段考詳解範圍：隨機變數與二項分布、線性規劃（離散型隨機變數的期望值、變異數與標準差、二項分布、二項分布的合理性檢定、二元一次聯立不等式與線性規劃）

北一女中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要先由機率表加出兩端的機率、定出拒絕域，選項 (4)(5) 還要換顯著水準與假設方向各重判一次；第 6 題號碼和為奇數的機率是二十五分之十三，獎金總額的變異數要乘一百的平方；第 8 題不放回取球不是二項分布，變異數比放回時小；第 12 題要把區域內十三個整數點逐列數出來。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 4 題（40 分）、填充題 4 題共 5 格（25 分）、混合題 1 題組 3 小題（15 分）

一、單選題（共 20 分）｜說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題的分數；答錯、未作答或作答多於一個選項者，該題以零分計算。

有一枚不均勻的硬幣，其出現正面的機率為

p

，若已知重複丟此硬幣

300

次，出現正面次數的期望值為

75

次，則出現正面次數的標準差為下列哪一個選項？

(1) $7$ 次
(2) $\frac{15}{2}$ 次
(3) $15$ 次
(4) $20$ 次
(5) $\frac{225}{4}$ 次

已知箱中裝有編號

2, 4, 6, 8

的球分別有

1, 2, 3, 4

顆，今從箱中任取一球，且每一球被取到的機會均等。若隨機變數

X

表示所抽出球的號碼，則

X

的變異數

Var (X)

為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

已知實數

x, y

滿足聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 y \geq 0 3 x - y \geq - 1 2 x + y \leq 6

，若

2 x - 3 y

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M + m

之值為下列哪一個選項？

(1) $- 4$
(2) $- 2$
(3) $2$
(4) $4$
(5) $8$

摸彩箱中有價值

100

元的紅包

5

個，

500

元的紅包

4

個，

1000

元的紅包

1

個，今從箱中任取兩個紅包，且每一個紅包被取到的機會均等，則所得金額的期望值為下列哪一個選項？

(1) $300$
(2) $350$
(3) $500$
(4) $650$
(5) $700$

二、多選題（共 40 分）｜說明：第 5 題至第 8 題，每題 10 分。每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。每個選項 2 分獨立計分，所有選項均未作答者，該題得 0 分。

小綠宣稱其射箭命中紅心的機率是

0.5

，小園想要檢定小綠命中紅心的機率

p

，設定步驟如下：① 假設「小綠命中紅心的機率

p = 0.5

」　② 確立檢定統計量為「射箭

15

次的命中紅心次數」　③ 設定顯著水準為

α = 0.05

。令隨機變數

X

表示小綠命中紅心的次數，且已知隨機變數

X \sim B (15, 0.5)

的機率分布表如下（表中的機率值皆為四捨五入至小數點後第

5

位之近似值），請選出正確的選項。

k P (X = k) k P (X = k) 0 0.00003 8 0.19638 1 0.00046 9 0.15274 2 0.00320 10 0.09164 3 0.01389 11 0.04166 4 0.04166 12 0.01389 5 0.09164 13 0.00320 6 0.15274 14 0.00046 7 0.19638 15 0.00003

(1) 在 $p = 0.5$ 的假設之下， $P (X = 3) = C_{3}^{15} (0.5)^{3} (0.5)^{12}$ 。
(2) 若試驗的結果為小綠命中 $4$ 次，則小園會傾向拒絕小綠的宣稱。
(3) 若試驗的結果為小綠命中 $12$ 次，則小園會傾向拒絕小綠的宣稱。
(4) 若將顯著水準 $α$ 改為 $0.1$ ，則拒絕域不變。
(5) 若將步驟①中欲檢定的假設改為 $p \geq 0.5$ ，顯著水準 $α = 0.1$ ，則拒絕域為 ${X \geq 11}$ 。

甲箱中有編號

1, 2, 3, 4, 5

的球各一顆，乙箱中有編號

6, 7, 8, 9, 10

的球各一顆，每顆球被取到的機會均等。今從甲、乙兩箱中各取出一球，計算兩球的號碼和後再將球放回箱中，共取球

5

次。每次取球若號碼和為奇數可得獎金

200

元，若號碼和為偶數可得獎金

100

元，令隨機變數

X

表示

5

次取球中號碼和為奇數的次數，隨機變數

Y

表示

5

次取球所得的獎金總額，請選出正確的選項。

(1) $X \sim B (5, \frac{12}{25})$
(2) $Y = 100 X + 200$
(3) $E (Y) = 760$
(4) $Var (X) = \frac{156}{125}$
(5) $Var (Y) = \frac{624}{5}$

甲、乙兩人一起在某餐廳打工，餐廳規定員工可以在一週七天當中任選三天休假，設甲、乙兩人選擇任一天休假的機率均等且兩人的選擇互相獨立，令隨機變數

X

表示兩人一週當中同時休假的天數，請選出正確的選項。

(1) $P (X = 0) = \frac{1}{35}$
(2) $P (X = 1) = \frac{18}{35}$
(3) $E (X) = \frac{9}{7}$
(4) $E (X^{2}) = 2$
(5) $σ (X) = \frac{2 6}{7}$

袋中有

2

顆白球、

3

顆紅球，考慮以下三種隨機試驗：① 一次取一球，取後不放回，連取三次，令隨機變數

X

表示取到紅球的顆數　② 一次取一球，取後放回，連取三次，令隨機變數

Y

表示取到紅球的顆數　③ 一次取三球，令隨機變數

Z

表示取到紅球的顆數。請選出正確的選項。

(1) $X \sim B (3, \frac{3}{5})$
(2) $P (X = 1) = P (Z = 1)$
(3) $E (X) = E (Y)$
(4) $Var (X) = Var (Z)$
(5) $Var (Y) < Var (Z)$

三、填充題（共 25 分）｜說明：第 9 題至第 12 題，每格 5 分，每格須全對才給分。答案若為分數請化為最簡分數，根式請化為最簡根式，否則不予計分。

已知阿北的投籃命中率為

\frac{2}{3}

，若阿北連續投籃

4

次，每次進球與否皆為獨立事件，令隨機變數

X

為投進的球數，試求：(1)

P (X > 2) =

____　(2) 若事件

X = k

發生的機率最大，則

k =

____

袋中有編號

1

號到

5

號的球各一顆，今從袋中一次取出三球，令隨機變數

X

表示三球號碼的中位數，則

X

的期望值

E (X) =

____。

設隨機變數

X

滿足

Var (X) = \frac{1}{3} E (X)

，且

E (X^{2}) = \frac{10}{3}

，試求

X

的標準差

σ (X) =

____。

設

x, y

皆為整數且滿足聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 y \geq 0 5 x + 4 y \leq 20 x + 2 y \leq 6

，今從該聯立不等式的區域中任取一點

P (x, y)

，令隨機變數

K

表示

x + 2 y

的取值，則

K

的期望值

E (K) =

____。

四、混合題（共 15 分）｜說明：本部分共有 1 題組，單選題每題 3 分，非選擇題配分標於題末。非選擇題請以黑色墨水的筆在答題卷上依題號由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

13－15 題為題組（第 13～15 題）　為了籌措社團成發所需的費用，小綠計畫在北一市集上販售紀念 T 恤與紀念背包兩種商品來募款，這兩種商品所需的材料費、製作費、設計費與售價如下表所示。因資金有限，小綠希望材料費不超過

2400

元，製作費不超過

3600

元，設計費不超過

3000

元。若小綠訂製紀念 T 恤

x

件，紀念背包

y

件，且假設小綠所訂製的 T 恤與背包全部都可以售完，試回答下列問題。

紀念 T 恤 紀念背包 材料費（元／件） 8090 製作費（元／件） 60180 設計費（元／件） 12060 售價（元／件） 400450

小綠將所訂製的兩種商品全部售出後，所得的利潤可以用下列哪一個選項來表示？（單選題，3 分）

(1) $80 x + 90 y$
(2) $60 x + 180 y$
(3) $120 x + 60 y$
(4) $400 x + 450 y$
(5) $140 x + 120 y$

請根據題目之條件限制，寫出

x, y

所滿足的聯立不等式。（非選擇題，4 分）

請在答題卷上畫出可行解區域（以斜線表示該區域），標出該斜線區域的所有頂點坐標，並求出小綠應訂製 T 恤與背包各幾件才能使利潤有最大值，以及此時的利潤為多少元。（非選擇題，8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(1)

第 4 題(5)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(3)(4)

第 7 題(2)(3)(5)

第 8 題(2)(3)(4)

第 9 題(1)

\frac{16}{27}

　(2)

3

第 10 題

3

第 11 題

\frac{5}{3}

第 12 題

\frac{45}{13}

第 13 題(5)

第 14 題

⎩ ⎨ ⎧ 8 x + 9 y \leq 240 x + 3 y \leq 60 2 x + y \leq 50 x \geq 0, y \geq 0

（

x, y

為整數）

第 15 題頂點

(0, 0)

、

(25, 0)

、

(21, 8)

、

(12, 16)

、

(0, 20)

；T 恤

21

件、背包

8

件時利潤最大，為

3900

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：二項分布的標準差、變異數、頂點法、期望值

第 1 題答案 (2)。正面次數

X \sim B (300, p)

，期望值

E (X) = 300 p = 75

，得

p = \frac{1}{4}

。變異數

Var (X) = 300 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{225}{4}

，標準差

σ (X) = \frac{225}{4} = \frac{15}{2}

（次）。

選項 (5) 的

\frac{225}{4}

是變異數，題目問的是標準差，要再開根號。

第 2 題答案 (4)。共

10

顆球，

P (X = 2) = \frac{1}{10}

、

P (X = 4) = \frac{2}{10}

、

P (X = 6) = \frac{3}{10}

、

P (X = 8) = \frac{4}{10}

。

E (X) = \frac{2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 8 \times 4}{10} = \frac{60}{10} = 6

，

E (X^{2}) = \frac{4 \times 1 + 16 \times 2 + 36 \times 3 + 64 \times 4}{10} = \frac{400}{10} = 40

。所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 40 - 36 = 4

。

也可以直接用定義：各號碼與

6

的差是

- 4, - 2, 0, 2

，

Var (X) = \frac{16 \times 1 + 4 \times 2 + 0 \times 3 + 4 \times 4}{10} = 4

。

第 3 題答案 (1)。可行解區域是四邊形，頂點為

(0, 0)

、

(3, 0)

、

(1, 4)

、

(0, 1)

：其中

(3, 0)

是

2 x + y = 6

與

x

軸的交點，

(0, 1)

是

3 x - y = - 1

與

y

軸的交點，

(1, 4)

由

3 x - y = - 1

與

2 x + y = 6

相加得

5 x = 5

求出。把頂點代入

2 x - 3 y

：依序為

0

、

6

、

- 10

、

- 3

。所以

M = 6

、

m = - 10

，

M + m = - 4

。

3 x - y \geq - 1

即

y \leq 3 x + 1

，區域在直線

y = 3 x + 1

的下方；代原點

(0, 0)

檢查：

0 \geq - 1

成立，原點在區域內。

第 4 題答案 (5)。

10

個紅包任取

2

個，共

C_{2}^{10} = 45

種。金額與取法數：

200

元（兩個

100

）

C_{2}^{5} = 10

種；

600

元（

100

與

500

）

5 \times 4 = 20

種；

1100

元（

100

與

1000

）

5

種；

1000

元（兩個

500

）

C_{2}^{4} = 6

種；

1500

元（

500

與

1000

）

4

種。期望值

= \frac{200 \times 10 + 600 \times 20 + 1100 \times 5 + 1000 \times 6 + 1500 \times 4}{45} = \frac{31500}{45} = 700

（元）。

檢查：取一個紅包的期望值是

\frac{100 \times 5 + 500 \times 4 + 1000 \times 1}{10} = 350

元，取兩個剛好是它的

2

倍。

02多選第 5 題：二項分布的合理性檢定

第 5 題答案 (1)(3)(4)。(1) 對：

X \sim B (15, 0.5)

，命中

3

次、沒中

12

次，

P (X = 3) = C_{3}^{15} (0.5)^{3} (0.5)^{12}

。假設是

p = 0.5

，命中次數太少或太多都不合理，拒絕域取在兩端，兩端的機率和不超過

α

。由表，

P (X \leq 3) = 0.00003 + 0.00046 + 0.00320 + 0.01389 = 0.01758

，由對稱

P (X \geq 12) = 0.01758

，兩端合計

0.03516 \leq 0.05

；若再放進

X = 4

與

X = 11

，合計變成

0.03516 + 2 \times 0.04166 = 0.11848 > 0.05

。所以拒絕域是

{X \leq 3 或 X \geq 12}

。(2) 錯：

4

不在拒絕域內，不拒絕。(3) 對：

12

在拒絕域內。(4) 對：

α = 0.1

時，

{X \leq 3 或 X \geq 12}

的機率

0.03516 \leq 0.1

，但擴大到

{X \leq 4 或 X \geq 11}

的機率

0.11848 > 0.1

，所以拒絕域仍然不變。(5) 錯：假設改為

p \geq 0.5

時，只有命中次數太少才會讓人懷疑這個假設，拒絕域在左端；

P (X \leq 4) = 0.01758 + 0.04166 = 0.05924 \leq 0.1

，

P (X \leq 5) = 0.05924 + 0.09164 = 0.15088 > 0.1

，所以拒絕域是

{X \leq 4}

，不是

{X \geq 11}

。

拒絕域在哪一端要看假設的方向：假設

p = 0.5

看兩端，假設

p \geq 0.5

只看次數偏少的那一端。命中

11

次以上反而支持

p \geq 0.5

。

03多選第 6～8 題：二項分布與變換、同時休假天數、放回與不放回

第 6 題答案 (3)(4)。號碼和為奇數要一奇一偶。甲箱奇數

3

顆、偶數

2

顆，乙箱奇數

2

顆（

7, 9

）、偶數

3

顆（

6, 8, 10

），所以每次和為奇數的機率是

\frac{3 \times 3 + 2 \times 2}{25} = \frac{13}{25}

。每次取完放回，各次獨立，

X \sim B (5, \frac{13}{25})

，(1) 錯。奇數

X

次、偶數

5 - X

次，

Y = 200 X + 100 (5 - X) = 100 X + 500

，(2) 錯。

E (X) = 5 \times \frac{13}{25} = \frac{13}{5}

，

E (Y) = 100 \times \frac{13}{5} + 500 = 760

，(3) 對。

Var (X) = 5 \times \frac{13}{25} \times \frac{12}{25} = \frac{156}{125}

，(4) 對。

Var (Y) = 10 0^{2} Var (X) = 10000 \times \frac{156}{125} = 12480

，(5) 錯。

(5) 的

\frac{624}{5} = 124.8

是只乘

100

的結果；

Y = a X + b

時變異數要乘

a^{2}

，加上的常數

b

不影響變異數。

第 7 題答案 (2)(3)(5)。先固定甲休假的

3

天，乙從

7

天任選

3

天，共

C_{3}^{7} = 35

種，機會均等。乙選的

3

天中有

k

天落在甲的休假日、

3 - k

天落在其餘

4

天：

P (X = k) = \frac{C _{k}^{3} C _{3 - k}^{4}}{35}

。得

P (X = 0) = \frac{4}{35}

、

P (X = 1) = \frac{3 \times 6}{35} = \frac{18}{35}

、

P (X = 2) = \frac{3 \times 4}{35} = \frac{12}{35}

、

P (X = 3) = \frac{1}{35}

，(1) 錯、(2) 對。

E (X) = \frac{0 \times 4 + 1 \times 18 + 2 \times 12 + 3 \times 1}{35} = \frac{45}{35} = \frac{9}{7}

，(3) 對。

E (X^{2}) = \frac{1 \times 18 + 4 \times 12 + 9 \times 1}{35} = \frac{75}{35} = \frac{15}{7}

，(4) 錯。

Var (X) = \frac{15}{7} - \frac{81}{49} = \frac{24}{49}

，

σ (X) = \frac{2 6}{7}

，(5) 對。

四個機率加起來

\frac{4 + 18 + 12 + 1}{35} = 1

，可以用來檢查分布表。(1) 的

\frac{1}{35}

是

P (X = 3)

。

第 8 題答案 (2)(3)(4)。① 不放回連取三次與 ③ 一次取三球，取到的三顆球是同一回事，所以

X

與

Z

的機率分布相同：

5

顆取

3

顆共

C_{3}^{5} = 10

種，

P (Z = 1) = \frac{C _{1}^{3} C _{2}^{2}}{10} = \frac{3}{10}

、

P (Z = 2) = \frac{C _{2}^{3} C _{1}^{2}}{10} = \frac{6}{10}

、

P (Z = 3) = \frac{1}{10}

（白球只有

2

顆，不可能

0

顆紅球）。(1) 錯：不放回時各次不獨立，

X

不是二項分布。(2)、(4) 對：

X

與

Z

分布相同。

E (X) = \frac{1 \times 3 + 2 \times 6 + 3 \times 1}{10} = \frac{9}{5}

；② 放回時

Y \sim B (3, \frac{3}{5})

，

E (Y) = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}

，(3) 對。

E (Z^{2}) = \frac{1 \times 3 + 4 \times 6 + 9 \times 1}{10} = \frac{18}{5}

，

Var (Z) = \frac{18}{5} - \frac{81}{25} = \frac{9}{25}

；

Var (Y) = 3 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{18}{25}

。

\frac{18}{25} > \frac{9}{25}

，(5) 錯。

放回與不放回的期望值相同，但不放回的變異數比較小：不放回時不可能取到

0

顆紅球，結果比較集中。

先分清楚是不是二項分布（各次獨立、成功機率相同）；不是的話就老實列出機率分布表，再算

E (X)

、

E (X^{2})

與

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

。

04填充題（第 9～12 題）：二項分布的機率、中位數、反求標準差、格子點

第 9 題

X \sim B (4, \frac{2}{3})

，

P (X = k) = C_{k}^{4} (\frac{2}{3})^{k} (\frac{1}{3})^{4 - k}

。逐一算出：

P (X = 0) = \frac{1}{81}

、

P (X = 1) = \frac{8}{81}

、

P (X = 2) = \frac{24}{81}

、

P (X = 3) = \frac{32}{81}

、

P (X = 4) = \frac{16}{81}

。(1)

P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}

。(2) 五個機率中

\frac{32}{81}

最大，所以

k = 3

。

X > 2

不含

X = 2

。期望值

4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}

不是整數，機率最大的次數要把各個機率列出來比。

第 10 題

5

顆取

3

顆共

C_{3}^{5} = 10

種。中位數是

m

表示另外兩顆一顆比

m

小、一顆比

m

大：

X = 2

有

1 \times 3 = 3

種，

X = 3

有

2 \times 2 = 4

種，

X = 4

有

3 \times 1 = 3

種。

E (X) = \frac{2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 3}{10} = \frac{30}{10} = 3

。

X

的分布對稱於

3

（

P (X = 2) = P (X = 4)

），期望值就是

3

。

第 11 題設

E (X) = μ

。由

Var (X) = E (X^{2}) - μ^{2}

得

\frac{1}{3} μ = \frac{10}{3} - μ^{2}

，即

3 μ^{2} + μ - 10 = 0

，

(3 μ - 5) (μ + 2) = 0

，

μ = \frac{5}{3}

或

μ = - 2

。變異數不能是負的，

μ = - 2

時

Var (X) = - \frac{2}{3} < 0

不合，所以

μ = \frac{5}{3}

，

Var (X) = \frac{5}{9}

，

σ (X) = \frac{5}{3}

。

解出兩個

μ

之後要用「變異數不小於

0

」篩掉一個。

第 12 題把區域內的格子點依

y

值列出。

y = 0

：

5 x \leq 20

且

x \leq 6

，

x = 0, 1, 2, 3, 4

，共

5

點，

x + 2 y

的值為

0, 1, 2, 3, 4

，和

10

。

y = 1

：

5 x \leq 16

且

x \leq 4

，

x = 0, 1, 2, 3

，共

4

點，值為

2, 3, 4, 5

，和

14

。

y = 2

：

5 x \leq 12

且

x \leq 2

，

x = 0, 1, 2

，共

3

點，值為

4, 5, 6

，和

15

。

y = 3

：

5 x \leq 8

且

x \leq 0

，只有

x = 0

，

1

點，值為

6

。

y \geq 4

時

x + 2 y \geq 8 > 6

，沒有點。共

5 + 4 + 3 + 1 = 13

個點，每點機會均等，

E (K) = \frac{10 + 14 + 15 + 6}{13} = \frac{45}{13}

。

每一列都要兩個不等式同時檢查：

y = 1

時

x = 4

滿足

x + 2 y \leq 6

，但

5 x + 4 y = 24 > 20

，不在區域內。

05混合題（第 13～15 題）：線性規劃求最大利潤

第 13 題答案 (5)。利潤是售價扣掉三項費用。每件 T 恤的利潤

= 400 - 80 - 60 - 120 = 140

元，每件背包的利潤

= 450 - 90 - 180 - 60 = 120

元，所以利潤為

140 x + 120 y

。

選項 (4) 的

400 x + 450 y

是總收入，還沒扣成本。

第 14 題材料費

80 x + 90 y \leq 2400

，同除以

10

得

8 x + 9 y \leq 240

；製作費

60 x + 180 y \leq 3600

，同除以

60

得

x + 3 y \leq 60

；設計費

120 x + 60 y \leq 3000

，同除以

60

得

2 x + y \leq 50

；件數不能是負的，

x \geq 0

、

y \geq 0

，且

x, y

為整數。聯立不等式為

⎩ ⎨ ⎧ 8 x + 9 y \leq 240 x + 3 y \leq 60 2 x + y \leq 50 x \geq 0, y \geq 0

。

「不超過」是

\leq

。原卷參考答案註明：不等式沒有約分不扣分。

第 15 題設

L_{1}

：

8 x + 9 y = 240

、

L_{2}

：

x + 3 y = 60

、

L_{3}

：

2 x + y = 50

。求頂點：

L_{3}

與

x

軸交於

A (25, 0)

；

L_{3}

與

L_{1}

：把

y = 50 - 2 x

代入得

8 x + 450 - 18 x = 240

，

x = 21

、

y = 8

，得

B (21, 8)

（代入

L_{2}

的限制：

21 + 24 = 45 \leq 60

，成立）；

L_{1}

與

L_{2}

：把

x = 60 - 3 y

代入得

480 - 24 y + 9 y = 240

，

y = 16

、

x = 12

，得

C (12, 16)

（

2 \times 12 + 16 = 40 \leq 50

，成立）；

L_{2}

與

y

軸交於

D (0, 20)

。可行解區域是五邊形

O A B C D

（如圖）。把頂點代入利潤

140 x + 120 y

：

O (0, 0)

得

0

；

A (25, 0)

得

3500

；

B (21, 8)

得

2940 + 960 = 3900

；

C (12, 16)

得

1680 + 1920 = 3600

；

D (0, 20)

得

2400

。最大值在

B

：訂製 T 恤

21

件、背包

8

件時，利潤最大，為

3900

元。

載入中...

三條直線兩兩的交點不一定都是頂點，例如

L_{2}

與

L_{3}

交於

(18, 14)

，但

8 \times 18 + 9 \times 14 = 270 > 240

，不在區域內。另外件數要是整數，這裡取到最大值的頂點

(21, 8)

本身就是整數點，可以直接用。

線性規劃三步：由情境列出限制式與目標函數、畫可行解區域求出所有頂點、把頂點逐一代入目標函數比較。

同一次段考的其他學校

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常見問題

北一女中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要先由機率表加出兩端的機率、定出拒絕域，選項 (4)(5) 還要換顯著水準與假設方向各重判一次；第 6 題號碼和為奇數的機率是二十五分之十三，獎金總額的變異數要乘一百的平方；第 8 題不放回取球不是二項分布，變異數比放回時小；第 12 題要把區域內十三個整數點逐列數出來。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自北一女中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

北一女中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 4 題（40 分）、填充題 4 題共 5 格（25 分）、混合題 1 題組 3 小題（15 分）

有一枚不均勻的硬幣，其出現正面的機率為

p

，若已知重複丟此硬幣

300

次，出現正面次數的期望值為

75

次，則出現正面次數的標準差為下列哪一個選項？

(1) $7$ 次
(2) $\frac{15}{2}$ 次
(3) $15$ 次
(4) $20$ 次
(5) $\frac{225}{4}$ 次

已知箱中裝有編號

2, 4, 6, 8

的球分別有

1, 2, 3, 4

顆，今從箱中任取一球，且每一球被取到的機會均等。若隨機變數

X

表示所抽出球的號碼，則

X

的變異數

Var (X)

為下列哪一個選項？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

已知實數

x, y

滿足聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 y \geq 0 3 x - y \geq - 1 2 x + y \leq 6

，若

2 x - 3 y

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M + m

之值為下列哪一個選項？

(1) $- 4$
(2) $- 2$
(3) $2$
(4) $4$
(5) $8$

摸彩箱中有價值

100

元的紅包

5

個，

500

元的紅包

4

個，

1000

元的紅包

1

個，今從箱中任取兩個紅包，且每一個紅包被取到的機會均等，則所得金額的期望值為下列哪一個選項？

(1) $300$
(2) $350$
(3) $500$
(4) $650$
(5) $700$

小綠宣稱其射箭命中紅心的機率是

0.5

，小園想要檢定小綠命中紅心的機率

p

，設定步驟如下：① 假設「小綠命中紅心的機率

p = 0.5

」　② 確立檢定統計量為「射箭

15

次的命中紅心次數」　③ 設定顯著水準為

α = 0.05

。令隨機變數

X

表示小綠命中紅心的次數，且已知隨機變數

X \sim B (15, 0.5)

的機率分布表如下（表中的機率值皆為四捨五入至小數點後第

5

位之近似值），請選出正確的選項。

k P (X = k) k P (X = k) 0 0.00003 8 0.19638 1 0.00046 9 0.15274 2 0.00320 10 0.09164 3 0.01389 11 0.04166 4 0.04166 12 0.01389 5 0.09164 13 0.00320 6 0.15274 14 0.00046 7 0.19638 15 0.00003

(1) 在 $p = 0.5$ 的假設之下， $P (X = 3) = C_{3}^{15} (0.5)^{3} (0.5)^{12}$ 。
(2) 若試驗的結果為小綠命中 $4$ 次，則小園會傾向拒絕小綠的宣稱。
(3) 若試驗的結果為小綠命中 $12$ 次，則小園會傾向拒絕小綠的宣稱。
(4) 若將顯著水準 $α$ 改為 $0.1$ ，則拒絕域不變。
(5) 若將步驟①中欲檢定的假設改為 $p \geq 0.5$ ，顯著水準 $α = 0.1$ ，則拒絕域為 ${X \geq 11}$ 。

甲箱中有編號

1, 2, 3, 4, 5

的球各一顆，乙箱中有編號

6, 7, 8, 9, 10

的球各一顆，每顆球被取到的機會均等。今從甲、乙兩箱中各取出一球，計算兩球的號碼和後再將球放回箱中，共取球

5

次。每次取球若號碼和為奇數可得獎金

200

元，若號碼和為偶數可得獎金

100

元，令隨機變數

X

表示

5

次取球中號碼和為奇數的次數，隨機變數

Y

表示

5

次取球所得的獎金總額，請選出正確的選項。

(1) $X \sim B (5, \frac{12}{25})$
(2) $Y = 100 X + 200$
(3) $E (Y) = 760$
(4) $Var (X) = \frac{156}{125}$
(5) $Var (Y) = \frac{624}{5}$

X

表示兩人一週當中同時休假的天數，請選出正確的選項。

(1) $P (X = 0) = \frac{1}{35}$
(2) $P (X = 1) = \frac{18}{35}$
(3) $E (X) = \frac{9}{7}$
(4) $E (X^{2}) = 2$
(5) $σ (X) = \frac{2 6}{7}$

袋中有

2

顆白球、

3

顆紅球，考慮以下三種隨機試驗：① 一次取一球，取後不放回，連取三次，令隨機變數

X

表示取到紅球的顆數　② 一次取一球，取後放回，連取三次，令隨機變數

Y

表示取到紅球的顆數　③ 一次取三球，令隨機變數

Z

表示取到紅球的顆數。請選出正確的選項。

(1) $X \sim B (3, \frac{3}{5})$
(2) $P (X = 1) = P (Z = 1)$
(3) $E (X) = E (Y)$
(4) $Var (X) = Var (Z)$
(5) $Var (Y) < Var (Z)$

已知阿北的投籃命中率為

\frac{2}{3}

，若阿北連續投籃

4

次，每次進球與否皆為獨立事件，令隨機變數

X

為投進的球數，試求：(1)

P (X > 2) =

____　(2) 若事件

X = k

發生的機率最大，則

k =

____

袋中有編號

1

號到

5

號的球各一顆，今從袋中一次取出三球，令隨機變數

X

表示三球號碼的中位數，則

X

的期望值

E (X) =

____。

設隨機變數

X

滿足

Var (X) = \frac{1}{3} E (X)

，且

E (X^{2}) = \frac{10}{3}

，試求

X

的標準差

σ (X) =

____。

設

x, y

皆為整數且滿足聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 y \geq 0 5 x + 4 y \leq 20 x + 2 y \leq 6

，今從該聯立不等式的區域中任取一點

P (x, y)

，令隨機變數

K

表示

x + 2 y

的取值，則

K

的期望值

E (K) =

____。

2400

元，製作費不超過

3600

元，設計費不超過

3000

元。若小綠訂製紀念 T 恤

x

件，紀念背包

y

件，且假設小綠所訂製的 T 恤與背包全部都可以售完，試回答下列問題。

紀念 T 恤 紀念背包 材料費（元／件） 8090 製作費（元／件） 60180 設計費（元／件） 12060 售價（元／件） 400450

小綠將所訂製的兩種商品全部售出後，所得的利潤可以用下列哪一個選項來表示？（單選題，3 分）

(1) $80 x + 90 y$
(2) $60 x + 180 y$
(3) $120 x + 60 y$
(4) $400 x + 450 y$
(5) $140 x + 120 y$

請根據題目之條件限制，寫出

x, y

所滿足的聯立不等式。（非選擇題，4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(1)

第 4 題(5)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(3)(4)

第 7 題(2)(3)(5)

第 8 題(2)(3)(4)

第 9 題(1)

\frac{16}{27}

　(2)

3

第 10 題

3

第 11 題

\frac{5}{3}

第 12 題

\frac{45}{13}

第 13 題(5)

第 14 題

⎩ ⎨ ⎧ 8 x + 9 y \leq 240 x + 3 y \leq 60 2 x + y \leq 50 x \geq 0, y \geq 0

（

x, y

為整數）

第 15 題頂點

(0, 0)

、

(25, 0)

、

(21, 8)

、

(12, 16)

、

(0, 20)

；T 恤

21

件、背包

8

件時利潤最大，為

3900

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：二項分布的標準差、變異數、頂點法、期望值

第 1 題答案 (2)。正面次數

X \sim B (300, p)

，期望值

E (X) = 300 p = 75

，得

p = \frac{1}{4}

。變異數

Var (X) = 300 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{225}{4}

，標準差

σ (X) = \frac{225}{4} = \frac{15}{2}

（次）。

選項 (5) 的

\frac{225}{4}

是變異數，題目問的是標準差，要再開根號。

第 2 題答案 (4)。共

10

顆球，

P (X = 2) = \frac{1}{10}

、

P (X = 4) = \frac{2}{10}

、

P (X = 6) = \frac{3}{10}

、

P (X = 8) = \frac{4}{10}

。

E (X) = \frac{2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 8 \times 4}{10} = \frac{60}{10} = 6

，

E (X^{2}) = \frac{4 \times 1 + 16 \times 2 + 36 \times 3 + 64 \times 4}{10} = \frac{400}{10} = 40

。所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 40 - 36 = 4

。

也可以直接用定義：各號碼與

6

的差是

- 4, - 2, 0, 2

，

Var (X) = \frac{16 \times 1 + 4 \times 2 + 0 \times 3 + 4 \times 4}{10} = 4

。

第 3 題答案 (1)。可行解區域是四邊形，頂點為

(0, 0)

、

(3, 0)

、

(1, 4)

、

(0, 1)

：其中

(3, 0)

是

2 x + y = 6

與

x

軸的交點，

(0, 1)

是

3 x - y = - 1

與

y

軸的交點，

(1, 4)

由

3 x - y = - 1

與

2 x + y = 6

相加得

5 x = 5

求出。把頂點代入

2 x - 3 y

：依序為

0

、

6

、

- 10

、

- 3

。所以

M = 6

、

m = - 10

，

M + m = - 4

。

3 x - y \geq - 1

即

y \leq 3 x + 1

，區域在直線

y = 3 x + 1

的下方；代原點

(0, 0)

檢查：

0 \geq - 1

成立，原點在區域內。

第 4 題答案 (5)。

10

個紅包任取

2

個，共

C_{2}^{10} = 45

種。金額與取法數：

200

元（兩個

100

）

C_{2}^{5} = 10

種；

600

元（

100

與

500

）

5 \times 4 = 20

種；

1100

元（

100

與

1000

）

5

種；

1000

元（兩個

500

）

C_{2}^{4} = 6

種；

1500

元（

500

與

1000

）

4

種。期望值

= \frac{200 \times 10 + 600 \times 20 + 1100 \times 5 + 1000 \times 6 + 1500 \times 4}{45} = \frac{31500}{45} = 700

（元）。

檢查：取一個紅包的期望值是

\frac{100 \times 5 + 500 \times 4 + 1000 \times 1}{10} = 350

元，取兩個剛好是它的

2

倍。

02多選第 5 題：二項分布的合理性檢定

第 5 題答案 (1)(3)(4)。(1) 對：

X \sim B (15, 0.5)

，命中

3

次、沒中

12

次，

P (X = 3) = C_{3}^{15} (0.5)^{3} (0.5)^{12}

。假設是

p = 0.5

，命中次數太少或太多都不合理，拒絕域取在兩端，兩端的機率和不超過

α

。由表，

P (X \leq 3) = 0.00003 + 0.00046 + 0.00320 + 0.01389 = 0.01758

，由對稱

P (X \geq 12) = 0.01758

，兩端合計

0.03516 \leq 0.05

；若再放進

X = 4

與

X = 11

，合計變成

0.03516 + 2 \times 0.04166 = 0.11848 > 0.05

。所以拒絕域是

{X \leq 3 或 X \geq 12}

。(2) 錯：

4

不在拒絕域內，不拒絕。(3) 對：

12

在拒絕域內。(4) 對：

α = 0.1

時，

{X \leq 3 或 X \geq 12}

的機率

0.03516 \leq 0.1

，但擴大到

{X \leq 4 或 X \geq 11}

的機率

0.11848 > 0.1

，所以拒絕域仍然不變。(5) 錯：假設改為

p \geq 0.5

時，只有命中次數太少才會讓人懷疑這個假設，拒絕域在左端；

P (X \leq 4) = 0.01758 + 0.04166 = 0.05924 \leq 0.1

，

P (X \leq 5) = 0.05924 + 0.09164 = 0.15088 > 0.1

，所以拒絕域是

{X \leq 4}

，不是

{X \geq 11}

。

拒絕域在哪一端要看假設的方向：假設

p = 0.5

看兩端，假設

p \geq 0.5

只看次數偏少的那一端。命中

11

次以上反而支持

p \geq 0.5

。

03多選第 6～8 題：二項分布與變換、同時休假天數、放回與不放回

第 6 題答案 (3)(4)。號碼和為奇數要一奇一偶。甲箱奇數

3

顆、偶數

2

顆，乙箱奇數

2

顆（

7, 9

）、偶數

3

顆（

6, 8, 10

），所以每次和為奇數的機率是

\frac{3 \times 3 + 2 \times 2}{25} = \frac{13}{25}

。每次取完放回，各次獨立，

X \sim B (5, \frac{13}{25})

，(1) 錯。奇數

X

次、偶數

5 - X

次，

Y = 200 X + 100 (5 - X) = 100 X + 500

，(2) 錯。

E (X) = 5 \times \frac{13}{25} = \frac{13}{5}

，

E (Y) = 100 \times \frac{13}{5} + 500 = 760

，(3) 對。

Var (X) = 5 \times \frac{13}{25} \times \frac{12}{25} = \frac{156}{125}

，(4) 對。

Var (Y) = 10 0^{2} Var (X) = 10000 \times \frac{156}{125} = 12480

，(5) 錯。

(5) 的

\frac{624}{5} = 124.8

是只乘

100

的結果；

Y = a X + b

時變異數要乘

a^{2}

，加上的常數

b

不影響變異數。

第 7 題答案 (2)(3)(5)。先固定甲休假的

3

天，乙從

7

天任選

3

天，共

C_{3}^{7} = 35

種，機會均等。乙選的

3

天中有

k

天落在甲的休假日、

3 - k

天落在其餘

4

天：

P (X = k) = \frac{C _{k}^{3} C _{3 - k}^{4}}{35}

。得

P (X = 0) = \frac{4}{35}

、

P (X = 1) = \frac{3 \times 6}{35} = \frac{18}{35}

、

P (X = 2) = \frac{3 \times 4}{35} = \frac{12}{35}

、

P (X = 3) = \frac{1}{35}

，(1) 錯、(2) 對。

E (X) = \frac{0 \times 4 + 1 \times 18 + 2 \times 12 + 3 \times 1}{35} = \frac{45}{35} = \frac{9}{7}

，(3) 對。

E (X^{2}) = \frac{1 \times 18 + 4 \times 12 + 9 \times 1}{35} = \frac{75}{35} = \frac{15}{7}

，(4) 錯。

Var (X) = \frac{15}{7} - \frac{81}{49} = \frac{24}{49}

，

σ (X) = \frac{2 6}{7}

，(5) 對。

四個機率加起來

\frac{4 + 18 + 12 + 1}{35} = 1

，可以用來檢查分布表。(1) 的

\frac{1}{35}

是

P (X = 3)

。

第 8 題答案 (2)(3)(4)。① 不放回連取三次與 ③ 一次取三球，取到的三顆球是同一回事，所以

X

與

Z

的機率分布相同：

5

顆取

3

顆共

C_{3}^{5} = 10

種，

P (Z = 1) = \frac{C _{1}^{3} C _{2}^{2}}{10} = \frac{3}{10}

、

P (Z = 2) = \frac{C _{2}^{3} C _{1}^{2}}{10} = \frac{6}{10}

、

P (Z = 3) = \frac{1}{10}

（白球只有

2

顆，不可能

0

顆紅球）。(1) 錯：不放回時各次不獨立，

X

不是二項分布。(2)、(4) 對：

X

與

Z

分布相同。

E (X) = \frac{1 \times 3 + 2 \times 6 + 3 \times 1}{10} = \frac{9}{5}

；② 放回時

Y \sim B (3, \frac{3}{5})

，

E (Y) = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}

，(3) 對。

E (Z^{2}) = \frac{1 \times 3 + 4 \times 6 + 9 \times 1}{10} = \frac{18}{5}

，

Var (Z) = \frac{18}{5} - \frac{81}{25} = \frac{9}{25}

；

Var (Y) = 3 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{18}{25}

。

\frac{18}{25} > \frac{9}{25}

，(5) 錯。

放回與不放回的期望值相同，但不放回的變異數比較小：不放回時不可能取到

0

顆紅球，結果比較集中。

先分清楚是不是二項分布（各次獨立、成功機率相同）；不是的話就老實列出機率分布表，再算

E (X)

、

E (X^{2})

與

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

。

04填充題（第 9～12 題）：二項分布的機率、中位數、反求標準差、格子點

第 9 題

X \sim B (4, \frac{2}{3})

，

P (X = k) = C_{k}^{4} (\frac{2}{3})^{k} (\frac{1}{3})^{4 - k}

。逐一算出：

P (X = 0) = \frac{1}{81}

、

P (X = 1) = \frac{8}{81}

、

P (X = 2) = \frac{24}{81}

、

P (X = 3) = \frac{32}{81}

、

P (X = 4) = \frac{16}{81}

。(1)

P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}

。(2) 五個機率中

\frac{32}{81}

最大，所以

k = 3

。

X > 2

不含

X = 2

。期望值

4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}

不是整數，機率最大的次數要把各個機率列出來比。

第 10 題

5

顆取

3

顆共

C_{3}^{5} = 10

種。中位數是

m

表示另外兩顆一顆比

m

小、一顆比

m

大：

X = 2

有

1 \times 3 = 3

種，

X = 3

有

2 \times 2 = 4

種，

X = 4

有

3 \times 1 = 3

種。

E (X) = \frac{2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 3}{10} = \frac{30}{10} = 3

。

X

的分布對稱於

3

（

P (X = 2) = P (X = 4)

），期望值就是

3

。

第 11 題設

E (X) = μ

。由

Var (X) = E (X^{2}) - μ^{2}

得

\frac{1}{3} μ = \frac{10}{3} - μ^{2}

，即

3 μ^{2} + μ - 10 = 0

，

(3 μ - 5) (μ + 2) = 0

，

μ = \frac{5}{3}

或

μ = - 2

。變異數不能是負的，

μ = - 2

時

Var (X) = - \frac{2}{3} < 0

不合，所以

μ = \frac{5}{3}

，

Var (X) = \frac{5}{9}

，

σ (X) = \frac{5}{3}

。

解出兩個

μ

之後要用「變異數不小於

0

」篩掉一個。

第 12 題把區域內的格子點依

y

值列出。

y = 0

：

5 x \leq 20

且

x \leq 6

，

x = 0, 1, 2, 3, 4

，共

5

點，

x + 2 y

的值為

0, 1, 2, 3, 4

，和

10

。

y = 1

：

5 x \leq 16

且

x \leq 4

，

x = 0, 1, 2, 3

，共

4

點，值為

2, 3, 4, 5

，和

14

。

y = 2

：

5 x \leq 12

且

x \leq 2

，

x = 0, 1, 2

，共

3

點，值為

4, 5, 6

，和

15

。

y = 3

：

5 x \leq 8

且

x \leq 0

，只有

x = 0

，

1

點，值為

6

。

y \geq 4

時

x + 2 y \geq 8 > 6

，沒有點。共

5 + 4 + 3 + 1 = 13

個點，每點機會均等，

E (K) = \frac{10 + 14 + 15 + 6}{13} = \frac{45}{13}

。

每一列都要兩個不等式同時檢查：

y = 1

時

x = 4

滿足

x + 2 y \leq 6

，但

5 x + 4 y = 24 > 20

，不在區域內。

05混合題（第 13～15 題）：線性規劃求最大利潤

第 13 題答案 (5)。利潤是售價扣掉三項費用。每件 T 恤的利潤

= 400 - 80 - 60 - 120 = 140

元，每件背包的利潤

= 450 - 90 - 180 - 60 = 120

元，所以利潤為

140 x + 120 y

。

選項 (4) 的

400 x + 450 y

是總收入，還沒扣成本。

第 14 題材料費

80 x + 90 y \leq 2400

，同除以

10

得

8 x + 9 y \leq 240

；製作費

60 x + 180 y \leq 3600

，同除以

60

得

x + 3 y \leq 60

；設計費

120 x + 60 y \leq 3000

，同除以

60

得

2 x + y \leq 50

；件數不能是負的，

x \geq 0

、

y \geq 0

，且

x, y

為整數。聯立不等式為

⎩ ⎨ ⎧ 8 x + 9 y \leq 240 x + 3 y \leq 60 2 x + y \leq 50 x \geq 0, y \geq 0

。

「不超過」是

\leq

。原卷參考答案註明：不等式沒有約分不扣分。

第 15 題設

L_{1}

：

8 x + 9 y = 240

、

L_{2}

：

x + 3 y = 60

、

L_{3}

：

2 x + y = 50

。求頂點：

L_{3}

與

x

軸交於

A (25, 0)

；

L_{3}

與

L_{1}

：把

y = 50 - 2 x

代入得

8 x + 450 - 18 x = 240

，

x = 21

、

y = 8

，得

B (21, 8)

（代入

L_{2}

的限制：

21 + 24 = 45 \leq 60

，成立）；

L_{1}

與

L_{2}

：把

x = 60 - 3 y

代入得

480 - 24 y + 9 y = 240

，

y = 16

、

x = 12

，得

C (12, 16)

（

2 \times 12 + 16 = 40 \leq 50

，成立）；

L_{2}

與

y

軸交於

D (0, 20)

。可行解區域是五邊形

O A B C D

（如圖）。把頂點代入利潤

140 x + 120 y

：

O (0, 0)

得

0

；

A (25, 0)

得

3500

；

B (21, 8)

得

2940 + 960 = 3900

；

C (12, 16)

得

1680 + 1920 = 3600

；

D (0, 20)

得

2400

。最大值在

B

：訂製 T 恤

21

件、背包

8

件時，利潤最大，為

3900

元。

載入中...

三條直線兩兩的交點不一定都是頂點，例如

L_{2}

與

L_{3}

交於

(18, 14)

，但

8 \times 18 + 9 \times 14 = 270 > 240

，不在區域內。另外件數要是整數，這裡取到最大值的頂點

(21, 8)

本身就是整數點，可以直接用。

線性規劃三步：由情境列出限制式與目標函數、畫可行解區域求出所有頂點、把頂點逐一代入目標函數比較。

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