北一女中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

原圖中 $\overline{AB}$ 是水平的，$B$ 在 $A$ 的右邊；$C$ 比 $B$ 更右邊，$D$ 在 $A$、$B$ 之間，$E$ 在 $A$ 的左邊。

① 設 $X$ 在直線 $AB$ 上的垂足為 $X^{\prime }$。內積 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AX}$ 等於 $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ 乘上「$\overrightarrow{AX}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 方向的正射影的有號長度」，也就是 $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ 乘 $\overrightarrow{A{X}^{\prime }}$ 的有號長度（和 $\overrightarrow{AB}$ 同向為正）。

② 四個內積都乘同一個 $\left|\overrightarrow{AB}\right|$，只要比較 $B$、$C^{\prime }$、$D^{\prime }$、$E^{\prime }$ 在直線 $AB$ 上離 $A$ 的有號距離。

③ $C^{\prime }$ 在 $B$ 的右邊，最大；$D^{\prime }$ 在 $A$、$B$ 之間，是正的但比 $\overline{AB}$ 短；$E^{\prime }$ 在 $A$ 的左邊，是負的。

所以 $q>p>r>s$，答案 (4)。

① 寫出坐標：$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=(1-2t,3+4t)$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-1,7)$。

② 兩向量垂直，內積為 $0$：

$$(1-2t)\times (-1)+(3+4t)\times 7=0$$

③ 展開得 $-1+2t+21+28t=0$，即 $30t+20=0$，$t=-\frac{2}{3}$。

答案 (2)。

① 先算兩鄰邊長：$\overline{AB}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5$，$\overline{AC}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。

② 內角平分線分對邊的比等於兩鄰邊的比：$\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{AB}:\overline{AC}=5:10=1:2$。

③ 由分點公式，

$$D=\frac{2B+1\cdot C}{3}=\left(\frac{4+5}{3},\frac{6+15}{3}\right)=(3,7)$$

答案 (1)。

① 先看哪些點有連線：六條邊、中心 $O$ 到六個頂點的六條線段，還有穿過 $O$ 的三條對角線 $\overline{AD}$、$\overline{BE}$、$\overline{CF}$（對角的兩頂點在同一條畫出的線段上）。

② 設正六邊形邊長為 $1$。長度 $1$ 的向量：邊和 $O$ 到頂點的線段，方向只有六種，例如 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ED}$。正反兩個方向都算，共 $6$ 個相異向量（就是圖中由 $O$ 指向六個頂點的六個向量）。

③ 長度 $2$ 的向量：$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{EB}$、$\overrightarrow{CF}$、$\overrightarrow{FC}$，方向兩兩不同，共 $6$ 個。

④ 長度不同的向量不會相等，合計 $6+6=12$ 個。

答案 (3)。

先算 $\overrightarrow{AB}=(-4,-2)$、$\overrightarrow{AC}=(3,-1)$。

(1) 正確。 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-4)\times 3+(-2)\times (-1)=-12+2=-10$。

(2) 正確。 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{10}$，

$$\cos \angle BAC=\frac{-10}{2\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{-10}{10\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

(3) 正確。 夾角在 $0^{\circ }$ 到 $180^{\circ }$ 之間，餘弦為 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的角是 $135^{\circ }$。

(4) 錯誤。 重心是三頂點坐標的平均：$\left(\frac{-2-6+1}{3},\frac{3+1+2}{3}\right)=\left(-\frac{7}{3},2\right)$，不是 $(-3,2)$。

(5) 錯誤。 平行四邊形 $ABCD$ 的頂點依序是 $A$、$B$、$C$、$D$，所以 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(7,1)$，$D=(-2+7,3+1)=(5,4)$，不是 $(-3,4)$。

(1) 正確。 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos 90^{\circ }=0$。

(2) 正確。 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的正射影是 $\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\overrightarrow{b}$，內積為 $0$，所以是 $\overrightarrow{0}$。

(3) 錯誤。 反例（見圖）：$\overrightarrow{c}=(1,0)$、$\overrightarrow{a}=(2,3)$、$\overrightarrow{b}=(2,-1)$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=2$，但 $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{b}$。

(4) 錯誤。 同一組反例：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{c}$ 上的正射影都是 $(2,0)$，但 $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{b}$。正射影相同只表示兩向量在 $\overrightarrow{c}$ 方向的分量相同，垂直於 $\overrightarrow{c}$ 的分量可以不同。

(5) 錯誤。 若 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 平行，例如 $\overrightarrow{a}=(1,0)$、$\overrightarrow{b}=(2,0)$，$\overrightarrow{c}=(0,1)$，則 $x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}=(x+2y,0)$ 永遠不會等於 $(0,1)$。只有 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 不平行時才能唯一表示。

① 先算內積：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=5\sqrt{3}\times 4\times \cos 30^{\circ }=20\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=30$。

② 長度平方展開：

$${\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2=4{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=4\times 75-4\times 30+16=196$$

③ 開根號，$\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=14$。

答案 14。

① 兩直線的法向量分別是 $\overrightarrow{n_1}=(1,1)$、$\overrightarrow{n_2}=(1,-7)$。兩直線的夾角與兩法向量的夾角相等或互補。

② 法向量夾角的餘弦：

$$\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{1-7}{\sqrt{2}\times \sqrt{50}}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}$$

③ 兩直線相交成兩個互補的角，一個的餘弦是 $-\frac{3}{5}$，另一個是 $\frac{3}{5}$。題目說夾角為 $\theta$，兩個角都是夾角。

答案 $\cos \theta =\pm \frac{3}{5}$。

① $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=5$，且 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$。

② 兩邊取長度平方：

$${\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2={\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+{\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2$$

③ 代入得 $36=25-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+25$，所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=7$。

答案 7。

① 設 $\overrightarrow{c}=(x,y)$，兩個內積條件寫成

$$\{\begin{array}{l}5x-8y=20\\ 3x-2y=26\end{array}$$

② 第二式乘 $4$ 得 $12x-8y=104$，減去第一式：$7x=84$，$x=12$。

③ 代回第二式：$36-2y=26$，$y=5$。

答案 $\overrightarrow{c}=(12,5)$。

(a) ① $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=17\times (-2)+14\times 1=-20$，${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=5$。

② 正射影是

$$\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\overrightarrow{b}=\frac{-20}{5}(-2,1)=(8,-4)$$

(b) ① 令 $\overrightarrow{p}=(8,-4)$ 為 (a) 的正射影。$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}=(9,18)$ 與 $\overrightarrow{b}$ 垂直（$(9,18)\cdot (-2,1)=0$）。

② $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}\right)+\left(\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{b}\right)$，其中 $\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{b}=(t-4)\overrightarrow{b}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 平行，兩部分互相垂直，所以

$${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2={\left|(9,18)\right|}^2+(t-4{)}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=405+5(t-4{)}^2$$

③ $t=4$ 時最小，$\left|\overrightarrow{c}\right|$ 的最小值是 $\sqrt{405}=9\sqrt{5}$。

答案 (a) $(8,-4)$；(b) $9\sqrt{5}$。

① $x$ 從 $2$ 到 $4$、$y$ 從 $-2$ 到 $1$ 變動時，$P$ 點形成一個平行四邊形，兩邊分別是 $(4-2)\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}$ 與 $(1-(-2))\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}$。

② 以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 為兩邊的平行四邊形面積是 $△ABC$ 的兩倍，即 $10$。

③ 兩邊分別變成 $2$ 倍與 $3$ 倍，面積變成 $2\times 3=6$ 倍：$10\times 6=60$。

答案 60。

① $△ABP$ 與 $△ABC$ 有共同的底 $\overline{AB}$，面積比等於 $P$、$C$ 到直線 $AB$ 的距離比。

② $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{14}\overrightarrow{AC}$ 中，$\overrightarrow{AB}$ 那一項平行於底，不改變高度；只有 $\frac{5}{14}\overrightarrow{AC}$ 這一項提供離開直線 $AB$ 的高度，是 $C$ 的高度的 $\frac{5}{14}$。

③ 所以面積比是 $\frac{5}{14}$。

答案 $\frac{5}{14}$。

① 梯形 $ABCD$ 中 $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$，$\overrightarrow{DC}$ 與 $\overrightarrow{AB}$ 同方向。設 $\frac{\overline{CD}}{\overline{AB}}=k$，則 $\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}$。

② $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}+1\cdot \overrightarrow{AD}$。

③ $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 不平行，係數唯一：$x=k$，$y=1$。由 $x+y=2026$ 得 $k=2025$。

答案 2025。

① $P$ 在 $\overline{BE}$ 上：設 $\overrightarrow{AP}=(1-s)\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AE}=(1-s)\overrightarrow{AB}+7s\overrightarrow{AC}$。

② $P$ 在 $\overline{CD}$ 上：設 $\overrightarrow{AP}=u\overrightarrow{AD}+(1-u)\overrightarrow{AC}=4u\overrightarrow{AB}+(1-u)\overrightarrow{AC}$。

③ $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 不平行，係數對應相等：

$$\{\begin{array}{l}1-s=4u\\ 7s=1-u\end{array}$$

④ 由第二式 $u=1-7s$，代入第一式：$1-s=4-28s$，$27s=3$，$s=\frac{1}{9}$，$u=\frac{2}{9}$。

⑤ $x=1-s=\frac{8}{9}$，$y=7s=\frac{7}{9}$。

答案 $(x,y)=\left(\frac{8}{9},\frac{7}{9}\right)$。