段考詳解範圍：第一冊多項式函數

北一女中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 113 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要同時用對稱中心在第二象限與平移後交 x 軸三點兩個條件、第 6 題要想到二次因式的根可能剛好是 1、第 12 題容易漏掉開口向下的條件，以及第 16 題要先求出 f(x) 本身的餘式。詳解逐題寫在本頁。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 2 題（20 分，答案卷註明各選項獨立判定，錯一個選項扣 2 分）、填充題 10 題（60 分：第 7～11 題每題 7 分、第 12～16 題每題 5 分）；題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 5 分，共 20 分）

已知一次函數

f (x)

滿足

f (- 7) = 49

，

f (- 5) = 25

，試問

f (- 9)

的值為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $63$
(3) $64$
(4) $73$
(5) $81$

設

f (x) = (2 x - 1)^{2} + (2 x + 1)^{2} + (x - 3)^{2}

，試問

f (x)

在區間

[0, 2]

的最小值為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $10$
(3) $11$
(4) $14$
(5) $35$

設

y = f (x) = - 2 (x + 3)^{3} + p (x + 3) + k

，已知此圖形的對稱中心點

A

位於第二象限，若將此圖形經適當平移，會與

x

軸交於相異三點。試問

y = f (x)

在點

A

附近可能會近似於下列哪一直線？

(1) $y = x - 1$
(2) $y = 2 x + 8$
(3) $y = 3 x + 9$
(4) $y = - x + 4$
(5) $y = - 2 x - 7$

已知

f (x) = x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x

，試問

f (x)

除以

(x + 1)^{2}

的餘式為下列哪一個選項？

(1) $- 1$
(2) $7$
(3) $- 3 x - 2$
(4) $4 x - 1$
(5) $4 x + 3$

二、多選題（每題 10 分，共 20 分）每個選項獨立計分不倒扣，未作答不予計分

設

a

、

b

、

c

均為實數，

y = f (x) = a x^{2} + 2 b x + c

如下圖所示，已知此圖形交

x

軸於

(- 2, 0)

，且對稱軸為直線

x - 1 = 0

，試選出下列正確的敘述。

(1) $a c > 0$
(2) $a + b > 0$
(3) $a + 2 b + c = 0$
(4) $f (- 1) < 0$
(5) $f (5) = f (- 3)$

載入中...

已知實係數三次多項式

f (x) = (x - 1) (a x^{2} + b x + c)

，試選出下列正確的敘述。

(1) 若 $b^{2} - 4 a c > 0$ 且 $a + b + c < 0$ ，則 $f (x) = 0$ 有三個相異實根
(2) 若 $b^{2} - 4 a c = 0$ ，則 $y = f (x)$ 的圖形和 $x$ 軸恰有兩個相異交點
(3) 若 $b^{2} - 4 a c < 0$ ，則 $a x^{2} + b x + c = 0$ 無實根且不等式 $f (x) > 0$ 的解為 $x > 1$
(4) 若 $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸恰交一點，則 $b^{2} - 4 a c < 0$
(5) 若 $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸的交點不只一個，則 $b^{2} - 4 a c \geq 0$

三、填充題（7～11 題每題 7 分，12～16 題每題 5 分，共 60 分）若有灰色圓圈，僅可填「0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, −, ±」其中一個，未完全答對或未作答不予計分。

已知實係數三次多項式

f (x)

滿足

f (- 1) = f (- 2) = 0

，

f (1) = 6

，

f (2) = 48

，試問

f (x)

除以

x

的餘式為 ____。

已知二次函數

y = f (x) = a x^{2} + 2

的廣域（大域）特徵近似於

y = 2 x^{2}

，若將

y = f (x)

的圖形往左平移

h

單位，再向下平移

k

單位，可得到

y = b x^{2} + 16 x + 10

，試問數對

(h, k) =

____。

設

f (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} + 7 x + 5

，試問

f (1.99)

的近似值為 ____。（四捨五入到小數點後第二位）

不等式

(1 - x^{3}) (x^{2} - 2 x - 2) > 0

的解為 ____。

大謙老師暑假到日本遊樂園遊玩，發現雲霄飛車軌道的一部分為三次函數圖形。設坐標平面上原點

(0, 0)

為此三次函數軌道的一點，已知

A (1, 17)

、

B (5, 25)

、

C (8, t)

三點均在軌道上，且

A

、

B

對稱於此軌道（三次函數）的對稱中心，試問

t =

____。

若二次函數

y = k x^{2} + 2 k^{2} x + 9 k

的圖形恆在直線

y = 2 k x

下方，則實數

k

的範圍為 ____。

已知多項式

f (x) = (2 x^{2} + 2 x + 11)^{4}

，試問

f (x)

除以

x^{2} + x + 1

的餘式為 ____。

已知

de g f (x) = 3

，且

f (2 x + 1) = 16 (x + \frac{1}{2})^{3} - 48 (x + \frac{1}{2})^{2} + 4 (x + \frac{1}{2}) - 2

，試問

y = f (x)

的對稱中心為 ____。

已知實係數多項式

f (x) = 2 x^{4} + a x^{3} + b x + c

，若

f (x)

除以

- x^{3} + 1

的餘式為

5 x + 7

，且

f (x)

除以

x + 1

的餘式為

- 2

，試問不等式

f (x) \leq 5 x + 7

的解為 ____。

若

(x + 1) f (x)

除以

x^{2} + x - 5

的餘式為

2 x + 17

，則

(x^{2} - 3) f (x)

除以

x^{2} + x - 5

的餘式為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(2)

第 4 題(5)

第 5 題(5)

第 6 題(1)(5)

第 7 題

- 4

第 8 題

(4, 24)

第 9 題

6.97

第 10 題

x < 1 - 3

或

1 < x < 1 + 3

第 11 題

136

第 12 題

- 2 < k < 0

第 13 題

6561

第 14 題

(2, - 30)

第 15 題

- 2 \leq x \leq 1

第 16 題

7 x - 11

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：一次函數與二次函數的最小值

第 1 題答案 (4)。一次函數的斜率是

\frac{25 - 49}{( - 5 ) - ( - 7 )} = \frac{- 24}{2} = - 12

。從

x = - 7

往左走

2

到

x = - 9

，函數值增加

2 \times 12 = 24

，所以

f (- 9) = 49 + 24 = 73

。

也可以看成

- 7

是

- 9

與

- 5

的中點，所以

f (- 7)

是

f (- 9)

與

f (- 5)

的平均：

f (- 9) = 2 \times 49 - 25 = 73

。

第 2 題答案 (2)。先展開：

(4 x^{2} - 4 x + 1) + (4 x^{2} + 4 x + 1) + (x^{2} - 6 x + 9) = 9 x^{2} - 6 x + 11

。配方：

9 x^{2} - 6 x + 11 = 9 (x - \frac{1}{3})^{2} + 10

。頂點的

x

坐標

\frac{1}{3}

落在區間

[0, 2]

內，圖形開口向上，所以最小值就是頂點的值

10

。

先確認頂點在不在指定區間內；不在的話，最小值要看區間端點。

02單選 3、4：對稱中心附近的直線與除以平方式的餘式

第 3 題答案 (2)。

f (x) = - 2 (x + 3)^{3} + p (x + 3) + k

的對稱中心是

A (- 3, k)

；

A

在第二象限，所以

k > 0

。平移不會改變圖形的形狀，把

A

移到原點後是

y = - 2 X^{3} + pX

。若

p \leq 0

，

- 2 X^{3}

與

pX

都隨

X

增大而不增，圖形一路遞減，不論怎麼平移都只和

x

軸交一點；若

p > 0

，

X (- 2 X^{2} + p) = 0

有

0

與

\pm \frac{p}{2}

三個相異實根。所以

p > 0

。在

A

附近

(x + 3)^{3}

非常小，圖形近似於直線

y = p (x + 3) + k

：斜率

p > 0

，而且通過

(- 3, k)

、

k > 0

。逐一檢查：(1) 在

x = - 3

時

y = - 4 < 0

，不合；(2) 斜率

2 > 0

，在

x = - 3

時

y = 2 > 0

，符合；(3) 在

x = - 3

時

y = 0

，

A

會落在

x

軸上，不在第二象限，不合；(4)(5) 斜率是負的，不合。

對稱中心附近的近似直線，就是把三次方那一項丟掉後剩下的一次式。

第 4 題答案 (5)。兩兩一組提出

x + 1

：

f (x) = x^{6} (x + 1) + x^{4} (x + 1) + x^{2} (x + 1) + x = (x + 1) (x^{6} + x^{4} + x^{2}) + x

。再看

x^{6} + x^{4} + x^{2}

除以

x + 1

：由餘式定理，餘式是

(- 1)^{6} + (- 1)^{4} + (- 1)^{2} = 3

，所以

x^{6} + x^{4} + x^{2} = (x + 1) g (x) + 3

。代回去：

f (x) = (x + 1)^{2} g (x) + 3 (x + 1) + x = (x + 1)^{2} g (x) + 4 x + 3

，餘式是

4 x + 3

。

也可以用連續綜合除法把

f (x)

寫成

x + 1

的冪次，餘式就是最後兩項。檢查：

x = - 1

時

4 x + 3 = - 1

，和

f (- 1) = - 1

一致。

03多選 5、6：二次函數的係數與三次方程式的實根

第 5 題

答案 (5)。圖形開口向下，所以 $a < 0$ 。對稱軸是 $x = 1$ ，與 $x$ 軸的另一個交點和 $(- 2, 0)$ 對稱於 $x = 1$ ，是 $(4, 0)$ ，所以 $f (x) = a (x + 2) (x - 4) = a x^{2} - 2 a x - 8 a$ 。比較係數： $2 b = - 2 a$ ， $b = - a > 0$ ； $c = - 8 a > 0$ 。

(1) 錯誤。 $a c = a \cdot (- 8 a) = - 8 a^{2} < 0$ 。

(2) 錯誤。 $a + b = a + (- a) = 0$ ，不大於 $0$ 。

(3) 錯誤。 $a + 2 b + c = f (1)$ 是頂點的函數值；圖形的頂點在 $x$ 軸上方，所以 $f (1) > 0$ （用係數算也是 $a - 2 a - 8 a = - 9 a > 0$ ）。

(4) 錯誤。 $f (- 1) = a (1) (- 5) = - 5 a > 0$ ； $x = - 1$ 在兩根 $- 2$ 與 $4$ 之間，圖形在 $x$ 軸上方。

(5) 正確。 $5$ 與 $- 3$ 的中點是 $1$ ，兩點對稱於對稱軸 $x = 1$ ，所以 $f (5) = f (- 3)$ 。

先由兩根寫成

a (x + 2) (x - 4)

，再比較係數，

b

、

c

都能用

a

表示。

第 6 題

答案 (1)(5)。 $f (x)$ 是三次式，所以 $a \neq = 0$ 。 $f (x) = 0$ 的根是 $1$ 以及 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根；記 $g (x) = a x^{2} + b x + c$ ，則 $g (1) = a + b + c$ 。

(1) 正確。 $b^{2} - 4 a c > 0$ 表示 $g (x) = 0$ 有兩個相異實根； $g (1) = a + b + c < 0$ ，不為 $0$ ，所以 $1$ 不是 $g (x) = 0$ 的根。三個根 $1$ 與那兩根互不相同。

(2) 錯誤。 反例： $g (x) = (x - 1)^{2}$ （ $b^{2} - 4 a c = 4 - 4 = 0$ ）， $f (x) = (x - 1)^{3}$ 的圖形和 $x$ 軸只交於一點 $(1, 0)$ 。

(3) 錯誤。 $b^{2} - 4 a c < 0$ 時 $g (x) = 0$ 確實無實根，但 $g (x)$ 恆與 $a$ 同號。若 $a < 0$ ，例如 $g (x) = - x^{2} - 1$ ， $f (x) > 0$ 等價於 $x - 1 < 0$ ，解是 $x < 1$ ，不是 $x > 1$ 。

(4) 錯誤。 反例同 (2)： $f (x) = (x - 1)^{3}$ 的圖形與 $x$ 軸恰交一點，但 $b^{2} - 4 a c = 0$ ，不小於 $0$ 。

(5) 正確。 若 $b^{2} - 4 a c < 0$ ， $g (x) = 0$ 沒有實根， $f (x) = 0$ 只有實根 $1$ ，圖形與 $x$ 軸只交一點。所以交點不只一個時， $g (x) = 0$ 一定有實根，即 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ 。

判別式只管二次因式；別忘了二次因式的根可能剛好是

1

，會和

x - 1

這個因式重合。

04填充 7～9：因式定理、二次函數的平移與近似值

第 7 題由因式定理，

x + 1

、

x + 2

都是

f (x)

的因式，可設

f (x) = (x + 1) (x + 2) (p x + q)

。代

x = 1

：

2 \cdot 3 (p + q) = 6

，

p + q = 1

；代

x = 2

：

3 \cdot 4 (2 p + q) = 48

，

2 p + q = 4

。解得

p = 3

、

q = - 2

。

f (x)

除以

x

的餘式是

f (0) = 1 \cdot 2 \cdot (- 2) = - 4

。

第 8 題

y = a x^{2} + 2

的廣域特徵近似於

y = 2 x^{2}

，表示最高次項係數

a = 2

，

f (x) = 2 x^{2} + 2

。往左平移

h

單位、再向下平移

k

單位，得

y = 2 (x + h)^{2} + 2 - k = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 2 - k

。和

y = b x^{2} + 16 x + 10

比較係數：

b = 2

，

4 h = 16

得

h = 4

，

2 h^{2} + 2 - k = 10

即

34 - k = 10

，得

k = 24

。所以

(h, k) = (4, 24)

。

往左平移

h

是把

x

換成

x + h

；向下平移

k

是整個函數減去

k

。

第 9 題

$1.99$ 很靠近 $2$ ，把 $f (x)$ 用連續綜合除法寫成 $x - 2$ 的冪次： $f (x) = 2 (x - 2)^{3} + 5 (x - 2)^{2} + 3 (x - 2) + 7$ （可代 $x = 2$ 得 $f (2) = 16 - 28 + 14 + 5 = 7$ 檢查常數項）。代 $x - 2 = - 0.01$ ：

$f (1.99) = 7 + 3 (- 0.01) + 5 (0.0001) + 2 (- 0.000001) = 7 - 0.03 + 0.0005 - 0.000002 = 6.970498$

四捨五入到小數點後第二位是 $6.97$ 。

後兩項

0.0005

與

- 0.000002

都影響不到小數點後第二位，只用前兩項

7 - 0.03

就能判斷。

05填充 10～12：高次不等式、對稱中心與恆在直線下方

第 10 題

1 - x^{3} = (1 - x) (1 + x + x^{2})

，而

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

恆正，可以約去。不等式變成

(1 - x) (x^{2} - 2 x - 2) > 0

，兩邊同乘

- 1

：

(x - 1) (x^{2} - 2 x - 2) < 0

。

x^{2} - 2 x - 2 = 0

的根是

1 \pm 3

，三個根由小到大是

1 - 3, 1, 1 + 3

。

(x - 1) (x - 1 + 3) (x - 1 - 3)

在最右段為正，往左每過一根變號一次，取負的區段：

x < 1 - 3

或

1 < x < 1 + 3

。

乘以

- 1

時不等號要反向；寫成區間是

(- \infty, 1 - 3) \cup (1, 1 + 3)

。

第 11 題

A

、

B

對稱於對稱中心，所以對稱中心是

\overline{A B}

的中點

(3, 21)

。設三次函數

f (x) = a (x - 3)^{3} + p (x - 3) + 21

。代原點：

- 27 a - 3 p + 21 = 0

，即

9 a + p = 7

；代

A (1, 17)

：

- 8 a - 2 p + 21 = 17

，即

4 a + p = 2

。兩式相減得

5 a = 5

，

a = 1

，

p = - 2

。所以

t = f (8) = 125 - 10 + 21 = 136

。

可代

B

檢查：

f (5) = 8 - 4 + 21 = 25

，正確。

第 12 題題目說是二次函數，所以

k \neq = 0

。「圖形恆在直線

y = 2 k x

下方」就是對所有實數

x

，

k x^{2} + 2 k^{2} x + 9 k < 2 k x

，即

k x^{2} + (2 k^{2} - 2 k) x + 9 k < 0

恆成立。這要求開口向下且判別式小於

0

：

k < 0

，且

(2 k^{2} - 2 k)^{2} - 4 \cdot k \cdot 9 k < 0

。後者整理成

4 k^{2} [(k - 1)^{2} - 9] < 0

；

k \neq = 0

時

4 k^{2} > 0

，所以

(k - 1)^{2} < 9

，

- 2 < k < 4

。和

k < 0

取交集：

- 2 < k < 0

。

06填充 13～16：餘式、對稱中心與多項式不等式

第 13 題

2 x^{2} + 2 x + 11 = 2 (x^{2} + x + 1) + 9

。令

u = x^{2} + x + 1

，

f (x) = (2 u + 9)^{4}

，展開後除了常數

9^{4}

以外，每一項都含有

u

的因式，都能被

x^{2} + x + 1

整除。所以餘式是

9^{4} = 6561

。

除式恰好出現在被除式裡時，把它看成一個整體，餘式就是把它換成

0

剩下的部分。

第 14 題令

X = 2 x + 1

，則

x + \frac{1}{2} = \frac{X}{2}

。代入：

f (X) = 16 \cdot \frac{X ^{3}}{8} - 48 \cdot \frac{X ^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{X}{2} - 2 = 2 X^{3} - 12 X^{2} + 2 X - 2

。配成以

X - 2

為中心的形式：

2 (X - 2)^{3} = 2 X^{3} - 12 X^{2} + 24 X - 16

，所以

f (X) = 2 (X - 2)^{3} - 22 X + 14 = 2 (X - 2)^{3} - 22 (X - 2) - 30

。對稱中心是

(2, - 30)

。

三次函數

a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的對稱中心

x

坐標是

- \frac{b}{3 a}

，這裡

- \frac{- 12}{6} = 2

，再算

f (2) = 16 - 48 + 4 - 2 = - 30

。

第 15 題除以

- x^{3} + 1

的餘式是

5 x + 7

，表示

f (x) - (5 x + 7)

是

x^{3} - 1

的倍式；兩邊都是

4

次、最高次項係數

2

，可設

f (x) - (5 x + 7) = (x^{3} - 1) (2 x + m) = 2 x^{4} + m x^{3} - 2 x - m

。所以

f (x) = 2 x^{4} + m x^{3} + 3 x + 7 - m

（

f (x)

沒有

x^{2}

項，與題目相符）。再由

f (- 1) = - 2

：

2 - m - 3 + 7 - m = 6 - 2 m = - 2

，

m = 4

。不等式

f (x) \leq 5 x + 7

即

(x^{3} - 1) (2 x + 4) \leq 0

，也就是

2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 2) \leq 0

。

x^{2} + x + 1

恆正可約去，得

(x - 1) (x + 2) \leq 0

，解為

- 2 \leq x \leq 1

。

不等式右邊恰好是題目給的餘式，移項後左邊就是「除式×商式」，不必把

f (x)

整個算出來再因式分解。

第 16 題設

f (x)

除以

x^{2} + x - 5

的餘式是

p x + q

。在除以

x^{2} + x - 5

的意義下，

x^{2}

可以換成

- x + 5

。

(x + 1) (p x + q) = p x^{2} + (p + q) x + q

，把

x^{2}

換成

- x + 5

：

p (- x + 5) + (p + q) x + q = q x + (5 p + q)

。和

2 x + 17

比較：

q = 2

，

5 p + q = 17

，

p = 3

。所以

f (x)

的餘式是

3 x + 2

。同樣地

x^{2} - 3

換成

(- x + 5) - 3 = - x + 2

，

(x^{2} - 3) f (x)

的餘式等於

(- x + 2) (3 x + 2) = - 3 x^{2} + 4 x + 4

的餘式，再把

x^{2}

換成

- x + 5

：

- 3 (- x + 5) + 4 x + 4 = 7 x - 11

。

「把

x^{2}

換成

- x + 5

」的根據是除法原理：

x^{2} = (x^{2} + x - 5) \cdot 1 + (- x + 5)

，差的部分是除式的倍式，不影響餘式。

同一次段考的其他學校

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常見問題

北一女中 113 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 113 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要同時用對稱中心在第二象限與平移後交 x 軸三點兩個條件、第 6 題要想到二次因式的根可能剛好是 1、第 12 題容易漏掉開口向下的條件，以及第 16 題要先求出 f(x) 本身的餘式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自北一女中 113 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第一冊多項式函數

北一女中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分，共 20 分）

已知一次函數

f (x)

滿足

f (- 7) = 49

，

f (- 5) = 25

，試問

f (- 9)

的值為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $63$
(3) $64$
(4) $73$
(5) $81$

設

f (x) = (2 x - 1)^{2} + (2 x + 1)^{2} + (x - 3)^{2}

，試問

f (x)

在區間

[0, 2]

的最小值為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $10$
(3) $11$
(4) $14$
(5) $35$

設

y = f (x) = - 2 (x + 3)^{3} + p (x + 3) + k

，已知此圖形的對稱中心點

A

位於第二象限，若將此圖形經適當平移，會與

x

軸交於相異三點。試問

y = f (x)

在點

A

附近可能會近似於下列哪一直線？

(1) $y = x - 1$
(2) $y = 2 x + 8$
(3) $y = 3 x + 9$
(4) $y = - x + 4$
(5) $y = - 2 x - 7$

已知

f (x) = x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x

，試問

f (x)

除以

(x + 1)^{2}

的餘式為下列哪一個選項？

(1) $- 1$
(2) $7$
(3) $- 3 x - 2$
(4) $4 x - 1$
(5) $4 x + 3$

二、多選題（每題 10 分，共 20 分）每個選項獨立計分不倒扣，未作答不予計分

設

a

、

b

、

c

均為實數，

y = f (x) = a x^{2} + 2 b x + c

如下圖所示，已知此圖形交

x

軸於

(- 2, 0)

，且對稱軸為直線

x - 1 = 0

，試選出下列正確的敘述。

(1) $a c > 0$
(2) $a + b > 0$
(3) $a + 2 b + c = 0$
(4) $f (- 1) < 0$
(5) $f (5) = f (- 3)$

載入中...

已知實係數三次多項式

f (x) = (x - 1) (a x^{2} + b x + c)

，試選出下列正確的敘述。

(1) 若 $b^{2} - 4 a c > 0$ 且 $a + b + c < 0$ ，則 $f (x) = 0$ 有三個相異實根
(2) 若 $b^{2} - 4 a c = 0$ ，則 $y = f (x)$ 的圖形和 $x$ 軸恰有兩個相異交點
(3) 若 $b^{2} - 4 a c < 0$ ，則 $a x^{2} + b x + c = 0$ 無實根且不等式 $f (x) > 0$ 的解為 $x > 1$
(4) 若 $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸恰交一點，則 $b^{2} - 4 a c < 0$
(5) 若 $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸的交點不只一個，則 $b^{2} - 4 a c \geq 0$

已知實係數三次多項式

f (x)

滿足

f (- 1) = f (- 2) = 0

，

f (1) = 6

，

f (2) = 48

，試問

f (x)

除以

x

的餘式為 ____。

已知二次函數

y = f (x) = a x^{2} + 2

的廣域（大域）特徵近似於

y = 2 x^{2}

，若將

y = f (x)

的圖形往左平移

h

單位，再向下平移

k

單位，可得到

y = b x^{2} + 16 x + 10

，試問數對

(h, k) =

____。

設

f (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} + 7 x + 5

，試問

f (1.99)

的近似值為 ____。（四捨五入到小數點後第二位）

不等式

(1 - x^{3}) (x^{2} - 2 x - 2) > 0

的解為 ____。

大謙老師暑假到日本遊樂園遊玩，發現雲霄飛車軌道的一部分為三次函數圖形。設坐標平面上原點

(0, 0)

為此三次函數軌道的一點，已知

A (1, 17)

、

B (5, 25)

、

C (8, t)

三點均在軌道上，且

A

、

B

對稱於此軌道（三次函數）的對稱中心，試問

t =

____。

若二次函數

y = k x^{2} + 2 k^{2} x + 9 k

的圖形恆在直線

y = 2 k x

下方，則實數

k

的範圍為 ____。

已知多項式

f (x) = (2 x^{2} + 2 x + 11)^{4}

，試問

f (x)

除以

x^{2} + x + 1

的餘式為 ____。

已知

de g f (x) = 3

，且

f (2 x + 1) = 16 (x + \frac{1}{2})^{3} - 48 (x + \frac{1}{2})^{2} + 4 (x + \frac{1}{2}) - 2

，試問

y = f (x)

的對稱中心為 ____。

已知實係數多項式

f (x) = 2 x^{4} + a x^{3} + b x + c

，若

f (x)

除以

- x^{3} + 1

的餘式為

5 x + 7

，且

f (x)

除以

x + 1

的餘式為

- 2

，試問不等式

f (x) \leq 5 x + 7

的解為 ____。

若

(x + 1) f (x)

除以

x^{2} + x - 5

的餘式為

2 x + 17

，則

(x^{2} - 3) f (x)

除以

x^{2} + x - 5

的餘式為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(2)

第 4 題(5)

第 5 題(5)

第 6 題(1)(5)

第 7 題

- 4

第 8 題

(4, 24)

第 9 題

6.97

第 10 題

x < 1 - 3

或

1 < x < 1 + 3

第 11 題

136

第 12 題

- 2 < k < 0

第 13 題

6561

第 14 題

(2, - 30)

第 15 題

- 2 \leq x \leq 1

第 16 題

7 x - 11

03 · 勾錯題號

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：一次函數與二次函數的最小值

第 1 題答案 (4)。一次函數的斜率是

\frac{25 - 49}{( - 5 ) - ( - 7 )} = \frac{- 24}{2} = - 12

。從

x = - 7

往左走

2

到

x = - 9

，函數值增加

2 \times 12 = 24

，所以

f (- 9) = 49 + 24 = 73

。

也可以看成

- 7

是

- 9

與

- 5

的中點，所以

f (- 7)

是

f (- 9)

與

f (- 5)

的平均：

f (- 9) = 2 \times 49 - 25 = 73

。

第 2 題答案 (2)。先展開：

(4 x^{2} - 4 x + 1) + (4 x^{2} + 4 x + 1) + (x^{2} - 6 x + 9) = 9 x^{2} - 6 x + 11

。配方：

9 x^{2} - 6 x + 11 = 9 (x - \frac{1}{3})^{2} + 10

。頂點的

x

坐標

\frac{1}{3}

落在區間

[0, 2]

內，圖形開口向上，所以最小值就是頂點的值

10

。

先確認頂點在不在指定區間內；不在的話，最小值要看區間端點。

02單選 3、4：對稱中心附近的直線與除以平方式的餘式

第 3 題答案 (2)。

f (x) = - 2 (x + 3)^{3} + p (x + 3) + k

的對稱中心是

A (- 3, k)

；

A

在第二象限，所以

k > 0

。平移不會改變圖形的形狀，把

A

移到原點後是

y = - 2 X^{3} + pX

。若

p \leq 0

，

- 2 X^{3}

與

pX

都隨

X

增大而不增，圖形一路遞減，不論怎麼平移都只和

x

軸交一點；若

p > 0

，

X (- 2 X^{2} + p) = 0

有

0

與

\pm \frac{p}{2}

三個相異實根。所以

p > 0

。在

A

附近

(x + 3)^{3}

非常小，圖形近似於直線

y = p (x + 3) + k

：斜率

p > 0

，而且通過

(- 3, k)

、

k > 0

。逐一檢查：(1) 在

x = - 3

時

y = - 4 < 0

，不合；(2) 斜率

2 > 0

，在

x = - 3

時

y = 2 > 0

，符合；(3) 在

x = - 3

時

y = 0

，

A

會落在

x

軸上，不在第二象限，不合；(4)(5) 斜率是負的，不合。

對稱中心附近的近似直線，就是把三次方那一項丟掉後剩下的一次式。

第 4 題答案 (5)。兩兩一組提出

x + 1

：

f (x) = x^{6} (x + 1) + x^{4} (x + 1) + x^{2} (x + 1) + x = (x + 1) (x^{6} + x^{4} + x^{2}) + x

。再看

x^{6} + x^{4} + x^{2}

除以

x + 1

：由餘式定理，餘式是

(- 1)^{6} + (- 1)^{4} + (- 1)^{2} = 3

，所以

x^{6} + x^{4} + x^{2} = (x + 1) g (x) + 3

。代回去：

f (x) = (x + 1)^{2} g (x) + 3 (x + 1) + x = (x + 1)^{2} g (x) + 4 x + 3

，餘式是

4 x + 3

。

也可以用連續綜合除法把

f (x)

寫成

x + 1

的冪次，餘式就是最後兩項。檢查：

x = - 1

時

4 x + 3 = - 1

，和

f (- 1) = - 1

一致。

03多選 5、6：二次函數的係數與三次方程式的實根

第 5 題

(1) 錯誤。 $a c = a \cdot (- 8 a) = - 8 a^{2} < 0$ 。

(2) 錯誤。 $a + b = a + (- a) = 0$ ，不大於 $0$ 。

(3) 錯誤。 $a + 2 b + c = f (1)$ 是頂點的函數值；圖形的頂點在 $x$ 軸上方，所以 $f (1) > 0$ （用係數算也是 $a - 2 a - 8 a = - 9 a > 0$ ）。

(4) 錯誤。 $f (- 1) = a (1) (- 5) = - 5 a > 0$ ； $x = - 1$ 在兩根 $- 2$ 與 $4$ 之間，圖形在 $x$ 軸上方。

(5) 正確。 $5$ 與 $- 3$ 的中點是 $1$ ，兩點對稱於對稱軸 $x = 1$ ，所以 $f (5) = f (- 3)$ 。

先由兩根寫成

a (x + 2) (x - 4)

，再比較係數，

b

、

c

都能用

a

表示。

第 6 題

答案 (1)(5)。 $f (x)$ 是三次式，所以 $a \neq = 0$ 。 $f (x) = 0$ 的根是 $1$ 以及 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根；記 $g (x) = a x^{2} + b x + c$ ，則 $g (1) = a + b + c$ 。

(2) 錯誤。 反例： $g (x) = (x - 1)^{2}$ （ $b^{2} - 4 a c = 4 - 4 = 0$ ）， $f (x) = (x - 1)^{3}$ 的圖形和 $x$ 軸只交於一點 $(1, 0)$ 。

(4) 錯誤。 反例同 (2)： $f (x) = (x - 1)^{3}$ 的圖形與 $x$ 軸恰交一點，但 $b^{2} - 4 a c = 0$ ，不小於 $0$ 。

判別式只管二次因式；別忘了二次因式的根可能剛好是

1

，會和

x - 1

這個因式重合。

04填充 7～9：因式定理、二次函數的平移與近似值

第 7 題由因式定理，

x + 1

、

x + 2

都是

f (x)

的因式，可設

f (x) = (x + 1) (x + 2) (p x + q)

。代

x = 1

：

2 \cdot 3 (p + q) = 6

，

p + q = 1

；代

x = 2

：

3 \cdot 4 (2 p + q) = 48

，

2 p + q = 4

。解得

p = 3

、

q = - 2

。

f (x)

除以

x

的餘式是

f (0) = 1 \cdot 2 \cdot (- 2) = - 4

。

第 8 題

y = a x^{2} + 2

的廣域特徵近似於

y = 2 x^{2}

，表示最高次項係數

a = 2

，

f (x) = 2 x^{2} + 2

。往左平移

h

單位、再向下平移

k

單位，得

y = 2 (x + h)^{2} + 2 - k = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 2 - k

。和

y = b x^{2} + 16 x + 10

比較係數：

b = 2

，

4 h = 16

得

h = 4

，

2 h^{2} + 2 - k = 10

即

34 - k = 10

，得

k = 24

。所以

(h, k) = (4, 24)

。

往左平移

h

是把

x

換成

x + h

；向下平移

k

是整個函數減去

k

。

第 9 題

$f (1.99) = 7 + 3 (- 0.01) + 5 (0.0001) + 2 (- 0.000001) = 7 - 0.03 + 0.0005 - 0.000002 = 6.970498$

四捨五入到小數點後第二位是 $6.97$ 。

後兩項

0.0005

與

- 0.000002

都影響不到小數點後第二位，只用前兩項

7 - 0.03

就能判斷。

05填充 10～12：高次不等式、對稱中心與恆在直線下方

第 10 題

1 - x^{3} = (1 - x) (1 + x + x^{2})

，而

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

恆正，可以約去。不等式變成

(1 - x) (x^{2} - 2 x - 2) > 0

，兩邊同乘

- 1

：

(x - 1) (x^{2} - 2 x - 2) < 0

。

x^{2} - 2 x - 2 = 0

的根是

1 \pm 3

，三個根由小到大是

1 - 3, 1, 1 + 3

。

(x - 1) (x - 1 + 3) (x - 1 - 3)

在最右段為正，往左每過一根變號一次，取負的區段：

x < 1 - 3

或

1 < x < 1 + 3

。

乘以

- 1

時不等號要反向；寫成區間是

(- \infty, 1 - 3) \cup (1, 1 + 3)

。

第 11 題

A

、

B

對稱於對稱中心，所以對稱中心是

\overline{A B}

的中點

(3, 21)

。設三次函數

f (x) = a (x - 3)^{3} + p (x - 3) + 21

。代原點：

- 27 a - 3 p + 21 = 0

，即

9 a + p = 7

；代

A (1, 17)

：

- 8 a - 2 p + 21 = 17

，即

4 a + p = 2

。兩式相減得

5 a = 5

，

a = 1

，

p = - 2

。所以

t = f (8) = 125 - 10 + 21 = 136

。

可代

B

檢查：

f (5) = 8 - 4 + 21 = 25

，正確。

第 12 題題目說是二次函數，所以

k \neq = 0

。「圖形恆在直線

y = 2 k x

下方」就是對所有實數

x

，

k x^{2} + 2 k^{2} x + 9 k < 2 k x

，即

k x^{2} + (2 k^{2} - 2 k) x + 9 k < 0

恆成立。這要求開口向下且判別式小於

0

：

k < 0

，且

(2 k^{2} - 2 k)^{2} - 4 \cdot k \cdot 9 k < 0

。後者整理成

4 k^{2} [(k - 1)^{2} - 9] < 0

；

k \neq = 0

時

4 k^{2} > 0

，所以

(k - 1)^{2} < 9

，

- 2 < k < 4

。和

k < 0

取交集：

- 2 < k < 0

。

06填充 13～16：餘式、對稱中心與多項式不等式

第 13 題

2 x^{2} + 2 x + 11 = 2 (x^{2} + x + 1) + 9

。令

u = x^{2} + x + 1

，

f (x) = (2 u + 9)^{4}

，展開後除了常數

9^{4}

以外，每一項都含有

u

的因式，都能被

x^{2} + x + 1

整除。所以餘式是

9^{4} = 6561

。

除式恰好出現在被除式裡時，把它看成一個整體，餘式就是把它換成

0

剩下的部分。

第 14 題令

X = 2 x + 1

，則

x + \frac{1}{2} = \frac{X}{2}

。代入：

f (X) = 16 \cdot \frac{X ^{3}}{8} - 48 \cdot \frac{X ^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{X}{2} - 2 = 2 X^{3} - 12 X^{2} + 2 X - 2

。配成以

X - 2

為中心的形式：

2 (X - 2)^{3} = 2 X^{3} - 12 X^{2} + 24 X - 16

，所以

f (X) = 2 (X - 2)^{3} - 22 X + 14 = 2 (X - 2)^{3} - 22 (X - 2) - 30

。對稱中心是

(2, - 30)

。

三次函數

a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的對稱中心

x

坐標是

- \frac{b}{3 a}

，這裡

- \frac{- 12}{6} = 2

，再算

f (2) = 16 - 48 + 4 - 2 = - 30

。

第 15 題除以

- x^{3} + 1

的餘式是

5 x + 7

，表示

f (x) - (5 x + 7)

是

x^{3} - 1

的倍式；兩邊都是

4

次、最高次項係數

2

，可設

f (x) - (5 x + 7) = (x^{3} - 1) (2 x + m) = 2 x^{4} + m x^{3} - 2 x - m

。所以

f (x) = 2 x^{4} + m x^{3} + 3 x + 7 - m

（

f (x)

沒有

x^{2}

項，與題目相符）。再由

f (- 1) = - 2

：

2 - m - 3 + 7 - m = 6 - 2 m = - 2

，

m = 4

。不等式

f (x) \leq 5 x + 7

即

(x^{3} - 1) (2 x + 4) \leq 0

，也就是

2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 2) \leq 0

。

x^{2} + x + 1

恆正可約去，得

(x - 1) (x + 2) \leq 0

，解為

- 2 \leq x \leq 1

。

不等式右邊恰好是題目給的餘式，移項後左邊就是「除式×商式」，不必把

f (x)

整個算出來再因式分解。

第 16 題設

f (x)

除以

x^{2} + x - 5

的餘式是

p x + q

。在除以

x^{2} + x - 5

的意義下，

x^{2}

可以換成

- x + 5

。

(x + 1) (p x + q) = p x^{2} + (p + q) x + q

，把

x^{2}

換成

- x + 5

：

p (- x + 5) + (p + q) x + q = q x + (5 p + q)

。和

2 x + 17

比較：

q = 2

，

5 p + q = 17

，

p = 3

。所以

f (x)

的餘式是

3 x + 2

。同樣地

x^{2} - 3

換成

(- x + 5) - 3 = - x + 2

，

(x^{2} - 3) f (x)

的餘式等於

(- x + 2) (3 x + 2) = - 3 x^{2} + 4 x + 4

的餘式，再把

x^{2}

換成

- x + 5

：

- 3 (- x + 5) + 4 x + 4 = 7 x - 11

。

「把

x^{2}

換成

- x + 5

」的根據是除法原理：

x^{2} = (x^{2} + x - 5) \cdot 1 + (- x + 5)

，差的部分是除式的倍式，不影響餘式。

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北一女中 113 上高一第二次段考數學試題、答案與詳解

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02單選 3、4：對稱中心附近的直線與除以平方式的餘式

03多選 5、6：二次函數的係數與三次方程式的實根

04填充 7～9：因式定理、二次函數的平移與近似值

05填充 10～12：高次不等式、對稱中心與恆在直線下方

06填充 13～16：餘式、對稱中心與多項式不等式

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北一女中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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