段考詳解範圍：選修數學甲單元 1～單元 2（數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續）

小港高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 小港高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 小港高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 6 題（本頁第 13 題）：方程式的兩根只有一個能讓級數收斂，要先用公比的平方小於 1 選出負的那一根，和也是負的。填充第 7 題（本頁第 14 題）：高斯符號等於 0 的是 0 到 1 之間的一整段，不是只有 0 一個數。填充第 4 題（本頁第 11 題）：分母是平方，分子趨近 0 的條件要用兩次。多選第 1 題：取極限後嚴格不等號可能變成等號。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多選題 3 題（每題 6 分，計 18 分）、填充題 12 格（每格 6 分，計 72 分）、混合題 2 小題（4 分與 6 分，計 10 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、多選題（6 分/題，計 18 分。錯 1 個給 4 分、錯 2 個給 2 分、錯 3 個以上不給分）

設

⟨ a_{n} ⟩

，

⟨ b_{n} ⟩

為二實數數列，請問下列各敘述何者正確？

(1) 若 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆為收斂數列。
(2) 若對所有正整數 $n$ ，都有 $a_{n} < b_{n}$ 且 $n \to \infty lim a_{n} = a$ ， $n \to \infty lim b_{n} = b$ ，則 $a < b$ 。
(3) 若無窮等比級數 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 是收斂級數，則 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ 。
(4) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列， $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 必為發散數列。
(5) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列， $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} b_{n} ⟩$ 必為發散數列。

下列各敘述何者正確？

(1) 若函數 $f (x) = x^{2} + 3$ ， $g (x) = x^{3} + 2$ ，則 $(g \circ f) (x)$ 為五次多項式函數。
(2) 函數 $f (x) = x + 1$ 的反函數為 $g (x) = x - 1$ 。
(3) 極限 $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ 不存在。
(4) 若函數 $f (x)$ 滿足 $f (1) = 3$ ，則 $x \to 1 lim f (x) = 3$ 。
(5) 若 $f (1)$ 有意義且 $x \to 1 lim f (x) = f (1)$ ，則函數 $f (x)$ 在 $x = 1$ 處連續。

已知函數

f (x) = \frac{x}{∣ x ∣}

，

g (x) = x sin x

，

h (x) = x^{3} + 2

，下列各函數在其定義域的敘述哪些正確？

(1) $f (x)$ 是奇函數。
(2) $g (x)$ 是偶函數。
(3) $(f \times g) (x)$ 是奇函數。
(4) $(f \circ g) (x)$ 是偶函數。
(5) $h (x)$ 是奇函數。

二、填充題：（6 分/格，計 72 分）（卷面題號 1～8，其中第 2、3 題各有 (1)(2)(3) 三格，共 12 格；本頁接續編為第 4～15 題）

若無窮數列

⟨ (\frac{3 x - 2}{x + 1})^{n} ⟩

收斂，試問

x

的範圍。

卷面填充第 2 題（第 5～7 題）　試求下列各極限：

(1)

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 3 n - 1}{n ^{2}} - (\frac{2}{3})^{n} + 2)

(2)

n \to \infty lim \frac{1 + 4 + 7 + \dots + ( 3 n - 2 )}{n ^{2}}

(3)

n \to \infty lim \frac{7 ^{n} + 8 ^{n} - 9 ^{n}}{2 ^{2 n} + 3 ^{2 n}}

。

卷面填充第 3 題（第 8～10 題）　試求下列各函數的極限：

(1)

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

(2)

x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + 6 x + 8}{∣ x ∣ - 2}

(3)

x \to 0 lim \frac{( 2 x + 1 ) ^{10} - 1}{x}

。

已知

a

、

b

、

c

為實數，且

x \to 1 lim \frac{x ^{3} + a x + b}{( x - 1 ) ^{2}} = c

，求數對

(a, b, c)

。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - 1, a x + b, - 3, 當 x \leq 2 當 2 < x < 5 當 x \geq 5

，其中

a, b

為實數，若

f (x)

在

R

上為連續函數，求數對

(a, b)

。

若

r

為方程式

2 x^{2} - 2 x - 1 = 0

的一根，且已知無窮級數

k = 1 \sum \infty r^{2 k - 1}

收斂，求

k = 1 \sum \infty r^{2 k - 1}

之值。

設

f (x) = 1 - x^{2}

，

g (x) = \frac{x - 3}{x ^{2} + x - 2}

，

h (x) = \frac{2 [ x ] + 1}{[ x ]}

，其中符號

[]

為高斯符號，若此三個函數的定義域分別為

A

、

B

、

C

，試求

A \cap B \cap C

。

取一線段

\overline{A B}

，由

B

點延伸出

\overline{B C_{1}}

與

\overline{B C_{2}}

，其長度為

\overline{A B}

的

\frac{1}{3}

，得到圖①。接著，由圖①的

C_{1}

點與

C_{2}

點分別延伸出兩線段，其長度分別是

\overline{B C_{1}}

與

\overline{B C_{2}}

的

\frac{1}{3}

，得到圖②。重複以上步驟如此繼續下去，可得到圖③，……。設

S_{n}

為圖

\overset{◯}{n}

中所有線段長度的總和（例如：

S_{1} = \overline{A B} + \overline{B C_{1}} + \overline{B C_{2}}

），且

\overline{A B} = 1

，求

n \to \infty lim S_{n}

。

載入中...

三、混合題：（10 分，計 10 分）（卷面題號 1、2，本頁接續編為第 16、17 題）

混合題（第 16～17 題）　白貓宅急便公司寄送包裹的費用是依據長、寬、高之和來計算運費，運費計算方式：總和

60

公分以下，基本收費

120

元，超過

60

公分的部分，每

30

公分加收

40

元，不足

30

公分以

30

公分計算。已知包裹長寬高總和

x

公分，所需支付運費為

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, a + 40 \times (- [\frac{b - x}{30}]), 當 0 < x \leq 60 當 x > 60

元，其中

a, b

為實數，符號

[]

為高斯符號，回答下列問題。

1. 試求數對

(a, b)

。（4 分）

2. 若運費

280

元最多可運送長寬高總和多少公分的包裹。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)

第 2 題(2)(5)

第 3 題(1)(2)(3)(4)

第 4 題

\frac{1}{4} < x \leq \frac{3}{2}

第 5 題

3

第 6 題

\frac{3}{2}

第 7 題

- 1

第 8 題

3

第 9 題

- 2

第 10 題

20

第 11 題

(- 3, 2, 3)

第 12 題

(- 2, 7)

第 13 題

\frac{3 - 3}{3}

第 14 題

- 1 \leq x < 0

第 15 題

3

第 16 題

(120, 60)

第 17 題

180

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：收斂與發散、極限與連續的概念、奇偶函數

第 1 題答案 (3)(4)。(1) 取

a_{n} = n

，

b_{n} = - n

，則

a_{n} + b_{n} = 0

收斂，但

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都發散，錯。(2) 取

a_{n} = 0

，

b_{n} = \frac{1}{n}

，每一項都有

a_{n} < b_{n}

，但兩個極限都是

0

，

a = b

，錯。(3) 設首項

a_{1}

、公比

r

。無窮等比級數收斂只有兩種情形：

a_{1} = 0

（每一項都是

0

），或

∣ r ∣ < 1

（此時

a_{n} = a_{1} r^{n - 1} \to 0

）；兩種情形都有

n \to \infty lim a_{n} = 0

，對。(4) 假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，則

a_{n} = (a_{n} + b_{n}) - b_{n}

是兩個收斂數列的差，也會收斂，與

⟨ a_{n} ⟩

發散矛盾；所以

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

必發散，對。(5) 取

a_{n} = n

，

b_{n} = 0

，則

a_{n} b_{n} = 0

收斂，錯。

(2) 取極限後，嚴格的不等號只能保證

a \leq b

，等號可能成立。

第 2 題答案 (2)(5)。(1)

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (x^{2} + 3)^{3} + 2

，最高次項是

x^{6}

，是六次多項式函數，錯。(2) 令

y = x + 1

，則

x = y - 1

，所以反函數是

g (x) = x - 1

；檢查

g (f (x)) = (x + 1) - 1 = x

，對。(3)

x \neq = 1

時

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

，

x \to 1

時趨近

2

，極限存在，錯。(4) 極限看的是

x

靠近

1

（但不等於

1

）時的函數值，與

f (1)

無關；例如

f (x) = {x, 3, x \neq = 1 x = 1

，

f (1) = 3

但

x \to 1 lim f (x) = 1

，錯。(5) 這正是函數在

x = 1

處連續的定義，對。

(1) 合成是把

f (x)

整個代進

g

，次數相乘得

2 \times 3 = 6

；

2 + 3 = 5

是兩函數相乘的次數。

第 3 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1) 定義域

x \neq = 0

，

f (- x) = \frac{- x}{∣ - x ∣} = - \frac{x}{∣ x ∣} = - f (x)

，奇函數，對。(2)

g (- x) = (- x) sin (- x) = (- x) (- sin x) = x sin x = g (x)

，偶函數，對。(3)

(f \times g) (- x) = f (- x) g (- x) = - f (x) g (x) = - (f \times g) (x)

，奇函數，對。(4)

(f \circ g) (x) = f (g (x))

的定義域是

g (x) \neq = 0

的所有

x

；因為

g (- x) = g (x)

，定義域對稱於原點，且

(f \circ g) (- x) = f (g (- x)) = f (g (x)) = (f \circ g) (x)

，偶函數，對。(5)

h (1) = 3

，

h (- 1) = 1

，

h (- 1) \neq = - h (1)

，不是奇函數，錯。

f (x)

在

x > 0

時是

1

、

x < 0

時是

- 1

。(5) 的

x^{3}

是奇函數，但加上常數

2

之後圖形不再對稱於原點。

要否定一個敘述，舉一個反例就夠；要肯定一個敘述，要用定義或運算性質說明。

02填充 4～7（卷面填充 1、2）：數列的極限

第 4 題這是公比

r = \frac{3 x - 2}{x + 1}

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。先解

\frac{3 x - 2}{x + 1} \leq 1

：移項得

\frac{2 x - 3}{x + 1} \leq 0

，即

- 1 < x \leq \frac{3}{2}

。再解

\frac{3 x - 2}{x + 1} > - 1

：移項得

\frac{4 x - 1}{x + 1} > 0

，即

x < - 1

或

x > \frac{1}{4}

。兩者取交集：

\frac{1}{4} < x \leq \frac{3}{2}

。

r = 1

（

x = \frac{3}{2}

）時每一項都是

1

，收斂，端點要含；

r = - 1

（

x = \frac{1}{4}

）時數列在

- 1

、

1

之間跳動，發散，端點不含。分式不等式要移項通分，不可以直接乘以

x + 1

（它的正負未定）。

第 5 題

\frac{n ^{2} + 3 n - 1}{n ^{2}} = 1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n ^{2}} \to 1

；

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

（公比的絕對值小於

1

）。三項的極限都存在，所以原式

= 1 - 0 + 2 = 3

。

第 6 題分子是首項

1

、公差

3

、共

n

項的等差級數，和為

\frac{n ( 1 + ( 3 n - 2 ) )}{2} = \frac{n ( 3 n - 1 )}{2} = \frac{3 n ^{2} - n}{2}

。原式

= n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} - n}{2 n ^{2}} = n \to \infty lim \frac{3 - \frac{1}{n}}{2} = \frac{3}{2}

。

分子的項數會隨

n

增加，不可以把每一項各自除以

n^{2}

後當成

0

相加；要先求和。

第 7 題

2^{2 n} = 4^{n}

，

3^{2 n} = 9^{n}

。底數最大的是

9

，分子分母同除以

9^{n}

：

\frac{( \frac{7}{9} ) ^{n} + ( \frac{8}{9} ) ^{n} - 1}{( \frac{4}{9} ) ^{n} + 1} \to \frac{0 + 0 - 1}{0 + 1} = - 1

。

等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於等於 1；指數型的數列同除以底數最大的那一項。

03填充 8～12（卷面填充 3、4、5）：函數的極限與連續

第 8 題

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

，

x \neq = 1

時

\frac{x ^{3} - 1}{x - 1} = x^{2} + x + 1

，

x \to 1

時趨近

1 + 1 + 1 = 3

。

第 9 題

x

在

- 2

附近時

x < 0

，

∣ x ∣ = - x

，分母

= - x - 2 = - (x + 2)

。分子

x^{2} + 6 x + 8 = (x + 2) (x + 4)

。所以原式

= x \to - 2 lim \frac{( x + 2 ) ( x + 4 )}{- ( x + 2 )} = x \to - 2 lim (- (x + 4)) = - 2

。

若把

∣ x ∣

當成

x

，分母變成

x - 2

，在

x = - 2

時不為

0

，會算出

\frac{0}{- 4} = 0

。去絕對值前先看

x

靠近的那個數是正是負。

第 10 題令

t = 2 x + 1

，則

x = \frac{t - 1}{2}

，

x \to 0

時

t \to 1

。原式

= t \to 1 lim \frac{2 ( t ^{10} - 1 )}{t - 1}

。因為

t^{10} - 1 = (t - 1) (t^{9} + t^{8} + \dots + t + 1)

，約去

t - 1

後得

t \to 1 lim 2 (t^{9} + t^{8} + \dots + t + 1) = 2 \times 10 = 20

。

也可以用二項式定理：

(2 x + 1)^{10} - 1 = 10 \cdot (2 x) + 45 \cdot (2 x)^{2} + \dots + (2 x)^{10}

，除以

x

後只有

20

留下，其餘各項都趨近

0

。

第 11 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

1 + a + b = 0

，

b = - 1 - a

。分子

x^{3} + a x - 1 - a = (x^{3} - 1) + a (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + x + 1 + a)

，所以原式

= x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x + 1 + a}{x - 1}

。分母仍趨近

0

，分子也必須趨近

0

：

3 + a = 0

，

a = - 3

，

b = 2

。此時

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

，

c = x \to 1 lim (x + 2) = 3

。

(a, b, c) = (- 3, 2, 3)

。

檢查：

(x - 1)^{2} (x + 2) = x^{3} - 3 x + 2

，與

x^{3} + a x + b

相符。分母是

(x - 1)^{2}

，所以「分子趨近

0

」要用兩次。

第 12 題三段各自都是多項式，在各段內部都連續，只要檢查接點

x = 2

與

x = 5

。在

x = 2

：

f (2) = 2^{2} - 1 = 3

，左極限

= 3

，右極限

= 2 a + b

，所以

2 a + b = 3

。在

x = 5

：

f (5) = - 3

，右極限

= - 3

，左極限

= 5 a + b

，所以

5 a + b = - 3

。兩式相減得

3 a = - 6

，

a = - 2

，

b = 7

。

(a, b) = (- 2, 7)

。

分式的極限遇到分母趨近 0，分子也要趨近 0；把分子分解出同一個因式約掉再代入。

04填充 13～15（卷面填充 6、7、8）：無窮等比級數、定義域

第 13 題

2 x^{2} - 2 x - 1 = 0

的兩根為

x = \frac{2 \pm 12}{4} = \frac{1 \pm 3}{2}

。級數

r + r^{3} + r^{5} + \dots

是首項

r

、公比

r^{2}

的無窮等比級數，兩根都不是

0

，所以收斂的條件是

r^{2} < 1

。

\frac{1 + 3}{2} \approx 1.37

不合，

\frac{1 - 3}{2} \approx - 0.37

符合，所以

r = \frac{1 - 3}{2}

。

r^{2} = \frac{4 - 2 3}{4} = 1 - \frac{3}{2}

，

1 - r^{2} = \frac{3}{2}

。和

= \frac{r}{1 - r ^{2}} = \frac{\frac{1 - 3}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1 - 3}{3} = \frac{3 - 3}{3}

。

也可以用

2 r^{2} = 2 r + 1

：

1 - r^{2} = \frac{1 - 2 r}{2}

，和

= \frac{2 r}{1 - 2 r}

，代入

r = \frac{1 - 3}{2}

得

\frac{1 - 3}{3}

。和是負的，因為每一項都是

r

的奇數次方，而

r < 0

。

第 14 題

A

：根號內要不小於

0

，

1 - x^{2} \geq 0

，

- 1 \leq x \leq 1

。

B

：分母

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1) \neq = 0

，

x \neq = - 2

且

x \neq = 1

。

C

：分母

[x] \neq = 0

；而

[x] = 0

就是

0 \leq x < 1

，所以

C

是

x < 0

或

x \geq 1

。

A \cap C

：

- 1 \leq x < 0

或

x = 1

；再與

B

取交集，去掉

x = 1

（

x = - 2

本來就不在裡面），得

A \cap B \cap C = {x ∣ - 1 \leq x < 0}

。

[x] = 0

不是只有

x = 0

，而是整段

0 \leq x < 1

都要排除。

第 15 題設

\overline{A B} = 1

。圖①比原來的線段多了

2

條長

\frac{1}{3}

的線段；圖②再多

4

條長

\frac{1}{9}

的線段；每做一次，新線段的條數變成

2

倍、長度變成

\frac{1}{3}

，所以新增的總長變成前一次的

\frac{2}{3}

。

S_{n} = 1 + \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{2} + \dots + (\frac{2}{3})^{n}

。這是首項

1

、公比

\frac{2}{3}

的等比級數，

\frac{2}{3} < 1

，所以

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3

。

檢查：

S_{1} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}

，與

1 + \frac{2}{3}

相符。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比。

05混合題 16、17（卷面混合題 1、2）：用高斯符號表示分段計費

第 16 題總和

60

公分以下收基本費

120

元，所以

a = 120

。

x > 60

時，加收的次數是「超過的

x - 60

公分以每

30

公分為一段、不足一段算一段」的段數

k

，也就是

k - 1 < \frac{x - 60}{30} \leq k

。各乘以

- 1

：

- k \leq \frac{60 - x}{30} < - k + 1

，由高斯符號的定義得

[\frac{60 - x}{30}] = - k

，所以

k = - [\frac{60 - x}{30}]

，運費為

120 + 40 \times (- [\frac{60 - x}{30}])

。與題目的式子比較，

b = 60

。

(a, b) = (120, 60)

。

檢查：

x = 61

時

[\frac{- 1}{30}] = - 1

，運費

160

元；

x = 90

時

[- 1] = - 1

，運費

160

元；

x = 91

時

[- \frac{31}{30}] = - 2

，運費

200

元，都與計費方式相符。

b

若不是

60

，加收的分界點就不會落在

60

、

90

、

120

、…，所以

b

只能是

60

。

第 17 題

280 > 120

，所以

x > 60

。

120 + 40 \times (- [\frac{60 - x}{30}]) = 280

，得

[\frac{60 - x}{30}] = - 4

。由高斯符號的定義，

- 4 \leq \frac{60 - x}{30} < - 3

，各乘以

30

：

- 120 \leq 60 - x < - 90

，所以

150 < x \leq 180

。最多可運送長寬高總和

180

公分的包裹。

用題意檢查：

280 - 120 = 160

元是加收

4

次，每次

30

公分共

120

公分，

60 + 120 = 180

。再多

1

公分就進入第

5

段，運費變成

320

元。

不足一段算一段，用高斯符號寫時要先加負號取高斯再加負號；解的時候把高斯符號換回不等式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

小港高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 6 題（本頁第 13 題）：方程式的兩根只有一個能讓級數收斂，要先用公比的平方小於 1 選出負的那一根，和也是負的。填充第 7 題（本頁第 14 題）：高斯符號等於 0 的是 0 到 1 之間的一整段，不是只有 0 一個數。填充第 4 題（本頁第 11 題）：分母是平方，分子趨近 0 的條件要用兩次。多選第 1 題：取極限後嚴格不等號可能變成等號。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自小港高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：選修數學甲單元 1～單元 2（數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續）

小港高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、多選題（6 分/題，計 18 分。錯 1 個給 4 分、錯 2 個給 2 分、錯 3 個以上不給分）

設

⟨ a_{n} ⟩

，

⟨ b_{n} ⟩

為二實數數列，請問下列各敘述何者正確？

(1) 若 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆為收斂數列。
(2) 若對所有正整數 $n$ ，都有 $a_{n} < b_{n}$ 且 $n \to \infty lim a_{n} = a$ ， $n \to \infty lim b_{n} = b$ ，則 $a < b$ 。
(3) 若無窮等比級數 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 是收斂級數，則 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ 。
(4) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列， $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 必為發散數列。
(5) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列， $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} b_{n} ⟩$ 必為發散數列。

下列各敘述何者正確？

(1) 若函數 $f (x) = x^{2} + 3$ ， $g (x) = x^{3} + 2$ ，則 $(g \circ f) (x)$ 為五次多項式函數。
(2) 函數 $f (x) = x + 1$ 的反函數為 $g (x) = x - 1$ 。
(3) 極限 $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ 不存在。
(4) 若函數 $f (x)$ 滿足 $f (1) = 3$ ，則 $x \to 1 lim f (x) = 3$ 。
(5) 若 $f (1)$ 有意義且 $x \to 1 lim f (x) = f (1)$ ，則函數 $f (x)$ 在 $x = 1$ 處連續。

已知函數

f (x) = \frac{x}{∣ x ∣}

，

g (x) = x sin x

，

h (x) = x^{3} + 2

，下列各函數在其定義域的敘述哪些正確？

(1) $f (x)$ 是奇函數。
(2) $g (x)$ 是偶函數。
(3) $(f \times g) (x)$ 是奇函數。
(4) $(f \circ g) (x)$ 是偶函數。
(5) $h (x)$ 是奇函數。

二、填充題：（6 分/格，計 72 分）（卷面題號 1～8，其中第 2、3 題各有 (1)(2)(3) 三格，共 12 格；本頁接續編為第 4～15 題）

若無窮數列

⟨ (\frac{3 x - 2}{x + 1})^{n} ⟩

收斂，試問

x

的範圍。

卷面填充第 2 題（第 5～7 題）　試求下列各極限：

(1)

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 3 n - 1}{n ^{2}} - (\frac{2}{3})^{n} + 2)

(2)

n \to \infty lim \frac{1 + 4 + 7 + \dots + ( 3 n - 2 )}{n ^{2}}

(3)

n \to \infty lim \frac{7 ^{n} + 8 ^{n} - 9 ^{n}}{2 ^{2 n} + 3 ^{2 n}}

。

卷面填充第 3 題（第 8～10 題）　試求下列各函數的極限：

(1)

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

(2)

x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + 6 x + 8}{∣ x ∣ - 2}

(3)

x \to 0 lim \frac{( 2 x + 1 ) ^{10} - 1}{x}

。

已知

a

、

b

、

c

為實數，且

x \to 1 lim \frac{x ^{3} + a x + b}{( x - 1 ) ^{2}} = c

，求數對

(a, b, c)

。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - 1, a x + b, - 3, 當 x \leq 2 當 2 < x < 5 當 x \geq 5

，其中

a, b

為實數，若

f (x)

在

R

上為連續函數，求數對

(a, b)

。

若

r

為方程式

2 x^{2} - 2 x - 1 = 0

的一根，且已知無窮級數

k = 1 \sum \infty r^{2 k - 1}

收斂，求

k = 1 \sum \infty r^{2 k - 1}

之值。

設

f (x) = 1 - x^{2}

，

g (x) = \frac{x - 3}{x ^{2} + x - 2}

，

h (x) = \frac{2 [ x ] + 1}{[ x ]}

，其中符號

[]

為高斯符號，若此三個函數的定義域分別為

A

、

B

、

C

，試求

A \cap B \cap C

。

取一線段

\overline{A B}

，由

B

點延伸出

\overline{B C_{1}}

與

\overline{B C_{2}}

，其長度為

\overline{A B}

的

\frac{1}{3}

，得到圖①。接著，由圖①的

C_{1}

點與

C_{2}

點分別延伸出兩線段，其長度分別是

\overline{B C_{1}}

與

\overline{B C_{2}}

的

\frac{1}{3}

，得到圖②。重複以上步驟如此繼續下去，可得到圖③，……。設

S_{n}

為圖

\overset{◯}{n}

中所有線段長度的總和（例如：

S_{1} = \overline{A B} + \overline{B C_{1}} + \overline{B C_{2}}

），且

\overline{A B} = 1

，求

n \to \infty lim S_{n}

。

載入中...

三、混合題：（10 分，計 10 分）（卷面題號 1、2，本頁接續編為第 16、17 題）

混合題（第 16～17 題）　白貓宅急便公司寄送包裹的費用是依據長、寬、高之和來計算運費，運費計算方式：總和

60

公分以下，基本收費

120

元，超過

60

公分的部分，每

30

公分加收

40

元，不足

30

公分以

30

公分計算。已知包裹長寬高總和

x

公分，所需支付運費為

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, a + 40 \times (- [\frac{b - x}{30}]), 當 0 < x \leq 60 當 x > 60

元，其中

a, b

為實數，符號

[]

為高斯符號，回答下列問題。

1. 試求數對

(a, b)

。（4 分）

2. 若運費

280

元最多可運送長寬高總和多少公分的包裹。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)

第 2 題(2)(5)

第 3 題(1)(2)(3)(4)

第 4 題

\frac{1}{4} < x \leq \frac{3}{2}

第 5 題

3

第 6 題

\frac{3}{2}

第 7 題

- 1

第 8 題

3

第 9 題

- 2

第 10 題

20

第 11 題

(- 3, 2, 3)

第 12 題

(- 2, 7)

第 13 題

\frac{3 - 3}{3}

第 14 題

- 1 \leq x < 0

第 15 題

3

第 16 題

(120, 60)

第 17 題

180

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：收斂與發散、極限與連續的概念、奇偶函數

第 1 題答案 (3)(4)。(1) 取

a_{n} = n

，

b_{n} = - n

，則

a_{n} + b_{n} = 0

收斂，但

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都發散，錯。(2) 取

a_{n} = 0

，

b_{n} = \frac{1}{n}

，每一項都有

a_{n} < b_{n}

，但兩個極限都是

0

，

a = b

，錯。(3) 設首項

a_{1}

、公比

r

。無窮等比級數收斂只有兩種情形：

a_{1} = 0

（每一項都是

0

），或

∣ r ∣ < 1

（此時

a_{n} = a_{1} r^{n - 1} \to 0

）；兩種情形都有

n \to \infty lim a_{n} = 0

，對。(4) 假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，則

a_{n} = (a_{n} + b_{n}) - b_{n}

是兩個收斂數列的差，也會收斂，與

⟨ a_{n} ⟩

發散矛盾；所以

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

必發散，對。(5) 取

a_{n} = n

，

b_{n} = 0

，則

a_{n} b_{n} = 0

收斂，錯。

(2) 取極限後，嚴格的不等號只能保證

a \leq b

，等號可能成立。

第 2 題答案 (2)(5)。(1)

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (x^{2} + 3)^{3} + 2

，最高次項是

x^{6}

，是六次多項式函數，錯。(2) 令

y = x + 1

，則

x = y - 1

，所以反函數是

g (x) = x - 1

；檢查

g (f (x)) = (x + 1) - 1 = x

，對。(3)

x \neq = 1

時

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

，

x \to 1

時趨近

2

，極限存在，錯。(4) 極限看的是

x

靠近

1

（但不等於

1

）時的函數值，與

f (1)

無關；例如

f (x) = {x, 3, x \neq = 1 x = 1

，

f (1) = 3

但

x \to 1 lim f (x) = 1

，錯。(5) 這正是函數在

x = 1

處連續的定義，對。

(1) 合成是把

f (x)

整個代進

g

，次數相乘得

2 \times 3 = 6

；

2 + 3 = 5

是兩函數相乘的次數。

第 3 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1) 定義域

x \neq = 0

，

f (- x) = \frac{- x}{∣ - x ∣} = - \frac{x}{∣ x ∣} = - f (x)

，奇函數，對。(2)

g (- x) = (- x) sin (- x) = (- x) (- sin x) = x sin x = g (x)

，偶函數，對。(3)

(f \times g) (- x) = f (- x) g (- x) = - f (x) g (x) = - (f \times g) (x)

，奇函數，對。(4)

(f \circ g) (x) = f (g (x))

的定義域是

g (x) \neq = 0

的所有

x

；因為

g (- x) = g (x)

，定義域對稱於原點，且

(f \circ g) (- x) = f (g (- x)) = f (g (x)) = (f \circ g) (x)

，偶函數，對。(5)

h (1) = 3

，

h (- 1) = 1

，

h (- 1) \neq = - h (1)

，不是奇函數，錯。

f (x)

在

x > 0

時是

1

、

x < 0

時是

- 1

。(5) 的

x^{3}

是奇函數，但加上常數

2

之後圖形不再對稱於原點。

要否定一個敘述，舉一個反例就夠；要肯定一個敘述，要用定義或運算性質說明。

02填充 4～7（卷面填充 1、2）：數列的極限

第 4 題這是公比

r = \frac{3 x - 2}{x + 1}

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。先解

\frac{3 x - 2}{x + 1} \leq 1

：移項得

\frac{2 x - 3}{x + 1} \leq 0

，即

- 1 < x \leq \frac{3}{2}

。再解

\frac{3 x - 2}{x + 1} > - 1

：移項得

\frac{4 x - 1}{x + 1} > 0

，即

x < - 1

或

x > \frac{1}{4}

。兩者取交集：

\frac{1}{4} < x \leq \frac{3}{2}

。

r = 1

（

x = \frac{3}{2}

）時每一項都是

1

，收斂，端點要含；

r = - 1

（

x = \frac{1}{4}

）時數列在

- 1

、

1

之間跳動，發散，端點不含。分式不等式要移項通分，不可以直接乘以

x + 1

（它的正負未定）。

第 5 題

\frac{n ^{2} + 3 n - 1}{n ^{2}} = 1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n ^{2}} \to 1

；

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

（公比的絕對值小於

1

）。三項的極限都存在，所以原式

= 1 - 0 + 2 = 3

。

第 6 題分子是首項

1

、公差

3

、共

n

項的等差級數，和為

\frac{n ( 1 + ( 3 n - 2 ) )}{2} = \frac{n ( 3 n - 1 )}{2} = \frac{3 n ^{2} - n}{2}

。原式

= n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} - n}{2 n ^{2}} = n \to \infty lim \frac{3 - \frac{1}{n}}{2} = \frac{3}{2}

。

分子的項數會隨

n

增加，不可以把每一項各自除以

n^{2}

後當成

0

相加；要先求和。

第 7 題

2^{2 n} = 4^{n}

，

3^{2 n} = 9^{n}

。底數最大的是

9

，分子分母同除以

9^{n}

：

\frac{( \frac{7}{9} ) ^{n} + ( \frac{8}{9} ) ^{n} - 1}{( \frac{4}{9} ) ^{n} + 1} \to \frac{0 + 0 - 1}{0 + 1} = - 1

。

等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於等於 1；指數型的數列同除以底數最大的那一項。

03填充 8～12（卷面填充 3、4、5）：函數的極限與連續

第 8 題

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

，

x \neq = 1

時

\frac{x ^{3} - 1}{x - 1} = x^{2} + x + 1

，

x \to 1

時趨近

1 + 1 + 1 = 3

。

第 9 題

x

在

- 2

附近時

x < 0

，

∣ x ∣ = - x

，分母

= - x - 2 = - (x + 2)

。分子

x^{2} + 6 x + 8 = (x + 2) (x + 4)

。所以原式

= x \to - 2 lim \frac{( x + 2 ) ( x + 4 )}{- ( x + 2 )} = x \to - 2 lim (- (x + 4)) = - 2

。

若把

∣ x ∣

當成

x

，分母變成

x - 2

，在

x = - 2

時不為

0

，會算出

\frac{0}{- 4} = 0

。去絕對值前先看

x

靠近的那個數是正是負。

第 10 題令

t = 2 x + 1

，則

x = \frac{t - 1}{2}

，

x \to 0

時

t \to 1

。原式

= t \to 1 lim \frac{2 ( t ^{10} - 1 )}{t - 1}

。因為

t^{10} - 1 = (t - 1) (t^{9} + t^{8} + \dots + t + 1)

，約去

t - 1

後得

t \to 1 lim 2 (t^{9} + t^{8} + \dots + t + 1) = 2 \times 10 = 20

。

也可以用二項式定理：

(2 x + 1)^{10} - 1 = 10 \cdot (2 x) + 45 \cdot (2 x)^{2} + \dots + (2 x)^{10}

，除以

x

後只有

20

留下，其餘各項都趨近

0

。

第 11 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

1 + a + b = 0

，

b = - 1 - a

。分子

x^{3} + a x - 1 - a = (x^{3} - 1) + a (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + x + 1 + a)

，所以原式

= x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x + 1 + a}{x - 1}

。分母仍趨近

0

，分子也必須趨近

0

：

3 + a = 0

，

a = - 3

，

b = 2

。此時

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

，

c = x \to 1 lim (x + 2) = 3

。

(a, b, c) = (- 3, 2, 3)

。

檢查：

(x - 1)^{2} (x + 2) = x^{3} - 3 x + 2

，與

x^{3} + a x + b

相符。分母是

(x - 1)^{2}

，所以「分子趨近

0

」要用兩次。

第 12 題三段各自都是多項式，在各段內部都連續，只要檢查接點

x = 2

與

x = 5

。在

x = 2

：

f (2) = 2^{2} - 1 = 3

，左極限

= 3

，右極限

= 2 a + b

，所以

2 a + b = 3

。在

x = 5

：

f (5) = - 3

，右極限

= - 3

，左極限

= 5 a + b

，所以

5 a + b = - 3

。兩式相減得

3 a = - 6

，

a = - 2

，

b = 7

。

(a, b) = (- 2, 7)

。

分式的極限遇到分母趨近 0，分子也要趨近 0；把分子分解出同一個因式約掉再代入。

04填充 13～15（卷面填充 6、7、8）：無窮等比級數、定義域

第 13 題

2 x^{2} - 2 x - 1 = 0

的兩根為

x = \frac{2 \pm 12}{4} = \frac{1 \pm 3}{2}

。級數

r + r^{3} + r^{5} + \dots

是首項

r

、公比

r^{2}

的無窮等比級數，兩根都不是

0

，所以收斂的條件是

r^{2} < 1

。

\frac{1 + 3}{2} \approx 1.37

不合，

\frac{1 - 3}{2} \approx - 0.37

符合，所以

r = \frac{1 - 3}{2}

。

r^{2} = \frac{4 - 2 3}{4} = 1 - \frac{3}{2}

，

1 - r^{2} = \frac{3}{2}

。和

= \frac{r}{1 - r ^{2}} = \frac{\frac{1 - 3}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1 - 3}{3} = \frac{3 - 3}{3}

。

也可以用

2 r^{2} = 2 r + 1

：

1 - r^{2} = \frac{1 - 2 r}{2}

，和

= \frac{2 r}{1 - 2 r}

，代入

r = \frac{1 - 3}{2}

得

\frac{1 - 3}{3}

。和是負的，因為每一項都是

r

的奇數次方，而

r < 0

。

第 14 題

A

：根號內要不小於

0

，

1 - x^{2} \geq 0

，

- 1 \leq x \leq 1

。

B

：分母

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1) \neq = 0

，

x \neq = - 2

且

x \neq = 1

。

C

：分母

[x] \neq = 0

；而

[x] = 0

就是

0 \leq x < 1

，所以

C

是

x < 0

或

x \geq 1

。

A \cap C

：

- 1 \leq x < 0

或

x = 1

；再與

B

取交集，去掉

x = 1

（

x = - 2

本來就不在裡面），得

A \cap B \cap C = {x ∣ - 1 \leq x < 0}

。

[x] = 0

不是只有

x = 0

，而是整段

0 \leq x < 1

都要排除。

第 15 題設

\overline{A B} = 1

。圖①比原來的線段多了

2

條長

\frac{1}{3}

的線段；圖②再多

4

條長

\frac{1}{9}

的線段；每做一次，新線段的條數變成

2

倍、長度變成

\frac{1}{3}

，所以新增的總長變成前一次的

\frac{2}{3}

。

S_{n} = 1 + \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{2} + \dots + (\frac{2}{3})^{n}

。這是首項

1

、公比

\frac{2}{3}

的等比級數，

\frac{2}{3} < 1

，所以

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3

。

檢查：

S_{1} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}

，與

1 + \frac{2}{3}

相符。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比。

05混合題 16、17（卷面混合題 1、2）：用高斯符號表示分段計費

第 16 題總和

60

公分以下收基本費

120

元，所以

a = 120

。

x > 60

時，加收的次數是「超過的

x - 60

公分以每

30

公分為一段、不足一段算一段」的段數

k

，也就是

k - 1 < \frac{x - 60}{30} \leq k

。各乘以

- 1

：

- k \leq \frac{60 - x}{30} < - k + 1

，由高斯符號的定義得

[\frac{60 - x}{30}] = - k

，所以

k = - [\frac{60 - x}{30}]

，運費為

120 + 40 \times (- [\frac{60 - x}{30}])

。與題目的式子比較，

b = 60

。

(a, b) = (120, 60)

。

檢查：

x = 61

時

[\frac{- 1}{30}] = - 1

，運費

160

元；

x = 90

時

[- 1] = - 1

，運費

160

元；

x = 91

時

[- \frac{31}{30}] = - 2

，運費

200

元，都與計費方式相符。

b

若不是

60

，加收的分界點就不會落在

60

、

90

、

120

、…，所以

b

只能是

60

。

第 17 題

280 > 120

，所以

x > 60

。

120 + 40 \times (- [\frac{60 - x}{30}]) = 280

，得

[\frac{60 - x}{30}] = - 4

。由高斯符號的定義，

- 4 \leq \frac{60 - x}{30} < - 3

，各乘以

30

：

- 120 \leq 60 - x < - 90

，所以

150 < x \leq 180

。最多可運送長寬高總和

180

公分的包裹。

用題意檢查：

280 - 120 = 160

元是加收

4

次，每次

30

公分共

120

公分，

60 + 120 = 180

。再多

1

公分就進入第

5

段，運費變成

320

元。

不足一段算一段，用高斯符號寫時要先加負號取高斯再加負號；解的時候把高斯符號換回不等式。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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02填充 4～7（卷面填充 1、2）：數列的極限

03填充 8～12（卷面填充 3、4、5）：函數的極限與連續

04填充 13～15（卷面填充 6、7、8）：無窮等比級數、定義域

05混合題 16、17（卷面混合題 1、2）：用高斯符號表示分段計費

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