段考詳解範圍：高一、高二數學B 綜合複習（指數與對數、數列、排列組合、弧度、圓錐曲線、空間概念與經緯度、多項式、數據分析、矩陣、平面向量、三次函數、條件機率、直線與圓）；卷面未印範圍，依題目內容整理

北一女中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 114 上 高三第三次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 114 上 高三第三次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要把經緯度換成投影到赤道面的距離，再用畢氏定理的逆定理看出兩點經度差 90 度，還要留意 Q 也可能在南半球；第 6 題 2026 倍的多項式除以 1013 倍的除式，餘式是原來的 2026 倍而不是 2 倍；第 14 題要看出直角的對角也必須是直角，直線 M 才會垂直 L。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題第 1～5 題（每題 7 分，共 35 分）、多選題第 6～8 題（每題 7 分，共 21 分，答錯 k 個選項得該題 (5−2k)/5 的分數）、填充題第 9～14 題（每題 7 分，共 42 分）、計算題第 15 題（7 分），滿分 105 分，得分超過 100 分以 100 分計；題號與原卷相同。答案已與學校公布的答案逐題核對，第 7 題本站認為學校答案只考慮了 Q 在北半球的情形，詳見該題詳解。

一、單選題（每題 7 分，共 35 分）｜說明：第 1 至 5 題為單選題，每題有五個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

滿足不等式

\frac{1}{114} \leq (10)^{x} \leq 2025

的整數

x

共有多少個？

(1) $10$ 個
(2) $11$ 個
(3) $12$ 個
(4) $13$ 個
(5) $14$ 個

已知數列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{114}

中每一項皆為

0, 1, - 1, 5, - 5

其中一數，則乘積

a_{1} \times a_{2} \times a_{3} \times \dots \times a_{114}

有幾種可能的值？

(1) $229$
(2) $230$
(3) $231$
(4) $232$
(5) $233$

一圓形指針時鐘，其中心為定點

O

。將該時鐘置於平面上，以

O

為圓心畫一圓

C

。先將時鐘調至 12 點整，此時時針與分針重疊，並記圓

C

上指針所指方向與圓

C

的交點為

A_{0}

。接著持續順時針調整時間，每當時針與分針再次重疊時，皆在圓

C

上記錄指針所指方向與圓

C

的交點，依序標記為

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots

直到時針與分針再次回到 12 點整重疊為止。若安妮亞將圓形蛋糕的中心與點

O

重合，並沿著所有射線

O A_{0}, O A_{1}, O A_{2}, \dots

切開蛋糕，則每一塊小扇型蛋糕的圓心角為多少弳？

(1) $\frac{2 π}{9}$
(2) $\frac{2 π}{10}$
(3) $\frac{2 π}{11}$
(4) $\frac{2 π}{12}$
(5) $\frac{2 π}{13}$

已知某手電筒照射的光線為直圓錐狀。若小綠適當旋轉或移動班牌使手電筒照射在班牌上，觀察被照亮的區域邊緣所形成的圖形，如下圖手電筒垂直班牌可照出一個圓，則下列選項中的圖形，哪一個不可能是被照亮的區域邊緣所形成的圖形？

(1) 直線
(2) 橢圓
(3) 拋物線的一部份
(4) 雙曲線的一部份

載入中...

設

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

是首項為 1 且公比為

1010

的等比數列。試問滿足不等式

lo g a_{1} - lo g a_{2} + lo g a_{3} - lo g a_{4} + \dots + (- 1)^{n + 1} lo g a_{n} \geq 24

的項數

n

之最小值為何？

(1) $30$
(2) $31$
(3) $32$
(4) $33$
(5) $34$

二、多選題（每題 7 分，共 21 分）｜說明：第 6 至 8 題為多選題，每題有五個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得該題全部的分數；答錯 k 個選項者，得該題 (5−2k)/5 的分數；但得分低於零分或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

f_{1} (x), f_{2} (x)

為實係數三次多項式，

g (x)

為實係數二次多項式，已知

f_{1} (x), f_{2} (x)

除以

g (x)

的餘式分別為

r_{1} (x), r_{2} (x)

，請問下列敘述何者是正確的？

(1) $r_{1} (x)$ 為一次多項式
(2) $f_{1} (x) + 115$ 除以 $g (x)$ 的餘式為 $r_{1} (x) + 115$
(3) $2026 f_{1} (x)$ 除以 $1013 g (x)$ 的餘式為 $2 r_{1} (x)$
(4) $f_{1} (x) f_{2} (x)$ 除以 $g (x)$ 的餘式為 $r_{1} (x) r_{2} (x)$
(5) $f_{1} (x) f_{2} (x) - r_{1} (x) r_{2} (x)$ 可以被 $g (x)$ 整除

假設地球為一半徑

r

的球體，有一質點

A

自

P

點沿著該地所在經線往北移動，抵達北極點時移動所經過的弧線之長度為

\frac{π}{6} r

。另外一質點

B

自

Q

點沿著該地所在緯線往東移動

π r

會繞該緯線一圈回到

Q

點。若將地球球心作為原點

O

，赤道置於

x y

平面，經線

0^{\circ}

置於

x z

平面，經度以東為正，以西為負，緯度以北為正，以南為負，建立空間坐標系統，

P

、

Q

兩點在

x y

平面的投影點

P^{'}

、

Q^{'}

，

\overline{P^{'} Q^{'}} = \frac{2}{2} r

，請問下列敘述何者是正確的？

(1) $P$ 點在北緯 $3 0^{\circ}$
(2) $Q$ 點在北緯 $6 0^{\circ}$
(3) $P$ 、 $Q$ 兩點的空間坐標之 $x$ 坐標可能異號
(4) 三角形 $O P^{'} Q^{'}$ 的面積為 $\frac{1}{4} r^{2}$
(5) 若 $P$ 點在經線 $0^{\circ}$ 上，則 $Q$ 點坐標為 $(0, \pm \frac{1}{2} r, \frac{3}{2} r)$

小綠欲進行一物理實驗來確定某運動之距離

d

與時間

t

的平方或立方成正比，所得數據如下表：

時間 t （秒） 距離 d （呎） 0.25 0.92 0.5 0.75 9.81 1 15.48 1.25 23.39 1.5 40.14 1.75 48.55 2 53.65 2.25 70.95

為探索該運動的距離與時間之關係，令

x = lo g_{2} t

，

y = lo g_{2} d

，即將上述的數據

(t, d)

分別取以 2 為底的對數變換，例如：

(t, d) = (4, 128)

變換後成為

(x, y) = (2, 7)

。已知變換後的數據

(x_{1}, y_{1})

、

(x_{2}, y_{2})

、…、

(x_{9}, y_{9})

之散佈圖及以最小平方法所求得變數

y

對變數

x

的最適合直線（或迴歸直線）為

y = a x + b

，如下圖所示。試問下列敘述哪些是正確的？

(1) $x$ 與 $y$ 的相關係數等於 1
(2) $a = 1$
(3) $b > 3$
(4) 她可以由最適合直線推論此運動之距離最可能與時間的立方約略成正比
(5) 若小綠的實驗數據漏抄了 0.5 秒時的運動距離，她可估算 $d$ 必為 5 呎

載入中...

三、填充題（每題 7 分，共 42 分）｜說明：第 9 至 14 題為填充題，每題須全部答對才給分，答錯不倒扣。答案請化成最簡分數。

秀知院學園的學生會室裡，白銀御行會長遞給了四宮輝夜一張標準的 A4 紙張。白銀說道：「四宮，這張紙隱藏著一種『不變的愛』。我們都知道 A 系列紙張（A4，A3 等）有一個稱為白銀比例的幾何性質：『將紙張沿著長邊對折裁切後，新產生的矩形與原矩形相似（長寬比相同）』。」隨後白銀將這張 A4 紙經過巧妙的摺疊，摺成了一顆愛心送給四宮，設這張紙的長邊長度為

x

，短邊長度為

y

。則

(\frac{x}{y})^{100}

為 ____ 位數。（

lo g 2 \approx 0.3010

）

設二階方陣

A = [31 1 - 3]

，且

A^{- 1}

為方陣

A

的乘法反方陣，則

A^{9} - 4 A^{- 1} =

____。

坐標平面上，已知

a = 3

，

b = 4

，

c = 2 a + 5 b

，若

b \cdot c = 92

，則

(a + b) \cdot c =

____。

已知實係數三次多項式

f (x)

除以

x - 1

得商式

q (x)

和餘式 2。若

y = q (x)

圖形在

x = 1

有最小值 3，則

y = f (- x) + 2

圖形的對稱中心坐標為 ____。

袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共 10 顆。今從袋中隨機抽取兩顆球（每顆球被抽中的機率相等），已知抽出的兩顆球皆為藍色的機率為

\frac{1}{15}

，皆為綠色的機率為

\frac{2}{9}

，若從袋中隨機抽出兩顆球是相同顏色的條件下，則此兩顆球皆為黃色的條件機率為 ____。

坐標平面上，

O

為原點，直線

L

通過

A (0, 6)

、

B (8, 0)

兩點。已知

m > 0

，若直線

M : y = m x + 1

可將三角形

A B O

分成凸四邊形與三角形，其中凸四邊形可外接於一圓，則兩直線

L, M

的交點為 ____。

四、計算題（7 分）｜說明：15 為計算題答對者得 7 分，需詳細寫出計算過程。

如下圖，在一個長方體房間中，要圭(左側人物)和青峰葉流火(右側人物)各自站在牆邊，牆上皆為全等的矩形，已知要圭身高 172 公分，頭頂位置比起牆壁由下往上數第 7 個矩形上緣還要高出 11 公分，而青峰葉流火頭頂位置比起牆壁由下往上數第 8 個矩形上緣還要高出 1 公分，試問青峰葉流火的身高為多少公分？（本站補註：原卷附的是人物圖片，下圖為本站重畫的示意圖）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(3)

第 4 題(1)

第 5 題(4)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(2)(3)(5)（照學校答案；Q 也可能在南緯 60°，此時只有 (3)，見詳解）

第 8 題(3)

第 9 題

16

第 10 題

[2553255 255 - 2553]

第 11 題

140

第 12 題

(- 1, 4)

第 13 題

\frac{1}{14}

第 14 題

(\frac{12}{5}, \frac{21}{5})

第 15 題

185

公分

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：指數不等式與乘積的可能值

第 1 題

答案 (2)。

① $(10)^{x} = 1 0^{\frac{x}{2}}$ ，而 $1 0^{\frac{x}{2}}$ 隨 $x$ 增加而增加，所以只要找出兩端的整數。

② 下界： $x = - 4$ 時 $1 0^{- 2} = \frac{1}{100} \geq \frac{1}{114}$ 成立； $x = - 5$ 時 $1 0^{- 2.5} = \frac{1}{100 10}$ ，而 $10010 > 300 > 114$ ，不成立。

③ 上界： $x = 6$ 時 $1 0^{3} = 1000 \leq 2025$ 成立； $x = 7$ 時 $1 0^{3.5} = 100010 > 3000 > 2025$ ，不成立。

④ 整數 $x = - 4, - 3, \dots, 6$ ，共 $6 - (- 4) + 1 = 11$ 個。

答案 (2)。

載入中...

取常用對數也可以：

- 2 lo g 114 \leq x \leq 2 lo g 2025

，約為

- 4.11 \leq x \leq 6.61

。

第 2 題

答案 (3)。

① 只要有一項是 $0$ ，乘積就是 $0$ ：這是 1 種值。

② 每一項都不是 $0$ 時，設有 $k$ 項是 $\pm 5$ ，其餘 $114 - k$ 項是 $\pm 1$ ，乘積的絕對值是 $5^{k}$ ， $k = 0, 1, \dots, 114$ ，共 115 種絕對值。

③ 正負號都做得到： $k \geq 1$ 時把其中一個 $5$ 改成 $- 5$ 就變號； $k = 0$ 時把一個 $1$ 改成 $- 1$ 就變號。所以每個 $5^{k}$ 都有正、負兩種。

④ 非零的值有 $115 \times 2 = 230$ 種，加上 $0$ ，共 $231$ 種。

答案 (3)。

02單選 3～5：弧度、圓錐截痕與對數交錯和

第 3 題

答案 (3)。

① 分針每分鐘轉 $6^{\circ}$ ，時針每分鐘轉 $0. 5^{\circ}$ ，分針每分鐘多轉 $5. 5^{\circ}$ 。

② 從一次重疊到下一次，分針要多轉一整圈 $36 0^{\circ}$ ，需要 $\frac{360}{5.5} = \frac{720}{11}$ 分鐘。

③ 這段時間時針轉了 $0.5 \times \frac{720}{11} = \frac{360}{11}$ 度，也就是相鄰兩個 $A_{k}$ 對圓心 $O$ 張開 $\frac{36 0 ^{\circ}}{11}$ 。

④ 12 小時內恰好重疊 11 次（第 11 次回到 12 點整），11 個點把圓等分，每塊蛋糕的圓心角是 $\frac{2 π}{11}$ 弳。

答案 (3)。

載入中...

第 4 題

答案 (1)。

① 手電筒的光是一個圓錐，只有一側，頂點在手電筒裡面（燈泡處）。班牌是一個平面，被照亮的邊緣就是平面截圓錐的截痕。

② 平面與圓錐的軸垂直：圓；稍微傾斜但仍與每條母線相交：橢圓。

③ 平面與某一條母線平行：拋物線（只照到其中一段，所以是一部份）。

④ 平面再傾斜到比母線更貼近軸的方向：雙曲線，而光錐只有一側，所以只照出雙曲線的一支的一部份。

⑤ 截痕是直線，平面必須通過圓錐的頂點；頂點在手電筒內，班牌不可能通過它。

答案 (1) 直線。

載入中...

第 5 題

答案 (4)。

① $a_{k} = (1010)^{k - 1} = 1 0^{1.5 (k - 1)}$ ，所以 $lo g a_{k} = 1.5 (k - 1)$ ，依序是 $0, 1.5, 3, 4.5, \dots$ 。

② 兩項一組： $lo g a_{2 j - 1} - lo g a_{2 j} = - 1.5$ 。

③ $n = 2 m$ （偶數）時，和是 $m$ 組的 $- 1.5$ ，等於 $- 1.5 m < 0$ ，不可能 $\geq 24$ 。

④ $n = 2 m + 1$ （奇數）時，和是 $- 1.5 m + lo g a_{2 m + 1} = - 1.5 m + 1.5 \times 2 m = 1.5 m$ 。

⑤ $1.5 m \geq 24$ ，得 $m \geq 16$ ，最小的 $n = 2 \times 16 + 1 = 33$ 。

答案 (4)。

驗證：

n = 33

時和為

24

，

n = 31

時和為

22.5

。

03多選 6～8：除法原理、經緯度與迴歸直線

第 6 題

答案 (2)(5)。

由除法原理， $f_{1} (x) = g (x) q_{1} (x) + r_{1} (x)$ ， $f_{2} (x) = g (x) q_{2} (x) + r_{2} (x)$ ，其中 $r_{1}, r_{2}$ 是 $0$ 或次數小於 2 的多項式。

(1) 錯誤。 餘式只知道次數小於 2，也可能是常數或 $0$ 。例： $f_{1} (x) = x^{3}$ ， $g (x) = x^{2}$ ，餘式是 $0$ 。

(2) 正確。 $f_{1} (x) + 115 = g (x) q_{1} (x) + (r_{1} (x) + 115)$ ，而 $r_{1} (x) + 115$ 次數仍小於 2，就是餘式。

(3) 錯誤。 $2026 f_{1} (x) = 1013 g (x) \cdot 2 q_{1} (x) + 2026 r_{1} (x)$ ，餘式是 $2026 r_{1} (x)$ ，不是 $2 r_{1} (x)$ 。例： $f_{1} (x) = x^{3} + x$ ， $g (x) = x^{2}$ ， $r_{1} (x) = x$ ，所求餘式是 $2026 x$ 。

(4) 錯誤。 $r_{1} (x) r_{2} (x)$ 可能是二次式，不能當除以 $g (x)$ 的餘式。

例： $f_{1} = f_{2} = x^{3} + x$ ， $g = x^{2}$ ， $r_{1} r_{2} = x^{2}$ ，但 $f_{1} f_{2} = x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$ 除以 $x^{2}$ 的餘式是 $0$ 。

(5) 正確。 展開 $f_{1} f_{2} = g^{2} q_{1} q_{2} + g (q_{1} r_{2} + q_{2} r_{1}) + r_{1} r_{2}$ ，所以 $f_{1} f_{2} - r_{1} r_{2} = g (g q_{1} q_{2} + q_{1} r_{2} + q_{2} r_{1})$ ，是 $g (x)$ 的倍式。

除式乘上常數，餘式不變；被除式乘上常數，餘式跟著乘上同一個常數。(3) 兩件事同時發生，餘式是

2026 r_{1} (x)

。

第 7 題

學校答案 (2)(3)(5)；本站認為 Q 也可能在南緯 60°，那時只有 (3) 一定成立。

① $P$ 沿經線到北極的弧長 $\frac{π}{6} r$ ，對球心張 $\frac{π}{6}$ ，也就是 $3 0^{\circ}$ ，所以 $P$ 在北緯 $9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ 。

② $Q$ 所在緯線一圈長 $π r$ ，緯線圓半徑是 $\frac{r}{2}$ 。緯度 $φ$ 的緯線圓半徑是 $r cos φ$ ， $cos φ = \frac{1}{2}$ ，所以 $Q$ 在北緯 $6 0^{\circ}$ 或南緯 $6 0^{\circ}$ 。

③ 投影到赤道面： $\overline{O P^{'}} = \overline{O Q^{'}} = \frac{r}{2}$ 。又 $\overline{O P^{'}}^{2} + \overline{O Q^{'}}^{2} = \frac{r ^{2}}{2} = \overline{P^{'} Q^{'}}^{2}$ ，由畢氏定理的逆定理， $∠ P^{'} O Q^{'} = 9 0^{\circ}$ ：兩點經度差 $9 0^{\circ}$ 。

(1) 錯誤。 $P$ 在北緯 $6 0^{\circ}$ 。

(2) 學校判正確。題目只給出緯線圓的周長， $Q$ 在南緯 $6 0^{\circ}$ 也符合所有條件，此時這個選項不成立。

(3) 正確。 例如 $P$ 在東經 $4 5^{\circ}$ 、 $Q$ 在東經 $13 5^{\circ}$ ： $x$ 坐標分別是 $\frac{r}{2} cos 4 5^{\circ} > 0$ 與 $\frac{r}{2} cos 13 5^{\circ} < 0$ 。

(4) 錯誤。 直角三角形面積 $\frac{1}{2} \cdot \frac{r}{2} \cdot \frac{r}{2} = \frac{1}{8} r^{2}$ 。

(5) 學校判正確。 $P$ 在經線 $0^{\circ}$ ， $Q$ 在東經或西經 $9 0^{\circ}$ ， $Q^{'} = (0, \pm \frac{r}{2}, 0)$ ； $Q$ 在北緯 $6 0^{\circ}$ 時 $z = r sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} r$ ，與選項相同。

若 $Q$ 在南緯 $6 0^{\circ}$ ，則 $z = - \frac{3}{2} r$ ，不是這個坐標。

載入中...

反例：

P

在北緯

6 0^{\circ}

、經線

0^{\circ}

，

Q

在南緯

6 0^{\circ}

、東經

9 0^{\circ}

，則

P^{'} = (\frac{r}{2}, 0, 0)

、

Q^{'} = (0, \frac{r}{2}, 0)

，

\overline{P^{'} Q^{'}} = \frac{2}{2} r

，題目條件全部成立，但 (2)(5) 不成立。學校答案是在

Q

也在北半球的前提下判定的。

第 8 題

答案 (3)。

(1) 錯誤。 相關係數等於 1 要所有點都落在一條斜率為正的直線上；圖上的點在直線兩側上下散開，相關係數小於 1（實際約 $0.998$ ）。

(2) 錯誤。 直線大約通過 $(- 2, 0)$ 與 $(0, 4)$ ，斜率 $a \approx \frac{4 - 0}{0 - ( - 2 )} = 2$ ，不是 1。

(3) 正確。 $b$ 是直線的 $y$ 截距，由圖約為 4，大於 3。

(4) 錯誤。 $lo g_{2} d \approx a lo g_{2} t + b$ ，即 $d \approx 2^{b} \cdot t^{a}$ 。 $a \approx 2$ ，所以距離大約與時間的平方成正比，不是立方。

(5) 錯誤。 $t = 0.5$ 時 $x = - 1$ ，由直線 $y \approx - 2 + 4 = 2$ ， $d \approx 2^{2} = 4$ 呎，不是 5 呎；而且用迴歸直線只能估計，不能說「必為」。

載入中...

用表中八筆數據與圖上

x = - 1

那一點算最小平方法，得

a \approx 1.97

、

b \approx 3.95

、相關係數約

0.998

。原卷的圖與表略有出入：圖上約在

(- 1, 2)

的點表中沒有（

t = 0.5

那格留空），所以圖上有 9 個點、表只有 8 筆。不論用表或用圖，斜率都約

2

、截距約

4

，不影響判斷。

04填充 9～11：紙張比例、矩陣與內積

第 9 題

答案 $16$ 。

① 長 $x$ 、寬 $y$ 的紙沿長邊對折裁切後，新矩形的長是 $y$ 、寬是 $\frac{x}{2}$ 。

② 兩矩形相似： $\frac{x}{y} = \frac{y}{\frac{x}{2}}$ ，即 $x^{2} = 2 y^{2}$ ，所以 $\frac{x}{y} = 2$ 。

③ $(2)^{100} = 2^{50}$ ， $lo g 2^{50} = 50 \times 0.3010 = 15.05$ 。

④ $1 0^{15} < 2^{50} < 1 0^{16}$ ，整數部分是 16 位數。

答案 $16$ 。

載入中...

第 10 題

答案 $[2553255 255 - 2553]$ 。

① 先算 $A^{2}$ ：

$A^{2} = [3 + 1 3 - 3 3 - 3 1 + 3] = [4004] = 4 I$

② 所以 $A^{9} = (A^{2})^{4} A = 4^{4} A = 256 A$ 。

③ 由 $A \cdot \frac{1}{4} A = I$ ，得 $A^{- 1} = \frac{1}{4} A$ ，所以 $4 A^{- 1} = A$ 。

④ $A^{9} - 4 A^{- 1} = 256 A - A = 255 A$ 。

$255 A = [2553255 255 - 2553]$

第 11 題

答案 $140$ 。

① $b \cdot c = 2 a \cdot b + 5 b^{2} = 2 a \cdot b + 80 = 92$ ，得 $a \cdot b = 6$ 。

② $a \cdot c = 2 a^{2} + 5 a \cdot b = 18 + 30 = 48$ 。

③ $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c = 48 + 92 = 140$ 。

答案 $140$ 。

載入中...

cos θ = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{1}{2}

，兩向量夾角

6 0^{\circ}

，這樣的

a, b

確實存在。

05填充 12～14：對稱中心、條件機率與共圓

第 12 題

答案 $(- 1, 4)$ 。

① $f (x)$ 是三次式， $q (x)$ 是二次式； $y = q (x)$ 在 $x = 1$ 有最小值 3，所以 $q (x) = k (x - 1)^{2} + 3$ ， $k > 0$ 。

② $f (x) = (x - 1) q (x) + 2 = k (x - 1)^{3} + 3 (x - 1) + 2$ ，圖形的對稱中心是 $(1, 2)$ 。

③ $f (- x) + 2 = k (- x - 1)^{3} + 3 (- x - 1) + 4 = - k (x + 1)^{3} - 3 (x + 1) + 4$ 。

④ 這是以 $x + 1$ 為變數的三次式加上常數 4，對稱中心是 $(- 1, 4)$ 。

答案 $(- 1, 4)$ 。

載入中...

也可以用圖形變換看：

y = f (- x)

是把

y = f (x)

對

y

軸鏡射，中心

(1, 2)

變成

(- 1, 2)

；再向上平移 2，得

(- 1, 4)

。

第 13 題

答案 $\frac{1}{14}$ 。

① 10 顆取 2 顆共 $C_{2}^{10} = 45$ 種。設藍球 $b$ 顆、綠球 $g$ 顆。

② $\frac{C _{2}^{b}}{45} = \frac{1}{15}$ ， $C_{2}^{b} = 3$ ， $b = 3$ 。

③ $\frac{C _{2}^{g}}{45} = \frac{2}{9}$ ， $C_{2}^{g} = 10$ ， $g = 5$ 。黃球 $10 - 3 - 5 = 2$ 顆。

④ 同色的取法：

$顏色球數同色取法藍 33 綠 510 黃 21$

⑤ 同色共 $3 + 10 + 1 = 14$ 種，其中黃色 1 種，條件機率 $\frac{1}{14}$ 。

答案 $\frac{1}{14}$ 。

第 14 題

答案 $(\frac{12}{5}, \frac{21}{5})$ 。

① $M$ 過 $D (0, 1)$ ， $D$ 在邊 $\overline{O A}$ 上； $m > 0$ ， $M$ 與 $x$ 軸交在 $x = - \frac{1}{m} < 0$ ，碰不到 $\overline{O B}$ ，所以 $M$ 交 $\overline{A B}$ 於一點 $P$ 。

② 三角形被分成三角形 $A D P$ 與凸四邊形 $O B P D$ 。

③ 四邊形內接於圓，對角互補。 $∠ D O B = 9 0^{\circ}$ ，所以對角 $∠ B P D = 9 0^{\circ}$ ，即 $M ⊥ L$ 。

④ $L$ 的斜率 $\frac{0 - 6}{8 - 0} = - \frac{3}{4}$ ，所以 $m = \frac{4}{3}$ ， $M : y = \frac{4}{3} x + 1$ 。

⑤ $L : 3 x + 4 y = 24$ ，代入 $y = \frac{4}{3} x + 1$ ： $3 x + \frac{16}{3} x + 4 = 24$ ， $\frac{25}{3} x = 20$ ， $x = \frac{12}{5}$ ， $y = \frac{16}{5} + 1 = \frac{21}{5}$ 。

答案 $(\frac{12}{5}, \frac{21}{5})$ 。

載入中...

兩個直角都對著線段

\overline{B D}

，外接圓以

\overline{B D}

為直徑。交點

x = \frac{12}{5}

在 0 與 8 之間，確實在邊

\overline{A B}

上。

06計算 15：全等矩形當尺量身高

第 15 題

答案 $185$ 公分。

① 兩人都站在牆邊，牆上的矩形全等，所以可以用自己身旁的矩形當尺；設每個矩形高 $h$ 公分。

② 要圭：頭頂比第 7 個矩形上緣高 11 公分， $7 h + 11 = 172$ ，得 $h = 23$ 。

③ 青峰葉流火：頭頂比第 8 個矩形上緣高 1 公分，身高 $8 h + 1 = 8 \times 23 + 1 = 185$ 。

答案 $185$ 公分。

載入中...

學校的評分寫法是比例式

(172 - 11) : (x - 1) = 7 : 8

，得

x - 1 = 184

，

x = 185

。題目圖是透視圖，遠處的人看起來比較小，但兩人都是用自己所在位置的矩形量，透視不影響答案。

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同樣是高三第三次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 114 上高三第三次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要把經緯度換成投影到赤道面的距離，再用畢氏定理的逆定理看出兩點經度差 90 度，還要留意 Q 也可能在南半球；第 6 題 2026 倍的多項式除以 1013 倍的除式，餘式是原來的 2026 倍而不是 2 倍；第 14 題要看出直角的對角也必須是直角，直線 M 才會垂直 L。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自北一女中 114 學年度上學期高三第三次段考數學（數B），由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 114 上高三第三次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1、2：指數不等式與乘積的可能值

02單選 3～5：弧度、圓錐截痕與對數交錯和

03多選 6～8：除法原理、經緯度與迴歸直線

04填充 9～11：紙張比例、矩陣與內積

05填充 12～14：對稱中心、條件機率與共圓

06計算 15：全等矩形當尺量身高

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北一女中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

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