段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數與科學記號）

小港高中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 5 題每格 1 分，填充題 19 題每格 5 分（全對才給分），合計 100 分。第 6～24 題是卷面填充題第 1～19 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、是非題：(每格 1 分)

若

a

，

b

為有理數，

c

，

d

為無理數且

a + c = b + d

，則

a = b

且

c = d

。

(3 - 2)^{2} = 3 - 2

。

不等式

∣2 x - 1∣ \leq 5

與

∣2 - 4 x ∣ \leq 10

的解相同。

若

a

，

b

，

a + b

都是無理數，則

a - b

也是無理數

a

，

b

均為實數若

a \cdot b \neq = 0

且

a > b

，則

\frac{1}{a} < \frac{1}{b}

二、填充題每格 5 分(全對才給分)

滿足不等式

∣ x - 5∣ < 7 + 413

的整數解

x

共有 ____ 個？

（　）設

a

、

b

為循環小數，

a = 1. \overline{25}

、

b = 0.0 \overline{5}

。則

a - b

的值是下列哪一個選項？ (A)

1.2

　(B)

1. \overline{2}

　(C)

\frac{13}{9}

　(D)

\frac{79}{66}

　(E)

\frac{395}{333}

（　）下列哪些有理數可化成有限小數？ (A)

\frac{234}{48}

　(B)

\frac{137}{15}

　(C)

\frac{7}{150}

　(D)

\frac{13}{256}

　(E)

\frac{63}{105}

（　）已知實數

a

，

b

的變動範圍為

- 1 \leq a \leq 4

，

1 \leq b \leq 5

，則下列哪些選項是正確的？ (A)

a + b

的範圍為

0 \leq a + b \leq 9

　(B)

a - b

的範圍為

- 2 \leq a - b \leq - 1

　(C)

ab

的範圍為

- 1 \leq ab \leq 20

　(D)

\frac{a}{b}

的範圍為

- 1 \leq \frac{a}{b} \leq 4

　(E)

2 \leq a^{2} + b^{2} \leq 41

設

a

，

b

為實數，若

∣ a x + 3∣ \leq b

之解為

- 1 \leq x \leq 6

，則

a + b =

____

設

x

、

y

是有理數，若

(1 - 25) x + (2 + 45) y = 8 - 25

，則

x + y =

____

化簡

\frac{2 + 3}{2 - 3} + 2 15 + 216 =

有理數

a

，求

a =

____

已知

a > 2

且

a^{2} - 6 a + 7 = 0

，若

a

的整數部分為

K

，

a

的小數部分為

b

，求

b^{3} + \frac{1}{b ^{3}} =

____。

小叮噹想用

50

公尺的竹籬圍成一個矩形的空地養貓，並在其中一個邊的正中央留下

6

公尺的出入口，如圖。試問小叮噹他所能圍成的矩形空地面積最大為 ____ 平方公尺

載入中...

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，若將

(\frac{1}{2})^{65}

表為小數時，小數點後面有連續

n

個

0

，小數點後面第

n + 1

位數開始不為

0

，求

n =

____

設

x

為實數，解方程式

∣ x - 1∣ - 2 x - 6 = 0

，求

x =

____

A 的坐標

(- 4)

，B 的坐標

(5)

，若點 c 在

\overline{A B}

上，且

\overline{A C} = \frac{3}{5} \overline{A B}

，則 c 點的坐標為 ____。

（　）假設世界人口自

1980

年起，

50

年內每年增長率均固定為

r

。已知

1987

年末世界人口達

45

億，則

1988

年末人口就是

45 (1 + r)

，

1989

年末人口就是

45 (1 + r)^{2}

，若

1999

年末第

54

億人誕生在賽拉佛耶。根據這些資料推測

2023

年末世界人口數最接近下列哪一個數？ (A)

73

億　(B)

78

億　(C)

85

億　(D)

92

億　(E)

100

億

設

2^{x - 1} = \frac{5 + 2}{2}

，則

8^{x} - 8^{- x} =

有理數

Q

，求

Q =

____。

(\frac{0.125}{27})^{- \frac{1}{3}} \times (\frac{0.25}{9})^{0.5} =

整數

Z

，求

Z =

____

已知不等式

{∣2 x - 1∣ < a ∣3 x + 2∣ \geq b

的解為

2 \leq x < 3

，求

a + b =

____。

大雄手機有個計算程式，螢幕上只會出現一個數，每次點擊螢幕上的數

a

後，螢幕上的就會出現

a^{2}

，大雄打開此計算程式發現螢幕上出現一個正數

b

，他連續點擊螢幕四次後螢幕出現

8 1^{4}

，請問當大雄打開計算程式還未點擊螢幕時出現在螢幕上的正數

b =

____

設

a = lo g 3

，

b = lo g 2

，

c = lo g 7

，則

10 0^{a + b + c} =

____。

暑假大熊熊和大叮噹到科工館參觀，在展示宇宙的展區發現展示牌寫著地球質量約為

5.9724 \times 1 0^{24}

公斤，火星質量約為

6.4185 \times 1 0^{23}

公斤，大熊熊就問大叮噹地球質量比火星大多少公斤？則大叮噹的正確答案是 ____ 公斤（四捨五入取四位有效數字，並以科學記號表示）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1×

2×

3○

4×

5×

第 6 題

43

第 7 題(D)

第 8 題(A)(D)(E)

第 9 題(A)(D)

第 10 題

3

第 11 題

6

第 12 題

1

第 13 題

102

第 14 題

196

第 15 題

19

第 16 題

- \frac{5}{3}

第 17 題

\frac{7}{5}

第 18 題(B)

第 19 題

76

第 20 題

1

第 21 題

13

第 22 題

3

第 23 題

84

第 24 題

5.331 \times 1 0^{24}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題（第 1～5 題）

第 1 題×舉一個反例就夠了。取

a = 0

、

c = 1 + 2

、

b = 1

、

d = 2

：

a

、

b

是有理數，

c

、

d

是無理數，而且

a + c = 1 + 2 = b + d

，但

a \neq = b

、

c \neq = d

。答 ×。

「有理數部分相等、無理數部分相等」只能用在

a + c 2 = b + d 2

（

a, b, c, d

都是有理數）這種寫法上；這一題的

c

、

d

只說是無理數，裡面可以藏著有理數。

第 2 題×

A^{2} = ∣ A ∣

。因為

3 \approx 1.732 < 2

，所以

3 - 2

是負數，

(3 - 2)^{2} = 3 - 2 = 2 - 3

。左邊是正數、右邊

3 - 2

是負數，不相等。答 ×。

第 3 題○

∣2 - 4 x ∣ = ∣ - 2 (2 x - 1) ∣ = 2 ∣2 x - 1∣

，所以

∣2 - 4 x ∣ \leq 10

就是

2 ∣2 x - 1∣ \leq 10

，即

∣2 x - 1∣ \leq 5

，兩個不等式完全一樣。解都是

- 5 \leq 2 x - 1 \leq 5

，即

- 2 \leq x \leq 3

。答 ○。

第 4 題×取

a = b = 2

：

a

、

b

是無理數，

a + b = 22

也是無理數，但

a - b = 0

是有理數。答 ×。

第 5 題×取

a = 1

、

b = - 1

：

ab = - 1 \neq = 0

且

a > b

，但

\frac{1}{a} = 1

，

\frac{1}{b} = - 1

，

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

。答 ×。

a

、

b

同號時（

ab > 0

），

a > b

兩邊同除以正數

ab

得

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，敘述才成立；一正一負時正數的倒數還是比較大。

判斷「若…則…」的敘述：要說它對，得講出理由；要說它錯，舉出一個符合前提卻不符合結論的例子就夠。

02卷面填充第 2、3、6、7、8、12 題（第 7、8、11、12、13、17 題）：實數與根式

第 7 題把兩個循環小數化成分數。

a = 1. \overline{25} = 1 + \frac{25}{99} = \frac{124}{99}

。

b = 0.0 \overline{5}

：先看

10 b = 0. \overline{5} = \frac{5}{9}

，所以

b = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}

。通分（

99

與

18

的最小公倍數是

198

）：

a - b = \frac{248}{198} - \frac{11}{198} = \frac{237}{198} = \frac{79}{66}

，選 (D)。其他選項：(A)

1.2 = \frac{6}{5}

，(B)

1. \overline{2} = \frac{11}{9}

，(C)

\frac{13}{9}

，(E)

\frac{395}{333}

，都不等於

\frac{79}{66}

。

a

的循環節是

25

兩位，分母是

99

；

b

的循環節只有

5

一位，而且前面還有一個不循環的

0

，分母是

90

。若把

a

看成只有

5

在循環，會算出

1.2

而誤選 (A)。

第 8 題先約成最簡分數，再看分母：分母的質因數只有

2

或

5

的，才能化成有限小數。 (A) 可以。

\frac{234}{48} = \frac{39}{8}

，

8 = 2^{3}

，

\frac{39}{8} = 4.875

。 (B) 不可以。

\frac{137}{15}

已是最簡分數，分母

15 = 3 \times 5

含有

3

。 (C) 不可以。

\frac{7}{150}

已是最簡分數，分母

150 = 2 \times 3 \times 5^{2}

含有

3

。 (D) 可以。分母

256 = 2^{8}

。 (E) 可以。

\frac{63}{105} = \frac{3}{5} = 0.6

。所以選 (A)(D)(E)。

一定要先約分再看分母。(A) 的

48

與 (E) 的

105

都含有

3

，但約分後

3

被消掉了。

第 11 題

45 = 35

。把左邊依「有沒有

5

」整理：

(x + 2 y) + (- 2 x + 3 y) 5 = 8 - 25

。

x

、

y

是有理數，所以

x + 2 y

與

- 2 x + 3 y

都是有理數，兩邊有理數部分相等、

5

的係數相等：

x + 2 y = 8

，

- 2 x + 3 y = - 2

。第一式乘以

2

加到第二式：

7 y = 14

，

y = 2

，代回得

x = 4

。所以

x + y = 6

。

第 12 題第一項分母有理化，上下同乘

2 + 3

：

\frac{2 + 3}{2 - 3} = \frac{( 2 + 3 ) ^{2}}{2 - 3} = - (5 + 26)

第二項：

216 = 254

，找兩數和為

15

、積為

54

：

9

和

6

。所以

15 + 254 = (9 + 6)^{2}

，

15 + 216 = 3 + 6

，乘以

2

得

6 + 26

。相加：

- 5 - 26 + 6 + 26 = 1

，所以

a = 1

。

雙重根號要先把裡面那個根號寫成「

2

」的樣子：

216 = 4 \times 54 = 254

，再找和與積。

第 13 題配方：

a^{2} - 6 a + 9 = 2

，

(a - 3)^{2} = 2

，

a = 3 \pm 2

。

3 - 2 \approx 1.586

不合

a > 2

，所以

a = 3 + 2 \approx 4.414

。整數部分

K = 4

，小數部分

b = a - 4 = 2 - 1

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

，所以

b + \frac{1}{b} = 22

，而

b \cdot \frac{1}{b} = 1

。用立方和的乘法公式

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

：

b^{3} + \frac{1}{b ^{3}} = (22)^{3} - 3 \times 1 \times 22 = 162 - 62 = 102

不要直接把

(2 - 1)^{3}

乘開。先求

b + \frac{1}{b}

，再用乘法公式，計算量小很多。

第 17 題題目的點 c 就是式子裡的

C

。

\overline{A B} = 5 - (- 4) = 9

，所以

\overline{A C} = \frac{3}{5} \times 9 = \frac{27}{5}

。

C

在

\overline{A B}

上，所以從

A

往

B

的方向（向右）走

\frac{27}{5}

：坐標是

- 4 + \frac{27}{5} = \frac{7}{5}

。

也可以用分點公式：

\overline{A C} : \overline{C B} = 3 : 2

，坐標

= \frac{2 \times ( - 4 ) + 3 \times 5}{3 + 2} = \frac{7}{5}

。

循環小數先化成分數再算；能不能化成有限小數要約分後看分母；

p + q 5

（

p, q

是有理數）相等時，有理數部分與根號的係數分別相等。

03卷面填充第 1、4、5、11、16 題（第 6、9、10、16、21 題）：絕對值與不等式

第 6 題先估計右邊：

413 = 208

，而

1 4^{2} = 196 < 208 < 225 = 1 5^{2}

，所以

14 < 413 < 15

，

21 < 7 + 413 < 22

。

x

是整數時

∣ x - 5∣

也是整數，所以條件就是

∣ x - 5∣ \leq 21

，即

- 16 \leq x \leq 26

。整數共有

26 - (- 16) + 1 = 43

個。

也可以這樣數：

∣ x - 5∣ = 0

有

1

個，

∣ x - 5∣ = 1, 2, \dots, 21

各有

2

個，共

1 + 2 \times 21 = 43

個。

第 9 題(A) 正確。兩個範圍直接相加：

- 1 + 1 \leq a + b \leq 4 + 5

，即

0 \leq a + b \leq 9

。 (B) 錯誤。減法要「小的減大的」到「大的減小的」：

- 1 - 5 \leq a - b \leq 4 - 1

，即

- 6 \leq a - b \leq 3

。例如

a = 4

、

b = 1

時

a - b = 3

，不在選項寫的範圍內。 (C) 錯誤。

b

是正數，

a

可正可負：

a = - 1

、

b = 5

時

ab = - 5

，比

- 1

小。正確範圍是

- 5 \leq ab \leq 20

。 (D) 正確。

b \geq 1

是正數。

a \geq 0

時

0 \leq \frac{a}{b} \leq \frac{4}{1} = 4

；

a < 0

時

\frac{a}{b}

是負的，分母愈小它愈小，最小是

\frac{- 1}{1} = - 1

。所以

- 1 \leq \frac{a}{b} \leq 4

。 (E) 錯誤。

- 1 \leq a \leq 4

包含

0

，所以

0 \leq a^{2} \leq 16

；

1 \leq b^{2} \leq 25

。相加得

1 \leq a^{2} + b^{2} \leq 41

，例如

a = 0

、

b = 1

時

a^{2} + b^{2} = 1

，比

2

小。所以選 (A)(D)。

只有加法可以把兩個範圍的端點直接對應相加。減、乘、除、平方都要考慮正負號，把四個角落的組合都試一次；平方還要留意範圍有沒有跨過

0

。

第 10 題解的兩個端點

x = - 1

與

x = 6

會讓等號成立，也就是

∣ - a + 3∣ = b

且

∣6 a + 3∣ = b

，所以

∣ - a + 3∣ = ∣6 a + 3∣

。兩個數的絕對值相等，則兩數相等或互為相反數。若

- a + 3 = 6 a + 3

，得

a = 0

，這時不等式變成

3 \leq b

，解不會是一段，不合。若

- a + 3 = - (6 a + 3)

，得

5 a = - 6

，

a = - \frac{6}{5}

。

b = ∣ - a + 3∣ = \frac{6}{5} + 3 = \frac{21}{5}

。所以

a + b = - \frac{6}{5} + \frac{21}{5} = 3

。檢查：

- \frac{6}{5} x + 3 \leq \frac{21}{5}

兩邊同乘

\frac{5}{6}

得

x - \frac{5}{2} \leq \frac{7}{2}

，即

- 1 \leq x \leq 6

，符合。

另一個看法：解的中點

\frac{- 1 + 6}{2} = \frac{5}{2}

會使絕對值裡面等於

0

，所以

\frac{5}{2} a + 3 = 0

，直接得

a = - \frac{6}{5}

。

第 16 題依

x - 1

的正負分兩段。當

x \geq 1

：

∣ x - 1∣ = x - 1

，方程式是

x - 1 - 2 x - 6 = 0

，得

x = - 7

，不在

x \geq 1

的範圍內，不合。當

x < 1

：

∣ x - 1∣ = 1 - x

，方程式是

1 - x - 2 x - 6 = 0

，得

x = - \frac{5}{3}

，確實小於

1

，合。所以

x = - \frac{5}{3}

。驗算：

- \frac{5}{3} - 1 = \frac{8}{3}

，

- 2 x - 6 = \frac{10}{3} - 6 = - \frac{8}{3}

，相加為

0

。

分段討論解出來的值，要回頭確認它在那一段的範圍內；

x = - 7

就是不在範圍內的假解。

第 21 題第一式：

∣2 x - 1∣ < a

即

- a < 2 x - 1 < a

，解是

\frac{1 - a}{2} < x < \frac{1 + a}{2}

，兩端都不含等號。第二式：

∣3 x + 2∣ \geq b

即

3 x + 2 \geq b

或

3 x + 2 \leq - b

，解是

x \geq \frac{b - 2}{3}

或

x \leq \frac{- b - 2}{3}

，端點含等號。聯立的解是

2 \leq x < 3

。右端

3

不含等號，是第一式給的：

\frac{1 + a}{2} = 3

，

a = 5

，第一式的解是

- 2 < x < 3

。左端

2

含等號，是第二式給的：

\frac{b - 2}{3} = 2

，

b = 8

。檢查：

b = 8

時第二式的解是

x \geq 2

或

x \leq - \frac{10}{3}

，與

- 2 < x < 3

的共同部分正是

2 \leq x < 3

。所以

a + b = 13

。

看端點有沒有等號，就知道那個端點是哪一個不等式決定的：「

<

」來自第一式，「

\leq

」來自第二式。

∣ X ∣ \leq r

是

- r \leq X \leq r

（一段），

∣ X ∣ \geq r

是

X \geq r

或

X \leq - r

（兩段）；由解反推係數時，從端點與中點下手。

04卷面填充第 9 題（第 14 題）：算幾不等式

第 14 題竹籬長

50

公尺，再加上不用圍的出入口

6

公尺，矩形的周長是

56

公尺。設矩形的長、寬為

x

、

y

公尺，則

2 (x + y) = 56

，

x + y = 28

。

x

、

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

得

14 \geq x y

，即

x y \leq 196

。等號在

x = y = 14

時成立，這時每一邊長

14

公尺，放得下

6

公尺的出入口。所以面積最大是

196

平方公尺。

周長不是

50

：出入口那

6

公尺沒有竹籬，但仍是矩形邊長的一部分，所以周長是

50 + 6 = 56

。若用

50

當周長會算出

156.25

。

兩個正數的和固定時，相等的時候乘積最大。

05卷面填充第 13、14、15、17 題（第 18、19、20、22 題）：指數

第 18 題

1987

年末是

45

億，之後每過一年乘以

(1 + r)

。

1999

年末是

12

年後：

45 (1 + r)^{12} = 54

，所以

(1 + r)^{12} = \frac{54}{45} = 1.2

。

2023

年末是

2023 - 1987 = 36

年後，而

36 = 12 \times 3

：

45 (1 + r)^{36} = 45 \times [(1 + r)^{12}]^{3} = 45 \times 1. 2^{3} = 45 \times 1.728 = 77.76

約

77.76

億，最接近

78

億，選 (B)。

不必把

r

解出來。把「每

12

年變成

1.2

倍」當成一個單位，

36

年就是三個單位。

第 19 題

2^{x - 1} = \frac{2 ^{x}}{2}

，所以

2^{x} = 5 + 2

。

2^{- x} = \frac{1}{5 + 2} = \frac{5 - 2}{5 - 4} = 5 - 2

。令

t = 2^{x}

，則

8^{x} = (2^{3})^{x} = t^{3}

，

8^{- x} = \frac{1}{t ^{3}}

，而

t - \frac{1}{t} = (5 + 2) - (5 - 2) = 4

。用立方差的乘法公式

p^{3} - q^{3} = (p - q)^{3} + 3 pq (p - q)

，其中

t \cdot \frac{1}{t} = 1

：

8^{x} - 8^{- x} = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = 4^{3} + 3 \times 1 \times 4 = 76

5 + 2

與

5 - 2

相乘等於

1

，互為倒數，所以

2^{- x}

可以直接寫出來。

第 20 題把小數寫成分數：

0.125 = \frac{1}{8}

，

0.25 = \frac{1}{4}

。第一個括號裡：

\frac{0.125}{27} = \frac{1}{8 \times 27} = \frac{1}{6 ^{3}} = 6^{- 3}

所以

(6^{- 3})^{- \frac{1}{3}} = 6^{1} = 6

。第二個括號裡：

\frac{0.25}{9} = \frac{1}{4 \times 9} = \frac{1}{6 ^{2}} = 6^{- 2}

所以

(6^{- 2})^{0.5} = 6^{- 1} = \frac{1}{6}

。兩者相乘：

6 \times \frac{1}{6} = 1

，

Z = 1

。

第 22 題點一次是平方。從

b

開始點四次，依序是

b^{2}

、

(b^{2})^{2} = b^{4}

、

b^{8}

、

b^{16}

。所以

b^{16} = 8 1^{4} = (3^{4})^{4} = 3^{16}

。

b

是正數，故

b = 3

。

平方四次，指數是

2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

，不是

2 \times 4 = 8

。也可以倒著開根號四次：

8 1^{4} \to 8 1^{2} \to 81 \to 9 \to 3

。

把底數化成同一個數，再用

(a^{m})^{n} = a^{mn}

；看到

t^{3} \pm \frac{1}{t ^{3}}

先求

t \pm \frac{1}{t}

。

06卷面填充第 10、18、19 題（第 15、23、24 題）：常用對數與科學記號

第 15 題

lo g 2 \approx 0.3010

的意思是

2 \approx 1 0^{0.3010}

。所以

(\frac{1}{2})^{65} = 2^{- 65} \approx (1 0^{0.3010})^{- 65} = 1 0^{- 19.565} = 1 0^{0.435} \times 1 0^{- 20}

因為

0 < 0.435 < 1

，所以

1 < 1 0^{0.435} < 10

，這個數寫成科學記號是「一位整數的數

\times 1 0^{- 20}

」，第一個不是

0

的數字在小數點後第

20

位，前面有連續

19

個

0

。所以

n = 19

。

- 19.565

要拆成

- 20 + 0.435

（小數部分要是

0

到

1

之間的正數），不是

- 19 - 0.565

。對照：

3 \times 1 0^{- 2} = 0.03

，小數點後有

1

個

0

，個數是

2 - 1

。

第 23 題

a = lo g 3

的意思是

1 0^{a} = 3

；同理

1 0^{b} = 2

，

1 0^{c} = 7

。

10 0^{a + b + c} = (1 0^{2})^{a + b + c} = (1 0^{a})^{2} \times (1 0^{b})^{2} \times (1 0^{c})^{2} = (3)^{2} \times 2^{2} \times (7)^{2} = 3 \times 4 \times 7 = 84

。

第 24 題先把兩數化成

10

的同一個次方：

6.4185 \times 1 0^{23} = 0.64185 \times 1 0^{24}

。相減：

(5.9724 - 0.64185) \times 1 0^{24} = 5.33055 \times 1 0^{24}

。取四位有效數字：看第五位，

5.33055

的第五位是

5

，進位，得

5.331 \times 1 0^{24}

公斤。

10

的次方不同不能直接相減，

5.9724 - 6.4185

是錯的。火星的質量大約只有地球的十分之一。

lo g a = k

就是

a = 1 0^{k}

；遇到

lo g

先翻回

10

的次方，再用指數律。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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第 10 題要由解的兩個端點反推兩個係數，其中一組解要捨去；第 13 題要先配方求出那個數、判斷整數部分，再用乘法公式求立方和；第 14 題的周長要把出入口加回去；第 15 題的指數要拆成負整數加上零到一之間的小數；第 21 題要由端點有沒有等號判斷它是哪一個不等式給的。詳解逐題寫在本頁。

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