段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係）

小港高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 5 題每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上不給分；填充題 11 格依答對格數給分（答對 1～11 格依序得 7、14、21、28、34、40、46、52、58、64、70 分），全對才給分。本頁第 1～5 題為卷面多選題 1～5，第 6～16 題依序為卷面填充題 1、2、3、4(1)、4(2)、5～10。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題：(共 5 題，每題 6 分。錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上不給分。)

平面上一直線 L 的

x

截距為

2

，

y

截距為

- 3

，則下列哪些選項可以為直線 L 的方程式？

(A) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0$
(B) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$
(C) $y = \frac{3}{2} x - 3$
(D) $2 x - 3 y + 6 = 0$
(E) $3 x - 2 y - 6 = 0$

如下圖，將圓六等分，其等分點分別為

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

，設

\overline{A B}

、

\overline{B C}

、

\overline{C D}

、

\overline{D E}

、

\overline{E F}

、

\overline{F A}

六邊所在的直線斜率分別為

m_{1}

、

m_{2}

、

m_{3}

、

m_{4}

、

m_{5}

、

m_{6}

，其中

E

、

F

兩點在

x

軸上。則下列哪些敘述正確？

(A) $m_{1}$ 最大
(B) $m_{2}$ 最小
(C) $m_{1} = m_{4}$
(D) $m_{4} < 0$
(E) $m_{1} \times m_{2} \times m_{3} \times m_{4} \times m_{5} \times m_{6} = 0$

載入中...

在平面上，就實數

k

值的範圍討論方程式：

x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + k = 0

的圖形，則下列何者正確？

(A) 只要 $k$ 值為負數，此方程式的圖形都會是一個圓。
(B) 當 $k = 10$ 時，圖形為一個圓心在 $(3, - 2)$ 的圓。
(C) 當 $k = 13$ 時，圖形為一點 $(3, - 2)$ 。
(D) 當 $k = 21$ 時，此方程式沒有圖形。
(E) 當 $k = 0$ 時，圖形為一個半徑為 $13$ 的圓形。

已知平面上有一直線 L：

x - y + k = 0

與圓 C：

x^{2} + y^{2} = 8

，若直線 L 會和圓 C 相割（交於兩點），則下列哪些可能為

k

的值？

(A) $- 5$ 。
(B) $- 1$ 。
(C) $0$ 。
(D) $2$ 。
(E) $4$ 。

已知平面上圓

C : x^{2} + y^{2} - 4 x + a y + b = 0

與直線

L : x - 2 y = k

相切於點

(- 1, 3)

，則下列何者正確？

(A) $k = - 7$
(B) $a = 6$
(C) $b = 16$
(D) 圓 C 的圓心為 $(2, - 3)$
(E) 圓 C 的半徑為 $35$

二、填充題：(共 11 格，按配分表給分。請依題號，填入對應的格子內，填錯格不予計分。答案要完整，全對才給分。)

求平面上，通過點

A (3, 4)

且與直線 L：

x + 2 y - 3 = 0

平行的直線方程式為 ____。（需化簡為

a x + b y + c = 0

的型式）

設平面上兩點

A (- 1, 2)

、

B (3, 4)

，則

\overline{A B}

的中垂線方程式為 ____。（需化簡為

a x + b y + c = 0

的型式）

求平面上圓心在

(1, 4)

，且通過點

A (0, 3)

的圓的標準式為 ____。

卷面填充第 4 題（第 9～10 題）　若二元一次聯立方程式：

{x + k y - 1 = 0 (k + 1) x + 6 y + 2 = 0

所表示的圖形為平面上兩條平行的直線，試求：

(1)

k =

____。

(2) 此兩平行直線的距離為 ____。

平面上有

A (0, 3)

、

B (8, - 1)

兩點，若 P 點在直線 AB 上，且滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 3

，則 P 點坐標為 ____。（有兩解）

電腦裡的地圖 APP 通常會將所有地點坐標化後儲存於電腦的資料庫中。農夫阿祥想要知道他的農地面積多大，於是他用電腦搜尋他的農地，發現剛好是由二元一次聯立不等式：

⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 4 y + 12 \geq 0 x \leq 0 y \geq 0

所圍出的區域，試求阿祥的農地面積為 ____ 平方單位。

電腦高手小智，利用軟體歸納出皮卡丘今天會出現在平面上方程式為：

(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

的圖形上，若小智現在位於坐標為

(3, 7)

的點上，則小智可能會遇到皮卡丘的最遠距離為

a

，最短距離為

b

，試求數對

(a, b) =

____。

已知平面上點

(3, - 1)

在圓：

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = k

的外部，則

k

的範圍為 ____。

求平面上，過圓外一點

(1, 1)

且與圓：

(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 1

相切的切線方程式為 ____。

求平面上過點

(4, 2)

，且圓心在第一象限，並與兩軸均相切的圓的標準式為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(E)

第 2 題(C)(D)(E)

第 3 題(A)(B)(C)(D)

第 4 題(B)(C)(D)

第 5 題(A)(B)(D)(E)

第 6 題

x + 2 y - 11 = 0

第 7 題

2 x + y - 5 = 0

第 8 題

(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 2

第 9 題

2

第 10 題

\frac{5}{3}

第 11 題

(2, 2)

或

(- 4, 5)

第 12 題

6

第 13 題

(15, 5)

第 14 題

0 < k < 25

第 15 題

y = 1

和

4 x - 3 y - 1 = 0

第 16 題

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

或

(x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題（第 1、2 題）：截距與斜率

第 1 題

$x$ 截距 $2$ 、 $y$ 截距 $- 3$ ，表示直線過 $(2, 0)$ 與 $(0, - 3)$ 。逐一檢查各選項是否同時過這兩點：

(A) 錯誤。 右邊是 $0$ ，代入 $(0, 0)$ 成立，這條線過原點，截距都是 $0$ 。

(B) 正確。 $(2, 0)$ 代入得 $1 - 0 = 1$ ； $(0, - 3)$ 代入得 $0 + 1 = 1$ ，兩點都在線上。

(D) 錯誤。 $y = 0$ 時 $2 x = - 6$ ， $x = - 3$ ， $x$ 截距是 $- 3$ 不是 $2$ 。

(E) 正確。 $y = 0$ 時 $3 x = 6$ ， $x = 2$ ； $x = 0$ 時 $- 2 y = 6$ ， $y = - 3$ 。它就是 (B) 兩邊乘以 $6$ 的結果。

補充：

x

截距

a

、

y

截距

b

的直線可寫成截距式

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

，右邊是

1

；

y

截距是負數時，分母帶負號，變成減號。

第 2 題

正六邊形每個內角 $12 0^{\circ}$ ，各邊的方向只有三種：水平、與 $x$ 軸正向夾 $6 0^{\circ}$ 、與 $x$ 軸正向夾 $12 0^{\circ}$ 。設邊長為 $1$ ，由圖， $F$ 在原點， $y$ 軸通過 $B$ （ $E$ 、 $F$ 在 $x$ 軸上），可得 $F (0, 0)$ 、 $E (- 1, 0)$ 、 $A (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 、 $B (0, 3)$ 、 $C (- 1, 3)$ 、 $D (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ 。

$m_{1}$ （ $A B$ ） $= \frac{3 - \frac{3}{2}}{0 - \frac{1}{2}} = - 3$ ； $m_{2}$ （ $B C$ ） $= 0$ ； $m_{3}$ （ $C D$ ） $= \frac{\frac{3}{2} - 3}{- \frac{3}{2} + 1} = 3$ ；

$m_{4}$ （ $D E$ ） $= \frac{0 - \frac{3}{2}}{- 1 + \frac{3}{2}} = - 3$ ； $m_{5}$ （ $E F$ ） $= 0$ ； $m_{6}$ （ $F A$ ） $= \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ 。

(A) 錯誤。 $m_{1} = - 3$ 是最小的，最大的是 $m_{3} = m_{6} = 3$ 。

(B) 錯誤。 $m_{2} = 0$ ，比 $m_{1} = m_{4} = - 3$ 大。

(D) 正確。 $m_{4} = - 3 < 0$ ， $D E$ 往右下降。

(E) 正確。 $B C$ 、 $E F$ 是水平線， $m_{2} = m_{5} = 0$ ，乘積為 $0$ 。

不必真的算坐標：往右上升的邊斜率為正、往右下降的為負、水平的為

0

；正六邊形的對邊平行，斜率相等。

檢查方程式是否為某直線，只要代入兩個已知點；正六邊形的對邊互相平行，斜率相同。

02多選第 3～5 題（第 3～5 題）：圓的一般式、相割與相切

第 3 題

配方： $(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 4 y + 4) = - k + 9 + 4$ ，即 $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 13 - k$ 右邊為正時是圓心 $(3, - 2)$ 、半徑 $13 - k$ 的圓；為 $0$ 時是一點 $(3, - 2)$ ；為負時沒有圖形。

(A) 正確。 $k < 0$ 時 $13 - k > 13 > 0$ ，一定是圓。

(B) 正確。 $k = 10$ 時右邊為 $3 > 0$ ，是圓心 $(3, - 2)$ 、半徑 $3$ 的圓。

(D) 正確。 $k = 21$ 時右邊為 $- 8 < 0$ ，兩個平方數的和不可能是負數，沒有圖形。

(E) 錯誤。 $k = 0$ 時右邊為 $13$ ，半徑是 $13$ ，不是 $13$ 。

配方後右邊的數是「半徑的平方」，求半徑要開根號。

第 4 題

圓 C 的圓心 $(0, 0)$ ，半徑 $8 = 22$ 。直線與圓相割，表示圓心到直線的距離小於半徑： $\frac{∣0 - 0 + k ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ k ∣}{2} < 22$ 得 $∣ k ∣ < 4$ ，即 $- 4 < k < 4$ 。

(A) 錯誤。 $∣ - 5∣ = 5 > 4$ ，相離。

(B) 正確。 $∣ - 1∣ < 4$ 。

(D) 正確。 $∣2∣ < 4$ 。

(E) 錯誤。 $∣4∣ = 4$ ，距離剛好等於半徑，是相切（只交一點），不是相割。

距離小於半徑相割、等於半徑相切、大於半徑相離；

k = \pm 4

是相切，不算。

第 5 題

(A) 正確。 切點 $(- 1, 3)$ 在直線 $L$ 上： $k = - 1 - 2 \cdot 3 = - 7$ 。

圓 C 配方得圓心 $(2, - \frac{a}{2})$ 。切線垂直於過切點的半徑。 $L$ ： $x - 2 y = - 7$ 的斜率為 $\frac{1}{2}$ ，所以圓心與切點連線的斜率為 $- 2$ ： $\frac{- \frac{a}{2} - 3}{2 - ( - 1 )} = - 2$ 得 $- \frac{a}{2} - 3 = - 6$ ， $a = 6$ 。

(B) 正確。 $a = 6$ 。

(D) 正確。 圓心為 $(2, - \frac{6}{2}) = (2, - 3)$ 。

(C) 錯誤。 切點在圓上，代入圓的方程式： $(- 1)^{2} + 3^{2} - 4 (- 1) + 6 \cdot 3 + b = 0$ ，即 $1 + 9 + 4 + 18 + b = 0$ ， $b = - 32$ ，不是 $16$ 。

(E) 正確。 半徑＝圓心到切點的距離 $= (2 + 1)^{2} + (- 3 - 3)^{2} = 45 = 35$ 。也可用圓心到 $L$ 的距離驗算： $\frac{∣2 - 2 ( - 3 ) + 7∣}{1 + 4} = \frac{15}{5} = 35$ 。

由

a = 6

、

b = - 32

，圓 C 為

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 32 = 0

，配方得

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 45

，與 (D)(E) 一致。

圓的一般式先配方看右邊；直線與圓的關係比較「圓心到直線的距離」與半徑；切線垂直於過切點的半徑。

03填充第 1～5 題（第 6～11 題）：平行線、中垂線、圓的標準式與分點

第 6 題與

x + 2 y - 3 = 0

平行的直線可設為

x + 2 y + c = 0

。過

A (3, 4)

：

3 + 8 + c = 0

，

c = - 11

。所求為

x + 2 y - 11 = 0

。

第 7 題

中垂線過 $\overline{A B}$ 的中點、且垂直於 $\overline{A B}$ 。

中點 $(\frac{- 1 + 3}{2}, \frac{2 + 4}{2}) = (1, 3)$ ； $\overline{A B}$ 的斜率 $= \frac{4 - 2}{3 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}$ ，中垂線斜率為 $- 2$ 。

$y - 3 = - 2 (x - 1)$ ，整理得 $2 x + y - 5 = 0$ 。

驗算：中垂線上的點到

A

、

B

等距。取

(0, 5)

：到

A

為

1 + 9 = 10

，到

B

為

9 + 1 = 10

。

第 8 題

半徑＝圓心 $(1, 4)$ 到 $A (0, 3)$ 的距離 $= (1 - 0)^{2} + (4 - 3)^{2} = 2$ ，所以 $r^{2} = 2$ 。

標準式為 $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 2$ 。

第 9 題

兩直線 $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 、 $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ 平行（不重合）的條件是 $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ 。

$\frac{1}{k + 1} = \frac{k}{6}$ ，得 $k (k + 1) = 6$ ， $k^{2} + k - 6 = 0$ ， $(k + 3) (k - 2) = 0$ ， $k = - 3$ 或 $k = 2$ 。

$k = - 3$ ：兩式為 $x - 3 y - 1 = 0$ 與 $- 2 x + 6 y + 2 = 0$ ，後者是前者乘以 $- 2$ ，兩直線重合，不合。

$k = 2$ ：兩式為 $x + 2 y - 1 = 0$ 與 $3 x + 6 y + 2 = 0$ ，係數比 $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ ，但常數比 $\frac{- 1}{2} \neq = \frac{1}{3}$ ，兩直線平行。

所以 $k = 2$ 。

由兩個係數比相等解出的

k

要再檢查常數項，比值也相等就是重合，不是平行。

第 10 題

k = 2

時兩直線為

x + 2 y - 1 = 0

與

3 x + 6 y + 2 = 0

。把第一式乘以

3

使係數相同：

3 x + 6 y - 3 = 0

。距離為

\frac{∣ - 3 - 2∣}{3 ^{2} + 6 ^{2}} = \frac{5}{45} = \frac{5}{3 5} = \frac{5}{3}

平行線距離公式要先把兩式的

x

、

y

係數調成一樣，再拿常數項相減。

第 11 題

$P$ 在直線 $A B$ 上，可能在線段 $A B$ 上（內分），也可能在線段外（外分）。

內分： $P$ 把 $\overline{A B}$ 分成 $1 : 3$ ， $P = \frac{3 A + 1 \cdot B}{4} = (\frac{0 + 8}{4}, \frac{9 - 1}{4}) = (2, 2)$ 。

外分：因為 $\overline{A P} < \overline{B P}$ ， $P$ 在 $A$ 的外側，此時 $A$ 在 $\overline{P B}$ 上，且 $\overline{P A} : \overline{A B} = 1 : 2$ 。所以 $A = \frac{2 P + 1 \cdot B}{3}$ ， $P = \frac{3 A - B}{2} = (\frac{0 - 8}{2}, \frac{9 + 1}{2}) = (- 4, 5)$ 。

所以 $P = (2, 2)$ 或 $(- 4, 5)$ 。

驗算外分點：

(- 4, 5)

到

A

為

16 + 4 = 25

，到

B

為

144 + 36 = 65

，比為

1 : 3

。

平行線只改常數項；兩直線平行要係數成比例但常數不成比例；「在直線上」的分點要同時找內分與外分。

04填充第 6～10 題（第 12～16 題）：區域面積、點與圓、切線與相切圓

第 12 題

三條邊界線為 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 、 $x = 0$ （ $y$ 軸）、 $y = 0$ （ $x$ 軸）。

$3 x - 4 y + 12 = 0$ 與 $x$ 軸交於 $(- 4, 0)$ ，與 $y$ 軸交於 $(0, 3)$ 。原點代入 $3 x - 4 y + 12$ 得 $12 \geq 0$ ，所以區域在這條線含原點的一側；再加上 $x \leq 0$ 、 $y \geq 0$ ，區域是頂點為 $(0, 0)$ 、 $(- 4, 0)$ 、 $(0, 3)$ 的直角三角形（含邊界）。

面積 $= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ 平方單位。

第 13 題

圓心 $O (- 3, - 1)$ ，半徑 $5$ 。小智所在點 $P (3, 7)$ 到圓心的距離 $\overline{O P} = (3 + 3)^{2} + (7 + 1)^{2} = 36 + 64 = 10 > 5$ $P$ 在圓外。圓上離 $P$ 最遠與最近的點都在直線 $O P$ 上：最遠距離 $a = 10 + 5 = 15$ ，最近距離 $b = 10 - 5 = 5$ 。

所以 $(a, b) = (15, 5)$ 。

圓外一點到圓上的距離，最大是「到圓心距離＋半徑」，最小是「到圓心距離－半徑」。

第 14 題

方程式要表示一個圓，需 $k > 0$ （ $k$ 是半徑的平方）。

點 $(3, - 1)$ 在圓外部，表示它到圓心 $(- 1, 2)$ 的距離的平方大於半徑的平方： $(3 + 1)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 16 + 9 = 25 > k$ 合併得 $0 < k < 25$ 。

只寫

k < 25

不對：

k \leq 0

時方程式不是圓（

k = 0

是一點，

k < 0

沒有圖形），談不上圓的外部。

第 15 題

圓心 $(3, 2)$ ，半徑 $1$ 。切線的條件是圓心到切線的距離等於半徑 $1$ 。

鉛直線 $x = 1$ ：圓心到它的距離 $∣3 - 1∣ = 2 \neq = 1$ ，不是切線。

其他直線設為 $y - 1 = m (x - 1)$ ，即 $m x - y + 1 - m = 0$ 。圓心到它的距離 $\frac{∣3 m - 2 + 1 - m ∣}{m ^{2} + 1} = \frac{∣2 m - 1∣}{m ^{2} + 1} = 1$ 平方： $4 m^{2} - 4 m + 1 = m^{2} + 1$ ， $3 m^{2} - 4 m = 0$ ， $m = 0$ 或 $m = \frac{4}{3}$ 。

$m = 0$ ： $y = 1$ ； $m = \frac{4}{3}$ ： $y - 1 = \frac{4}{3} (x - 1)$ ，乘以 $3$ 整理得 $4 x - 3 y - 1 = 0$ 。

所以切線為 $y = 1$ 和 $4 x - 3 y - 1 = 0$ 。

驗算

4 x - 3 y - 1 = 0

：圓心到它的距離

\frac{∣12 - 6 - 1∣}{5} = 1

，等於半徑。圓外一點恰有兩條切線。

第 16 題

圓心在第一象限且與兩軸都相切，圓心到 $x$ 軸、 $y$ 軸的距離都等於半徑，所以圓心為 $(r, r)$ ， $r > 0$ ，圓為 $(x - r)^{2} + (y - r)^{2} = r^{2}$ 。

過 $(4, 2)$ ： $(4 - r)^{2} + (2 - r)^{2} = r^{2}$ ，展開 $16 - 8 r + r^{2} + 4 - 4 r + r^{2} = r^{2}$ ，整理得 $r^{2} - 12 r + 20 = 0$ ， $(r - 2) (r - 10) = 0$ ， $r = 2$ 或 $r = 10$ 。

所以圓為 $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ 或 $(x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100$ 。

兩個

r

都是正數，圓心都在第一象限，兩個圓都要寫；卷面規定全對才給分。

點與圓的位置比較「到圓心距離」與半徑；過圓外一點的切線有兩條，先檢查鉛直線；與兩軸都相切的圓，圓心為

(r, r)

。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《直線與圓》單元冊 02・高一上

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小港高中 112 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 112 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題 k 等於 4 時直線與圓相切，不算相割；多選第 5 題要用切線垂直於半徑先求 a，再把切點代入圓求 b；填充第 4 題解出兩個 k 後要排除兩直線重合的那一個；填充第 8 題除了點在圓外，還要 k 大於 0 方程式才是圓。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自小港高中 112 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係）

小港高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、多選題：(共 5 題，每題 6 分。錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上不給分。)

平面上一直線 L 的

x

截距為

2

，

y

截距為

- 3

，則下列哪些選項可以為直線 L 的方程式？

(A) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0$
(B) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$
(C) $y = \frac{3}{2} x - 3$
(D) $2 x - 3 y + 6 = 0$
(E) $3 x - 2 y - 6 = 0$

如下圖，將圓六等分，其等分點分別為

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

，設

\overline{A B}

、

\overline{B C}

、

\overline{C D}

、

\overline{D E}

、

\overline{E F}

、

\overline{F A}

六邊所在的直線斜率分別為

m_{1}

、

m_{2}

、

m_{3}

、

m_{4}

、

m_{5}

、

m_{6}

，其中

E

、

F

兩點在

x

軸上。則下列哪些敘述正確？

(A) $m_{1}$ 最大
(B) $m_{2}$ 最小
(C) $m_{1} = m_{4}$
(D) $m_{4} < 0$
(E) $m_{1} \times m_{2} \times m_{3} \times m_{4} \times m_{5} \times m_{6} = 0$

載入中...

在平面上，就實數

k

值的範圍討論方程式：

x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + k = 0

的圖形，則下列何者正確？

(A) 只要 $k$ 值為負數，此方程式的圖形都會是一個圓。
(B) 當 $k = 10$ 時，圖形為一個圓心在 $(3, - 2)$ 的圓。
(C) 當 $k = 13$ 時，圖形為一點 $(3, - 2)$ 。
(D) 當 $k = 21$ 時，此方程式沒有圖形。
(E) 當 $k = 0$ 時，圖形為一個半徑為 $13$ 的圓形。

已知平面上有一直線 L：

x - y + k = 0

與圓 C：

x^{2} + y^{2} = 8

，若直線 L 會和圓 C 相割（交於兩點），則下列哪些可能為

k

的值？

(A) $- 5$ 。
(B) $- 1$ 。
(C) $0$ 。
(D) $2$ 。
(E) $4$ 。

已知平面上圓

C : x^{2} + y^{2} - 4 x + a y + b = 0

與直線

L : x - 2 y = k

相切於點

(- 1, 3)

，則下列何者正確？

(A) $k = - 7$
(B) $a = 6$
(C) $b = 16$
(D) 圓 C 的圓心為 $(2, - 3)$
(E) 圓 C 的半徑為 $35$

二、填充題：(共 11 格，按配分表給分。請依題號，填入對應的格子內，填錯格不予計分。答案要完整，全對才給分。)

求平面上，通過點

A (3, 4)

且與直線 L：

x + 2 y - 3 = 0

平行的直線方程式為 ____。（需化簡為

a x + b y + c = 0

的型式）

設平面上兩點

A (- 1, 2)

、

B (3, 4)

，則

\overline{A B}

的中垂線方程式為 ____。（需化簡為

a x + b y + c = 0

的型式）

求平面上圓心在

(1, 4)

，且通過點

A (0, 3)

的圓的標準式為 ____。

卷面填充第 4 題（第 9～10 題）　若二元一次聯立方程式：

{x + k y - 1 = 0 (k + 1) x + 6 y + 2 = 0

所表示的圖形為平面上兩條平行的直線，試求：

(1)

k =

____。

(2) 此兩平行直線的距離為 ____。

平面上有

A (0, 3)

、

B (8, - 1)

兩點，若 P 點在直線 AB 上，且滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 3

，則 P 點坐標為 ____。（有兩解）

⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 4 y + 12 \geq 0 x \leq 0 y \geq 0

所圍出的區域，試求阿祥的農地面積為 ____ 平方單位。

電腦高手小智，利用軟體歸納出皮卡丘今天會出現在平面上方程式為：

(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

的圖形上，若小智現在位於坐標為

(3, 7)

的點上，則小智可能會遇到皮卡丘的最遠距離為

a

，最短距離為

b

，試求數對

(a, b) =

____。

已知平面上點

(3, - 1)

在圓：

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = k

的外部，則

k

的範圍為 ____。

求平面上，過圓外一點

(1, 1)

且與圓：

(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 1

相切的切線方程式為 ____。

求平面上過點

(4, 2)

，且圓心在第一象限，並與兩軸均相切的圓的標準式為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(E)

第 2 題(C)(D)(E)

第 3 題(A)(B)(C)(D)

第 4 題(B)(C)(D)

第 5 題(A)(B)(D)(E)

第 6 題

x + 2 y - 11 = 0

第 7 題

2 x + y - 5 = 0

第 8 題

(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 2

第 9 題

2

第 10 題

\frac{5}{3}

第 11 題

(2, 2)

或

(- 4, 5)

第 12 題

6

第 13 題

(15, 5)

第 14 題

0 < k < 25

第 15 題

y = 1

和

4 x - 3 y - 1 = 0

第 16 題

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

或

(x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題（第 1、2 題）：截距與斜率

第 1 題

$x$ 截距 $2$ 、 $y$ 截距 $- 3$ ，表示直線過 $(2, 0)$ 與 $(0, - 3)$ 。逐一檢查各選項是否同時過這兩點：

(A) 錯誤。 右邊是 $0$ ，代入 $(0, 0)$ 成立，這條線過原點，截距都是 $0$ 。

(B) 正確。 $(2, 0)$ 代入得 $1 - 0 = 1$ ； $(0, - 3)$ 代入得 $0 + 1 = 1$ ，兩點都在線上。

(D) 錯誤。 $y = 0$ 時 $2 x = - 6$ ， $x = - 3$ ， $x$ 截距是 $- 3$ 不是 $2$ 。

(E) 正確。 $y = 0$ 時 $3 x = 6$ ， $x = 2$ ； $x = 0$ 時 $- 2 y = 6$ ， $y = - 3$ 。它就是 (B) 兩邊乘以 $6$ 的結果。

補充：

x

截距

a

、

y

截距

b

的直線可寫成截距式

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

，右邊是

1

；

y

截距是負數時，分母帶負號，變成減號。

第 2 題

$m_{1}$ （ $A B$ ） $= \frac{3 - \frac{3}{2}}{0 - \frac{1}{2}} = - 3$ ； $m_{2}$ （ $B C$ ） $= 0$ ； $m_{3}$ （ $C D$ ） $= \frac{\frac{3}{2} - 3}{- \frac{3}{2} + 1} = 3$ ；

$m_{4}$ （ $D E$ ） $= \frac{0 - \frac{3}{2}}{- 1 + \frac{3}{2}} = - 3$ ； $m_{5}$ （ $E F$ ） $= 0$ ； $m_{6}$ （ $F A$ ） $= \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ 。

(A) 錯誤。 $m_{1} = - 3$ 是最小的，最大的是 $m_{3} = m_{6} = 3$ 。

(B) 錯誤。 $m_{2} = 0$ ，比 $m_{1} = m_{4} = - 3$ 大。

(D) 正確。 $m_{4} = - 3 < 0$ ， $D E$ 往右下降。

(E) 正確。 $B C$ 、 $E F$ 是水平線， $m_{2} = m_{5} = 0$ ，乘積為 $0$ 。

不必真的算坐標：往右上升的邊斜率為正、往右下降的為負、水平的為

0

；正六邊形的對邊平行，斜率相等。

檢查方程式是否為某直線，只要代入兩個已知點；正六邊形的對邊互相平行，斜率相同。

02多選第 3～5 題（第 3～5 題）：圓的一般式、相割與相切

第 3 題

(A) 正確。 $k < 0$ 時 $13 - k > 13 > 0$ ，一定是圓。

(B) 正確。 $k = 10$ 時右邊為 $3 > 0$ ，是圓心 $(3, - 2)$ 、半徑 $3$ 的圓。

(D) 正確。 $k = 21$ 時右邊為 $- 8 < 0$ ，兩個平方數的和不可能是負數，沒有圖形。

(E) 錯誤。 $k = 0$ 時右邊為 $13$ ，半徑是 $13$ ，不是 $13$ 。

配方後右邊的數是「半徑的平方」，求半徑要開根號。

第 4 題

(A) 錯誤。 $∣ - 5∣ = 5 > 4$ ，相離。

(B) 正確。 $∣ - 1∣ < 4$ 。

(D) 正確。 $∣2∣ < 4$ 。

(E) 錯誤。 $∣4∣ = 4$ ，距離剛好等於半徑，是相切（只交一點），不是相割。

距離小於半徑相割、等於半徑相切、大於半徑相離；

k = \pm 4

是相切，不算。

第 5 題

(A) 正確。 切點 $(- 1, 3)$ 在直線 $L$ 上： $k = - 1 - 2 \cdot 3 = - 7$ 。

(B) 正確。 $a = 6$ 。

(D) 正確。 圓心為 $(2, - \frac{6}{2}) = (2, - 3)$ 。

(C) 錯誤。 切點在圓上，代入圓的方程式： $(- 1)^{2} + 3^{2} - 4 (- 1) + 6 \cdot 3 + b = 0$ ，即 $1 + 9 + 4 + 18 + b = 0$ ， $b = - 32$ ，不是 $16$ 。

由

a = 6

、

b = - 32

，圓 C 為

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 32 = 0

，配方得

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 45

，與 (D)(E) 一致。

圓的一般式先配方看右邊；直線與圓的關係比較「圓心到直線的距離」與半徑；切線垂直於過切點的半徑。

03填充第 1～5 題（第 6～11 題）：平行線、中垂線、圓的標準式與分點

第 6 題與

x + 2 y - 3 = 0

平行的直線可設為

x + 2 y + c = 0

。過

A (3, 4)

：

3 + 8 + c = 0

，

c = - 11

。所求為

x + 2 y - 11 = 0

。

第 7 題

中垂線過 $\overline{A B}$ 的中點、且垂直於 $\overline{A B}$ 。

中點 $(\frac{- 1 + 3}{2}, \frac{2 + 4}{2}) = (1, 3)$ ； $\overline{A B}$ 的斜率 $= \frac{4 - 2}{3 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}$ ，中垂線斜率為 $- 2$ 。

$y - 3 = - 2 (x - 1)$ ，整理得 $2 x + y - 5 = 0$ 。

驗算：中垂線上的點到

A

、

B

等距。取

(0, 5)

：到

A

為

1 + 9 = 10

，到

B

為

9 + 1 = 10

。

第 8 題

半徑＝圓心 $(1, 4)$ 到 $A (0, 3)$ 的距離 $= (1 - 0)^{2} + (4 - 3)^{2} = 2$ ，所以 $r^{2} = 2$ 。

標準式為 $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 2$ 。

第 9 題

兩直線 $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 、 $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ 平行（不重合）的條件是 $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ 。

$\frac{1}{k + 1} = \frac{k}{6}$ ，得 $k (k + 1) = 6$ ， $k^{2} + k - 6 = 0$ ， $(k + 3) (k - 2) = 0$ ， $k = - 3$ 或 $k = 2$ 。

$k = - 3$ ：兩式為 $x - 3 y - 1 = 0$ 與 $- 2 x + 6 y + 2 = 0$ ，後者是前者乘以 $- 2$ ，兩直線重合，不合。

$k = 2$ ：兩式為 $x + 2 y - 1 = 0$ 與 $3 x + 6 y + 2 = 0$ ，係數比 $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ ，但常數比 $\frac{- 1}{2} \neq = \frac{1}{3}$ ，兩直線平行。

所以 $k = 2$ 。

由兩個係數比相等解出的

k

要再檢查常數項，比值也相等就是重合，不是平行。

第 10 題

k = 2

時兩直線為

x + 2 y - 1 = 0

與

3 x + 6 y + 2 = 0

。把第一式乘以

3

使係數相同：

3 x + 6 y - 3 = 0

。距離為

\frac{∣ - 3 - 2∣}{3 ^{2} + 6 ^{2}} = \frac{5}{45} = \frac{5}{3 5} = \frac{5}{3}

平行線距離公式要先把兩式的

x

、

y

係數調成一樣，再拿常數項相減。

第 11 題

$P$ 在直線 $A B$ 上，可能在線段 $A B$ 上（內分），也可能在線段外（外分）。

內分： $P$ 把 $\overline{A B}$ 分成 $1 : 3$ ， $P = \frac{3 A + 1 \cdot B}{4} = (\frac{0 + 8}{4}, \frac{9 - 1}{4}) = (2, 2)$ 。

所以 $P = (2, 2)$ 或 $(- 4, 5)$ 。

驗算外分點：

(- 4, 5)

到

A

為

16 + 4 = 25

，到

B

為

144 + 36 = 65

，比為

1 : 3

。

平行線只改常數項；兩直線平行要係數成比例但常數不成比例；「在直線上」的分點要同時找內分與外分。

04填充第 6～10 題（第 12～16 題）：區域面積、點與圓、切線與相切圓

第 12 題

三條邊界線為 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 、 $x = 0$ （ $y$ 軸）、 $y = 0$ （ $x$ 軸）。

面積 $= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ 平方單位。

第 13 題

所以 $(a, b) = (15, 5)$ 。

圓外一點到圓上的距離，最大是「到圓心距離＋半徑」，最小是「到圓心距離－半徑」。

第 14 題

方程式要表示一個圓，需 $k > 0$ （ $k$ 是半徑的平方）。

點 $(3, - 1)$ 在圓外部，表示它到圓心 $(- 1, 2)$ 的距離的平方大於半徑的平方： $(3 + 1)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 16 + 9 = 25 > k$ 合併得 $0 < k < 25$ 。

只寫

k < 25

不對：

k \leq 0

時方程式不是圓（

k = 0

是一點，

k < 0

沒有圖形），談不上圓的外部。

第 15 題

圓心 $(3, 2)$ ，半徑 $1$ 。切線的條件是圓心到切線的距離等於半徑 $1$ 。

鉛直線 $x = 1$ ：圓心到它的距離 $∣3 - 1∣ = 2 \neq = 1$ ，不是切線。

$m = 0$ ： $y = 1$ ； $m = \frac{4}{3}$ ： $y - 1 = \frac{4}{3} (x - 1)$ ，乘以 $3$ 整理得 $4 x - 3 y - 1 = 0$ 。

所以切線為 $y = 1$ 和 $4 x - 3 y - 1 = 0$ 。

驗算

4 x - 3 y - 1 = 0

：圓心到它的距離

\frac{∣12 - 6 - 1∣}{5} = 1

，等於半徑。圓外一點恰有兩條切線。

第 16 題

圓心在第一象限且與兩軸都相切，圓心到 $x$ 軸、 $y$ 軸的距離都等於半徑，所以圓心為 $(r, r)$ ， $r > 0$ ，圓為 $(x - r)^{2} + (y - r)^{2} = r^{2}$ 。

所以圓為 $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ 或 $(x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100$ 。

兩個

r

都是正數，圓心都在第一象限，兩個圓都要寫；卷面規定全對才給分。

點與圓的位置比較「到圓心距離」與半徑；過圓外一點的切線有兩條，先檢查鉛直線；與兩軸都相切的圓，圓心為

(r, r)

。

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《直線與圓》單元冊 02・高一上

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