北一女中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (B)。

① $(\sqrt{10}{)}^x=10^{\frac{x}{2}}$，所以只要比較 $10$ 的次方。

② 右邊：$x=6$ 時 $10^3=1000\le 2025$ 成立；$x=7$ 時 $10^{3.5}=1000\sqrt{10}>3000>2025$ 不成立。所以 $x\le 6$。

③ 左邊：$x=-4$ 時 $10^{-2}=\frac{1}{100}\ge \frac{1}{114}$ 成立；$x=-5$ 時 $10^{-2.5}=\frac{1}{100\sqrt{10}}<\frac{1}{300}<\frac{1}{114}$ 不成立。所以 $x\ge -4$。

④ $(\sqrt{10}{)}^x$ 隨 $x$ 增大而增大，整數解是 $-4,-3,\dots ,6$，共 $11$ 個。

答案 (C)。

① 只要有一項是 $0$，乘積就是 $0$：這是 $1$ 種值。

② 沒有 $0$ 時，每一項是 $\pm 1$ 或 $\pm 5$。若其中有 $k$ 項是 $\pm 5$，乘積的絕對值是 $5^k$，$k=0,1,2,\dots ,114$，共 $115$ 種。

③ 正負號都做得到：$k<114$ 時還有 $\pm 1$ 的項，換它的正負號就能換乘積的正負號；$k=114$ 時每項都是 $\pm 5$，全取 $5$ 得 $5^{114}$，只取一項為 $-5$ 得 $-5^{114}$。

④ 所以非零的值有 $2\times 115=230$ 種，加上 $0$，共 $231$ 種。

答案 (D)。

① $a_k=(10\sqrt{10}{)}^{k-1}=10^{\frac{3}{2}(k-1)}$，所以 $\log a_k=\frac{3}{2}(k-1)$：$\log a_1,\log a_2,\dots$ 是 $0,\frac{3}{2},3,\frac{9}{2},\dots$。

② 兩項一組：$\log a_{2j-1}-\log a_{2j}=-\frac{3}{2}$。

③ $n=2m$（偶數）時，和是 $m$ 組，等於 $-\frac{3}{2}m<0$，不可能 $\ge 24$。

④ $n=2m+1$（奇數）時，和是 $-\frac{3}{2}m+\log a_{2m+1}=-\frac{3}{2}m+3m=\frac{3}{2}m$。

⑤ $\frac{3}{2}m\ge 24$，$m\ge 16$，最小的 $n=2\times 16+1=33$。

答案 (E)。

① $\cos A=-\frac{1}{2}$，$A=120^{\circ }$ 是鈍角，所以 $a=\overline{BC}$ 是最大邊。三邊依序為 $a$、$a-d$、$a-2d$。

② 正弦定理：$a=2R\sin A=28\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}$。

③ 餘弦定理：$a^2=(a-d{)}^2+(a-2d{)}^2-2(a-d)(a-2d)\cos A=(a-d{)}^2+(a-2d{)}^2+(a-d)(a-2d)$。

④ 展開整理得 $2a^2-9ad+7d^2=0$，即 $(2a-7d)(a-d)=0$。$d=a$ 會使一邊為 $0$，不合，所以 $d=\frac{2a}{7}=4\sqrt{3}$。

⑤ 此時三邊為 $6\sqrt{3}$、$10\sqrt{3}$、$14\sqrt{3}$，都是正數，合理。

答案 (B)(E)。由除法原理，$f_1(x)=g(x)q_1(x)+r_1(x)$，$f_2(x)=g(x)q_2(x)+r_2(x)$，其中 $r_1(x)$、$r_2(x)$ 是 $0$ 或次數小於 $2$ 的多項式。

(A) 錯誤。 餘式也可以是常數或 $0$。例如 $f_1(x)=x^3$、$g(x)=x^2$ 時 $r_1(x)=0$。

(B) 正確。 $f_1(x)+115=g(x)q_1(x)+\left(r_1(x)+115\right)$，而 $r_1(x)+115$ 的次數仍小於 $2$，所以它就是餘式。

(C) 錯誤。 $2026f_1(x)=1013g(x)\cdot 2q_1(x)+2026r_1(x)$，餘式是 $2026r_1(x)$，不是 $2r_1(x)$（$r_1(x)=0$ 時才相同）。例如 $f_1(x)=x^3+1$、$g(x)=x^2$，餘式是 $2026$。

(D) 錯誤。 $r_1(x)r_2(x)$ 可能是二次式，不能當除以二次式的餘式。例如 $g(x)=x^2$、$f_1(x)=f_2(x)=x^3+x$，$r_1(x)r_2(x)=x^2$，但 $f_1(x)f_2(x)=x^6+2x^4+x^2$ 除以 $x^2$ 的餘式是 $0$。

(E) 正確。 $f_1{f}_2=g^2{q}_1{q}_2+g(q_1{r}_2+q_2{r}_1)+r_1{r}_2$，所以 $f_1{f}_2-r_1{r}_2=g(x)\left[g{q}_1{q}_2+q_1{r}_2+q_2{r}_1\right]$，可被 $g(x)$ 整除。

答案 (A)(C)(D)。

疊合：$\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=2\left(\sin 3x\cos \frac{\pi }{6}-\cos 3x\sin \frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)$，所以 $f(x)=2\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)+2$，最大值 $4$、最小值 $0$。

(A) 正確。 週期為 $\frac{2\pi }{3}$。

(B) 錯誤。 $x=\frac{\pi }{9}$ 時 $3x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，$f=2\cdot \frac{1}{2}+2=3$，不是最大值 $4$。最大值發生在 $3x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{2\pi }{9}$（再加週期的整數倍）。

(C) 正確。 $x=\frac{11\pi }{9}$ 時 $3x-\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$，$\sin \frac{7\pi }{2}=-1$，是最小值。圖形在最高點、最低點處的鉛直線都是對稱軸。

(D) 正確。 $3-\frac{\pi }{6}$ 介於 $\frac{\pi }{2}$ 與 $\frac{5\pi }{6}$ 之間（因為 $\frac{2\pi }{3}<3<\pi$），在這一段正弦遞減，所以 $\sin \left(3-\frac{\pi }{6}\right)>\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$，$f(1)>2\cdot \frac{1}{2}+2=3$。

(E) 錯誤。 $f(x)=1$ 即 $\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$。令 $u=3x-\frac{\pi }{6}$，$x\in [0,2]$ 時 $u\in \left[-\frac{\pi }{6},6-\frac{\pi }{6}\right]$。

這一段裡 $\sin u=-\frac{1}{2}$ 的解是 $u=-\frac{\pi }{6}$ 與 $u=\frac{7\pi }{6}$（$\frac{11\pi }{6}$ 已超過 $6-\frac{\pi }{6}$，因為 $6<2\pi$）。對應 $x=0$ 與 $x=\frac{4\pi }{9}$，和為 $\frac{4\pi }{9}<\frac{\pi }{2}$，沒有超過。

答案 (C)。若 $d=k{t}^n$，兩邊取以 $2$ 為底的對數：${\log }_{2}d=n{\log }_{2}t+{\log }_{2}k$，即 $y=nx+{\log }_{2}k$。所以直線的斜率 $a$ 就是冪次 $n$。

由圖，最適合直線大約通過 $(-2,0)$ 與 $(0,4)$，斜率 $a\approx \frac{4-0}{0-(-2)}=2$，截距 $b\approx 4$。

(A) 錯誤。 散佈圖的點沒有全部落在同一直線上，相關係數小於 $1$。

(B) 錯誤。 斜率約為 $2$，不是 $1$。

(C) 正確。 $b$ 是直線的 $y$ 截距，約為 $4$，大於 $3$。

(D) 錯誤。 $a\approx 2$，表示 $d$ 約與 $t$ 的平方成正比（約 $d\approx 16t^2$），不是立方。

(E) 錯誤。 用直線估計：$t=0.5$ 時 $x=-1$，$y\approx 2(-1)+4=2$，$d\approx 2^2=4$ 呎；而且由迴歸直線只能估計，不能說「必為」某個值。

① 先算平方：

$$A^2=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 1\\ 1& -\sqrt{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 1\\ 1& -\sqrt{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right]=4I$$

② 所以 $A^9=(A^2{)}^{4}A=4^{4}A=256A$。

③ 由 $A\cdot \frac{1}{4}A=I$，得 $A^{-1}=\frac{1}{4}A$，$4A^{-1}=A$。

④ $A^9-4A^{-1}=256A-A=255A$，即

$$\left[\begin{array}{cc}255\sqrt{3}& 255\\ 255& -255\sqrt{3}\end{array}\right]$$

兩向量決定的平行四邊形面積，等於兩向量坐標所成二階行列式的絕對值。記 $\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ 為這個行列式。

① $\det (\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=\det (\overrightarrow{b},2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b})=2\det (\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})$，所以 $2\left|\det (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\right|=4$，$\left|\det (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\right|=2$。

② $\det (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=\det (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b})=5\det (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})+2\det (\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})=3\det (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$。

③ 所求面積 $=3\times 2=6$。

① 由除法原理，$f(x)=(x-1)q(x)+2$，$q(x)$ 是二次式。

② $y=q(x)$ 在 $x=1$ 有最小值 $3$，所以 $q(x)=k(x-1{)}^2+3$，$k>0$。

③ 代回：$f(x)=k(x-1{)}^3+3(x-1)+2$，這是三次函數的標準形，對稱中心為 $(1,2)$。

④ $y=f(-x)$ 是把圖形對 $y$ 軸鏡射，對稱中心變成 $(-1,2)$；再加 $2$ 是往上平移 $2$，對稱中心變成 $(-1,4)$。

① 從 $10$ 顆中取 $2$ 顆，共 $C_2^{10}=45$ 種，每種機率相同。

② 兩顆皆藍的機率 $\frac{1}{15}=\frac{3}{45}$，所以 $C_2^b=3$，藍球 $b=3$ 顆。

③ 兩顆皆綠的機率 $\frac{2}{9}=\frac{10}{45}$，所以 $C_2^g=10$，綠球 $g=5$ 顆；黃球 $10-3-5=2$ 顆，兩顆皆黃有 $C_2^2=1$ 種。

④ 兩顆同色共 $3+10+1=14$ 種，其中皆黃 $1$ 種，所求條件機率為 $\frac{1}{14}$。

設 $P(x,y,z)$。

① $Q_1=P-(1,1,-1)=(x-1,y-1,z+1)$ 在 $E_1$ 上：$(x-1)-(y-1)+(z+1)=2$，即 $x-y+z=1$。

② $Q_2=(x-3,y-5,z+2)$ 在 $E_2$ 上：$2(x-3)+(y-5)+5(z+2)=4$，即 $2x+y+5z=5$。

③ $Q_3=(x-4,y-1,z+2)$ 在 $E_3$ 上：$3(x-4)+(y-1)+5(z+2)=6$，即 $3x+y+5z=9$。

④ ③ 減 ② 得 $x=4$。代入得 $-y+z=-3$、$y+5z=-3$，相加 $6z=-6$，$z=-1$，$y=2$。

所以 $P$ 點坐標為 $(4,2,-1)$。

① $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta =16\sin \theta =4$，所以 $\sin \theta =\frac{1}{4}$；又 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{15}}{4}$。

② $\overrightarrow{c}$ 垂直 $\overrightarrow{a}$，所以 $|\overrightarrow{d}|=|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}|=4\cdot 4\cdot \sin 90^{\circ }=16$。

③ $\overrightarrow{d}$ 垂直 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$ 也垂直 $\overrightarrow{a}$：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{d}$ 兩兩垂直。

④ 以 $\overrightarrow{d}$、$\overrightarrow{c}$ 張出的長方形為底，面積 $16\times 4=64$；高是 $\overrightarrow{b}$ 在垂直底面方向（即 $\overrightarrow{a}$ 的方向）的分量長，$|\overrightarrow{b}|\cos \theta =4\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=\sqrt{15}$。

⑤ 體積 $=64\times \sqrt{15}=64\sqrt{15}$。

$△ABO$ 在 $O$ 是直角，$\overline{AB}=10$，$L$ 的斜率為 $-\frac{3}{4}$。

① 若 $M$ 切 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$（切下含 $O$ 的小三角形），$M$ 的 $x$、$y$ 截距都是正的，斜率 $m<0$、$k>0$，$m\cdot k<0$，不合。

② 若 $M$ 切 $\overline{AB}$ 於 $P$、切 $\overline{OB}$ 於 $Q$，四邊形 $OAPQ$ 內接於圓，對角互補：$\angle APQ=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$，$M\perp L$，$m=\frac{4}{3}>0$；但 $M$ 過 $x$ 軸正向上的 $Q$，$k<0$，$m\cdot k<0$，不合。

③ 所以 $M$ 切 $\overline{AB}$ 於 $P$、切 $\overline{OA}$ 於 $Q$，四邊形 $OBPQ$ 內接於圓，$\angle BPQ=90^{\circ }$，$M\perp L$，$m=\frac{4}{3}$，$k>0$，符合。

④ $△APQ$ 與 $△AOB$ 共用 $\angle A$，且 $\angle APQ=\angle AOB=90^{\circ }$，兩三角形相似。面積比 $1:(3+1)=1:4$，相似比 $1:2$，所以 $\overline{AP}=\frac{1}{2}\overline{AO}=3$。

⑤ 從 $A$ 往 $B$ 的單位向量是 $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$，$P=(0,6)+3\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)=\left(\frac{12}{5},\frac{21}{5}\right)$。

$△ABC$ 中 $\overline{BA}=\overline{BC}=10$，夾角為 $\angle ABC$：

$$△ABC\text{ 的面積}=\frac{1}{2}\cdot \overline{BA}\cdot \overline{BC}\cdot \sin \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\cdot \frac{4}{5}=40$$

① $\angle ABC$ 為銳角，$\cos \angle ABC=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$。

② 餘弦定理：${\overline{AC}}^2=10^2+10^2-2\cdot 10\cdot 10\cdot \frac{3}{5}=80$。

③ 直線 $CD$ 垂直平面 $ABC$，所以 $CD$ 垂直平面上的直線 $AC$，$\angle ACD=90^{\circ }$。

④ ${\overline{AD}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{CD}}^2=80+100=180$，$\overline{AD}=6\sqrt{5}$。

答案 (E)。

① 在平面 $ABC$ 上作 $\overline{CH}\perp \overline{AB}$，垂足 $H$。由面積，$\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{CH}=40$，$\overline{CH}=8$。

② $\overline{BH}=\overline{BC}\cos \angle ABC=6<10$，$H$ 在線段 $\overline{AB}$ 上。

③ $CD$ 垂直平面 $ABC$、$CH\perp AB$，由三垂線定理，$DH\perp AB$。所以 $\angle DHC$ 就是兩平面沿 $AB$ 的二面角 $\theta$。

④ $△DCH$ 在 $C$ 是直角，$\tan \theta =\frac{\overline{CD}}{\overline{CH}}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$。