御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：選修數甲(上)單元 3～單元 4（導數與微分公式、切線、函數的增減、極值、凹凸與反曲點、最佳化問題）

小港高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多選題 5 題、填充題 13 題，共 18 格；卷面配分為答對 10 格內每格 6 分，超過部分每格 5 分，共 100 分。本頁全卷連續編號：第 1～5 題是多選第 1～5 題，第 6～18 題是填充第 1～13 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題 錯一個選項得 1/2 題分，錯兩個選項(含)以上得 0 分，總分四捨五入。
1
函數 f(x)=x4+4x3+5 在下列哪些區間上為嚴格遞增函數？
  1. (A) [−5,−4]
  2. (B) [−4,−2]
  3. (C) [−2,0]
  4. (D) [0,3]
  5. (E) [3,∞)
2
設 m∈R，直線 L：y=m(x+2) 與曲線 Γ：y=x3−4x 相切，求 m 之值可為
  1. (A) 0
  2. (B) −2
  3. (C) 1
  4. (D) −1
  5. (E) 8
3
關於函數 f(x)=−2x3+3x2+12x−10，選出正確的選項：
  1. (A) f(x) 在區間 [−1,2] 上是遞增函數
  2. (B) f(x) 在區間 [2,∞) 上是遞減函數
  3. (C) f(x) 在區間 (1,∞) 的圖形是凹口向下
  4. (D) f(x) 的圖形之反曲點為 (1,3)
  5. (E) f(x) 的值恆為負數
4
設 f(x)=4x3−3x2−6x+2，−1≤x≤2，f(x) 的最大值為 M，最小值為 m，則下列何者為真？
  1. (A) M=10
  2. (B) M<8
  3. (C) m=−3
  4. (D) m=−1
  5. (E) M+m=9
5
過曲線 y=x2−2x+2 外一點 (2,−2)，對曲線作切線，下列何者為真？
  1. (A) 切線方程式可為 2x+y−2=0
  2. (B) 切線方程式可為 6x−y−4=0
  3. (C) (0,2) 為一切點
  4. (D) (4,10) 為一切點
  5. (E) 兩切線交點在第三象限內
二、填充題：答案全對才給分。
6
函數 f(x)=x3−6x2+7 圖形的反曲點為 ＿＿＿＿。
7
函數 f(x)=x3−6x2+9x+5 的極小值 = ＿＿＿＿。
8
求函數 f(x)=x2−2x+22x−3​ 在 x=4 處的導數 f′(4)= ＿＿＿＿。
9
已知二次函數 f(x) 的導函數 f′(x)=2x+3，且 f(1)=2，求 f(x)= ＿＿＿＿。
10
設 f(x)=(−3x2+4x+5)3，求 x→2lim​x−2f(x)−f(2)​= ＿＿＿＿。
11
求函數 f(x)=x3−2x+1 的圖形上，以點 P(2,5) 為切點之切線方程式為 ＿＿＿＿。
12
設 f(x)=x3+ax2+b，a、b∈R，若 y=f(x) 之圖形通過點 (1,4) 且在此點之切線的斜率為 −3，則數對 (a,b)= ＿＿＿＿。
13
於一邊長 24 公分的正方形硬紙板，從四個角各截去同大的小正方形，以便摺起而成一個紙盒，問應截去 ＿＿＿＿ 公分的正方形，才能使容積達到最大。
14
在筆直公路上行駛的一輛汽車，從煞車到停車這段時間內，測得煞車後在 t 秒內前進的距離為 f(t)=−21​t2+8t 公尺，問此輛汽車在煞車後前進 ＿＿＿＿ 公尺才停止。
15
在函數 f(x)=x3+3x2−4x−5 的圖形上，已知以點 P 為切點的切線斜率為 5，求切點 P 的坐標為 ＿＿＿＿。
16
已知點 P(1,3) 為三次函數 f(x)=x3+ax2+bx+c 圖形的反曲點，a、b、c 為實數，且以點 P 為切點的切線斜率為 4，求序組 (a,b,c)= ＿＿＿＿。
17
設函數 f(x)=ax3+bx2+3 在 x=−1 的切線為 y=−x+3，求數對 (a,b)= ＿＿＿＿。
18
求在函數 f(x)=x3−3x2+4 的圖形上，斜率最小的切線方程式為 ＿＿＿＿。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)
第 2 題(D)(E)
第 3 題(A)(B)(C)
第 4 題(A)(C)
第 5 題(A)(C)(D)
第 6 題(2,−9)
第 7 題5
第 8 題−101​
第 9 題x2+3x−2
第 10 題−24
第 11 題10x−y−15=0
第 12 題(−3,6)
第 13 題4
第 14 題32
第 15 題(1,−5) 或 (−3,7)
第 16 題(−3,7,−2)
第 17 題(1,2)
第 18 題3x+y−5=0
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選 1、3、4：增減、凹凸與最大最小值

第 1 題答案 (C)(D)(E)。f′(x)=4x3+12x2=4x2(x+3)，x<−3 時 f′(x)<0，x>−3 且 x=0 時 f′(x)>0。(A) 錯誤。 (−5,−4) 內 f′(x)<0，f 在 [−5,−4] 連續，所以在 [−5,−4] 嚴格遞減。(B) 錯誤。 區間跨過 x=−3：f(−4)=5，f(−3)=−22，雖然 −4<−3 卻有 f(−4)>f(−3)，所以不是遞增。(C) 正確。 (−2,0) 內 f′(x)=4x2(x+3)>0，f 在 [−2,0] 連續，所以在 [−2,0] 嚴格遞增。(D) 正確。 (0,3) 內 f′(x)>0，f 在 [0,3] 連續，所以在 [0,3] 嚴格遞增；端點 f′(0)=0 不影響。(E) 正確。 (3,∞) 內 f′(x)>0，f 在 [3,∞) 連續，所以在 [3,∞) 嚴格遞增。
補充：f′(0)=0 不影響嚴格遞增，導數只在單獨一點為 0、其餘都大於 0 時，函數仍然嚴格遞增；所以 f 其實在整個 [−3,∞) 上都嚴格遞增。
第 3 題答案 (A)(B)(C)。f′(x)=−6x2+6x+12=−6(x+1)(x−2)，f′′(x)=−12x+6。(A) 正確。 −1<x<2 時 f′(x)>0，所以 f(x) 在 [−1,2] 上遞增。(B) 正確。 x>2 時 f′(x)<0，所以 f(x) 在 [2,∞) 上遞減。(C) 正確。 x>21​ 時 f′′(x)<0，圖形凹口向下；(1,∞) 在其中。(D) 錯誤。 f′′(x)=0 得 x=21​，反曲點是 (21​,−27​)；點 (1,3) 雖然在圖形上，但不是反曲點。(E) 錯誤。 f(2)=−16+12+24−10=10>0。
第 4 題答案 (A)(C)。f′(x)=12x2−6x−6=6(2x+1)(x−1)，在 [−1,2] 內的臨界點是 x=−21​ 與 x=1。比較臨界點與兩端點：f(−1)=−4−3+6+2=1，f(−21​)=−21​−43​+3+2=415​，f(1)=4−3−6+2=−3，f(2)=32−12−12+2=10。所以 M=10，m=−3。(A) 正確。 (B) 錯誤。 M=10，不小於 8。(C) 正確。 (D) 錯誤。 m=−3。(E) 錯誤。 M+m=7。
最大值出現在端點 x=2，不是極大值 415​；閉區間上要連端點一起比較。
看增減用 f′ 的正負，看凹凸用 f″ 的正負；閉區間上的最大最小值要把臨界點和兩個端點一起比。

02多選 2、5：直線與曲線相切

第 2 題答案 (D)(E)。兩式聯立：x3−4x=m(x+2)。左邊 x3−4x=x(x−2)(x+2)，所以方程式可寫成 (x+2)(x2−2x−m)=0。直線與曲線相切，表示這個方程式有重根。情形一：x=−2 是重根，則 x2−2x−m 也有根 −2，4+4−m=0，m=8。情形二：x2−2x−m=0 本身有重根，判別式 4+4m=0，m=−1，重根 x=1。所以 m=8 或 m=−1。(A) 錯誤。 (B) 錯誤。 (C) 錯誤。 (D) 正確。 (E) 正確。
用導數檢查：y′=3x2−4，x=−2 時 y′=8；x=1 時 y′=−1，與兩個 m 相符。
第 5 題答案 (A)(C)(D)。設切點為 (t, t2−2t+2)，切線斜率 2t−2，切線為 y=(2t−2)(x−t)+t2−2t+2=(2t−2)x−t2+2。過 (2,−2)：−2=2(2t−2)−t2+2，整理得 t2−4t=0，t=0 或 t=4。t=0：切點 (0,2)，切線 y=−2x+2，即 2x+y−2=0。t=4：切點 (4,10)，切線 y=6x−14，即 6x−y−14=0。(A) 正確。 (B) 錯誤。 6x−y−4=0 與 6x−y−14=0 不同。(C) 正確。 (D) 正確。 (E) 錯誤。 兩條切線都通過 (2,−2)，交點就是 (2,−2)，在第四象限。
過圖形外一點的切線，不能把那一點當切點；先設切點，再讓切線通過已知點。
已知直線過某一點時，先把聯立後的方程式因式分解，再分「已知根是重根」與「另一個二次式有重根」兩種情形。

03填充 1、2、8、9、11、13（第 6、7、13、14、16、18 題）：極值、反曲點與最佳化

第 6 題f′(x)=3x2−12x，f′′(x)=6x−12。f′′(x)=0 得 x=2，且 x 經過 2 時 f′′(x) 由負變正，凹凸改變。f(2)=8−24+7=−9，反曲點為 (2,−9)。
第 7 題f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)。x<1 時 f′>0，1<x<3 時 f′<0，x>3 時 f′>0，所以 x=3 時有極小值 f(3)=27−54+27+5=5。
x=1 是極大值 f(1)=9，題目問的是極小值。
第 13 題設截去的小正方形邊長為 x 公分，0<x<12。紙盒底面是邊長 24−2x 的正方形，高 x，容積 V(x)=x(24−2x)2。V′(x)=(24−2x)2+x⋅2(24−2x)(−2)=(24−2x)(24−6x)。在 0<x<12 內只有 x=4 使 V′(x)=0，且 0<x<4 時 V′>0，4<x<12 時 V′<0，所以 x=4 時容積最大，應截去 4 公分的正方形。
此時容積為 4×162=1024 立方公分。
第 14 題距離函數 f(t) 的導數是速度：f′(t)=−t+8。汽車停止時速度為 0，−t+8=0，t=8 秒。這段時間前進 f(8)=−21​×64+8×8=−32+64=32 公尺。
t=0 時速度 f′(0)=8 公尺／秒，之後每秒減少 1，到第 8 秒停下。
第 16 題f′(x)=3x2+2ax+b，f′′(x)=6x+2a。反曲點在 x=1：f′′(1)=6+2a=0，a=−3。切線斜率為 4：f′(1)=3+2a+b=4，3−6+b=4，b=7。點 (1,3) 在圖形上：f(1)=1+a+b+c=1−3+7+c=3，c=−2。(a,b,c)=(−3,7,−2)。
第 18 題切線斜率是 f′(x)=3x2−6x=3(x−1)2−3，在 x=1 時最小，最小斜率為 −3。切點 (1,f(1))=(1,2)，切線 y−2=−3(x−1)，即 3x+y−5=0。
寫成點斜式 y−2=−3(x−1) 或 y=−3x+5 也正確。三次函數斜率最小（或最大）的切線，切點就是反曲點：f′′(x)=6x−6=0，x=1。
極值看 f′ 的正負變化，反曲點看 f″＝0 且凹凸改變；應用題先寫出變數範圍，再在範圍內找 f′＝0 的點。

04填充 3～5（第 8～10 題）：微分公式與導數的定義

第 8 題由除法的微分公式，f′(x)=(x2−2x+2)22(x2−2x+2)−(2x−3)(2x−2)​。x=4 時，x2−2x+2=10，2x−3=5，2x−2=6，所以 f′(4)=1022×10−5×6​=100−10​=−101​。
第 9 題題目說 f(x) 是二次函數，設 f(x)=px2+qx+r（p=0），則 f′(x)=2px+q。與 2x+3 比較係數：2p=2，q=3，得 p=1，q=3。再由 f(1)=1+3+r=2，得 r=−2。所以 f(x)=x2+3x−2。
第 10 題由導數的定義，所求極限就是 f′(2)。由連鎖律，f′(x)=3(−3x2+4x+5)2(−6x+4)。x=2 時 −3x2+4x+5=−12+8+5=1，−6x+4=−8，所以 f′(2)=3×12×(−8)=−24。
看到 f(x)－f(a) 除以 x－a 取極限，就是 f′(a)；先把 x 的值代進每個括號再組合。

05填充 6、7、10、12（第 11、12、15、17 題）：切線方程式

第 11 題先確認 P 在圖形上：f(2)=8−4+1=5。f′(x)=3x2−2，f′(2)=10。切線 y−5=10(x−2)，即 10x−y−15=0。
寫成點斜式 y−5=10(x−2) 或 y=10x−15 也正確。
第 12 題f′(x)=3x2+2ax。切線斜率：f′(1)=3+2a=−3，a=−3。通過 (1,4)：f(1)=1+a+b=4，1−3+b=4，b=6。(a,b)=(−3,6)。
第 15 題f′(x)=3x2+6x−4。斜率為 5：3x2+6x−4=5，x2+2x−3=0，(x+3)(x−1)=0，x=1 或 x=−3。f(1)=1+3−4−5=−5，f(−3)=−27+27+12−5=7。切點 P 為 (1,−5) 或 (−3,7)，兩個都要寫。
第 17 題切線 y=−x+3 的斜率是 −1，在 x=−1 時 y=4，所以切點是 (−1,4)。f(−1)=−a+b+3=4，得 −a+b=1。f′(x)=3ax2+2bx，f′(−1)=3a−2b=−1。由 b=a+1 代入：3a−2a−2=−1，a=1，b=2。(a,b)=(1,2)。
檢查：f(x)=x3+2x2+3，f(−1)=4，f′(−1)=3−4=−1，與切線相符。
切線有兩個條件：切點在圖形上（函數值），切線斜率等於導數值；兩個條件各列一式就能解兩個未知數。

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多選第 2 題：已知點本身在曲線上，相切有兩種情形，那一點是重根或另一個二次式有重根，兩個 m 都要選。多選第 5 題：已知點不在曲線上，要先設切點，兩條切線的交點就是已知點本身。多選第 1 題：導數只在單獨一點為 0 不影響嚴格遞增，區間跨過導數變號的點就不是遞增。多選第 4 題：最大值出現在端點，不是極大值。詳解逐題寫在本頁。

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