段考詳解範圍：二次曲線（拋物線、橢圓、雙曲線的定義與標準式、伸縮變換、斜置的雙曲線）與隨機變數（期望值、變異數、二項分布）

北一女中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題（28 分）、多重選擇題 4 題（40 分）、填充題 4 題（28 分）、混合題 2 題（第 13 題單選 4 分、第 14 題計算 8 分），配分合計 108 分，答案卷註明總分超過 100 分時以 100 分計、多重選擇題每個選項 2 分；題號與原卷相同。卷首附參考公式：X 為二項分布 B(n,p) 時，期望值 E(X)=np，標準差 σ(X)=√(np(1−p))。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題（每題 7 分，共 28 分）

已知拋物線

y = x^{2} - x + 1

上一點

A (2, 3)

，則下列何者為點

A

到拋物線焦點的距離？

(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{1}{2}$
(3) $1$
(4) $\frac{3}{2}$
(5) $\frac{5}{2}$

已知

Γ_{1} : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

，

Γ_{2} : \frac{x ^{2}}{4} - \frac{( y - 2 ) ^{2}}{9} = 1

，則

Γ_{1}

、

Γ_{2}

兩圖形共有多少個交點？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $4$
(5) 無窮多個

綠園校慶愛心園遊會活動，一項支持尼泊爾學童餐費抽獎活動，獎品為 SKZOO 娃娃，參加此活動先付

200

元可投公正硬幣

5

次，若

5

次都正面可得一個 SKZOO 娃娃；若投

4

次正面，再付

400

元可獲得一個 SKZOO 娃娃；其餘狀況需再付

800

元才可獲得一個 SKZOO 娃娃。若隨機變數

X

為獲得一個 SKZOO 娃娃所需付的金額，則下列何者最接近隨機變數

X

的期望值？

(1) $200$
(2) $400$
(3) $800$
(4) $900$
(5) $1000$

設

P (x, y)

在

Γ

：

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

上，則有多少個點

P

滿足

(x - 3)^{2} + y^{2}

為整數？

(1) $2$
(2) $7$
(3) $12$
(4) $14$
(5) 無窮多個

二、多重選擇題（每題 10 分。共 40 分）

已知

Γ : 25 x^{2} + 16 y^{2} = 400

，則下列哪些圖形與

Γ

有相同的焦點？

(1) $x^{2} + y^{2} = 400$
(2) $\frac{x ^{2}}{15} + \frac{y ^{2}}{6} = 1$
(3) $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{18} = 1$
(4) $\frac{x ^{2}}{7} - \frac{y ^{2}}{2} = - 1$
(5) $\frac{y ^{2}}{5} - \frac{x ^{2}}{4} = 0$

下圖為隨機變數

X

的機率分布圖，已知

X \sim B (20, p)

，則下列哪些選項正確？

(1) $0.6 < p < 0.7$
(2) 機率 $P (X = 0) = 0$
(3) 機率 $P (X \geq 13) \geq 0.5$
(4) 期望值 $E (X) = 13$
(5) 標準差 $σ (X) > 2.5$ 。

載入中...

下列哪些選項恰可唯一決定一拋物線？

(1) 以 $x$ 軸為準線，焦點是 $(- 1, 1)$
(2) 以 $x$ 軸為準線，焦點是 $(0, 1)$ ，且通過 $(2, 2)$
(3) 過 $(1, 1)$ 、 $(3, 2)$ 、 $(4, - 2)$ 三點
(4) 對稱軸為直線 $x - 2 = 0$ ，且通過 $(8, 4)$ 、 $(- 4, 3)$
(5) 以 $x$ 軸為準線，且過 $(- 3, 12)$ 、 $(9, 3)$

圓

C : x^{2} + y^{2} = 16

經過

[a 0 0 b]

映射後成為

Γ : \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

，其中

a, b > 0

，若圓

C

與

Γ

在第一象限交點為

P

，直線

O P

與

X

軸正向的夾角為

θ

，則下列哪些選項正確。

(1) $a = 5$
(2) $b = \frac{3}{4}$
(3) 點 $P$ 的坐標為 $(5 cos θ, 3 sin θ)$
(4) $θ < 45$
(5) 已知圓上動點 $Q (4 cos α, 4 sin α)$ 經過 $[a 0 0 b]$ 映射後為點 $Q^{'}$ ，則 $\overline{Q Q^{'}} = 1$ 。

三、填充題(每題 7 分，共 28 分)

已知

X

為一隨機變數，變異數

V a r (3 X + 5) = 27

，則標準差

σ (- 2 X)

為 ____。

一橢圓與

Γ : \frac{x ^{2}}{2} - \frac{y ^{2}}{2} = 1

有相同的焦點

F_{1}

、

F_{2}

。若橢圓上有一點

P

使得

△ P F_{1} F_{2}

為一正三角形，求此橢圓的長軸長為 ____。

假設棒球高手小谷在任一局發生失誤的機率都等於

p

（其中

0 < p < 1

），且各局之間發生失誤與否互相獨立。令隨機變數

X

代表一場比賽

9

局中出現失誤的局數，且

9

局中恰有

k

局出現失誤的機率為

P (X = k)

。已知

P (X = 1) = P (X = 2)

，則小谷在一場

9

局的比賽中出現失誤局數的期望值為 ____。

在坐標平面上，點

A (- 1, 0)

，過

F (1, 0)

的直線交拋物線

Γ

：

y^{2} = 4 x

於

P

、

Q

兩點，設

∠ P A Q = 2 θ

，且

\frac{P F}{QF} = 4

，則

tan θ

的值為 ____。

四、混合題(共12分)

四、混合題（第 13、14 題）（第 13～14 題）　小明週末進行山路長距離訓練，某段山路空拍經過擬合近似雙曲線，他建立坐標找出雙曲線的漸近線為

3 x - 4 y = 0

和

y

軸，且記得山路上一點

A (9, 8)

。試由此資訊回答下列問題。

下列何者為此雙曲線的貫軸方程式？(單選：4 分)

(1) $x = 0$
(2) $y = 0$
(3) $4 x + 3 y = 0$
(4) $2 x - y = 0$
(5) $x + 2 y = 0$

小明想得到更多此雙曲線的資訊，因此得將此雙曲線旋轉成標準式：

\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1

，試求

a^{2}

和

b^{2}

，請詳細寫出求解過程。(計算題：8 分)。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(3)

第 5 題(3)(4)

第 6 題(1)(3)

第 7 題(1)(5)

第 8 題(2)(4)(5)

第 9 題

23

第 10 題

8

第 11 題

\frac{9}{5}

第 12 題

\frac{4}{5}

第 13 題(4)

第 14 題

a^{2} = 45

，

b^{2} = \frac{45}{4}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題（第 1～4 題）：焦距、交點、期望值、焦半徑

第 1 題答案 (5)。配方：

y = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

，即

(x - \frac{1}{2})^{2} = y - \frac{3}{4}

，和

x^{2} = 4 cy

比較得

4 c = 1

，

c = \frac{1}{4}

。頂點

(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})

、開口向上，所以焦點是

(\frac{1}{2}, 1)

、準線是

y = \frac{1}{2}

。由拋物線的定義，

A

到焦點的距離等於

A

到準線的距離：

3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

。

直接算

(2 - \frac{1}{2})^{2} + (3 - 1)^{2} = \frac{9}{4} + 4 = \frac{5}{2}

也可以；用準線只要一次減法。

第 2 題答案 (1)。由

Γ_{1}

，

\frac{x ^{2}}{4} = 1 - \frac{y ^{2}}{9} \leq 1

；由

Γ_{2}

，

\frac{x ^{2}}{4} = 1 + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{9} \geq 1

。交點要同時滿足兩式，只能兩邊都等於

1

，這需要

y = 0

而且

y = 2

，不可能。所以兩圖形沒有交點。

幾何上：

Γ_{1}

夾在

- 2 \leq x \leq 2

之間，

Γ_{2}

在

x \leq - 2

或

x \geq 2

；只有在

x = \pm 2

可能相碰，但那時

Γ_{1}

的點是

(\pm 2, 0)

、

Γ_{2}

的點是

(\pm 2, 2)

。

第 3 題答案 (4)。投

5

次公正硬幣，正面次數為

5

的機率

\frac{1}{32}

，為

4

的機率

\frac{5}{32}

，其餘（

0 \sim 3

次正面）的機率

1 - \frac{6}{32} = \frac{26}{32}

。對應的總付款

X

分別是

200

、

200 + 400 = 600

、

200 + 800 = 1000

元。所以

E (X) = 200 \times \frac{1}{32} + 600 \times \frac{5}{32} + 1000 \times \frac{26}{32} = \frac{200 + 3000 + 26000}{32} = 912.5

（元），最接近

900

。

X

是總共付的錢，先付的

200

元每種情形都要算進去。

第 4 題答案 (3)。

a = 5

、

b = 4

，

c = 25 - 16 = 3

，

(3, 0)

是焦點，所求是焦半徑

r = \overline{P F}

。由

y^{2} = 16 - \frac{16}{25} x^{2}

，

r^{2} = (x - 3)^{2} + 16 - \frac{16}{25} x^{2} = \frac{9}{25} x^{2} - 6 x + 25 = (5 - \frac{3}{5} x)^{2}

；因為

- 5 \leq x \leq 5

，

5 - \frac{3}{5} x > 0

，所以

r = 5 - \frac{3}{5} x

，範圍是

2 \leq r \leq 8

。

r

為整數：

r = 2

只在

x = 5

（右頂點，一個點），

r = 8

只在

x = - 5

（左頂點，一個點），

r = 3, 4, 5, 6, 7

各對應一個

- 5 < x < 5

，各有上下兩個點，共

10

個。總共

2 + 10 = 12

個。

兩個頂點各只有一個點，不要乘

2

。

02多重選擇第 5、6 題：共焦點、二項分布圖

第 5 題

答案 (3)(4)。 $Γ : \frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{25} = 1$ ，長軸在 $y$ 軸上， $c^{2} = 25 - 16 = 9$ ，焦點 $(0, \pm 3)$ 。

(1) 錯誤。 這是圓心在原點的圓，沒有在 $(0, \pm 3)$ 的焦點。

(2) 錯誤。 $15 > 6$ ，焦點在 $x$ 軸上： $(\pm 3, 0)$ 。

(3) 正確。 $18 > 9$ ，焦點在 $y$ 軸上， $c^{2} = 18 - 9 = 9$ ，焦點 $(0, \pm 3)$ 。

(4) 正確。 改寫成 $\frac{y ^{2}}{2} - \frac{x ^{2}}{7} = 1$ ，貫軸在 $y$ 軸上， $c^{2} = 2 + 7 = 9$ ，焦點 $(0, \pm 3)$ 。

(5) 錯誤。 $\frac{y ^{2}}{5} = \frac{x ^{2}}{4}$ 是兩條直線 $y = \pm \frac{5}{2} x$ ，不是雙曲線，沒有焦點。

(5) 右邊是

0

，它其實是雙曲線

\frac{y ^{2}}{5} - \frac{x ^{2}}{4} = 1

的兩條漸近線。

第 6 題

答案 (1)(3)。由圖， $X = 13$ 的機率最大，所以 $P (X = 13) > P (X = 12)$ 且 $P (X = 13) > P (X = 14)$ 。二項分布相鄰兩項的比是 $\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{20 - k}{k + 1} \cdot \frac{p}{1 - p}$ 。

由 $\frac{P ( X = 13 )}{P ( X = 12 )} = \frac{8}{13} \cdot \frac{p}{1 - p} > 1$ 得 $p > \frac{13}{21}$ ；由 $\frac{P ( X = 14 )}{P ( X = 13 )} = \frac{7}{14} \cdot \frac{p}{1 - p} < 1$ 得 $p < \frac{2}{3}$ 。所以 $\frac{13}{21} < p < \frac{2}{3}$ （約 $0.619 < p < 0.667$ ）。

(1) 正確。 上面的範圍落在 $0.6$ 與 $0.7$ 之間。

(2) 錯誤。 $P (X = 0) = (1 - p)^{20} > 0$ ，只是小到在圖上看不出來。

(3) 正確。 從圖讀出 $X = 13, 14, \dots, 18$ 的長條高度約為 $0.18$ 、 $0.18$ 、 $0.14$ 、 $0.08$ 、 $0.04$ 、 $0.01$ ， $X = 19, 20$ 幾乎為 $0$ ，相加約 $0.63$ ，大於 $0.5$ 。

(4) 錯誤。 $E (X) = 20 p$ 。若 $E (X) = 13$ ，則 $p = 0.65$ ， $\frac{P ( X = 14 )}{P ( X = 13 )} = \frac{p}{2 ( 1 - p )} = \frac{0.65}{0.7} \approx 0.93$ ， $X = 14$ 的長條應比 $X = 13$ 矮約 $7%$ ；但圖上兩條幾乎一樣高，由 $\frac{p}{2 ( 1 - p )} \approx \frac{0.178}{0.183}$ 估得 $p \approx 0.66$ ， $E (X) \approx 13.2 \neq = 13$ 。

(5) 錯誤。 $σ (X) = 20 p (1 - p)$ 。 $p > \frac{1}{2}$ 時 $p (1 - p)$ 隨 $p$ 增大而變小，所以 $p (1 - p) < \frac{13}{21} \cdot \frac{8}{21} = \frac{104}{441}$ ， $σ (X)^{2} < \frac{2080}{441} < 4.72$ ， $σ (X) < 2.2 < 2.5$ 。

期望值

13

要

p

剛好是

0.65

；機率最大的次數是

13

只能確定

p

的範圍，不能確定

p

的值。

03多重選擇第 7、8 題：決定拋物線、伸縮變換

第 7 題

答案 (1)(5)。

(1) 正確。 焦點與準線都給了，拋物線就是 ${P ∣ \overline{P F} = d (P, L)}$ ： $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = y^{2}$ ，唯一一條。

(2) 錯誤。 焦點與準線已決定拋物線 $x^{2} = 2 y - 1$ ，但 $(2, 2)$ 到焦點的距離 $4 + 1 = 5$ ，到準線的距離 $2$ ，不相等， $(2, 2)$ 不在上面，符合條件的拋物線不存在。

(3) 錯誤。 拋物線的對稱軸方向沒有限定，過三點的拋物線不只一條。例如解聯立可得 $y = - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{13}{2} x - 4$ 與 $x = \frac{3}{4} y^{2} - \frac{1}{4} y + \frac{1}{2}$ 都通過這三點（代入可驗），兩條不同。

(4) 錯誤。 對稱軸是鉛直線 $x = 2$ ，拋物線可寫成 $y = k (x - 2)^{2} + h$ 。 $(8, 4)$ 與 $(- 4, 3)$ 到 $x = 2$ 的距離都是 $6$ ，代入得 $36 k + h = 4$ 與 $36 k + h = 3$ ，矛盾，這樣的拋物線不存在。

(5) 正確。 設焦點 $F (h, k)$ ，拋物線上的點到 $F$ 的距離等於到 $x$ 軸的距離： $(h + 3)^{2} + (k - 12)^{2} = 1 2^{2}$ ， $(h - 9)^{2} + (k - 3)^{2} = 3^{2}$ 。 $F$ 要同時在以 $(- 3, 12)$ 為圓心、半徑 $12$ 與以 $(9, 3)$ 為圓心、半徑 $3$ 的兩圓上；兩圓心距離 $1 2^{2} + 9^{2} = 15 = 12 + 3$ ，兩圓外切，交點只有一個 $F (\frac{33}{5}, \frac{24}{5})$ （不在準線上）。焦點與準線都唯一，拋物線唯一。

「唯一決定」包含兩件事：存在，而且只有一條。(2)(4) 是不存在，(3) 是不只一條。

第 8 題

答案 (2)(4)(5)。 $[a 0 0 b]$ 把 $(x, y)$ 映到 $(a x, b y)$ ，圓 $x^{2} + y^{2} = 16$ 映成 $\frac{x ^{2}}{16 a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{16 b ^{2}} = 1$ 。和 $Γ$ 比較： $16 a^{2} = 25$ 、 $16 b^{2} = 9$ ， $a = \frac{5}{4}$ 、 $b = \frac{3}{4}$ 。

(1) 錯誤。 $a = \frac{5}{4}$ 。

(2) 正確。

求交點：把 $y^{2} = 16 - x^{2}$ 代入 $Γ$ ， $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{16 - x ^{2}}{9} = 1$ ， $9 x^{2} + 400 - 25 x^{2} = 225$ ， $x^{2} = \frac{175}{16}$ ， $y^{2} = \frac{81}{16}$ 。第一象限的交點 $P (\frac{5 7}{4}, \frac{9}{4})$ 。

(3) 錯誤。 $P$ 在半徑 $4$ 的圓上， $\overline{O P} = 4$ ，所以 $P = (4 cos θ, 4 sin θ)$ ； $(5 cos θ, 3 sin θ)$ 到原點的距離不是 $4$ （例如它的 $x$ 坐標是 $\frac{25 7}{16}$ ，不等於 $\frac{5 7}{4}$ ）。

(4) 正確。 卷面寫 $45$ ，指 $4 5^{\circ}$ 。 $tan θ = \frac{9/4}{5 7 /4} = \frac{9}{5 7}$ ，而 $9^{2} = 81 < 175 = (57)^{2}$ ，所以 $tan θ < 1$ ， $θ < 4 5^{\circ}$ 。

(5) 正確。 $Q^{'} = (\frac{5}{4} \cdot 4 cos α, \frac{3}{4} \cdot 4 sin α) = (5 cos α, 3 sin α)$ ， $\overline{Q Q^{'}} = cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ 。

橢圓參數式

(5 cos α, 3 sin α)

裡的

α

不是點和原點連線的夾角；(3) 就是把這兩個角混在一起。

04填充題（第 9～12 題）：變異數、共焦點、二項分布、焦弦

第 9 題

V a r (3 X + 5) = 3^{2} V a r (X) = 9 V a r (X) = 27

，所以

V a r (X) = 3

。

σ (- 2 X) = ∣ - 2∣ σ (X) = 23

。

加常數不改變變異數；乘負數時標準差要取絕對值。

第 10 題

Γ

的

c^{2} = 2 + 2 = 4

，焦點

F_{1} (- 2, 0)

、

F_{2} (2, 0)

，

\overline{F_{1} F_{2}} = 4

。

△ P F_{1} F_{2}

是正三角形，所以

\overline{P F_{1}} = \overline{P F_{2}} = 4

。

P

在橢圓上，由橢圓的定義，長軸長

= \overline{P F_{1}} + \overline{P F_{2}} = 8

。

此時

P = (0, \pm 23)

是短軸的端點，

b = 23

、

c = 2

、

a = 4

，也可驗算

a^{2} = b^{2} + c^{2}

。

第 11 題

X \sim B (9, p)

。

P (X = 1) = P (X = 2)

：

C_{1}^{9} p (1 - p)^{8} = C_{2}^{9} p^{2} (1 - p)^{7}

，兩邊除以

p (1 - p)^{7}

（不為

0

）得

9 (1 - p) = 36 p

，

p = \frac{1}{5}

。期望值

E (X) = 9 p = \frac{9}{5}

。

第 12 題

設 $P (x_{1}, y_{1})$ 、 $Q (x_{2}, y_{2})$ 。直線過 $F (1, 0)$ 且與拋物線交於兩點，不是水平線，可設為 $x = m y + 1$ ，代入 $y^{2} = 4 x$ ： $y^{2} - 4 m y - 4 = 0$ ，所以 $y_{1} y_{2} = - 4$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{y _{1}^{2}}{4} \cdot \frac{y _{2}^{2}}{4} = \frac{( y _{1} y _{2} ) ^{2}}{16} = 1$ 。

準線是 $x = - 1$ ，由定義 $\overline{P F} = x_{1} + 1$ 、 $\overline{QF} = x_{2} + 1$ 。由 $\overline{P F} = 4 \overline{QF}$ 及 $x_{1} = \frac{1}{x _{2}}$ ： $\frac{1}{x _{2}} + 1 = 4 x_{2} + 4$ ， $4 x_{2}^{2} + 3 x_{2} - 1 = 0$ ， $(4 x_{2} - 1) (x_{2} + 1) = 0$ ， $x_{2} = \frac{1}{4}$ （ $x_{2} \geq 0$ ）， $x_{1} = 4$ 。

不妨設 $y_{1} = 4$ ，則 $y_{2} = - 1$ ， $P (4, 4)$ 、 $Q (\frac{1}{4}, - 1)$ 在 $x$ 軸的兩側。 $A (- 1, 0)$ 在 $x$ 軸上： $tan ∠ P A F = \frac{4}{4 - ( - 1 )} = \frac{4}{5}$ ， $tan ∠ Q A F = \frac{1}{\frac{1}{4} - ( - 1 )} = \frac{4}{5}$ 。兩角相等，所以 $∠ P A Q = 2∠ P A F$ ， $θ = ∠ P A F$ ， $tan θ = \frac{4}{5}$ 。

A

是準線與對稱軸的交點；對任一條焦弦，

x

軸都會平分

∠ P A Q

。

05混合題（第 13、14 題）：斜置的雙曲線

第 13 題

答案 (4)。兩漸近線 $x = 0$ 與 $3 x - 4 y = 0$ 交於原點，原點是雙曲線的中心；貫軸是兩漸近線夾角的平分線之一。到兩直線等距： $\frac{∣ x ∣}{1} = \frac{∣3 x - 4 y ∣}{5}$ ，即 $5 x = \pm (3 x - 4 y)$ ，得 $2 x - y = 0$ 或 $x + 2 y = 0$ 。

雙曲線落在兩漸近線所夾的一對對頂角內，貫軸也在這一對角內。看 $x$ 與 $3 x - 4 y$ 的正負號： $A (9, 8)$ 代入得 $9 > 0$ 、 $27 - 32 = - 5 < 0$ ； $2 x - y = 0$ 上的點 $(1, 2)$ 代入得 $1 > 0$ 、 $3 - 8 = - 5 < 0$ ，與 $A$ 同號，在同一對角內； $x + 2 y = 0$ 上的點 $(2, - 1)$ 代入得 $2 > 0$ 、 $6 + 4 = 10 > 0$ ，不同。所以貫軸是 $2 x - y = 0$ 。

第 14 題

由第 13 題，中心為原點，貫軸是 $L_{1} : 2 x - y = 0$ ，共軛軸是過中心且與它垂直的 $L_{2} : x + 2 y = 0$ 。旋轉成標準式 $\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 時，貫軸變成新的 $y$ 軸、共軛軸變成新的 $x$ 軸，所以一點的新坐標 $(x^{'}, y^{'})$ 滿足： $∣ x^{'} ∣ =$ 到貫軸 $L_{1}$ 的距離、 $∣ y^{'} ∣ =$ 到共軛軸 $L_{2}$ 的距離。

第一步：用漸近線求兩個軸長的比。 標準式的漸近線是 $y^{'} = \pm \frac{a}{b} x^{'}$ ，漸近線與貫軸（新 $y$ 軸）的夾角 $φ$ 滿足 $tan φ = \frac{b}{a}$ 。漸近線 $x = 0$ 的方向是 $(0, 1)$ ，貫軸 $2 x - y = 0$ 的方向是 $(1, 2)$ ， $cos φ = \frac{2}{5}$ 、 $sin φ = \frac{1}{5}$ ， $tan φ = \frac{1}{2}$ ，所以 $a = 2 b$ 。

第二步：代入山路上的點 A。 $A$ 到 $L_{2}$ 的距離 $\frac{∣9 + 16∣}{5} = 55$ ，到 $L_{1}$ 的距離 $\frac{∣18 - 8∣}{5} = 25$ ，所以 $y^{'2} = 125$ 、 $x^{'2} = 20$ 。代入 $\frac{y ^{'2}}{4 b ^{2}} - \frac{x ^{'2}}{b ^{2}} = 1$ ： $\frac{125}{4 b ^{2}} - \frac{20}{b ^{2}} = \frac{45}{4 b ^{2}} = 1$ ， $b^{2} = \frac{45}{4}$ ， $a^{2} = 4 b^{2} = 45$ 。

答： $a^{2} = 45$ ， $b^{2} = \frac{45}{4}$ 。

另解：以

x = 0

、

3 x - 4 y = 0

為漸近線的雙曲線可設為

x (3 x - 4 y) = k

，代

A

得

k = - 45

，即

3 x^{2} - 4 x y + 45 = 0

；用旋轉矩陣轉到貫軸方向後化為

4 x^{'2} - y^{'2} = - 45

，同樣得

a^{2} = 45

、

b^{2} = \frac{45}{4}

。

二次曲線的題目先回到定義：拋物線看焦點與準線、橢圓看兩焦距和、雙曲線的貫軸是兩漸近線夾角的平分線；二項分布看相鄰兩項的比。

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常見問題

北一女中 114 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 114 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題兩個頂點各只有一個點，不能乘 2；第 6 題由長條圖只能確定 p 的範圍，期望值不一定是 13；第 7 題要同時檢查存在與只有一條；第 8 題橢圓參數式的角不是夾角；第 12、14 題要先找出焦弦端點或貫軸。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自北一女中 114 學年度上學期高三第二次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 114 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解