北一女中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (4)。判別式 $36-8=28>0$，兩根為相異實根；由根與係數的關係 $\alpha +\beta =-6$、$\alpha \beta =2$，兩根同號且和為負，所以 $\alpha ,\beta$ 都是負數。負數的平方根：$\sqrt{\alpha }=\sqrt{-\alpha }i$、$\sqrt{\beta }=\sqrt{-\beta }i$，所以

$$\sqrt{\alpha }\sqrt{\beta }=\sqrt{-\alpha }\sqrt{-\beta }{i}^2=-\sqrt{\alpha \beta }=-\sqrt{2}$$

因此 $(\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }{)}^2=\alpha +\beta +2\sqrt{\alpha }\sqrt{\beta }=-6-2\sqrt{2}$。

答案 (1)(3)(5)。

(1) 正確。 $a\ge 0$ 時顯然成立；$a<0$ 時依定義 $\sqrt{a}=\sqrt{-a}i$，$(\sqrt{a}{)}^2=(-a)i^2=a$，也成立。

(2) 錯誤。 虛數不能比大小。例如 $z_1=1+i$、$z_2=i$，$z_1-z_2=1>0$，但 $z_1,z_2$ 都不是實數，$z_1>z_2$ 沒有意義。

(3) 正確。 設 $z_1=x+yi$，$z_1^2=(x^2-y^2)+2xyi<0$ 表示它是負實數，所以 $xy=0$ 且 $x^2-y^2<0$。若 $y=0$ 則 $x^2<0$ 不可能，所以 $x=0$，$z_1$ 的實部為 $0$，$z_1+\overline{z_1}=2x=0$。

(4) 錯誤。 $\overline{z_1}=-z_1$ 只能得到 $z_1$ 的實部為 $0$；$z_1=0$ 也滿足，但 $0$ 不是純虛數（純虛數是 $bi$ 且 $b\ne 0$）。

(5) 正確。 兩邊取共軛：$\overline{z_1+\overline{z_2}}=\overline{z_1}+z_2$，而 $a$ 是實數，$\overline{a}=a$，所以 $\overline{z_1}+z_2=a$。

答案 (1)(3)(4)。正方形中心在原點、兩邊平行兩軸，所以四個頂點到兩軸的距離都相等。設 $A$ 的坐標為 $(s,s)$（$s>0$），$z=s+si$，則 $B(s,-s)$、$C(-s,-s)$、$D(-s,s)$。

(1) 正確。 $\overline{OA}$ 是 $A$ 到原點的距離，就是 $|z|$。

(2) 錯誤。 邊長 $2s$，面積 $4s^2$；而 $|z{|}^2=s^2+s^2=2s^2$，所以面積是 $2|z{|}^2$，不是 $4|z{|}^2$。

(3) 正確。 $B$ 是 $A$ 對實軸的對稱點，對應 $s-si=\overline{z}$。

(4) 正確。 $C$ 是 $A$ 對原點的對稱點，對應 $-s-si=-z$。

(5) 錯誤。 $i\overline{z}=i(s-si)=s+si=z$，是 $A$ 點；$D$ 對應 $-s+si$，等於 $iz$（也等於 $-\overline{z}$）。

答案 (2)(5)。由餘式定理 $f(1)=1+a+b=2$，又 $f(2)=16+4a+b=2$，即 $a+b=1$、$4a+b=-14$，相減得 $3a=-15$，$a=-5$、$b=6$。

(1) 錯誤。 $(a,b)=(-5,6)$。

(2) 正確。 $f(x)=x^4-5x^2+6$，餘式為 $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{81}{16}-5\times \frac{9}{4}+6=\frac{81-180+96}{16}=-\frac{3}{16}$。

(3) 錯誤。 $f(x)=(x^2-2)(x^2-3)$，四根為 $\pm \sqrt{2}$、$\pm \sqrt{3}$；$1<\sqrt{2}<\sqrt{3}<2$，區間 $(1,2)$ 內有兩個實根。

(4) 錯誤。 四根都是實根，沒有虛根。

(5) 正確。 四根 $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0$；也可由根與係數的關係，$x^3$ 項係數為 $0$，四根之和為 $0$。

答案 (2)(3)(4)。$q\ne 0$，$3+qi$ 是虛根；$p+4i$ 也是虛根。實係數方程式的虛根共軛成對，三次方程式只有一對共軛虛根，所以 $\{p+4i,p-4i\}=\{3+qi,3-qi\}$，比較實部與虛部得 $p=3$、$q=\pm 4$。題目說是「兩根」（兩個不同的根），$3+qi\ne p+4i$，所以 $q=-4$。

(1) 錯誤。 $(p,q)=(3,-4)$。

(2) 正確。 兩虛根 $3\pm 4i$，和為 $6$、積為 $9+16=25$，所以 $x^2-6x+25$ 是 $f(x)$ 的因式。

(3) 正確。 設第三根為實數 $r$，$f(x)=(x^2-6x+25)(x-r)=x^3-(6+r)x^2+(25+6r)x-25r$。比較 $x$ 項係數：$25+6r=37$，$r=2$，所以 $a=-(6+2)=-8$、$b=-25\times 2=-50$。

(4) 正確。 三根為 $3\pm 4i$ 與 $2$，唯一的實根是 $2$。

(5) 錯誤。 $f(x^2)=0$ 即 $x^2=2$ 或 $x^2=3+4i$ 或 $x^2=3-4i$。$x^2=2$ 得兩實根 $\pm \sqrt{2}$；$x$ 若是實數，$x^2$ 也是實數，不會等於 $3\pm 4i$，所以其餘四根都是虛根（例如 $(2+i{)}^2=3+4i$、$(2-i{)}^2=3-4i$）。共兩實根、四虛根。

分子分母同乘 $1+i$：

$$\frac{6-8i}{1-i}=\frac{(6-8i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{6+6i-8i+8}{2}=\frac{14-2i}{2}=7-i$$

又 $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=-i$，所以原式 $=(7-i)-(-i)=7$。

兩相異負根要同時滿足三個條件。

判別式大於 $0$：$(2a-3{)}^2-4\left(a+\frac{1}{2}\right)=4a^2-16a+7>0$，即 $(2a-1)(2a-7)>0$，得 $a<\frac{1}{2}$ 或 $a>\frac{7}{2}$。

兩根之和小於 $0$：$2a-3<0$，得 $a<\frac{3}{2}$。

兩根之積大於 $0$：$a+\frac{1}{2}>0$，得 $a>-\frac{1}{2}$。

三者取交集：$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$。

$f(0)=(a-2{)}^2\ge 0$，$f(1)=1-2a+(a-2{)}^2=a^2-6a+5=(a-1)(a-5)$。

若 $f(0)f(1)<0$：需 $a\ne 2$ 且 $(a-1)(a-5)<0$，即 $1<a<5$ 且 $a\ne 2$。此時 $f(0)$、$f(1)$ 一正一負，由勘根定理 $(0,1)$ 內有一根；二次函數最多兩根，另一根在區間外（$f(0)>0$、$f(1)<0$ 時另一根大於 $1$），所以恰有一根。

再檢查端點值為 $0$ 或重根的情形：$a=2$ 時 $f(x)=x^2-4x$，根為 $0,4$，不在 $(0,1)$ 內；$a=1$ 時 $f(x)=(x-1{)}^2$，重根 $1$ 不在 $(0,1)$ 內；$a=5$ 時 $f(x)=x^2-10x+9=(x-1)(x-9)$，根為 $1,9$，也不在 $(0,1)$ 內。判別式 $4a^2-4(a-2{)}^2=16(a-1)$，重根只發生在 $a=1$。

其他 $a$ 值 $f(0)$、$f(1)$ 同為正，$(0,1)$ 內的根若有必為兩個或沒有，不合。所以 $1<a<5$ 且 $a\ne 2$。

$z$ 的虛部不為 $0$，所以 $z\ne 1$，可以約分：$z^3-z=z(z-1)(z+1)$，

$$\frac{z^3-z}{z-1}=z(z+1)=z^2+z$$

設 $z=a+bi$，$z^2+z=(a^2-b^2+a)+(2ab+b)i$，它是實數，所以虛部 $b(2a+1)=0$。因為 $b\ne 0$，$a=-\frac{1}{2}$。再由 $|z|=1$：$a^2+b^2=1$，$b^2=\frac{3}{4}$，$b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。所以 $(a,b)=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

$f(x)$ 是實係數，$1+i$ 是根，$1-i$ 也是根；設第三根為實數 $r$，

$$f(x)=(x^2-2x+2)(x-r)=x^3-(2+r)x^2+(2+2r)x-2r$$

所以 $a=-(2+r)$。

公共根 $\alpha$ 不可能是虛根：若 $\alpha =1+i$，因 $g(x)$ 也是實係數，$1-i$ 也是 $g(x)=0$ 的根，兩個虛根都是公共根，與「唯一的公共根」矛盾（$\alpha =1-i$ 同理）。所以 $\alpha =r$。

由 $g(r)=0$：$r^2-(2+r)r+2=0$，即 $-2r+2=0$，$r=1$。此時 $a=-3$，$g(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，$f(x)$ 的根為 $1$、$1\pm i$，公共根只有 $1$，符合題意。所以 $\alpha =1$。