、正弦型函數的性質

第 6 題答案 (2)(5)。向左平移

\frac{3 π}{7}

是把

x

換成

x + \frac{3 π}{7}

，所以

f (x) = sin (x + \frac{3 π}{7})

。(1) 錯：那是向右平移。(2) 對。(3) 錯：

x - \frac{4 π}{7}

比

x + \frac{3 π}{7}

少了

π

，差半圈的兩個角正弦值互為相反數，所以這是

- f (x)

。(4) 錯：

x + \frac{11 π}{7}

比

x + \frac{3 π}{7}

多

\frac{8 π}{7}

，不是

2 π

的整數倍；例如代

x = - \frac{3 π}{7}

，

f (x) = sin 0 = 0

，但選項的值是

sin \frac{8 π}{7} \neq = 0

。(5) 對：

x - \frac{11 π}{7}

比

x + \frac{3 π}{7}

剛好少

2 π

，兩個角是同界角，正弦值相同。

角度差

2 π

的整數倍，函數相同；差

π

，差一個負號。

第 7 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(2) 錯：

- 1 \leq sin (3 x - \frac{π}{2}) \leq 1

，乘

2

再加

1

，得

- 1 \leq f (x) \leq 3

。(3) 對：

x = π

時角度是

3 π - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{2}

，與

\frac{π}{2}

是同界角，正弦值是

1

，

f (π) = 3

是最大值；正弦型函數的圖形對稱於通過最高點（或最低點）的鉛直線，所以

x = π

是對稱軸。(4) 對：

y = 2 sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

得

y = 2 sin (3 (x - \frac{π}{6})) = 2 sin (3 x - \frac{π}{2})

，再向上平移

1

就是

f (x)

。(5) 對：

f (1) = 2 sin (3 - \frac{π}{2}) + 1

，其中

3 - \frac{π}{2} \approx 1.43

弳。而

\frac{π}{3} \approx 1.05

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，

1.43

落在這兩個角之間；正弦在

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

之間的值都大於

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，所以

2 sin (3 - \frac{π}{2}) > 3

，

f (1) > 3 + 1

。

(1) 的

6 π

是週期

\frac{2 π}{3}

的

9

倍，圖形平移

6 π

也會重合，但「週期」指的是最小的那一個正數。

03多選題（第 8、9 題）：風力發電機與圓周上的相遇

第 8 題答案 (1)(5)。

P

繞著轉軸中心轉，離地最高是

67 + 40 = 107

公尺，最低是

67 - 40 = 27

公尺。(1) 對：振幅

a = \frac{107 - 27}{2} = 40

。(2) 錯：中線高度

d = \frac{107 + 27}{2} = 67

，就是轉軸中心的高度。(3) 錯：週期是

2 π \div \frac{2 π}{5} = 5

秒，轉一圈需

5

秒。(4) 錯：

x = 0

時

P

在最高點，所以

sin c = 1

，在

- π < c < π

內只有

c = \frac{π}{2}

。(5) 對：

27

公尺是最低點，從最高點轉到最低點要半圈，也就是半個週期

2.5

秒。

高度只和

P

轉了多少角度有關，順時針或逆時針轉，高度的式子都一樣。

第 9 題答案 (1)(3)(5)。圓周長

20 π

公尺。兩人反向而行，阿翰走的路程永遠是兩人合計路程的

\frac{3}{5}

。第一次相遇：兩人一開始相隔半圈

10 π

公尺（沿上半圓相向而行），合計走

10 π

時相遇，阿翰走了

6 π

公尺，轉過的角是

\frac{6 π}{10}

弳，也就是

10 8^{\circ}

，在第二象限，(1) 對。之後每次相遇：兩人要再合計走一整圈

20 π

，阿翰每次走

12 π

公尺，(3) 對；

12 π

公尺相當於再轉

\frac{12 π}{10}

弳，也就是

21 6^{\circ}

。所以相遇位置的方位角依序是

10 8^{\circ}

、

32 4^{\circ}

、

18 0^{\circ}

（由

54 0^{\circ}

減一圈）、

3 6^{\circ}

、

25 2^{\circ}

，第六次又回到

10 8^{\circ}

，之後每五次重複一輪。(2) 錯：第二次相遇在

32 4^{\circ}

，坐標是

(10 cos 3 6^{\circ}, - 10 sin 3 6^{\circ})

，在第四象限。(4) 錯：共有

5

個不同的相遇地點。(5) 對：

7 = 5 + 2

，第

7

次與第

2

次同一點，在

32 4^{\circ}

；

19 = 15 + 4

，第

19

次與第

4

次同一點，在

3 6^{\circ}

；

32 4^{\circ}

與

- 3 6^{\circ}

是同界角，兩點對稱於

x

軸。

每次相遇多轉

21 6^{\circ}

，轉

5

次是

108 0^{\circ}

，剛好三整圈，所以相遇點五次一輪。

04填充題（第 10～14 題）：特殊角、時鐘、扇形面積、週期、面積的最大最小

第 10 題

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{6}

在第二象限，參考角

\frac{π}{6}

，

cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。

\frac{7 π}{6}

在第三象限，參考角

\frac{π}{6}

，正切為正，

tan \frac{7 π}{6} = \frac{1}{3}

。

cos π = - 1

。所以原式

= \frac{1}{2} + (- \frac{3}{2}) \times \frac{1}{3} + (- 1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = - 1

。

先定象限決定正負，再用參考角查值。

第 11 題以

12

點方向為

0^{\circ}

、順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

40

分時在

24 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

9

點

40

分時在

27 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 29 0^{\circ}

。兩針相差

5 0^{\circ}

，是銳角。換成弧度：

50 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{18}

弳。

時針不是停在

9

上，

40

分鐘裡它又往前走了

2 0^{\circ}

。

第 12 題

B

、

C

在同一條半徑上，

\overline{B C} = \overline{O B} - \overline{O C}

，所以

R - r = 6

。著色區域是大扇形減小扇形，圓心角都是

\frac{3 π}{7}

：

\frac{1}{2} R^{2} \cdot \frac{3 π}{7} - \frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{3 π}{7} = 9 π

，整理得

R^{2} - r^{2} = 42

。因為

R^{2} - r^{2} = (R + r) (R - r) = 6 (R + r)

，所以

R + r = 7

。與

R - r = 6

聯立，得

R = \frac{13}{2}

，

r = \frac{1}{2}

。

代回檢查：

\frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{7} (\frac{169}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{7} \cdot 42 = 9 π

。

第 13 題把今天當作第

1

天。主食每

4

天一輪，卡啦雞出現在第

4, 8, 12, \dots

天（

4

的倍數）；醬料每

3

天一輪，巧克力醬出現在第

3, 6, 9, \dots

天（

3

的倍數）。兩者同時出現要是

4

和

3

的公倍數，也就是

12

的倍數：第

12

、

24

、

36

天。第三次是第

36

天，距離今天（第

1

天）是

36 - 1 = 35

天後。

今天是第

1

天，不是第

0

天，所以「幾天後」要減

1

。

第 14 題兩邊

3

、

4

夾角

θ

的三角形面積是

\frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times sin θ = 6 sin θ

。當

6 0^{\circ} \leq θ \leq 15 0^{\circ}

時，

sin θ

在

θ = 9 0^{\circ}

最大，是

1

；兩端

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} \approx 0.87

、

sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，最小是

\frac{1}{2}

。所以

M = 6

、

m = 3

，

M + m = 9

。

9 0^{\circ}

在範圍內，最大值不在端點；最小值要比兩個端點，是

15 0^{\circ}

那一端。

05混合題（第 15～17 題）：用正弦函數描述月相

第 15 題答案 (5)。

3

日是最低點（

0%

），

18

日是緊接著的最高點（

100%

），從最低點到相鄰的最高點是半個週期：

18 - 3 = 15

天。所以週期約為

30

天。

15

天只是半個週期，要再乘

2

。

第 16 題最高

100

、最低

0

：振幅

a = \frac{100 - 0}{2} = 50

，中線

d = \frac{100 + 0}{2} = 50

。週期

30

，所以

b = \frac{2 π}{30} = \frac{π}{15}

。

x = 18

是最高點，角度要是

\frac{π}{2}

的同界角：

\frac{π}{15} \times 18 + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{2} - \frac{6 π}{5} + 2 k π = - \frac{7 π}{10} + 2 k π

。在

- π < c < π

內只有

c = - \frac{7 π}{10}

。所以

(a, b, c, d) = (50, \frac{π}{15}, - \frac{7 π}{10}, 50)

。

檢查最低點：

x = 3

時角度是

\frac{π}{5} - \frac{7 π}{10} = - \frac{π}{2}

，正弦值

- 1

，

y = 0

，相符。

第 17 題

50 sin (\frac{π}{15} x - \frac{7 π}{10}) + 50 \geq 75

，即

sin (\frac{π}{15} x - \frac{7 π}{10}) \geq \frac{1}{2}

。每個月的日期在

1

到

31

之間，對應的角度在

- \frac{19 π}{30}

到

\frac{41 π}{30}

之間；在這個範圍內，正弦值不小於

\frac{1}{2}

的角度是

\frac{π}{6}

到

\frac{5 π}{6}

。所以

\frac{π}{6} \leq \frac{π}{15} x - \frac{7 π}{10} \leq \frac{5 π}{6}

。各項同乘

\frac{30}{π}

：

5 \leq 2 x - 21 \leq 25

，得

13 \leq x \leq 23

。推估每個月的

13

號到

23

號之間，月亮面積比例不小於

75%

。

也可以從最高點往兩邊數：正弦值從

1

降到

\frac{1}{2}

，角度要離開

\frac{π}{2}

有

\frac{π}{3}

，相當於

\frac{π}{3} \div \frac{π}{15} = 5

天，所以是

18 - 5 = 13

號到

18 + 5 = 23

號。對照表格：

13

日

72.8%

、

23

日

70.9%

，模型與實際資料在邊界附近差幾個百分點。

由相鄰的最低點與最高點可以一次定出振幅、中線與半個週期；解正弦不等式時先把角度的範圍寫出來，再找正弦值符合條件的那一段。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

北一女中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要看出相鄰兩個解在同一個週期裡、差距接近四分之一個圓周率而不是一個週期；第 7 題的選項 (5) 要把角度換成弧度的近似值再和特殊角比較；第 9 題每次相遇的位置要一次一次推，第二次相遇其實落在第四象限，相遇點共有五個；第 16、17 題要先由最低點與最高點定出週期與係數，再解正弦不小於二分之一的範圍。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期現象的數學模型）

北一女中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

小美為了慶祝生日買了一個圓形蛋糕，將其等分切成

10

個全等的小扇形蛋糕分送給朋友，則每一塊小扇形蛋糕的圓心角

θ

為多少弳？

(1) $18$
(2) $36$
(3) $\frac{π}{5}$
(4) $\frac{π}{18}$
(5) $\frac{π}{36}$

坐標平面上，點

P (cos 3, sin 3)

位於第幾象限？

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) $P$ 點在坐標軸上

已知下圖為函數

y = a sin b x

一個週期的圖形，其中

a

、

b

皆為正數，則

a + b

之值為下列何者？

(1) $8$
(2) $9$
(3) $11$
(4) $12$
(5) $13$

載入中...

若將

y = sin x

的圖形先以

y

軸為中心沿水平方向伸縮

\frac{1}{2}

倍，再向右平移

5

單位可得

y = f (x)

的圖形，則下列選項何者正確？

(1) $f (x) = sin (2 x - 10)$
(2) $f (x) = sin (2 x - 5)$
(3) $f (x) = sin (2 x + 5)$
(4) $f (x) = 2 sin (x - 5)$
(5) $f (x) = sin (\frac{x - 5}{2})$

若

sin 4 x = \frac{1}{2024}

的正實數解由小到大依序為

x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots

，則

x_{2024} - x_{2023}

的值最接近下列哪一個選項？

(1) $2 π$
(2) $π$
(3) $\frac{π}{2}$
(4) $\frac{π}{4}$
(5) $\frac{π}{8}$

已知將

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{3 π}{7}

單位後即為函數

y = f (x)

的圖形，試選出所有正確的選項。

(1) $f (x) = sin (x - \frac{3 π}{7})$
(2) $f (x) = sin (x + \frac{3 π}{7})$
(3) $f (x) = sin (x - \frac{4 π}{7})$
(4) $f (x) = sin (x + \frac{11 π}{7})$
(5) $f (x) = sin (x - \frac{11 π}{7})$

設函數

y = f (x) = 2 sin (3 x - \frac{π}{2}) + 1

，則下列選項哪些敘述正確？

(1) $f (x)$ 的週期為 $6 π$
(2) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(3) 鉛直線 $x = π$ 是函數 $y = f (x)$ 圖形的一條對稱軸
(4) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = 2 sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 單位，再向上平移 $1$ 單位得到
(5) $f (1) > 3 + 1$

如圖，已知某風力發電機的轉軸中心距離地面

67

公尺，三個葉片的長度皆為

40

公尺，

P

點為某葉片頂端的一點。若當風力發電機開始運轉時

P

點恰在離地最高的位置上，接著葉片開始逆時針旋轉。若

x

秒後

P

點距離地面的高度

y

（公尺）可表示為

y = a sin (\frac{2 π}{5} x + c) + d

，其中

a

、

d

皆為正數且

- π < c < π

，則下列各選項敘述哪些正確？

(1) $a = 40$
(2) $d = 40$
(3) 此風力發電機旋轉一圈需時 $10$ 秒
(4) $c = - \frac{π}{2}$
(5) $P$ 點第一次距離地面 $27$ 公尺是在開始運轉後 $2.5$ 秒時

載入中...

坐標平面上，有一個以原點

O

為圓心且半徑為

10

公尺的圓形水池，阿翰從

A (10, 0)

逆時針繞

O

點作等速率圓周運動，小涵從

B (- 10, 0)

順時針繞

O

點作等速率圓周運動。若阿翰與小涵的速率比為

3 : 2

，則下列敘述哪些正確？

(1) 兩人第一次相遇的地點在第二象限
(2) 兩人第二次相遇的地點坐標為 $(10 cos 3 6^{\circ}, 10 sin 3 6^{\circ})$
(3) 兩人從第二次相遇到第三次相遇的過程中，阿翰總共繞圓形水池走了 $12 π$ 公尺
(4) 兩人在圓形水池的圓周上，共有 $4$ 個不同的相遇地點
(5) 兩人第 $7$ 次相遇的地點和第 $19$ 次相遇的地點對稱於 $x$ 軸

三、填充題（共 30 分）｜第 10 題至第 14 題，每題 6 分，每格須全部答對才給分，答錯不倒扣。

試求

sin \frac{π}{6} + cos \frac{5 π}{6} tan \frac{7 π}{6} + cos π =

____。

本次高二數學期中考的考試結束時間為

9

點

40

分，試問當

9

點

40

分考試結束時，時鐘上的時針與分針所夾的銳夾角為 ____ 弳。

如圖，設

O

為扇形

O A B

與扇形

O D C

的圓心，

\overline{O B} = R

，

\overline{O C} = r

，若

∠ A O B = \frac{3 π}{7}

，

\overline{B C} = 6

，且著色區域面積為

9 π

，則數對

(R, r) =

____。

載入中...

已知小熱早餐部有

4

種主食和

3

小綠想做一個三角形的餅乾在班日時送給學妹，她希望這個三角形的其中兩邊長分別為

3

公分及

4

公分，且這兩個邊所夾的角

θ

滿足

6 0^{\circ} \leq θ \leq 15 0^{\circ}

。若這個三角形餅乾面積的最大值為

M

平方公分，最小值為

m

平方公分，則

M + m =

____。

x

（日）與月亮面積比例

y

（%）紀錄如下表，並將表格的數據點，以日期為

x

軸、面積比例為

y

軸標示在坐標平面上，如圖所示（圖附在第 15 題）。試回答下列各題。

日期 x 比例 y % 日期 x 比例 y % 日期 x 比例 y % 1 3.7 11 51.8 21 89.8 2 0.9 12 62.4 22 81.1 3013 72.8 23 70.9 4 1.2 14 82.4 24 59.9 5 4.2 15 90.5 25 48.8 6 8.9 16 96.5 26 38.1 7 15.2 17 99.6 27 28.2 8 22.9 1810028 19.5 9 31.7 19 99.5 29 12.1 10 41.4 20 96.1 30 6.4

上表的數據資料來源為 Star Walk 月相計算器。

由上表與附圖可見：9 月 3 日時月亮面積比例恰為

0%

，9 月 18 日時月亮面積比例恰為

100%

。請根據此資料推估，月相變化的週期約為幾天？（單選題，5 分）

(1) $10$ 天
(2) $15$ 天
(3) $20$ 天
(4) $25$ 天
(5) $30$ 天

載入中...

小綠想要以函數

y = a sin (b x + c) + d

來擬合月亮面積比例

y

與日期

x

的關係，其中

a

、

b

、

d

皆為正數，

- π < c < π

，且此函數滿足以下兩個條件：① 資料點

(3, 0)

和

(18, 100)

落在函數圖形上　② 資料點

(3, 0)

和

(18, 100)

依序為圖形相鄰的最低點與最高點。試求序組

(a, b, c, d)

。（填充題，

a

、

b

、

c

、

d

每個答對得 2 分，共 8 分）

承上題，試利用該函數推估每個月的幾號到幾號之間，月亮面積的比例會不小於

75%

。（非選擇題，5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(5)

第 4 題(1)

第 5 題(4)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(1)(5)

第 9 題(1)(3)(5)

第 10 題

- 1

第 11 題

\frac{5 π}{18}

第 12 題

(\frac{13}{2}, \frac{1}{2})

第 13 題

35

第 14 題

9

第 15 題(5)

第 16 題

(50, \frac{π}{15}, - \frac{7 π}{10}, 50)

第 17 題

13

號到

23

號之間（

13 \leq x \leq 23

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：弧度、象限、讀圖、伸縮平移、相鄰兩解

第 1 題答案 (3)。一整圈是

2 π

弳，等分成

10

塊，每塊的圓心角是

\frac{2 π}{10} = \frac{π}{5}

弳。

36

是用「度」量出來的數字（

3 6^{\circ}

），題目問的是弳。

第 2 題答案 (2)。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，所以

\frac{π}{2} < 3 < π

，

3

弳是第二象限角。第二象限角的餘弦為負、正弦為正，

P (cos 3, sin 3)

的

x

坐標為負、

y

坐標為正，在第二象限。

3

弳大約是

17 2^{\circ}

，很接近

18 0^{\circ}

但還沒到，所以

sin 3

是很小的正數，

P

不在坐標軸上。

第 3 題答案 (5)。圖形最高到

3

、最低到

- 3

，振幅

a = 3

。從

x = 0

到

x = \frac{π}{5}

剛好一個週期，所以

\frac{2 π}{b} = \frac{π}{5}

，

b = 10

。

a + b = 13

。

圖形從原點出發先往上走，和

a > 0

、

b > 0

相符。

第 4 題答案 (1)。以

y

軸為中心水平伸縮

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再向右平移

5

單位，是把

x

換成

x - 5

，得

y = sin (2 (x - 5)) = sin (2 x - 10)

。

平移是對

x

本身做的，所以括號要先括住

x - 5

再乘

2

；直接寫成

sin (2 x - 5)

只向右移了

2.5

。

第 5 題答案 (4)。令

u = 4 x

，先看

sin u = \frac{1}{2024}

的正解。設

α

是

0

到

\frac{π}{2}

之間滿足

sin α = \frac{1}{2024}

的角，

α

非常接近

0

。每一個週期

2 π

內有兩個解：

2 k π + α

與

2 k π + π - α

（

k = 0, 1, 2, \dots

）。由小到大排，第奇數個是前者、第偶數個是後者，而第

2023

、

2024

個剛好是同一個週期（

k = 1011

）裡的兩個：

u_{2023} = 2022 π + α

，

u_{2024} = 2022 π + π - α

，相差

π - 2 α

。換回

x = \frac{u}{4}

：

x_{2024} - x_{2023} = \frac{π - 2 α}{4}

，因為

α

幾乎是

0

，這個值最接近

\frac{π}{4}

。

從圖形看：水平線

y = \frac{1}{2024}

幾乎貼著

x

軸，它和

y = sin 4 x

的交點幾乎就是圖形與

x

軸的交點，相鄰兩個交點相隔半個週期，而

y = sin 4 x

的週期是

\frac{π}{2}

，半個週期就是

\frac{π}{4}

。

02多選題（第 6、7 題）：平移與同界角、正弦型函數的性質

第 6 題答案 (2)(5)。向左平移

\frac{3 π}{7}

是把

x

換成

x + \frac{3 π}{7}

，所以

f (x) = sin (x + \frac{3 π}{7})

。(1) 錯：那是向右平移。(2) 對。(3) 錯：

x - \frac{4 π}{7}

比

x + \frac{3 π}{7}

少了

π

，差半圈的兩個角正弦值互為相反數，所以這是

- f (x)

。(4) 錯：

x + \frac{11 π}{7}

比

x + \frac{3 π}{7}

多

\frac{8 π}{7}

，不是

2 π

的整數倍；例如代

x = - \frac{3 π}{7}

，

f (x) = sin 0 = 0

，但選項的值是

sin \frac{8 π}{7} \neq = 0

。(5) 對：

x - \frac{11 π}{7}

比

x + \frac{3 π}{7}

剛好少

2 π

，兩個角是同界角，正弦值相同。

角度差

2 π

的整數倍，函數相同；差

π

，差一個負號。

第 7 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(2) 錯：

- 1 \leq sin (3 x - \frac{π}{2}) \leq 1

，乘

2

再加

1

，得

- 1 \leq f (x) \leq 3

。(3) 對：

x = π

時角度是

3 π - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{2}

，與

\frac{π}{2}

是同界角，正弦值是

1

，

f (π) = 3

是最大值；正弦型函數的圖形對稱於通過最高點（或最低點）的鉛直線，所以

x = π

是對稱軸。(4) 對：

y = 2 sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

得

y = 2 sin (3 (x - \frac{π}{6})) = 2 sin (3 x - \frac{π}{2})

，再向上平移

1

就是

f (x)

。(5) 對：

f (1) = 2 sin (3 - \frac{π}{2}) + 1

，其中

3 - \frac{π}{2} \approx 1.43

弳。而

\frac{π}{3} \approx 1.05

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，

1.43

落在這兩個角之間；正弦在

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

之間的值都大於

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，所以

2 sin (3 - \frac{π}{2}) > 3

，

f (1) > 3 + 1

。

(1) 的

6 π

是週期

\frac{2 π}{3}

的

9

倍，圖形平移

6 π

也會重合，但「週期」指的是最小的那一個正數。

03多選題（第 8、9 題）：風力發電機與圓周上的相遇

第 8 題答案 (1)(5)。

P

繞著轉軸中心轉，離地最高是

67 + 40 = 107

公尺，最低是

67 - 40 = 27

公尺。(1) 對：振幅

a = \frac{107 - 27}{2} = 40

。(2) 錯：中線高度

d = \frac{107 + 27}{2} = 67

，就是轉軸中心的高度。(3) 錯：週期是

2 π \div \frac{2 π}{5} = 5

秒，轉一圈需

5

秒。(4) 錯：

x = 0

時

P

在最高點，所以

sin c = 1

，在

- π < c < π

內只有

c = \frac{π}{2}

。(5) 對：

27

公尺是最低點，從最高點轉到最低點要半圈，也就是半個週期

2.5

秒。

高度只和

P

轉了多少角度有關，順時針或逆時針轉，高度的式子都一樣。

第 9 題答案 (1)(3)(5)。圓周長

20 π

公尺。兩人反向而行，阿翰走的路程永遠是兩人合計路程的

\frac{3}{5}

。第一次相遇：兩人一開始相隔半圈

10 π

公尺（沿上半圓相向而行），合計走

10 π

時相遇，阿翰走了

6 π

公尺，轉過的角是

\frac{6 π}{10}

弳，也就是

10 8^{\circ}

，在第二象限，(1) 對。之後每次相遇：兩人要再合計走一整圈

20 π

，阿翰每次走

12 π

公尺，(3) 對；

12 π

公尺相當於再轉

\frac{12 π}{10}

弳，也就是

21 6^{\circ}

。所以相遇位置的方位角依序是

10 8^{\circ}

、

32 4^{\circ}

、

18 0^{\circ}

（由

54 0^{\circ}

減一圈）、

3 6^{\circ}

、

25 2^{\circ}

，第六次又回到

10 8^{\circ}

，之後每五次重複一輪。(2) 錯：第二次相遇在

32 4^{\circ}

，坐標是

(10 cos 3 6^{\circ}, - 10 sin 3 6^{\circ})

，在第四象限。(4) 錯：共有

5

個不同的相遇地點。(5) 對：

7 = 5 + 2

，第

7

次與第

2

次同一點，在

32 4^{\circ}

；

19 = 15 + 4

，第

19

次與第

4

次同一點，在

3 6^{\circ}

；

32 4^{\circ}

與

- 3 6^{\circ}

是同界角，兩點對稱於

x

軸。

每次相遇多轉

21 6^{\circ}

，轉

5

次是

108 0^{\circ}

，剛好三整圈，所以相遇點五次一輪。

04填充題（第 10～14 題）：特殊角、時鐘、扇形面積、週期、面積的最大最小

第 10 題

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{6}

在第二象限，參考角

\frac{π}{6}

，

cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。

\frac{7 π}{6}

在第三象限，參考角

\frac{π}{6}

，正切為正，

tan \frac{7 π}{6} = \frac{1}{3}

。

cos π = - 1

。所以原式

= \frac{1}{2} + (- \frac{3}{2}) \times \frac{1}{3} + (- 1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = - 1

。

先定象限決定正負，再用參考角查值。

第 11 題以

12

點方向為

0^{\circ}

、順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

40

分時在

24 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

9

點

40

分時在

27 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 29 0^{\circ}

。兩針相差

5 0^{\circ}

，是銳角。換成弧度：

50 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{18}

弳。

時針不是停在

9

上，

40

分鐘裡它又往前走了

2 0^{\circ}

。

第 12 題

B

、

C

在同一條半徑上，

\overline{B C} = \overline{O B} - \overline{O C}

，所以

R - r = 6

。著色區域是大扇形減小扇形，圓心角都是

\frac{3 π}{7}

：

\frac{1}{2} R^{2} \cdot \frac{3 π}{7} - \frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{3 π}{7} = 9 π

，整理得

R^{2} - r^{2} = 42

。因為

R^{2} - r^{2} = (R + r) (R - r) = 6 (R + r)

，所以

R + r = 7

。與

R - r = 6

聯立，得

R = \frac{13}{2}

，

r = \frac{1}{2}

。

代回檢查：

\frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{7} (\frac{169}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{7} \cdot 42 = 9 π

。

第 13 題把今天當作第

1

天。主食每

4

天一輪，卡啦雞出現在第

4, 8, 12, \dots

天（

4

的倍數）；醬料每

3

天一輪，巧克力醬出現在第

3, 6, 9, \dots

天（

3

的倍數）。兩者同時出現要是

4

和

3

的公倍數，也就是

12

的倍數：第

12

、

24

、

36

天。第三次是第

36

天，距離今天（第

1

天）是

36 - 1 = 35

天後。

今天是第

1

天，不是第

0

天，所以「幾天後」要減

1

。

第 14 題兩邊

3

、

4

夾角

θ

的三角形面積是

\frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times sin θ = 6 sin θ

。當

6 0^{\circ} \leq θ \leq 15 0^{\circ}

時，

sin θ

在

θ = 9 0^{\circ}

最大，是

1

；兩端

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} \approx 0.87

、

sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，最小是

\frac{1}{2}

。所以

M = 6

、

m = 3

，

M + m = 9

。

9 0^{\circ}

在範圍內，最大值不在端點；最小值要比兩個端點，是

15 0^{\circ}

那一端。

05混合題（第 15～17 題）：用正弦函數描述月相

第 15 題答案 (5)。

3

日是最低點（

0%

），

18

日是緊接著的最高點（

100%

），從最低點到相鄰的最高點是半個週期：

18 - 3 = 15

天。所以週期約為

30

天。

15

天只是半個週期，要再乘

2

。

第 16 題最高

100

、最低

0

：振幅

a = \frac{100 - 0}{2} = 50

，中線

d = \frac{100 + 0}{2} = 50

。週期

30

，所以

b = \frac{2 π}{30} = \frac{π}{15}

。

x = 18

是最高點，角度要是

\frac{π}{2}

的同界角：

\frac{π}{15} \times 18 + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{2} - \frac{6 π}{5} + 2 k π = - \frac{7 π}{10} + 2 k π

。在

- π < c < π

內只有

c = - \frac{7 π}{10}

。所以

(a, b, c, d) = (50, \frac{π}{15}, - \frac{7 π}{10}, 50)

。

檢查最低點：

x = 3

時角度是

\frac{π}{5} - \frac{7 π}{10} = - \frac{π}{2}

，正弦值

- 1

，

y = 0

，相符。

第 17 題

50 sin (\frac{π}{15} x - \frac{7 π}{10}) + 50 \geq 75

，即

sin (\frac{π}{15} x - \frac{7 π}{10}) \geq \frac{1}{2}

。每個月的日期在

1

到

31

之間，對應的角度在

- \frac{19 π}{30}

到

\frac{41 π}{30}

之間；在這個範圍內，正弦值不小於

\frac{1}{2}

的角度是

\frac{π}{6}

到

\frac{5 π}{6}

。所以

\frac{π}{6} \leq \frac{π}{15} x - \frac{7 π}{10} \leq \frac{5 π}{6}

。各項同乘

\frac{30}{π}

：

5 \leq 2 x - 21 \leq 25

，得

13 \leq x \leq 23

。推估每個月的

13

號到

23

號之間，月亮面積比例不小於

75%

。

也可以從最高點往兩邊數：正弦值從

1

降到

\frac{1}{2}

，角度要離開

\frac{π}{2}

有

\frac{π}{3}

，相當於

\frac{π}{3} \div \frac{π}{15} = 5

天，所以是

18 - 5 = 13

號到

18 + 5 = 23

號。對照表格：

13

日

72.8%

、

23

日

70.9%

，模型與實際資料在邊界附近差幾個百分點。

由相鄰的最低點與最高點可以一次定出振幅、中線與半個週期；解正弦不等式時先把角度的範圍寫出來，再找正弦值符合條件的那一段。

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02多選題（第 6、7 題）：平移與同界角、正弦型函數的性質

03多選題（第 8、9 題）：風力發電機與圓周上的相遇

04填充題（第 10～14 題）：特殊角、時鐘、扇形面積、週期、面積的最大最小

05混合題（第 15～17 題）：用正弦函數描述月相

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高二第一次段考
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