段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

小港高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

填充題 13 題共 14 格、素養題組題 2 題共 5 格，全卷 19 格。每格全對才給分，按配分表計分，共 100 分；配分表（答對格數累計 1 到 19 格的得分）依序為 8、16、24、32、40、46、52、58、64、68、72、76、80、84、88、92、95、98、100。答案已與學校公布的答案逐題核對，19 格全部相同。

一、填充題（本頁第 1～14 題依序為卷面填充第 1、2、3、4、5、6(1)、6(2)、7、8、9、10、11、12、13 題）

關於角度與弧度的敘述，下列哪些選項正確？（多選題，全對才給分）(1) 半徑為

1

，弧長為

3

的扇形之圓心角為

3

弳。　(2)

2 π

弳

= 36 0^{\circ}

。　(3)

5 0^{\circ} < 1

弳

< 6 0^{\circ}

。　(4) 半徑為

2

，圓心角為

3 0^{\circ}

的扇形之弧長為

60

。　(5) 廣義角

π

與

- π

互為同界角。

將

y = sin x

的圖形往左平移

\frac{π}{3}

單位得到

y = f (x)

的圖形，選出正確的選項。（多選題，全對才給分）(1)

f (x) = sin (x + \frac{π}{3})

　(2)

f (x) = sin (x - \frac{π}{3})

　(3)

f (x) = sin (x - \frac{2 π}{3})

　(4)

f (x) = sin (x + \frac{5 π}{3})

　(5)

f (x) = sin (x - \frac{5 π}{3})

計算

sin \frac{π}{2} + cos (- \frac{π}{3}) + tan \frac{π}{6} =

____。

θ = 5

弳是第 ____ 象限角。

有一輪子，半徑

50

公分，讓它在地上滾動

300

公分的長度，則輪子繞軸轉動的弧度為 ____ 弳。

填充第 6 題（第 6～7 題）（第 6～7 題）　如右圖，已知二同心圓的半徑分別為

3

與

6

，且

A D

的弧長為

1

，則：

(1)

∠ C O B

的弧度為 ____。

載入中...

(2) 鋪色區域的面積為 ____。

如右圖，

A

點與

B

點為兩圓之圓心，已知圓

A

的半徑為

2

，且

∠ C A D = 12 0^{\circ}

，

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

右圖是

y = a sin (b x)

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，求有序數對

(a, b) =

____。

載入中...

方程式

sin x = - \frac{x}{10}

解的個數有 ____ 個。

有一時鐘的時針長度為

6

公分（假設時針針尖每分鐘所移動的弧長都相等），則時針針尖每分鐘所移動的弧長為 ____ 公分。

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，求方程式

sin x = \frac{2}{2}

的解為 ____。

如下圖，正

△ A B C

邊長

= 4

，以

A

為圓心，

2

為半徑作弧，此弧與正

△

的內切圓所圍的斜線區域面積為 ____。

載入中...

如右圖，矩形

A B C D

中，

\overline{A B} = 12

，

\overline{B C} = 123

，以為

\overline{A B}

、

\overline{A D}

為直徑作半圓交於

P

，則斜線區域面積為 ____。

載入中...

二、素養題組題（本頁第 15～19 題依序為卷面素養題組第 1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、2(3) 題）

素養題組第 1 題（第 15～16 題）（第 15～16 題）　小華想為一個透天別墅設計一座螺旋式樓梯，其設計原則為：樓梯共

12

階的踏板，讓人上樓的過程恰好選轉（卷面原字，應為「旋轉」）了

2

圈，且每一個踏板皆為全等扇形。回答下列問題：

(1) 每一個扇形踏板的圓角（卷面原字，指圓心角）應為幾度？(A)

6 0^{\circ}

　(B)

9 0^{\circ}

　(C)

18 0^{\circ}

　(D)

36 0^{\circ}

　(E)

72 0^{\circ}

(2) 假設一般人腳掌長度不超過

30

公分，故設計扇形踏板的兩半徑中點連線長為

30

公分，試問所有踏板的總面積為 ____ 平方公分。

素養題組第 2 題（第 17～19 題）（第 17～19 題）　遊樂區中有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，

x

分鐘後，甲車廂離地的高度（公尺）可表為

y = a sin (b x - c) + d

。已知摩天輪離地最近高度為

2

公尺，離地最遠高度為

62

公尺，摩天輪逆時針轉一圈需要

18

分鐘。則：

(1) 運轉

6

分鐘後，甲車廂共繞行 ____ 公尺。

(2) 承 (1)，此時甲車廂離地面 ____ 公尺。

(3)

(a, b) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(5)

第 2 題(1)(5)

第 3 題

\frac{3}{2} + \frac{3}{3}

第 4 題四

第 5 題

6

第 6 題

\frac{1}{3}

第 7 題

\frac{9}{2}

第 8 題

\frac{10}{3} π - 43

第 9 題

(\frac{1}{2}, 2 π)

第 10 題

5

第 11 題

\frac{π}{60}

第 12 題

\frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4}

第 13 題

\frac{2 π}{9} + \frac{4 3}{3}

第 14 題

30 π - 363

第 15 題(A)

第 16 題

7200 π

第 17 題

20 π

第 18 題

47

第 19 題

(30, \frac{π}{9})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1～2 題（第 1～2 題）：弧度的基本觀念、圖形的平移

第 1 題(1) 圓心角（弳）＝弧長 ÷ 半徑＝

3 \div 1 = 3

弳，正確。(2) 一圈是

36 0^{\circ}

，也是

2 π

弳，正確。(3)

1

弳＝

\frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，介於

5 0^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間，正確。(4) 弧長公式裡的圓心角要用弳：

3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

弳，弧長＝

2 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，不是

60

，不對。(5)

π - (- π) = 2 π

，相差

2 π

的整數倍，是同界角，正確。答 (1)(2)(3)(5)。

第 2 題往左平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，所以

f (x) = sin (x + \frac{π}{3})

。正弦函數的週期是

2 π

，角加減

2 π

函數值不變。(1) 就是

f (x)

，正確。(5)

x - \frac{5 π}{3} = (x + \frac{π}{3}) - 2 π

，與

f (x)

相同，正確。(2) 代

x = 0

：

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

，而

f (0) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，不同。(3) 代

x = 0

：

sin (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}

，也與

f (0)

不同。(4)

x + \frac{5 π}{3} = (x - \frac{π}{3}) + 2 π

，與 (2) 是同一個函數，不同。答 (1)(5)。

弧長、扇形面積的公式都要用弳；圖形往左移

h

是把

x

換成

x + h

，再用週期

2 π

找出寫法不同但相同的函數。

02填充第 3～5 題（第 3～5 題）：特殊角、象限、滾動的輪子

第 3 題

sin \frac{π}{2} = 1

；

cos (- \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

（負角的餘弦值不變）；

tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

。三項相加＝

1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{3}{2} + \frac{3}{3}

。

通分寫成

\frac{9 + 2 3}{6}

也是同一個數。

第 4 題

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

2 π \approx 6.28

，而

4.71 < 5 < 6.28

，所以

5

弳介於

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角。

第 5 題輪子在地上滾動不打滑時，滾過的長度就是輪緣轉過的弧長。弧長＝半徑 × 圓心角，所以轉動的弧度＝

300 \div 50 = 6

弳。

03填充第 6～7 題（第 6～8 題）：扇形相減、兩圓重疊的部分

第 6 題由圖，

A

、

D

在半徑

3

的小圓上，

∠ C O B

與

∠ D O A

是同一個角。弧

A D

的長是

1

、半徑是

3

，圓心角＝弧長 ÷ 半徑＝

\frac{1}{3}

弳。

第 7 題鋪色區域＝大扇形

O B C

（半徑

6

）－小扇形

O A D

（半徑

3

），兩個扇形的圓心角都是

\frac{1}{3}

弳：

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{1}{3} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

。

第 8 題連

\overline{C D}

，鋪色區域被分成兩個弓形，每個弓形＝扇形－三角形。圓

A

這邊：半徑

2

、圓心角

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，弓形＝

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times sin 12 0^{\circ} = \frac{4 π}{3} - 3

。圓

B

這邊：

\overline{B C} = \overline{B D}

且

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，三角形

B C D

是正三角形，圓

B

的半徑等於

\overline{C D}

。在等腰三角形

A C D

中，

\overline{C D} = 2 \times 2 \times sin 6 0^{\circ} = 23

，所以圓

B

的半徑是

23

，弓形＝

\frac{1}{2} \times (23)^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times (23)^{2} = 2 π - 33

。兩個弓形相加：

\frac{4 π}{3} - 3 + 2 π - 33 = \frac{10}{3} π - 43

。

數值約

3.54

，比圓

A

的面積

4 π \approx 12.57

小，合理。

弓形面積＝扇形面積－三角形面積；兩圓重疊的部分，連公共弦之後就是兩個弓形。

04填充第 8～9 題（第 9～10 題）：由圖形求係數、圖形的交點個數

第 9 題圖形的最高點高度是

\frac{1}{2}

，

a > 0

，所以振幅

a = \frac{1}{2}

。圖形從原點出發，先上升到最高點、降到最低點，再回到

x

軸上的

x = 1

，正好是一個完整的週期，所以週期是

1

。

b > 0

時週期＝

\frac{2 π}{b} = 1

，

b = 2 π

。所以

(a, b) = (\frac{1}{2}, 2 π)

。

第 10 題解的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = - \frac{x}{10}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，

∣ x ∣ > 10

時

- \frac{x}{10} > 1

，不會有交點，只要看

- 10 \leq x \leq 10

。

x = 0

是一個解。

x > 0

時直線在

x

軸下方，交點只會出現在

sin x < 0

的地方，在

0 < x \leq 10

內是

π < x < 2 π

與

3 π < x \leq 10

（

3 π \approx 9.42

）兩段。在

π < x < 2 π

：

x = π

時曲線（

0

）在直線（約

- 0.31

）上方，

x = \frac{3 π}{2}

時曲線（

- 1

）在直線（約

- 0.47

）下方，

x = 2 π

時曲線（

0

）又在直線（約

- 0.63

）上方，這個波谷與直線交

2

點。在

3 π < x \leq 10

：直線的高度在

- 0.94

以下，而這一段離

3 π

不到

0.58

弳，曲線才剛往下走，最低只到

sin 10 \approx - 0.54

，碰不到直線，沒有交點。所以

x > 0

有

2

個解。兩個圖形都對稱於原點（把

x

換成

- x

，兩邊都變號），

x < 0

也有

2

個解。合計

2 + 2 + 1 = 5

個。

一邊是正弦、一邊是直線的方程式，先用正弦值不超過

1

定出要看的範圍，再一個波一個波數交點，最外側的波要代數字確認碰不碰得到。

05填充第 10～11 題（第 11～12 題）：時針的弧長、正弦方程式

第 11 題時針

12

小時轉一圈，也就是

720

分鐘轉

2 π

弳，每分鐘轉

\frac{2 π}{720} = \frac{π}{360}

弳。針尖在半徑

6

公分的圓上，每分鐘移動的弧長＝

6 \times \frac{π}{360} = \frac{π}{60}

公分。

轉一圈的是

12

小時，不是

60

分鐘（那是分針）。

第 12 題

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

。正弦值為正的角在第一、二象限，第二象限的那一個是

π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內只有這兩個：

x = \frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4}

。

06填充第 12～13 題（第 13～14 題）：圓弧圍成的區域

第 13 題設內切圓的圓心為

I

、半徑為

r

，

D

、

E

是弧與

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的交點，

\overline{A D} = \overline{A E} = 2

，正好是兩邊的中點。正三角形的內切圓與各邊切在中點，所以

D

、

E

也是內切圓的切點，

\overline{I D} ⊥ \overline{A B}

。

\overline{A I}

平分

∠ A

，

∠ D A I = 3 0^{\circ}

，

r = \overline{I D} = 2 tan 3 0^{\circ} = \frac{2 3}{3}

。四邊形

A D I E

中

∠ D = ∠ E = 9 0^{\circ}

、

∠ A = 6 0^{\circ}

，所以

∠ D I E = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。內切圓被弧

D E

切掉的部分（弧

D E

上方）＝扇形

A D E

＋扇形

I D E

－四邊形

A D I E

：扇形

A D E

＝

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

；扇形

I D E

＝

\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{9}

；四邊形

A D I E

＝兩個直角三角形＝

2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{2 3}{3} = \frac{4 3}{3}

。切掉的部分＝

\frac{2 π}{3} + \frac{4 π}{9} - \frac{4 3}{3} = \frac{10 π}{9} - \frac{4 3}{3}

。斜線區域＝內切圓－切掉的部分＝

\frac{4 π}{3} - \frac{10 π}{9} + \frac{4 3}{3} = \frac{2 π}{9} + \frac{4 3}{3}

。

數值約

3.01

，比內切圓的面積

\frac{4 π}{3} \approx 4.19

小，合理。

第 14 題

P

在以

\overline{A B}

為直徑的半圓上，

∠ A P B = 9 0^{\circ}

；

P

也在以

\overline{A D}

為直徑的半圓上，

∠ A P D = 9 0^{\circ}

。兩個直角合起來是

18 0^{\circ}

，所以

B

、

P

、

D

在一直線上，

P

在對角線

\overline{B D}

上。直角三角形

A B D

中

tan ∠ A B D = \frac{12 3}{12} = 3

，

∠ A B D = 6 0^{\circ}

、

∠ A D B = 3 0^{\circ}

。設

M

、

N

分別是

\overline{A B}

、

\overline{A D}

的中點（兩個半圓的圓心，半徑

6

與

63

）。同一段弧

A P

的圓心角是圓周角的兩倍：

∠ A M P = 2 \times 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，

∠ A N P = 2 \times 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。連

\overline{A P}

，斜線區域是兩個弓形。小半圓這邊：

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times sin 12 0^{\circ} = 12 π - 93

。大半圓這邊：三角形

A N P

是邊長

63

的正三角形，弓形＝

\frac{1}{2} \times (63)^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times (63)^{2} = 18 π - 273

。相加得

30 π - 363

。

數值約

31.89

，比小半圓的面積

18 π \approx 56.55

小，合理。

圓弧圍成的區域，先找每段弧的圓心與圓心角，再拆成扇形、弓形與三角形；直徑所對的圓周角是直角，常用來找交點的位置。

07素養題組第 1 題（第 15～16 題）：螺旋樓梯的踏板

第 15 題上樓共旋轉

2

圈＝

72 0^{\circ}

，由

12

個全等的扇形踏板平分，每個踏板的圓心角＝

72 0^{\circ} \div 12 = 6 0^{\circ}

。選 (A)。

卷面印「圓角」，指扇形的圓心角；學校答案也是 (A)。

第 16 題設踏板扇形的半徑是

r

公分。兩條半徑的中點到圓心的距離都是

\frac{r}{2}

，夾角

6 0^{\circ}

，圓心與兩個中點圍成正三角形，所以中點連線長＝

\frac{r}{2} = 30

，

r = 60

。一個踏板的面積＝

\frac{1}{2} \times 6 0^{2} \times \frac{π}{3} = 600 π

，

12

個踏板共

12 \times 600 π = 7200 π

平方公分。

12

個圓心角

6 0^{\circ}

的扇形合起來正好是兩個半徑

60

的圓：

2 \times π \times 6 0^{2} = 7200 π

。

08素養題組第 2 題（第 17～19 題）：摩天輪

第 17 題最低

2

公尺、最高

62

公尺，摩天輪的直徑是

62 - 2 = 60

公尺，半徑

30

公尺。

18

分鐘轉一圈，

6

分鐘轉

\frac{6}{18} = \frac{1}{3}

圈，圓心角

\frac{2 π}{3}

弳。繞行的弧長＝

30 \times \frac{2 π}{3} = 20 π

公尺。

第 18 題圓心離地

2 + 30 = 32

公尺。甲車廂從最低點轉了

12 0^{\circ}

，已經超過與圓心等高的位置（

9 0^{\circ}

）

3 0^{\circ}

，所以比圓心高

30 \times sin 3 0^{\circ} = 15

公尺。離地高度＝

32 + 15 = 47

公尺。

第 19 題高度在

2

與

62

之間變化，振幅＝

\frac{62 - 2}{2} = 30

，中間的高度

d = 32

。週期是

18

分鐘，

\frac{2 π}{b} = 18

，

b = \frac{π}{9}

。取

a > 0

、

b > 0

，得

(a, b) = (30, \frac{π}{9})

。

卷面沒有寫

a

、

b

的正負，這裡照一般的寫法取正的，與學校答案相同。此時

x = 0

在最低點，

sin (- c) = - 1

，可取

c = \frac{π}{2}

，

y = 30 sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) + 32

；代

x = 6

得

30 sin \frac{π}{6} + 32 = 47

，與上一題相符。

圓周運動的高度：最大值與最小值的平均是圓心高度，差的一半是半徑（振幅），轉一圈的時間是週期。

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小港高中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 9 題（本頁第 10 題）要畫出正弦曲線與斜直線，逐段數交點，最外側那個波谷直線已經低於負一，碰不到；填充第 12 題（第 13 題）要先看出弧正好通過內切圓的兩個切點，再把內切圓扣掉兩個弓形；填充第 13 題（第 14 題）要先用半圓的圓周角是直角看出交點在對角線上，才找得到兩個圓心角；素養題組 1(2)（第 16 題）兩半徑中點的連線是半徑的一半，不是半徑。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自小港高中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

小港高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、填充題（本頁第 1～14 題依序為卷面填充第 1、2、3、4、5、6(1)、6(2)、7、8、9、10、11、12、13 題）

關於角度與弧度的敘述，下列哪些選項正確？（多選題，全對才給分）(1) 半徑為

1

，弧長為

3

的扇形之圓心角為

3

弳。　(2)

2 π

弳

= 36 0^{\circ}

。　(3)

5 0^{\circ} < 1

弳

< 6 0^{\circ}

。　(4) 半徑為

2

，圓心角為

3 0^{\circ}

的扇形之弧長為

60

。　(5) 廣義角

π

與

- π

互為同界角。

將

y = sin x

的圖形往左平移

\frac{π}{3}

單位得到

y = f (x)

的圖形，選出正確的選項。（多選題，全對才給分）(1)

f (x) = sin (x + \frac{π}{3})

　(2)

f (x) = sin (x - \frac{π}{3})

　(3)

f (x) = sin (x - \frac{2 π}{3})

　(4)

f (x) = sin (x + \frac{5 π}{3})

　(5)

f (x) = sin (x - \frac{5 π}{3})

計算

sin \frac{π}{2} + cos (- \frac{π}{3}) + tan \frac{π}{6} =

____。

θ = 5

弳是第 ____ 象限角。

有一輪子，半徑

50

公分，讓它在地上滾動

300

公分的長度，則輪子繞軸轉動的弧度為 ____ 弳。

填充第 6 題（第 6～7 題）（第 6～7 題）　如右圖，已知二同心圓的半徑分別為

3

與

6

，且

A D

的弧長為

1

，則：

(1)

∠ C O B

的弧度為 ____。

載入中...

(2) 鋪色區域的面積為 ____。

如右圖，

A

點與

B

點為兩圓之圓心，已知圓

A

的半徑為

2

，且

∠ C A D = 12 0^{\circ}

，

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

右圖是

y = a sin (b x)

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，求有序數對

(a, b) =

____。

載入中...

方程式

sin x = - \frac{x}{10}

解的個數有 ____ 個。

有一時鐘的時針長度為

6

公分（假設時針針尖每分鐘所移動的弧長都相等），則時針針尖每分鐘所移動的弧長為 ____ 公分。

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，求方程式

sin x = \frac{2}{2}

的解為 ____。

如下圖，正

△ A B C

邊長

= 4

，以

A

為圓心，

2

為半徑作弧，此弧與正

△

的內切圓所圍的斜線區域面積為 ____。

載入中...

如右圖，矩形

A B C D

中，

\overline{A B} = 12

，

\overline{B C} = 123

，以為

\overline{A B}

、

\overline{A D}

為直徑作半圓交於

P

，則斜線區域面積為 ____。

載入中...

二、素養題組題（本頁第 15～19 題依序為卷面素養題組第 1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、2(3) 題）

素養題組第 1 題（第 15～16 題）（第 15～16 題）　小華想為一個透天別墅設計一座螺旋式樓梯，其設計原則為：樓梯共

12

階的踏板，讓人上樓的過程恰好選轉（卷面原字，應為「旋轉」）了

2

圈，且每一個踏板皆為全等扇形。回答下列問題：

(1) 每一個扇形踏板的圓角（卷面原字，指圓心角）應為幾度？(A)

6 0^{\circ}

　(B)

9 0^{\circ}

　(C)

18 0^{\circ}

　(D)

36 0^{\circ}

　(E)

72 0^{\circ}

(2) 假設一般人腳掌長度不超過

30

公分，故設計扇形踏板的兩半徑中點連線長為

30

公分，試問所有踏板的總面積為 ____ 平方公分。

素養題組第 2 題（第 17～19 題）（第 17～19 題）　遊樂區中有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，

x

分鐘後，甲車廂離地的高度（公尺）可表為

y = a sin (b x - c) + d

。已知摩天輪離地最近高度為

2

公尺，離地最遠高度為

62

公尺，摩天輪逆時針轉一圈需要

18

分鐘。則：

(1) 運轉

6

分鐘後，甲車廂共繞行 ____ 公尺。

(2) 承 (1)，此時甲車廂離地面 ____ 公尺。

(3)

(a, b) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(5)

第 2 題(1)(5)

第 3 題

\frac{3}{2} + \frac{3}{3}

第 4 題四

第 5 題

6

第 6 題

\frac{1}{3}

第 7 題

\frac{9}{2}

第 8 題

\frac{10}{3} π - 43

第 9 題

(\frac{1}{2}, 2 π)

第 10 題

5

第 11 題

\frac{π}{60}

第 12 題

\frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4}

第 13 題

\frac{2 π}{9} + \frac{4 3}{3}

第 14 題

30 π - 363

第 15 題(A)

第 16 題

7200 π

第 17 題

20 π

第 18 題

47

第 19 題

(30, \frac{π}{9})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1～2 題（第 1～2 題）：弧度的基本觀念、圖形的平移

第 1 題(1) 圓心角（弳）＝弧長 ÷ 半徑＝

3 \div 1 = 3

弳，正確。(2) 一圈是

36 0^{\circ}

，也是

2 π

弳，正確。(3)

1

弳＝

\frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，介於

5 0^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間，正確。(4) 弧長公式裡的圓心角要用弳：

3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

弳，弧長＝

2 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，不是

60

，不對。(5)

π - (- π) = 2 π

，相差

2 π

的整數倍，是同界角，正確。答 (1)(2)(3)(5)。

第 2 題往左平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，所以

f (x) = sin (x + \frac{π}{3})

。正弦函數的週期是

2 π

，角加減

2 π

函數值不變。(1) 就是

f (x)

，正確。(5)

x - \frac{5 π}{3} = (x + \frac{π}{3}) - 2 π

，與

f (x)

相同，正確。(2) 代

x = 0

：

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

，而

f (0) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，不同。(3) 代

x = 0

：

sin (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}

，也與

f (0)

不同。(4)

x + \frac{5 π}{3} = (x - \frac{π}{3}) + 2 π

，與 (2) 是同一個函數，不同。答 (1)(5)。

弧長、扇形面積的公式都要用弳；圖形往左移

h

是把

x

換成

x + h

，再用週期

2 π

找出寫法不同但相同的函數。

02填充第 3～5 題（第 3～5 題）：特殊角、象限、滾動的輪子

第 3 題

sin \frac{π}{2} = 1

；

cos (- \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

（負角的餘弦值不變）；

tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

。三項相加＝

1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{3}{2} + \frac{3}{3}

。

通分寫成

\frac{9 + 2 3}{6}

也是同一個數。

第 4 題

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

2 π \approx 6.28

，而

4.71 < 5 < 6.28

，所以

5

弳介於

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角。

第 5 題輪子在地上滾動不打滑時，滾過的長度就是輪緣轉過的弧長。弧長＝半徑 × 圓心角，所以轉動的弧度＝

300 \div 50 = 6

弳。

03填充第 6～7 題（第 6～8 題）：扇形相減、兩圓重疊的部分

第 6 題由圖，

A

、

D

在半徑

3

的小圓上，

∠ C O B

與

∠ D O A

是同一個角。弧

A D

的長是

1

、半徑是

3

，圓心角＝弧長 ÷ 半徑＝

\frac{1}{3}

弳。

第 7 題鋪色區域＝大扇形

O B C

（半徑

6

）－小扇形

O A D

（半徑

3

），兩個扇形的圓心角都是

\frac{1}{3}

弳：

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{1}{3} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

。

第 8 題連

\overline{C D}

，鋪色區域被分成兩個弓形，每個弓形＝扇形－三角形。圓

A

這邊：半徑

2

、圓心角

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，弓形＝

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times sin 12 0^{\circ} = \frac{4 π}{3} - 3

。圓

B

這邊：

\overline{B C} = \overline{B D}

且

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，三角形

B C D

是正三角形，圓

B

的半徑等於

\overline{C D}

。在等腰三角形

A C D

中，

\overline{C D} = 2 \times 2 \times sin 6 0^{\circ} = 23

，所以圓

B

的半徑是

23

，弓形＝

\frac{1}{2} \times (23)^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times (23)^{2} = 2 π - 33

。兩個弓形相加：

\frac{4 π}{3} - 3 + 2 π - 33 = \frac{10}{3} π - 43

。

數值約

3.54

，比圓

A

的面積

4 π \approx 12.57

小，合理。

弓形面積＝扇形面積－三角形面積；兩圓重疊的部分，連公共弦之後就是兩個弓形。

04填充第 8～9 題（第 9～10 題）：由圖形求係數、圖形的交點個數

第 9 題圖形的最高點高度是

\frac{1}{2}

，

a > 0

，所以振幅

a = \frac{1}{2}

。圖形從原點出發，先上升到最高點、降到最低點，再回到

x

軸上的

x = 1

，正好是一個完整的週期，所以週期是

1

。

b > 0

時週期＝

\frac{2 π}{b} = 1

，

b = 2 π

。所以

(a, b) = (\frac{1}{2}, 2 π)

。

第 10 題解的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = - \frac{x}{10}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，

∣ x ∣ > 10

時

- \frac{x}{10} > 1

，不會有交點，只要看

- 10 \leq x \leq 10

。

x = 0

是一個解。

x > 0

時直線在

x

軸下方，交點只會出現在

sin x < 0

的地方，在

0 < x \leq 10

內是

π < x < 2 π

與

3 π < x \leq 10

（

3 π \approx 9.42

）兩段。在

π < x < 2 π

：

x = π

時曲線（

0

）在直線（約

- 0.31

）上方，

x = \frac{3 π}{2}

時曲線（

- 1

）在直線（約

- 0.47

）下方，

x = 2 π

時曲線（

0

）又在直線（約

- 0.63

）上方，這個波谷與直線交

2

點。在

3 π < x \leq 10

：直線的高度在

- 0.94

以下，而這一段離

3 π

不到

0.58

弳，曲線才剛往下走，最低只到

sin 10 \approx - 0.54

，碰不到直線，沒有交點。所以

x > 0

有

2

個解。兩個圖形都對稱於原點（把

x

換成

- x

，兩邊都變號），

x < 0

也有

2

個解。合計

2 + 2 + 1 = 5

個。

一邊是正弦、一邊是直線的方程式，先用正弦值不超過

1

定出要看的範圍，再一個波一個波數交點，最外側的波要代數字確認碰不碰得到。

05填充第 10～11 題（第 11～12 題）：時針的弧長、正弦方程式

第 11 題時針

12

小時轉一圈，也就是

720

分鐘轉

2 π

弳，每分鐘轉

\frac{2 π}{720} = \frac{π}{360}

弳。針尖在半徑

6

公分的圓上，每分鐘移動的弧長＝

6 \times \frac{π}{360} = \frac{π}{60}

公分。

轉一圈的是

12

小時，不是

60

分鐘（那是分針）。

第 12 題

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

。正弦值為正的角在第一、二象限，第二象限的那一個是

π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內只有這兩個：

x = \frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4}

。

06填充第 12～13 題（第 13～14 題）：圓弧圍成的區域

第 13 題設內切圓的圓心為

I

、半徑為

r

，

D

、

E

是弧與

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的交點，

\overline{A D} = \overline{A E} = 2

，正好是兩邊的中點。正三角形的內切圓與各邊切在中點，所以

D

、

E

也是內切圓的切點，

\overline{I D} ⊥ \overline{A B}

。

\overline{A I}

平分

∠ A

，

∠ D A I = 3 0^{\circ}

，

r = \overline{I D} = 2 tan 3 0^{\circ} = \frac{2 3}{3}

。四邊形

A D I E

中

∠ D = ∠ E = 9 0^{\circ}

、

∠ A = 6 0^{\circ}

，所以

∠ D I E = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。內切圓被弧

D E

切掉的部分（弧

D E

上方）＝扇形

A D E

＋扇形

I D E

－四邊形

A D I E

：扇形

A D E

＝

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

；扇形

I D E

＝

\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{9}

；四邊形

A D I E

＝兩個直角三角形＝

2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{2 3}{3} = \frac{4 3}{3}

。切掉的部分＝

\frac{2 π}{3} + \frac{4 π}{9} - \frac{4 3}{3} = \frac{10 π}{9} - \frac{4 3}{3}

。斜線區域＝內切圓－切掉的部分＝

\frac{4 π}{3} - \frac{10 π}{9} + \frac{4 3}{3} = \frac{2 π}{9} + \frac{4 3}{3}

。

數值約

3.01

，比內切圓的面積

\frac{4 π}{3} \approx 4.19

小，合理。

第 14 題

P

在以

\overline{A B}

為直徑的半圓上，

∠ A P B = 9 0^{\circ}

；

P

也在以

\overline{A D}

為直徑的半圓上，

∠ A P D = 9 0^{\circ}

。兩個直角合起來是

18 0^{\circ}

，所以

B

、

P

、

D

在一直線上，

P

在對角線

\overline{B D}

上。直角三角形

A B D

中

tan ∠ A B D = \frac{12 3}{12} = 3

，

∠ A B D = 6 0^{\circ}

、

∠ A D B = 3 0^{\circ}

。設

M

、

N

分別是

\overline{A B}

、

\overline{A D}

的中點（兩個半圓的圓心，半徑

6

與

63

）。同一段弧

A P

的圓心角是圓周角的兩倍：

∠ A M P = 2 \times 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，

∠ A N P = 2 \times 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。連

\overline{A P}

，斜線區域是兩個弓形。小半圓這邊：

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times sin 12 0^{\circ} = 12 π - 93

。大半圓這邊：三角形

A N P

是邊長

63

的正三角形，弓形＝

\frac{1}{2} \times (63)^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times (63)^{2} = 18 π - 273

。相加得

30 π - 363

。

數值約

31.89

，比小半圓的面積

18 π \approx 56.55

小，合理。

圓弧圍成的區域，先找每段弧的圓心與圓心角，再拆成扇形、弓形與三角形；直徑所對的圓周角是直角，常用來找交點的位置。

07素養題組第 1 題（第 15～16 題）：螺旋樓梯的踏板

第 15 題上樓共旋轉

2

圈＝

72 0^{\circ}

，由

12

個全等的扇形踏板平分，每個踏板的圓心角＝

72 0^{\circ} \div 12 = 6 0^{\circ}

。選 (A)。

卷面印「圓角」，指扇形的圓心角；學校答案也是 (A)。

第 16 題設踏板扇形的半徑是

r

公分。兩條半徑的中點到圓心的距離都是

\frac{r}{2}

，夾角

6 0^{\circ}

，圓心與兩個中點圍成正三角形，所以中點連線長＝

\frac{r}{2} = 30

，

r = 60

。一個踏板的面積＝

\frac{1}{2} \times 6 0^{2} \times \frac{π}{3} = 600 π

，

12

個踏板共

12 \times 600 π = 7200 π

平方公分。

12

個圓心角

6 0^{\circ}

的扇形合起來正好是兩個半徑

60

的圓：

2 \times π \times 6 0^{2} = 7200 π

。

08素養題組第 2 題（第 17～19 題）：摩天輪

第 17 題最低

2

公尺、最高

62

公尺，摩天輪的直徑是

62 - 2 = 60

公尺，半徑

30

公尺。

18

分鐘轉一圈，

6

分鐘轉

\frac{6}{18} = \frac{1}{3}

圈，圓心角

\frac{2 π}{3}

弳。繞行的弧長＝

30 \times \frac{2 π}{3} = 20 π

公尺。

第 18 題圓心離地

2 + 30 = 32

公尺。甲車廂從最低點轉了

12 0^{\circ}

，已經超過與圓心等高的位置（

9 0^{\circ}

）

3 0^{\circ}

，所以比圓心高

30 \times sin 3 0^{\circ} = 15

公尺。離地高度＝

32 + 15 = 47

公尺。

第 19 題高度在

2

與

62

之間變化，振幅＝

\frac{62 - 2}{2} = 30

，中間的高度

d = 32

。週期是

18

分鐘，

\frac{2 π}{b} = 18

，

b = \frac{π}{9}

。取

a > 0

、

b > 0

，得

(a, b) = (30, \frac{π}{9})

。

卷面沒有寫

a

、

b

的正負，這裡照一般的寫法取正的，與學校答案相同。此時

x = 0

在最低點，

sin (- c) = - 1

，可取

c = \frac{π}{2}

，

y = 30 sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) + 32

；代

x = 6

得

30 sin \frac{π}{6} + 32 = 47

，與上一題相符。

圓周運動的高度：最大值與最小值的平均是圓心高度，差的一半是半徑（振幅），轉一圈的時間是週期。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

小港高中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自小港高中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

小港高中 112 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01填充第 1～2 題（第 1～2 題）：弧度的基本觀念、圖形的平移

02填充第 3～5 題（第 3～5 題）：特殊角、象限、滾動的輪子

03填充第 6～7 題（第 6～8 題）：扇形相減、兩圓重疊的部分

04填充第 8～9 題（第 9～10 題）：由圖形求係數、圖形的交點個數

05填充第 10～11 題（第 11～12 題）：時針的弧長、正弦方程式

06填充第 12～13 題（第 13～14 題）：圓弧圍成的區域

07素養題組第 1 題（第 15～16 題）：螺旋樓梯的踏板

08素養題組第 2 題（第 17～19 題）：摩天輪

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05填充第 10～11 題（第 11～12 題）：時針的弧長、正弦方程式

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小港高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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