段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指對數的應用）

小港高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題 13 題共 18 格，依答對格數查配分表給分（答對 1～18 格依序得 8、16、24、32、40、47、54、60、66、71、76、80、84、88、91、94、97、100 分）。本頁第 1～18 題依序為卷面第 1(1)～1(4)、2(1)、2(2)、3、4、5(1)、5(2)、6～13 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

填充題：(18 格，計分：如配分表)

卷面第 1 題（第 1～4 題）　解下列各方程式：

(1)

4^{x + \frac{3}{2}} + 15 \cdot 2^{x} - 2 = 0

，

x =

____。

(2)

3^{x + 1} - 6 \cdot 3^{x - 1} - 4 \cdot 3^{x - 2} = \frac{10}{9}

，

x =

____。

(3)

\frac{2}{lo g x} = 3 lo g x + 5

，

x =

____。

(4)

lo g x + lo g (x - 3) = 1

，

x =

____。

卷面第 2 題（第 5～6 題）　求下列各式的值：

(1)

lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{9} + lo g_{4} 1 + lo g_{5} 55 =

____。

(2)

lo g \frac{8}{21} + 2 lo g \frac{35}{3} - lo g 14 + lo g 27 =

____。

設

a = 2^{\frac{1}{3}}

，

b = (\frac{1}{8})^{- 2}

，

c = 2^{- \frac{1}{4}}

，

d = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}

，

e = 8^{- \frac{1}{3}}

，則

a, b, c, d, e

之大小順序為（由大而小排列）____。

已知

a, b, c, d

均大於

0

，若指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

，

y = d^{x}

如圖所示，則

a, b, c, d

之大小順序為（由大而小排列）____。

載入中...

卷面第 5 題（第 9～10 題）　求下列各不等式：

(1)

27 \cdot (\frac{2}{3})^{x^{2}} > 8 \cdot (\frac{3}{2})^{2 x}

，

x

的範圍為 ____。

(2)

lo g_{\frac{1}{2}} (3 x + 1) > 2

，

x

的範圍為 ____。

設

a = lo g 5

，

b = 2 lo g 2

，

c = lo g 2 + lo g 3

，

d = \frac{1}{2} lo g 9

，

e = 1

，則

a, b, c, d, e

之大小順序為（由大而小排列）____。

已知

x \cdot y \neq = 0

，設

\frac{lo g 32}{x} = \frac{lo g 2 ^{3 y} - 6 lo g 2}{y}

且

2 7^{x} \cdot 3^{15 y} = 8 1^{x y}

，則

(x, y) =

____。

下圖為

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

的圖形，則

a

、

b

、

c

三數中有 ____ 個大於

0

。

載入中...

下列選項哪些是正確的？(多選) (A)

lo g_{7} 7 = 1

(B)

lo g 2 + lo g 4 = lo g 6

(C)

lo g 17 - lo g 13 = \frac{lo g 17}{lo g 13}

(D)

lo g 5 \cdot lo g 7 = lo g 35

(E)

lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3

科學家們利用芮氏規模

r

來度量地震的強度，而

I

為地震時所釋放的相對能量強度，芮氏規模

r

之定義為

r = lo g I

，1999 年臺灣發生兩次大地震，9 月 21 日的集集大地震是芮氏規模

7.3

．10 月 22 日嘉義大地震是芮氏規模

6.4

．就釋放出的相對能量強度而言，集集大地震為嘉義大地震的 ____ 倍。

橘子公司推出新款愛瘋智慧型手機，售價

30000

元，阿忠為了要買新款手機，靠著每天中午到福利社工讀，終於賺到

3000

元。已知起瘋銀行提供了一項月利率

10%

，每月複利計息一次的學生優惠儲蓄專案。若阿忠將

3000

元投入此儲蓄專案，則至少經過 ____ 個月，阿忠才能買得起此款售價

30000

元的愛瘋手機。(已知

lo g 1.1 \approx 0.041

)

游泳訓練機構統計發現，經過

x

小時的訓練，學員掌握自由式游泳技巧的「能力分數」為函數

f (x) = 100 (1 - a^{x})

，其中

a

是常數。下圖是

y = f (x)

的部分圖形，當能力分數為

75

時，表示此學員可以游完

100

公尺的距離，試問：一名學員應該接受 ____ 小時的訓練，才能游完

100

公尺。

載入中...

阿華操作計算機得知

lo g 2 \approx 0.3010

與

lo g 3 \approx 0.4771

，而阿華利用這兩個對數值去算出

(\frac{2}{3})^{100}

乘開之後的值為

0. n 個 00 \dots 0 a_{1} a_{2} a_{3} \dots

其中

a_{1} \neq = 0

，則數對

(n, a_{1}) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

- 3

第 2 題

lo g_{3} 2

第 3 題

1 0^{\frac{1}{3}}

或

1 0^{- 2}

第 4 題

5

第 5 題

\frac{5}{2}

第 6 題

2

第 7 題

b > a > c > d > e

第 8 題

c > d > a > b

第 9 題

- 3 < x < 1

第 10 題

- \frac{1}{3} < x < - \frac{1}{4}

第 11 題

e > c > a > b > d

第 12 題

(5, 3)

第 13 題

1

第 14 題(A)(E)

第 15 題

1 0^{0.9}

第 16 題

25

第 17 題

32

第 18 題

(17, 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01卷面第 1 題（第 1～4 題）：指數與對數方程式

第 1 題

4^{x + \frac{3}{2}} = 2^{2 x + 3} = 8 \cdot (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

8 t^{2} + 15 t - 2 = 0

，因式分解得

(8 t - 1) (t + 2) = 0

。因為

t > 0

，只取

t = \frac{1}{8}

，即

2^{x} = 2^{- 3}

，所以

x = - 3

。

t = - 2

不合，因為

2^{x}

一定是正數。

第 2 題三項都提出

3^{x - 2}

：

3^{x + 1} = 27 \cdot 3^{x - 2}

，

6 \cdot 3^{x - 1} = 18 \cdot 3^{x - 2}

，所以左式

= (27 - 18 - 4) \cdot 3^{x - 2} = 5 \cdot 3^{x - 2}

。由

5 \cdot 3^{x - 2} = \frac{10}{9}

得

3^{x - 2} = \frac{2}{9}

，即

\frac{3 ^{x}}{9} = \frac{2}{9}

，

3^{x} = 2

，所以

x = lo g_{3} 2

。

第 3 題令

t = lo g x

（

t \neq = 0

）。兩邊乘以

t

：

2 = 3 t^{2} + 5 t

，即

3 t^{2} + 5 t - 2 = 0

，

(3 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{3}

或

t = - 2

，兩個都不是

0

。所以

x = 1 0^{\frac{1}{3}}

或

x = 1 0^{- 2}

。

1 0^{\frac{1}{3}} = 310

，

1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

，兩個都要寫。

第 4 題真數條件：

x > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。由對數律，

lo g x (x - 3) = 1 = lo g 10

，得

x (x - 3) = 10

，

x^{2} - 3 x - 10 = 0

，

(x - 5) (x + 2) = 0

，

x = 5

或

x = - 2

。

x = - 2

不滿足

x > 3

，所以

x = 5

。

02卷面第 2 題（第 5～6 題）：對數求值

第 5 題

lo g_{2} 8 = lo g_{2} 2^{3} = 3

；

lo g_{3} \frac{1}{9} = lo g_{3} 3^{- 2} = - 2

；

lo g_{4} 1 = 0

；

55 = 5^{\frac{3}{2}}

，

lo g_{5} 55 = \frac{3}{2}

。相加得

3 - 2 + 0 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

。

第 6 題由對數律把四項合成一個對數：原式

= lo g (\frac{8}{21} \times \frac{3 5 ^{2}}{3 ^{2}} \times \frac{1}{14} \times 27)

。真數

= \frac{8 \times 1225 \times 27}{21 \times 9 \times 14} = \frac{264600}{2646} = 100

，所以原式

= lo g 100 = 2

。

也可以全部拆成質因數：

\frac{2 ^{3} \cdot 5 ^{2} \cdot 7 ^{2} \cdot 3 ^{3}}{3 \cdot 7 \cdot 3 ^{2} \cdot 2 \cdot 7} = 2^{2} \cdot 5^{2} = 100

。

03卷面第 3～4 題（第 7～8 題）：指數比大小、由圖形判斷底數

第 7 題全部換成以

2

為底：

a = 2^{\frac{1}{3}}

；

b = (2^{- 3})^{- 2} = 2^{6}

；

c = 2^{- \frac{1}{4}}

；

d = (2^{- 1})^{\frac{1}{2}} = 2^{- \frac{1}{2}}

；

e = (2^{3})^{- \frac{1}{3}} = 2^{- 1}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

是遞增函數，指數愈大值愈大。指數由大到小是

6 > \frac{1}{3} > - \frac{1}{4} > - \frac{1}{2} > - 1

，所以

b > a > c > d > e

。

第 8 題

y = a^{x}

的圖形由左上往右下，是遞減函數，所以

0 < a < 1

；

y = b^{x}

也是由左上往右下（緊貼

y

軸左側急降），所以

0 < b < 1

。

y = c^{x}

與

y = d^{x}

由左下往右上，是遞增函數，所以

c > 1

、

d > 1

。比較底數：取

x = 1

時函數值就是底數。在

x > 0

的部分，

y = c^{x}

（實線）高於

y = d^{x}

（虛線），所以

c > d

。兩條遞減的曲線看

x < 0

的部分：取

x = - 1

時函數值是

\frac{1}{a}

、

\frac{1}{b}

，

y = b^{x}

在左側升得比

y = a^{x}

快得多，所以

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，即

b < a

。合起來

c > d > 1 > a > b

。

底數大於 1 時，在

y

軸右側愈陡的底數愈大；底數小於 1 時，在

y

軸左側愈陡的底數愈小。

04卷面第 5 題（第 9～10 題）：指數與對數不等式

第 9 題把兩邊都寫成以

\frac{2}{3}

為底：

(\frac{3}{2})^{2 x} = (\frac{2}{3})^{- 2 x}

，

\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

。兩邊同除以

27

：

(\frac{2}{3})^{x^{2}} > (\frac{2}{3})^{3} \cdot (\frac{2}{3})^{- 2 x} = (\frac{2}{3})^{3 - 2 x}

。底數

\frac{2}{3} < 1

，

y = (\frac{2}{3})^{x}

是遞減函數，不等號要反向：

x^{2} < 3 - 2 x

，即

x^{2} + 2 x - 3 < 0

，

(x + 3) (x - 1) < 0

，所以

- 3 < x < 1

。

第 10 題真數條件：

3 x + 1 > 0

，

x > - \frac{1}{3}

。

2 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，原式即

lo g_{\frac{1}{2}} (3 x + 1) > lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

。底數

\frac{1}{2} < 1

，對數函數遞減，不等號反向：

3 x + 1 < \frac{1}{4}

，

x < - \frac{1}{4}

。與真數條件合併得

- \frac{1}{3} < x < - \frac{1}{4}

。

真數條件一定要一起寫，否則會得到

x < - \frac{1}{4}

這個錯誤的範圍。

05卷面第 6～9 題（第 11～14 題）：對數比大小、聯立方程式、對數圖形、對數運算律

第 11 題都寫成一個常用對數：

a = lo g 5

；

b = lo g 2^{2} = lo g 4

；

c = lo g (2 \times 3) = lo g 6

；

d = lo g 9^{\frac{1}{2}} = lo g 3

；

e = 1 = lo g 10

。底數

10 > 1

，

y = lo g x

是遞增函數，真數愈大值愈大。

10 > 6 > 5 > 4 > 3

，所以

e > c > a > b > d

。

第 12 題第一式：

lo g 32 = 5 lo g 2

，

lo g 2^{3 y} - 6 lo g 2 = (3 y - 6) lo g 2

，兩邊約去

lo g 2

得

\frac{5}{x} = \frac{3 y - 6}{y}

，即

5 y = 3 x y - 6 x

……①。第二式：

2 7^{x} \cdot 3^{15 y} = 3^{3 x + 15 y}

，

8 1^{x y} = 3^{4 x y}

，所以

3 x + 15 y = 4 x y

……②。由①得

3 x y = 6 x + 5 y

，即

x y = \frac{6 x + 5 y}{3}

，代入②：

3 x + 15 y = \frac{4 ( 6 x + 5 y )}{3}

，

9 x + 45 y = 24 x + 20 y

，

25 y = 15 x

，

y = \frac{3}{5} x

。代回①：

5 \cdot \frac{3}{5} x = 3 x \cdot \frac{3}{5} x - 6 x

，

3 x = \frac{9}{5} x^{2} - 6 x

，

\frac{9}{5} x^{2} = 9 x

。因為

x \neq = 0

，

x = 5

，

y = 3

。所以

(x, y) = (5, 3)

。

代回檢查：

\frac{lo g 32}{5} = lo g 2

，

\frac{9 lo g 2 - 6 lo g 2}{3} = lo g 2

；

2 7^{5} \cdot 3^{45} = 3^{60} = 8 1^{15}

。

第 13 題

y = lo g x

是遞增函數。

y = a lo g x

的圖形由左下往右上，是遞增的，所以

a > 0

；

y = b lo g x

與

y = c lo g x

的圖形都由左上往右下，是遞減的，等於把

y = lo g x

上下翻轉再伸縮，所以

b < 0

、

c < 0

。三數中只有

a

大於

0

，共

1

個。

三條曲線都通過

(1, 0)

，因為

lo g 1 = 0

；不要把

x

軸下方的曲線誤認成係數為正。

第 14 題

(A) 正確。 $lo g_{7} 7 = 1$ ，底數與真數相同。

(B) 錯誤。 $lo g 2 + lo g 4 = lo g (2 \times 4) = lo g 8 \neq = lo g 6$ ；相加的對數是真數相乘，不是相加。

(C) 錯誤。 $lo g 17 - lo g 13 = lo g \frac{17}{13}$ ，而 $\frac{lo g 17}{lo g 13} = lo g_{13} 17$ ，兩者不相等（前者約 $0.117$ ，後者約 $1.105$ ）。

(D) 錯誤。 $lo g 35 = lo g 5 + lo g 7$ ，是相加不是相乘； $lo g 5 \cdot lo g 7 \approx 0.591$ ， $lo g 35 \approx 1.544$ 。

(E) 正確。 由換底公式， $lo g_{4} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3$ ； $lo g_{2} 3 = \frac{\frac{1}{2} lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 2} = lo g_{2} 3$ ，兩者相等。

答 (A)(E)。

06卷面第 10～13 題（第 15～18 題）：指數與對數的應用

第 15 題設集集大地震與嘉義大地震的相對能量強度分別為

I_{1}

、

I_{2}

，則

lo g I_{1} = 7.3

，

lo g I_{2} = 6.4

，即

I_{1} = 1 0^{7.3}

，

I_{2} = 1 0^{6.4}

。所以

\frac{I _{1}}{I _{2}} = \frac{1 0 ^{7.3}}{1 0 ^{6.4}} = 1 0^{0.9}

倍。

規模差

0.9

，能量差

1 0^{0.9}

倍，約

7.9

倍。

第 16 題月利率

10%

、每月複利，經過

n

個月本利和為

3000 \times 1. 1^{n}

元。要

3000 \times 1. 1^{n} \geq 30000

，即

1. 1^{n} \geq 10

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 \geq 1

，

n \geq \frac{1}{lo g 1.1} \approx \frac{1}{0.041} \approx 24.4

。

n

是正整數，所以至少經過

25

個月。

24

個月時

24 \times 0.041 = 0.984 < 1

，還不到

10

倍；

25

個月時

25 \times 0.041 = 1.025 > 1

。

第 17 題圖形通過

(16, 50)

：

100 (1 - a^{16}) = 50

，

a^{16} = \frac{1}{2}

。能力分數為

75

時：

100 (1 - a^{x}) = 75

，

a^{x} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2} = (a^{16})^{2} = a^{32}

。

a

是不等於

1

的正數（

a^{16} = \frac{1}{2}

），所以

x = 32

，要接受

32

小時的訓練。

不必求出

a

：

\frac{1}{4}

是

\frac{1}{2}

的平方，時間就是

16

的兩倍。

第 18 題

lo g (\frac{2}{3})^{100} = 100 (lo g 2 - lo g 3) \approx 100 (0.3010 - 0.4771) = - 17.61 = - 18 + 0.39

。所以

(\frac{2}{3})^{100} \approx 1 0^{0.39} \times 1 0^{- 18}

。因為

lo g 2 = 0.3010 < 0.39 < 0.4771 = lo g 3

，得

2 < 1 0^{0.39} < 3

，首位數字

a_{1} = 2

。

1 0^{0.39} \times 1 0^{- 18}

是

2. \dots \times 1 0^{- 18}

，小數點後先有

17

個

0

，第

18

位才是

2

。所以

(n, a_{1}) = (17, 2)

。

1 0^{- 1} = 0.1

小數點後沒有

0

，

1 0^{- 18}

小數點後有

17

個

0

：零的個數比指數的絕對值少

1

。

指數比大小先換成同底；對數比大小先寫成同底的一個對數。底數小於 1 時不等號要反向，對數式一定先寫真數條件；應用題把條件寫成指數式，再取常用對數。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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卷面第 4 題（本頁第 8 題）的四條指數曲線要分清遞增與遞減兩組再比陡緩，其中一條緊貼 y 軸容易看漏；卷面第 13 題（第 18 題）小數點後零的個數比指數的絕對值少一，首位數字要用 log2 與 log3 夾出來；卷面第 5(2) 題（第 10 題）底數小於 1 要反向，還要配上真數條件；卷面第 7 題（第 12 題）的聯立方程式要先把兩式都化成 x、y 的代數式再消去。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自小港高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指對數的應用）

小港高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題：(18 格，計分：如配分表)

卷面第 1 題（第 1～4 題）　解下列各方程式：

(1)

4^{x + \frac{3}{2}} + 15 \cdot 2^{x} - 2 = 0

，

x =

____。

(2)

3^{x + 1} - 6 \cdot 3^{x - 1} - 4 \cdot 3^{x - 2} = \frac{10}{9}

，

x =

____。

(3)

\frac{2}{lo g x} = 3 lo g x + 5

，

x =

____。

(4)

lo g x + lo g (x - 3) = 1

，

x =

____。

卷面第 2 題（第 5～6 題）　求下列各式的值：

(1)

lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{9} + lo g_{4} 1 + lo g_{5} 55 =

____。

(2)

lo g \frac{8}{21} + 2 lo g \frac{35}{3} - lo g 14 + lo g 27 =

____。

設

a = 2^{\frac{1}{3}}

，

b = (\frac{1}{8})^{- 2}

，

c = 2^{- \frac{1}{4}}

，

d = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}

，

e = 8^{- \frac{1}{3}}

，則

a, b, c, d, e

之大小順序為（由大而小排列）____。

已知

a, b, c, d

均大於

0

，若指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

，

y = d^{x}

如圖所示，則

a, b, c, d

之大小順序為（由大而小排列）____。

載入中...

卷面第 5 題（第 9～10 題）　求下列各不等式：

(1)

27 \cdot (\frac{2}{3})^{x^{2}} > 8 \cdot (\frac{3}{2})^{2 x}

，

x

的範圍為 ____。

(2)

lo g_{\frac{1}{2}} (3 x + 1) > 2

，

x

的範圍為 ____。

設

a = lo g 5

，

b = 2 lo g 2

，

c = lo g 2 + lo g 3

，

d = \frac{1}{2} lo g 9

，

e = 1

，則

a, b, c, d, e

之大小順序為（由大而小排列）____。

已知

x \cdot y \neq = 0

，設

\frac{lo g 32}{x} = \frac{lo g 2 ^{3 y} - 6 lo g 2}{y}

且

2 7^{x} \cdot 3^{15 y} = 8 1^{x y}

，則

(x, y) =

____。

下圖為

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

的圖形，則

a

、

b

、

c

三數中有 ____ 個大於

0

。

載入中...

下列選項哪些是正確的？(多選) (A)

lo g_{7} 7 = 1

(B)

lo g 2 + lo g 4 = lo g 6

(C)

lo g 17 - lo g 13 = \frac{lo g 17}{lo g 13}

(D)

lo g 5 \cdot lo g 7 = lo g 35

(E)

lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3

科學家們利用芮氏規模

r

來度量地震的強度，而

I

為地震時所釋放的相對能量強度，芮氏規模

r

之定義為

r = lo g I

，1999 年臺灣發生兩次大地震，9 月 21 日的集集大地震是芮氏規模

7.3

．10 月 22 日嘉義大地震是芮氏規模

6.4

．就釋放出的相對能量強度而言，集集大地震為嘉義大地震的 ____ 倍。

橘子公司推出新款愛瘋智慧型手機，售價

30000

元，阿忠為了要買新款手機，靠著每天中午到福利社工讀，終於賺到

3000

元。已知起瘋銀行提供了一項月利率

10%

，每月複利計息一次的學生優惠儲蓄專案。若阿忠將

3000

元投入此儲蓄專案，則至少經過 ____ 個月，阿忠才能買得起此款售價

30000

元的愛瘋手機。(已知

lo g 1.1 \approx 0.041

)

游泳訓練機構統計發現，經過

x

小時的訓練，學員掌握自由式游泳技巧的「能力分數」為函數

f (x) = 100 (1 - a^{x})

，其中

a

是常數。下圖是

y = f (x)

的部分圖形，當能力分數為

75

時，表示此學員可以游完

100

公尺的距離，試問：一名學員應該接受 ____ 小時的訓練，才能游完

100

公尺。

載入中...

阿華操作計算機得知

lo g 2 \approx 0.3010

與

lo g 3 \approx 0.4771

，而阿華利用這兩個對數值去算出

(\frac{2}{3})^{100}

乘開之後的值為

0. n 個 00 \dots 0 a_{1} a_{2} a_{3} \dots

其中

a_{1} \neq = 0

，則數對

(n, a_{1}) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

- 3

第 2 題

lo g_{3} 2

第 3 題

1 0^{\frac{1}{3}}

或

1 0^{- 2}

第 4 題

5

第 5 題

\frac{5}{2}

第 6 題

2

第 7 題

b > a > c > d > e

第 8 題

c > d > a > b

第 9 題

- 3 < x < 1

第 10 題

- \frac{1}{3} < x < - \frac{1}{4}

第 11 題

e > c > a > b > d

第 12 題

(5, 3)

第 13 題

1

第 14 題(A)(E)

第 15 題

1 0^{0.9}

第 16 題

25

第 17 題

32

第 18 題

(17, 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01卷面第 1 題（第 1～4 題）：指數與對數方程式

第 1 題

4^{x + \frac{3}{2}} = 2^{2 x + 3} = 8 \cdot (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

8 t^{2} + 15 t - 2 = 0

，因式分解得

(8 t - 1) (t + 2) = 0

。因為

t > 0

，只取

t = \frac{1}{8}

，即

2^{x} = 2^{- 3}

，所以

x = - 3

。

t = - 2

不合，因為

2^{x}

一定是正數。

第 2 題三項都提出

3^{x - 2}

：

3^{x + 1} = 27 \cdot 3^{x - 2}

，

6 \cdot 3^{x - 1} = 18 \cdot 3^{x - 2}

，所以左式

= (27 - 18 - 4) \cdot 3^{x - 2} = 5 \cdot 3^{x - 2}

。由

5 \cdot 3^{x - 2} = \frac{10}{9}

得

3^{x - 2} = \frac{2}{9}

，即

\frac{3 ^{x}}{9} = \frac{2}{9}

，

3^{x} = 2

，所以

x = lo g_{3} 2

。

第 3 題令

t = lo g x

（

t \neq = 0

）。兩邊乘以

t

：

2 = 3 t^{2} + 5 t

，即

3 t^{2} + 5 t - 2 = 0

，

(3 t - 1) (t + 2) = 0

，

t = \frac{1}{3}

或

t = - 2

，兩個都不是

0

。所以

x = 1 0^{\frac{1}{3}}

或

x = 1 0^{- 2}

。

1 0^{\frac{1}{3}} = 310

，

1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

，兩個都要寫。

第 4 題真數條件：

x > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。由對數律，

lo g x (x - 3) = 1 = lo g 10

，得

x (x - 3) = 10

，

x^{2} - 3 x - 10 = 0

，

(x - 5) (x + 2) = 0

，

x = 5

或

x = - 2

。

x = - 2

不滿足

x > 3

，所以

x = 5

。

02卷面第 2 題（第 5～6 題）：對數求值

第 5 題

lo g_{2} 8 = lo g_{2} 2^{3} = 3

；

lo g_{3} \frac{1}{9} = lo g_{3} 3^{- 2} = - 2

；

lo g_{4} 1 = 0

；

55 = 5^{\frac{3}{2}}

，

lo g_{5} 55 = \frac{3}{2}

。相加得

3 - 2 + 0 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

。

第 6 題由對數律把四項合成一個對數：原式

= lo g (\frac{8}{21} \times \frac{3 5 ^{2}}{3 ^{2}} \times \frac{1}{14} \times 27)

。真數

= \frac{8 \times 1225 \times 27}{21 \times 9 \times 14} = \frac{264600}{2646} = 100

，所以原式

= lo g 100 = 2

。

也可以全部拆成質因數：

\frac{2 ^{3} \cdot 5 ^{2} \cdot 7 ^{2} \cdot 3 ^{3}}{3 \cdot 7 \cdot 3 ^{2} \cdot 2 \cdot 7} = 2^{2} \cdot 5^{2} = 100

。

03卷面第 3～4 題（第 7～8 題）：指數比大小、由圖形判斷底數

第 7 題全部換成以

2

為底：

a = 2^{\frac{1}{3}}

；

b = (2^{- 3})^{- 2} = 2^{6}

；

c = 2^{- \frac{1}{4}}

；

d = (2^{- 1})^{\frac{1}{2}} = 2^{- \frac{1}{2}}

；

e = (2^{3})^{- \frac{1}{3}} = 2^{- 1}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

是遞增函數，指數愈大值愈大。指數由大到小是

6 > \frac{1}{3} > - \frac{1}{4} > - \frac{1}{2} > - 1

，所以

b > a > c > d > e

。

第 8 題

y = a^{x}

的圖形由左上往右下，是遞減函數，所以

0 < a < 1

；

y = b^{x}

也是由左上往右下（緊貼

y

軸左側急降），所以

0 < b < 1

。

y = c^{x}

與

y = d^{x}

由左下往右上，是遞增函數，所以

c > 1

、

d > 1

。比較底數：取

x = 1

時函數值就是底數。在

x > 0

的部分，

y = c^{x}

（實線）高於

y = d^{x}

（虛線），所以

c > d

。兩條遞減的曲線看

x < 0

的部分：取

x = - 1

時函數值是

\frac{1}{a}

、

\frac{1}{b}

，

y = b^{x}

在左側升得比

y = a^{x}

快得多，所以

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，即

b < a

。合起來

c > d > 1 > a > b

。

底數大於 1 時，在

y

軸右側愈陡的底數愈大；底數小於 1 時，在

y

軸左側愈陡的底數愈小。

04卷面第 5 題（第 9～10 題）：指數與對數不等式

第 9 題把兩邊都寫成以

\frac{2}{3}

為底：

(\frac{3}{2})^{2 x} = (\frac{2}{3})^{- 2 x}

，

\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

。兩邊同除以

27

：

(\frac{2}{3})^{x^{2}} > (\frac{2}{3})^{3} \cdot (\frac{2}{3})^{- 2 x} = (\frac{2}{3})^{3 - 2 x}

。底數

\frac{2}{3} < 1

，

y = (\frac{2}{3})^{x}

是遞減函數，不等號要反向：

x^{2} < 3 - 2 x

，即

x^{2} + 2 x - 3 < 0

，

(x + 3) (x - 1) < 0

，所以

- 3 < x < 1

。

第 10 題真數條件：

3 x + 1 > 0

，

x > - \frac{1}{3}

。

2 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，原式即

lo g_{\frac{1}{2}} (3 x + 1) > lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

。底數

\frac{1}{2} < 1

，對數函數遞減，不等號反向：

3 x + 1 < \frac{1}{4}

，

x < - \frac{1}{4}

。與真數條件合併得

- \frac{1}{3} < x < - \frac{1}{4}

。

真數條件一定要一起寫，否則會得到

x < - \frac{1}{4}

這個錯誤的範圍。

05卷面第 6～9 題（第 11～14 題）：對數比大小、聯立方程式、對數圖形、對數運算律

第 11 題都寫成一個常用對數：

a = lo g 5

；

b = lo g 2^{2} = lo g 4

；

c = lo g (2 \times 3) = lo g 6

；

d = lo g 9^{\frac{1}{2}} = lo g 3

；

e = 1 = lo g 10

。底數

10 > 1

，

y = lo g x

是遞增函數，真數愈大值愈大。

10 > 6 > 5 > 4 > 3

，所以

e > c > a > b > d

。

第 12 題第一式：

lo g 32 = 5 lo g 2

，

lo g 2^{3 y} - 6 lo g 2 = (3 y - 6) lo g 2

，兩邊約去

lo g 2

得

\frac{5}{x} = \frac{3 y - 6}{y}

，即

5 y = 3 x y - 6 x

……①。第二式：

2 7^{x} \cdot 3^{15 y} = 3^{3 x + 15 y}

，

8 1^{x y} = 3^{4 x y}

，所以

3 x + 15 y = 4 x y

……②。由①得

3 x y = 6 x + 5 y

，即

x y = \frac{6 x + 5 y}{3}

，代入②：

3 x + 15 y = \frac{4 ( 6 x + 5 y )}{3}

，

9 x + 45 y = 24 x + 20 y

，

25 y = 15 x

，

y = \frac{3}{5} x

。代回①：

5 \cdot \frac{3}{5} x = 3 x \cdot \frac{3}{5} x - 6 x

，

3 x = \frac{9}{5} x^{2} - 6 x

，

\frac{9}{5} x^{2} = 9 x

。因為

x \neq = 0

，

x = 5

，

y = 3

。所以

(x, y) = (5, 3)

。

代回檢查：

\frac{lo g 32}{5} = lo g 2

，

\frac{9 lo g 2 - 6 lo g 2}{3} = lo g 2

；

2 7^{5} \cdot 3^{45} = 3^{60} = 8 1^{15}

。

第 13 題

y = lo g x

是遞增函數。

y = a lo g x

的圖形由左下往右上，是遞增的，所以

a > 0

；

y = b lo g x

與

y = c lo g x

的圖形都由左上往右下，是遞減的，等於把

y = lo g x

上下翻轉再伸縮，所以

b < 0

、

c < 0

。三數中只有

a

大於

0

，共

1

個。

三條曲線都通過

(1, 0)

，因為

lo g 1 = 0

；不要把

x

軸下方的曲線誤認成係數為正。

第 14 題

(A) 正確。 $lo g_{7} 7 = 1$ ，底數與真數相同。

(B) 錯誤。 $lo g 2 + lo g 4 = lo g (2 \times 4) = lo g 8 \neq = lo g 6$ ；相加的對數是真數相乘，不是相加。

(C) 錯誤。 $lo g 17 - lo g 13 = lo g \frac{17}{13}$ ，而 $\frac{lo g 17}{lo g 13} = lo g_{13} 17$ ，兩者不相等（前者約 $0.117$ ，後者約 $1.105$ ）。

(D) 錯誤。 $lo g 35 = lo g 5 + lo g 7$ ，是相加不是相乘； $lo g 5 \cdot lo g 7 \approx 0.591$ ， $lo g 35 \approx 1.544$ 。

答 (A)(E)。

06卷面第 10～13 題（第 15～18 題）：指數與對數的應用

第 15 題設集集大地震與嘉義大地震的相對能量強度分別為

I_{1}

、

I_{2}

，則

lo g I_{1} = 7.3

，

lo g I_{2} = 6.4

，即

I_{1} = 1 0^{7.3}

，

I_{2} = 1 0^{6.4}

。所以

\frac{I _{1}}{I _{2}} = \frac{1 0 ^{7.3}}{1 0 ^{6.4}} = 1 0^{0.9}

倍。

規模差

0.9

，能量差

1 0^{0.9}

倍，約

7.9

倍。

第 16 題月利率

10%

、每月複利，經過

n

個月本利和為

3000 \times 1. 1^{n}

元。要

3000 \times 1. 1^{n} \geq 30000

，即

1. 1^{n} \geq 10

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 \geq 1

，

n \geq \frac{1}{lo g 1.1} \approx \frac{1}{0.041} \approx 24.4

。

n

是正整數，所以至少經過

25

個月。

24

個月時

24 \times 0.041 = 0.984 < 1

，還不到

10

倍；

25

個月時

25 \times 0.041 = 1.025 > 1

。

第 17 題圖形通過

(16, 50)

：

100 (1 - a^{16}) = 50

，

a^{16} = \frac{1}{2}

。能力分數為

75

時：

100 (1 - a^{x}) = 75

，

a^{x} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2} = (a^{16})^{2} = a^{32}

。

a

是不等於

1

的正數（

a^{16} = \frac{1}{2}

），所以

x = 32

，要接受

32

小時的訓練。

不必求出

a

：

\frac{1}{4}

是

\frac{1}{2}

的平方，時間就是

16

的兩倍。

第 18 題

lo g (\frac{2}{3})^{100} = 100 (lo g 2 - lo g 3) \approx 100 (0.3010 - 0.4771) = - 17.61 = - 18 + 0.39

。所以

(\frac{2}{3})^{100} \approx 1 0^{0.39} \times 1 0^{- 18}

。因為

lo g 2 = 0.3010 < 0.39 < 0.4771 = lo g 3

，得

2 < 1 0^{0.39} < 3

，首位數字

a_{1} = 2

。

1 0^{0.39} \times 1 0^{- 18}

是

2. \dots \times 1 0^{- 18}

，小數點後先有

17

個

0

，第

18

位才是

2

。所以

(n, a_{1}) = (17, 2)

。

1 0^{- 1} = 0.1

小數點後沒有

0

，

1 0^{- 18}

小數點後有

17

個

0

：零的個數比指數的絕對值少

1

。

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02卷面第 2 題（第 5～6 題）：對數求值

03卷面第 3～4 題（第 7～8 題）：指數比大小、由圖形判斷底數

04卷面第 5 題（第 9～10 題）：指數與對數不等式

05卷面第 6～9 題（第 11～14 題）：對數比大小、聯立方程式、對數圖形、對數運算律

06卷面第 10～13 題（第 15～18 題）：指數與對數的應用

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小港高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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小港高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01卷面第 1 題（第 1～4 題）：指數與對數方程式

02卷面第 2 題（第 5～6 題）：對數求值

03卷面第 3～4 題（第 7～8 題）：指數比大小、由圖形判斷底數

04卷面第 5 題（第 9～10 題）：指數與對數不等式

05卷面第 6～9 題（第 11～14 題）：對數比大小、聯立方程式、對數圖形、對數運算律

06卷面第 10～13 題（第 15～18 題）：指數與對數的應用

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小港高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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