段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

小港高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

適用班群：理工資訊及生物醫農班群；多選題 2 題（每題 8 分，共 16 分）、填充題 13 題（每題 6 分，共 78 分）、混合題 2 小題（第 1 題單選 4 分、第 2 題 6 分，共 10 分）；滿分 104 分，超過 100 分者以 100 分計算。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多選題，共 16 分。每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 3 分，錯三個選項得 1 分。

請選出正確的選項，

(A) $sin 6 2^{\circ} cos 2^{\circ} - cos 6 2^{\circ} sin 2^{\circ} = sin (6 2^{\circ} - 2^{\circ}) = \frac{3}{2}$
(B) $cos 10 0^{\circ} = \frac{1 + cos 20 0 ^{\circ}}{2}$
(C) $y = sin x - cos x$ 的週期為 $2 π$
(D) 若 $θ$ 為第一象限角，則 $cos \frac{θ}{2} > 0$ 。
(E) 半徑為 $10$ 公分，圓心角為 $3^{\circ}$ 的扇形之弧長為 $30$ 公分。

設函數

y = 4 sin (2 x - \frac{2 π}{3})

，下列敘述何者正確？

(A) 最大值為 $4$ 。
(B) 最小值為 $- 4$ 。
(C) 振幅 $8$ 。
(D) 週期 $2 π$ 。
(E) 圖形對稱於直線 $x = \frac{7 π}{12}$ 。

二、填充題，共 78 分。每題 6 分（原卷題號 1～13，本頁接續編為第 3～15 題）

計算

sin \frac{π}{2} + cos (- \frac{π}{3}) + tan \frac{π}{6} =

____。

cos 4 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} + sin 4 5^{\circ} sin 1 5^{\circ} =

____。

\frac{sin 2 4 ^{\circ}}{sin 8 ^{\circ}} - \frac{cos 2 4 ^{\circ}}{cos 8 ^{\circ}} =

____。

如右圖，

A

點與

B

點為兩圓之圓心，已知圓

A

的半徑為

2

，且

∠ C A D = 12 0^{\circ}

，

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

x = sin 1 0^{\circ}

，求

8 x^{3} - 6 x + 1

之值為 ____。

求兩直線

L_{1} : y = 2 x - 1

與

L_{2} : y = \frac{1}{3} x + 4

的夾角為 ____。

設

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

，且

sin θ = - \frac{4}{5}

，求

cos \frac{θ}{2} =

____。

右圖是

y = a sin (b x)

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，求有序數對

(a, b) =

____。

載入中...

方程式

sin x = - \frac{x}{10}

解的個數有 ____ 個。

函數

y = 5 sin x + 12 cos x + 13

的最大值為

M

，最小值為

n

，求

M + n =

____。

設

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，函數

y = sin x + 3 cos x

的最大值為

M

，最小值為

n

，求

M + n =

____。

在

△ A B C

中，設

cos A = \frac{4}{5}

且

tan B = \frac{1}{2}

，求

tan C =

____。

如圖，矩形

A B C D

中，

\overline{A B} = 12

，

\overline{B C} = 123

，以為

\overline{A B}

、

\overline{A D}

為直徑作半圓交於

P

，則斜線區域面積為 ____。

載入中...

三、混合題（共 10 分）（第 1 題為單選題，4 分；第 2 題 6 分）（原卷題號 1、2，本頁接續編為第 16、17 題）

混合題（第 16～17 題）　小華想為一個透天別墅設計一座螺旋式樓梯，其設計原則為：樓梯共

12

階的踏板，讓人上樓的過程恰好選轉（卷面原字，依題意為「旋轉」）了

2

圈，且每一個踏板皆為全等扇形。

每一個扇形踏板的圓角（卷面原字，依題意為「圓心角」）應為幾度？（單選題，4 分）

(A) $6 0^{\circ}$
(B) $9 0^{\circ}$
(C) $18 0^{\circ}$
(D) $36 0^{\circ}$
(E) $72 0^{\circ}$

假設一般人腳掌長度不超過

30

公分，故設計扇形踏板的兩半徑中點連線長為

30

公分，試問所有踏板的總面積為 ____ 平方公分。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)

第 2 題(A)(B)(E)

第 3 題

\frac{3}{2} + \frac{3}{3}

第 4 題

\frac{3}{2}

第 5 題

2

第 6 題

\frac{10 π}{3} - 43

第 7 題

0

第 8 題

4 5^{\circ}

或

13 5^{\circ}

第 9 題

- \frac{2 5}{5}

第 10 題

(\frac{1}{2}, 2 π)

第 11 題

5

第 12 題

26

第 13 題

3

第 14 題

- 2

第 15 題

30 π - 363

第 16 題(A)

第 17 題

7200 π

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～2 題）：公式的正負與適用條件、正弦函數的圖形性質

第 1 題答案 (A)(C)。(A) 對：左式正是正弦的差角公式

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

，所以等於

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。(B) 錯：

10 0^{\circ}

是第二象限角，

cos 10 0^{\circ} < 0

，但右邊的根號不會是負的；正確的是

cos 10 0^{\circ} = - \frac{1 + cos 20 0 ^{\circ}}{2}

。(C) 對：疊合得

y = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，週期是

2 π

。(D) 錯：第一象限角不一定介於

0^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間，例如

θ = 39 0^{\circ}

是第一象限角，但

\frac{θ}{2} = 19 5^{\circ}

在第三象限，

cos 19 5^{\circ} < 0

。(E) 錯：弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度，

3^{\circ} = \frac{π}{60}

，弧長

= 10 \times \frac{π}{60} = \frac{π}{6}

公分，不是

30

公分。

(E) 的圓心角印的是

3^{\circ}

（有度的符號）；圓心角要是

3

弧度，弧長才會是

30

公分。(D) 的「第一象限角」是廣義角，可以多轉幾圈。

第 2 題答案 (A)(B)(E)。正弦值介於

- 1

與

1

之間，所以

y

介於

- 4

與

4

之間。(A) 對：最大值

4

。(B) 對：最小值

- 4

。(C) 錯：振幅是

4

。(D) 錯：週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(E) 對：正弦函數圖形的對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線；

x = \frac{7 π}{12}

時

2 x - \frac{2 π}{3} = \frac{7 π}{6} - \frac{4 π}{6} = \frac{π}{2}

，

y = 4 sin \frac{π}{2} = 4

是最大值，所以

x = \frac{7 π}{12}

是對稱軸。

振幅是最大值與最小值之差的一半，不是差。

02填充 1～5（第 3～7 題）：特殊角、和差角的逆用、兩圓重疊、三倍角

第 3 題

sin \frac{π}{2} = 1

；

cos (- \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

；

tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

。相加得

1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{3}{2} + \frac{3}{3}

。

也可以通分寫成

\frac{9 + 2 3}{6}

，是同一個數。

第 4 題由餘弦的差角公式

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

，原式

= cos (4 5^{\circ} - 1 5^{\circ}) = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

第 5 題通分：原式

= \frac{sin 2 4 ^{\circ} cos 8 ^{\circ} - cos 2 4 ^{\circ} sin 8 ^{\circ}}{sin 8 ^{\circ} cos 8 ^{\circ}}

。分子是正弦的差角公式，等於

sin (2 4^{\circ} - 8^{\circ}) = sin 1 6^{\circ}

；分母用倍角公式

sin 8^{\circ} cos 8^{\circ} = \frac{1}{2} sin 1 6^{\circ}

。所以原式

= \frac{sin 1 6 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 1 6 ^{\circ}} = 2

。

第 6 題鋪色區域被弦

\overline{C D}

分成兩個弓形，每個弓形的面積＝扇形面積減去三角形面積。先求圓

B

的半徑：

△ A C D

中

\overline{A C} = \overline{A D} = 2

、夾角

12 0^{\circ}

，所以

\overline{C D} = 2 \times 2 sin 6 0^{\circ} = 23

；

△ B C D

中

\overline{B C} = \overline{B D}

且夾角

6 0^{\circ}

，是正三角形，所以圓

B

的半徑

= \overline{C D} = 23

。圓

A

的弓形（圓心角

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

）：

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 2^{2} \times sin 12 0^{\circ} = \frac{4 π}{3} - 3

。圓

B

的弓形（圓心角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

）：

\frac{1}{2} \times (23)^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{1}{2} \times (23)^{2} \times sin 6 0^{\circ} = 2 π - 33

。相加得

\frac{10 π}{3} - 43

。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要先換成弧度。數值約

3.54

，比圓

A

的面積

4 π \approx 12.57

小，合理。

第 7 題

1 0^{\circ}

的三倍是

3 0^{\circ}

，先推三倍角：

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ = 2 sin θ (1 - sin^{2} θ) + sin θ - 2 sin^{3} θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

。取

θ = 1 0^{\circ}

：

sin 3 0^{\circ} = 3 x - 4 x^{3}

，即

\frac{1}{2} = 3 x - 4 x^{3}

。兩邊乘以

2

：

1 = 6 x - 8 x^{3}

，所以

8 x^{3} - 6 x + 1 = 0

。

看到

x^{3}

與

x

的係數比是

4 : 3

（這裡是

8 : 6

），就想到三倍角。

03填充 6～9（第 8～11 題）：兩直線夾角、半角公式、由圖形定係數、數解的個數

第 8 題設

L_{1}

、

L_{2}

的斜角分別為

α

、

β

，則

tan α = 2

、

tan β = \frac{1}{3}

。由正切的差角公式

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1

，所以兩直線的一個夾角是

4 5^{\circ}

，另一個是它的補角

13 5^{\circ}

。

兩條相交直線有兩個互補的夾角，學校答案兩個都寫。

第 9 題

θ

在第四象限，

cos θ > 0

，

cos θ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

。由半角公式

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{4}{5}

。又

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，餘弦為負，所以

cos \frac{θ}{2} = - \frac{2}{5} = - \frac{2 5}{5}

。

半角公式開根號前，一定先由

θ

的範圍定出

\frac{θ}{2}

的象限來決定正負。

第 10 題圖形的最高點高度是

\frac{1}{2}

，且

a > 0

，所以

a = \frac{1}{2}

。圖形從原點出發，先上到最高點、再下到最低點、在

x = 1

回到

x

軸，剛好走完一個完整的波，所以週期是

1

。

y = a sin (b x)

的週期是

\frac{2 π}{b}

，

\frac{2 π}{b} = 1

得

b = 2 π

。答

(\frac{1}{2}, 2 π)

。

第 11 題解的個數就是

y = sin x

與直線

y = - \frac{x}{10}

的交點個數。

x = 0

是一個解。先看

x > 0

：直線在這裡是負的，所以交點只會出現在

sin x < 0

的區間。在

π < x < 2 π

，正弦曲線從

0

下到

- 1

再回到

0

，而直線的高度從約

- 0.31

降到約

- 0.63

，一直夾在

- 1

與

0

之間，所以曲線下去時穿過直線一次、回來時再穿過一次，共

2

個交點。下一個

sin x < 0

的區間是

3 π < x < 4 π

（

3 π \approx 9.42

）：

x > 10

時直線低於

- 1

，不可能相交；

3 π < x \leq 10

時直線的高度在

- 0.94

以下，而這一小段的正弦值最低只到

sin 10 \approx - 0.54

，曲線都在直線上方，也沒有交點。所以

x > 0

有

2

個解。

sin x

與

- \frac{x}{10}

都滿足「

x

換成

- x

時函數值變號」，圖形都對稱於原點，所以

x < 0

也有

2

個解。共

2 + 2 + 1 = 5

個。

直線的斜率是負的，在

0 < x < π

正弦為正、直線為負，沒有交點；別把

x = 0

漏掉。

04填充 10～13（第 12～15 題）：疊合求極值、三角形的正切、兩半圓重疊

第 12 題

5^{2} + 1 2^{2} = 13

，疊合得

5 sin x + 12 cos x = 13 sin (x + φ)

（其中

cos φ = \frac{5}{13}

、

sin φ = \frac{12}{13}

）。

x

沒有限制，

13 sin (x + φ)

的最大值是

13

、最小值是

- 13

。所以

M = 13 + 13 = 26

，

n = - 13 + 13 = 0

，

M + n = 26

。

第 13 題

1^{2} + (3)^{2} = 2

，

y = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 (sin x cos \frac{π}{3} + cos x sin \frac{π}{3}) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{5 π}{6}

。這段角度經過

\frac{π}{2}

，所以正弦值最大是

1

，

M = 2

（此時

x = \frac{π}{6}

）；兩端的正弦值分別是

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

與

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，較小的是

\frac{1}{2}

，

n = 2 \times \frac{1}{2} = 1

（此時

x = \frac{π}{2}

）。

M + n = 3

。

x

有範圍時最小值不是

- 2

：要把疊合後的角度範圍寫出來，比較兩個端點。

第 14 題

A

是三角形的內角且

cos A > 0

，所以

A

是銳角，

sin A = \frac{3}{5}

，

tan A = \frac{3}{4}

。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = 2

。因為

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，

tan C = tan (18 0^{\circ} - (A + B)) = - tan (A + B) = - 2

。

tan C < 0

表示

C

是鈍角，這個三角形是鈍角三角形。

第 15 題兩個半圓都通過

A

，另一個交點是

P

，斜線區域被弦

\overline{A P}

分成兩個弓形。

P

在以

\overline{A B}

為直徑的圓上，所以

∠ A P B = 9 0^{\circ}

；

P

也在以

\overline{A D}

為直徑的圓上，所以

∠ A P D = 9 0^{\circ}

。兩個直角合成平角，

P

在對角線

\overline{B D}

上。直角三角形

A B D

中

tan ∠ A B D = \frac{A D}{A B} = \frac{12 3}{12} = 3

，

∠ A B D = 6 0^{\circ}

，

∠ A D B = 3 0^{\circ}

。圓心角是同弧圓周角的兩倍：在直徑

\overline{A B}

的圓（半徑

6

）中，弧

A P

的圓心角

= 2 \times 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

；在直徑

\overline{A D}

的圓（半徑

63

）中，弧

A P

的圓心角

= 2 \times 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。小圓的弓形：

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 6^{2} \times sin 12 0^{\circ} = 12 π - 93

。大圓的弓形：

\frac{1}{2} \times (63)^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{1}{2} \times (63)^{2} \times sin 6 0^{\circ} = 18 π - 273

。相加得

30 π - 363

。

\overline{A D} = \overline{B C} = 123

。數值約

31.9

。這一題與填充第 4 題是同一種圖形：兩圓重疊處＝兩個弓形，圓心角一個

12 0^{\circ}

、一個

6 0^{\circ}

。

05混合題（第 16～17 題）：螺旋樓梯的扇形踏板

第 16 題答案 (A)。上樓共轉

2

圈，就是

2 \times 36 0^{\circ} = 72 0^{\circ}

；

12

個全等的扇形踏板平分這個角度，每一個的圓心角

= \frac{72 0 ^{\circ}}{12} = 6 0^{\circ}

。

第 17 題設扇形半徑為

r

公分。兩條半徑的中點與圓心圍成一個三角形，兩邊都是

\frac{r}{2}

、夾角

6 0^{\circ}

，所以是正三角形，第三邊（兩中點的連線）也是

\frac{r}{2}

。由

\frac{r}{2} = 30

得

r = 60

。圓心角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，一個踏板的面積

= \frac{1}{2} \times 6 0^{2} \times \frac{π}{3} = 600 π

平方公分，

12

個踏板共

12 \times 600 π = 7200 π

平方公分。

12

個圓心角

6 0^{\circ}

的扇形合起來剛好是兩個半徑

60

的圓：

2 \times π \times 6 0^{2} = 7200 π

，可以用來驗算。

弧長與扇形面積的公式都要用弧度；兩圓重疊的區域沿公共弦切成兩個弓形，各用「扇形減三角形」算。半角開根號、疊合求極值，都要先把角度的範圍寫出來。

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御藍教育／段考卷／高二

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、多選題，共 16 分。每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 3 分，錯三個選項得 1 分。

請選出正確的選項，

(A) $sin 6 2^{\circ} cos 2^{\circ} - cos 6 2^{\circ} sin 2^{\circ} = sin (6 2^{\circ} - 2^{\circ}) = \frac{3}{2}$
(B) $cos 10 0^{\circ} = \frac{1 + cos 20 0 ^{\circ}}{2}$
(C) $y = sin x - cos x$ 的週期為 $2 π$
(D) 若 $θ$ 為第一象限角，則 $cos \frac{θ}{2} > 0$ 。
(E) 半徑為 $10$ 公分，圓心角為 $3^{\circ}$ 的扇形之弧長為 $30$ 公分。

設函數

y = 4 sin (2 x - \frac{2 π}{3})

，下列敘述何者正確？

(A) 最大值為 $4$ 。
(B) 最小值為 $- 4$ 。
(C) 振幅 $8$ 。
(D) 週期 $2 π$ 。
(E) 圖形對稱於直線 $x = \frac{7 π}{12}$ 。

二、填充題，共 78 分。每題 6 分（原卷題號 1～13，本頁接續編為第 3～15 題）

計算

sin \frac{π}{2} + cos (- \frac{π}{3}) + tan \frac{π}{6} =

____。

cos 4 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} + sin 4 5^{\circ} sin 1 5^{\circ} =

____。

\frac{sin 2 4 ^{\circ}}{sin 8 ^{\circ}} - \frac{cos 2 4 ^{\circ}}{cos 8 ^{\circ}} =

____。

如右圖，

A

點與

B

點為兩圓之圓心，已知圓

A

的半徑為

2

，且

∠ C A D = 12 0^{\circ}

，

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

x = sin 1 0^{\circ}

，求

8 x^{3} - 6 x + 1

之值為 ____。

求兩直線

L_{1} : y = 2 x - 1

與

L_{2} : y = \frac{1}{3} x + 4

的夾角為 ____。

設

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

，且

sin θ = - \frac{4}{5}

，求

cos \frac{θ}{2} =

____。

右圖是

y = a sin (b x)

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，求有序數對

(a, b) =

____。

載入中...

方程式

sin x = - \frac{x}{10}

解的個數有 ____ 個。

函數

y = 5 sin x + 12 cos x + 13

的最大值為

M

，最小值為

n

，求

M + n =

____。

設

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，函數

y = sin x + 3 cos x

的最大值為

M

，最小值為

n

，求

M + n =

____。

在

△ A B C

中，設

cos A = \frac{4}{5}

且

tan B = \frac{1}{2}

，求

tan C =

____。

如圖，矩形

A B C D

中，

\overline{A B} = 12

，

\overline{B C} = 123

，以為

\overline{A B}

、

\overline{A D}

為直徑作半圓交於

P

，則斜線區域面積為 ____。

載入中...

三、混合題（共 10 分）（第 1 題為單選題，4 分；第 2 題 6 分）（原卷題號 1、2，本頁接續編為第 16、17 題）

混合題（第 16～17 題）　小華想為一個透天別墅設計一座螺旋式樓梯，其設計原則為：樓梯共

12

階的踏板，讓人上樓的過程恰好選轉（卷面原字，依題意為「旋轉」）了

2

圈，且每一個踏板皆為全等扇形。

每一個扇形踏板的圓角（卷面原字，依題意為「圓心角」）應為幾度？（單選題，4 分）

(A) $6 0^{\circ}$
(B) $9 0^{\circ}$
(C) $18 0^{\circ}$
(D) $36 0^{\circ}$
(E) $72 0^{\circ}$

假設一般人腳掌長度不超過

30

公分，故設計扇形踏板的兩半徑中點連線長為

30

公分，試問所有踏板的總面積為 ____ 平方公分。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)

第 2 題(A)(B)(E)

第 3 題

\frac{3}{2} + \frac{3}{3}

第 4 題

\frac{3}{2}

第 5 題

2

第 6 題

\frac{10 π}{3} - 43

第 7 題

0

第 8 題

4 5^{\circ}

或

13 5^{\circ}

第 9 題

- \frac{2 5}{5}

第 10 題

(\frac{1}{2}, 2 π)

第 11 題

5

第 12 題

26

第 13 題

3

第 14 題

- 2

第 15 題

30 π - 363

第 16 題(A)

第 17 題

7200 π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～2 題）：公式的正負與適用條件、正弦函數的圖形性質

第 1 題答案 (A)(C)。(A) 對：左式正是正弦的差角公式

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

，所以等於

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。(B) 錯：

10 0^{\circ}

是第二象限角，

cos 10 0^{\circ} < 0

，但右邊的根號不會是負的；正確的是

cos 10 0^{\circ} = - \frac{1 + cos 20 0 ^{\circ}}{2}

。(C) 對：疊合得

y = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，週期是

2 π

。(D) 錯：第一象限角不一定介於

0^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間，例如

θ = 39 0^{\circ}

是第一象限角，但

\frac{θ}{2} = 19 5^{\circ}

在第三象限，

cos 19 5^{\circ} < 0

。(E) 錯：弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度，

3^{\circ} = \frac{π}{60}

，弧長

= 10 \times \frac{π}{60} = \frac{π}{6}

公分，不是

30

公分。

(E) 的圓心角印的是

3^{\circ}

（有度的符號）；圓心角要是

3

弧度，弧長才會是

30

公分。(D) 的「第一象限角」是廣義角，可以多轉幾圈。

第 2 題答案 (A)(B)(E)。正弦值介於

- 1

與

1

之間，所以

y

介於

- 4

與

4

之間。(A) 對：最大值

4

。(B) 對：最小值

- 4

。(C) 錯：振幅是

4

。(D) 錯：週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(E) 對：正弦函數圖形的對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線；

x = \frac{7 π}{12}

時

2 x - \frac{2 π}{3} = \frac{7 π}{6} - \frac{4 π}{6} = \frac{π}{2}

，

y = 4 sin \frac{π}{2} = 4

是最大值，所以

x = \frac{7 π}{12}

是對稱軸。

振幅是最大值與最小值之差的一半，不是差。

02填充 1～5（第 3～7 題）：特殊角、和差角的逆用、兩圓重疊、三倍角

第 3 題

sin \frac{π}{2} = 1

；

cos (- \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

；

tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

。相加得

1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{3}{2} + \frac{3}{3}

。

也可以通分寫成

\frac{9 + 2 3}{6}

，是同一個數。

第 4 題由餘弦的差角公式

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

，原式

= cos (4 5^{\circ} - 1 5^{\circ}) = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

第 5 題通分：原式

= \frac{sin 2 4 ^{\circ} cos 8 ^{\circ} - cos 2 4 ^{\circ} sin 8 ^{\circ}}{sin 8 ^{\circ} cos 8 ^{\circ}}

。分子是正弦的差角公式，等於

sin (2 4^{\circ} - 8^{\circ}) = sin 1 6^{\circ}

；分母用倍角公式

sin 8^{\circ} cos 8^{\circ} = \frac{1}{2} sin 1 6^{\circ}

。所以原式

= \frac{sin 1 6 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 1 6 ^{\circ}} = 2

。

第 6 題鋪色區域被弦

\overline{C D}

分成兩個弓形，每個弓形的面積＝扇形面積減去三角形面積。先求圓

B

的半徑：

△ A C D

中

\overline{A C} = \overline{A D} = 2

、夾角

12 0^{\circ}

，所以

\overline{C D} = 2 \times 2 sin 6 0^{\circ} = 23

；

△ B C D

中

\overline{B C} = \overline{B D}

且夾角

6 0^{\circ}

，是正三角形，所以圓

B

的半徑

= \overline{C D} = 23

。圓

A

的弓形（圓心角

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

）：

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 2^{2} \times sin 12 0^{\circ} = \frac{4 π}{3} - 3

。圓

B

的弓形（圓心角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

）：

\frac{1}{2} \times (23)^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{1}{2} \times (23)^{2} \times sin 6 0^{\circ} = 2 π - 33

。相加得

\frac{10 π}{3} - 43

。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要先換成弧度。數值約

3.54

，比圓

A

的面積

4 π \approx 12.57

小，合理。

第 7 題

1 0^{\circ}

的三倍是

3 0^{\circ}

，先推三倍角：

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ = 2 sin θ (1 - sin^{2} θ) + sin θ - 2 sin^{3} θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

。取

θ = 1 0^{\circ}

：

sin 3 0^{\circ} = 3 x - 4 x^{3}

，即

\frac{1}{2} = 3 x - 4 x^{3}

。兩邊乘以

2

：

1 = 6 x - 8 x^{3}

，所以

8 x^{3} - 6 x + 1 = 0

。

看到

x^{3}

與

x

的係數比是

4 : 3

（這裡是

8 : 6

），就想到三倍角。

03填充 6～9（第 8～11 題）：兩直線夾角、半角公式、由圖形定係數、數解的個數

第 8 題設

L_{1}

、

L_{2}

的斜角分別為

α

、

β

，則

tan α = 2

、

tan β = \frac{1}{3}

。由正切的差角公式

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1

，所以兩直線的一個夾角是

4 5^{\circ}

，另一個是它的補角

13 5^{\circ}

。

兩條相交直線有兩個互補的夾角，學校答案兩個都寫。

第 9 題

θ

在第四象限，

cos θ > 0

，

cos θ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

。由半角公式

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{4}{5}

。又

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，餘弦為負，所以

cos \frac{θ}{2} = - \frac{2}{5} = - \frac{2 5}{5}

。

半角公式開根號前，一定先由

θ

的範圍定出

\frac{θ}{2}

的象限來決定正負。

第 10 題圖形的最高點高度是

\frac{1}{2}

，且

a > 0

，所以

a = \frac{1}{2}

。圖形從原點出發，先上到最高點、再下到最低點、在

x = 1

回到

x

軸，剛好走完一個完整的波，所以週期是

1

。

y = a sin (b x)

的週期是

\frac{2 π}{b}

，

\frac{2 π}{b} = 1

得

b = 2 π

。答

(\frac{1}{2}, 2 π)

。

第 11 題解的個數就是

y = sin x

與直線

y = - \frac{x}{10}

的交點個數。

x = 0

是一個解。先看

x > 0

：直線在這裡是負的，所以交點只會出現在

sin x < 0

的區間。在

π < x < 2 π

，正弦曲線從

0

下到

- 1

再回到

0

，而直線的高度從約

- 0.31

降到約

- 0.63

，一直夾在

- 1

與

0

之間，所以曲線下去時穿過直線一次、回來時再穿過一次，共

2

個交點。下一個

sin x < 0

的區間是

3 π < x < 4 π

（

3 π \approx 9.42

）：

x > 10

時直線低於

- 1

，不可能相交；

3 π < x \leq 10

時直線的高度在

- 0.94

以下，而這一小段的正弦值最低只到

sin 10 \approx - 0.54

，曲線都在直線上方，也沒有交點。所以

x > 0

有

2

個解。

sin x

與

- \frac{x}{10}

都滿足「

x

換成

- x

時函數值變號」，圖形都對稱於原點，所以

x < 0

也有

2

個解。共

2 + 2 + 1 = 5

個。

直線的斜率是負的，在

0 < x < π

正弦為正、直線為負，沒有交點；別把

x = 0

漏掉。

04填充 10～13（第 12～15 題）：疊合求極值、三角形的正切、兩半圓重疊

第 12 題

5^{2} + 1 2^{2} = 13

，疊合得

5 sin x + 12 cos x = 13 sin (x + φ)

（其中

cos φ = \frac{5}{13}

、

sin φ = \frac{12}{13}

）。

x

沒有限制，

13 sin (x + φ)

的最大值是

13

、最小值是

- 13

。所以

M = 13 + 13 = 26

，

n = - 13 + 13 = 0

，

M + n = 26

。

第 13 題

1^{2} + (3)^{2} = 2

，

y = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 (sin x cos \frac{π}{3} + cos x sin \frac{π}{3}) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{5 π}{6}

。這段角度經過

\frac{π}{2}

，所以正弦值最大是

1

，

M = 2

（此時

x = \frac{π}{6}

）；兩端的正弦值分別是

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

與

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，較小的是

\frac{1}{2}

，

n = 2 \times \frac{1}{2} = 1

（此時

x = \frac{π}{2}

）。

M + n = 3

。

x

有範圍時最小值不是

- 2

：要把疊合後的角度範圍寫出來，比較兩個端點。

第 14 題

A

是三角形的內角且

cos A > 0

，所以

A

是銳角，

sin A = \frac{3}{5}

，

tan A = \frac{3}{4}

。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = 2

。因為

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，

tan C = tan (18 0^{\circ} - (A + B)) = - tan (A + B) = - 2

。

tan C < 0

表示

C

是鈍角，這個三角形是鈍角三角形。

第 15 題兩個半圓都通過

A

，另一個交點是

P

，斜線區域被弦

\overline{A P}

分成兩個弓形。

P

在以

\overline{A B}

為直徑的圓上，所以

∠ A P B = 9 0^{\circ}

；

P

也在以

\overline{A D}

為直徑的圓上，所以

∠ A P D = 9 0^{\circ}

。兩個直角合成平角，

P

在對角線

\overline{B D}

上。直角三角形

A B D

中

tan ∠ A B D = \frac{A D}{A B} = \frac{12 3}{12} = 3

，

∠ A B D = 6 0^{\circ}

，

∠ A D B = 3 0^{\circ}

。圓心角是同弧圓周角的兩倍：在直徑

\overline{A B}

的圓（半徑

6

）中，弧

A P

的圓心角

= 2 \times 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

；在直徑

\overline{A D}

的圓（半徑

63

）中，弧

A P

的圓心角

= 2 \times 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。小圓的弓形：

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 6^{2} \times sin 12 0^{\circ} = 12 π - 93

。大圓的弓形：

\frac{1}{2} \times (63)^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{1}{2} \times (63)^{2} \times sin 6 0^{\circ} = 18 π - 273

。相加得

30 π - 363

。

\overline{A D} = \overline{B C} = 123

。數值約

31.9

。這一題與填充第 4 題是同一種圖形：兩圓重疊處＝兩個弓形，圓心角一個

12 0^{\circ}

、一個

6 0^{\circ}

。

05混合題（第 16～17 題）：螺旋樓梯的扇形踏板

第 16 題答案 (A)。上樓共轉

2

圈，就是

2 \times 36 0^{\circ} = 72 0^{\circ}

；

12

個全等的扇形踏板平分這個角度，每一個的圓心角

= \frac{72 0 ^{\circ}}{12} = 6 0^{\circ}

。

第 17 題設扇形半徑為

r

公分。兩條半徑的中點與圓心圍成一個三角形，兩邊都是

\frac{r}{2}

、夾角

6 0^{\circ}

，所以是正三角形，第三邊（兩中點的連線）也是

\frac{r}{2}

。由

\frac{r}{2} = 30

得

r = 60

。圓心角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，一個踏板的面積

= \frac{1}{2} \times 6 0^{2} \times \frac{π}{3} = 600 π

平方公分，

12

個踏板共

12 \times 600 π = 7200 π

平方公分。

12

個圓心角

6 0^{\circ}

的扇形合起來剛好是兩個半徑

60

的圓：

2 \times π \times 6 0^{2} = 7200 π

，可以用來驗算。

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數學試題、答案與詳解

小港高中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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高二第一次段考
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