段考詳解範圍：第一冊多項式函數

北一女中 114 上
高一第三次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題第 1～4 題（每題 6 分，共 24 分）、多選題第 5～6 題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 20 分）、選填題 A～F 即本頁第 7～12 題（每題 6 分，共 36 分）、題組題甲、乙、丙即本頁第 13～15 題（甲為多選題 10 分，乙、丙為單選題各 5 分，共 20 分），合計 100 分。卷面註明可使用限定機型的計算器。答案已與學校公布的答案逐題核對，第 14 題學校答案為 (3)，本站認為 (1) 也成立，詳見該題詳解。

一、單選題（占 24 分，每題 6 分）每題有 5 個選項，只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 6 分；答錯或未作答者，該題以零分計算。

x^{115} + 115

除以

2026 x + 2026

的餘式為？

(1) $113$
(2) $114$
(3) $115$
(4) $116$
(5) $117$

令

k

為實數，若二次不等式

k x^{2} - 12 x + k + 5 > 0

無實數解，試求

k

的範圍為？

(1) $k > 4$
(2) $k \geq 4$
(3) $- 9 \leq k \leq 4$
(4) $k \leq - 9$
(5) $k < - 9$

令

f (x)

為多項式，已知

y = f (x)

圖形的對稱中心與

y = 114 (x - 2)^{2} + 3

圖形的頂點相同，且

y = f (x)

的廣域特徵和

y = x^{3}

的廣域特徵相同。若

x - 1

是

f (x)

的因式，試求

f (5)

的值為？

(1) $- 36$
(2) $- 6$
(3) $0$
(4) $6$
(5) $36$

令

f (x)

為一次多項式，

g (x)

為二次多項式，兩者滿足以下條件： (a)

f (x) \geq 0

的解為

x \leq 6

　　(b)

g (x) > - 3

的解為

x \neq = 6

試問下列選項中，何者最可能是

y = f (x) \cdot g (x)

的圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

二、多選題（占 20 分，每題 10 分，每個選項 2 分）每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，每答對一個選項得 2 分；所有選項均未作答者，該題以零分計算。

令

f (x) = x^{5} - 10 x^{4} - 26 x^{3} + 25 x^{2} - 11 x + 8

，試選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的各項係數和為 $- 13$
(2) $f (12) = 32$
(3) $f (x)$ 除以 $2 x - 24$ 的餘式為 $40$
(4) $f (x)$ 除以 $2 x - 24$ 的商式的常數項 $= \frac{1}{2}$
(5) $f (x)$ 除以 $x (x - 1) (x - 12)$ 的餘式為 $2 x^{2} - 23 x + 8$

令

f (x)

為一多項式，滿足以下條件： (a)

f (x)

除以

x - 2

的商式為

Q_{1} (x)

，餘式為

5

(b)

Q_{1} (x)

除以

x - 2

的商式為

Q_{2} (x)

，餘式為

4

(c)

Q_{2} (x)

除以

x - 2

的商式為

1

，餘式為

0

下列有關

f (x)

的敘述，試選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的常數項為 $5$
(2) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = x^{3} + 4 x$ 的圖形平移而得
(3) $f (x)$ 除以 $(x - 2)^{2}$ 的餘式為 $4 x + 13$
(4) $f (x)$ 在 $x = 2$ 的一次近似為 $4 x + 5$
(5) $f (1.99)$ 的近似值（四捨五入至小數點後第二位）約為 $5.04$

三、選填題（占 36 分，每題 6 分）每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

a x^{3} + 3 a x^{2} + 4 b x + 12

除以

x^{3} + 3 x^{2} + 1

的餘式為

8 x + 5

，求數對

(a, b) =

____。

B. 當

- 2 \leq x \leq 4

時，

f (x) = 2 x^{2} - 12 x + a

有最大值

b

及最小值

- 10

，求數對

(a, b) =

____。

C. 設

f (x) = (x - 3) (x^{2} + x + 3) + x

，令

f (x)

除以

x - 3

的商式為

Q (x)

，餘式為

r (x)

，則

Q (1) + r (1) =

____。

D. 滿足不等式

(x^{2} - 5 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4) (7 - x^{2}) (7 + x^{2}) \geq 0

的整數共有 ____ 個。

E. 令

f (x) = x^{2} - 2 c x + c^{2} - 4

，其中

c

為整數。考慮坐標平面上兩點

A (3, 0)

、

B (3, 21)

，若

y = f (x)

的圖形與線段

\overline{A B}

有交點，則

c

的範圍為 ____

\leq c \leq

____ 或 ____

\leq c \leq

____。

F. 設

a, b

皆為正數，函數

f (x) = - x^{3} + 6 a x^{2} + 4 x - b

的圖形中有兩處的一次近似皆為斜率為

4

的斜直線，且其中一條直線方程式為

y = 4 x

，則

\frac{b}{a ^{3}}

之值為 ____。

四、題組題（占 20 分）多選題至少有一個正確答案，所有選項均未作答者，該題以零分計算；單選題答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

題組（甲、乙、丙）（第 13～15 題）　小北透過繪圖軟體觀察函數圖形。下圖為

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形。透過繪圖軟體的功能可進行以下操作：操作A：將數值

a

變大，此時

b, c

不變。操作B：將數值

b

變大，此時

a, c

不變。操作C：將數值

c

變大，此時

a, b

不變。每一次操作時，數值只會變大不會變小；無論將數值變得多大，每進行一個操作稱為操作一次。試回答下列問題：

甲. 若此時

y = f (x)

圖形的對稱軸為

x = - 1

，試選出正確的選項。（多選題，10 分，每個選項 2 分）

(1) $a > 0$
(2) $b < 0$
(3) $c > 0$
(4) $b^{2} - 4 a c < 0$
(5) $b > a$

載入中...

以下乙、丙兩題為單選題，請由下列 (1) 到 (8) 選項中，選出正確或最適當的選項。 (1) 只進行操作A (2) 只進行操作B (3) 只進行操作C (4) 先進行操作A再進行操作B (5) 先進行操作A再進行操作C (6) 先進行操作B再進行操作C (7) 先進行操作A，然後進行操作B，再進行操作C (8) 不可能發生乙. 考慮操作次數最少的情況下，若操作後的不等式

f (x) > 0

恆成立，則可能的操作為 ____。（單選題，5 分）

以下乙、丙兩題為單選題，請由下列 (1) 到 (8) 選項中，選出正確或最適當的選項。 (1) 只進行操作A (2) 只進行操作B (3) 只進行操作C (4) 先進行操作A再進行操作B (5) 先進行操作A再進行操作C (6) 先進行操作B再進行操作C (7) 先進行操作A，然後進行操作B，再進行操作C (8) 不可能發生丙. 考慮操作次數最少的情況下，若操作後的方程式

f (x) = 0

的解為兩正實數解，則可能的操作為 ____。（單選題，5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(3)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題(2)

第 7 題

(7, 2)

第 8 題

(8, 40)

第 9 題

9

第 10 題

7

第 11 題

- 2 \leq c \leq 1

或

5 \leq c \leq 8

第 12 題

32

第 13 題(1)(3)(5)

第 14 題(3)（學校答案；(1) 亦成立，見詳解）

第 15 題(8)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：餘式定理與二次不等式無解

第 1 題

答案 (2)。

① 除式 $2026 x + 2026 = 2026 (x + 1)$ 是一次式，餘式是常數 $r$ ： $x^{115} + 115 = 2026 (x + 1) q (x) + r$ 。

② 代 $x = - 1$ ： $(- 1)^{115} + 115 = 0 + r$ ，所以 $r = - 1 + 115 = 114$ 。

答案 (2)。

除以

2026 (x + 1)

與除以

x + 1

的餘式相同，只差在商式要除以

2026

。

第 2 題

答案 (4)。

① 「 $k x^{2} - 12 x + k + 5 > 0$ 無實數解」等於「對所有實數 $x$ ， $k x^{2} - 12 x + k + 5 \leq 0$ 」。題目說是二次不等式，所以 $k \neq = 0$ 。

② 二次式恆 $\leq 0$ ：圖形開口向下（ $k < 0$ ），而且最多碰到 $x$ 軸（判別式 $\leq 0$ ）。

③ 判別式： $(- 12)^{2} - 4 k (k + 5) \leq 0$ ，即 $k^{2} + 5 k - 36 \geq 0$ ， $(k + 9) (k - 4) \geq 0$ ，得 $k \leq - 9$ 或 $k \geq 4$ 。

④ 再配合 $k < 0$ ，得 $k \leq - 9$ 。

答案 (4)。

載入中...

k = - 9

時式子是

- (3 x + 2)^{2}

，在

x = - \frac{2}{3}

等於

0

，仍然不大於

0

，所以等號要取。

02單選 3、4：對稱中心與乘積的圖形

第 3 題

答案 (5)。

① $y = 114 (x - 2)^{2} + 3$ 的頂點是 $(2, 3)$ ，所以 $y = f (x)$ 的對稱中心是 $(2, 3)$ ；有對稱中心、廣域特徵像 $y = x^{3}$ ， $f (x)$ 是領導係數 $1$ 的三次式。

② 以對稱中心為中心可寫成 $f (x) = (x - 2)^{3} + p (x - 2) + 3$ 。

③ $x - 1$ 是因式， $f (1) = 0$ ： $(- 1)^{3} + p (- 1) + 3 = 0$ ，得 $p = 2$ 。

④ $f (5) = 3^{3} + 2 \cdot 3 + 3 = 36$ 。

答案 (5)。

載入中...

第 4 題

答案 (3)。

① 一次式 $f (x) \geq 0$ 的解為 $x \leq 6$ ： $f (6) = 0$ 且 $x$ 越大 $f (x)$ 越小，所以 $f (x) = m (6 - x)$ ， $m > 0$ 。

② $g (x) + 3 > 0$ 的解為 $x \neq = 6$ ：二次式 $g (x) + 3$ 只在 $x = 6$ 等於 $0$ 、其他地方都是正的，所以 $g (x) + 3 = n (x - 6)^{2}$ ， $n > 0$ 。

③ 相乘： $f (x) g (x) = - m (x - 6) [n (x - 6)^{2} - 3] = - mn (x - 6)^{3} + 3 m (x - 6)$ 。

④ 領導係數 $- mn < 0$ ：圖形左上右下，(1)(2)(5) 不合。

⑤ 對稱中心是 $(6, 0)$ ，在 $x$ 軸正向上；在它附近圖形近似直線 $y = 3 m (x - 6)$ ，斜率 $3 m > 0$ ，所以穿過中心時是往上走的，先有一個低點再有一個高點。

⑥ (4) 在中心附近是往下走的，不合；(3) 符合。

答案 (3)。

載入中...

只看領導係數只能排除到剩 (3)(4)；要再用「對稱中心附近的一次近似」判斷中間那段是上升還是下降。

03多選 5、6：餘式定理與連續除法

第 5 題

答案 (1)(4)(5)。

(1) 正確。 各項係數和 $= f (1) = 1 - 10 - 26 + 25 - 11 + 8 = - 13$ 。

(2) 錯誤。 用綜合除法除以 $x - 12$ ，係數 $1, - 10, - 26, 25, - 11, 8$ 依序得 $1, 2, - 2, 1, 1$ ，餘數 $20$ ，所以 $f (12) = 20$ 。

(3) 錯誤。 由 (2)， $f (x) = (x - 12) q (x) + 20$ ，其中 $q (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ 。

因為 $2 x - 24 = 2 (x - 12)$ ，所以 $f (x) = (2 x - 24) \cdot \frac{1}{2} q (x) + 20$ ，餘式是 $20$ ，不是 $40$ 。

(4) 正確。 商式是 $\frac{1}{2} q (x)$ ，常數項 $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ 。

(5) 正確。 餘式 $r (x)$ 次數小於 $3$ ，且 $r (0) = f (0) = 8$ 、 $r (1) = f (1) = - 13$ 、 $r (12) = f (12) = 20$ 。

代入 $2 x^{2} - 23 x + 8$ ： $8$ 、 $2 - 23 + 8 = - 13$ 、 $288 - 276 + 8 = 20$ ，三個值都對；次數不超過 $2$ 的多項式由三個值唯一決定，所以餘式就是 $2 x^{2} - 23 x + 8$ 。

除式乘上常數

2

，餘式不變、商式變成原來的

\frac{1}{2}

。

第 6 題

答案 (2)。

① 由 (c)： $Q_{2} (x) = (x - 2) \cdot 1 + 0 = x - 2$ 。

② 由 (b)： $Q_{1} (x) = (x - 2) Q_{2} (x) + 4 = (x - 2)^{2} + 4$ 。

③ 由 (a)： $f (x) = (x - 2) Q_{1} (x) + 5 = (x - 2)^{3} + 4 (x - 2) + 5$ 。

(1) 錯誤。 常數項 $f (0) = - 8 - 8 + 5 = - 11$ 。

(2) 正確。 把 $y = x^{3} + 4 x$ 的圖形向右平移 $2$ 、向上平移 $5$ ，就是 $y = (x - 2)^{3} + 4 (x - 2) + 5$ 。

(3) 錯誤。 $(x - 2)^{3}$ 是 $(x - 2)^{2}$ 的倍式，所以餘式是 $4 (x - 2) + 5 = 4 x - 3$ 。

(4) 錯誤。 在 $x = 2$ 附近 $(x - 2)^{3}$ 非常小，一次近似是 $y = 4 (x - 2) + 5 = 4 x - 3$ 。

(5) 錯誤。 $f (1.99) = (- 0.01)^{3} + 4 (- 0.01) + 5 = 4.959999$ ，四捨五入約為 $4.96$ 。

載入中...

04選填 A、B、C：由餘式求係數、區間極值、商式與餘式

第 7 題

答案 $(a, b) = (7, 2)$ 。

① 拆成除式的倍數： $a x^{3} + 3 a x^{2} + 4 b x + 12 = a (x^{3} + 3 x^{2} + 1) + 4 b x + 12 - a$ 。

② $4 b x + 12 - a$ 次數小於 $3$ ，它就是餘式。

③ 比較 $4 b x + 12 - a = 8 x + 5$ ： $4 b = 8$ 、 $12 - a = 5$ ，得 $b = 2$ 、 $a = 7$ 。

所以 $(a, b) = (7, 2)$ 。

第 8 題

答案 $(a, b) = (8, 40)$ 。

① 配方： $f (x) = 2 (x - 3)^{2} + a - 18$ ，開口向上，頂點 $x = 3$ 在區間 $[- 2, 4]$ 內。

② 最小值在頂點： $a - 18 = - 10$ ，得 $a = 8$ 。

③ 最大值在離 $x = 3$ 最遠的端點 $x = - 2$ ： $f (- 2) = 2 \cdot 25 - 10 = 40$ （另一端 $f (4) = 2 - 10 = - 8$ ）。

所以 $(a, b) = (8, 40)$ 。

載入中...

第 9 題

答案 $9$ 。

① 題目的式子還不是除法原理的形式：餘式要是常數，而 $x$ 不是常數。

② 把 $x$ 拆成 $(x - 3) + 3$ ： $f (x) = (x - 3) (x^{2} + x + 3) + (x - 3) + 3 = (x - 3) (x^{2} + x + 4) + 3$ 。

③ 所以 $Q (x) = x^{2} + x + 4$ 、 $r (x) = 3$ ， $Q (1) + r (1) = 6 + 3 = 9$ 。

答案 $9$ 。

若直接把

x^{2} + x + 3

當商、

x

當餘式，會算出

5 + 1 = 6

，這是常見的錯。

05選填 D、E、F：高次不等式、拋物線與線段、一次近似

第 10 題

答案 $7$ 。

① 因式分解： $x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ ， $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ ； $7 + x^{2}$ 恆正，可以約去。

② 不等式變成 $(x - 1) (x - 4) (x - 2)^{2} (7 - x^{2}) \geq 0$ 。

③ $x = 2$ 時左邊為 $0$ ，成立。

④ $x \neq = 2$ 時 $(x - 2)^{2} > 0$ 可約去，再把 $7 - x^{2}$ 改寫成 $- (x^{2} - 7)$ ： $(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 7) \leq 0$ 。

⑤ 分界點 $- 7 < 1 < 7 < 4$ ，由最右邊往左正負交替：解為 $- 7 \leq x \leq 1$ 或 $7 \leq x \leq 4$ 。

⑥ $7 \approx 2.65$ 。整數： $- 2, - 1, 0, 1$ ； $3, 4$ ；再加上 $x = 2$ 。

共 $4 + 2 + 1 = 7$ 個。

載入中...

(x - 2)^{2}

這個平方因式不影響正負，但它讓

x = 2

一定成立，最容易漏掉。

第 11 題

答案 $- 2 \leq c \leq 1$ 或 $5 \leq c \leq 8$ 。

① 線段 $\overline{A B}$ 是直線 $x = 3$ 上 $0 \leq y \leq 21$ 的部分。

② 拋物線與直線 $x = 3$ 只交於一點 $(3, f (3))$ ，所以有交點 ⇔ $0 \leq f (3) \leq 21$ 。

③ $f (x) = (x - c)^{2} - 4$ ， $f (3) = (c - 3)^{2} - 4$ ： $0 \leq (c - 3)^{2} - 4 \leq 21$ ，即 $4 \leq (c - 3)^{2} \leq 25$ 。

④ 得 $2 \leq ∣ c - 3∣ \leq 5$ ： $c - 3$ 在 $- 5$ 到 $- 2$ 或 $2$ 到 $5$ 之間。

所以 $- 2 \leq c \leq 1$ 或 $5 \leq c \leq 8$ 。

載入中...

對答案卡時依序劃記：⑭ 劃「−」、⑮

2

、⑯

1

、⑰

5

、⑱

8

。

第 12 題

答案 $32$ 。

① 直線 $y = 4 x + k$ 是圖形在 $x = t$ 處的一次近似 ⇔ $f (x) - (4 x + k)$ 有因式 $(x - t)^{2}$ 。

理由：把 $f (x)$ 寫成 $(x - t)$ 的多項式 $\dots + p (x - t)^{2} + q (x - t) + r$ ，一次近似是 $q (x - t) + r$ ； $f (x)$ 減去它，剩下每一項都含 $(x - t)^{2}$ 。

② $f (x) - 4 x - k = - x^{3} + 6 a x^{2} - (b + k)$ ，令它等於 $- (x - t)^{2} (x - s)$ 。

③ 展開右邊： $- x^{3} + (2 t + s) x^{2} - (t^{2} + 2 t s) x + t^{2} s$ ，比較係數：

$2 t + s = 6 a, t^{2} + 2 t s = 0, t^{2} s = - (b + k)$

④ 由 $t (t + 2 s) = 0$ ：若 $t = 0$ ，則 $s = 6 a$ 、 $k = - b$ ，直線是 $y = 4 x - b$ 。

⑤ 若 $t = - 2 s$ ，則 $- 3 s = 6 a$ ， $s = - 2 a$ 、 $t = 4 a$ ， $k = 32 a^{3} - b$ ，直線是 $y = 4 x + 32 a^{3} - b$ 。

⑥ $b > 0$ ，所以 $y = 4 x - b$ 不是 $y = 4 x$ ；只能 $32 a^{3} - b = 0$ ， $b = 32 a^{3}$ 。

所以 $\frac{b}{a ^{3}} = 32$ 。

載入中...

兩個切點

x = 0

與

x = 4 a

對稱於對稱中心

x = 2 a

，這和三次函數圖形對稱於對稱中心一致。

06題組甲、乙、丙：改變二次函數的係數

第 13 題

答案 (1)(3)(5)。

圖形開口向上、與 $x$ 軸交兩點、與 $y$ 軸交在原點上方（看圖）。對稱軸 $x = - \frac{b}{2 a} = - 1$ ，所以 $b = 2 a$ 。

(1) 正確。 開口向上， $a > 0$ 。

(2) 錯誤。 $b = 2 a > 0$ 。

(3) 正確。 $c = f (0)$ 是 $y$ 截距，在原點上方， $c > 0$ 。

(4) 錯誤。 圖形與 $x$ 軸交於兩點， $b^{2} - 4 a c > 0$ 。

(5) 正確。 $b = 2 a > a$ （因為 $a > 0$ ）。

載入中...

第 14 題

學校答案 (3)；本站認為 (1) 也成立。

① 原本 $a > 0$ 、 $b > 0$ 、 $c > 0$ ， $b^{2} - 4 a c > 0$ （與 $x$ 軸交兩點）。

② $f (x) > 0$ 恆成立 ⇔ $a > 0$ 且 $b^{2} - 4 a c < 0$ 。只做一次操作就要讓 $b^{2} - 4 a c$ 變成負的。

③ 操作B： $b$ 變大， $b^{2}$ 變大，判別式更大，不行。

④ 操作C： $c$ 變大到 $c > \frac{b ^{2}}{4 a}$ ，判別式就小於 $0$ ，圖形整條往上移到 $x$ 軸上方。可以。

⑤ 操作A： $a$ 變大到 $a > \frac{b ^{2}}{4 c}$ ，同樣使判別式小於 $0$ ，而且 $a$ 仍為正。也可以。

⑥ 所以操作次數最少是一次，可以「只進行操作C」，也可以「只進行操作A」。

學校公布的答案是 (3)；依題意 (1) 同樣成立。

載入中...

例：取

f (x) = x^{2} + 2 x + 0.3

（開口向上、對稱軸

x = - 1

、兩負根、

c > 0

），只把

a

從

1

改成

4

，得

4 x^{2} + 2 x + 0.3

，判別式

4 - 4.8 < 0

，

f (x) > 0

恆成立。

第 15 題

答案 (8)。

① 兩正實數解 $α, β$ 需要 $α + β = - \frac{b}{a} > 0$ 。

② 原本 $a > 0$ 、 $b > 0$ ，而操作只會讓數值變大： $a$ 、 $b$ 一直是正的。

③ 所以 $- \frac{b}{a}$ 永遠是負的，兩根的和不可能是正的。

④ 操作C 只改 $c$ ，不影響兩根的和；不論怎麼操作都做不到。

答案 (8) 不可能發生。

載入中...

從圖形看：對稱軸

x = - \frac{b}{2 a}

一直在

y

軸左邊，兩個根不可能都跑到右邊。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第三次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 114 上高一第三次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 114 上高一第三次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要先由兩個不等式的解反推一次式與二次式的樣子，再看乘積的領導係數與對稱中心附近的斜率；第 10 題的因式 x 減 2 的平方會讓 x 等於 2 單獨成立，最容易漏算；第 12 題兩處斜率相同的近似直線，要分清楚哪一條才是 y 等於 4x；第 14 題只把 a 變大或只把 c 變大都能讓判別式變負。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自北一女中 114 學年度上學期高一第三次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第一冊多項式函數

北一女中 114 上
高一第三次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單選題（占 24 分，每題 6 分）每題有 5 個選項，只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 6 分；答錯或未作答者，該題以零分計算。

x^{115} + 115

除以

2026 x + 2026

的餘式為？

(1) $113$
(2) $114$
(3) $115$
(4) $116$
(5) $117$

令

k

為實數，若二次不等式

k x^{2} - 12 x + k + 5 > 0

無實數解，試求

k

的範圍為？

(1) $k > 4$
(2) $k \geq 4$
(3) $- 9 \leq k \leq 4$
(4) $k \leq - 9$
(5) $k < - 9$

令

f (x)

為多項式，已知

y = f (x)

圖形的對稱中心與

y = 114 (x - 2)^{2} + 3

圖形的頂點相同，且

y = f (x)

的廣域特徵和

y = x^{3}

的廣域特徵相同。若

x - 1

是

f (x)

的因式，試求

f (5)

的值為？

(1) $- 36$
(2) $- 6$
(3) $0$
(4) $6$
(5) $36$

令

f (x)

為一次多項式，

g (x)

為二次多項式，兩者滿足以下條件： (a)

f (x) \geq 0

的解為

x \leq 6

　　(b)

g (x) > - 3

的解為

x \neq = 6

試問下列選項中，何者最可能是

y = f (x) \cdot g (x)

的圖形？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

令

f (x) = x^{5} - 10 x^{4} - 26 x^{3} + 25 x^{2} - 11 x + 8

，試選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的各項係數和為 $- 13$
(2) $f (12) = 32$
(3) $f (x)$ 除以 $2 x - 24$ 的餘式為 $40$
(4) $f (x)$ 除以 $2 x - 24$ 的商式的常數項 $= \frac{1}{2}$
(5) $f (x)$ 除以 $x (x - 1) (x - 12)$ 的餘式為 $2 x^{2} - 23 x + 8$

令

f (x)

為一多項式，滿足以下條件： (a)

f (x)

除以

x - 2

的商式為

Q_{1} (x)

，餘式為

5

(b)

Q_{1} (x)

除以

x - 2

的商式為

Q_{2} (x)

，餘式為

4

(c)

Q_{2} (x)

除以

x - 2

的商式為

1

，餘式為

0

下列有關

f (x)

的敘述，試選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的常數項為 $5$
(2) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = x^{3} + 4 x$ 的圖形平移而得
(3) $f (x)$ 除以 $(x - 2)^{2}$ 的餘式為 $4 x + 13$
(4) $f (x)$ 在 $x = 2$ 的一次近似為 $4 x + 5$
(5) $f (1.99)$ 的近似值（四捨五入至小數點後第二位）約為 $5.04$

三、選填題（占 36 分，每題 6 分）每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

a x^{3} + 3 a x^{2} + 4 b x + 12

除以

x^{3} + 3 x^{2} + 1

的餘式為

8 x + 5

，求數對

(a, b) =

____。

B. 當

- 2 \leq x \leq 4

時，

f (x) = 2 x^{2} - 12 x + a

有最大值

b

及最小值

- 10

，求數對

(a, b) =

____。

C. 設

f (x) = (x - 3) (x^{2} + x + 3) + x

，令

f (x)

除以

x - 3

的商式為

Q (x)

，餘式為

r (x)

，則

Q (1) + r (1) =

____。

D. 滿足不等式

(x^{2} - 5 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4) (7 - x^{2}) (7 + x^{2}) \geq 0

的整數共有 ____ 個。

E. 令

f (x) = x^{2} - 2 c x + c^{2} - 4

，其中

c

為整數。考慮坐標平面上兩點

A (3, 0)

、

B (3, 21)

，若

y = f (x)

的圖形與線段

\overline{A B}

有交點，則

c

的範圍為 ____

\leq c \leq

____ 或 ____

\leq c \leq

____。

F. 設

a, b

皆為正數，函數

f (x) = - x^{3} + 6 a x^{2} + 4 x - b

的圖形中有兩處的一次近似皆為斜率為

4

的斜直線，且其中一條直線方程式為

y = 4 x

，則

\frac{b}{a ^{3}}

之值為 ____。

題組（甲、乙、丙）（第 13～15 題）　小北透過繪圖軟體觀察函數圖形。下圖為

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形。透過繪圖軟體的功能可進行以下操作：操作A：將數值

a

變大，此時

b, c

不變。操作B：將數值

b

變大，此時

a, c

不變。操作C：將數值

c

變大，此時

a, b

不變。每一次操作時，數值只會變大不會變小；無論將數值變得多大，每進行一個操作稱為操作一次。試回答下列問題：

甲. 若此時

y = f (x)

圖形的對稱軸為

x = - 1

，試選出正確的選項。（多選題，10 分，每個選項 2 分）

(1) $a > 0$
(2) $b < 0$
(3) $c > 0$
(4) $b^{2} - 4 a c < 0$
(5) $b > a$

載入中...

f (x) > 0

恆成立，則可能的操作為 ____。（單選題，5 分）

f (x) = 0

的解為兩正實數解，則可能的操作為 ____。（單選題，5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(3)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題(2)

第 7 題

(7, 2)

第 8 題

(8, 40)

第 9 題

9

第 10 題

7

第 11 題

- 2 \leq c \leq 1

或

5 \leq c \leq 8

第 12 題

32

第 13 題(1)(3)(5)

第 14 題(3)（學校答案；(1) 亦成立，見詳解）

第 15 題(8)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：餘式定理與二次不等式無解

第 1 題

答案 (2)。

① 除式 $2026 x + 2026 = 2026 (x + 1)$ 是一次式，餘式是常數 $r$ ： $x^{115} + 115 = 2026 (x + 1) q (x) + r$ 。

② 代 $x = - 1$ ： $(- 1)^{115} + 115 = 0 + r$ ，所以 $r = - 1 + 115 = 114$ 。

答案 (2)。

除以

2026 (x + 1)

與除以

x + 1

的餘式相同，只差在商式要除以

2026

。

第 2 題

答案 (4)。

① 「 $k x^{2} - 12 x + k + 5 > 0$ 無實數解」等於「對所有實數 $x$ ， $k x^{2} - 12 x + k + 5 \leq 0$ 」。題目說是二次不等式，所以 $k \neq = 0$ 。

② 二次式恆 $\leq 0$ ：圖形開口向下（ $k < 0$ ），而且最多碰到 $x$ 軸（判別式 $\leq 0$ ）。

③ 判別式： $(- 12)^{2} - 4 k (k + 5) \leq 0$ ，即 $k^{2} + 5 k - 36 \geq 0$ ， $(k + 9) (k - 4) \geq 0$ ，得 $k \leq - 9$ 或 $k \geq 4$ 。

④ 再配合 $k < 0$ ，得 $k \leq - 9$ 。

答案 (4)。

載入中...

k = - 9

時式子是

- (3 x + 2)^{2}

，在

x = - \frac{2}{3}

等於

0

，仍然不大於

0

，所以等號要取。

02單選 3、4：對稱中心與乘積的圖形

第 3 題

答案 (5)。

① $y = 114 (x - 2)^{2} + 3$ 的頂點是 $(2, 3)$ ，所以 $y = f (x)$ 的對稱中心是 $(2, 3)$ ；有對稱中心、廣域特徵像 $y = x^{3}$ ， $f (x)$ 是領導係數 $1$ 的三次式。

② 以對稱中心為中心可寫成 $f (x) = (x - 2)^{3} + p (x - 2) + 3$ 。

③ $x - 1$ 是因式， $f (1) = 0$ ： $(- 1)^{3} + p (- 1) + 3 = 0$ ，得 $p = 2$ 。

④ $f (5) = 3^{3} + 2 \cdot 3 + 3 = 36$ 。

答案 (5)。

載入中...

第 4 題

答案 (3)。

① 一次式 $f (x) \geq 0$ 的解為 $x \leq 6$ ： $f (6) = 0$ 且 $x$ 越大 $f (x)$ 越小，所以 $f (x) = m (6 - x)$ ， $m > 0$ 。

② $g (x) + 3 > 0$ 的解為 $x \neq = 6$ ：二次式 $g (x) + 3$ 只在 $x = 6$ 等於 $0$ 、其他地方都是正的，所以 $g (x) + 3 = n (x - 6)^{2}$ ， $n > 0$ 。

③ 相乘： $f (x) g (x) = - m (x - 6) [n (x - 6)^{2} - 3] = - mn (x - 6)^{3} + 3 m (x - 6)$ 。

④ 領導係數 $- mn < 0$ ：圖形左上右下，(1)(2)(5) 不合。

⑥ (4) 在中心附近是往下走的，不合；(3) 符合。

答案 (3)。

載入中...

只看領導係數只能排除到剩 (3)(4)；要再用「對稱中心附近的一次近似」判斷中間那段是上升還是下降。

03多選 5、6：餘式定理與連續除法

第 5 題

答案 (1)(4)(5)。

(1) 正確。 各項係數和 $= f (1) = 1 - 10 - 26 + 25 - 11 + 8 = - 13$ 。

(2) 錯誤。 用綜合除法除以 $x - 12$ ，係數 $1, - 10, - 26, 25, - 11, 8$ 依序得 $1, 2, - 2, 1, 1$ ，餘數 $20$ ，所以 $f (12) = 20$ 。

(3) 錯誤。 由 (2)， $f (x) = (x - 12) q (x) + 20$ ，其中 $q (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ 。

因為 $2 x - 24 = 2 (x - 12)$ ，所以 $f (x) = (2 x - 24) \cdot \frac{1}{2} q (x) + 20$ ，餘式是 $20$ ，不是 $40$ 。

(4) 正確。 商式是 $\frac{1}{2} q (x)$ ，常數項 $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ 。

(5) 正確。 餘式 $r (x)$ 次數小於 $3$ ，且 $r (0) = f (0) = 8$ 、 $r (1) = f (1) = - 13$ 、 $r (12) = f (12) = 20$ 。

除式乘上常數

2

，餘式不變、商式變成原來的

\frac{1}{2}

。

第 6 題

答案 (2)。

① 由 (c)： $Q_{2} (x) = (x - 2) \cdot 1 + 0 = x - 2$ 。

② 由 (b)： $Q_{1} (x) = (x - 2) Q_{2} (x) + 4 = (x - 2)^{2} + 4$ 。

③ 由 (a)： $f (x) = (x - 2) Q_{1} (x) + 5 = (x - 2)^{3} + 4 (x - 2) + 5$ 。

(1) 錯誤。 常數項 $f (0) = - 8 - 8 + 5 = - 11$ 。

(2) 正確。 把 $y = x^{3} + 4 x$ 的圖形向右平移 $2$ 、向上平移 $5$ ，就是 $y = (x - 2)^{3} + 4 (x - 2) + 5$ 。

(3) 錯誤。 $(x - 2)^{3}$ 是 $(x - 2)^{2}$ 的倍式，所以餘式是 $4 (x - 2) + 5 = 4 x - 3$ 。

(4) 錯誤。 在 $x = 2$ 附近 $(x - 2)^{3}$ 非常小，一次近似是 $y = 4 (x - 2) + 5 = 4 x - 3$ 。

(5) 錯誤。 $f (1.99) = (- 0.01)^{3} + 4 (- 0.01) + 5 = 4.959999$ ，四捨五入約為 $4.96$ 。

載入中...

04選填 A、B、C：由餘式求係數、區間極值、商式與餘式

第 7 題

答案 $(a, b) = (7, 2)$ 。

① 拆成除式的倍數： $a x^{3} + 3 a x^{2} + 4 b x + 12 = a (x^{3} + 3 x^{2} + 1) + 4 b x + 12 - a$ 。

② $4 b x + 12 - a$ 次數小於 $3$ ，它就是餘式。

③ 比較 $4 b x + 12 - a = 8 x + 5$ ： $4 b = 8$ 、 $12 - a = 5$ ，得 $b = 2$ 、 $a = 7$ 。

所以 $(a, b) = (7, 2)$ 。

第 8 題

答案 $(a, b) = (8, 40)$ 。

① 配方： $f (x) = 2 (x - 3)^{2} + a - 18$ ，開口向上，頂點 $x = 3$ 在區間 $[- 2, 4]$ 內。

② 最小值在頂點： $a - 18 = - 10$ ，得 $a = 8$ 。

③ 最大值在離 $x = 3$ 最遠的端點 $x = - 2$ ： $f (- 2) = 2 \cdot 25 - 10 = 40$ （另一端 $f (4) = 2 - 10 = - 8$ ）。

所以 $(a, b) = (8, 40)$ 。

載入中...

第 9 題

答案 $9$ 。

① 題目的式子還不是除法原理的形式：餘式要是常數，而 $x$ 不是常數。

② 把 $x$ 拆成 $(x - 3) + 3$ ： $f (x) = (x - 3) (x^{2} + x + 3) + (x - 3) + 3 = (x - 3) (x^{2} + x + 4) + 3$ 。

③ 所以 $Q (x) = x^{2} + x + 4$ 、 $r (x) = 3$ ， $Q (1) + r (1) = 6 + 3 = 9$ 。

答案 $9$ 。

若直接把

x^{2} + x + 3

當商、

x

當餘式，會算出

5 + 1 = 6

，這是常見的錯。

05選填 D、E、F：高次不等式、拋物線與線段、一次近似

第 10 題

答案 $7$ 。

① 因式分解： $x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ ， $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ ； $7 + x^{2}$ 恆正，可以約去。

② 不等式變成 $(x - 1) (x - 4) (x - 2)^{2} (7 - x^{2}) \geq 0$ 。

③ $x = 2$ 時左邊為 $0$ ，成立。

④ $x \neq = 2$ 時 $(x - 2)^{2} > 0$ 可約去，再把 $7 - x^{2}$ 改寫成 $- (x^{2} - 7)$ ： $(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 7) \leq 0$ 。

⑤ 分界點 $- 7 < 1 < 7 < 4$ ，由最右邊往左正負交替：解為 $- 7 \leq x \leq 1$ 或 $7 \leq x \leq 4$ 。

⑥ $7 \approx 2.65$ 。整數： $- 2, - 1, 0, 1$ ； $3, 4$ ；再加上 $x = 2$ 。

共 $4 + 2 + 1 = 7$ 個。

載入中...

(x - 2)^{2}

這個平方因式不影響正負，但它讓

x = 2

一定成立，最容易漏掉。

第 11 題

答案 $- 2 \leq c \leq 1$ 或 $5 \leq c \leq 8$ 。

① 線段 $\overline{A B}$ 是直線 $x = 3$ 上 $0 \leq y \leq 21$ 的部分。

② 拋物線與直線 $x = 3$ 只交於一點 $(3, f (3))$ ，所以有交點 ⇔ $0 \leq f (3) \leq 21$ 。

③ $f (x) = (x - c)^{2} - 4$ ， $f (3) = (c - 3)^{2} - 4$ ： $0 \leq (c - 3)^{2} - 4 \leq 21$ ，即 $4 \leq (c - 3)^{2} \leq 25$ 。

④ 得 $2 \leq ∣ c - 3∣ \leq 5$ ： $c - 3$ 在 $- 5$ 到 $- 2$ 或 $2$ 到 $5$ 之間。

所以 $- 2 \leq c \leq 1$ 或 $5 \leq c \leq 8$ 。

載入中...

對答案卡時依序劃記：⑭ 劃「−」、⑮

2

、⑯

1

、⑰

5

、⑱

8

。

第 12 題

答案 $32$ 。

① 直線 $y = 4 x + k$ 是圖形在 $x = t$ 處的一次近似 ⇔ $f (x) - (4 x + k)$ 有因式 $(x - t)^{2}$ 。

理由：把 $f (x)$ 寫成 $(x - t)$ 的多項式 $\dots + p (x - t)^{2} + q (x - t) + r$ ，一次近似是 $q (x - t) + r$ ； $f (x)$ 減去它，剩下每一項都含 $(x - t)^{2}$ 。

② $f (x) - 4 x - k = - x^{3} + 6 a x^{2} - (b + k)$ ，令它等於 $- (x - t)^{2} (x - s)$ 。

③ 展開右邊： $- x^{3} + (2 t + s) x^{2} - (t^{2} + 2 t s) x + t^{2} s$ ，比較係數：

$2 t + s = 6 a, t^{2} + 2 t s = 0, t^{2} s = - (b + k)$

④ 由 $t (t + 2 s) = 0$ ：若 $t = 0$ ，則 $s = 6 a$ 、 $k = - b$ ，直線是 $y = 4 x - b$ 。

⑤ 若 $t = - 2 s$ ，則 $- 3 s = 6 a$ ， $s = - 2 a$ 、 $t = 4 a$ ， $k = 32 a^{3} - b$ ，直線是 $y = 4 x + 32 a^{3} - b$ 。

⑥ $b > 0$ ，所以 $y = 4 x - b$ 不是 $y = 4 x$ ；只能 $32 a^{3} - b = 0$ ， $b = 32 a^{3}$ 。

所以 $\frac{b}{a ^{3}} = 32$ 。

載入中...

兩個切點

x = 0

與

x = 4 a

對稱於對稱中心

x = 2 a

，這和三次函數圖形對稱於對稱中心一致。

06題組甲、乙、丙：改變二次函數的係數

第 13 題

答案 (1)(3)(5)。

圖形開口向上、與 $x$ 軸交兩點、與 $y$ 軸交在原點上方（看圖）。對稱軸 $x = - \frac{b}{2 a} = - 1$ ，所以 $b = 2 a$ 。

(1) 正確。 開口向上， $a > 0$ 。

(2) 錯誤。 $b = 2 a > 0$ 。

(3) 正確。 $c = f (0)$ 是 $y$ 截距，在原點上方， $c > 0$ 。

(4) 錯誤。 圖形與 $x$ 軸交於兩點， $b^{2} - 4 a c > 0$ 。

(5) 正確。 $b = 2 a > a$ （因為 $a > 0$ ）。

載入中...

第 14 題

學校答案 (3)；本站認為 (1) 也成立。

① 原本 $a > 0$ 、 $b > 0$ 、 $c > 0$ ， $b^{2} - 4 a c > 0$ （與 $x$ 軸交兩點）。

② $f (x) > 0$ 恆成立 ⇔ $a > 0$ 且 $b^{2} - 4 a c < 0$ 。只做一次操作就要讓 $b^{2} - 4 a c$ 變成負的。

③ 操作B： $b$ 變大， $b^{2}$ 變大，判別式更大，不行。

④ 操作C： $c$ 變大到 $c > \frac{b ^{2}}{4 a}$ ，判別式就小於 $0$ ，圖形整條往上移到 $x$ 軸上方。可以。

⑤ 操作A： $a$ 變大到 $a > \frac{b ^{2}}{4 c}$ ，同樣使判別式小於 $0$ ，而且 $a$ 仍為正。也可以。

⑥ 所以操作次數最少是一次，可以「只進行操作C」，也可以「只進行操作A」。

學校公布的答案是 (3)；依題意 (1) 同樣成立。

載入中...

例：取

f (x) = x^{2} + 2 x + 0.3

（開口向上、對稱軸

x = - 1

、兩負根、

c > 0

），只把

a

從

1

改成

4

，得

4 x^{2} + 2 x + 0.3

，判別式

4 - 4.8 < 0

，

f (x) > 0

恆成立。

第 15 題

答案 (8)。

① 兩正實數解 $α, β$ 需要 $α + β = - \frac{b}{a} > 0$ 。

② 原本 $a > 0$ 、 $b > 0$ ，而操作只會讓數值變大： $a$ 、 $b$ 一直是正的。

③ 所以 $- \frac{b}{a}$ 永遠是負的，兩根的和不可能是正的。

④ 操作C 只改 $c$ ，不影響兩根的和；不論怎麼操作都做不到。

答案 (8) 不可能發生。

載入中...

從圖形看：對稱軸

x = - \frac{b}{2 a}

一直在

y

軸左邊，兩個根不可能都跑到右邊。

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03多選 5、6：餘式定理與連續除法

04選填 A、B、C：由餘式求係數、區間極值、商式與餘式

05選填 D、E、F：高次不等式、拋物線與線段、一次近似

06題組甲、乙、丙：改變二次函數的係數

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