段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合、極坐標）

北一女中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 13 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 6 題選項 (4) 平移時係數要乘進括號裡；多選第 7 題選項 (4) 沒有說 a 是正數，a 為負時那一點是最小值；選填 D（本頁第 11 題）有兩個候選解離範圍端點很近，一個在內一個在外；選填 F（第 13 題）分成 6 個區域有三線共點與兩線平行兩類情形。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 13 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 13 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 7 分，共 28 分）、多選題 3 題（每題 10 分，共 30 分）、選填題 6 題（每題 7 分，共 42 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，其中 1 題本站答案不同，理由見該題詳解

一、單選題（28 分）｜說明：第 1 至 4 題為單選題，每題答對者得 7 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者得 0 分。

設

a = sin 1 2^{\circ} cos 3 4^{\circ} + cos 5 6^{\circ} sin 7 8^{\circ}

，

b = cos 7 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} + cos 5 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}

，

c = cos (- 7)^{\circ} sin 15 7^{\circ} + sin 6 7^{\circ} cos 8 3^{\circ}

，試問

a, b, c

的大小關係為下列何者？

(1) $a > b > c$
(2) $b > c > a$
(3) $c > a > b$
(4) $b > a > c$
(5) $c > b > a$

設

sin α = 0.6

，

sin β = 0.8

，

cos α \cdot cos β < 0

，其中

α, β

為實數，試問

cos (α + β)

的值為下列何者？

(1) $- 1$
(2) $- 0.96$
(3) $0$
(4) $0.96$
(5) $1$

在直角三角形

△ A B C

中，

∠ B = \frac{π}{2}

（弳），

∠ A = 2 α

（弳），以點

A

為圓心，

\overline{A B}

為半徑做圓弧

B D

交

\overline{A C}

於

D

。已知扇形

A D B

的面積為

△ A B C

的

\frac{1}{3}

倍，試問

\frac{tan 2 α}{3 α}

的值為下列何者？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $4$
(4) $5$
(5) $6$

設

180 \leq x \leq 360

，且

(60 x)^{\circ}

與

x

（弳）所代表的角為同界角，試問

x

的值較接近下列何者？

(1) $190$
(2) $210$
(3) $240$
(4) $270$
(5) $300$

二、多選題（30 分）｜說明：第 5 至 7 題為多選題，每題全對得 10 分、錯一個選項得 9 分、錯二個選項得 7 分、錯三個選項得 4 分，其餘皆為 0 分。

試問下列哪些函數的圖形與

y = cos (2 x - π)

的圖形重合？

(1) $y = sin (2 x - \frac{π}{2})$
(2) $y = cos (2 x - 2 π)$
(3) $y = 2 cos (x - \frac{π}{2})$
(4) $y = sin (2 x + \frac{3 π}{2})$
(5) $y = cos (2 x + π)$

將

y = f (x) = 2 sin 3 x

的函數圖形，先以

y

軸為基準線，水平伸縮為原來的

2

倍，再向右平移

π

單位，得到

y = g (x)

的函數圖形，試選出正確的選項。

(1) $y = f (x)$ 的函數圖形的週期為 $6 π$
(2) $y = f (x)$ 的函數圖形對稱於直線 $x = - \frac{π}{6}$
(3) 若 $- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{3}$ ，則 $f (x)$ 的最大值為 $2$ ，且最小值為 $- 2$
(4) $g (x) = 2 sin (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{2})$
(5) $y = g (x)$ 的函數圖形對稱於點 $(\frac{π}{3}, 0)$

設

f (x) = 3 a sin x - 4 b cos x

，其中

a, b

為實數，試選出正確的選項。

(1) 若 $a = 5, b = 9$ ，則 $y = f (x)$ 的函數圖形，其振幅為 $39$
(2) 若 $a = b = 2$ ，則 $f (x)$ 可寫成 $f (x) = 10 sin (x - θ)$ ，其中 $cos θ = \frac{3}{5}, sin θ = - \frac{4}{5}$
(3) 若 $a = b = 1$ ，則 $f (x)$ 可寫成 $y = - 5 cos (x - φ)$ ，其中 $cos φ = \frac{4}{5}, sin φ = - \frac{3}{5}$
(4) 若 $a = b$ ，則 $f (x)$ 的最大值為 $f (α)$ ，其中 $cos α = - \frac{4}{5}, sin α = \frac{3}{5}$
(5) 若 $3 a = 4 b = 2$ ，且 $0 \leq x \leq 2 π$ ，則 $f (x) > 1$ 的解為 $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$

三、選填題（42 分）｜說明：第 A 至 F 題為選填題，每題完全答對得 7 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（原卷題號 A～F，本頁編為第 8～13 題）

若

\frac{1}{a} = cos \frac{π}{6}

，

\frac{1}{b} = sin \frac{π}{4}

，

\frac{1}{c} = tan \frac{π}{3}

，且

a + b + c = m + n

，其中

m, n

為自然數，則

m + n = ◯

。

若

tan θ = 4 - 15

，則

tan 2 θ

的值為

\frac{◯}{◯}

。

平面上，設極坐標系與直角坐標系的原點重合，且極軸恰為

x

軸的正向，若點

A [2, θ]

的直角坐標為

(- \frac{2 3}{3}, \frac{2 6}{3})

，則點

B [3, 2 θ]

的直角坐標為

(◯ ◯, ◯ ◯ ◯)

。

若

- \frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{3 π}{4}

，則方程式

tan x = cos x

的實根個數為

◯

。（原卷印「

tan x \leq cos x

」，答案格印成分數形四格；依題意與學校參考答案，本頁改為等號、一格。）

設

7 π \leq 3 θ \leq 8 π

，若

sin 2 θ = \frac{8}{17}

，則

tan θ

的值為

◯

。（原卷印「

sin 2 θ \leq \frac{8}{17}

」，依題意與學校參考答案作等號。）

設

4 π \leq 2 θ \leq 5 π

，且坐標平面上有三條相異直線

L_{1} : 2 x + y - 5 = 0

，

L_{2} : x - y + 2 = 0

，

L_{3} : tan θ x - y + 3 = 3

。若此三條直線將平面分割成

6

個區域，則滿足上述條件的所有

θ

的和為

\frac{◯ ◯}{◯ ◯} π

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題

5

第 9 題

\frac{6}{3}

第 10 題

(- 1, - 22)

（學校參考答案印

(- 1, - 23)

，見詳解）

第 11 題

2

第 12 題

4

第 13 題

\frac{55}{12} π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：和差角公式、扇形面積、同界角

第 1 題答案 (4)。把每個式子湊成和差角公式。

a

：

cos 5 6^{\circ} = sin 3 4^{\circ}

、

sin 7 8^{\circ} = cos 1 2^{\circ}

，所以

a = sin 1 2^{\circ} cos 3 4^{\circ} + cos 1 2^{\circ} sin 3 4^{\circ} = sin 4 6^{\circ}

。

b

：

cos 5 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}

、

cos 2 0^{\circ} = sin 7 0^{\circ}

，所以

b = cos 7 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} + sin 7 0^{\circ} sin 4 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}

。

c

：

cos (- 7^{\circ}) = cos 7^{\circ}

、

sin 15 7^{\circ} = sin 2 3^{\circ}

、

sin 6 7^{\circ} = cos 2 3^{\circ}

、

cos 8 3^{\circ} = sin 7^{\circ}

，所以

c = sin 2 3^{\circ} cos 7^{\circ} + cos 2 3^{\circ} sin 7^{\circ} = sin 3 0^{\circ}

。正弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

遞增，

sin 6 0^{\circ} > sin 4 6^{\circ} > sin 3 0^{\circ}

，即

b > a > c

。

先用餘角關係把每一項換成同一組角度（

1 2^{\circ}

與

3 4^{\circ}

、

7 0^{\circ}

與

4 0^{\circ}

、

2 3^{\circ}

與

7^{\circ}

），公式的形狀就出來了。

第 2 題答案 (2)。

cos^{2} α = 1 - 0.36 = 0.64

，

cos^{2} β = 1 - 0.64 = 0.36

，所以

∣ cos α ∣ = 0.8

、

∣ cos β ∣ = 0.6

。已知

cos α cos β < 0

，所以

cos α cos β = - 0.48

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = - 0.48 - 0.6 \times 0.8 = - 0.96

。

不必知道

cos α

、

cos β

哪一個是負的，和角公式裡只用到它們的乘積。

第 3 題答案 (1)。設

\overline{A B} = r

。扇形

A D B

的半徑是

r

、圓心角是

2 α

（弳），面積

= \frac{1}{2} r^{2} \cdot 2 α = r^{2} α

。直角在

B

，

\overline{B C} = r tan 2 α

，

△ A B C

面積

= \frac{1}{2} \cdot r \cdot r tan 2 α = \frac{1}{2} r^{2} tan 2 α

。由題意

r^{2} α = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} r^{2} tan 2 α

，得

tan 2 α = 6 α

，所以

\frac{tan 2 α}{3 α} = 2

。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度；這裡的圓心角是

2 α

，不是

α

。

第 4 題答案 (4)。

x

弳

= (\frac{180 x}{π})^{\circ}

。兩角同界表示相差

36 0^{\circ}

的整數倍：

60 x - \frac{180 x}{π} = 360 k

（

k

為整數），即

x (60 - \frac{180}{π}) = 360 k

。

\frac{180}{π} \approx 57.296

，所以

x \approx \frac{360 k}{2.704} \approx 133.1 k

。

k = 1

時

x \approx 133.1

，

k = 2

時

x \approx 266.3

，

k = 3

時

x \approx 399.4

；落在

180 \leq x \leq 360

的只有

x \approx 266.3

，最接近

270

。

1

弳約

57. 3^{\circ}

，和

6 0^{\circ}

只差一點點，所以

x

要夠大，兩個角才會差到整數圈。

02多選題（第 5～7 題）：圖形重合、伸縮平移、疊合

第 5 題答案 (1)(4)(5)。先化簡：

cos (2 x - π) = cos (π - 2 x) = - cos 2 x

。(1) 對：

sin (2 x - \frac{π}{2}) = - sin (\frac{π}{2} - 2 x) = - cos 2 x

。(2) 錯：

cos (2 x - 2 π) = cos 2 x

，差一個負號。(3) 錯：

2 cos (x - \frac{π}{2}) = 2 sin x

，振幅與週期都不同。(4) 對：

sin (2 x + \frac{3 π}{2}) = sin (2 x - \frac{π}{2} + 2 π) = sin (2 x - \frac{π}{2}) = - cos 2 x

。(5) 對：

2 x + π

與

2 x - π

相差

2 π

，餘弦值相同。

圖形重合就是兩個函數對每個

x

的值都相同，全部化成

\pm cos 2 x

或

\pm sin 2 x

再比。

第 6 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

f (x) = 2 sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

。(2) 對：

f (- \frac{π}{6}) = 2 sin (- \frac{π}{2}) = - 2

是最小值，正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。(3) 對：

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{3}

時

- \frac{3 π}{4} \leq 3 x \leq π

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

與

- \frac{π}{2}

，所以

sin 3 x

取得到

1

與

- 1

，最大值

2

、最小值

- 2

。(4) 錯：水平伸縮為

2

倍是把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = 2 sin \frac{3 x}{2}

；再向右平移

π

是把

x

換成

x - π

，得

g (x) = 2 sin \frac{3 ( x - π )}{2} = 2 sin (\frac{3 x}{2} - \frac{3 π}{2})

，不是減

\frac{π}{2}

。(5) 對：

g (x) = 2 sin (\frac{3 x}{2} - \frac{3 π}{2}) = 2 cos \frac{3 x}{2}

，

g (\frac{π}{3}) = 2 cos \frac{π}{2} = 0

；正弦型函數的圖形對稱於它與中心線（這裡是

x

軸）的每個交點。

(4) 的平移是對

x

做，

\frac{3}{2}

要乘進去：

\frac{3}{2} (x - π) = \frac{3 x}{2} - \frac{3 π}{2}

。選項裡的

2 sin (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{2}) = - 2 cos \frac{3 x}{2}

，和

g (x)

剛好差一個負號。

第 7 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：

f (x) = 15 sin x - 36 cos x

，振幅

1 5^{2} + 3 6^{2} = 1521 = 39

。(2) 錯：

f (x) = 6 sin x - 8 cos x = 10 (\frac{3}{5} sin x - \frac{4}{5} cos x)

；而

10 sin (x - θ) = 10 (sin x cos θ - cos x sin θ)

，比較係數得

cos θ = \frac{3}{5}

、

sin θ = \frac{4}{5}

，選項的

sin θ

多了負號。(3) 對：

- 5 cos (x - φ) = - 5 cos x cos φ - 5 sin x sin φ

，代入

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = - \frac{3}{5}

得

- 4 cos x + 3 sin x

，正是

a = b = 1

時的

f (x)

。(4) 錯：

a = b

時

f (x) = a (3 sin x - 4 cos x)

，

f (α) = a (3 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{4}{5}) = 5 a

。

a > 0

時

5 a

是最大值；但

a < 0

時最大值是

- 5 a

，

f (α) = 5 a

反而是最小值，所以不一定。(5) 對：

3 a = 4 b = 2

時

f (x) = 2 sin x - 2 cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

。

f (x) > 1

即

sin (x - \frac{π}{4}) > \frac{1}{2}

；

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{4} \leq x - \frac{π}{4} \leq \frac{7 π}{4}

，在這個範圍內只有

\frac{π}{6} < x - \frac{π}{4} < \frac{5 π}{6}

，即

\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}

。

(4) 題目只說

a, b

是實數，沒有說是正數；係數帶文字時要想到負數的情形。

03選填 A～C（第 8～10 題）：特殊角、二倍角、極坐標

第 8 題

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，所以

a = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}

；

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

，所以

b = 2

；

tan \frac{π}{3} = 3

，所以

c = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

。

a + b + c = \frac{2 3}{3} + \frac{3}{3} + 2 = 3 + 2

，所以

{m, n} = {2, 3}

，

m + n = 5

。

第 9 題

tan^{2} θ = 4 - 15

，所以

1 - tan^{2} θ = 15 - 3

。

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{2 4 - 15}{15 - 3}

。化簡雙重根號：

4 - 15 = \frac{8 - 2 15}{2} = \frac{( 5 - 3 ) ^{2}}{2}

，所以

4 - 15 = \frac{5 - 3}{2}

。分母

15 - 3 = 3 (5 - 3)

。因此

tan 2 θ = \frac{2 ( 5 - 3 )}{2 \cdot 3 ( 5 - 3 )} = \frac{2}{6} = \frac{6}{3}

。

也可以先平方：

tan^{2} 2 θ = \frac{4 ( 4 - 15 )}{( 15 - 3 ) ^{2}} = \frac{4 ( 4 - 15 )}{6 ( 4 - 15 )} = \frac{2}{3}

；分子分母都是正的，所以

tan 2 θ = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

。

第 10 題

A [2, θ]

的直角坐標是

(2 cos θ, 2 sin θ)

，所以

cos θ = - \frac{3}{3}

、

sin θ = \frac{6}{3}

。二倍角公式：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3}

；

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{6}{3} \cdot (- \frac{3}{3}) = - \frac{2 18}{9} = - \frac{2 2}{3}

。

B [3, 2 θ]

的直角坐標是

(3 cos 2 θ, 3 sin 2 θ) = (- 1, - 22)

。

學校公布的參考答案這一題印

(- 1, - 23)

，但

B

到原點的距離必須是

3

：

(- 1)^{2} + (- 22)^{2} = 9

符合，而

(- 1)^{2} + (- 23)^{2} = 13

不符合，所以本頁答案寫

(- 1, - 22)

。

04選填 D～F（第 11～13 題）：數實根、由二倍角求正切、三直線分割平面

第 11 題

tan x = cos x

即

\frac{sin x}{cos x} = cos x

（

cos x \neq = 0

），

sin x = cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

，

sin^{2} x + sin x - 1 = 0

，

sin x = \frac{- 1 \pm 5}{2}

。負的那個小於

- 1

不合，所以

sin x = \frac{5 - 1}{2} \approx 0.618

（此時

cos x \neq = 0

）。設

β

是

0

到

\frac{π}{2}

之間滿足

sin β = \frac{5 - 1}{2}

的角；因為

sin \frac{π}{6} = 0.5 < 0.618 < 0.707 \approx sin \frac{π}{4}

，所以

\frac{π}{6} < β < \frac{π}{4}

。全部的解是

x = β + 2 k π

或

x = π - β + 2 k π

（

k

為整數）。在

- \frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{3 π}{4}

內：

x = β

合；

x = π - β

介於

\frac{3 π}{4}

與

\frac{5 π}{6}

之間，超過

\frac{3 π}{4}

，不合；

x = - π - β

介於

- \frac{5 π}{4}

與

- \frac{7 π}{6}

之間，合；

x = β - 2 π

小於

- \frac{5 π}{4}

，不合。共

2

個實根。

原卷這一題印的是「方程式

tan x \leq cos x

的實根個數」，答案格也印成分數形四格；依題意（問實根個數）與學校參考答案

2

，方程式應為

tan x = cos x

，本頁題幹寫等號、答案格改為一格。兩個端點附近要仔細比：

π - β

與

- π - β

離端點都不到

\frac{π}{12}

，一個在範圍外、一個在範圍內。

第 12 題設

t = tan θ

。

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{2 sin θ cos θ}{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ} = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}

（分子分母同除以

cos^{2} θ

）。由

\frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{8}{17}

得

8 t^{2} - 34 t + 8 = 0

，

4 t^{2} - 17 t + 4 = 0

，

(4 t - 1) (t - 4) = 0

，

t = 4

或

t = \frac{1}{4}

。再看範圍：

\frac{7 π}{3} \leq θ \leq \frac{8 π}{3}

，與

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

的角同界；在第一象限的部分

tan θ \geq tan \frac{π}{3} = 3

，在第二象限的部分

tan θ < 0

。

\frac{1}{4} < 3

不合，所以

tan θ = 4

。

原卷這一題印的是「

sin 2 θ \leq \frac{8}{17}

」，照不等式

tan θ

不會是單一的值；依題意與學校參考答案

4

，條件應為

sin 2 θ = \frac{8}{17}

，本頁題幹寫等號。

第 13 題三條相異直線把平面分成的區域數：兩兩相交且不共點是

7

個；三線共點是

6

個；恰有兩條平行（第三條與它們相交）是

6

個；三條都平行是

4

個。

L_{1}

斜率

- 2

、

L_{2}

斜率

1

，兩線不平行，交點由

2 x + (x + 2) - 5 = 0

得

(1, 3)

。

L_{3} : y = tan θ x + 3 - 3

，斜率是

tan θ

。分成

6

個區域有三種可能：（甲）

L_{3}

過

(1, 3)

：

tan θ + 3 - 3 = 3

，

tan θ = 3

。（乙）

L_{3} ∥ L_{2}

：

tan θ = 1

，此時

L_{3} : x - y + 3 - 3 = 0

與

L_{2}

不重合，可以。（丙）

L_{3} ∥ L_{1}

：

tan θ = - 2

。範圍是

2 π \leq θ \leq \frac{5 π}{2}

，與

0

到

\frac{π}{2}

的角同界，

tan θ \geq 0

（

θ = \frac{5 π}{2}

時正切無意義），所以（丙）無解；（甲）得

θ = 2 π + \frac{π}{3} = \frac{7 π}{3}

；（乙）得

θ = 2 π + \frac{π}{4} = \frac{9 π}{4}

。和為

\frac{28 π}{12} + \frac{27 π}{12} = \frac{55}{12} π

。

「分成

6

個區域」有共點與平行兩類情形，都要列；列完再用

θ

的範圍刪掉

tan θ = - 2

。

用公式解出幾個候選值之後，最後一步都是回到角度的範圍：看象限定正負、看端點定個數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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北一女中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？