段考詳解範圍：第一冊數與式（含指對數）

北一女中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（40 分）、填充題 8 題（48 分）、混合題 2 題（12 分：單選 4 分、計算 8 分）；答案請有理化分母、化成最簡分數、最簡根式；可使用指定機型的計算器。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、多重選擇題（每題 10 分，每個選項獨立計分 2 分，占 40 分）

下列關於實數的敘述，試選出正確的選項。

(1) $\frac{3}{7}$ 化為小數後，小數點後第 $2024$ 位數字為 $2$
(2) $0. \overline{24} + 0. \overline{76} = 1$
(3) $17 - 122 = 22 - 3$
(4) 若 $a^{2}$ 及 $a^{3}$ 均為有理數，則 $a$ 也是有理數
(5) 方程式 $∣ x - 3∣ + ∣ x + 1∣ = π$ 沒有實數解

若

a > b

，已知數線上有五點

A (a)

、

B (b)

、

C (\frac{7 a + 4 b}{11})

、

D (\frac{5 a - b}{4})

、

E (\frac{10 b - 3 a}{7})

，試選出正確的選項。

(1) $E$ 點在最左邊
(2) $\overline{A C} : \overline{C B} = 7 : 4$
(3) $\overline{C A} : \overline{A D} = 16 : 11$
(4) $E$ 點坐標是方程式 $∣ x - a ∣ = \frac{10}{3} ∣ x - b ∣$ 的其中一解
(5) 最右邊的點是 $A$ 點

請選出下列正確的選項。

(1) $(- 2)^{- 2} = 4$
(2) $3 - 27 = (- 27)^{\frac{1}{3}}$
(3) 若 $lo g x = 1 0^{l o g 2}$ ，則 $x = 2$
(4) $2^{2024}$ 乘開後為 $610$ 位數
(5) $7^{- 22}$ 乘開後，小數點後第 $19$ 位開始不是 $0$

小綠綠為班上的 10 月份生日的同學們慶生，決定用班費到綠葉蛋糕店購買圓型蛋糕，所有綠葉蛋糕店內的圓型蛋糕高度都一樣。由於班上人數眾多，經過計算，小綠綠認為應該要購買一個

25

吋的圓型大蛋糕，但是綠葉蛋糕店並沒有這樣大尺寸的蛋糕，它只賣

8

吋及

12

吋的圓型蛋糕。小綠綠想到數學老師曾經在課堂上解說過，蛋糕尺寸指的是蛋糕的直徑大小。請選出正確的選項。

(1) 若買 $8$ 吋的圓型蛋糕，則至少要買 $10$ 個才足夠班上慶生使用
(2) $12$ 吋圓型蛋糕的體積超過 $8$ 吋圓型蛋糕體積的 $2$ 倍大
(3) 小綠綠決定買 $3$ 個 $12$ 吋的蛋糕，就可以比原先需要的 $25$ 吋蛋糕大
(4) $12$ 吋的蛋糕上標示「 $1800$ 克 $\pm 10%$ （含）」，若蛋糕的實際重量為 $x$ 克，則 $x$ 滿足 $∣ x - 1800∣ \leq 180$
(5) 「 $1800$ 克 $\pm 10%$ （含）」可以區間 $(1620, 1980)$ 表示之

二、填充題（每題 6 分，占 48 分）

請化簡

\frac{5 125}{5} + (\frac{81}{16})^{0.25} \times (\frac{27}{8})^{- \frac{2}{3}} \times (0.027)^{\frac{1}{3}} =

____。

若

a + a^{- 1} = 5

，則

a^{5} + a^{- 5} =

____。

不等式

∣3 x + 1∣ - 2∣ x - 3∣ \leq 15

的解為 ____。（請用區間符號表示）

已知

x

、

y

為實數，

∣ x + 1∣ \leq 3

，

∣ y - 3∣ \leq 1

，若

x y - x + 2 y + 3

的最大值為

a

，最小值為

b

，則

a + b =

____。

若正實數

a

的小數部分為

b

，且

a^{2} + 3 b^{2} = 20

，則

\frac{7}{a} + \frac{1}{b} =

____。

若

lo g a = 3 + lo g 4.72

，

lo g b = 2 + lo g 0.236

，則

a

是

b

的 ____ 倍。

已知

x

、

y

為實數，若

1. 5^{x} = (0.0225)^{y} = 10

，則

\frac{x y}{x - 2 y} =

____。

根據專業經理人小綠綠的投資報告指出，某晶圓代工廠只要將資本支出擴大為

a^{0.88}

倍，預期公司的營收可以增加為

a^{1.5}

倍，藉此可以推動股價上升為

a

倍。現在小綠綠大膽預言，

5

年後此晶圓代工廠受到 AI 的爆炸性成長帶動下，營收會增加為

10

倍，可以推測出這

5

年中，此晶圓代工廠的資本支出必須擴大為 ____ 倍。（請四捨五入到小數點後第 2 位）

三、混合題（占 12 分）說明：本部分共有 2 題，每一子題配分標於題末。計算證明題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

混合題（第 13～14 題）　由於金融市場的健全發展，現今各個產業的相關機器設備租賃業務非常熱絡，但機器的租賃，更要考慮到保養等相關成本。對公司而言，如何使租賃機器的每年平均成本最低，是決定該機器的使用年限的最大標準之一。

小綠綠準備開業牙醫診所，打算透過租賃方式取得一台 X 光機。經過業務介紹得知，首付為

200

萬元整，取得機器後，第一年負擔的保養費用為

2

萬元，之後每一年的保養費用都要比前一年增加

4

萬元。請問：若租賃

n

年，則平均一年的負擔金額為下列哪一個選項？（單選題，4 分）

(1) $\frac{200 + 4 n}{n}$
(2) $\frac{200 + 2 n ^{2}}{n}$
(3) $\frac{200 + ( 2 n ) ^{2}}{n}$
(4) $\frac{200 + 2 n ^{3}}{n}$
(5) $\frac{200 + 2 \cdot 2 ^{n}}{n}$

承上，請幫小綠綠算看看，應租賃幾年可以使得平均一年的負擔金額最低，且這些年總花費為何？（計算題，8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(4)(5)

第 2 題(1)(3)(4)

第 3 題(4)(5)

第 4 題(1)(2)(4)

第 5 題

\frac{26}{5}

第 6 題

55

第 7 題

[- 22, 8]

第 8 題

16

第 9 題

4

第 10 題

200

第 11 題

- \frac{1}{2}

第 12 題

3.86

第 13 題(2)

第 14 題租賃

10

年；總花費

400

萬元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、2：實數與數線上的分點

第 1 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：

\frac{3}{7} = 0. \overline{428571}

，循環節 6 位，

2024 = 6 \times 337 + 2

，第 2024 位和第 2 位相同，是

2

。(2) 錯：

0. \overline{24} = \frac{24}{99}

、

0. \overline{76} = \frac{76}{99}

，相加得

\frac{100}{99} = 1. \overline{01} \neq = 1

（原卷的橫線畫在整個 0.24、0.76 上方，意思就是循環小數）。(3) 錯：

17 - 122 = 17 - 272 = (3 - 22)^{2}

，而

3 > 22

，所以

17 - 122 = 3 - 22

；右邊

22 - 3

是負數，不可能等於一個平方根。(4) 對：

a = 0

時是有理數；

a \neq = 0

時

a = \frac{a ^{3}}{a ^{2}}

，兩個有理數相除（除數不為 0）還是有理數。(5) 對：

∣ x - 3∣ + ∣ x + 1∣

是數線上

x

到

3

與到

- 1

的距離和，最小值是兩點的距離

4

；

π < 4

，所以沒有實數解。

(3) 開根號的結果一定不是負數，化簡後要檢查正負。

第 2 題答案 (1)(3)(4)。令

d = a - b > 0

，把每個點寫成和

A

、

B

的距離：

C = \frac{7 a + 4 b}{11}

在

A

、

B

之間，

\overline{A C} = a - C = \frac{4 d}{11}

、

\overline{C B} = C - b = \frac{7 d}{11}

；

D = \frac{5 a - b}{4} = a + \frac{d}{4}

在

A

的右邊；

E = \frac{10 b - 3 a}{7} = b - \frac{3 d}{7}

在

B

的左邊。由左到右是

E, B, C, A, D

。(1) 對：

E

在最左邊。(2) 錯：

\overline{A C} : \overline{C B} = \frac{4 d}{11} : \frac{7 d}{11} = 4 : 7

。(3) 對：

\overline{C A} : \overline{A D} = \frac{4 d}{11} : \frac{d}{4} = 16 : 11

。(4) 對：

∣ E - a ∣ = d + \frac{3 d}{7} = \frac{10 d}{7}

、

∣ E - b ∣ = \frac{3 d}{7}

，

\frac{10 d}{7} = \frac{10}{3} \times \frac{3 d}{7}

成立。(5) 錯：最右邊的是

D

。

本題

a > b

，

A

在

B

的右邊；

C

的係數 7 配

a

，表示

C

比較靠近

A

。

02多選 3、4：指數對數、面積比與誤差範圍

第 3 題答案 (4)(5)。(1) 錯：

(- 2)^{- 2} = \frac{1}{( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4}

。(2) 錯：

3 - 27 = - 3

，但分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只在底數

a > 0

時有定義，

(- 27)^{\frac{1}{3}}

沒有意義，等式不成立。(3) 錯：

1 0^{l o g 2} = 2

，所以

lo g x = 2

，

x = 1 0^{2} = 100

。(4) 對：

lo g 2^{2024} = 2024 lo g 2 \approx 2024 \times 0.3010 \approx 609.2

，所以

1 0^{609} < 2^{2024} < 1 0^{610}

，是

610

位數。(5) 對：

lo g 7^{- 22} = - 22 lo g 7 \approx - 22 \times 0.8451 \approx - 18.59 = - 19 + 0.41

，所以

7^{- 22} = 1 0^{0.41} \times 1 0^{- 19} \approx 2.6 \times 1 0^{- 19}

，小數點後前 18 位是 0，第 19 位開始不是 0。

lo g N = - 19 + 0.41

時，要把負數拆成「負整數＋介於 0 和 1 之間的小數」，才讀得出第幾位開始不是 0。

第 4 題答案 (1)(2)(4)。蛋糕高度都一樣，體積和底面積成正比，也就是和直徑的平方成正比：

8

吋對應

64

、

12

吋對應

144

、

25

吋對應

625

。(1) 對：

\frac{625}{64} \approx 9.77

，

9

個不夠，至少要

10

個。(2) 對：

\frac{144}{64} = 2.25 > 2

。(3) 錯：

3 \times 144 = 432 < 625

，三個 12 吋還不到 25 吋的量。(4) 對：

1800

的

10%

是

180

，實際重量和

1800

的差距不超過

180

，即

∣ x - 1800∣ \leq 180

。(5) 錯：「含」表示兩端都算，

1620 \leq x \leq 1980

要寫成閉區間

[1620, 1980]

，不是開區間。

比的是體積，要用直徑的平方，不能直接拿直徑 8、12、25 來比。

03填充 1～4（第 5～8 題）：指數律、對稱式與絕對值

第 5 題第一項：

5125 = 5 \cdot 5^{\frac{3}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}

，開根號得

5^{\frac{5}{4}}

；分母

5 = 5^{\frac{1}{4}}

；相除得

5^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} = 5

。第二項：

(\frac{81}{16})^{0.25} = (\frac{3}{2})^{4 \times \frac{1}{4}} = \frac{3}{2}

，

(\frac{27}{8})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{3}{2})^{- 2} = \frac{4}{9}

，

(0.027)^{\frac{1}{3}} = (0. 3^{3})^{\frac{1}{3}} = 0.3 = \frac{3}{10}

，相乘得

\frac{3}{2} \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{5}

。合計

5 + \frac{1}{5} = \frac{26}{5}

。

第 6 題令

t = a + a^{- 1} = 5

。

a^{2} + a^{- 2} = t^{2} - 2 = 3

；

a^{3} + a^{- 3} = t^{3} - 3 t = 55 - 35 = 25

。兩式相乘：

(a^{2} + a^{- 2}) (a^{3} + a^{- 3}) = a^{5} + a^{- 5} + a + a^{- 1}

，所以

a^{5} + a^{- 5} = 3 \times 25 - 5 = 55

。

二次式和三次式相乘會多出

a + a^{- 1}

這一項，要記得扣掉。

第 7 題分界點是

x = - \frac{1}{3}

和

x = 3

，分三段。

x \geq 3

：

(3 x + 1) - 2 (x - 3) = x + 7 \leq 15

，得

x \leq 8

，這段的解是

3 \leq x \leq 8

。

- \frac{1}{3} \leq x < 3

：

(3 x + 1) - 2 (3 - x) = 5 x - 5 \leq 15

，得

x \leq 4

，整段都是解。

x < - \frac{1}{3}

：

- (3 x + 1) - 2 (3 - x) = - x - 7 \leq 15

，得

x \geq - 22

，這段的解是

- 22 \leq x < - \frac{1}{3}

。三段合起來是

- 22 \leq x \leq 8

，即

[- 22, 8]

。

第 8 題

∣ x + 1∣ \leq 3

即

- 4 \leq x \leq 2

；

∣ y - 3∣ \leq 1

即

2 \leq y \leq 4

。把式子因式分解：

x y - x + 2 y + 3 = (x + 2) (y - 1) + 5

。其中

- 2 \leq x + 2 \leq 4

、

1 \leq y - 1 \leq 3

（恆正）。乘積最大是

4 \times 3 = 12

（

x = 2, y = 4

），最小是

(- 2) \times 3 = - 6

（

x = - 4, y = 4

）。所以

a = 17

、

b = - 1

，

a + b = 16

。

y - 1

恆正，所以乘積要最小，是取

x + 2

最負、

y - 1

最大。

04填充 5～8（第 9～12 題）：小數部分、常用對數與指數應用

第 9 題設

a

的整數部分是

n

，則

a = n + b

，

0 \leq b < 1

。因為

0 \leq 3 b^{2} < 3

，所以

17 < a^{2} \leq 20

，

4 < a \leq 20 < 5

，得

n = 4

。代入：

(4 + b)^{2} + 3 b^{2} = 20

，整理成

b^{2} + 2 b - 1 = 0

，

b = - 1 \pm 2

，取

0 \leq b < 1

的

b = 2 - 1

，

a = 3 + 2

。所求

\frac{7}{3 + 2} + \frac{1}{2 - 1} = (3 - 2) + (2 + 1) = 4

。

先用

0 \leq b < 1

把

a

夾在兩個連續整數之間，定出整數部分，再解

b

。

第 10 題

lo g a = lo g 1 0^{3} + lo g 4.72 = lo g 4720

，所以

a = 4720

；

lo g b = lo g 1 0^{2} + lo g 0.236 = lo g 23.6

，所以

b = 23.6

。

\frac{a}{b} = \frac{4720}{23.6} = 200

。也可以直接相減：

lo g a - lo g b = 1 + lo g \frac{4.72}{0.236} = 1 + lo g 20 = lo g 200

。

第 11 題由

1. 5^{x} = 10

得

1.5 = 1 0^{\frac{1}{x}}

；由

0.022 5^{y} = 10

得

0.0225 = 1 0^{\frac{1}{y}}

。而

0.0225 = \frac{1. 5 ^{2}}{100}

，所以

1 0^{\frac{1}{y}} = 1 0^{\frac{2}{x} - 2}

，即

\frac{1}{y} = \frac{2}{x} - 2

。兩邊同乘

x y

：

x = 2 y - 2 x y

，所以

x - 2 y = - 2 x y

，

\frac{x y}{x - 2 y} = - \frac{1}{2}

。

把兩個底數都寫成 10 的次方，再找

1.5

和

0.0225

之間的關係。

第 12 題營收增加為

10

倍，即

a^{1.5} = 10

，所以

a = 1 0^{\frac{1}{1.5}} = 1 0^{\frac{2}{3}}

。資本支出要擴大為

a^{0.88} = 1 0^{\frac{2}{3} \times 0.88} = 1 0^{\frac{1.76}{3}} \approx 1 0^{0.5867}

，用計算器得約

3.8607

，四捨五入到小數點後第 2 位是

3.86

。

也可以寫成

a^{0.88} = (a^{1.5})^{\frac{0.88}{1.5}} = 1 0^{\frac{0.88}{1.5}}

，不必先求

a

。

05混合題 1、2（第 13、14 題）：平均成本與算幾不等式

第 13 題答案 (2)。保養費第 1 年

2

萬、第 2 年

6

萬、第 3 年

10

萬……，第

k

年是

4 k - 2

萬元。

n

年的保養費合計

2 + 6 + 10 + \dots + (4 n - 2) = \frac{n ( 2 + 4 n - 2 )}{2} = 2 n^{2}

萬元。加上首付

200

萬元，總花費

200 + 2 n^{2}

萬元，平均一年

\frac{200 + 2 n ^{2}}{n}

萬元。

可以代

n = 1

、

n = 2

檢查：總花費應該是

202

、

208

萬元，只有 (2) 兩個都符合。

第 14 題平均一年的負擔金額

\frac{200 + 2 n ^{2}}{n} = \frac{200}{n} + 2 n

（萬元），其中

n > 0

。由算幾不等式，

\frac{200}{n} + 2 n \geq 2 \frac{200}{n} \cdot 2 n = 2400 = 40

。等號成立在

\frac{200}{n} = 2 n

，即

n^{2} = 100

，

n = 10

（是正整數，做得到）。所以租賃

10

年時平均一年的負擔金額最低，是

40

萬元；這

10

年的總花費是

200 + 2 \times 1 0^{2} = 400

萬元。

兩項相乘

\frac{200}{n} \cdot 2 n = 400

是定值，才能用算幾不等式求最小值。作答要寫三件事：兩項都是正數、乘積是定值、等號成立的

n

是正整數。

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一、多重選擇題（每題 10 分，每個選項獨立計分 2 分，占 40 分）

下列關於實數的敘述，試選出正確的選項。

(1) $\frac{3}{7}$ 化為小數後，小數點後第 $2024$ 位數字為 $2$
(2) $0. \overline{24} + 0. \overline{76} = 1$
(3) $17 - 122 = 22 - 3$
(4) 若 $a^{2}$ 及 $a^{3}$ 均為有理數，則 $a$ 也是有理數
(5) 方程式 $∣ x - 3∣ + ∣ x + 1∣ = π$ 沒有實數解

若

a > b

，已知數線上有五點

A (a)

、

B (b)

、

C (\frac{7 a + 4 b}{11})

、

D (\frac{5 a - b}{4})

、

E (\frac{10 b - 3 a}{7})

，試選出正確的選項。

(1) $E$ 點在最左邊
(2) $\overline{A C} : \overline{C B} = 7 : 4$
(3) $\overline{C A} : \overline{A D} = 16 : 11$
(4) $E$ 點坐標是方程式 $∣ x - a ∣ = \frac{10}{3} ∣ x - b ∣$ 的其中一解
(5) 最右邊的點是 $A$ 點

請選出下列正確的選項。

(1) $(- 2)^{- 2} = 4$
(2) $3 - 27 = (- 27)^{\frac{1}{3}}$
(3) 若 $lo g x = 1 0^{l o g 2}$ ，則 $x = 2$
(4) $2^{2024}$ 乘開後為 $610$ 位數
(5) $7^{- 22}$ 乘開後，小數點後第 $19$ 位開始不是 $0$

25

吋的圓型大蛋糕，但是綠葉蛋糕店並沒有這樣大尺寸的蛋糕，它只賣

8

吋及

12

吋的圓型蛋糕。小綠綠想到數學老師曾經在課堂上解說過，蛋糕尺寸指的是蛋糕的直徑大小。請選出正確的選項。

(1) 若買 $8$ 吋的圓型蛋糕，則至少要買 $10$ 個才足夠班上慶生使用
(2) $12$ 吋圓型蛋糕的體積超過 $8$ 吋圓型蛋糕體積的 $2$ 倍大
(3) 小綠綠決定買 $3$ 個 $12$ 吋的蛋糕，就可以比原先需要的 $25$ 吋蛋糕大
(4) $12$ 吋的蛋糕上標示「 $1800$ 克 $\pm 10%$ （含）」，若蛋糕的實際重量為 $x$ 克，則 $x$ 滿足 $∣ x - 1800∣ \leq 180$
(5) 「 $1800$ 克 $\pm 10%$ （含）」可以區間 $(1620, 1980)$ 表示之

二、填充題（每題 6 分，占 48 分）

請化簡

\frac{5 125}{5} + (\frac{81}{16})^{0.25} \times (\frac{27}{8})^{- \frac{2}{3}} \times (0.027)^{\frac{1}{3}} =

____。

若

a + a^{- 1} = 5

，則

a^{5} + a^{- 5} =

____。

不等式

∣3 x + 1∣ - 2∣ x - 3∣ \leq 15

的解為 ____。（請用區間符號表示）

已知

x

、

y

為實數，

∣ x + 1∣ \leq 3

，

∣ y - 3∣ \leq 1

，若

x y - x + 2 y + 3

的最大值為

a

，最小值為

b

，則

a + b =

____。

若正實數

a

的小數部分為

b

，且

a^{2} + 3 b^{2} = 20

，則

\frac{7}{a} + \frac{1}{b} =

____。

若

lo g a = 3 + lo g 4.72

，

lo g b = 2 + lo g 0.236

，則

a

是

b

的 ____ 倍。

已知

x

、

y

為實數，若

1. 5^{x} = (0.0225)^{y} = 10

，則

\frac{x y}{x - 2 y} =

____。

根據專業經理人小綠綠的投資報告指出，某晶圓代工廠只要將資本支出擴大為

a^{0.88}

倍，預期公司的營收可以增加為

a^{1.5}

倍，藉此可以推動股價上升為

a

倍。現在小綠綠大膽預言，

5

年後此晶圓代工廠受到 AI 的爆炸性成長帶動下，營收會增加為

10

倍，可以推測出這

5

年中，此晶圓代工廠的資本支出必須擴大為 ____ 倍。（請四捨五入到小數點後第 2 位）

三、混合題（占 12 分）說明：本部分共有 2 題，每一子題配分標於題末。計算證明題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

小綠綠準備開業牙醫診所，打算透過租賃方式取得一台 X 光機。經過業務介紹得知，首付為

200

萬元整，取得機器後，第一年負擔的保養費用為

2

萬元，之後每一年的保養費用都要比前一年增加

4

萬元。請問：若租賃

n

年，則平均一年的負擔金額為下列哪一個選項？（單選題，4 分）

(1) $\frac{200 + 4 n}{n}$
(2) $\frac{200 + 2 n ^{2}}{n}$
(3) $\frac{200 + ( 2 n ) ^{2}}{n}$
(4) $\frac{200 + 2 n ^{3}}{n}$
(5) $\frac{200 + 2 \cdot 2 ^{n}}{n}$

承上，請幫小綠綠算看看，應租賃幾年可以使得平均一年的負擔金額最低，且這些年總花費為何？（計算題，8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(4)(5)

第 2 題(1)(3)(4)

第 3 題(4)(5)

第 4 題(1)(2)(4)

第 5 題

\frac{26}{5}

第 6 題

55

第 7 題

[- 22, 8]

第 8 題

16

第 9 題

4

第 10 題

200

第 11 題

- \frac{1}{2}

第 12 題

3.86

第 13 題(2)

第 14 題租賃

10

年；總花費

400

萬元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、2：實數與數線上的分點

第 1 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：

\frac{3}{7} = 0. \overline{428571}

，循環節 6 位，

2024 = 6 \times 337 + 2

，第 2024 位和第 2 位相同，是

2

。(2) 錯：

0. \overline{24} = \frac{24}{99}

、

0. \overline{76} = \frac{76}{99}

，相加得

\frac{100}{99} = 1. \overline{01} \neq = 1

（原卷的橫線畫在整個 0.24、0.76 上方，意思就是循環小數）。(3) 錯：

17 - 122 = 17 - 272 = (3 - 22)^{2}

，而

3 > 22

，所以

17 - 122 = 3 - 22

；右邊

22 - 3

是負數，不可能等於一個平方根。(4) 對：

a = 0

時是有理數；

a \neq = 0

時

a = \frac{a ^{3}}{a ^{2}}

，兩個有理數相除（除數不為 0）還是有理數。(5) 對：

∣ x - 3∣ + ∣ x + 1∣

是數線上

x

到

3

與到

- 1

的距離和，最小值是兩點的距離

4

；

π < 4

，所以沒有實數解。

(3) 開根號的結果一定不是負數，化簡後要檢查正負。

第 2 題答案 (1)(3)(4)。令

d = a - b > 0

，把每個點寫成和

A

、

B

的距離：

C = \frac{7 a + 4 b}{11}

在

A

、

B

之間，

\overline{A C} = a - C = \frac{4 d}{11}

、

\overline{C B} = C - b = \frac{7 d}{11}

；

D = \frac{5 a - b}{4} = a + \frac{d}{4}

在

A

的右邊；

E = \frac{10 b - 3 a}{7} = b - \frac{3 d}{7}

在

B

的左邊。由左到右是

E, B, C, A, D

。(1) 對：

E

在最左邊。(2) 錯：

\overline{A C} : \overline{C B} = \frac{4 d}{11} : \frac{7 d}{11} = 4 : 7

。(3) 對：

\overline{C A} : \overline{A D} = \frac{4 d}{11} : \frac{d}{4} = 16 : 11

。(4) 對：

∣ E - a ∣ = d + \frac{3 d}{7} = \frac{10 d}{7}

、

∣ E - b ∣ = \frac{3 d}{7}

，

\frac{10 d}{7} = \frac{10}{3} \times \frac{3 d}{7}

成立。(5) 錯：最右邊的是

D

。

本題

a > b

，

A

在

B

的右邊；

C

的係數 7 配

a

，表示

C

比較靠近

A

。

02多選 3、4：指數對數、面積比與誤差範圍

第 3 題答案 (4)(5)。(1) 錯：

(- 2)^{- 2} = \frac{1}{( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{4}

。(2) 錯：

3 - 27 = - 3

，但分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只在底數

a > 0

時有定義，

(- 27)^{\frac{1}{3}}

沒有意義，等式不成立。(3) 錯：

1 0^{l o g 2} = 2

，所以

lo g x = 2

，

x = 1 0^{2} = 100

。(4) 對：

lo g 2^{2024} = 2024 lo g 2 \approx 2024 \times 0.3010 \approx 609.2

，所以

1 0^{609} < 2^{2024} < 1 0^{610}

，是

610

位數。(5) 對：

lo g 7^{- 22} = - 22 lo g 7 \approx - 22 \times 0.8451 \approx - 18.59 = - 19 + 0.41

，所以

7^{- 22} = 1 0^{0.41} \times 1 0^{- 19} \approx 2.6 \times 1 0^{- 19}

，小數點後前 18 位是 0，第 19 位開始不是 0。

lo g N = - 19 + 0.41

時，要把負數拆成「負整數＋介於 0 和 1 之間的小數」，才讀得出第幾位開始不是 0。

第 4 題答案 (1)(2)(4)。蛋糕高度都一樣，體積和底面積成正比，也就是和直徑的平方成正比：

8

吋對應

64

、

12

吋對應

144

、

25

吋對應

625

。(1) 對：

\frac{625}{64} \approx 9.77

，

9

個不夠，至少要

10

個。(2) 對：

\frac{144}{64} = 2.25 > 2

。(3) 錯：

3 \times 144 = 432 < 625

，三個 12 吋還不到 25 吋的量。(4) 對：

1800

的

10%

是

180

，實際重量和

1800

的差距不超過

180

，即

∣ x - 1800∣ \leq 180

。(5) 錯：「含」表示兩端都算，

1620 \leq x \leq 1980

要寫成閉區間

[1620, 1980]

，不是開區間。

比的是體積，要用直徑的平方，不能直接拿直徑 8、12、25 來比。

03填充 1～4（第 5～8 題）：指數律、對稱式與絕對值

第 5 題第一項：

5125 = 5 \cdot 5^{\frac{3}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}

，開根號得

5^{\frac{5}{4}}

；分母

5 = 5^{\frac{1}{4}}

；相除得

5^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} = 5

。第二項：

(\frac{81}{16})^{0.25} = (\frac{3}{2})^{4 \times \frac{1}{4}} = \frac{3}{2}

，

(\frac{27}{8})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{3}{2})^{- 2} = \frac{4}{9}

，

(0.027)^{\frac{1}{3}} = (0. 3^{3})^{\frac{1}{3}} = 0.3 = \frac{3}{10}

，相乘得

\frac{3}{2} \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{5}

。合計

5 + \frac{1}{5} = \frac{26}{5}

。

第 6 題令

t = a + a^{- 1} = 5

。

a^{2} + a^{- 2} = t^{2} - 2 = 3

；

a^{3} + a^{- 3} = t^{3} - 3 t = 55 - 35 = 25

。兩式相乘：

(a^{2} + a^{- 2}) (a^{3} + a^{- 3}) = a^{5} + a^{- 5} + a + a^{- 1}

，所以

a^{5} + a^{- 5} = 3 \times 25 - 5 = 55

。

二次式和三次式相乘會多出

a + a^{- 1}

這一項，要記得扣掉。

第 7 題分界點是

x = - \frac{1}{3}

和

x = 3

，分三段。

x \geq 3

：

(3 x + 1) - 2 (x - 3) = x + 7 \leq 15

，得

x \leq 8

，這段的解是

3 \leq x \leq 8

。

- \frac{1}{3} \leq x < 3

：

(3 x + 1) - 2 (3 - x) = 5 x - 5 \leq 15

，得

x \leq 4

，整段都是解。

x < - \frac{1}{3}

：

- (3 x + 1) - 2 (3 - x) = - x - 7 \leq 15

，得

x \geq - 22

，這段的解是

- 22 \leq x < - \frac{1}{3}

。三段合起來是

- 22 \leq x \leq 8

，即

[- 22, 8]

。

第 8 題

∣ x + 1∣ \leq 3

即

- 4 \leq x \leq 2

；

∣ y - 3∣ \leq 1

即

2 \leq y \leq 4

。把式子因式分解：

x y - x + 2 y + 3 = (x + 2) (y - 1) + 5

。其中

- 2 \leq x + 2 \leq 4

、

1 \leq y - 1 \leq 3

（恆正）。乘積最大是

4 \times 3 = 12

（

x = 2, y = 4

），最小是

(- 2) \times 3 = - 6

（

x = - 4, y = 4

）。所以

a = 17

、

b = - 1

，

a + b = 16

。

y - 1

恆正，所以乘積要最小，是取

x + 2

最負、

y - 1

最大。

04填充 5～8（第 9～12 題）：小數部分、常用對數與指數應用

第 9 題設

a

的整數部分是

n

，則

a = n + b

，

0 \leq b < 1

。因為

0 \leq 3 b^{2} < 3

，所以

17 < a^{2} \leq 20

，

4 < a \leq 20 < 5

，得

n = 4

。代入：

(4 + b)^{2} + 3 b^{2} = 20

，整理成

b^{2} + 2 b - 1 = 0

，

b = - 1 \pm 2

，取

0 \leq b < 1

的

b = 2 - 1

，

a = 3 + 2

。所求

\frac{7}{3 + 2} + \frac{1}{2 - 1} = (3 - 2) + (2 + 1) = 4

。

先用

0 \leq b < 1

把

a

夾在兩個連續整數之間，定出整數部分，再解

b

。

第 10 題

lo g a = lo g 1 0^{3} + lo g 4.72 = lo g 4720

，所以

a = 4720

；

lo g b = lo g 1 0^{2} + lo g 0.236 = lo g 23.6

，所以

b = 23.6

。

\frac{a}{b} = \frac{4720}{23.6} = 200

。也可以直接相減：

lo g a - lo g b = 1 + lo g \frac{4.72}{0.236} = 1 + lo g 20 = lo g 200

。

第 11 題由

1. 5^{x} = 10

得

1.5 = 1 0^{\frac{1}{x}}

；由

0.022 5^{y} = 10

得

0.0225 = 1 0^{\frac{1}{y}}

。而

0.0225 = \frac{1. 5 ^{2}}{100}

，所以

1 0^{\frac{1}{y}} = 1 0^{\frac{2}{x} - 2}

，即

\frac{1}{y} = \frac{2}{x} - 2

。兩邊同乘

x y

：

x = 2 y - 2 x y

，所以

x - 2 y = - 2 x y

，

\frac{x y}{x - 2 y} = - \frac{1}{2}

。

把兩個底數都寫成 10 的次方，再找

1.5

和

0.0225

之間的關係。

第 12 題營收增加為

10

倍，即

a^{1.5} = 10

，所以

a = 1 0^{\frac{1}{1.5}} = 1 0^{\frac{2}{3}}

。資本支出要擴大為

a^{0.88} = 1 0^{\frac{2}{3} \times 0.88} = 1 0^{\frac{1.76}{3}} \approx 1 0^{0.5867}

，用計算器得約

3.8607

，四捨五入到小數點後第 2 位是

3.86

。

也可以寫成

a^{0.88} = (a^{1.5})^{\frac{0.88}{1.5}} = 1 0^{\frac{0.88}{1.5}}

，不必先求

a

。

05混合題 1、2（第 13、14 題）：平均成本與算幾不等式

第 13 題答案 (2)。保養費第 1 年

2

萬、第 2 年

6

萬、第 3 年

10

萬……，第

k

年是

4 k - 2

萬元。

n

年的保養費合計

2 + 6 + 10 + \dots + (4 n - 2) = \frac{n ( 2 + 4 n - 2 )}{2} = 2 n^{2}

萬元。加上首付

200

萬元，總花費

200 + 2 n^{2}

萬元，平均一年

\frac{200 + 2 n ^{2}}{n}

萬元。

可以代

n = 1

、

n = 2

檢查：總花費應該是

202

、

208

萬元，只有 (2) 兩個都符合。

第 14 題平均一年的負擔金額

\frac{200 + 2 n ^{2}}{n} = \frac{200}{n} + 2 n

（萬元），其中

n > 0

。由算幾不等式，

\frac{200}{n} + 2 n \geq 2 \frac{200}{n} \cdot 2 n = 2400 = 40

。等號成立在

\frac{200}{n} = 2 n

，即

n^{2} = 100

，

n = 10

（是正整數，做得到）。所以租賃

10

年時平均一年的負擔金額最低，是

40

萬元；這

10

年的總花費是

200 + 2 \times 1 0^{2} = 400

萬元。

兩項相乘

\frac{200}{n} \cdot 2 n = 400

是定值，才能用算幾不等式求最小值。作答要寫三件事：兩項都是正數、乘積是定值、等號成立的

n

是正整數。

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