段考詳解範圍：指數函數與圖形、對數與對數律、對數函數與圖形、指數與對數函數的應用

北一女中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題選項 (2) 的對數真數是負五，根本沒有意義；第 5 題選項 (2) 的兩個函數其實是同一個，同一個圖形自己對 y 軸翻過去不會重合，選項 (5) 要把點對直線 y 等於 x 加 3 的對稱點實際代進去；第 10 題底數零點二小於一，去掉對數時不等號要反向，而且兩個真數都要大於零；第 13 題複利題要用卷上給的參考數值，四捨五入到整數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、多重選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、填充題 7 題共 8 格（每格 6 分，共 48 分）、混合題 2 題（單選 4 分、非選擇題 6 分，共 10 分），合計 100 分。原卷各大題的題號各自從 1 起算，本頁改成全卷連續編號：第 1、2 題是單選題，第 3～7 題是多重選擇題第 1～5 題，第 8～14 題是填充題第 1～7 題，第 15、16 題是混合題第 1、2 題。卷頭附參考數值 log 2 ≈ 0.3010、log 3 ≈ 0.4771、log 7 ≈ 0.8451，並註明本次考試不能使用計算機。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 6 分，共 12 分）

坐標平面上滿足

lo g_{7} 5^{x} + lo g_{6} 4^{y} = 3

的所有點

(x, y)

所形成的圖形為下列何者？

(1) 點
(2) 直線
(3) 射線
(4) 線段
(5) 圓

已知

x

為任意實數，求

5^{2 x^{2} + 4 x}

的最小值為何？

(1) $1$
(2) $- 2$
(3) $25$
(4) $\frac{1}{25}$
(5) $5$

二、多重選擇題（每題 6 分，錯 1 個選項得 4 分，錯 2 個選項得 2 分，錯 3 個選項以上或未作答得 0 分，共 30 分）

下列選項哪些正確？

(1) $(\frac{1}{2})^{l o g_{4} 3} = \frac{1}{9}$
(2) $lo g_{2} (- 5)^{2} = 2 lo g_{2} (- 5)$
(3) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$
(4) $lo g_{3} 16 - lo g_{3} 4 = \frac{lo g _{3} 16}{lo g _{3} 4}$
(5) $lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 3}$

在函數圖形

y = 2^{x}

上，標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

，請問下列敘述哪些正確？

(1) 函數圖形 $y = 2^{x}$ 為一凹口向上的圖形
(2) 在 $\overline{A B}$ 、 $\overline{B C}$ 、 $\overline{C D}$ 中，以 $\overline{C D}$ 的斜率最大
(3) 直線 $y = 2 x$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形有兩個交點
(4) 點 $A$ 與點 $C$ 對稱於 $y$ 軸
(5) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 下方

設

f (x) = 0. 5^{x}

、

f_{1} (x) = - 0. 5^{x}

、

f_{2} (x) = 2^{- x}

、

f_{3} (x) = 2^{x}

、

f_{4} (x) = lo g_{2} x

、

f_{5} (x) = lo g_{0.5} x

，請問下列敘述哪些正確？

(1) $y = f (x)$ 的圖形和 $y = f_{1} (x)$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(2) $y = f (x)$ 的圖形和 $y = f_{2} (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(3) $y = f (x)$ 的圖形和 $y = f_{3} (x)$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(4) $y = f (x)$ 的圖形和 $y = f_{4} (- x)$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(5) $y = f (x + 3)$ 的圖形和 $y = f_{5} (x + 3)$ 的圖形對稱於直線 $x - y = - 3$

設

P (a, b)

、

Q (c, d)

兩點均在對數函數

y = lo g_{2} x

的圖形上，請問下列哪些點會在

y = lo g_{2} (2 x)

的圖形上？

(1) $(4, 3)$
(2) $(a, b + 1)$
(3) $(\frac{1}{c}, 1 - d)$
(4) $(a^{2}, 2 b)$
(5) $P$ 與 $Q$ 的中點 $R$

設

a = lo g (lo g 2025)

、

b = lo g (202 5^{2})

、

c = (lo g 2025)^{2}

，請問下列選項哪些正確？

(1) $b > 6$
(2) $a > b$
(3) $b > c$
(4) $lo g b = 2 a$
(5) $1 0^{a} = c$

三、填充題（每格 6 分，共 48 分）

試求

\frac{2 + lo g 2 - 2 lo g 5}{3 lo g \frac{1}{2}} =

____。

設

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 3} + 12

，若

f (x)

在

x = a

時有最小值

b

，則： (1)

a =

____ (2)

b =

____

不等式

lo g_{0.2} (x - 1) + lo g_{0.2} (x - 2) \geq lo g_{0.2} 12

的解為 ____。

研究顯示：服用某藥物後，在使用者體內的藥物殘留量隨時間呈指數型衰退。已知在服用某藥物

6

小時後，體內仍殘留有該藥物一半的劑量，若要讓體內藥物劑量降至原來的

5%

以下，則至少需要 ____ 小時。

設一直角三角形的兩股長分別為

\frac{lo g 2 2}{lo g 3}

與

\frac{lo g 16}{lo g 9}

，已知此直角三角形的周長為

lo g_{3} x

，則

x =

____。

已知某銀行推出年利率為

2%

，以複利計息（每年複利一次）的儲蓄方案。若小綠打算在今年存入一筆錢，並期待這筆錢在十年後一次領回本利和時可達到十萬元，則小綠今年應存入至少 ____ 元。（四捨五入至整數位） （參考數值：

lo g 1.02 \approx 0.0086

、

1 0^{0.914} \approx 8.20352

）

已知將

y = 2^{x}

向右平移

3

單位，再向上平移

a

單位後，可得函數

y = f (x)

，將

y = lo g_{2} x

的圖形向右平移

5

單位，再向上平移

b

單位，可得函數

y = g (x)

，若

y = f (x)

與

y = g (x)

兩圖形對稱於直線

y = x

，則數對

(a, b) =

____。

四、混合題（共 10 分）（非選擇題須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。）

混合題第 15、16 題（第 15～16 題）　近年來，科學家發現「狗狗年齡

\times 7 =

人類年齡」的傳統換算方式其實並不準確，因此某動物醫學研究提出一個新的簡化換算公式：

人類年齡 = 18 lo g_{2} (狗狗年齡) + 31

x 2^{x} 估計值 12 1.1 2.144 1.2 2.297 1.3 2.462 1.4 2.639 1.5 2.828 1.6 3.031 1.7 3.249 1.8 3.482

試以上述新的簡化換算公式與對照表回答下列問題。

〔單選題，4 分〕小葵帶他家的狗狗小白去獸醫院檢查時，醫生告訴他：「小白今年已經

3

歲了！」，請問狗狗的

3

歲大約相當於人類的幾歲？

(1) $30$ 歲
(2) $40$ 歲
(3) $50$ 歲
(4) $60$ 歲
(5) $70$ 歲

〔非選擇題，6 分〕美芽今年

58

歲，他很好奇人類的

58

歲，相當於是狗狗實際年齡的幾歲？ （四捨五入至小數點後第一位）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(3)(5)

第 4 題(1)(2)(3)(5)

第 5 題(1)(5)

第 6 題(1)(2)(3)

第 7 題(1)(5)

第 8 題

- 1

第 9 題(1)

2

；(2)

- 4

第 10 題

2 < x \leq 5

第 11 題

26

第 12 題

64

第 13 題

82035

（學校註明

82036

亦給分）

第 14 題

(5, 3)

第 15 題(4)

第 16 題

2.8

歲

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：對數律化簡、配方求最小值

第 1 題

答案 (2)。 $5^{x}$ 與 $4^{y}$ 對任意實數 $x, y$ 都是正數，所以真數沒有限制， $x, y$ 可以是任意實數。由對數律 $lo g_{a} b^{r} = r lo g_{a} b$ ：

$lo g_{7} 5^{x} + lo g_{6} 4^{y} = x lo g_{7} 5 + y lo g_{6} 4 = 3$

$lo g_{7} 5$ 與 $lo g_{6} 4$ 都是不為 $0$ 的常數（兩者都是正數），所以這是 $x, y$ 的二元一次方程式，圖形是一條直線。

如果真數是

x

、

y

本身（例如

lo g_{7} x + lo g_{6} y = 3

），就要加上

x > 0

、

y > 0

的限制，圖形會變成曲線的一部分；本題真數是

5^{x}

、

4^{y}

，永遠是正數，不受限制。

第 2 題

答案 (4)。底數 $5 > 1$ ， $5^{t}$ 隨 $t$ 增加而增加，所以只要找指數 $2 x^{2} + 4 x$ 的最小值。配方：

$2 x^{2} + 4 x = 2 (x + 1)^{2} - 2 \geq - 2$

等號在 $x = - 1$ 時成立，所以最小值是 $5^{- 2} = \frac{1}{25}$ 。

選項 (2) 的

- 2

是指數的最小值，不是整個式子的最小值；

5

的任何次方都是正數，不可能是負的。

02多重選擇題（第 3～7 題）：對數律、指數函數的圖形、圖形的對稱、對數函數上的點、常用對數比大小

第 3 題

答案 (3)(5)。

(1) 錯誤。 $lo g_{4} 3 = \frac{l o g _{2} 3}{l o g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 3$ ，所以

$(\frac{1}{2})^{l o g_{4} 3} = 2^{- \frac{1}{2} l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{- \frac{1}{2}} = 3^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \neq = \frac{1}{9}$

(2) 錯誤。 真數要大於 $0$ ， $lo g_{2} (- 5)$ 沒有意義。左邊 $lo g_{2} (- 5)^{2} = lo g_{2} 25$ 有意義，右邊沒有意義，等式不成立。

(3) 正確。 $lo g_{4} 9 = \frac{l o g _{2} 9}{l o g _{2} 4} = \frac{2 l o g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ 。

(4) 錯誤。 左邊 $lo g_{3} 16 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{16}{4} = lo g_{3} 4$ ；右邊由換底公式 $\frac{l o g _{3} 16}{l o g _{3} 4} = lo g_{4} 16 = 2$ 。 $3^{2} = 9 \neq = 4$ ，所以 $lo g_{3} 4 \neq = 2$ 。

(5) 正確。 換底公式： $lo g_{3} 2 = \frac{l o g 2}{l o g 3}$ ， $lo g_{2} 3 = \frac{l o g 3}{l o g 2}$ ，兩者互為倒數。

(4) 是把「對數相減＝真數相除」誤寫成「對數相除」。

lo g_{3} 4

約

1.26

，不等於

2

。

第 4 題

答案 (1)(2)(3)(5)。四點是 $A (- 1, \frac{1}{2})$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (1, 2)$ 、 $D (2, 4)$ 。

(1) 正確。 底數大於 $1$ 的指數函數圖形凹口向上。

(2) 正確。 斜率依序是 $\overline{A B}$ ： $\frac{1 - \frac{1}{2}}{0 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}$ ； $\overline{B C}$ ： $\frac{2 - 1}{1 - 0} = 1$ ； $\overline{C D}$ ： $\frac{4 - 2}{2 - 1} = 2$ 。 $\overline{C D}$ 最大。

(3) 正確。 $x = 1$ 時 $2 x = 2 = 2^{1}$ ， $x = 2$ 時 $2 x = 4 = 2^{2}$ ，所以 $C (1, 2)$ 、 $D (2, 4)$ 都是交點。在同一坐標平面畫出 $y = 2^{x}$ 與 $y = 2 x$ 的圖形，可以看出兩圖形只在 $C (1, 2)$ 、 $D (2, 4)$ 兩點相交： $x < 1$ 時 $y = 2^{x}$ 在直線上方， $1 < x < 2$ 時在直線下方， $x > 2$ 後又回到直線上方。所以恰有兩個交點。

(4) 錯誤。 對稱於 $y$ 軸的兩點 $y$ 坐標要相同， $A$ 的 $y$ 坐標是 $\frac{1}{2}$ ， $C$ 的是 $2$ ，不對稱。（ $A$ 對 $y$ 軸的對稱點是 $(1, \frac{1}{2})$ ，在 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 上。）

(5) 正確。 直線 $A C$ 的斜率是 $\frac{2 - \frac{1}{2}}{1 - ( - 1 )} = \frac{3}{4}$ ，過 $C (1, 2)$ ，在 $x = 0$ 時高度是 $2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ 。 $B$ 的高度是 $1 < \frac{5}{4}$ ，所以 $B$ 在直線 $A C$ 的下方。

(5) 正是「凹口向上」的意思：圖形上兩點連成的線段，落在這兩點之間那一段圖形的上方。

第 5 題

答案 (1)(5)。先整理： $f_{2} (x) = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x} = 0. 5^{x}$ ，和 $f (x)$ 是同一個函數。

(1) 正確。 $f_{1} (x) = - 0. 5^{x} = - f (x)$ ，同一個 $x$ 的函數值變號，圖形對稱於 $x$ 軸。

(2) 錯誤。 $f_{2}$ 與 $f$ 是同一個圖形。 $y = 0. 5^{x}$ 的圖形對 $y$ 軸翻過去是 $y = 0. 5^{- x} = 2^{x}$ ，不是它自己（例如點 $(1, 0.5)$ 翻過去是 $(- 1, 0.5)$ ，但 $f (- 1) = 2$ ），所以這兩個圖形不對稱於 $y$ 軸。

(3) 錯誤。 $f_{3} (x) = 2^{x} = 0. 5^{- x} = f (- x)$ ， $y = f (x)$ 與 $y = f_{3} (x)$ 是對稱於 $y$ 軸，不是 $x$ 軸。兩個圖形都在 $x$ 軸上方，不可能對稱於 $x$ 軸。

(4) 錯誤。 $y = f (x) = 0. 5^{x}$ 對直線 $y = x$ 的對稱圖形是它的反函數 $y = lo g_{0.5} x$ ，定義域是 $x > 0$ 。而 $y = f_{4} (- x) = lo g_{2} (- x)$ 的定義域是 $x < 0$ ，兩者不同。

(5) 正確。 直線 $x - y = - 3$ 就是 $y = x + 3$ 。點 $(p, q)$ 對這條直線的對稱點是 $(q - 3, p + 3)$ （兩點的中點 $(\frac{p + q - 3}{2}, \frac{p + q + 3}{2})$ 在直線上，連線斜率是 $- 1$ ，和直線垂直）。取 $y = f (x + 3) = 0. 5^{x + 3}$ 上任一點 $(t, 0. 5^{t + 3})$ ，它的對稱點是 $(0. 5^{t + 3} - 3, t + 3)$ ，代入 $y = f_{5} (x + 3)$ ：

$f_{5} (0. 5^{t + 3} - 3 + 3) = lo g_{0.5} 0. 5^{t + 3} = t + 3$

正好等於對稱點的 $y$ 坐標，所以對稱點都在 $y = f_{5} (x + 3)$ 上。反過來， $y = f_{5} (x + 3)$ 上的點 $(s, lo g_{0.5} (s + 3))$ 的對稱點是 $(lo g_{0.5} (s + 3) - 3, s + 3)$ ，代入 $f (x + 3)$ 得 $0. 5^{l o g_{0.5} (s + 3)} = s + 3$ ，也在 $y = f (x + 3)$ 上。兩個圖形對稱於 $x - y = - 3$ 。

(5) 也可以用平移看：

y = 0. 5^{x}

與

y = lo g_{0.5} x

對稱於

y = x

。兩者同時向左平移

3

單位得到

y = f (x + 3)

與

y = f_{5} (x + 3)

，對稱軸

y = x

也跟著向左平移

3

，變成

y = x + 3

，也就是

x - y = - 3

。

第 6 題

答案 (1)(2)(3)。 $P$ 、 $Q$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，所以 $a > 0$ 、 $c > 0$ ， $b = lo g_{2} a$ ， $d = lo g_{2} c$ 。又 $lo g_{2} (2 x) = 1 + lo g_{2} x$ ，所以點 $(s, t)$ 在 $y = lo g_{2} (2 x)$ 上的條件是 $s > 0$ 且 $t = 1 + lo g_{2} s$ 。

(1) 正確。 $1 + lo g_{2} 4 = 1 + 2 = 3$ 。

(2) 正確。 $1 + lo g_{2} a = 1 + b$ 。

(3) 正確。 $\frac{1}{c} > 0$ ， $1 + lo g_{2} \frac{1}{c} = 1 - lo g_{2} c = 1 - d$ 。

(4) 錯誤。 $1 + lo g_{2} a^{2} = 1 + 2 lo g_{2} a = 1 + 2 b \neq = 2 b$ 。

(5) 錯誤。 中點 $R (\frac{a + c}{2}, \frac{b + d}{2})$ 。要在圖形上需要 $1 + lo g_{2} \frac{a + c}{2} = lo g_{2} (a + c)$ 等於 $\frac{b + d}{2} = \frac{1}{2} lo g_{2} (a c) = lo g_{2} a c$ ，也就是 $a + c = a c$ 。但由算幾不等式 $a + c \geq 2 a c > a c$ ，不可能相等，所以 $R$ 不在圖形上。

y = lo g_{2} (2 x)

的圖形就是把

y = lo g_{2} x

向上平移

1

單位；(2) 正是這個平移。

第 7 題

答案 (1)(5)。令 $L = lo g 2025$ 。因為 $1000 < 2025 < 10000$ ，所以 $3 < L < 4$ 。用卷頭參考數值， $2025 = 4 5^{2} = 3^{4} \times 5^{2}$ ，

$L = 4 lo g 3 + 2 (1 - lo g 2) \approx 4 \times 0.4771 + 2 \times 0.6990 = 3.3064$

於是 $a = lo g L$ 、 $b = 2 L$ 、 $c = L^{2}$ 。

(1) 正確。 $b = 2 L > 2 \times 3 = 6$ 。

(2) 錯誤。 $L < 10$ ，所以 $a = lo g L < 1$ ；而 $b > 6$ ， $a < b$ 。

(3) 錯誤。 $b - c = 2 L - L^{2} = L (2 - L)$ ， $L > 3$ 時這是負的，所以 $b < c$ 。

(4) 錯誤。 $lo g b = lo g (2 L) = lo g 2 + lo g L = lo g 2 + a$ ； $2 a = 2 lo g L = lo g L^{2} = lo g c$ 。由 (3)， $b \neq = c$ ，所以 $lo g b \neq = 2 a$ 。

(5) 正確。 $1 0^{a} = 1 0^{l o g L} = L$ ，而 $c = L^{2} = L$ （ $L > 0$ ），兩者相等。

近似值：

a \approx 0.519

、

b \approx 6.613

、

c \approx 10.93

。

對數題先看真數與底數有沒有意義，再用對數律與換底公式把式子化成同底；比大小時先把要比的量都寫成同一個量的函數。

03填充題（第 8～11 題）：常用對數的運算、指數型函數的最小值、對數不等式、半衰期

第 8 題

分子用 $2 = lo g 100$ 與對數律合併：

$2 + lo g 2 - 2 lo g 5 = lo g 100 + lo g 2 - lo g 25 = lo g \frac{100 \times 2}{25} = lo g 8 = 3 lo g 2$

分母是 $3 lo g \frac{1}{2} = - 3 lo g 2$ 。所以

$\frac{3 lo g 2}{- 3 lo g 2} = - 1$

第 9 題

令 $t = 2^{x}$ ，則 $t > 0$ ， $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ ， $2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x} = 8 t$ ：

$f (x) = t^{2} - 8 t + 12 = (t - 4)^{2} - 4$

$t = 4$ 在 $t > 0$ 的範圍內，所以最小值是 $- 4$ ，此時 $2^{x} = 4$ ， $x = 2$ 。

(1) $a = 2$ ；(2) $b = - 4$ 。

代回檢查：

f (2) = 16 - 32 + 12 = - 4

。

第 10 題

先列真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $x - 2 > 0$ ，所以 $x > 2$ 。

在 $x > 2$ 時，左邊合併成 $lo g_{0.2} ((x - 1) (x - 2))$ 。底數 $0.2 < 1$ ， $lo g_{0.2}$ 是遞減函數，去掉對數時不等號要反向：

$(x - 1) (x - 2) \leq 12 ⟹ x^{2} - 3 x - 10 \leq 0 ⟹ (x - 5) (x + 2) \leq 0 ⟹ - 2 \leq x \leq 5$

再和 $x > 2$ 取交集，解為 $2 < x \leq 5$ 。

x = 5

時左邊是

lo g_{0.2} 4 + lo g_{0.2} 3 = lo g_{0.2} 12

，等號成立，所以

5

要包含在內。

第 11 題

設原來的劑量是 $A$ 。每 $6$ 小時剩一半，所以 $t$ 小時後剩下 $A (\frac{1}{2})^{\frac{t}{6}}$ 。要降到 $5%$ 以下：

$(\frac{1}{2})^{\frac{t}{6}} \leq \frac{5}{100} = \frac{1}{20} ⟹ 2^{\frac{t}{6}} \geq 20$

兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）：

$\frac{t}{6} lo g 2 \geq lo g 20 = 1 + lo g 2 ⟹ t \geq \frac{6 ( 1 + lo g 2 )}{lo g 2} \approx \frac{6 \times 1.3010}{0.3010} \approx 25.93$

所以至少需要約 $25.93$ 小時；以整數小時計，至少需要 $26$ 小時。

卷面沒有寫取整數；學校答案為

26

，即以整數小時計。若不取整，所需時間

t \geq 6 lo g_{2} 20 \approx 25.93

。檢查：

2^{4} = 16 < 20 < 32 = 2^{5}

，所以

\frac{t}{6}

介於

4

與

5

之間，

t

介於

24

與

30

之間，和

25.93

相符。

04填充題（第 12～14 題）：換底公式、複利、平移後互為反函數

第 12 題

把兩股都寫成 $lo g_{3} 2$ 的倍數。 $lo g 22 = lo g 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g 2$ ， $lo g 16 = 4 lo g 2$ ， $lo g 9 = 2 lo g 3$ ：

$\frac{lo g 2 2}{lo g 3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 3} = \frac{3}{2} lo g_{3} 2, \frac{lo g 16}{lo g 9} = \frac{4 lo g 2}{2 lo g 3} = 2 lo g_{3} 2$

令 $u = lo g_{3} 2 > 0$ ，兩股是 $\frac{3}{2} u$ 與 $2 u$ ，斜邊是

$\frac{9}{4} u^{2} + 4 u^{2} = \frac{25}{4} u^{2} = \frac{5}{2} u$

周長是 $\frac{3}{2} u + 2 u + \frac{5}{2} u = 6 u = 6 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2^{6} = lo g_{3} 64$ ，所以 $x = 64$ 。

三邊比是

3 : 4 : 5

。

第 13 題

設今年存入 $P$ 元。年利率 $2%$ 、每年複利一次，十年後本利和是 $P (1.02)^{10}$ 。要達到十萬元：

$P (1.02)^{10} \geq 100000 ⟹ P \geq \frac{1 0 ^{5}}{( 1.02 ) ^{10}}$

取常用對數： $lo g \frac{1 0 ^{5}}{( 1.02 ) ^{10}} = 5 - 10 lo g 1.02 \approx 5 - 0.086 = 4.914$ ，所以

$\frac{1 0 ^{5}}{( 1.02 ) ^{10}} \approx 1 0^{4.914} = 1 0^{4} \times 1 0^{0.914} \approx 1 0^{4} \times 8.20352 = 82035.2$

四捨五入至整數位，至少應存入 $82035$ 元。

1 0^{4.914}

拆成

1 0^{4} \times 1 0^{0.914}

，再用卷上給的

1 0^{0.914} \approx 8.20352

。學校公布的答案是

82035

，並註明

82036

也給分：依卷上參考數值算出的最小金額約

82035.2

元，四捨五入是

82035

；若照「至少」把小數無條件進位，就是

82036

。

第 14 題

$y = 2^{x}$ 向右平移 $3$ 、再向上平移 $a$ ： $f (x) = 2^{x - 3} + a$ 。 $y = lo g_{2} x$ 向右平移 $5$ 、再向上平移 $b$ ： $g (x) = lo g_{2} (x - 5) + b$ 。

兩圖形對稱於 $y = x$ ，表示 $g$ 是 $f$ 的反函數。由 $y = 2^{x - 3} + a$ 解 $x$ ： $2^{x - 3} = y - a$ ， $x = lo g_{2} (y - a) + 3$ 。所以 $f$ 的反函數是

$y = lo g_{2} (x - a) + 3$

和 $g (x) = lo g_{2} (x - 5) + b$ 比較， $a = 5$ 、 $b = 3$ ， $(a, b) = (5, 3)$ 。

也可以用平移看：

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

對稱於

y = x

；把前者向右移

3

、向上移

a

，對稱圖形就是後者向上移

3

、向右移

a

。所以

a = 5

、

b = 3

。

應用題先把「每隔多久變成幾倍」寫成指數式，再兩邊取常用對數；用卷上給的參考數值算，注意題目要求的取捨方式。

05混合題（第 15、16 題）：狗狗年齡的對數換算

第 15 題

答案 (4)。狗狗 $3$ 歲時，人類年齡是 $18 lo g_{2} 3 + 31$ 。由對照表， $2^{1.5} \approx 2.828 < 3 < 3.031 \approx 2^{1.6}$ ，而 $y = 2^{x}$ 是遞增函數，所以 $1.5 < lo g_{2} 3 < 1.6$ ，人類年齡介於

$18 \times 1.5 + 31 = 58 與 18 \times 1.6 + 31 = 59.8$

之間，大約是 $60$ 歲。

用卷頭參考數值：

lo g_{2} 3 = \frac{l o g 3}{l o g 2} \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585

，人類年齡約

18 \times 1.585 + 31 \approx 59.5

歲。

第 16 題

設狗狗年齡為 $d$ 歲。人類年齡 $58$ 代入公式：

$58 = 18 lo g_{2} d + 31 ⟹ lo g_{2} d = \frac{27}{18} = 1.5 ⟹ d = 2^{1.5}$

由對照表 $2^{1.5} \approx 2.828$ ，四捨五入至小數點後第一位，相當於狗狗的 $2.8$ 歲。

2^{1.5} = 22

，

2 \approx 1.414

，也可以算出約

2.828

。

對數模型反求真數時，先把對數單獨移到一邊，再化回指數；對照表給的就是需要的指數值。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題選項 (2) 的對數真數是負五，根本沒有意義；第 5 題選項 (2) 的兩個函數其實是同一個，同一個圖形自己對 y 軸翻過去不會重合，選項 (5) 要把點對直線 y 等於 x 加 3 的對稱點實際代進去；第 10 題底數零點二小於一，去掉對數時不等號要反向，而且兩個真數都要大於零；第 13 題複利題要用卷上給的參考數值，四捨五入到整數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1、2 題）：對數律化簡、配方求最小值

02多重選擇題（第 3～7 題）：對數律、指數函數的圖形、圖形的對稱、對數函數上的點、常用對數比大小

03填充題（第 8～11 題）：常用對數的運算、指數型函數的最小值、對數不等式、半衰期

04填充題（第 12～14 題）：換底公式、複利、平移後互為反函數

05混合題（第 15、16 題）：狗狗年齡的對數換算

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常見問題

北一女中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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北一女中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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