段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係）

小港高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

填充題 13 題共 17 格，依答對格數給分（答對 1～17 格依序得 7、14、21、28、35、42、49、55、61、67、73、78、83、88、92、96、100 分），卷面第 1 題全對才給分。本頁第 1～17 題依序為卷面第 1～4、5(1)、5(2)、6～9、10(1)、10(2)、11、12(1)、12(2)、12(3)、13 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

填充題：※得分依所附計分表給分

已知坐標平面上兩點

A (- 2, 7)

、

B (16, - 2)

，若點

P

在直線

A B

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 4 : 5

，求

P

點坐標。答：____。（全對才給分）

下列各直線（

L_{1}

，

L_{2}

，

L_{3}

，

L_{4}

），哪條斜率最小：答：____。

載入中...

已知兩直線

L_{1}

：

y = - 3 x

，

L_{2}

：

y = - 3 x + 2

，則將

L_{1}

向右平移 ____ 個單位後為

L_{2}

所在位置。

坐標平面上，已知

△ A B C

的三頂點坐標為

A (1, 2)

、

B (4, 6)

、

C (- 4, 14)

，求：

B C

邊上的高所在之直線方程式。答：____。

卷面第 5 題（第 5～6 題）　試求

A (4, 9)

關於

(1)

(2, 3)

的對稱點為何。答：____。

(2)

x + y = 0

的對稱點為何。答：____。

坐標平面上，已知兩直線

L

：

5 x - 12 y + 3 = 0

，

M

：

10 x - 24 y + 5 = 0

，求：此兩直線的距離。答：____。

坐標平面上，已知三點

A (4, 5)

、

B (- 3, - 1)

、

C (0, - 3)

，請以聯立不等式表示

△ A B C

的內部。（不含邊界）答：____

如圖所示，某人在撞球檯邊，想將在

A

位置的母球經由兩次反射擊中

B

位置的色球。為了方便分析，他設立一個直角坐標系，原點在左下角的

O

點，直線

O D

為

x

軸，若點

A

的坐標為

(3, 1)

、點

B

的坐標為

(7, 3)

，球桌上緣方程式為

y = 5

，求母球自

A

經由

C

、

D

到

B

的路徑長。答：____。

載入中...

坐標平面上，已知兩點

A (- 3, 1)

，

B (2, 5)

，若直線

k x - 3 y + 5 = 0

與

\overline{A B}

相交，求實數

k

的範圍。答：____。

卷面第 10 題（第 11～12 題）　圓

C

：

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0

的

(1) 圓心坐標為 ____。

(2) 半徑為 ____。

x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 25 = 0

的圖形為 ____。

卷面第 12 題（第 14～16 題）　試求圓

C

：

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25

過下列各點的切線方程式

(1)

(- 4, 6)

。答：____。

(2)

(4, 8)

。答：____。

(3)

(2, 1)

。答：____。

已知直線

L

：

3 x + 4 y = 15

與圓

Γ

：

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 16

相交於

P

、

Q

兩點，求

\overline{P Q}

的長度。答：____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

(6, 3)

或

(- 74, 43)

第 2 題

L_{2}

第 3 題

\frac{2}{3}

第 4 題

x - y + 1 = 0

第 5 題

(0, - 3)

第 6 題

(- 9, - 4)

第 7 題

\frac{1}{26}

第 8 題

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 y + 9 > 0 2 x - y - 3 < 0 6 x - 7 y + 11 > 0

第 9 題

410

第 10 題

k \geq 5

或

k \leq \frac{2}{3}

第 11 題

(1, - 2)

第 12 題

2

第 13 題一點

(3, 4)

第 14 題

3 x - 4 y + 36 = 0

第 15 題

x = 4

或

11 x - 60 y + 436 = 0

第 16 題不存在

第 17 題

43

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01卷面第 1～4 題（第 1～4 題）：分點、斜率、平移與高

第 1 題

$P$ 在直線 $A B$ 上，可能在線段 $A B$ 上（內分），也可能在線段外（外分），兩種都要找。

內分： $P$ 把 $\overline{A B}$ 分成 $4 : 5$ ， $P = \frac{5 A + 4 B}{9} = (\frac{5 ( - 2 ) + 4 ( 16 )}{9}, \frac{5 ( 7 ) + 4 ( - 2 )}{9}) = (\frac{54}{9}, \frac{27}{9}) = (6, 3)$ 。

外分：因為 $\overline{A P} < \overline{B P}$ ， $P$ 在 $A$ 的外側，此時 $A$ 是 $\overline{P B}$ 上的點，且 $\overline{P A} : \overline{A B} = 4 : 1$ 。所以 $A = \frac{1 \cdot P + 4 \cdot B}{5}$ ， $P = 5 A - 4 B = (- 10 - 64, 35 + 8) = (- 74, 43)$ 。

所以 $P = (6, 3)$ 或 $(- 74, 43)$ 。

題目說「在直線

A B

上」而不是「在線段

A B

上」，外分點也算；卷面註明全對才給分，只寫一個不給分。驗算：

(- 74, 43)

到

A

的距離是

7 2^{2} + 3 6^{2} = 365

，到

B

是

9 0^{2} + 4 5^{2} = 455

，比為

4 : 5

。

第 2 題斜率是「往右走一格，往上升多少」。往右上升的

L_{3}

、

L_{4}

斜率是正的；往右下降的

L_{1}

、

L_{2}

斜率是負的，所以最小的在

L_{1}

、

L_{2}

之中。兩條都往右下降，

L_{2}

比

L_{1}

陡得多，同樣往右走一格，

L_{2}

下降得比較多，斜率是絕對值較大的負數，所以斜率最小的是

L_{2}

。

負斜率越陡越小，正斜率越陡越大。由小到大是

L_{2} < L_{1} < L_{4} < L_{3}

。

第 3 題把

L_{1}

向右平移

h

個單位，方程式中的

x

換成

x - h

：

y = - 3 (x - h) = - 3 x + 3 h

。要與

L_{2}

：

y = - 3 x + 2

重合，需

3 h = 2

，所以

h = \frac{2}{3}

。

也可以看

x

截距：

L_{1}

過

(0, 0)

，

L_{2}

與

x

軸交於

(\frac{2}{3}, 0)

，兩直線平行，向右移

\frac{2}{3}

剛好疊上。向右移

h

是把

x

換成

x - h

，不是

x + h

。

第 4 題

B C

邊上的高是過

A

、且垂直於

B C

的直線。

B C

的斜率

= \frac{14 - 6}{- 4 - 4} = \frac{8}{- 8} = - 1

，所以高的斜率

= 1

（兩斜率相乘

= - 1

）。過

A (1, 2)

：

y - 2 = 1 \cdot (x - 1)

，整理得

x - y + 1 = 0

。

垂直的兩直線斜率相乘為

- 1

；「在直線上」的分點要同時考慮內分與外分。

02卷面第 5～7 題（第 5～8 題）：對稱點、平行線距離與三角形內部

第 5 題

A

關於點

M (2, 3)

的對稱點

A^{'}

，使

M

是

\overline{A A^{'}}

的中點：

A^{'} = 2 M - A = (4 - 4, 6 - 9) = (0, - 3)

。

第 6 題

設對稱點 $A^{'} (a, b)$ 。 $\overline{A A^{'}}$ 要垂直於 $x + y = 0$ （斜率 $- 1$ ），所以 $\overline{A A^{'}}$ 的斜率為 $1$ ： $b - 9 = a - 4$ 。 $\overline{A A^{'}}$ 的中點 $(\frac{a + 4}{2}, \frac{b + 9}{2})$ 要在 $x + y = 0$ 上： $a + 4 + b + 9 = 0$ 。

解聯立： $b = a + 5$ 代入得 $2 a + 18 = 0$ ， $a = - 9$ ， $b = - 4$ 。所以對稱點是 $(- 9, - 4)$ 。

對直線

x + y = 0

（即

y = - x

）的對稱，就是把

(x, y)

變成

(- y, - x)

：

(4, 9) \to (- 9, - 4)

，可以拿來驗算。

第 7 題先把

L

的係數化成與

M

相同：

L

乘以

2

得

10 x - 24 y + 6 = 0

。兩直線係數相同，互相平行，距離為

\frac{∣6 - 5∣}{1 0 ^{2} + ( - 24 ) ^{2}} = \frac{1}{676} = \frac{1}{26}

平行線距離公式

\frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

要先把兩式的

x

、

y

係數調成一樣；直接拿

3

和

5

相減會錯。

第 8 題

先求三邊所在直線，再看三角形內部在每條直線的哪一側（用不在那條邊上的第三個頂點代入判斷）。

$B C$ ：斜率 $\frac{- 3 - ( - 1 )}{0 - ( - 3 )} = - \frac{2}{3}$ ，過 $C (0, - 3)$ ： $y = - \frac{2}{3} x - 3$ ，即 $2 x + 3 y + 9 = 0$ 。代入 $A (4, 5)$ ： $8 + 15 + 9 = 32 > 0$ ，所以內部滿足 $2 x + 3 y + 9 > 0$ 。

$C A$ ：斜率 $\frac{5 - ( - 3 )}{4 - 0} = 2$ ，過 $C$ ： $y = 2 x - 3$ ，即 $2 x - y - 3 = 0$ 。代入 $B (- 3, - 1)$ ： $- 6 + 1 - 3 = - 8 < 0$ ，所以內部滿足 $2 x - y - 3 < 0$ 。

$A B$ ：斜率 $\frac{5 - ( - 1 )}{4 - ( - 3 )} = \frac{6}{7}$ ，過 $A$ ： $7 (y - 5) = 6 (x - 4)$ ，即 $6 x - 7 y + 11 = 0$ 。代入 $C (0, - 3)$ ： $0 + 21 + 11 = 32 > 0$ ，所以內部滿足 $6 x - 7 y + 11 > 0$ 。

三個不等式聯立就是 $△ A B C$ 的內部；不含邊界，所以都用嚴格不等號。

內部的點和第三個頂點在同一側，代入後的正負號相同。若含邊界，三個不等號都要改成含等號。

對稱點：中點在對稱軸上、連線垂直對稱軸；三角形內部：每條邊各寫一條不等式，用對面頂點代入定方向。

03卷面第 8、9 題（第 9、10 題）：反射路徑與直線和線段相交

第 9 題

把兩次反射「攤平」成一條直線。母球先撞上緣 $y = 5$ （點 $C$ ），再撞下緣 $x$ 軸（點 $D$ ），最後到 $B$ 。

$A (3, 1)$ 對 $y = 5$ 的對稱點 $A^{'} (3, 9)$ ； $B (7, 3)$ 對 $x$ 軸的對稱點 $B^{'} (7, - 3)$ 。依反射時入射角等於反射角， $\overline{A C} = \overline{A^{'} C}$ 、 $\overline{D B} = \overline{D B^{'}}$ ，而且 $A^{'}$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $B^{'}$ 在同一直線上，所以路徑長 $\overline{A C} + \overline{C D} + \overline{D B} = \overline{A^{'} B^{'}} = (7 - 3)^{2} + (- 3 - 9)^{2} = 160 = 410$

直線

A^{'} B^{'}

的斜率是

- 3

，與

y = 5

交於

C (\frac{13}{3}, 5)

、與

x

軸交於

D (6, 0)

，兩點都在球檯邊上，路徑確實存在。只對稱一個點會得到撞一次邊的路徑，撞兩次要兩端各對稱一次。

第 10 題

令 $f (x, y) = k x - 3 y + 5$ 。直線與 $\overline{A B}$ 相交，表示 $A$ 、 $B$ 不在直線的同一側（或至少有一點在直線上），即 $f (A) \cdot f (B) \leq 0$ 。

$f (A) = - 3 k - 3 + 5 = 2 - 3 k$ ， $f (B) = 2 k - 15 + 5 = 2 k - 10$ 。

$(2 - 3 k) (2 k - 10) \leq 0$ ，兩邊同除以 $- 2$ （不等號反向）： $(3 k - 2) (k - 5) \geq 0$ ，所以 $k \geq 5$ 或 $k \leq \frac{2}{3}$ 。

另一種看法：直線

k x - 3 y + 5 = 0

恆過

P (0, \frac{5}{3})

，斜率為

\frac{k}{3}

。

P A

斜率

\frac{2}{9}

、

P B

斜率

\frac{5}{3}

，直線要轉到線段

A B

上需斜率

\frac{k}{3} \geq \frac{5}{3}

或

\frac{k}{3} \leq \frac{2}{9}

（中間經過鉛直方向），一樣得

k \geq 5

或

k \leq \frac{2}{3}

。端點也算相交，所以含等號。

光線反射求最短路徑：對反射邊作對稱點化成直線；直線與線段相交：兩端點代入直線式，乘積小於或等於

0

。

04卷面第 10、11 題（第 11～13 題）：圓的一般式

第 11 題配方：

x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y = - 1

，

(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) = - 1 + 1 + 4

，即

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4

。所以圓心是

(1, - 2)

。

第 12 題由上一格的

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4 = 2^{2}

，半徑是

2

。

配方時左邊加了

1

和

4

，右邊也要加；常數

+ 1

移到右邊變

- 1

。

第 13 題配方：

(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} - 8 y + 16) = - 25 + 9 + 16

，即

(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 0

。兩個平方數相加為

0

，只能

x - 3 = 0

且

y - 4 = 0

，所以圖形只有一點

(3, 4)

。

配方後右邊為正是圓、為

0

是一點、為負則沒有圖形。

一般式

x^{2} + y^{2} + d x + ey + f = 0

先配方，看右邊的正負決定是圓、一點或沒有圖形。

05卷面第 12、13 題（第 14～17 題）：切線與弦長

第 14 題

圓心 $O (- 1, 2)$ ，半徑 $5$ 。 $(- 4, 6)$ 代入： $(- 4 + 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ ，點在圓上，切線只有一條，且垂直於半徑。

半徑方向 $(- 4 - (- 1), 6 - 2) = (- 3, 4)$ ，斜率 $- \frac{4}{3}$ ，切線斜率 $\frac{3}{4}$ 。過 $(- 4, 6)$ ： $y - 6 = \frac{3}{4} (x + 4)$ ，整理得 $4 y - 24 = 3 x + 12$ ，即 $3 x - 4 y + 36 = 0$ 。

第 15 題

$(4, 8)$ 代入： $(4 + 1)^{2} + (8 - 2)^{2} = 25 + 36 = 61 > 25$ ，點在圓外，有兩條切線。切線的條件是圓心到切線的距離等於半徑 $5$ 。

鉛直線 $x = 4$ ：圓心 $(- 1, 2)$ 到它的距離 $∣4 - (- 1) ∣ = 5$ ，是切線。

其他切線設為 $y - 8 = m (x - 4)$ ，即 $m x - y + 8 - 4 m = 0$ 。圓心到它的距離 $\frac{∣ - m - 2 + 8 - 4 m ∣}{m ^{2} + 1} = \frac{∣6 - 5 m ∣}{m ^{2} + 1} = 5$ 平方： $36 - 60 m + 25 m^{2} = 25 m^{2} + 25$ ，得 $60 m = 11$ ， $m = \frac{11}{60}$ 。切線 $y - 8 = \frac{11}{60} (x - 4)$ ，乘以 $60$ 整理得 $11 x - 60 y + 436 = 0$ 。

所以切線為 $x = 4$ 或 $11 x - 60 y + 436 = 0$ 。

用斜率

m

設切線，算出來只有一個

m

，表示另一條是斜率不存在的鉛直線，一定要補上

x = 4

。

第 16 題

(2, 1)

代入：

(2 + 1)^{2} + (1 - 2)^{2} = 9 + 1 = 10 < 25

，點在圓內。過圓內一點的直線都會穿過圓、與圓交於兩點，不會只碰到一點，所以切線不存在。

第 17 題圓心

(- 1, 2)

，半徑

4

。圓心到

L

：

3 x + 4 y - 15 = 0

的距離（弦心距）

d = \frac{∣3 ( - 1 ) + 4 ( 2 ) - 15∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{∣ - 10∣}{5} = 2

弦心距垂直平分弦，由畢氏定理，半弦長

= 4^{2} - 2^{2} = 12 = 23

，所以

\overline{P Q} = 2 \times 23 = 43

。

求切線先判斷點在圓上、圓外或圓內；圓外一點有兩條切線，算出一個斜率時別忘了鉛直線。弦長＝

2 r^{2} - d^{2}

。

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《直線與圓》單元冊 02・高一上

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卷面第 1 題點 P 在直線 AB 上，內分點與外分點兩個都要寫，全對才給分；卷面第 9 題要用兩端點代入直線式的乘積判斷，端點也算相交；卷面第 12(2) 題過圓外一點的切線，用斜率設只解出一條，另一條是鉛直線 x=4，容易漏掉。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係）

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數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

填充題：※得分依所附計分表給分

已知坐標平面上兩點

A (- 2, 7)

、

B (16, - 2)

，若點

P

在直線

A B

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 4 : 5

，求

P

點坐標。答：____。（全對才給分）

下列各直線（

L_{1}

，

L_{2}

，

L_{3}

，

L_{4}

），哪條斜率最小：答：____。

載入中...

已知兩直線

L_{1}

：

y = - 3 x

，

L_{2}

：

y = - 3 x + 2

，則將

L_{1}

向右平移 ____ 個單位後為

L_{2}

所在位置。

坐標平面上，已知

△ A B C

的三頂點坐標為

A (1, 2)

、

B (4, 6)

、

C (- 4, 14)

，求：

B C

邊上的高所在之直線方程式。答：____。

卷面第 5 題（第 5～6 題）　試求

A (4, 9)

關於

(1)

(2, 3)

的對稱點為何。答：____。

(2)

x + y = 0

的對稱點為何。答：____。

坐標平面上，已知兩直線

L

：

5 x - 12 y + 3 = 0

，

M

：

10 x - 24 y + 5 = 0

，求：此兩直線的距離。答：____。

坐標平面上，已知三點

A (4, 5)

、

B (- 3, - 1)

、

C (0, - 3)

，請以聯立不等式表示

△ A B C

的內部。（不含邊界）答：____

如圖所示，某人在撞球檯邊，想將在

A

位置的母球經由兩次反射擊中

B

位置的色球。為了方便分析，他設立一個直角坐標系，原點在左下角的

O

點，直線

O D

為

x

軸，若點

A

的坐標為

(3, 1)

、點

B

的坐標為

(7, 3)

，球桌上緣方程式為

y = 5

，求母球自

A

經由

C

、

D

到

B

的路徑長。答：____。

載入中...

坐標平面上，已知兩點

A (- 3, 1)

，

B (2, 5)

，若直線

k x - 3 y + 5 = 0

與

\overline{A B}

相交，求實數

k

的範圍。答：____。

卷面第 10 題（第 11～12 題）　圓

C

：

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0

的

(1) 圓心坐標為 ____。

(2) 半徑為 ____。

x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 25 = 0

的圖形為 ____。

卷面第 12 題（第 14～16 題）　試求圓

C

：

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25

過下列各點的切線方程式

(1)

(- 4, 6)

。答：____。

(2)

(4, 8)

。答：____。

(3)

(2, 1)

。答：____。

已知直線

L

：

3 x + 4 y = 15

與圓

Γ

：

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 16

相交於

P

、

Q

兩點，求

\overline{P Q}

的長度。答：____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

(6, 3)

或

(- 74, 43)

第 2 題

L_{2}

第 3 題

\frac{2}{3}

第 4 題

x - y + 1 = 0

第 5 題

(0, - 3)

第 6 題

(- 9, - 4)

第 7 題

\frac{1}{26}

第 8 題

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 y + 9 > 0 2 x - y - 3 < 0 6 x - 7 y + 11 > 0

第 9 題

410

第 10 題

k \geq 5

或

k \leq \frac{2}{3}

第 11 題

(1, - 2)

第 12 題

2

第 13 題一點

(3, 4)

第 14 題

3 x - 4 y + 36 = 0

第 15 題

x = 4

或

11 x - 60 y + 436 = 0

第 16 題不存在

第 17 題

43

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01卷面第 1～4 題（第 1～4 題）：分點、斜率、平移與高

第 1 題

$P$ 在直線 $A B$ 上，可能在線段 $A B$ 上（內分），也可能在線段外（外分），兩種都要找。

內分： $P$ 把 $\overline{A B}$ 分成 $4 : 5$ ， $P = \frac{5 A + 4 B}{9} = (\frac{5 ( - 2 ) + 4 ( 16 )}{9}, \frac{5 ( 7 ) + 4 ( - 2 )}{9}) = (\frac{54}{9}, \frac{27}{9}) = (6, 3)$ 。

所以 $P = (6, 3)$ 或 $(- 74, 43)$ 。

題目說「在直線

A B

上」而不是「在線段

A B

上」，外分點也算；卷面註明全對才給分，只寫一個不給分。驗算：

(- 74, 43)

到

A

的距離是

7 2^{2} + 3 6^{2} = 365

，到

B

是

9 0^{2} + 4 5^{2} = 455

，比為

4 : 5

。

第 2 題斜率是「往右走一格，往上升多少」。往右上升的

L_{3}

、

L_{4}

斜率是正的；往右下降的

L_{1}

、

L_{2}

斜率是負的，所以最小的在

L_{1}

、

L_{2}

之中。兩條都往右下降，

L_{2}

比

L_{1}

陡得多，同樣往右走一格，

L_{2}

下降得比較多，斜率是絕對值較大的負數，所以斜率最小的是

L_{2}

。

負斜率越陡越小，正斜率越陡越大。由小到大是

L_{2} < L_{1} < L_{4} < L_{3}

。

第 3 題把

L_{1}

向右平移

h

個單位，方程式中的

x

換成

x - h

：

y = - 3 (x - h) = - 3 x + 3 h

。要與

L_{2}

：

y = - 3 x + 2

重合，需

3 h = 2

，所以

h = \frac{2}{3}

。

也可以看

x

截距：

L_{1}

過

(0, 0)

，

L_{2}

與

x

軸交於

(\frac{2}{3}, 0)

，兩直線平行，向右移

\frac{2}{3}

剛好疊上。向右移

h

是把

x

換成

x - h

，不是

x + h

。

第 4 題

B C

邊上的高是過

A

、且垂直於

B C

的直線。

B C

的斜率

= \frac{14 - 6}{- 4 - 4} = \frac{8}{- 8} = - 1

，所以高的斜率

= 1

（兩斜率相乘

= - 1

）。過

A (1, 2)

：

y - 2 = 1 \cdot (x - 1)

，整理得

x - y + 1 = 0

。

垂直的兩直線斜率相乘為

- 1

；「在直線上」的分點要同時考慮內分與外分。

02卷面第 5～7 題（第 5～8 題）：對稱點、平行線距離與三角形內部

第 5 題

A

關於點

M (2, 3)

的對稱點

A^{'}

，使

M

是

\overline{A A^{'}}

的中點：

A^{'} = 2 M - A = (4 - 4, 6 - 9) = (0, - 3)

。

第 6 題

解聯立： $b = a + 5$ 代入得 $2 a + 18 = 0$ ， $a = - 9$ ， $b = - 4$ 。所以對稱點是 $(- 9, - 4)$ 。

對直線

x + y = 0

（即

y = - x

）的對稱，就是把

(x, y)

變成

(- y, - x)

：

(4, 9) \to (- 9, - 4)

，可以拿來驗算。

第 7 題先把

L

的係數化成與

M

相同：

L

乘以

2

得

10 x - 24 y + 6 = 0

。兩直線係數相同，互相平行，距離為

\frac{∣6 - 5∣}{1 0 ^{2} + ( - 24 ) ^{2}} = \frac{1}{676} = \frac{1}{26}

平行線距離公式

\frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

要先把兩式的

x

、

y

係數調成一樣；直接拿

3

和

5

相減會錯。

第 8 題

先求三邊所在直線，再看三角形內部在每條直線的哪一側（用不在那條邊上的第三個頂點代入判斷）。

$C A$ ：斜率 $\frac{5 - ( - 3 )}{4 - 0} = 2$ ，過 $C$ ： $y = 2 x - 3$ ，即 $2 x - y - 3 = 0$ 。代入 $B (- 3, - 1)$ ： $- 6 + 1 - 3 = - 8 < 0$ ，所以內部滿足 $2 x - y - 3 < 0$ 。

三個不等式聯立就是 $△ A B C$ 的內部；不含邊界，所以都用嚴格不等號。

內部的點和第三個頂點在同一側，代入後的正負號相同。若含邊界，三個不等號都要改成含等號。

對稱點：中點在對稱軸上、連線垂直對稱軸；三角形內部：每條邊各寫一條不等式，用對面頂點代入定方向。

03卷面第 8、9 題（第 9、10 題）：反射路徑與直線和線段相交

第 9 題

把兩次反射「攤平」成一條直線。母球先撞上緣 $y = 5$ （點 $C$ ），再撞下緣 $x$ 軸（點 $D$ ），最後到 $B$ 。

直線

A^{'} B^{'}

的斜率是

- 3

，與

y = 5

交於

C (\frac{13}{3}, 5)

、與

x

軸交於

D (6, 0)

，兩點都在球檯邊上，路徑確實存在。只對稱一個點會得到撞一次邊的路徑，撞兩次要兩端各對稱一次。

第 10 題

令 $f (x, y) = k x - 3 y + 5$ 。直線與 $\overline{A B}$ 相交，表示 $A$ 、 $B$ 不在直線的同一側（或至少有一點在直線上），即 $f (A) \cdot f (B) \leq 0$ 。

$f (A) = - 3 k - 3 + 5 = 2 - 3 k$ ， $f (B) = 2 k - 15 + 5 = 2 k - 10$ 。

$(2 - 3 k) (2 k - 10) \leq 0$ ，兩邊同除以 $- 2$ （不等號反向）： $(3 k - 2) (k - 5) \geq 0$ ，所以 $k \geq 5$ 或 $k \leq \frac{2}{3}$ 。

另一種看法：直線

k x - 3 y + 5 = 0

恆過

P (0, \frac{5}{3})

，斜率為

\frac{k}{3}

。

P A

斜率

\frac{2}{9}

、

P B

斜率

\frac{5}{3}

，直線要轉到線段

A B

上需斜率

\frac{k}{3} \geq \frac{5}{3}

或

\frac{k}{3} \leq \frac{2}{9}

（中間經過鉛直方向），一樣得

k \geq 5

或

k \leq \frac{2}{3}

。端點也算相交，所以含等號。

光線反射求最短路徑：對反射邊作對稱點化成直線；直線與線段相交：兩端點代入直線式，乘積小於或等於

0

。

04卷面第 10、11 題（第 11～13 題）：圓的一般式

第 11 題配方：

x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y = - 1

，

(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) = - 1 + 1 + 4

，即

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4

。所以圓心是

(1, - 2)

。

第 12 題由上一格的

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4 = 2^{2}

，半徑是

2

。

配方時左邊加了

1

和

4

，右邊也要加；常數

+ 1

移到右邊變

- 1

。

第 13 題配方：

(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} - 8 y + 16) = - 25 + 9 + 16

，即

(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 0

。兩個平方數相加為

0

，只能

x - 3 = 0

且

y - 4 = 0

，所以圖形只有一點

(3, 4)

。

配方後右邊為正是圓、為

0

是一點、為負則沒有圖形。

一般式

x^{2} + y^{2} + d x + ey + f = 0

先配方，看右邊的正負決定是圓、一點或沒有圖形。

05卷面第 12、13 題（第 14～17 題）：切線與弦長

第 14 題

圓心 $O (- 1, 2)$ ，半徑 $5$ 。 $(- 4, 6)$ 代入： $(- 4 + 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ ，點在圓上，切線只有一條，且垂直於半徑。

第 15 題

$(4, 8)$ 代入： $(4 + 1)^{2} + (8 - 2)^{2} = 25 + 36 = 61 > 25$ ，點在圓外，有兩條切線。切線的條件是圓心到切線的距離等於半徑 $5$ 。

鉛直線 $x = 4$ ：圓心 $(- 1, 2)$ 到它的距離 $∣4 - (- 1) ∣ = 5$ ，是切線。

所以切線為 $x = 4$ 或 $11 x - 60 y + 436 = 0$ 。

用斜率

m

設切線，算出來只有一個

m

，表示另一條是斜率不存在的鉛直線，一定要補上

x = 4

。

第 16 題

(2, 1)

代入：

(2 + 1)^{2} + (1 - 2)^{2} = 9 + 1 = 10 < 25

，點在圓內。過圓內一點的直線都會穿過圓、與圓交於兩點，不會只碰到一點，所以切線不存在。

第 17 題圓心

(- 1, 2)

，半徑

4

。圓心到

L

：

3 x + 4 y - 15 = 0

的距離（弦心距）

d = \frac{∣3 ( - 1 ) + 4 ( 2 ) - 15∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{∣ - 10∣}{5} = 2

弦心距垂直平分弦，由畢氏定理，半弦長

= 4^{2} - 2^{2} = 12 = 23

，所以

\overline{P Q} = 2 \times 23 = 43

。

求切線先判斷點在圓上、圓外或圓內；圓外一點有兩條切線，算出一個斜率時別忘了鉛直線。弦長＝

2 r^{2} - d^{2}

。

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《直線與圓》單元冊 02・高一上

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