段考詳解範圍：第一冊 1-1～2-1：數與式（實數、絕對值、根式與乘法公式、指數、常用對數與科學記號）、直線方程式

小港高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

填充題 16 題共 20 格，每格 5 分，合計 100 分；卷面第 4、5、7、10 題各有兩格，本頁依卷面順序編為第 1～20 題。卷頭沒有印次別，依範圍判定為第一次段考。答案已與學校公布的答案逐題核對；卷面第 13 題學校印「16 or 32」，該題答案欄為本站計算的 16。

填充題：(20 格，5 分/格)

若將

\frac{137}{1110}

化成小數，則此數的小數點以下第

2017

位數字是 ____。

下列選項 (A)～(H) 中的數，請問那些是有理數？答：____。 (A)

0.3 \overline{54}

　(B)

3 + 1

　(C)

(3 + 2)^{2}

　(D)

\frac{5}{6}

　(E)

3.1415926

　(F)

2 - 1.414

　(G)

\frac{2}{8}

　(H)

121

。

若

∣2 x - 1∣ \leq 7

解區間完全落在

∣ x + 1∣ \leq k

的解區間之內，則

k

的最小值為 ____。

卷面第 4 題（第 4～5 題）　試解下列不等式，並以區間表示答案。

(1)

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ \geq 6

(2)

∣4 x + 9∣ < 11

卷面第 5 題（第 6～7 題）　利用指數律求下列各式的值：

(1)

9^{- \frac{3}{2}} \times (\frac{64}{81})^{- 0.25} =

____。

(2)

(2 - 3)^{π + 1} (2 + 3)^{π + 2} =

____。

若

x^{3} = 477

，則稱

x

是

477

的正

3

次方根，用

3477

表示。已知

k

是整數，且

k < 3477 < k + 1

，試問

k =

____。

卷面第 7 題（第 9～10 題）　下表為世界前五「大」和中國黃河河流列表。

河流名稱 亞馬遜河 剛果河 尼羅河 密西西比河 鄂畢河 黃河 地區 南美洲 非洲 非洲 南美洲 西伯利亞 中國 長度 (km) 643746406987373436505464 流域面積 (k m^{2}) 7.05 \times 1 0^{6} 4.015 \times 1 0^{6} 3.255 \times 1 0^{6} 2.981 \times 1 0^{6} 2.97 \times 1 0^{6} 7.95 \times 1 0^{5}

試回答下列問題：

(1) 尼羅河比密西西比河的流域面積大多少？（以科學記號表示）

(2) 亞馬遜河的流域面積約是黃河的幾倍？（四捨五入到小數點第

2

位）

已知

lo g x = 5

，

lo g y = - 4

，

lo g z = \frac{1}{2}

，試問

lo g (x y z^{2}) =

____。

已知莫耳濃度的計算公式為「溶質莫耳數÷溶液體積(公升)」（卷面印成分式），所以科學上 PH 值（卷面原字；一般寫作 pH）為

3

表示這瓶溶液的氫離子濃度為

1 0^{- 3}

莫耳/公升。現在取氫離子濃度不同而體積為

1

公升 PH 值為

4

的液體與體積若干公升 PH 值為

6

的相同液體可混合出 PH 值為

5

的溶液，試問 PH 值為

6

的液體需要取 ____ 公升。

卷面第 10 題（第 13～14 題）　化簡下列各式：

(1)

4 - 23 + \frac{1}{3 - 1} =

____。

(2)

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x ^{2} + 1} =

____。

設實數

a

、

b

滿足

a + b = 4

、

ab = 2

，則下列選項何者錯誤？ (A)

a^{2} + b^{2} = 12

　(B)

a^{3} + b^{3} = 40

　(C)

a - b = 22

　(D)

\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 3

。

輪椅坡道的建議最大斜率是

\frac{1}{12}

。小港醫院要建置一個輪椅坡道，已知停車場平面道路和小港醫院門口的高度落差為

0.69

公尺，試問從停車場到醫院門口輪椅坡道的水平長度至少需要 ____ 公尺才會符合規定。

小明將三張考卷埋藏在一個小港高中的三個地方，小明以小港高中的體育館為中心，由體育館向東走

12

走（卷面原字，依題意應為「步」）埋他的第一張考卷；由體育館向東走

4

步，再往北走

16

步埋他的第二張考卷；最後由體育館向東走

a

步，再往南走

8

步埋他的第三張考卷，事隔一年之後，小明僅記得埋藏考卷的三個地方在同一直線上，試問

a =

____。

已知平面

A (3, - 11)

，

B (- 1, 5)

兩點，求

\overline{A B}

的中垂線方程式為 ____。

若直線

L

通過點

A (2, 3)

，且與兩軸在第一象限所圍成的三角形面積為

12

，試求直線

L

的方程式為 ____。

設

P

、

A (1, - 1)

，

B (- 5, 3)

為平面上共線的三點，已知

P

不在

A

、

B

之間且滿足

\overline{A P} = \frac{1}{3} \overline{B P}

；試求

P

點的座標為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

4

第 2 題(A)(D)(E)(H)

第 3 題

5

第 4 題

(- \infty, - 2] \cup [4, \infty)

第 5 題

(- 5, \frac{1}{2})

第 6 題

\frac{2}{36}

第 7 題

2 + 3

第 8 題

7

第 9 題

2.74 \times 1 0^{5}

第 10 題

8.87

第 11 題

2

第 12 題

10

第 13 題

\frac{3 3 - 1}{2}

第 14 題

\frac{4}{x ^{4} - 1}

第 15 題(C)

第 16 題

8.28

第 17 題

16

（學校公布的答案印「16 or 32」；32 代回三點不共線，本站計算只有 16）

第 18 題

x - 4 y - 13 = 0

第 19 題

3 x + 2 y - 12 = 0

第 20 題

(4, - 3)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01卷面第 1、2 題（第 1～2 題）：循環小數與有理數

第 1 題用長除法：

137 \div 1110 = 0.1234234 \dots

。（

1370 \div 1110

商

1

餘

260

；

2600 \div 1110

商

2

餘

380

；

3800 \div 1110

商

3

餘

470

；

4700 \div 1110

商

4

餘

260

，餘數回到

260

，之後重複。）所以

\frac{137}{1110} = 0.1 \overline{234}

：小數點後第

1

位是

1

，從第

2

位開始每

3

位「

2, 3, 4

」循環一次。第

2017

位是循環部分的第

2017 - 1 = 2016

個數字，

2016 \div 3 = 672

整除，所以落在一個循環節的最後一位，是

4

。

第

1

位的

1

不在循環節裡，要先扣掉。若直接算

2017 \div 3

餘

1

就會誤答

2

。

第 2 題逐一判斷。(A)

0.3 \overline{54}

是循環小數，可以化成分數，是有理數。(B)

3

是無理數，加上有理數

1

仍是無理數。(C)

(3 + 2)^{2} = 5 + 26

，

6

是無理數，所以是無理數。(D)

\frac{5}{6}

是兩個整數相除，是有理數。(E)

3.1415926

是有限小數，是有理數。(F)

2

是無理數，減去有理數

1.414

仍是無理數。(G)

\frac{2}{8}

是無理數

2

乘以不是

0

的有理數

\frac{1}{8}

，是無理數。(H)

121 = 11

，是有理數。所以選 (A)(D)(E)(H)。

3.1415926

與

1.414

只是

π

與

2

的近似值，它們本身是有限小數；所以 (E) 是有理數，(F) 不等於

0

而且是無理數。

循環小數求第幾位：先扣掉不循環的位數，再除以循環節的長度看餘數。

02卷面第 3、4 題（第 3～5 題）：絕對值不等式

第 3 題先解第一個：

∣2 x - 1∣ \leq 7

即

- 7 \leq 2 x - 1 \leq 7

，

- 6 \leq 2 x \leq 8

，

- 3 \leq x \leq 4

。第二個：

∣ x + 1∣ \leq k

（

k > 0

）即

- k \leq x + 1 \leq k

，

- 1 - k \leq x \leq - 1 + k

。要讓

[- 3, 4]

完全落在

[- 1 - k, - 1 + k]

裡，左端要

- 1 - k \leq - 3

，即

k \geq 2

；右端要

- 1 + k \geq 4

，即

k \geq 5

。兩個都要成立，所以

k \geq 5

，最小值是

5

。

用距離想：

∣ x + 1∣ \leq k

是到

- 1

的距離不超過

k

的點。

- 3

到

- 1

的距離是

2

，

4

到

- 1

的距離是

5

，取較遠的那一個。

第 4 題

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣

是數線上

x

到

- 1

與到

3

的距離和。分三段討論。若

x \geq 3

：

(x + 1) + (x - 3) \geq 6

，

2 x \geq 8

，

x \geq 4

。若

- 1 \leq x < 3

：

(x + 1) + (3 - x) = 4

，不會

\geq 6

，這一段沒有解。若

x < - 1

：

- (x + 1) + (3 - x) \geq 6

，

- 2 x \geq 4

，

x \leq - 2

。所以解是

x \leq - 2

或

x \geq 4

，用區間寫成

(- \infty, - 2] \cup [4, \infty)

。

- 1

與

3

相距

4

，距離和要到

6

，還差

2

，所以要從兩端各往外走

1

：得到

- 2

與

4

。含等號，端點用中括號；

\infty

那一側一律用小括號。

第 5 題

∣4 x + 9∣ < 11

即

- 11 < 4 x + 9 < 11

。各減

9

：

- 20 < 4 x < 2

。各除以

4

：

- 5 < x < \frac{1}{2}

。用區間寫成

(- 5, \frac{1}{2})

。

不含等號，兩端都用小括號。

∣ x - c ∣ \leq r

是以

c

為中心、半徑

r

的一段；兩個絕對值相加就看成兩個距離的和，分段去掉絕對值。

03卷面第 5、6 題（第 6～8 題）：指數與方根

第 6 題

9^{- \frac{3}{2}} = (3^{2})^{- \frac{3}{2}} = 3^{- 3} = \frac{1}{27}

。

- 0.25 = - \frac{1}{4}

，負指數先把分數倒過來：

(\frac{64}{81})^{- \frac{1}{4}} = (\frac{81}{64})^{\frac{1}{4}} = \frac{( 3 ^{4} ) ^{\frac{1}{4}}}{( 2 ^{6} ) ^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{2 ^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2 2}

。相乘：

\frac{1}{27} \times \frac{3}{2 2} = \frac{1}{18 2} = \frac{2}{36}

。

2^{\frac{3}{2}} = 2 \times 2^{\frac{1}{2}} = 22

。最後一步是分母有理化：分子分母同乘

2

。

第 7 題把

(2 + 3)^{π + 2}

拆成

(2 + 3)^{π + 1} \times (2 + 3)

。指數相同的兩個可以先把底數相乘：

(2 - 3)^{π + 1} (2 + 3)^{π + 1} = [(2 - 3) (2 + 3)]^{π + 1} = (4 - 3)^{π + 1} = 1^{π + 1} = 1

。所以原式

= 1 \times (2 + 3) = 2 + 3

。

指數是

π + 1

這種實數時，指數律

a^{r} \cdot b^{r} = (ab)^{r}

、

a^{r + s} = a^{r} \cdot a^{s}

照樣成立（底數為正）。看到

2 - 3

與

2 + 3

，先想到它們相乘是

1

。

第 8 題找相鄰兩個整數的三次方把

477

夾住：

7^{3} = 343

，

8^{3} = 512

，而

343 < 477 < 512

，所以

7 < 3477 < 8

，

k = 7

。

底數先化成質數的次方，負指數把分數倒過來；兩個底數相乘是

1

時，把相同的指數湊在一起。

04卷面第 7、8、9 題（第 9～12 題）：科學記號與常用對數

第 9 題查表：尼羅河

3.255 \times 1 0^{6}

，密西西比河

2.981 \times 1 0^{6}

，

10

的次方相同，直接相減：

(3.255 - 2.981) \times 1 0^{6} = 0.274 \times 1 0^{6}

。科學記號前面的數要在

1

到

10

之間，所以改寫成

2.74 \times 1 0^{5}

（平方公里）。

0.274 \times 1 0^{6}

還不是科學記號，小數點往右移一位，

10

的次方就少

1

。

第 10 題查表：亞馬遜河

7.05 \times 1 0^{6}

，黃河

7.95 \times 1 0^{5}

。相除：

\frac{7.05 \times 1 0 ^{6}}{7.95 \times 1 0 ^{5}} = \frac{7.05}{7.95} \times 10 = \frac{70.5}{7.95} = 8.867 \dots

，四捨五入到小數點第

2

位是

8.87

倍。

兩個數的

10

的次方不一樣（

1 0^{6}

與

1 0^{5}

），相除時次方相減，別漏掉那個

10

倍。

第 11 題由

lo g

的意義：

lo g x = 5

就是

x = 1 0^{5}

；同理

y = 1 0^{- 4}

，

z = 1 0^{\frac{1}{2}}

。所以

x y z^{2} = 1 0^{5} \times 1 0^{- 4} \times (1 0^{\frac{1}{2}})^{2} = 1 0^{5 - 4 + 1} = 1 0^{2}

，

lo g (x y z^{2}) = 2

。

第 12 題莫耳數＝濃度×體積。PH 值

4

的液體

1

公升，氫離子有

1 0^{- 4} \times 1 = 1 0^{- 4}

莫耳。設 PH 值

6

的液體取

V

公升，氫離子有

1 0^{- 6} \times V

莫耳。混合後總體積

1 + V

公升、PH 值

5

，氫離子共

1 0^{- 5} \times (1 + V)

莫耳。混合前後氫離子的莫耳數相等：

1 0^{- 4} + 1 0^{- 6} V = 1 0^{- 5} (1 + V)

。兩邊同乘

1 0^{6}

：

100 + V = 10 (1 + V)

，

90 = 9 V

，

V = 10

。所以需要取

10

公升。

PH 值不能直接平均（

4

和

6

各取

1

公升不會得到

5

）：PH 值每差

1

，濃度差

10

倍，要換回濃度

1 0^{- 4}

、

1 0^{- 6}

、

1 0^{- 5}

來列式。

lo g a = k

就是

a = 1 0^{k}

；科學記號相加減先把

10

的次方對齊，相乘除則次方相加減。

05卷面第 10、11 題（第 13～15 題）：根式、分式與乘法公式

第 13 題雙重根號：找兩數和為

4

、積為

3

，是

3

和

1

，所以

4 - 23 = (3 - 1)^{2}

，

4 - 23 = 3 - 1

（因為

3 > 1

）。有理化：

\frac{1}{3 - 1} = \frac{3 + 1}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{3 + 1}{2}

。相加：

(3 - 1) + \frac{3 + 1}{2} = \frac{2 3 - 2 + 3 + 1}{2} = \frac{3 3 - 1}{2}

。

第 14 題先通分前兩項：

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{( x + 1 ) - ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2}{x ^{2} - 1}

。再和第三項通分：

\frac{2}{x ^{2} - 1} - \frac{2}{x ^{2} + 1} = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - 2 ( x ^{2} - 1 )}{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} = \frac{4}{x ^{4} - 1}

。

分母用了兩次平方差公式：

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

，

(x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = x^{4} - 1

。一次只通分兩項，比三項一起通分好算。

第 15 題逐一計算。(A)

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 16 - 4 = 12

，正確。(B)

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 64 - 3 \times 2 \times 4 = 40

，正確。(C)

(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 ab = 16 - 8 = 8

，所以

a - b = 22

或

- 22

；題目沒有說

a

、

b

誰大，不能斷定

a - b = 22

，這個選項錯誤。(D)

\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{( ab ) ^{2}} = \frac{12}{4} = 3

，正確。所以選 (C)。

由

(a - b)^{2} = 8

只能得到

a - b = \pm 22

。例如

a = 2 - 2

、

b = 2 + 2

也滿足

a + b = 4

、

ab = 2

，這時

a - b = - 22

。

已知

a + b

與

ab

：平方和、立方和、差的平方都可以用它們表示；開平方時記得正負兩個都要考慮。

06卷面第 12～16 題（第 16～20 題）：斜率與直線方程式

第 16 題坡道的斜率＝

\frac{高度落差}{水平長度}

。設水平長度為

L

公尺，規定斜率不超過

\frac{1}{12}

：

\frac{0.69}{L} \leq \frac{1}{12}

。因為

L > 0

，兩邊同乘

12 L

得

L \geq 0.69 \times 12 = 8.28

。所以水平長度至少需要

8.28

公尺。

斜率

\frac{1}{12}

的意思是每升高

1

，水平要走

12

；坡道越長越平緩，所以是「至少」。

第 17 題以體育館為原點，向東為

x

軸正向、向北為

y

軸正向。三張考卷的位置是

P_{1} (12, 0)

、

P_{2} (4, 16)

、

P_{3} (a, - 8)

（往南走

8

步，

y

坐標是

- 8

）。三點共線，所以

P_{1} P_{2}

與

P_{1} P_{3}

的斜率相等。

P_{1} P_{2}

的斜率

= \frac{16 - 0}{4 - 12} = - 2

；

P_{1} P_{3}

的斜率

= \frac{- 8 - 0}{a - 12}

。令

\frac{- 8}{a - 12} = - 2

，得

a - 12 = 4

，

a = 16

。

學校公布的答案寫「16 or 32」。依卷面的題幹，三點共線只有

a = 16

一個解：若

a = 32

，

P_{1} P_{3}

的斜率是

\frac{- 8}{20} = - \frac{2}{5}

，和

- 2

不相等，三點不共線。本站看不出

32

的來源，這一題的答案欄寫本站計算的

16

。

第 18 題中垂線通過

\overline{A B}

的中點而且和

\overline{A B}

垂直。中點：

(\frac{3 + ( - 1 )}{2}, \frac{- 11 + 5}{2}) = (1, - 3)

。

A B

的斜率

= \frac{5 - ( - 11 )}{- 1 - 3} = \frac{16}{- 4} = - 4

，互相垂直的兩直線斜率相乘是

- 1

，所以中垂線的斜率是

\frac{1}{4}

。點斜式：

y + 3 = \frac{1}{4} (x - 1)

，兩邊乘

4

：

4 y + 12 = x - 1

，整理得

x - 4 y - 13 = 0

。

檢查：中點

(1, - 3)

代入，

1 + 12 - 13 = 0

，成立。

第 19 題三角形在第一象限，所以直線的

x

截距

a

與

y

截距

b

都是正的，直線通過

(a, 0)

、

(0, b)

與

A (2, 3)

。面積：

\frac{1}{2} ab = 12

，

ab = 24

。三點共線，斜率相等：

\frac{3 - 0}{2 - a} = \frac{b - 0}{0 - a}

，交叉相乘得

- 3 a = b (2 - a)

，即

3 a + 2 b = ab = 24

。由

b = \frac{24 - 3 a}{2}

代入

ab = 24

：

a (24 - 3 a) = 48

，

3 a^{2} - 24 a + 48 = 0

，

a^{2} - 8 a + 16 = 0

，

(a - 4)^{2} = 0

，

a = 4

，

b = 6

。直線通過

(4, 0)

、

(0, 6)

，斜率

- \frac{3}{2}

：

y = - \frac{3}{2} x + 6

，即

3 x + 2 y - 12 = 0

。

a

的方程式是重根，所以這一題只有一條直線符合。

第 20 題

\overline{A P} = \frac{1}{3} \overline{B P}

表示

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 3

，

P

離

A

比較近；

P

又不在

A

、

B

之間，所以

P

在

\overline{B A}

往

A

那一側的延長線上，三點的順序是

B

、

A

、

P

。這時

\overline{B P} = \overline{B A} + \overline{A P}

，即

3 \overline{A P} = \overline{A B} + \overline{A P}

，

\overline{A B} = 2 \overline{A P}

，所以

A

把

\overline{B P}

分成

\overline{B A} : \overline{A P} = 2 : 1

。設

P (x, y)

，用分點公式：

1 = \frac{1 \times ( - 5 ) + 2 x}{3}

，得

x = 4

；

- 1 = \frac{1 \times 3 + 2 y}{3}

，得

y = - 3

。所以

P (4, - 3)

。

也可以用「走法」想：從

B

到

A

，

x

增加

6

、

y

減少

4

；

\overline{A P}

是

\overline{A B}

的一半而且方向相同，所以從

A

再走

x

增加

3

、

y

減少

2

，到

(4, - 3)

。若

P

在

A

、

B

之間則是

(- \frac{1}{2}, 0)

，題目已排除。

三點共線就是任兩點的斜率相等；中垂線＝過中點＋斜率相乘為

- 1

；分點題先畫出三點的順序再套公式。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

小港高中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

卷面第 1 題小數點後第 1 位不在循環節裡，要先扣掉再算；卷面第 9 題的酸鹼值不能直接平均，要換回 10 的次方的濃度列式；卷面第 11 題由差的平方只能得到正負兩個值；卷面第 16 題要先判斷三點的順序，再用分點公式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自小港高中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第一冊 1-1～2-1：數與式（實數、絕對值、根式與乘法公式、指數、常用對數與科學記號）、直線方程式

小港高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

填充題：(20 格，5 分/格)

若將

\frac{137}{1110}

化成小數，則此數的小數點以下第

2017

位數字是 ____。

下列選項 (A)～(H) 中的數，請問那些是有理數？答：____。 (A)

0.3 \overline{54}

　(B)

3 + 1

　(C)

(3 + 2)^{2}

　(D)

\frac{5}{6}

　(E)

3.1415926

　(F)

2 - 1.414

　(G)

\frac{2}{8}

　(H)

121

。

若

∣2 x - 1∣ \leq 7

解區間完全落在

∣ x + 1∣ \leq k

的解區間之內，則

k

的最小值為 ____。

卷面第 4 題（第 4～5 題）　試解下列不等式，並以區間表示答案。

(1)

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ \geq 6

(2)

∣4 x + 9∣ < 11

卷面第 5 題（第 6～7 題）　利用指數律求下列各式的值：

(1)

9^{- \frac{3}{2}} \times (\frac{64}{81})^{- 0.25} =

____。

(2)

(2 - 3)^{π + 1} (2 + 3)^{π + 2} =

____。

若

x^{3} = 477

，則稱

x

是

477

的正

3

次方根，用

3477

表示。已知

k

是整數，且

k < 3477 < k + 1

，試問

k =

____。

卷面第 7 題（第 9～10 題）　下表為世界前五「大」和中國黃河河流列表。

河流名稱 亞馬遜河 剛果河 尼羅河 密西西比河 鄂畢河 黃河 地區 南美洲 非洲 非洲 南美洲 西伯利亞 中國 長度 (km) 643746406987373436505464 流域面積 (k m^{2}) 7.05 \times 1 0^{6} 4.015 \times 1 0^{6} 3.255 \times 1 0^{6} 2.981 \times 1 0^{6} 2.97 \times 1 0^{6} 7.95 \times 1 0^{5}

試回答下列問題：

(1) 尼羅河比密西西比河的流域面積大多少？（以科學記號表示）

(2) 亞馬遜河的流域面積約是黃河的幾倍？（四捨五入到小數點第

2

位）

已知

lo g x = 5

，

lo g y = - 4

，

lo g z = \frac{1}{2}

，試問

lo g (x y z^{2}) =

____。

已知莫耳濃度的計算公式為「溶質莫耳數÷溶液體積(公升)」（卷面印成分式），所以科學上 PH 值（卷面原字；一般寫作 pH）為

3

表示這瓶溶液的氫離子濃度為

1 0^{- 3}

莫耳/公升。現在取氫離子濃度不同而體積為

1

公升 PH 值為

4

的液體與體積若干公升 PH 值為

6

的相同液體可混合出 PH 值為

5

的溶液，試問 PH 值為

6

的液體需要取 ____ 公升。

卷面第 10 題（第 13～14 題）　化簡下列各式：

(1)

4 - 23 + \frac{1}{3 - 1} =

____。

(2)

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x ^{2} + 1} =

____。

設實數

a

、

b

滿足

a + b = 4

、

ab = 2

，則下列選項何者錯誤？ (A)

a^{2} + b^{2} = 12

　(B)

a^{3} + b^{3} = 40

　(C)

a - b = 22

　(D)

\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 3

。

輪椅坡道的建議最大斜率是

\frac{1}{12}

。小港醫院要建置一個輪椅坡道，已知停車場平面道路和小港醫院門口的高度落差為

0.69

公尺，試問從停車場到醫院門口輪椅坡道的水平長度至少需要 ____ 公尺才會符合規定。

小明將三張考卷埋藏在一個小港高中的三個地方，小明以小港高中的體育館為中心，由體育館向東走

12

走（卷面原字，依題意應為「步」）埋他的第一張考卷；由體育館向東走

4

步，再往北走

16

步埋他的第二張考卷；最後由體育館向東走

a

步，再往南走

8

步埋他的第三張考卷，事隔一年之後，小明僅記得埋藏考卷的三個地方在同一直線上，試問

a =

____。

已知平面

A (3, - 11)

，

B (- 1, 5)

兩點，求

\overline{A B}

的中垂線方程式為 ____。

若直線

L

通過點

A (2, 3)

，且與兩軸在第一象限所圍成的三角形面積為

12

，試求直線

L

的方程式為 ____。

設

P

、

A (1, - 1)

，

B (- 5, 3)

為平面上共線的三點，已知

P

不在

A

、

B

之間且滿足

\overline{A P} = \frac{1}{3} \overline{B P}

；試求

P

點的座標為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

4

第 2 題(A)(D)(E)(H)

第 3 題

5

第 4 題

(- \infty, - 2] \cup [4, \infty)

第 5 題

(- 5, \frac{1}{2})

第 6 題

\frac{2}{36}

第 7 題

2 + 3

第 8 題

7

第 9 題

2.74 \times 1 0^{5}

第 10 題

8.87

第 11 題

2

第 12 題

10

第 13 題

\frac{3 3 - 1}{2}

第 14 題

\frac{4}{x ^{4} - 1}

第 15 題(C)

第 16 題

8.28

第 17 題

16

（學校公布的答案印「16 or 32」；32 代回三點不共線，本站計算只有 16）

第 18 題

x - 4 y - 13 = 0

第 19 題

3 x + 2 y - 12 = 0

第 20 題

(4, - 3)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01卷面第 1、2 題（第 1～2 題）：循環小數與有理數

第 1 題用長除法：

137 \div 1110 = 0.1234234 \dots

。（

1370 \div 1110

商

1

餘

260

；

2600 \div 1110

商

2

餘

380

；

3800 \div 1110

商

3

餘

470

；

4700 \div 1110

商

4

餘

260

，餘數回到

260

，之後重複。）所以

\frac{137}{1110} = 0.1 \overline{234}

：小數點後第

1

位是

1

，從第

2

位開始每

3

位「

2, 3, 4

」循環一次。第

2017

位是循環部分的第

2017 - 1 = 2016

個數字，

2016 \div 3 = 672

整除，所以落在一個循環節的最後一位，是

4

。

第

1

位的

1

不在循環節裡，要先扣掉。若直接算

2017 \div 3

餘

1

就會誤答

2

。

第 2 題逐一判斷。(A)

0.3 \overline{54}

是循環小數，可以化成分數，是有理數。(B)

3

是無理數，加上有理數

1

仍是無理數。(C)

(3 + 2)^{2} = 5 + 26

，

6

是無理數，所以是無理數。(D)

\frac{5}{6}

是兩個整數相除，是有理數。(E)

3.1415926

是有限小數，是有理數。(F)

2

是無理數，減去有理數

1.414

仍是無理數。(G)

\frac{2}{8}

是無理數

2

乘以不是

0

的有理數

\frac{1}{8}

，是無理數。(H)

121 = 11

，是有理數。所以選 (A)(D)(E)(H)。

3.1415926

與

1.414

只是

π

與

2

的近似值，它們本身是有限小數；所以 (E) 是有理數，(F) 不等於

0

而且是無理數。

循環小數求第幾位：先扣掉不循環的位數，再除以循環節的長度看餘數。

02卷面第 3、4 題（第 3～5 題）：絕對值不等式

第 3 題先解第一個：

∣2 x - 1∣ \leq 7

即

- 7 \leq 2 x - 1 \leq 7

，

- 6 \leq 2 x \leq 8

，

- 3 \leq x \leq 4

。第二個：

∣ x + 1∣ \leq k

（

k > 0

）即

- k \leq x + 1 \leq k

，

- 1 - k \leq x \leq - 1 + k

。要讓

[- 3, 4]

完全落在

[- 1 - k, - 1 + k]

裡，左端要

- 1 - k \leq - 3

，即

k \geq 2

；右端要

- 1 + k \geq 4

，即

k \geq 5

。兩個都要成立，所以

k \geq 5

，最小值是

5

。

用距離想：

∣ x + 1∣ \leq k

是到

- 1

的距離不超過

k

的點。

- 3

到

- 1

的距離是

2

，

4

到

- 1

的距離是

5

，取較遠的那一個。

第 4 題

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣

是數線上

x

到

- 1

與到

3

的距離和。分三段討論。若

x \geq 3

：

(x + 1) + (x - 3) \geq 6

，

2 x \geq 8

，

x \geq 4

。若

- 1 \leq x < 3

：

(x + 1) + (3 - x) = 4

，不會

\geq 6

，這一段沒有解。若

x < - 1

：

- (x + 1) + (3 - x) \geq 6

，

- 2 x \geq 4

，

x \leq - 2

。所以解是

x \leq - 2

或

x \geq 4

，用區間寫成

(- \infty, - 2] \cup [4, \infty)

。

- 1

與

3

相距

4

，距離和要到

6

，還差

2

，所以要從兩端各往外走

1

：得到

- 2

與

4

。含等號，端點用中括號；

\infty

那一側一律用小括號。

第 5 題

∣4 x + 9∣ < 11

即

- 11 < 4 x + 9 < 11

。各減

9

：

- 20 < 4 x < 2

。各除以

4

：

- 5 < x < \frac{1}{2}

。用區間寫成

(- 5, \frac{1}{2})

。

不含等號，兩端都用小括號。

∣ x - c ∣ \leq r

是以

c

為中心、半徑

r

的一段；兩個絕對值相加就看成兩個距離的和，分段去掉絕對值。

03卷面第 5、6 題（第 6～8 題）：指數與方根

第 6 題

9^{- \frac{3}{2}} = (3^{2})^{- \frac{3}{2}} = 3^{- 3} = \frac{1}{27}

。

- 0.25 = - \frac{1}{4}

，負指數先把分數倒過來：

(\frac{64}{81})^{- \frac{1}{4}} = (\frac{81}{64})^{\frac{1}{4}} = \frac{( 3 ^{4} ) ^{\frac{1}{4}}}{( 2 ^{6} ) ^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{2 ^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2 2}

。相乘：

\frac{1}{27} \times \frac{3}{2 2} = \frac{1}{18 2} = \frac{2}{36}

。

2^{\frac{3}{2}} = 2 \times 2^{\frac{1}{2}} = 22

。最後一步是分母有理化：分子分母同乘

2

。

第 7 題把

(2 + 3)^{π + 2}

拆成

(2 + 3)^{π + 1} \times (2 + 3)

。指數相同的兩個可以先把底數相乘：

(2 - 3)^{π + 1} (2 + 3)^{π + 1} = [(2 - 3) (2 + 3)]^{π + 1} = (4 - 3)^{π + 1} = 1^{π + 1} = 1

。所以原式

= 1 \times (2 + 3) = 2 + 3

。

指數是

π + 1

這種實數時，指數律

a^{r} \cdot b^{r} = (ab)^{r}

、

a^{r + s} = a^{r} \cdot a^{s}

照樣成立（底數為正）。看到

2 - 3

與

2 + 3

，先想到它們相乘是

1

。

第 8 題找相鄰兩個整數的三次方把

477

夾住：

7^{3} = 343

，

8^{3} = 512

，而

343 < 477 < 512

，所以

7 < 3477 < 8

，

k = 7

。

底數先化成質數的次方，負指數把分數倒過來；兩個底數相乘是

1

時，把相同的指數湊在一起。

04卷面第 7、8、9 題（第 9～12 題）：科學記號與常用對數

第 9 題查表：尼羅河

3.255 \times 1 0^{6}

，密西西比河

2.981 \times 1 0^{6}

，

10

的次方相同，直接相減：

(3.255 - 2.981) \times 1 0^{6} = 0.274 \times 1 0^{6}

。科學記號前面的數要在

1

到

10

之間，所以改寫成

2.74 \times 1 0^{5}

（平方公里）。

0.274 \times 1 0^{6}

還不是科學記號，小數點往右移一位，

10

的次方就少

1

。

第 10 題查表：亞馬遜河

7.05 \times 1 0^{6}

，黃河

7.95 \times 1 0^{5}

。相除：

\frac{7.05 \times 1 0 ^{6}}{7.95 \times 1 0 ^{5}} = \frac{7.05}{7.95} \times 10 = \frac{70.5}{7.95} = 8.867 \dots

，四捨五入到小數點第

2

位是

8.87

倍。

兩個數的

10

的次方不一樣（

1 0^{6}

與

1 0^{5}

），相除時次方相減，別漏掉那個

10

倍。

第 11 題由

lo g

的意義：

lo g x = 5

就是

x = 1 0^{5}

；同理

y = 1 0^{- 4}

，

z = 1 0^{\frac{1}{2}}

。所以

x y z^{2} = 1 0^{5} \times 1 0^{- 4} \times (1 0^{\frac{1}{2}})^{2} = 1 0^{5 - 4 + 1} = 1 0^{2}

，

lo g (x y z^{2}) = 2

。

第 12 題莫耳數＝濃度×體積。PH 值

4

的液體

1

公升，氫離子有

1 0^{- 4} \times 1 = 1 0^{- 4}

莫耳。設 PH 值

6

的液體取

V

公升，氫離子有

1 0^{- 6} \times V

莫耳。混合後總體積

1 + V

公升、PH 值

5

，氫離子共

1 0^{- 5} \times (1 + V)

莫耳。混合前後氫離子的莫耳數相等：

1 0^{- 4} + 1 0^{- 6} V = 1 0^{- 5} (1 + V)

。兩邊同乘

1 0^{6}

：

100 + V = 10 (1 + V)

，

90 = 9 V

，

V = 10

。所以需要取

10

公升。

PH 值不能直接平均（

4

和

6

各取

1

公升不會得到

5

）：PH 值每差

1

，濃度差

10

倍，要換回濃度

1 0^{- 4}

、

1 0^{- 6}

、

1 0^{- 5}

來列式。

lo g a = k

就是

a = 1 0^{k}

；科學記號相加減先把

10

的次方對齊，相乘除則次方相加減。

05卷面第 10、11 題（第 13～15 題）：根式、分式與乘法公式

第 13 題雙重根號：找兩數和為

4

、積為

3

，是

3

和

1

，所以

4 - 23 = (3 - 1)^{2}

，

4 - 23 = 3 - 1

（因為

3 > 1

）。有理化：

\frac{1}{3 - 1} = \frac{3 + 1}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{3 + 1}{2}

。相加：

(3 - 1) + \frac{3 + 1}{2} = \frac{2 3 - 2 + 3 + 1}{2} = \frac{3 3 - 1}{2}

。

第 14 題先通分前兩項：

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{( x + 1 ) - ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2}{x ^{2} - 1}

。再和第三項通分：

\frac{2}{x ^{2} - 1} - \frac{2}{x ^{2} + 1} = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - 2 ( x ^{2} - 1 )}{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} = \frac{4}{x ^{4} - 1}

。

分母用了兩次平方差公式：

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

，

(x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = x^{4} - 1

。一次只通分兩項，比三項一起通分好算。

第 15 題逐一計算。(A)

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 16 - 4 = 12

，正確。(B)

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 64 - 3 \times 2 \times 4 = 40

，正確。(C)

(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 ab = 16 - 8 = 8

，所以

a - b = 22

或

- 22

；題目沒有說

a

、

b

誰大，不能斷定

a - b = 22

，這個選項錯誤。(D)

\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{( ab ) ^{2}} = \frac{12}{4} = 3

，正確。所以選 (C)。

由

(a - b)^{2} = 8

只能得到

a - b = \pm 22

。例如

a = 2 - 2

、

b = 2 + 2

也滿足

a + b = 4

、

ab = 2

，這時

a - b = - 22

。

已知

a + b

與

ab

：平方和、立方和、差的平方都可以用它們表示；開平方時記得正負兩個都要考慮。

06卷面第 12～16 題（第 16～20 題）：斜率與直線方程式

第 16 題坡道的斜率＝

\frac{高度落差}{水平長度}

。設水平長度為

L

公尺，規定斜率不超過

\frac{1}{12}

：

\frac{0.69}{L} \leq \frac{1}{12}

。因為

L > 0

，兩邊同乘

12 L

得

L \geq 0.69 \times 12 = 8.28

。所以水平長度至少需要

8.28

公尺。

斜率

\frac{1}{12}

的意思是每升高

1

，水平要走

12

；坡道越長越平緩，所以是「至少」。

第 17 題以體育館為原點，向東為

x

軸正向、向北為

y

軸正向。三張考卷的位置是

P_{1} (12, 0)

、

P_{2} (4, 16)

、

P_{3} (a, - 8)

（往南走

8

步，

y

坐標是

- 8

）。三點共線，所以

P_{1} P_{2}

與

P_{1} P_{3}

的斜率相等。

P_{1} P_{2}

的斜率

= \frac{16 - 0}{4 - 12} = - 2

；

P_{1} P_{3}

的斜率

= \frac{- 8 - 0}{a - 12}

。令

\frac{- 8}{a - 12} = - 2

，得

a - 12 = 4

，

a = 16

。

學校公布的答案寫「16 or 32」。依卷面的題幹，三點共線只有

a = 16

一個解：若

a = 32

，

P_{1} P_{3}

的斜率是

\frac{- 8}{20} = - \frac{2}{5}

，和

- 2

不相等，三點不共線。本站看不出

32

的來源，這一題的答案欄寫本站計算的

16

。

第 18 題中垂線通過

\overline{A B}

的中點而且和

\overline{A B}

垂直。中點：

(\frac{3 + ( - 1 )}{2}, \frac{- 11 + 5}{2}) = (1, - 3)

。

A B

的斜率

= \frac{5 - ( - 11 )}{- 1 - 3} = \frac{16}{- 4} = - 4

，互相垂直的兩直線斜率相乘是

- 1

，所以中垂線的斜率是

\frac{1}{4}

。點斜式：

y + 3 = \frac{1}{4} (x - 1)

，兩邊乘

4

：

4 y + 12 = x - 1

，整理得

x - 4 y - 13 = 0

。

檢查：中點

(1, - 3)

代入，

1 + 12 - 13 = 0

，成立。

第 19 題三角形在第一象限，所以直線的

x

截距

a

與

y

截距

b

都是正的，直線通過

(a, 0)

、

(0, b)

與

A (2, 3)

。面積：

\frac{1}{2} ab = 12

，

ab = 24

。三點共線，斜率相等：

\frac{3 - 0}{2 - a} = \frac{b - 0}{0 - a}

，交叉相乘得

- 3 a = b (2 - a)

，即

3 a + 2 b = ab = 24

。由

b = \frac{24 - 3 a}{2}

代入

ab = 24

：

a (24 - 3 a) = 48

，

3 a^{2} - 24 a + 48 = 0

，

a^{2} - 8 a + 16 = 0

，

(a - 4)^{2} = 0

，

a = 4

，

b = 6

。直線通過

(4, 0)

、

(0, 6)

，斜率

- \frac{3}{2}

：

y = - \frac{3}{2} x + 6

，即

3 x + 2 y - 12 = 0

。

a

的方程式是重根，所以這一題只有一條直線符合。

第 20 題

\overline{A P} = \frac{1}{3} \overline{B P}

表示

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 3

，

P

離

A

比較近；

P

又不在

A

、

B

之間，所以

P

在

\overline{B A}

往

A

那一側的延長線上，三點的順序是

B

、

A

、

P

。這時

\overline{B P} = \overline{B A} + \overline{A P}

，即

3 \overline{A P} = \overline{A B} + \overline{A P}

，

\overline{A B} = 2 \overline{A P}

，所以

A

把

\overline{B P}

分成

\overline{B A} : \overline{A P} = 2 : 1

。設

P (x, y)

，用分點公式：

1 = \frac{1 \times ( - 5 ) + 2 x}{3}

，得

x = 4

；

- 1 = \frac{1 \times 3 + 2 y}{3}

，得

y = - 3

。所以

P (4, - 3)

。

也可以用「走法」想：從

B

到

A

，

x

增加

6

、

y

減少

4

；

\overline{A P}

是

\overline{A B}

的一半而且方向相同，所以從

A

再走

x

增加

3

、

y

減少

2

，到

(4, - 3)

。若

P

在

A

、

B

之間則是

(- \frac{1}{2}, 0)

，題目已排除。

三點共線就是任兩點的斜率相等；中垂線＝過中點＋斜率相乘為

- 1

；分點題先畫出三點的順序再套公式。

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