段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的定義域與奇偶性、合成函數、函數的極限與連續）

小港高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 小港高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 小港高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選題第 3 題的選項 E 要看連續函數採用哪一種定義，本頁照學校公布的答案不選；多選題第 4 題的選項 C 要分清楚極限與函數值，圖上的實心點是函數值；填充題第 1 題括號裡的項數會跟著變多，要先求和再取極限；填充題第 8 題解出兩個公比後要用收斂的條件捨去一個；填充題第 15 題要先由兩個極限看出多項式有兩個一次因式，最後一個極限的分母也容易看錯。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 5 題（一題 5 分，共 25 分；錯一個選項得 2.5 分，錯兩個選項(含)以上得 0 分，總分四捨五入），填充題 15 題（一題 5 分，共 75 分，答案全對才給分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題中 19 題一致；多選題第 3 題的選項 (E) 有兩種看法，本頁照學校公布的答案，並在詳解說明。

一、多選題（一題 5 分，共 25 分）錯一個選項得 2.5 分，錯兩個選項(含)以上得 0 分，總分四捨五入。

下列無窮數列何者是收斂數列？

(A) $⟨ (- 3)^{n} ⟩$
(B) $⟨ (\frac{1001}{1000})^{n} ⟩$
(C) $⟨ - 1 ⟩$
(D) $⟨ 1 + \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(E) $⟨ (3 - 1)^{n} ⟩$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(A) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(B) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(C) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(D) $1 + (\frac{- 2}{3}) + \frac{4}{9} + (\frac{- 8}{27}) + \dots$
(E) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

關於函數

y = f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

的敘述，何者正確？

(A) $f (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x \neq = 0}$
(B) $f (x)$ 的值域為所有實數 $R$
(C) $f (x)$ 在 $x = 0$ 的極限為 $0$
(D) $f (x)$ 為奇函數
(E) $f (x)$ 為連續函數

已知函數

f (x)

的圖形如附圖，選出正確的選項。

(A) $f (0)$ 不存在
(B) $x \to 0 lim f (x) = 1$
(C) $x \to 1 lim f (x) = 1$
(D) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(E) $x \to 3 lim f (x) = 2$

載入中...

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 1, 3, - 2 x + 4, 當 x > 1 當 x = 1 當 x < 1

，選出下列敘述正確的選項？

(A) $x \to 1^{+} lim f (x) > 2$
(B) $x \to 1^{-} lim f (x) < 2$
(C) $x \to 1 lim f (x) < f (1)$
(D) $x \to 1^{-} lim f (x) < x \to 1^{+} lim f (x)$
(E) $x \to 1 lim f (x) = 2$

二、填充題（一題 5 分，共 75 分）答案全對才給分。（本頁第 6～20 題依序為卷面填充題第 1～15 題）

求：

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}}) =

____。

求：

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 1}{n + 1} - \frac{n ^{2} + 3 n + 2}{n + 1}) =

____。

求：

k = 1 \sum 20 k (k + 1) =

____。

求：

k = 1 \sum \infty (- \frac{1}{3})^{k - 1} =

____。

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項

c_{n}

都滿足

- \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \leq c_{n} \leq \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3}

，求

n \to \infty lim c_{n} =

____。

計算無窮級數和：

\frac{2}{5} + \frac{8}{5 ^{2}} + \frac{26}{5 ^{3}} + \dots + \frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} + \dots =

____。

已知

n \to \infty lim \frac{3 n - a n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{1}{2}

，求常數

a =

____。

已知無窮等比級數

a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1} + \dots

為收斂級數，且和為

4

，又

a_{2} = - 3

，則公比

r =

____。（只有一解）

甲、乙兩人輪流投擲一粒公正骰子，約定如下：當擲出點數為

5

或

6

時，此人獲勝；當擲出點數不為

5

或

6

時，改由另一人投擲。已知由甲先投擲，求甲獲勝的機率為 ____。

已知函數

f (x) = x + 1

，

g (x) = x^{2} - 4

，求合成函數：

(g \circ f) (x) =

____。

求：

x \to - 1 lim (x^{101} - 2 x^{51} + 2) =

____。

已知極限

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x - 2}{x - 2}

存在，請問其極限為 ____。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 2 x + 3, - 2 x + a, 當 x \geq 0 當 x < 0

在

x = 0

處連續，求實數

a

的值為 ____。

求極限：

x \to - 1 lim (\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{( x + 1 ) ( x + 2 )}) =

____。

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，求

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x + 1} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)

第 2 題(A)(D)

第 3 題(A)(D)（照學校公布的答案；選項 (E) 依連續函數的定義方式不同而有兩種看法，見詳解）

第 4 題(D)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

- 3

第 8 題

3080

第 9 題

\frac{3}{4}

第 10 題

- \frac{1}{3}

第 11 題

\frac{5}{4}

第 12 題

- \frac{1}{2}

第 13 題

- \frac{1}{2}

第 14 題

\frac{3}{5}

第 15 題

x^{2} + 2 x - 3

第 16 題

3

第 17 題

3

第 18 題

3

第 19 題

- 4

第 20 題

\frac{5}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題第 1、2 題：等比數列與無窮等比級數的收斂條件

第 1 題答案 (C)(D)(E)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。(A) 錯：公比

- 3

，各項為

- 3, 9, - 27, \dots

，絕對值愈來愈大而且正負交錯，發散。(B) 錯：公比

\frac{1001}{1000} > 1

，各項愈來愈大、沒有上限，發散。(C) 對：每一項都是

- 1

的常數數列，收斂到

- 1

。(D) 對：

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以

1 + \frac{1}{n ^{2}} \to 1

。(E) 對：

3 - 1 \approx 0.732

，公比介於

0

與

1

之間，

(3 - 1)^{n} \to 0

。

(B) 的公比只比

1

大一點點，前面幾項看起來幾乎不動，但只要公比大於

1

，乘的次數夠多就會超過任何數。

第 2 題答案 (A)(D)。首項不為

0

的無窮等比級數收斂的條件是公比

∣ r ∣ < 1

。(A) 對：公比

\frac{3}{3} \approx 0.577

，

∣ r ∣ < 1

。(B) 錯：公比

\frac{3}{2} > 1

。(C) 錯：公比

- 1

，部分和在

1

與

0

之間來回，發散。(D) 對：公比

- \frac{2}{3}

，

∣ r ∣ = \frac{2}{3} < 1

。(E) 錯：公比

2 > 1

。

數列與級數的條件差在

r = 1

：公比為

1

的等比數列是常數數列，會收斂；但對應的級數是同一個非零的數一直加下去，發散。

等比數列看公比是否滿足

- 1 < r \leq 1

，無窮等比級數看是否

∣ r ∣ < 1

，兩個條件只差在

r = 1

。

02多選題第 3 題：絕對值除以 x 的函數

第 3 題學校公布的答案是 (A)(D)。先把函數寫成分段：

x > 0

時

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

；

x = 0

時分母為

0

，沒有定義。(A) 對：只有

x = 0

不能代入，定義域是

{x \in R ∣ x \neq = 0}

。(B) 錯：函數值只有

1

與

- 1

兩個，值域是

{1, - 1}

。(C) 錯：右極限

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

，左極限

x \to 0^{-} lim f (x) = - 1

，兩者不相等，極限不存在。(D) 對：對定義域內的每個

x

，

f (- x) = \frac{∣ - x ∣}{- x} = - \frac{∣ x ∣}{x} = - f (x)

。(E) 學校答案不選：圖形在

x = 0

斷成上下兩截，

f (0)

沒有定義，而且

x \to 0

的極限不存在，所以

f (x)

在

x = 0

不連續，不是在整條實數線上都連續的函數。

(E) 有兩種看法。第一種是上面學校答案採用的：以整條實數線來看，

f (x)

在

x = 0

不連續，所以不稱為連續函數。第二種是把連續函數定義成「在定義域內的每一點都連續」：這個函數的定義域不含

0

，在

x > 0

的部分恆為

1

、在

x < 0

的部分恆為

- 1

，定義域內每一點的極限都等於函數值，照這個定義 (E) 也可以算正確。作答時以課堂上採用的定義為準；本頁答案照學校公布的 (A)(D)。

含絕對值的函數先依正負分段寫開，定義域、值域、奇偶性與左右極限就都看得出來。

03多選題第 4、5 題：左極限、右極限與函數值

第 4 題答案 (D)(E)。讀圖時，實心點是函數值，空心點是圖形沒有取到的位置。(A) 錯：

x = 0

的正上方有實心點

(0, 1)

，所以

f (0) = 1

。(B) 錯：從左邊靠近

0

，圖形沿斜線往上接近空心點

(0, 2)

，左極限是

2

；從右邊靠近

0

，圖形接近實心點

(0, 1)

，右極限是

1

；左右極限不相等，極限不存在。(C) 錯：從左邊靠近

1

，圖形接近空心點

(1, 2)

；從右邊靠近

1

，圖形也從空心點

(1, 2)

出發；左右極限都是

2

，所以

x \to 1 lim f (x) = 2

，不是

1

。實心點

(1, 1)

表示的是

f (1) = 1

。(D) 對：

x

從左邊靠近

2

時圖形一直往上，從右邊靠近

2

時圖形一直往下，函數值不會接近任何一個定值，極限不存在。(E) 對：圖形在

x = 3

附近沒有斷開，從左右兩邊都接近點

(3, 2)

，極限是

2

。

x

靠近

1

但不等於

1

時的函數值，與

f (1)

是多少無關。

第 5 題答案 (C)(E)。右極限用

x > 1

那一段：

x \to 1^{+} lim f (x) = 1 + 1 = 2

。左極限用

x < 1

那一段：

x \to 1^{-} lim f (x) = - 2 \times 1 + 4 = 2

。左右極限相等，所以

x \to 1 lim f (x) = 2

；函數值

f (1) = 3

。(A) 錯：右極限等於

2

，不是大於

2

。(B) 錯：左極限等於

2

，不是小於

2

。(C) 對：

2 < 3

。(D) 錯：左右極限相等。(E) 對。

x > 1

時每個函數值

x + 1

都大於

2

，但它們愈來愈接近的那個數正好是

2

；極限是「接近的目標」，不必比

2

大。

極限看的是靠近那一點時函數值接近的數，函數值則是那一點本身的值，兩者可以不同。

04填充題第 1、2、3、7 題（本頁第 6、7、8、12 題）：求和與數列的極限

第 6 題括號裡共有

n

項，項數隨

n

增加，不能每一項各自取極限，要先加起來：

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{2 n} \to 0

，極限為

\frac{1}{2}

。

若每一項各自取極限會得到

0 + 0 + \dots + 0 = 0

，這是錯的：極限的加法性質只能用在固定項數的和。

第 7 題兩個分式各自都愈來愈大，不能分開取極限。分母相同，直接相減：

\frac{( n ^{2} - 1 ) - ( n ^{2} + 3 n + 2 )}{n + 1} = \frac{- 3 n - 3}{n + 1} = \frac{- 3 ( n + 1 )}{n + 1} = - 3

。每一項都是

- 3

，極限為

- 3

。

第 8 題

k (k + 1) = k^{2} + k

，分成兩個和：

k = 1 \sum 20 k^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2870

，

k = 1 \sum 20 k = \frac{20 \times 21}{2} = 210

。相加得

2870 + 210 = 3080

。

第 12 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{3 n - a n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{\frac{3}{n} - a}{1 - \frac{1}{n ^{2}}}

。

n \to \infty

時極限為

\frac{0 - a}{1 - 0} = - a

。由

- a = \frac{1}{2}

得

a = - \frac{1}{2}

。

項數會變的和要先求和，兩個各自發散的式子要先合併，整理成一個式子之後再取極限。

05填充題第 4、5、6、8、9 題（本頁第 9、10、11、13、14 題）：無窮等比級數與夾擠定理

第 9 題這是首項

(- \frac{1}{3})^{0} = 1

、公比

- \frac{1}{3}

的無窮等比級數，

∣ r ∣ < 1

，收斂，和為

\frac{1}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}

。

第 10 題

n \to \infty

時

\frac{1}{6 n ^{2}} \to 0

、

\frac{1}{2 n} \to 0

，所以左邊

- \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \to - \frac{1}{3}

，右邊

\frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \to - \frac{1}{3}

。兩邊的極限相等，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = - \frac{1}{3}

。

第 11 題一般項

\frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{3}{5}

、

\frac{1}{5}

絕對值都小於

1

，各自收斂，可以分開求和：

n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n} = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{3}{2}

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{5})^{n} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}

。所求為

\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

。

檢查前三項：

\frac{3 - 1}{5} = \frac{2}{5}

、

\frac{9 - 1}{25} = \frac{8}{25}

、

\frac{27 - 1}{125} = \frac{26}{125}

，與題目相符。兩個級數的首項分別是

\frac{3}{5}

與

\frac{1}{5}

，不是

1

。

第 13 題首項為

a

，和為

\frac{a}{1 - r} = 4

，得

a = 4 (1 - r)

。第二項

a_{2} = a r = - 3

，代入得

4 (1 - r) r = - 3

，整理為

4 r^{2} - 4 r - 3 = 0

，即

(2 r - 3) (2 r + 1) = 0

，

r = \frac{3}{2}

或

r = - \frac{1}{2}

。級數收斂要

∣ r ∣ < 1

，所以

r = - \frac{1}{2}

。

檢查：

r = - \frac{1}{2}

時

a = 4 \times \frac{3}{2} = 6

，第二項

6 \times (- \frac{1}{2}) = - 3

，和

\frac{6}{1 + \frac{1}{2}} = 4

，都符合。

r = \frac{3}{2}

雖然滿足方程式，但級數發散，沒有和，要捨去。

第 14 題每次投擲，擲出

5

或

6

的機率是

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，沒擲出的機率是

\frac{2}{3}

。甲在自己的第

1

次投擲獲勝的機率是

\frac{1}{3}

；在自己的第

2

次投擲獲勝，表示前面甲、乙各失敗一次，機率是

(\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{3}

；在第

3

次獲勝的機率是

(\frac{2}{3})^{4} \times \frac{1}{3}

，依此類推。甲獲勝的機率是首項

\frac{1}{3}

、公比

(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}

的無窮等比級數：

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{9}} = \frac{3}{5}

。

檢查：乙獲勝的機率是首項

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

、公比

\frac{4}{9}

的級數，和為

\frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2}{5}

，與甲的

\frac{3}{5}

相加等於

1

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比；首項是代入第一個編號得到的那一項。

06填充題第 10～15 題（本頁第 15～20 題）：合成函數、函數的極限與連續

第 15 題

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 1)

，把

g

裡的

x

換成

x + 1

：

(x + 1)^{2} - 4 = x^{2} + 2 x + 1 - 4 = x^{2} + 2 x - 3

。

順序不能反：

(f \circ g) (x) = f (x^{2} - 4) = x^{2} - 3

，是另一個函數。

第 16 題多項式函數的極限直接代入：

(- 1)^{101} - 2 \times (- 1)^{51} + 2

。

101

與

51

都是奇數，所以

(- 1)^{101} = - 1

、

(- 1)^{51} = - 1

，原式

= - 1 - 2 \times (- 1) + 2 = - 1 + 2 + 2 = 3

。

第 17 題

x \to 2

時分母

x - 2 \to 0

。極限存在，分子也必須趨近

0

（否則分式的絕對值會愈來愈大）：

2^{2} + 2 a - 2 = 0

，得

a = - 1

。此時分子

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

，

x \neq = 2

時約去

x - 2

得

x + 1

，極限為

2 + 1 = 3

。

題目問的是極限值

3

，不是

a

的值

- 1

。

第 18 題在

x = 0

連續，要左極限、右極限與函數值三者相等。

f (0) = 0^{2} + 2 \times 0 + 3 = 3

，右極限也是

3

。左極限用

x < 0

那一段：

x \to 0^{-} lim (- 2 x + a) = a

。所以

a = 3

。

第 19 題兩個分式在

x \to - 1

時分母都趨近

0

，先通分：

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 4 - 2 x + 1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )}

。

x \neq = - 1

時約去

x + 1

得

\frac{x - 3}{x + 2}

，極限為

\frac{- 1 - 3}{- 1 + 2} = - 4

。

第 20 題

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。

x \to 1

：約去

x - 1

後

x \to 1 lim (x - 2) (p x + q) = - (p + q) = 1

，得

p + q = - 1

。

x \to 2

：約去

x - 2

後

x \to 2 lim (x - 1) (p x + q) = 2 p + q = 2

。兩式相減得

p = 3

，代回得

q = - 4

，所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

。

x \to 3

時分母

x + 1 \to 4

不為

0

，直接代入：

\frac{f ( 3 )}{3 + 1} = \frac{2 \times 1 \times 5}{4} = \frac{5}{2}

。

最後一個極限的分母是

x + 1

，不是

x - 3

；

x \to 3

時分母不趨近

0

，不需要約分。

分母趨近 0 而極限存在，分子也必須趨近 0；先用這個條件找出因式或係數，約分後再代入。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

小港高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選題第 3 題的選項 E 要看連續函數採用哪一種定義，本頁照學校公布的答案不選；多選題第 4 題的選項 C 要分清楚極限與函數值，圖上的實心點是函數值；填充題第 1 題括號裡的項數會跟著變多，要先求和再取極限；填充題第 8 題解出兩個公比後要用收斂的條件捨去一個；填充題第 15 題要先由兩個極限看出多項式有兩個一次因式，最後一個極限的分母也容易看錯。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自小港高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的定義域與奇偶性、合成函數、函數的極限與連續）

小港高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、多選題（一題 5 分，共 25 分）錯一個選項得 2.5 分，錯兩個選項(含)以上得 0 分，總分四捨五入。

下列無窮數列何者是收斂數列？

(A) $⟨ (- 3)^{n} ⟩$
(B) $⟨ (\frac{1001}{1000})^{n} ⟩$
(C) $⟨ - 1 ⟩$
(D) $⟨ 1 + \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(E) $⟨ (3 - 1)^{n} ⟩$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(A) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(B) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(C) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(D) $1 + (\frac{- 2}{3}) + \frac{4}{9} + (\frac{- 8}{27}) + \dots$
(E) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

關於函數

y = f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

的敘述，何者正確？

(A) $f (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x \neq = 0}$
(B) $f (x)$ 的值域為所有實數 $R$
(C) $f (x)$ 在 $x = 0$ 的極限為 $0$
(D) $f (x)$ 為奇函數
(E) $f (x)$ 為連續函數

已知函數

f (x)

的圖形如附圖，選出正確的選項。

(A) $f (0)$ 不存在
(B) $x \to 0 lim f (x) = 1$
(C) $x \to 1 lim f (x) = 1$
(D) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(E) $x \to 3 lim f (x) = 2$

載入中...

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 1, 3, - 2 x + 4, 當 x > 1 當 x = 1 當 x < 1

，選出下列敘述正確的選項？

(A) $x \to 1^{+} lim f (x) > 2$
(B) $x \to 1^{-} lim f (x) < 2$
(C) $x \to 1 lim f (x) < f (1)$
(D) $x \to 1^{-} lim f (x) < x \to 1^{+} lim f (x)$
(E) $x \to 1 lim f (x) = 2$

二、填充題（一題 5 分，共 75 分）答案全對才給分。（本頁第 6～20 題依序為卷面填充題第 1～15 題）

求：

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}}) =

____。

求：

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 1}{n + 1} - \frac{n ^{2} + 3 n + 2}{n + 1}) =

____。

求：

k = 1 \sum 20 k (k + 1) =

____。

求：

k = 1 \sum \infty (- \frac{1}{3})^{k - 1} =

____。

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項

c_{n}

都滿足

- \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \leq c_{n} \leq \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3}

，求

n \to \infty lim c_{n} =

____。

計算無窮級數和：

\frac{2}{5} + \frac{8}{5 ^{2}} + \frac{26}{5 ^{3}} + \dots + \frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} + \dots =

____。

已知

n \to \infty lim \frac{3 n - a n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{1}{2}

，求常數

a =

____。

已知無窮等比級數

a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1} + \dots

為收斂級數，且和為

4

，又

a_{2} = - 3

，則公比

r =

____。（只有一解）

甲、乙兩人輪流投擲一粒公正骰子，約定如下：當擲出點數為

5

或

6

時，此人獲勝；當擲出點數不為

5

或

6

時，改由另一人投擲。已知由甲先投擲，求甲獲勝的機率為 ____。

已知函數

f (x) = x + 1

，

g (x) = x^{2} - 4

，求合成函數：

(g \circ f) (x) =

____。

求：

x \to - 1 lim (x^{101} - 2 x^{51} + 2) =

____。

已知極限

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x - 2}{x - 2}

存在，請問其極限為 ____。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 2 x + 3, - 2 x + a, 當 x \geq 0 當 x < 0

在

x = 0

處連續，求實數

a

的值為 ____。

求極限：

x \to - 1 lim (\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{( x + 1 ) ( x + 2 )}) =

____。

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，求

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x + 1} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)

第 2 題(A)(D)

第 3 題(A)(D)（照學校公布的答案；選項 (E) 依連續函數的定義方式不同而有兩種看法，見詳解）

第 4 題(D)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

- 3

第 8 題

3080

第 9 題

\frac{3}{4}

第 10 題

- \frac{1}{3}

第 11 題

\frac{5}{4}

第 12 題

- \frac{1}{2}

第 13 題

- \frac{1}{2}

第 14 題

\frac{3}{5}

第 15 題

x^{2} + 2 x - 3

第 16 題

3

第 17 題

3

第 18 題

3

第 19 題

- 4

第 20 題

\frac{5}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題第 1、2 題：等比數列與無窮等比級數的收斂條件

第 1 題答案 (C)(D)(E)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。(A) 錯：公比

- 3

，各項為

- 3, 9, - 27, \dots

，絕對值愈來愈大而且正負交錯，發散。(B) 錯：公比

\frac{1001}{1000} > 1

，各項愈來愈大、沒有上限，發散。(C) 對：每一項都是

- 1

的常數數列，收斂到

- 1

。(D) 對：

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以

1 + \frac{1}{n ^{2}} \to 1

。(E) 對：

3 - 1 \approx 0.732

，公比介於

0

與

1

之間，

(3 - 1)^{n} \to 0

。

(B) 的公比只比

1

大一點點，前面幾項看起來幾乎不動，但只要公比大於

1

，乘的次數夠多就會超過任何數。

第 2 題答案 (A)(D)。首項不為

0

的無窮等比級數收斂的條件是公比

∣ r ∣ < 1

。(A) 對：公比

\frac{3}{3} \approx 0.577

，

∣ r ∣ < 1

。(B) 錯：公比

\frac{3}{2} > 1

。(C) 錯：公比

- 1

，部分和在

1

與

0

之間來回，發散。(D) 對：公比

- \frac{2}{3}

，

∣ r ∣ = \frac{2}{3} < 1

。(E) 錯：公比

2 > 1

。

數列與級數的條件差在

r = 1

：公比為

1

的等比數列是常數數列，會收斂；但對應的級數是同一個非零的數一直加下去，發散。

等比數列看公比是否滿足

- 1 < r \leq 1

，無窮等比級數看是否

∣ r ∣ < 1

，兩個條件只差在

r = 1

。

02多選題第 3 題：絕對值除以 x 的函數

第 3 題學校公布的答案是 (A)(D)。先把函數寫成分段：

x > 0

時

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

；

x = 0

時分母為

0

，沒有定義。(A) 對：只有

x = 0

不能代入，定義域是

{x \in R ∣ x \neq = 0}

。(B) 錯：函數值只有

1

與

- 1

兩個，值域是

{1, - 1}

。(C) 錯：右極限

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

，左極限

x \to 0^{-} lim f (x) = - 1

，兩者不相等，極限不存在。(D) 對：對定義域內的每個

x

，

f (- x) = \frac{∣ - x ∣}{- x} = - \frac{∣ x ∣}{x} = - f (x)

。(E) 學校答案不選：圖形在

x = 0

斷成上下兩截，

f (0)

沒有定義，而且

x \to 0

的極限不存在，所以

f (x)

在

x = 0

不連續，不是在整條實數線上都連續的函數。

(E) 有兩種看法。第一種是上面學校答案採用的：以整條實數線來看，

f (x)

在

x = 0

不連續，所以不稱為連續函數。第二種是把連續函數定義成「在定義域內的每一點都連續」：這個函數的定義域不含

0

，在

x > 0

的部分恆為

1

、在

x < 0

的部分恆為

- 1

，定義域內每一點的極限都等於函數值，照這個定義 (E) 也可以算正確。作答時以課堂上採用的定義為準；本頁答案照學校公布的 (A)(D)。

含絕對值的函數先依正負分段寫開，定義域、值域、奇偶性與左右極限就都看得出來。

03多選題第 4、5 題：左極限、右極限與函數值

第 4 題答案 (D)(E)。讀圖時，實心點是函數值，空心點是圖形沒有取到的位置。(A) 錯：

x = 0

的正上方有實心點

(0, 1)

，所以

f (0) = 1

。(B) 錯：從左邊靠近

0

，圖形沿斜線往上接近空心點

(0, 2)

，左極限是

2

；從右邊靠近

0

，圖形接近實心點

(0, 1)

，右極限是

1

；左右極限不相等，極限不存在。(C) 錯：從左邊靠近

1

，圖形接近空心點

(1, 2)

；從右邊靠近

1

，圖形也從空心點

(1, 2)

出發；左右極限都是

2

，所以

x \to 1 lim f (x) = 2

，不是

1

。實心點

(1, 1)

表示的是

f (1) = 1

。(D) 對：

x

從左邊靠近

2

時圖形一直往上，從右邊靠近

2

時圖形一直往下，函數值不會接近任何一個定值，極限不存在。(E) 對：圖形在

x = 3

附近沒有斷開，從左右兩邊都接近點

(3, 2)

，極限是

2

。

x

靠近

1

但不等於

1

時的函數值，與

f (1)

是多少無關。

第 5 題答案 (C)(E)。右極限用

x > 1

那一段：

x \to 1^{+} lim f (x) = 1 + 1 = 2

。左極限用

x < 1

那一段：

x \to 1^{-} lim f (x) = - 2 \times 1 + 4 = 2

。左右極限相等，所以

x \to 1 lim f (x) = 2

；函數值

f (1) = 3

。(A) 錯：右極限等於

2

，不是大於

2

。(B) 錯：左極限等於

2

，不是小於

2

。(C) 對：

2 < 3

。(D) 錯：左右極限相等。(E) 對。

x > 1

時每個函數值

x + 1

都大於

2

，但它們愈來愈接近的那個數正好是

2

；極限是「接近的目標」，不必比

2

大。

極限看的是靠近那一點時函數值接近的數，函數值則是那一點本身的值，兩者可以不同。

04填充題第 1、2、3、7 題（本頁第 6、7、8、12 題）：求和與數列的極限

第 6 題括號裡共有

n

項，項數隨

n

增加，不能每一項各自取極限，要先加起來：

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{2 n} \to 0

，極限為

\frac{1}{2}

。

若每一項各自取極限會得到

0 + 0 + \dots + 0 = 0

，這是錯的：極限的加法性質只能用在固定項數的和。

第 7 題兩個分式各自都愈來愈大，不能分開取極限。分母相同，直接相減：

\frac{( n ^{2} - 1 ) - ( n ^{2} + 3 n + 2 )}{n + 1} = \frac{- 3 n - 3}{n + 1} = \frac{- 3 ( n + 1 )}{n + 1} = - 3

。每一項都是

- 3

，極限為

- 3

。

第 8 題

k (k + 1) = k^{2} + k

，分成兩個和：

k = 1 \sum 20 k^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2870

，

k = 1 \sum 20 k = \frac{20 \times 21}{2} = 210

。相加得

2870 + 210 = 3080

。

第 12 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{3 n - a n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{\frac{3}{n} - a}{1 - \frac{1}{n ^{2}}}

。

n \to \infty

時極限為

\frac{0 - a}{1 - 0} = - a

。由

- a = \frac{1}{2}

得

a = - \frac{1}{2}

。

項數會變的和要先求和，兩個各自發散的式子要先合併，整理成一個式子之後再取極限。

05填充題第 4、5、6、8、9 題（本頁第 9、10、11、13、14 題）：無窮等比級數與夾擠定理

第 9 題這是首項

(- \frac{1}{3})^{0} = 1

、公比

- \frac{1}{3}

的無窮等比級數，

∣ r ∣ < 1

，收斂，和為

\frac{1}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}

。

第 10 題

n \to \infty

時

\frac{1}{6 n ^{2}} \to 0

、

\frac{1}{2 n} \to 0

，所以左邊

- \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \to - \frac{1}{3}

，右邊

\frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \to - \frac{1}{3}

。兩邊的極限相等，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = - \frac{1}{3}

。

第 11 題一般項

\frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{3}{5}

、

\frac{1}{5}

絕對值都小於

1

，各自收斂，可以分開求和：

n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n} = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{3}{2}

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{5})^{n} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}

。所求為

\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

。

檢查前三項：

\frac{3 - 1}{5} = \frac{2}{5}

、

\frac{9 - 1}{25} = \frac{8}{25}

、

\frac{27 - 1}{125} = \frac{26}{125}

，與題目相符。兩個級數的首項分別是

\frac{3}{5}

與

\frac{1}{5}

，不是

1

。

第 13 題首項為

a

，和為

\frac{a}{1 - r} = 4

，得

a = 4 (1 - r)

。第二項

a_{2} = a r = - 3

，代入得

4 (1 - r) r = - 3

，整理為

4 r^{2} - 4 r - 3 = 0

，即

(2 r - 3) (2 r + 1) = 0

，

r = \frac{3}{2}

或

r = - \frac{1}{2}

。級數收斂要

∣ r ∣ < 1

，所以

r = - \frac{1}{2}

。

檢查：

r = - \frac{1}{2}

時

a = 4 \times \frac{3}{2} = 6

，第二項

6 \times (- \frac{1}{2}) = - 3

，和

\frac{6}{1 + \frac{1}{2}} = 4

，都符合。

r = \frac{3}{2}

雖然滿足方程式，但級數發散，沒有和，要捨去。

第 14 題每次投擲，擲出

5

或

6

的機率是

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，沒擲出的機率是

\frac{2}{3}

。甲在自己的第

1

次投擲獲勝的機率是

\frac{1}{3}

；在自己的第

2

次投擲獲勝，表示前面甲、乙各失敗一次，機率是

(\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{3}

；在第

3

次獲勝的機率是

(\frac{2}{3})^{4} \times \frac{1}{3}

，依此類推。甲獲勝的機率是首項

\frac{1}{3}

、公比

(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}

的無窮等比級數：

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{9}} = \frac{3}{5}

。

檢查：乙獲勝的機率是首項

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

、公比

\frac{4}{9}

的級數，和為

\frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2}{5}

，與甲的

\frac{3}{5}

相加等於

1

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比；首項是代入第一個編號得到的那一項。

06填充題第 10～15 題（本頁第 15～20 題）：合成函數、函數的極限與連續

第 15 題

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 1)

，把

g

裡的

x

換成

x + 1

：

(x + 1)^{2} - 4 = x^{2} + 2 x + 1 - 4 = x^{2} + 2 x - 3

。

順序不能反：

(f \circ g) (x) = f (x^{2} - 4) = x^{2} - 3

，是另一個函數。

第 16 題多項式函數的極限直接代入：

(- 1)^{101} - 2 \times (- 1)^{51} + 2

。

101

與

51

都是奇數，所以

(- 1)^{101} = - 1

、

(- 1)^{51} = - 1

，原式

= - 1 - 2 \times (- 1) + 2 = - 1 + 2 + 2 = 3

。

第 17 題

x \to 2

時分母

x - 2 \to 0

。極限存在，分子也必須趨近

0

（否則分式的絕對值會愈來愈大）：

2^{2} + 2 a - 2 = 0

，得

a = - 1

。此時分子

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

，

x \neq = 2

時約去

x - 2

得

x + 1

，極限為

2 + 1 = 3

。

題目問的是極限值

3

，不是

a

的值

- 1

。

第 18 題在

x = 0

連續，要左極限、右極限與函數值三者相等。

f (0) = 0^{2} + 2 \times 0 + 3 = 3

，右極限也是

3

。左極限用

x < 0

那一段：

x \to 0^{-} lim (- 2 x + a) = a

。所以

a = 3

。

第 19 題兩個分式在

x \to - 1

時分母都趨近

0

，先通分：

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 4 - 2 x + 1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )}

。

x \neq = - 1

時約去

x + 1

得

\frac{x - 3}{x + 2}

，極限為

\frac{- 1 - 3}{- 1 + 2} = - 4

。

第 20 題

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。

x \to 1

：約去

x - 1

後

x \to 1 lim (x - 2) (p x + q) = - (p + q) = 1

，得

p + q = - 1

。

x \to 2

：約去

x - 2

後

x \to 2 lim (x - 1) (p x + q) = 2 p + q = 2

。兩式相減得

p = 3

，代回得

q = - 4

，所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

。

x \to 3

時分母

x + 1 \to 4

不為

0

，直接代入：

\frac{f ( 3 )}{3 + 1} = \frac{2 \times 1 \times 5}{4} = \frac{5}{2}

。

最後一個極限的分母是

x + 1

，不是

x - 3

；

x \to 3

時分母不趨近

0

，不需要約分。

分母趨近 0 而極限存在，分子也必須趨近 0；先用這個條件找出因式或係數，約分後再代入。

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03多選題第 4、5 題：左極限、右極限與函數值

04填充題第 1、2、3、7 題（本頁第 6、7、8、12 題）：求和與數列的極限

05填充題第 4、5、6、8、9 題（本頁第 9、10、11、13、14 題）：無窮等比級數與夾擠定理

06填充題第 10～15 題（本頁第 15～20 題）：合成函數、函數的極限與連續

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高三第一次段考
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