北一女中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (4)。

(1) 正確：$x<-1$ 時 $f^{\prime }(x)=2$，$f^{\prime }(-2)=2$。

(2) 正確：先看連續，$f(-1)=1-4-2=-5$，而 ${\lim }_{x\to -1^{-}}(2x-3)=-5$，在 $x=-1$ 連續。左導數 ${\lim }_{h\to 0^{-}}\frac{2(-1+h)-3-(-5)}{h}=2$；右導數 ${\lim }_{h\to 0^{+}}\frac{(-1+h{)}^2+4(-1+h)-2-(-5)}{h}={\lim }_{h\to 0^{+}}(h+2)=2$。兩者相等，$f^{\prime }(-1)=2$。

(3) 正確：$-1<x<1$ 時 $f^{\prime }(x)=2x+4$，$f^{\prime }(0)=4$。

(4) 錯誤：$f(1)=1+4-2=3$，但 ${\lim }_{x\to 1^{+}}(x^3+3x+1)=5\ne 3$，$f$ 在 $x=1$ 不連續，所以 $f^{\prime }(1)$ 不存在。

(5) 正確：$x>1$ 時 $f^{\prime }(x)=3x^2+3$，$f^{\prime }(2)=15$。

答案 (2)(5)。由圖：$x$ 很大時圖形往下、$x$ 很小時往上；與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方；極小點、極大點都在 $y$ 軸右側，且極大點比圖形與 $y$ 軸的交點高、極小點比它低。

(1) 錯誤。 $x$ 很大時 $f(x)\to -\infty$，所以 $a<0$。

(2) 正確。 反曲點的 $x$ 坐標 $-\frac{b}{3a}$ 在 $y$ 軸右側，$-\frac{b}{3a}>0$，又 $a<0$，所以 $b>0$。

(3) 錯誤。 $c=f^{\prime }(0)$，而圖形在 $x=0$ 處遞減，所以 $c<0$。

(4) 錯誤。 $d=f(0)$，圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方，$d<0$。

(5) 正確。 $f(x)-d=x\left(a{x}^2+bx+c\right)$。水平線 $y=d$ 通過 $(0,d)$；因為極小值 $<d<$ 極大值，這條水平線與圖形在 $y$ 軸右側還有兩個交點，也就是 $a{x}^2+bx+c=0$ 有兩個相異實根，判別式 $b^2-4ac>0$。

答案 (2)(3)(4)(5)。由圖，$1\le x\le 2$ 時 $f(x)\ge 0$，$2\le x\le 4$ 時 $f(x)\le 0$，塗色區域就是 $2\le x\le 4$ 這一段，所以 ${\int }_2^{4}f(x)dx=-3.2$，${\int }_1^{2}f(x)dx=-2.7-(-3.2)=0.5$。

(1) 錯誤。 曲線在 $x$ 軸下方，定積分是 $-3.2$。

(2) 正確。 上面算得 $0.5$。

(3) 正確。 $2{\int }_1^{4}f(x)dx+{\int }_1^{4}1dx=2(-2.7)+3=-2.4$。

(4) 正確。 $0.5-(-3.2)=3.7$。

(5) 正確。 ${\int }_1^4\left|f(x)\right|dx={\int }_1^{2}f(x)dx-{\int }_2^{4}f(x)dx=0.5+3.2=3.7$。

(1) $f^{\prime }(x)=3x^2+4x+1$，$f^{\prime }(1)=8$，切線 $L:y-6=8(x-1)$，即 $y=8x-2$。

(2) 聯立 $x^3+2x^2+x+2=8x-2$：$x^3+2x^2-7x+4=0$。切點 $x=1$ 是重根，因式分解得 $(x-1{)}^2(x+4)=0$，$x=1$ 或 $x=-4$。$x=-4$ 時 $y=8(-4)-2=-34$。交點為 $(1,6)$ 與 $(-4,-34)$。

拆成兩個差商：

$$\frac{f(3+8h)-f(3+h)}{3h}=\frac{8}{3}\cdot \frac{f(3+8h)-f(3)}{8h}-\frac{1}{3}\cdot \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

$h\to 0$ 時兩個差商都趨近 $f^{\prime }(3)$，極限為 $\frac{8}{3}{f}^{\prime }(3)-\frac{1}{3}{f}^{\prime }(3)=\frac{7}{3}{f}^{\prime }(3)$。$f^{\prime }(x)=3x^2$，$f^{\prime }(3)=27$，所求 $=\frac{7}{3}\times 27=63$。

分開算，每個絕對值在零點處分段：

${\int }_0^4\left|x-1\right|dx={\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^4(x-1)dx=\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=5$；

${\int }_0^4\left|x-2\right|dx={\int }_0^2(2-x)dx+{\int }_2^4(x-2)dx=2+2=4$。

所求 $=5+4=9$。

$f(x)-g(x)=x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1)$，交點的 $x$ 坐標為 $-2$、$0$、$1$。$-2<x<0$ 時 $f-g>0$，$0<x<1$ 時 $f-g<0$。令 $F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2$：

${\int }_{-2}^0(f-g)dx=F(0)-F(-2)=0-\left(4-\frac{8}{3}-4\right)=\frac{8}{3}$；

${\int }_0^1(g-f)dx=-\left(F(1)-F(0)\right)=-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1\right)=\frac{5}{12}$。

面積 $=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}$。

由展開圖：中間一列的高是 $12-2x$；水平方向依序是寬 $x$ 的側面、長方體的底（設長為 $\ell$）、寬 $x$ 的另一個側面、再一個長 $\ell$ 的面（蓋子），所以 $x+\ell +x+\ell =12$，$\ell =6-x$。長方體三邊為 $6-x$、$12-2x$、$x$，$0<x<6$。

$V(x)=x(6-x)(12-2x)=2x(6-x{)}^2=2x^3-24x^2+72x$，

$V^{\prime }(x)=6x^2-48x+72=6(x-2)(x-6)$。

在 $0<x<6$ 內，$0<x<2$ 時 $V^{\prime }>0$、$2<x<6$ 時 $V^{\prime }<0$，$x=2$ 時 $V$ 有最大值 $V(2)=2\times 2\times 4^2=64$（立方公分）。

兩邊對 $x$ 微分（微積分基本定理）：$f(x)=3x^4-16x^3+18x^2+1$。

$f^{\prime }(x)=12x^3-48x^2+36x=12x(x-1)(x-3)$。增減：$x<0$ 減、$0<x<1$ 增、$1<x<3$ 減、$x>3$ 增，所以極小值在 $x=0$ 與 $x=3$：$f(0)=1$，$f(3)=243-432+162+1=-26$。$f$ 是首項係數為正的四次函數，最小值是兩個極小值中較小的 $-26$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$，$f^{\prime \prime }(x)=6x-6$。

增減：$x<-1$ 增、$-1<x<3$ 減、$x>3$ 增。極大點 $(-1,f(-1))=(-1,5)$，極小點 $(3,f(3))=(3,-27)$。

$f^{\prime \prime }(x)=0$ 得 $x=1$，左右 $f^{\prime \prime }$ 變號，反曲點 $(1,f(1))=(1,-11)$（也是兩極值點的中點）。

與 $y$ 軸交點 $(0,0)$。另外 $f(x)=x\left(x^2-3x-9\right)$，與 $x$ 軸交於 $x=0$ 與 $x=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}$。依這些點畫出圖形（下圖，縱軸已縮小比例）。

看 $y=f(x)=x^3-3x^2-9x$ 與 $y=k$ 的交點。$x<0$ 時，$f$ 在 $x<-1$ 由 $-\infty$ 增到 $5$，在 $-1<x<0$ 由 $5$ 減到 $0$；$x>0$ 時，$f$ 在 $0<x<3$ 由 $0$ 減到 $-27$，$x>3$ 再增到 $+\infty$。

兩個相異正根：$-27<k<0$。此時 $k<0$，在 $x<0$ 只交於 $x<-1$ 那一段一次，恰一個負根。所以 $-27<k<0$。

圓心 $\left(-2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)$、半徑 $2$。圓心到直線 $x-y=0$ 的距離 $\frac{\left|-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right|}{\sqrt{2}}=4>2$，圓盤整個在直線的同一側。

把整個平面繞原點順時針旋轉 $45^{\circ }$，旋轉不改變形狀與大小，直線 $y=x$ 轉到 $x$ 軸。旋轉矩陣 $\left[\begin{array}{cc}\cos 45^{\circ }& \sin 45^{\circ }\\ -\sin 45^{\circ }& \cos 45^{\circ }\end{array}\right]$ 把圓心轉到 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-2\sqrt{2})+\frac{\sqrt{2}}{2}(2\sqrt{2}),\frac{\sqrt{2}}{2}(2\sqrt{2})+\frac{\sqrt{2}}{2}(2\sqrt{2})\right)=(0,4)$。問題變成：圓盤 $x^2+(y-4{)}^2\le 4$ 繞 $x$ 軸旋轉的體積。

在 $-2\le x\le 2$ 處，圓盤的上緣 $y=4+\sqrt{4-x^2}$、下緣 $y=4-\sqrt{4-x^2}$，截面是圓環，面積

$$\pi \left[{\left(4+\sqrt{4-x^2}\right)}^2-{\left(4-\sqrt{4-x^2}\right)}^2\right]=16\pi \sqrt{4-x^2}$$

體積 $={\int }_{-2}^{2}16\pi \sqrt{4-x^2}dx=16\pi {\int }_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx$。${\int }_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx$ 是半徑 $2$ 的上半圓面積 $2\pi$，所以體積 $=16\pi \times 2\pi =32{\pi }^2$。