段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

小港高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

全卷一個大題共 14 題：第 1 到 12 題每題 7 分，第 13 到 14 題每題 8 分，全對才給分，合計 100 分。第 5、7、12、13 題附 (A)～(E) 五個選項，本頁以單選題呈現，題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對，數值全部一致；第 10 題的題目條件有瑕疵，見該題詳解。

一、填充題：1到12題每題7分，13到14題每題8分（全對才給分）

已知

1

弳約為

57.295 8^{\circ}

，若點

P = (cos 3 - cos 2, cos 5 - cos 4)

，則

P

位在第幾象限 ____。

已知扇形的面積為

8

平方公尺，弧長為

5

公尺，試求其圓心角的弧度量

=

____ 弳。

一隻牛被拴在長方形的草皮

A B C D

的

A

處（如下圖），已知

A B

為

12

公尺，

B C

為

30

公尺，若拴住牛的繩子從牛嘴到

A

點為

24

公尺，（也就是說牛能吃到的草，這些草離

A

的最遠距離為

24

公尺），在繩子不斷掉的狀況下則此牛可吃的草皮的最大面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

小如想要彩繪家中一個上下無蓋中空的鐵桶，鐵桶的上開口半徑為

30

公分的圓，鐵桶的下開口半徑為

60

公分的圓，鐵桶的高為

40

公分（如下圖），則小如要彩繪鐵桶的外側其側面鐵皮面積為 ____ 平方公分。

載入中...

如圖，單擺從

A

點開始來回擺動，距離平衡位置

O

以

x

cm 表之，

x

與時間

t

(sec) 的關係如下：

x (t) = 5 sin (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})

，則單擺來回擺動一次需時 ____。

(A) $2$ sec
(B) $π$ sec
(C) $4$ sec
(D) $6$ sec
(E) $8$ sec

載入中...

已知

1

弳約為

57.295 8^{\circ}

，試求

sin x = \frac{x}{21}

方程式的實根個數有 ____ 個。

已知

x

為實數，

ω > 0

，

- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}

，函數

f (x) = A sin (ω x + ϕ)

的部分圖形如下，已知函數

f (x)

的最大值

4

、最小值

- 4

，則下列何者正確？

(A) $f (x) = 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})$
(B) $f (x) = 4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{π}{4})$
(C) $f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{π}{4})$
(D) $f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{6})$
(E) $f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})$

載入中...

已知

θ

為廣義角，若

sin \frac{θ}{2} = - \frac{4}{5}

，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{3}{5}

，則

θ

為第 ____ 象限角？

sin 2 0^{\circ} \cdot cos 11 5^{\circ} - sin 29 5^{\circ} \cdot sin 7 0^{\circ} =

____。

在

△ A B C

中，

cos A = \frac{4}{5}

、

cos B = - \frac{12}{13}

，試求

cos C

的值

=

____。

已知

tan \frac{θ}{2} = \frac{1}{3}

，試求

sin θ =

____。

化簡

3 cos 1 5^{\circ} - sin 1 5^{\circ}

之值為何？

(A) $\frac{6 + 2}{2}$
(B) $\frac{6 - 2}{4}$
(C) $6$
(D) $2$
(E) $2$

設函數

f (x) = 3 sin x + 3 cos x

，

0 \leq x < 2 π

，當

x = α

時

f (x)

有最小值，則

α

之值為何？

(A) $\frac{2 π}{3}$
(B) $\frac{7 π}{6}$
(C) $\frac{4 π}{3}$
(D) $\frac{5 π}{3}$
(E) $\frac{11 π}{6}$

某公園內有一半徑

150

公尺的圓形池塘，圓心在

D

點，打算在池塘上蓋一座“T”型的木橋（如圖），試問此木橋總長

\overline{A B} + \overline{C D}

之最大值為 ____ 公尺。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題二

第 2 題

\frac{25}{16}

第 3 題

723 + 48 π

第 4 題

4500 π

第 5 題(D)

第 6 題

15

第 7 題(E)

第 8 題二

第 9 題

\frac{2}{2}

第 10 題

\frac{63}{65}

（照學校公布的答案；嚴格來說題目給的兩個餘弦值湊不成三角形，見詳解）

第 11 題

\frac{3}{5}

第 12 題(D)

第 13 題(B)

第 14 題

1505

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：弧度量、扇形的弧長與面積

第 1 題答案二。把弧度換成度：

2

弳約

114. 6^{\circ}

、

3

弳約

171. 9^{\circ}

、

4

弳約

229. 2^{\circ}

、

5

弳約

286. 5^{\circ}

。

2

與

3

都在第二象限，角度從

9 0^{\circ}

增加到

18 0^{\circ}

時餘弦值一路變小，所以

cos 3 < cos 2

，

cos 3 - cos 2 < 0

。

5

在第四象限，

cos 5 > 0

；

4

在第三象限，

cos 4 < 0

，所以

cos 5 - cos 4 > 0

。

P

的

x

坐標為負、

y

坐標為正，在第二象限。

不必算出餘弦的值，只要知道每個角落在哪個象限。用

π \approx 3.14

排出

\frac{π}{2} < 2 < 3 < π < 4 < \frac{3 π}{2} < 5 < 2 π

的順序，也可以判斷各角的象限。

第 2 題設半徑

r

公尺、圓心角

θ

弳、弧長

s = 5

。扇形面積

= \frac{1}{2} r s

，所以

\frac{1}{2} \times r \times 5 = 8

，

r = \frac{16}{5}

。再由

s = r θ

得

θ = \frac{s}{r} = 5 \div \frac{16}{5} = \frac{25}{16}

第 3 題牛吃得到的是草皮上與

A

的距離不超過

24

的部分。

\overline{A D} = \overline{B C} = 30 > 24

，繩子沿

\overline{A D}

方向碰不到

D

；但

\overline{A B} = 12 < 24

，往

B

的方向會超出草皮，被邊

\overline{B C}

截掉。設以

A

為圓心、半徑

24

的圓弧交

\overline{B C}

於

E

，交

\overline{A D}

於

F

。直角三角形

A B E

中

\overline{A B} = 12

、

\overline{A E} = 24

，所以

\overline{B E} = 2 4^{2} - 1 2^{2} = 123

，且

cos ∠ B A E = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}

，

∠ B A E = 6 0^{\circ}

，於是

∠ E A F = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

。可吃的區域＝三角形

A B E

＋扇形

A E F

：三角形面積

= \frac{1}{2} \times 12 \times 123 = 723

；扇形面積

= \frac{1}{2} \times 2 4^{2} \times \frac{π}{6} = 48 π

。合計

723 + 48 π

平方公尺。

E

、

F

是詳解自己取的點，原圖沒有。數值約

275.5

，比整塊草皮

360

小，合理。

第 4 題把鐵桶的側面往上延伸成一個圓錐，側面就是「大圓錐的側面」減去「上面小圓錐的側面」，兩者展開都是扇形。先求斜邊：鐵桶側面上的母線、高

40

與兩半徑的差

60 - 30 = 30

構成直角三角形，母線長

= 4 0^{2} + 3 0^{2} = 50

。設小圓錐的母線長為

ℓ

，由相似三角形

\frac{ℓ}{ℓ + 50} = \frac{30}{60}

得

ℓ = 50

，大圓錐的母線長為

100

。大扇形的半徑

100

、弧長等於下開口的圓周

2 π \times 60 = 120 π

，面積

= \frac{1}{2} \times 100 \times 120 π = 6000 π

；小扇形的半徑

50

、弧長

2 π \times 30 = 60 π

，面積

= \frac{1}{2} \times 50 \times 60 π = 1500 π

。側面積

= 6000 π - 1500 π = 4500 π

平方公分。

用的是扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。鐵桶上下無蓋，所以不加兩個圓面。

02第 5～7 題：正弦函數的週期與圖形

第 5 題答案 (D)。來回擺動一次的時間就是函數的週期。

x (t) = 5 sin (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})

的週期

= 2 π \div \frac{π}{3} = 6

秒。

第 6 題實根個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{21}

的交點個數。

x = 0

是一個交點。先看

x > 0

：直線為正，交點只會出現在

sin x > 0

的區間，而且

x > 21

時直線高於

1

，不會再有交點。

21

弳大約是

6.68 π

（

6 π \approx 18.85

、

7 π \approx 21.99

），所以要看的區間是

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

。在

(0, π)

：從原點出發時正弦曲線比直線陡，曲線在直線上方，到

x = π

時曲線回到

0

、直線為正，所以除了原點外只有

1

個交點。在

(2 π, 3 π)

與

(4 π, 5 π)

：區間兩端曲線在直線下方，中間曲線升到

1

、直線還不到

1

，所以各有

2

個交點。在

(6 π, 7 π)

：曲線在

x = \frac{13 π}{2} \approx 20.42

升到

1

，這時直線的高度約

0.97

，仍低於

1

，所以一樣有

2

個交點。

x > 0

共

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

7

個。總共

7 + 7 + 1 = 15

個。

關鍵是最後一個波峰：

\frac{13 π}{2} < 21

，直線還沒超過

1

，這一段的兩個交點要算進去。別漏掉

x = 0

。

第 7 題答案 (E)。由圖形，曲線與

x

軸相鄰的兩個交點是

x = - 2

與

x = 6

，相距

8

，這是半個週期，所以週期

= 16

，

ω = \frac{2 π}{16} = \frac{π}{8}

。最大值

4

、最小值

- 4

，所以

A = 4

或

A = - 4

。曲線在

x = - 2

由上往下穿過

x

軸，接著降到

- 4

，在

x = 6

再往上穿過

x

軸。取

A = - 4

：

f (x) = - 4 sin (\frac{π}{8} (x + 2)) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})

，在

x = - 2

時為

0

，之後正弦值為正、

f (x)

為負，與圖形相符，而且

ϕ = \frac{π}{4}

落在題目要求的範圍內。逐一檢查：(A)

f (- 2) = 0

，但

x

稍大於

- 2

時函數值為正，方向相反。(B)

f (- 2) = 4 sin (- \frac{π}{2}) = - 4 \neq = 0

。(C)

f (- 2) = - 4 sin (- \frac{π}{2}) = 4 \neq = 0

。(D)

f (- 2) = - 4 sin (- \frac{π}{12}) \neq = 0

。(E) 符合。

若取

A = 4

，要寫成

4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{3 π}{4})

，

ϕ

超出

- \frac{π}{2}

到

\frac{π}{2}

的範圍，所以

A

只能是

- 4

。

03第 8～11 題：和差角與倍角公式

第 8 題答案二。用倍角公式：

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = 2 \times (- \frac{4}{5}) \times (- \frac{3}{5}) = \frac{24}{25} > 0

；

cos θ = cos^{2} \frac{θ}{2} - sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - \frac{7}{25} < 0

。正弦為正、餘弦為負，

θ

是第二象限角。

\frac{θ}{2}

本身在第三象限；題目問的是

θ

，要用倍角算出

θ

的正弦與餘弦的正負。

第 9 題把四個角都化成

2 0^{\circ}

與

2 5^{\circ}

：

cos 11 5^{\circ} = cos (9 0^{\circ} + 2 5^{\circ}) = - sin 2 5^{\circ}

；

sin 29 5^{\circ} = sin (36 0^{\circ} - 6 5^{\circ}) = - sin 6 5^{\circ} = - cos 2 5^{\circ}

；

sin 7 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}

。原式

= sin 2 0^{\circ} \times (- sin 2 5^{\circ}) - (- cos 2 5^{\circ}) \times cos 2 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ} cos 2 5^{\circ} - sin 2 0^{\circ} sin 2 5^{\circ} = cos (2 0^{\circ} + 2 5^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

第 10 題照題目的數字計算：

A

、

B

是三角形的內角，正弦為正，

sin A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

，

sin B = 1 - \frac{144}{169} = \frac{5}{13}

。因為

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B)

代入得

cos C = - (\frac{4}{5} \times (- \frac{12}{13}) - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13}) = - (- \frac{48}{65} - \frac{15}{65}) = \frac{63}{65}

。這是學校公布的答案。不過這組條件其實湊不成三角形：用同樣的數字算

sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{3}{5} \times (- \frac{12}{13}) + \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} = - \frac{16}{65} < 0

，但三角形內角的正弦一定是正的。換成角度看，

A

約

36. 9^{\circ}

、

B

約

157. 4^{\circ}

，兩個角相加已經超過

18 0^{\circ}

。

本題照學校公布的答案

\frac{63}{65}

作答；題目條件的瑕疵是本站檢查時發現的。做這類題目時，算完可以順手檢查

A + B

有沒有小於

18 0^{\circ}

。

第 11 題由倍角公式

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}

。把它除以

sin^{2} \frac{θ}{2} + cos^{2} \frac{θ}{2} = 1

，再把分子分母同除以

cos^{2} \frac{θ}{2}

，設

t = tan \frac{θ}{2} = \frac{1}{3}

：

sin θ = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{3}{5}

也可以直接設：

tan \frac{θ}{2} = \frac{1}{3}

時，

sin \frac{θ}{2}

與

cos \frac{θ}{2}

同號，大小分別是

\frac{1}{10}

與

\frac{3}{10}

，相乘再乘以

2

一樣得

\frac{3}{5}

。

04第 12～14 題：正餘弦的疊合

第 12 題答案 (D)。

(3)^{2} + 1^{2} = 2

，提出

2

：原式

= 2 (\frac{3}{2} cos 1 5^{\circ} - \frac{1}{2} sin 1 5^{\circ}) = 2 (sin 6 0^{\circ} cos 1 5^{\circ} - cos 6 0^{\circ} sin 1 5^{\circ}) = 2 sin (6 0^{\circ} - 1 5^{\circ}) = 2 sin 4 5^{\circ} = 2

。

也可以寫成

2 cos (3 0^{\circ} + 1 5^{\circ}) = 2 cos 4 5^{\circ}

，結果相同。

第 13 題答案 (B)。

(3)^{2} + 3^{2} = 12 = 23

，提出

23

：

f (x) = 23 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 23 sin (x + \frac{π}{3})

。

0 \leq x < 2 π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} < \frac{7 π}{3}

，這個範圍內正弦值在

x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

時最小（等於

- 1

），所以

α = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{6}

，最小值是

- 23

。

第 14 題「T」型表示

\overline{C D}

垂直

\overline{A B}

；

D

是圓心，圓心到弦的垂線會平分弦，所以

C

是

\overline{A B}

的中點。連

\overline{D B}

（長

150

），設

∠ C D B = θ

（

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

）。直角三角形

D C B

中

\overline{C D} = 150 cos θ

、

\overline{C B} = 150 sin θ

，所以

\overline{A B} = 300 sin θ

。總長

= 300 sin θ + 150 cos θ = 150 (2 sin θ + cos θ)

。疊合：

2^{2} + 1^{2} = 5

，

2 sin θ + cos θ = 5 sin (θ + φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

。取

θ = 9 0^{\circ} - φ

（是銳角，取得到）時

sin (θ + φ) = 1

，總長的最大值

= 1505

公尺。

最大值發生時

sin θ = cos φ = \frac{2}{5}

，也就是

\overline{A B} = 4 \overline{C D}

。數值約

335.4

公尺，比直徑

300

公尺長一些。

弧長與扇形面積都用弧度算；數交點時盯住直線超過 1 之前的最後一個波峰；看到同一個角的正弦與餘弦相加，先疊合成一個正弦，再看角度範圍決定極值。

同一次段考的其他學校

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第 6 題要用圖形數正弦曲線與直線的交點，最後一個波峰的兩個交點與原點容易漏掉；第 4 題要把鐵桶側面補成圓錐，展開成兩個扇形相減；第 14 題要自己設角度，把弦長與弦心距寫成正弦與餘弦再疊合；第 7 題的振幅係數要取負的，平移的角才會落在題目規定的範圍內。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高二

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、填充題：1到12題每題7分，13到14題每題8分（全對才給分）

已知

1

弳約為

57.295 8^{\circ}

，若點

P = (cos 3 - cos 2, cos 5 - cos 4)

，則

P

位在第幾象限 ____。

已知扇形的面積為

8

平方公尺，弧長為

5

公尺，試求其圓心角的弧度量

=

____ 弳。

一隻牛被拴在長方形的草皮

A B C D

的

A

處（如下圖），已知

A B

為

12

公尺，

B C

為

30

公尺，若拴住牛的繩子從牛嘴到

A

點為

24

公尺，（也就是說牛能吃到的草，這些草離

A

的最遠距離為

24

公尺），在繩子不斷掉的狀況下則此牛可吃的草皮的最大面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

小如想要彩繪家中一個上下無蓋中空的鐵桶，鐵桶的上開口半徑為

30

公分的圓，鐵桶的下開口半徑為

60

公分的圓，鐵桶的高為

40

公分（如下圖），則小如要彩繪鐵桶的外側其側面鐵皮面積為 ____ 平方公分。

載入中...

如圖，單擺從

A

點開始來回擺動，距離平衡位置

O

以

x

cm 表之，

x

與時間

t

(sec) 的關係如下：

x (t) = 5 sin (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})

，則單擺來回擺動一次需時 ____。

(A) $2$ sec
(B) $π$ sec
(C) $4$ sec
(D) $6$ sec
(E) $8$ sec

載入中...

已知

1

弳約為

57.295 8^{\circ}

，試求

sin x = \frac{x}{21}

方程式的實根個數有 ____ 個。

已知

x

為實數，

ω > 0

，

- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}

，函數

f (x) = A sin (ω x + ϕ)

的部分圖形如下，已知函數

f (x)

的最大值

4

、最小值

- 4

，則下列何者正確？

(A) $f (x) = 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})$
(B) $f (x) = 4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{π}{4})$
(C) $f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{π}{4})$
(D) $f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{6})$
(E) $f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})$

載入中...

已知

θ

為廣義角，若

sin \frac{θ}{2} = - \frac{4}{5}

，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{3}{5}

，則

θ

為第 ____ 象限角？

sin 2 0^{\circ} \cdot cos 11 5^{\circ} - sin 29 5^{\circ} \cdot sin 7 0^{\circ} =

____。

在

△ A B C

中，

cos A = \frac{4}{5}

、

cos B = - \frac{12}{13}

，試求

cos C

的值

=

____。

已知

tan \frac{θ}{2} = \frac{1}{3}

，試求

sin θ =

____。

化簡

3 cos 1 5^{\circ} - sin 1 5^{\circ}

之值為何？

(A) $\frac{6 + 2}{2}$
(B) $\frac{6 - 2}{4}$
(C) $6$
(D) $2$
(E) $2$

設函數

f (x) = 3 sin x + 3 cos x

，

0 \leq x < 2 π

，當

x = α

時

f (x)

有最小值，則

α

之值為何？

(A) $\frac{2 π}{3}$
(B) $\frac{7 π}{6}$
(C) $\frac{4 π}{3}$
(D) $\frac{5 π}{3}$
(E) $\frac{11 π}{6}$

某公園內有一半徑

150

公尺的圓形池塘，圓心在

D

點，打算在池塘上蓋一座“T”型的木橋（如圖），試問此木橋總長

\overline{A B} + \overline{C D}

之最大值為 ____ 公尺。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題二

第 2 題

\frac{25}{16}

第 3 題

723 + 48 π

第 4 題

4500 π

第 5 題(D)

第 6 題

15

第 7 題(E)

第 8 題二

第 9 題

\frac{2}{2}

第 10 題

\frac{63}{65}

（照學校公布的答案；嚴格來說題目給的兩個餘弦值湊不成三角形，見詳解）

第 11 題

\frac{3}{5}

第 12 題(D)

第 13 題(B)

第 14 題

1505

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：弧度量、扇形的弧長與面積

第 1 題答案二。把弧度換成度：

2

弳約

114. 6^{\circ}

、

3

弳約

171. 9^{\circ}

、

4

弳約

229. 2^{\circ}

、

5

弳約

286. 5^{\circ}

。

2

與

3

都在第二象限，角度從

9 0^{\circ}

增加到

18 0^{\circ}

時餘弦值一路變小，所以

cos 3 < cos 2

，

cos 3 - cos 2 < 0

。

5

在第四象限，

cos 5 > 0

；

4

在第三象限，

cos 4 < 0

，所以

cos 5 - cos 4 > 0

。

P

的

x

坐標為負、

y

坐標為正，在第二象限。

不必算出餘弦的值，只要知道每個角落在哪個象限。用

π \approx 3.14

排出

\frac{π}{2} < 2 < 3 < π < 4 < \frac{3 π}{2} < 5 < 2 π

的順序，也可以判斷各角的象限。

第 2 題設半徑

r

公尺、圓心角

θ

弳、弧長

s = 5

。扇形面積

= \frac{1}{2} r s

，所以

\frac{1}{2} \times r \times 5 = 8

，

r = \frac{16}{5}

。再由

s = r θ

得

θ = \frac{s}{r} = 5 \div \frac{16}{5} = \frac{25}{16}

第 3 題牛吃得到的是草皮上與

A

的距離不超過

24

的部分。

\overline{A D} = \overline{B C} = 30 > 24

，繩子沿

\overline{A D}

方向碰不到

D

；但

\overline{A B} = 12 < 24

，往

B

的方向會超出草皮，被邊

\overline{B C}

截掉。設以

A

為圓心、半徑

24

的圓弧交

\overline{B C}

於

E

，交

\overline{A D}

於

F

。直角三角形

A B E

中

\overline{A B} = 12

、

\overline{A E} = 24

，所以

\overline{B E} = 2 4^{2} - 1 2^{2} = 123

，且

cos ∠ B A E = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}

，

∠ B A E = 6 0^{\circ}

，於是

∠ E A F = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

。可吃的區域＝三角形

A B E

＋扇形

A E F

：三角形面積

= \frac{1}{2} \times 12 \times 123 = 723

；扇形面積

= \frac{1}{2} \times 2 4^{2} \times \frac{π}{6} = 48 π

。合計

723 + 48 π

平方公尺。

E

、

F

是詳解自己取的點，原圖沒有。數值約

275.5

，比整塊草皮

360

小，合理。

40

與兩半徑的差

60 - 30 = 30

構成直角三角形，母線長

= 4 0^{2} + 3 0^{2} = 50

。設小圓錐的母線長為

ℓ

，由相似三角形

\frac{ℓ}{ℓ + 50} = \frac{30}{60}

得

ℓ = 50

，大圓錐的母線長為

100

。大扇形的半徑

100

、弧長等於下開口的圓周

2 π \times 60 = 120 π

，面積

= \frac{1}{2} \times 100 \times 120 π = 6000 π

；小扇形的半徑

50

、弧長

2 π \times 30 = 60 π

，面積

= \frac{1}{2} \times 50 \times 60 π = 1500 π

。側面積

= 6000 π - 1500 π = 4500 π

平方公分。

用的是扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。鐵桶上下無蓋，所以不加兩個圓面。

02第 5～7 題：正弦函數的週期與圖形

第 5 題答案 (D)。來回擺動一次的時間就是函數的週期。

x (t) = 5 sin (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})

的週期

= 2 π \div \frac{π}{3} = 6

秒。

第 6 題實根個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{21}

的交點個數。

x = 0

是一個交點。先看

x > 0

：直線為正，交點只會出現在

sin x > 0

的區間，而且

x > 21

時直線高於

1

，不會再有交點。

21

弳大約是

6.68 π

（

6 π \approx 18.85

、

7 π \approx 21.99

），所以要看的區間是

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

。在

(0, π)

：從原點出發時正弦曲線比直線陡，曲線在直線上方，到

x = π

時曲線回到

0

、直線為正，所以除了原點外只有

1

個交點。在

(2 π, 3 π)

與

(4 π, 5 π)

：區間兩端曲線在直線下方，中間曲線升到

1

、直線還不到

1

，所以各有

2

個交點。在

(6 π, 7 π)

：曲線在

x = \frac{13 π}{2} \approx 20.42

升到

1

，這時直線的高度約

0.97

，仍低於

1

，所以一樣有

2

個交點。

x > 0

共

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

7

個。總共

7 + 7 + 1 = 15

個。

關鍵是最後一個波峰：

\frac{13 π}{2} < 21

，直線還沒超過

1

，這一段的兩個交點要算進去。別漏掉

x = 0

。

第 7 題答案 (E)。由圖形，曲線與

x

軸相鄰的兩個交點是

x = - 2

與

x = 6

，相距

8

，這是半個週期，所以週期

= 16

，

ω = \frac{2 π}{16} = \frac{π}{8}

。最大值

4

、最小值

- 4

，所以

A = 4

或

A = - 4

。曲線在

x = - 2

由上往下穿過

x

軸，接著降到

- 4

，在

x = 6

再往上穿過

x

軸。取

A = - 4

：

f (x) = - 4 sin (\frac{π}{8} (x + 2)) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})

，在

x = - 2

時為

0

，之後正弦值為正、

f (x)

為負，與圖形相符，而且

ϕ = \frac{π}{4}

落在題目要求的範圍內。逐一檢查：(A)

f (- 2) = 0

，但

x

稍大於

- 2

時函數值為正，方向相反。(B)

f (- 2) = 4 sin (- \frac{π}{2}) = - 4 \neq = 0

。(C)

f (- 2) = - 4 sin (- \frac{π}{2}) = 4 \neq = 0

。(D)

f (- 2) = - 4 sin (- \frac{π}{12}) \neq = 0

。(E) 符合。

若取

A = 4

，要寫成

4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{3 π}{4})

，

ϕ

超出

- \frac{π}{2}

到

\frac{π}{2}

的範圍，所以

A

只能是

- 4

。

03第 8～11 題：和差角與倍角公式

第 8 題答案二。用倍角公式：

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = 2 \times (- \frac{4}{5}) \times (- \frac{3}{5}) = \frac{24}{25} > 0

；

cos θ = cos^{2} \frac{θ}{2} - sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - \frac{7}{25} < 0

。正弦為正、餘弦為負，

θ

是第二象限角。

\frac{θ}{2}

本身在第三象限；題目問的是

θ

，要用倍角算出

θ

的正弦與餘弦的正負。

第 9 題把四個角都化成

2 0^{\circ}

與

2 5^{\circ}

：

cos 11 5^{\circ} = cos (9 0^{\circ} + 2 5^{\circ}) = - sin 2 5^{\circ}

；

sin 29 5^{\circ} = sin (36 0^{\circ} - 6 5^{\circ}) = - sin 6 5^{\circ} = - cos 2 5^{\circ}

；

sin 7 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}

。原式

= sin 2 0^{\circ} \times (- sin 2 5^{\circ}) - (- cos 2 5^{\circ}) \times cos 2 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ} cos 2 5^{\circ} - sin 2 0^{\circ} sin 2 5^{\circ} = cos (2 0^{\circ} + 2 5^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

第 10 題照題目的數字計算：

A

、

B

是三角形的內角，正弦為正，

sin A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

，

sin B = 1 - \frac{144}{169} = \frac{5}{13}

。因為

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B)

代入得

cos C = - (\frac{4}{5} \times (- \frac{12}{13}) - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13}) = - (- \frac{48}{65} - \frac{15}{65}) = \frac{63}{65}

。這是學校公布的答案。不過這組條件其實湊不成三角形：用同樣的數字算

sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{3}{5} \times (- \frac{12}{13}) + \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} = - \frac{16}{65} < 0

，但三角形內角的正弦一定是正的。換成角度看，

A

約

36. 9^{\circ}

、

B

約

157. 4^{\circ}

，兩個角相加已經超過

18 0^{\circ}

。

本題照學校公布的答案

\frac{63}{65}

作答；題目條件的瑕疵是本站檢查時發現的。做這類題目時，算完可以順手檢查

A + B

有沒有小於

18 0^{\circ}

。

第 11 題由倍角公式

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}

。把它除以

sin^{2} \frac{θ}{2} + cos^{2} \frac{θ}{2} = 1

，再把分子分母同除以

cos^{2} \frac{θ}{2}

，設

t = tan \frac{θ}{2} = \frac{1}{3}

：

sin θ = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{3}{5}

也可以直接設：

tan \frac{θ}{2} = \frac{1}{3}

時，

sin \frac{θ}{2}

與

cos \frac{θ}{2}

同號，大小分別是

\frac{1}{10}

與

\frac{3}{10}

，相乘再乘以

2

一樣得

\frac{3}{5}

。

04第 12～14 題：正餘弦的疊合

第 12 題答案 (D)。

(3)^{2} + 1^{2} = 2

，提出

2

：原式

= 2 (\frac{3}{2} cos 1 5^{\circ} - \frac{1}{2} sin 1 5^{\circ}) = 2 (sin 6 0^{\circ} cos 1 5^{\circ} - cos 6 0^{\circ} sin 1 5^{\circ}) = 2 sin (6 0^{\circ} - 1 5^{\circ}) = 2 sin 4 5^{\circ} = 2

。

也可以寫成

2 cos (3 0^{\circ} + 1 5^{\circ}) = 2 cos 4 5^{\circ}

，結果相同。

第 13 題答案 (B)。

(3)^{2} + 3^{2} = 12 = 23

，提出

23

：

f (x) = 23 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 23 sin (x + \frac{π}{3})

。

0 \leq x < 2 π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} < \frac{7 π}{3}

，這個範圍內正弦值在

x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

時最小（等於

- 1

），所以

α = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{6}

，最小值是

- 23

。

第 14 題「T」型表示

\overline{C D}

垂直

\overline{A B}

；

D

是圓心，圓心到弦的垂線會平分弦，所以

C

是

\overline{A B}

的中點。連

\overline{D B}

（長

150

），設

∠ C D B = θ

（

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

）。直角三角形

D C B

中

\overline{C D} = 150 cos θ

、

\overline{C B} = 150 sin θ

，所以

\overline{A B} = 300 sin θ

。總長

= 300 sin θ + 150 cos θ = 150 (2 sin θ + cos θ)

。疊合：

2^{2} + 1^{2} = 5

，

2 sin θ + cos θ = 5 sin (θ + φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

。取

θ = 9 0^{\circ} - φ

（是銳角，取得到）時

sin (θ + φ) = 1

，總長的最大值

= 1505

公尺。

最大值發生時

sin θ = cos φ = \frac{2}{5}

，也就是

\overline{A B} = 4 \overline{C D}

。數值約

335.4

公尺，比直徑

300

公尺長一些。

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