段考詳解範圍：指數與對數（指數律、指數函數與圖形、對數與對數律、對數函數與圖形、指數與對數的應用）

小港高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題 13 題共 18 格（第 1 題 4 格、第 2 題與第 5 題各 2 格），本頁第 1～18 題依序為卷面填充第 1(1)～1(4)、2(1)、2(2)、3、4、5(1)、5(2)、6～13 題。按配分表計分，答對格數 1 到 18 格的得分依序為 8、16、24、32、40、47、54、60、66、71、76、80、84、88、91、94、97、100。答案已與學校公布的答案逐題核對，18 格全部相同。

填充題：(18 格，計分：如配分表)

填充第 1 題（第 1～4 題）（第 1～4 題）　解下列各方程式：

(1)

4^{x + \frac{3}{2}} + 15 \cdot 2^{x} - 2 = 0

，

x =

____。

(2)

3^{x + 1} - 6 \cdot 3^{x - 1} - 4 \cdot 3^{x - 2} = \frac{10}{9}

，

x =

____。

(3)

\frac{2}{lo g x} = 3 lo g x + 5

，

x =

____。

(4)

lo g x + lo g (x - 3) = 1

，

x =

____。

填充第 2 題（第 5～6 題）（第 5～6 題）　求下列各式的值：

(1)

lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{9} + lo g_{4} 1 + lo g_{5} 55 =

____。

(2)

lo g \frac{8}{21} + 2 lo g \frac{35}{3} - lo g 14 + lo g 27 =

____。

設

a = 2^{\frac{1}{3}}

，

b = (\frac{1}{8})^{- 2}

，

c = 2^{- \frac{1}{4}}

，

d = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}

，

e = 8^{- \frac{1}{3}}

，則

a, b, c, d, e

之大小順序為（由大而小排列）____。

已知

a, b, c, d

均大於

0

，若指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

，

y = d^{x}

如圖所示，則

a, b, c, d

之大小順序為（由大而小排列）____。

載入中...

填充第 5 題（第 9～10 題）（第 9～10 題）　求下列各不等式：

(1)

27 \cdot (\frac{2}{3})^{x^{2}} > 8 \cdot (\frac{3}{2})^{2 x}

，

x

的範圍為 ____。

(2)

lo g (x + 3) < 1

，

x

的範圍為 ____。

設

a = lo g 5

，

b = 2 lo g 2

，

c = lo g 2 + lo g 3

，

d = \frac{1}{2} lo g 9

，

e = 1

，則

a, b, c, d, e

之大小順序為（由大而小排列）____。

已知

x \cdot y \neq = 0

，設

\frac{lo g 32}{x} = \frac{lo g 2 ^{3 y} - 6 lo g 2}{y}

且

2 7^{x} \cdot 3^{15 y} = 8 1^{x y}

，則

(x, y) =

____。

下圖為

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

的圖形，則

a

、

b

、

c

三數中有 ____ 個大於

0

。

載入中...

下列選項哪些是正確的？(多選) (A)

lo g_{7} 7 = 1

(B)

lo g 2 + lo g 4 = lo g 6

(C)

lo g 17 - lo g 13 = \frac{lo g 17}{lo g 13}

(D)

lo g 5 \cdot lo g 7 = lo g 35

(E)

lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3

科學家們利用芮氏規模

r

來度量地震的強度，而

I

為地震時所釋放的相對能量強度，芮氏規模

r

之定義為

r = lo g I

，1999 年臺灣發生兩次大地震，9 月 21 日的集集大地震是芮氏規模

7.3

．10 月 22 日嘉義大地震是芮氏規模

6.4

．就釋放出的相對能量強度而言，集集大地震為嘉義大地震的 ____ 倍。

橘子公司推出新款愛瘋智慧型手機，售價

30000

元，阿忠為了要買新款手機，靠著每天中午到福利社工讀，終於賺到

3000

元。已知起瘋銀行提供了一項月利率

10%

，每月複利計息一次的學生優惠儲蓄專案。若阿忠將

3000

元投入此儲蓄專案，則至少經過 ____ 個月，阿忠才能買得起此款售價

30000

元的愛瘋手機。(已知

lo g 1.1 \approx 0.041

)

游泳訓練機構統計發現，經過

x

小時的訓練，學員掌握自由式游泳技巧的「能力分數」為函數

f (x) = 100 (1 - a^{x})

，其中

a

是常數。下圖是

y = f (x)

的部分圖形，當能力分數為

75

時，表示此學員可以游完

100

公尺的距離，試問：一名學員應該接受 ____ 小時的訓練，才能游完

100

公尺。

載入中...

音量

s

(分貝)與聲音強度

w

(瓦特)的關係為

s = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

且已知

lo g 2 \approx 0.3010

。在中華職棒季後賽猿龍大賽上，湧進萬人以上球迷，若一支口吹喇叭獨鳴，測得的音量為

60

分貝，則 2 千支口吹喇叭同時同地合鳴，則被測得的音量大約為 ____ 分貝。(四捨五入至整數位)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

- 3

第 2 題

lo g_{3} 2

第 3 題

1 0^{\frac{1}{3}}

或

1 0^{- 2}

第 4 題

5

第 5 題

\frac{5}{2}

第 6 題

2

第 7 題

b > a > c > d > e

第 8 題

c > d > a > b

第 9 題

- 3 < x < 1

第 10 題

- 3 < x < 7

第 11 題

e > c > a > b > d

第 12 題

(5, 3)

第 13 題

1

第 14 題(A)(E)

第 15 題

1 0^{0.9}

第 16 題

25

第 17 題

32

第 18 題

93

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1 題（第 1～4 題）：指數方程式與對數方程式

第 1 題

4^{x + \frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} \cdot 4^{x} = 8 \cdot (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

8 t^{2} + 15 t - 2 = 0

，分解成

(8 t - 1) (t + 2) = 0

，得

t = \frac{1}{8}

或

t = - 2

。

t > 0

，所以

2^{x} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

，

x = - 3

。

第 2 題三項都提出

3^{x - 2}

：

3^{x + 1} = 27 \cdot 3^{x - 2}

，

6 \cdot 3^{x - 1} = 18 \cdot 3^{x - 2}

。左邊

= (27 - 18 - 4) \cdot 3^{x - 2} = 5 \cdot 3^{x - 2}

。由

5 \cdot 3^{x - 2} = \frac{10}{9}

得

3^{x - 2} = \frac{2}{9}

，也就是

\frac{3 ^{x}}{9} = \frac{2}{9}

，

3^{x} = 2

，所以

x = lo g_{3} 2

。

第 3 題真數

x > 0

，且分母

lo g x \neq = 0

。令

t = lo g x

，兩邊乘

t

：

2 = 3 t^{2} + 5 t

，即

3 t^{2} + 5 t - 2 = 0

，分解成

(3 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{3}

或

t = - 2

，兩個都不是

0

。所以

x = 1 0^{\frac{1}{3}}

或

x = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。

第 4 題先看真數：

x > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。對數律：

lo g x + lo g (x - 3) = lo g (x (x - 3)) = 1 = lo g 10

，得

x (x - 3) = 10

，

x^{2} - 3 x - 10 = 0

，

(x - 5) (x + 2) = 0

。

x = - 2

不合

x > 3

，所以

x = 5

。

代回：

lo g 5 + lo g 2 = lo g 10 = 1

，成立。

指數方程式先找共同的「

2^{x}

」或「

3^{x - 2}

」換元或提出；對數方程式先寫真數的限制，最後一定回頭刪掉不合的根。

02填充第 2 題（第 5～6 題）：對數求值

第 5 題

lo g_{2} 8 = 3

；

lo g_{3} \frac{1}{9} = lo g_{3} 3^{- 2} = - 2

；

lo g_{4} 1 = 0

；

55 = 5^{\frac{3}{2}}

，

lo g_{5} 55 = \frac{3}{2}

。相加：

3 - 2 + 0 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

。

第 6 題用對數律合成一個對數：

lo g (\frac{8}{21} \times (\frac{35}{3})^{2} \div 14 \times 27)

。裡面

= \frac{8 \times 1225 \times 27}{21 \times 9 \times 14}

；

21 \times 14 = 294

，

\frac{1225}{294} = \frac{25}{6}

，所以裡面

= 8 \times \frac{25}{6} \times 3 = 100

。原式

= lo g 100 = 2

。

03填充第 3～4 題（第 7～8 題）：比較指數的大小、由圖形判斷底數

第 7 題全部化成以

2

為底：

a = 2^{\frac{1}{3}}

；

b = (2^{- 3})^{- 2} = 2^{6}

；

c = 2^{- \frac{1}{4}}

；

d = (2^{- 1})^{\frac{1}{2}} = 2^{- \frac{1}{2}}

；

e = (2^{3})^{- \frac{1}{3}} = 2^{- 1}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

遞增，指數越大值越大。指數由大到小：

6 > \frac{1}{3} > - \frac{1}{4} > - \frac{1}{2} > - 1

，所以

b > a > c > d > e

。

第 8 題

y = k^{x}

的圖形都過

(0, 1)

，代

x = 1

得到的高度就是底數

k

，代

x = - 1

得到

\frac{1}{k}

。遞增的兩條（

c^{x}

、

d^{x}

）底數大於

1

；在

x > 0

那一側，

y = c^{x}

比

y = d^{x}

高，所以

c > d > 1

。遞減的兩條（

a^{x}

、

b^{x}

）底數介於

0

與

1

之間；在

x < 0

那一側，

y = b^{x}

比

y = a^{x}

高，即

\frac{1}{b} > \frac{1}{a} > 1

，所以

b < a < 1

。合起來

c > d > a > b

。

同在

x < 0

那一側，越高的遞減曲線底數越小（越靠近

0

）；同在

x > 0

那一側，越高的遞增曲線底數越大。

比較指數先化成同一個底數再比指數；看圖比較底數時，遞增的看

x > 0

那一側，遞減的看

x < 0

那一側。

04填充第 5～6 題（第 9～11 題）：指數與對數不等式、比較對數的大小

第 9 題

(\frac{3}{2})^{2 x} = (\frac{2}{3})^{- 2 x}

。兩邊除以

8 \cdot (\frac{2}{3})^{- 2 x}

（正數，不等號不變）：

\frac{27}{8} \cdot (\frac{2}{3})^{x^{2} + 2 x} > 1

，即

(\frac{2}{3})^{x^{2} + 2 x} > \frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

。底數

\frac{2}{3}

介於

0

與

1

之間，

y = (\frac{2}{3})^{x}

遞減，不等號要反向：

x^{2} + 2 x < 3

，

x^{2} + 2 x - 3 < 0

，

(x + 3) (x - 1) < 0

，所以

- 3 < x < 1

。

第 10 題真數

x + 3 > 0

。

1 = lo g 10

，

y = lo g x

遞增，所以

lo g (x + 3) < lo g 10

等價於

x + 3 < 10

。合起來

0 < x + 3 < 10

，即

- 3 < x < 7

。

第 11 題都寫成一個常用對數：

a = lo g 5

；

b = lo g 2^{2} = lo g 4

；

c = lo g (2 \times 3) = lo g 6

；

d = lo g 9^{\frac{1}{2}} = lo g 3

；

e = 1 = lo g 10

。

y = lo g x

遞增，真數越大值越大：

10 > 6 > 5 > 4 > 3

，所以

e > c > a > b > d

。

底數小於

1

的指數不等式，比較指數時不等號要反向；對數不等式除了比真數，還要加上真數大於

0

。

05填充第 7～9 題（第 12～14 題）：聯立方程式、對數圖形、對數律

第 12 題第一式：

lo g 32 = 5 lo g 2

，

lo g 2^{3 y} - 6 lo g 2 = (3 y - 6) lo g 2

。兩邊約去

lo g 2

：

\frac{5}{x} = \frac{3 y - 6}{y}

，交叉相乘得

5 y = 3 x y - 6 x

，即

3 x y = 5 y + 6 x

①。第二式：

2 7^{x} \cdot 3^{15 y} = 3^{3 x + 15 y}

，

8 1^{x y} = 3^{4 x y}

，指數相等：

3 x + 15 y = 4 x y

②。由 ① 得

x y = \frac{5 y + 6 x}{3}

，代入 ②：

3 x + 15 y = \frac{4 ( 5 y + 6 x )}{3}

，

9 x + 45 y = 20 y + 24 x

，

25 y = 15 x

，

y = \frac{3}{5} x

。代回 ①：

3 x \cdot \frac{3}{5} x = 3 x + 6 x

，

\frac{9}{5} x^{2} = 9 x

，

x \neq = 0

，所以

x = 5

，

y = 3

。

代回：

\frac{5 lo g 2}{5} = lo g 2

，

\frac{( 9 - 6 ) lo g 2}{3} = lo g 2

；

3 \times 5 + 15 \times 3 = 60 = 4 \times 15

，兩式都成立。

第 13 題三條圖形都過

(1, 0)

。在

x > 1

時

lo g x > 0

，

y = k lo g x

的正負就和

k

相同。圖上

x > 1

那一側，標

y = a lo g x

的曲線在

x

軸上方，

a > 0

；標

y = b lo g x

、

y = c lo g x

的兩條在

x

軸下方，

b < 0

、

c < 0

。所以只有

1

個大於

0

。

x > 1

那一側

y = c lo g x

比

y = b lo g x

低，還可以看出

c < b < 0

。

第 14 題(A) 正確。 底數與真數相同，

7^{1} = 7

，所以

lo g_{7} 7 = 1

。(B) 錯誤。

lo g 2 + lo g 4 = lo g (2 \times 4) = lo g 8

，不是

lo g 6

。(C) 錯誤。

lo g 17 - lo g 13 = lo g \frac{17}{13}

，約

0.117

；

\frac{lo g 17}{lo g 13} = lo g_{13} 17

，大於

1

，兩者不相等。(D) 錯誤。

lo g 35 = lo g 5 + lo g 7

，是相加不是相乘；

lo g 5 \cdot lo g 7

約

0.59

，

lo g 35

約

1.54

。(E) 正確。 換底：

lo g_{4} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2}

；

lo g_{2} 3 = \frac{\frac{1}{2} lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2}

，兩者相等。答 (A)(E)。

對數律只有「對數相加＝真數相乘」「對數相減＝真數相除」，沒有把對數相乘或相除合併的公式；底數與真數同時開方或同時平方，對數值不變。

06填充第 10～13 題（第 15～18 題）：指數與對數的應用

第 15 題設集集與嘉義的相對能量強度分別是

I_{1}

、

I_{2}

。

lo g I_{1} = 7.3

，

lo g I_{2} = 6.4

，所以

lo g \frac{I _{1}}{I _{2}} = 7.3 - 6.4 = 0.9

，

\frac{I _{1}}{I _{2}} = 1 0^{0.9}

倍。

1 0^{0.9}

約為

7.94

。

第 16 題月利率

10%

、每月複利一次，

n

個月後本利和是

3000 \times 1. 1^{n}

元。要

3000 \times 1. 1^{n} \geq 30000

，即

1. 1^{n} \geq 10

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 \geq 1

，

n \geq \frac{1}{0.041} \approx 24.4

。

n

是整數，至少

25

個月。

檢查：

1. 1^{24}

約

9.85

，還不到

10

；

1. 1^{25}

約

10.83

，超過

10

。

第 17 題圖形過

(16, 50)

：

100 (1 - a^{16}) = 50

，所以

a^{16} = \frac{1}{2}

。能力分數為

75

時：

100 (1 - a^{x}) = 75

，

a^{x} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2} = (a^{16})^{2} = a^{32}

。由

a^{16} = \frac{1}{2}

知

0 < a < 1

，

y = a^{x}

是一對一的函數，所以

x = 32

小時。

分數從

0

到

50

用了

16

小時，從

50

到

75

又要

16

小時：每過

16

小時，離滿分

100

的差距就減半。

第 18 題一支喇叭：

10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 60

，

lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 6

，

w = 1 0^{6} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 6}

瓦特。

2000

支同時合鳴，聲音強度是

2000 \times 1 0^{- 6}

瓦特，音量

s = 10 lo g \frac{2000 \times 1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g (2 \times 1 0^{9}) = 10 \times (9 + lo g 2) \approx 10 \times 9.3010 = 93.01

，四捨五入為

93

分貝。

另一種看法：強度變成

2000

倍，音量增加

10 lo g 2000 = 10 \times 3.3010 \approx 33

分貝，

60 + 33 = 93

。

應用題的關鍵是把「倍數」寫成真數的比：規模、分貝相差多少，就是強度比的常用對數（分貝再乘

10

）相差多少。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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填充第 7 題（本頁第 12 題）要先把兩個條件都化成 x、y 的式子，消去 xy 後才看得出 y 與 x 的比；填充第 4 題（第 8 題）遞減的兩條要看 x 為負的那一側，比較陡的底數反而比較小；填充第 9 題（第 14 題）的 (E) 兩邊底數與真數都不同，要換底後才看得出相等；填充第 13 題（第 18 題）兩千支喇叭是強度變成兩千倍，不是音量變成兩千倍。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自小港高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數（指數律、指數函數與圖形、對數與對數律、對數函數與圖形、指數與對數的應用）

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題：(18 格，計分：如配分表)

填充第 1 題（第 1～4 題）（第 1～4 題）　解下列各方程式：

(1)

4^{x + \frac{3}{2}} + 15 \cdot 2^{x} - 2 = 0

，

x =

____。

(2)

3^{x + 1} - 6 \cdot 3^{x - 1} - 4 \cdot 3^{x - 2} = \frac{10}{9}

，

x =

____。

(3)

\frac{2}{lo g x} = 3 lo g x + 5

，

x =

____。

(4)

lo g x + lo g (x - 3) = 1

，

x =

____。

填充第 2 題（第 5～6 題）（第 5～6 題）　求下列各式的值：

(1)

lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{9} + lo g_{4} 1 + lo g_{5} 55 =

____。

(2)

lo g \frac{8}{21} + 2 lo g \frac{35}{3} - lo g 14 + lo g 27 =

____。

設

a = 2^{\frac{1}{3}}

，

b = (\frac{1}{8})^{- 2}

，

c = 2^{- \frac{1}{4}}

，

d = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}

，

e = 8^{- \frac{1}{3}}

，則

a, b, c, d, e

之大小順序為（由大而小排列）____。

已知

a, b, c, d

均大於

0

，若指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

，

y = d^{x}

如圖所示，則

a, b, c, d

之大小順序為（由大而小排列）____。

載入中...

填充第 5 題（第 9～10 題）（第 9～10 題）　求下列各不等式：

(1)

27 \cdot (\frac{2}{3})^{x^{2}} > 8 \cdot (\frac{3}{2})^{2 x}

，

x

的範圍為 ____。

(2)

lo g (x + 3) < 1

，

x

的範圍為 ____。

設

a = lo g 5

，

b = 2 lo g 2

，

c = lo g 2 + lo g 3

，

d = \frac{1}{2} lo g 9

，

e = 1

，則

a, b, c, d, e

之大小順序為（由大而小排列）____。

已知

x \cdot y \neq = 0

，設

\frac{lo g 32}{x} = \frac{lo g 2 ^{3 y} - 6 lo g 2}{y}

且

2 7^{x} \cdot 3^{15 y} = 8 1^{x y}

，則

(x, y) =

____。

下圖為

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

的圖形，則

a

、

b

、

c

三數中有 ____ 個大於

0

。

載入中...

下列選項哪些是正確的？(多選) (A)

lo g_{7} 7 = 1

(B)

lo g 2 + lo g 4 = lo g 6

(C)

lo g 17 - lo g 13 = \frac{lo g 17}{lo g 13}

(D)

lo g 5 \cdot lo g 7 = lo g 35

(E)

lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3

科學家們利用芮氏規模

r

來度量地震的強度，而

I

為地震時所釋放的相對能量強度，芮氏規模

r

之定義為

r = lo g I

，1999 年臺灣發生兩次大地震，9 月 21 日的集集大地震是芮氏規模

7.3

．10 月 22 日嘉義大地震是芮氏規模

6.4

．就釋放出的相對能量強度而言，集集大地震為嘉義大地震的 ____ 倍。

橘子公司推出新款愛瘋智慧型手機，售價

30000

元，阿忠為了要買新款手機，靠著每天中午到福利社工讀，終於賺到

3000

元。已知起瘋銀行提供了一項月利率

10%

，每月複利計息一次的學生優惠儲蓄專案。若阿忠將

3000

元投入此儲蓄專案，則至少經過 ____ 個月，阿忠才能買得起此款售價

30000

元的愛瘋手機。(已知

lo g 1.1 \approx 0.041

)

游泳訓練機構統計發現，經過

x

小時的訓練，學員掌握自由式游泳技巧的「能力分數」為函數

f (x) = 100 (1 - a^{x})

，其中

a

是常數。下圖是

y = f (x)

的部分圖形，當能力分數為

75

時，表示此學員可以游完

100

公尺的距離，試問：一名學員應該接受 ____ 小時的訓練，才能游完

100

公尺。

載入中...

音量

s

(分貝)與聲音強度

w

(瓦特)的關係為

s = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

且已知

lo g 2 \approx 0.3010

。在中華職棒季後賽猿龍大賽上，湧進萬人以上球迷，若一支口吹喇叭獨鳴，測得的音量為

60

分貝，則 2 千支口吹喇叭同時同地合鳴，則被測得的音量大約為 ____ 分貝。(四捨五入至整數位)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

- 3

第 2 題

lo g_{3} 2

第 3 題

1 0^{\frac{1}{3}}

或

1 0^{- 2}

第 4 題

5

第 5 題

\frac{5}{2}

第 6 題

2

第 7 題

b > a > c > d > e

第 8 題

c > d > a > b

第 9 題

- 3 < x < 1

第 10 題

- 3 < x < 7

第 11 題

e > c > a > b > d

第 12 題

(5, 3)

第 13 題

1

第 14 題(A)(E)

第 15 題

1 0^{0.9}

第 16 題

25

第 17 題

32

第 18 題

93

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1 題（第 1～4 題）：指數方程式與對數方程式

第 1 題

4^{x + \frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} \cdot 4^{x} = 8 \cdot (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

8 t^{2} + 15 t - 2 = 0

，分解成

(8 t - 1) (t + 2) = 0

，得

t = \frac{1}{8}

或

t = - 2

。

t > 0

，所以

2^{x} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

，

x = - 3

。

第 2 題三項都提出

3^{x - 2}

：

3^{x + 1} = 27 \cdot 3^{x - 2}

，

6 \cdot 3^{x - 1} = 18 \cdot 3^{x - 2}

。左邊

= (27 - 18 - 4) \cdot 3^{x - 2} = 5 \cdot 3^{x - 2}

。由

5 \cdot 3^{x - 2} = \frac{10}{9}

得

3^{x - 2} = \frac{2}{9}

，也就是

\frac{3 ^{x}}{9} = \frac{2}{9}

，

3^{x} = 2

，所以

x = lo g_{3} 2

。

第 3 題真數

x > 0

，且分母

lo g x \neq = 0

。令

t = lo g x

，兩邊乘

t

：

2 = 3 t^{2} + 5 t

，即

3 t^{2} + 5 t - 2 = 0

，分解成

(3 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{3}

或

t = - 2

，兩個都不是

0

。所以

x = 1 0^{\frac{1}{3}}

或

x = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。

第 4 題先看真數：

x > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。對數律：

lo g x + lo g (x - 3) = lo g (x (x - 3)) = 1 = lo g 10

，得

x (x - 3) = 10

，

x^{2} - 3 x - 10 = 0

，

(x - 5) (x + 2) = 0

。

x = - 2

不合

x > 3

，所以

x = 5

。

代回：

lo g 5 + lo g 2 = lo g 10 = 1

，成立。

指數方程式先找共同的「

2^{x}

」或「

3^{x - 2}

」換元或提出；對數方程式先寫真數的限制，最後一定回頭刪掉不合的根。

02填充第 2 題（第 5～6 題）：對數求值

第 5 題

lo g_{2} 8 = 3

；

lo g_{3} \frac{1}{9} = lo g_{3} 3^{- 2} = - 2

；

lo g_{4} 1 = 0

；

55 = 5^{\frac{3}{2}}

，

lo g_{5} 55 = \frac{3}{2}

。相加：

3 - 2 + 0 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

。

第 6 題用對數律合成一個對數：

lo g (\frac{8}{21} \times (\frac{35}{3})^{2} \div 14 \times 27)

。裡面

= \frac{8 \times 1225 \times 27}{21 \times 9 \times 14}

；

21 \times 14 = 294

，

\frac{1225}{294} = \frac{25}{6}

，所以裡面

= 8 \times \frac{25}{6} \times 3 = 100

。原式

= lo g 100 = 2

。

03填充第 3～4 題（第 7～8 題）：比較指數的大小、由圖形判斷底數

第 7 題全部化成以

2

為底：

a = 2^{\frac{1}{3}}

；

b = (2^{- 3})^{- 2} = 2^{6}

；

c = 2^{- \frac{1}{4}}

；

d = (2^{- 1})^{\frac{1}{2}} = 2^{- \frac{1}{2}}

；

e = (2^{3})^{- \frac{1}{3}} = 2^{- 1}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

遞增，指數越大值越大。指數由大到小：

6 > \frac{1}{3} > - \frac{1}{4} > - \frac{1}{2} > - 1

，所以

b > a > c > d > e

。

第 8 題

y = k^{x}

的圖形都過

(0, 1)

，代

x = 1

得到的高度就是底數

k

，代

x = - 1

得到

\frac{1}{k}

。遞增的兩條（

c^{x}

、

d^{x}

）底數大於

1

；在

x > 0

那一側，

y = c^{x}

比

y = d^{x}

高，所以

c > d > 1

。遞減的兩條（

a^{x}

、

b^{x}

）底數介於

0

與

1

之間；在

x < 0

那一側，

y = b^{x}

比

y = a^{x}

高，即

\frac{1}{b} > \frac{1}{a} > 1

，所以

b < a < 1

。合起來

c > d > a > b

。

同在

x < 0

那一側，越高的遞減曲線底數越小（越靠近

0

）；同在

x > 0

那一側，越高的遞增曲線底數越大。

比較指數先化成同一個底數再比指數；看圖比較底數時，遞增的看

x > 0

那一側，遞減的看

x < 0

那一側。

04填充第 5～6 題（第 9～11 題）：指數與對數不等式、比較對數的大小

第 9 題

(\frac{3}{2})^{2 x} = (\frac{2}{3})^{- 2 x}

。兩邊除以

8 \cdot (\frac{2}{3})^{- 2 x}

（正數，不等號不變）：

\frac{27}{8} \cdot (\frac{2}{3})^{x^{2} + 2 x} > 1

，即

(\frac{2}{3})^{x^{2} + 2 x} > \frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

。底數

\frac{2}{3}

介於

0

與

1

之間，

y = (\frac{2}{3})^{x}

遞減，不等號要反向：

x^{2} + 2 x < 3

，

x^{2} + 2 x - 3 < 0

，

(x + 3) (x - 1) < 0

，所以

- 3 < x < 1

。

第 10 題真數

x + 3 > 0

。

1 = lo g 10

，

y = lo g x

遞增，所以

lo g (x + 3) < lo g 10

等價於

x + 3 < 10

。合起來

0 < x + 3 < 10

，即

- 3 < x < 7

。

第 11 題都寫成一個常用對數：

a = lo g 5

；

b = lo g 2^{2} = lo g 4

；

c = lo g (2 \times 3) = lo g 6

；

d = lo g 9^{\frac{1}{2}} = lo g 3

；

e = 1 = lo g 10

。

y = lo g x

遞增，真數越大值越大：

10 > 6 > 5 > 4 > 3

，所以

e > c > a > b > d

。

底數小於

1

的指數不等式，比較指數時不等號要反向；對數不等式除了比真數，還要加上真數大於

0

。

05填充第 7～9 題（第 12～14 題）：聯立方程式、對數圖形、對數律

第 12 題第一式：

lo g 32 = 5 lo g 2

，

lo g 2^{3 y} - 6 lo g 2 = (3 y - 6) lo g 2

。兩邊約去

lo g 2

：

\frac{5}{x} = \frac{3 y - 6}{y}

，交叉相乘得

5 y = 3 x y - 6 x

，即

3 x y = 5 y + 6 x

①。第二式：

2 7^{x} \cdot 3^{15 y} = 3^{3 x + 15 y}

，

8 1^{x y} = 3^{4 x y}

，指數相等：

3 x + 15 y = 4 x y

②。由 ① 得

x y = \frac{5 y + 6 x}{3}

，代入 ②：

3 x + 15 y = \frac{4 ( 5 y + 6 x )}{3}

，

9 x + 45 y = 20 y + 24 x

，

25 y = 15 x

，

y = \frac{3}{5} x

。代回 ①：

3 x \cdot \frac{3}{5} x = 3 x + 6 x

，

\frac{9}{5} x^{2} = 9 x

，

x \neq = 0

，所以

x = 5

，

y = 3

。

代回：

\frac{5 lo g 2}{5} = lo g 2

，

\frac{( 9 - 6 ) lo g 2}{3} = lo g 2

；

3 \times 5 + 15 \times 3 = 60 = 4 \times 15

，兩式都成立。

第 13 題三條圖形都過

(1, 0)

。在

x > 1

時

lo g x > 0

，

y = k lo g x

的正負就和

k

相同。圖上

x > 1

那一側，標

y = a lo g x

的曲線在

x

軸上方，

a > 0

；標

y = b lo g x

、

y = c lo g x

的兩條在

x

軸下方，

b < 0

、

c < 0

。所以只有

1

個大於

0

。

x > 1

那一側

y = c lo g x

比

y = b lo g x

低，還可以看出

c < b < 0

。

第 14 題(A) 正確。 底數與真數相同，

7^{1} = 7

，所以

lo g_{7} 7 = 1

。(B) 錯誤。

lo g 2 + lo g 4 = lo g (2 \times 4) = lo g 8

，不是

lo g 6

。(C) 錯誤。

lo g 17 - lo g 13 = lo g \frac{17}{13}

，約

0.117

；

\frac{lo g 17}{lo g 13} = lo g_{13} 17

，大於

1

，兩者不相等。(D) 錯誤。

lo g 35 = lo g 5 + lo g 7

，是相加不是相乘；

lo g 5 \cdot lo g 7

約

0.59

，

lo g 35

約

1.54

。(E) 正確。 換底：

lo g_{4} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2}

；

lo g_{2} 3 = \frac{\frac{1}{2} lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2}

，兩者相等。答 (A)(E)。

對數律只有「對數相加＝真數相乘」「對數相減＝真數相除」，沒有把對數相乘或相除合併的公式；底數與真數同時開方或同時平方，對數值不變。

06填充第 10～13 題（第 15～18 題）：指數與對數的應用

第 15 題設集集與嘉義的相對能量強度分別是

I_{1}

、

I_{2}

。

lo g I_{1} = 7.3

，

lo g I_{2} = 6.4

，所以

lo g \frac{I _{1}}{I _{2}} = 7.3 - 6.4 = 0.9

，

\frac{I _{1}}{I _{2}} = 1 0^{0.9}

倍。

1 0^{0.9}

約為

7.94

。

第 16 題月利率

10%

、每月複利一次，

n

個月後本利和是

3000 \times 1. 1^{n}

元。要

3000 \times 1. 1^{n} \geq 30000

，即

1. 1^{n} \geq 10

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 \geq 1

，

n \geq \frac{1}{0.041} \approx 24.4

。

n

是整數，至少

25

個月。

檢查：

1. 1^{24}

約

9.85

，還不到

10

；

1. 1^{25}

約

10.83

，超過

10

。

第 17 題圖形過

(16, 50)

：

100 (1 - a^{16}) = 50

，所以

a^{16} = \frac{1}{2}

。能力分數為

75

時：

100 (1 - a^{x}) = 75

，

a^{x} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2} = (a^{16})^{2} = a^{32}

。由

a^{16} = \frac{1}{2}

知

0 < a < 1

，

y = a^{x}

是一對一的函數，所以

x = 32

小時。

分數從

0

到

50

用了

16

小時，從

50

到

75

又要

16

小時：每過

16

小時，離滿分

100

的差距就減半。

第 18 題一支喇叭：

10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 60

，

lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 6

，

w = 1 0^{6} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 6}

瓦特。

2000

支同時合鳴，聲音強度是

2000 \times 1 0^{- 6}

瓦特，音量

s = 10 lo g \frac{2000 \times 1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g (2 \times 1 0^{9}) = 10 \times (9 + lo g 2) \approx 10 \times 9.3010 = 93.01

，四捨五入為

93

分貝。

另一種看法：強度變成

2000

倍，音量增加

10 lo g 2000 = 10 \times 3.3010 \approx 33

分貝，

60 + 33 = 93

。

應用題的關鍵是把「倍數」寫成真數的比：規模、分貝相差多少，就是強度比的常用對數（分貝再乘

10

）相差多少。

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04填充第 5～6 題（第 9～11 題）：指數與對數不等式、比較對數的大小

05填充第 7～9 題（第 12～14 題）：聯立方程式、對數圖形、對數律

06填充第 10～13 題（第 15～18 題）：指數與對數的應用

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高二第二次段考
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