段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）、多項式運算及運用

小港高中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

卷頭印的是二年級社會組數學科，對應數學B。全卷是填充題 18 題共 20 格（卷面第 7、16 題各 2 格），計分依配分表：答對 1 到 20 格的得分依序為 6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、64、68、72、76、80、84、88、92、96、100。本頁第 1～6 題是卷面第 1～6 題，第 7～8 題是卷面第 7(1)、7(2) 題，第 9～16 題是卷面第 8～15 題，第 17～18 題是卷面第 16(1)、16(2) 題，第 19～20 題是卷面第 17、18 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 格全部相同。

填充題：(20 格，計分：如配分表)

選出所有

\frac{π}{5}

弳的同界角。(A)

\frac{6 π}{5}

弳　(B)

- 3 6^{\circ}

　(C)

32 4^{\circ}

　(D)

- \frac{9 π}{5}

弳　(E)

\frac{11 π}{5}

弳。

已知扇形的半徑為

5

，圓心角為

7 2^{\circ}

，則扇形的弧長為

S

、面積為

A

，試問

S + A =

____。

求值：

sin \frac{2 π}{3} \times cos \frac{π}{6} + tan \frac{5 π}{4} \times sin \frac{7 π}{6} + sin \frac{π}{2} + cos π + tan 2 π =

____。

如下圖，已知半徑分別為

1

與

3

的兩圓外切，且直線

A B

為其外公切線，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

教室牆上有個傳統時鐘，其鐘面上時針的長度為

1

，分針的長度為

2

，若從

4

點

15

分到

4

點

55

分，這段時間內時針和分針尖端所掃過的弧長分別為

a

和

b

，則求

\frac{a}{b} =

____。

如下圖，以

\overline{O A} = \overline{O B} = 4

為直徑在

\frac{1}{4}

圓

O A B

內部各作半圓，求鋪色部分之面積為 ____。

載入中...

卷面第 7 題（第 7～8 題）（第 7～8 題）　已知一條繩子長

40

公分，今圍出一個扇形（如下圖），請問如欲得最大之扇形面積，則

(1) 此扇形之半徑為 ____ 公分。

載入中...

(2) 此時之面積為 ____ 平方公分。

y = sin (x + \frac{3 π}{4})

的圖形如何由

y = sin (x - \frac{π}{4})

的圖形平移得到？(A) 往左平移

π

單位　(B) 往右平移

π

單位　(C) 往左平移

\frac{π}{2}

單位　(D) 往右平移

\frac{5 π}{4}

單位。

已知下圖為

y = a sin b x

一個週期的圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，試求：數對

(a, b) =

____。

載入中...

方程式

2 sin x = \frac{x}{π}

共有 ____ 個實根。

利用

y = sin x

的圖形比較

a = sin 3

，

b = sin 4

，

c = sin 5

，

d = sin 6

的大小關係：____。

函數

y = π sin (π x + \frac{2 π}{3}) + π

的圖形，其週期為

T

、最大值為

M

及最小值為

m

，試求：數對

(T, M, m) =

____。

如下圖為

y = sin (x + h) + k

一個週期的圖形，其中

0 < h < 2 π

，試求數對

(h, k) =

____。

載入中...

遊樂區中有一圓形摩天輪，逆時針方向運轉一圈需時

18

分鐘。當摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，

x

分鐘後，甲車廂離地的高度

y

（公尺）可表為

y = 20 sin (b x - \frac{π}{2}) + 22

，其中

b

是正數。試求

b =

____。

在

0 \leq x < π

範圍內，求滿足不等式

\frac{2}{2} \leq sin 2 x \leq 1

的解為 ____。

卷面第 16 題（第 17～18 題）（第 17～18 題）　設

f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 3

。

(1) 已知

f (x)

表成

(x + 1)

的多項式之形式為

f (x) = a (x + 1)^{3} + b (x + 1)^{2} + c (x + 1) + d

，求

a + b + c + d =

____。

(2) 求

f (- 0.99)

的近似值到小數點以下第二位（第三位四捨五入）。

已知

de g f (x) = 3

的多項式滿足

f (- 1) = f (2) = 0

，

f (3) = 4

與

f (1) = 6

，求

f (x) =

____。

多項式

f (x)

除以

x^{2} - 3 x + 2

得餘式為

12 x + a

，除以

x^{2} - 5 x + 6

得餘式為

24 x - 30

，則

f (x)

除以

x^{2} - 4 x + 3

之餘式為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)(E)

第 2 題

7 π

第 3 題

\frac{1}{4}

第 4 題

43 - \frac{11}{6} π

第 5 題

\frac{1}{24}

第 6 題

4 π - 8

第 7 題

10

第 8 題

100

第 9 題(A)(B)

第 10 題

(2, π)

第 11 題

3

第 12 題

a > d > b > c

第 13 題

(2, 2 π, 0)

第 14 題

(\frac{π}{3}, 2)

第 15 題

\frac{π}{9}

第 16 題

\frac{π}{8} \leq x \leq \frac{3 π}{8}

第 17 題

3

第 18 題

- 9.78

第 19 題

(x + 1) (x - 2) (2 x - 5)

第 20 題

18 x - 12

03 · 勾錯題號

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01卷面第 1～3 題（第 1～3 題）：同界角、扇形、特殊角

第 1 題兩個角相差

2 π

（也就是

36 0^{\circ}

）的整數倍才是同界角。先換成度：

\frac{π}{5}

弳

= 3 6^{\circ}

。(A) 錯誤。

\frac{6 π}{5} - \frac{π}{5} = π

，只差半圈。(B) 錯誤。

3 6^{\circ} - (- 3 6^{\circ}) = 7 2^{\circ}

，不是

36 0^{\circ}

的整數倍。(C) 錯誤。

32 4^{\circ} - 3 6^{\circ} = 28 8^{\circ}

，不是

36 0^{\circ}

的整數倍（

32 4^{\circ}

是

- 3 6^{\circ}

的同界角）。(D) 正確。

\frac{π}{5} - (- \frac{9 π}{5}) = 2 π

。(E) 正確。

\frac{11 π}{5} - \frac{π}{5} = 2 π

。答 (D)(E)。

第 2 題公式裡的圓心角要用弳：

7 2^{\circ} = 72 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{5}

弳。弧長

S = 5 \times \frac{2 π}{5} = 2 π

；面積

A = \frac{1}{2} \times 5^{2} \times \frac{2 π}{5} = 5 π

。所以

S + A = 2 π + 5 π = 7 π

。

弧長與面積的單位不同，這裡只是把兩個數值相加。

第 3 題逐項求值：

sin \frac{2 π}{3} = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

，

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，相乘得

\frac{3}{4}

。

tan \frac{5 π}{4} = tan 22 5^{\circ} = 1

（第三象限，正切為正），

sin \frac{7 π}{6} = sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

，相乘得

- \frac{1}{2}

。

sin \frac{π}{2} = 1

，

cos π = - 1

，

tan 2 π = 0

。全部相加：

\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + 1 - 1 + 0 = \frac{1}{4}

。

弧長

r θ

與扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

一定用弳；特殊角先換成度、看象限定正負。

02卷面第 4～6 題（第 4～6 題）：圓弧圍成的區域、時鐘

第 4 題設小圓的圓心為

P

、大圓的圓心為

Q

。切線與過切點的半徑垂直，所以

\overline{P A} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{QB} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{P A} = 1

，

\overline{QB} = 3

；兩圓外切，

\overline{P Q} = 1 + 3 = 4

。過

P

作

\overline{P H} ⊥ \overline{QB}

於

H

，則

\overline{Q H} = 3 - 1 = 2

，

\overline{P H} = 4^{2} - 2^{2} = 23

，所以

\overline{A B} = 23

。直角三角形

P Q H

中

cos ∠ P Q H = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

，

∠ P QB = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

；

\overline{P A}

與

\overline{QB}

平行，同側內角互補，

∠ A P Q = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。鋪色區域＝梯形

A B QP

－小圓的扇形－大圓的扇形。梯形面積

= \frac{( 1 + 3 ) \times 2 3}{2} = 43

；小圓的扇形

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

；大圓的扇形

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

。所以面積

= 43 - \frac{π}{3} - \frac{3 π}{2} = 43 - \frac{11}{6} π

。

數值約

6.93 - 5.76 = 1.17

，是一小塊，與圖相符。

第 5 題從

4

點

15

分到

4

點

55

分共

40

分鐘。時針

12

小時（

720

分鐘）轉一圈，

40

分鐘轉

\frac{40}{720} \times 2 π = \frac{π}{9}

弳，針尖走的弧長

a = 1 \times \frac{π}{9} = \frac{π}{9}

。分針

60

分鐘轉一圈，

40

分鐘轉

\frac{40}{60} \times 2 π = \frac{4 π}{3}

弳，針尖走的弧長

b = 2 \times \frac{4 π}{3} = \frac{8 π}{3}

。所以

\frac{a}{b} = \frac{π}{9} \times \frac{3}{8 π} = \frac{1}{24}

。

也可以直接比：同樣的時間裡時針轉的角是分針的

\frac{1}{12}

，長度是分針的

\frac{1}{2}

，弧長的比就是

\frac{1}{12} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{24}

。

第 6 題兩個半圓的半徑都是

2

，圓心分別是

\overline{O A}

的中點

M

與

\overline{O B}

的中點

N

。設兩個半圓除了

O

以外還交於

C

點。四邊形

O M C N

的四個邊都是半徑

2

，又

∠ M O N = 9 0^{\circ}

，所以它是邊長

2

的正方形。鋪色有兩塊。第一塊是兩個半圓重疊的葉形：連

\overline{O C}

把它分成兩個全等的弓形，每個弓形是圓心角

\frac{π}{2}

的扇形減去等腰直角三角形，面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = π - 2

，所以葉形面積是

2 (π - 2) = 2 π - 4

。第二塊在四分之一圓裡面、兩個半圓外面。兩個半圓合起來蓋住的面積是

2 π + 2 π - (2 π - 4) = 2 π + 4

（重疊的葉形只能算一次），四分之一圓的面積是

\frac{1}{4} \times π \times 4^{2} = 4 π

，所以第二塊的面積是

4 π - (2 π + 4) = 2 π - 4

。兩塊相加得

(2 π - 4) + (2 π - 4) = 4 π - 8

。

兩塊的面積正好相等：兩個半圓的面積和

4 π

等於四分之一圓的面積，重疊多算的那一塊就等於外面沒蓋到的那一塊。數值約

4.57

。

圓弧圍成的區域，先找出每段弧的圓心與圓心角，再拆成扇形、三角形或梯形相加減。

03卷面第 7 題（第 7～8 題）：繩長固定的扇形

第 7 題設扇形的半徑是

r

公分、弧長是

s

公分。繩子圍成扇形的周界：

2 r + s = 40

，所以

s = 40 - 2 r

（

0 < r < 20

）。扇形面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (40 - 2 r) = 20 r - r^{2} = - (r - 10)^{2} + 100

。

r = 10

時面積最大，所以半徑是

10

公分。

第 8 題由上一格，面積

= - (r - 10)^{2} + 100

，

r = 10

時的最大值是

100

平方公分。

此時弧長

s = 40 - 20 = 20

公分，圓心角

= \frac{s}{r} = 2

弳。

扇形面積也可以寫成

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長；周長固定時把面積寫成半徑的二次函數再配方。

04卷面第 8～10 題（第 9～11 題）：圖形的平移、由圖形求係數、交點個數

第 9 題圖形往左平移

c

單位是把

x

換成

x + c

，往右平移

c

單位是把

x

換成

x - c

。正弦函數的週期是

2 π

，角相差

2 π

的整數倍時圖形相同。以下把

y = sin (x - \frac{π}{4})

照各選項平移，再和目標

y = sin (x + \frac{3 π}{4})

比較。(A) 正確。 往左

π

得

y = sin (x + π - \frac{π}{4})

，就是目標函數。(B) 正確。 往右

π

得

y = sin (x - \frac{5 π}{4})

，括號裡的角比

x + \frac{3 π}{4}

少

2 π

，圖形相同。(C) 錯誤。 往左

\frac{π}{2}

得

y = sin (x + \frac{π}{4})

。代

x = \frac{π}{4}

時它的值是

1

，目標函數的值卻是

sin π = 0

，兩者不同。(D) 錯誤。 往右

\frac{5 π}{4}

得

y = sin (x - \frac{3 π}{2})

。代

x = 0

時它的值是

1

，目標函數的值卻是

sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}

，兩者不同。答 (A)(B)。

卷面沒有寫單選或多選；往左與往右各移半個週期

π

會到同一個位置，所以 (A)(B) 都對，學校答案也是這兩個。

第 10 題圖形最高到

2

、最低到

- 2

，

a > 0

，所以振幅

a = 2

。圖形從原點出發，上升到最高點、下降到最低點，再回到

x

軸上的

x = 2

，是一個完整的週期，週期是

2

。

b > 0

時週期

= \frac{2 π}{b} = 2

，

b = π

。所以

(a, b) = (2, π)

。

第 11 題兩邊同除以

2

：

sin x = \frac{x}{2 π}

。實根的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{2 π}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，所以只要看

- 1 \leq \frac{x}{2 π} \leq 1

，也就是

- 2 π \leq x \leq 2 π

。

x = 0

是一個交點。

0 < x \leq 2 π

時直線在

x

軸上方，交點只會在

sin x > 0

的

0 < x < π

這一段：

0 < x \leq \frac{π}{2}

時曲線在直線上方（這一段的正弦曲線向上鼓起，在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{2}, 1)

的線段上方，而那條線段又比

y = \frac{x}{2 π}

陡；例如

x = \frac{π}{6}

時

\frac{1}{2} > \frac{1}{12}

，

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{1}{4}

）；

\frac{π}{2} < x < π

時曲線由

1

一路降到

0

，直線由

\frac{1}{4}

一路升到

\frac{1}{2}

，恰好交於一點。

π \leq x \leq 2 π

時

sin x \leq 0

而直線在

\frac{1}{2}

以上，沒有交點。所以

x > 0

有

1

個交點。兩個圖形都對稱於原點（把

x

換成

- x

，兩邊都變號），

x < 0

也有

1

個。合計

1 + 1 + 1 = 3

個實根。

一邊是正弦、一邊是直線的方程式，先用正弦值不超過

1

定出要看的範圍，再一段一段數交點。

05卷面第 11～13 題（第 12～14 題）：比較大小、週期與極值、由圖形求平移量

第 12 題先記三個近似值：

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。因為

3

在

\frac{π}{2}

與

π

之間，所以

a = sin 3

是正的。

4

、

5

、

6

都在

π

與

2 π

之間，所以

b

、

c

、

d

都是負的。

y = sin x

的圖形在

π

到

2 π

這一段是一個波谷，最低點在

x = \frac{3 π}{2}

而且左右對稱，離最低點越近的值越小。三個數到

4.71

的距離分別是：

5

約差

0.29

、

4

約差

0.71

、

6

約差

1.29

。由小到大是

c < b < d < 0 < a

，也就是

a > d > b > c

。

數值約為

a \approx 0.14

，

d \approx - 0.28

，

b \approx - 0.76

，

c \approx - 0.96

。

第 13 題

y = π sin (π x + \frac{2 π}{3}) + π

中，

x

的係數是

π

，週期

T = \frac{2 π}{π} = 2

。正弦值在

- 1

與

1

之間，乘上

π

後在

- π

與

π

之間，再加

π

：最大值

M = π + π = 2 π

，最小值

m = - π + π = 0

。所以

(T, M, m) = (2, 2 π, 0)

。

括號裡的

\frac{2 π}{3}

只讓圖形左右平移，不影響週期與最大、最小值。

第 14 題

y = sin (x + h) + k

的最大值是

1 + k

、最小值是

- 1 + k

。由圖，最高點的高度是

3

、最低點的高度是

1

，所以

1 + k = 3

，

k = 2

（代回最小值

- 1 + 2 = 1

，相符）。最高點在

x = \frac{π}{6}

：此時

sin (\frac{π}{6} + h) = 1

，

\frac{π}{6} + h = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

是整數），

h = \frac{π}{3} + 2 nπ

。在

0 < h < 2 π

內只有

h = \frac{π}{3}

。檢查最低點：

x = \frac{7 π}{6}

時

sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3}) = sin \frac{3 π}{2} = - 1

，相符。所以

(h, k) = (\frac{π}{3}, 2)

。

也可以看成

y = sin x

的最高點

(\frac{π}{2}, 1)

移到

(\frac{π}{6}, 3)

：往左

\frac{π}{3}

、往上

2

。

y = a sin (b x + c) + d

：

∣ a ∣

管高低的幅度，

b

管週期

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，

c

管左右平移，

d

管上下平移。

06卷面第 14～15 題（第 15～16 題）：摩天輪、正弦不等式

第 15 題摩天輪轉一圈，車廂的高度就重複一次，所以函數的週期是

18

分鐘。

b > 0

時

y = 20 sin (b x - \frac{π}{2}) + 22

的週期是

\frac{2 π}{b}

，由

\frac{2 π}{b} = 18

得

b = \frac{π}{9}

。

檢查：

x = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，是最小值，與「開始時在離地最近的位置」相符。

第 16 題令

θ = 2 x

，

0 \leq x < π

時

0 \leq θ < 2 π

，正好是

y = sin θ

的一個週期。正弦值本來就不超過

1

，所以只要解

sin θ \geq \frac{2}{2}

。在這個週期裡

sin θ = \frac{2}{2}

的角是

θ = \frac{π}{4}

與

\frac{3 π}{4}

；由圖形，兩者之間的曲線在高度

\frac{2}{2}

以上，其餘在以下。所以

\frac{π}{4} \leq 2 x \leq \frac{3 π}{4}

，同除以

2

得

\frac{π}{8} \leq x \leq \frac{3 π}{8}

。

圓周運動轉一圈的時間就是週期；括號裡是

2 x

的不等式，先把

2 x

當成一個角，連範圍一起換。

07卷面第 16 題（第 17～18 題）：改寫成 x＋1 的多項式與近似值

第 17 題用連續綜合除法，把

f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 3

連續除以

x + 1

（用

- 1

去除）。第一次：係數

2, - 5, 6, 3

得商的係數

2, - 7, 13

、餘數

- 10

，所以

d = - 10

。第二次：

2, - 7, 13

得

2, - 9

、餘數

22

，所以

c = 22

。第三次：

2, - 9

得

2

、餘數

- 11

，所以

b = - 11

，最後

a = 2

。即

f (x) = 2 (x + 1)^{3} - 11 (x + 1)^{2} + 22 (x + 1) - 10

，

a + b + c + d = 2 - 11 + 22 - 10 = 3

。

只求

a + b + c + d

時有更快的看法：把

x = 0

代進右邊，正好是

a + b + c + d

，所以它等於

f (0) = 3

。

第 18 題用上一格的式子，

x = - 0.99

時

x + 1 = 0.01

：

f (- 0.99) = 2 (0.01)^{3} - 11 (0.01)^{2} + 22 (0.01) - 10 = 0.000002 - 0.0011 + 0.22 - 10 = - 9.781098

。小數點以下第三位是

1

，捨去，所以近似值是

- 9.78

。

(0.01)^{2}

與

(0.01)^{3}

兩項合起來只有約

- 0.0011

，主要的部分是

22 (0.01) - 10 = - 9.78

。

要算

x

很接近

- 1

的函數值，先把多項式改寫成

x + 1

的形式，高次項就小到可以估計。

08卷面第 17～18 題（第 19～20 題）：因式定理、餘式定理

第 19 題

f (- 1) = 0

且

f (2) = 0

，由因式定理，

f (x)

有因式

x + 1

與

x - 2

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x + 1) (x - 2) (p x + q)

。代

x = 3

：

4 \times 1 \times (3 p + q) = 4

，得

3 p + q = 1

。代

x = 1

：

2 \times (- 1) \times (p + q) = 6

，得

p + q = - 3

。兩式相減：

2 p = 4

，

p = 2

，

q = - 5

。所以

f (x) = (x + 1) (x - 2) (2 x - 5)

。

展開是

2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10

，寫哪一種都是同一個多項式。

第 20 題先把三個除式分解：

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

、

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

、

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

。由除法原理可以寫成

f (x) = (x - 1) (x - 2) Q_{1} (x) + 12 x + a

與

f (x) = (x - 2) (x - 3) Q_{2} (x) + 24 x - 30

兩個式子。兩式都代

x = 2

：第一式得

f (2) = 24 + a

，第二式得

f (2) = 48 - 30 = 18

，所以

a = - 6

。接著第一式代

x = 1

得

f (1) = 12 - 6 = 6

，第二式代

x = 3

得

f (3) = 72 - 30 = 42

。設所求的餘式是

p x + q

，也就是

f (x) = (x - 1) (x - 3) Q_{3} (x) + p x + q

。代

x = 1

得

p + q = 6

，代

x = 3

得

3 p + q = 42

，解出

p = 18

、

q = - 12

。所求的餘式是

18 x - 12

。

除式是二次式時先分解，把除式的根代進去，餘式在那些點的值就是

f

在那些點的值。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

小港高中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

卷面第 4 題（本頁第 4 題）要把兩個圓心與兩個切點連成梯形，再扣掉兩個圓心角不同的扇形；卷面第 6 題（第 6 題）鋪色有兩塊，要先算出兩個半圓重疊的葉形；卷面第 10 題（第 11 題）要畫出正弦曲線與斜直線，用正弦值的範圍定出要看的區間再數交點；卷面第 11 題（第 12 題）三個負的正弦值要用圖形對最低點的對稱來比大小。詳解逐題寫在本頁。

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自小港高中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）、多項式運算及運用

小港高中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

填充題：(20 格，計分：如配分表)

選出所有

\frac{π}{5}

弳的同界角。(A)

\frac{6 π}{5}

弳　(B)

- 3 6^{\circ}

　(C)

32 4^{\circ}

　(D)

- \frac{9 π}{5}

弳　(E)

\frac{11 π}{5}

弳。

已知扇形的半徑為

5

，圓心角為

7 2^{\circ}

，則扇形的弧長為

S

、面積為

A

，試問

S + A =

____。

求值：

sin \frac{2 π}{3} \times cos \frac{π}{6} + tan \frac{5 π}{4} \times sin \frac{7 π}{6} + sin \frac{π}{2} + cos π + tan 2 π =

____。

如下圖，已知半徑分別為

1

與

3

的兩圓外切，且直線

A B

為其外公切線，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

教室牆上有個傳統時鐘，其鐘面上時針的長度為

1

，分針的長度為

2

，若從

4

點

15

分到

4

點

55

分，這段時間內時針和分針尖端所掃過的弧長分別為

a

和

b

，則求

\frac{a}{b} =

____。

如下圖，以

\overline{O A} = \overline{O B} = 4

為直徑在

\frac{1}{4}

圓

O A B

內部各作半圓，求鋪色部分之面積為 ____。

載入中...

卷面第 7 題（第 7～8 題）（第 7～8 題）　已知一條繩子長

40

公分，今圍出一個扇形（如下圖），請問如欲得最大之扇形面積，則

(1) 此扇形之半徑為 ____ 公分。

載入中...

(2) 此時之面積為 ____ 平方公分。

y = sin (x + \frac{3 π}{4})

的圖形如何由

y = sin (x - \frac{π}{4})

的圖形平移得到？(A) 往左平移

π

單位　(B) 往右平移

π

單位　(C) 往左平移

\frac{π}{2}

單位　(D) 往右平移

\frac{5 π}{4}

單位。

已知下圖為

y = a sin b x

一個週期的圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，試求：數對

(a, b) =

____。

載入中...

方程式

2 sin x = \frac{x}{π}

共有 ____ 個實根。

利用

y = sin x

的圖形比較

a = sin 3

，

b = sin 4

，

c = sin 5

，

d = sin 6

的大小關係：____。

函數

y = π sin (π x + \frac{2 π}{3}) + π

的圖形，其週期為

T

、最大值為

M

及最小值為

m

，試求：數對

(T, M, m) =

____。

如下圖為

y = sin (x + h) + k

一個週期的圖形，其中

0 < h < 2 π

，試求數對

(h, k) =

____。

載入中...

遊樂區中有一圓形摩天輪，逆時針方向運轉一圈需時

18

分鐘。當摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，

x

分鐘後，甲車廂離地的高度

y

（公尺）可表為

y = 20 sin (b x - \frac{π}{2}) + 22

，其中

b

是正數。試求

b =

____。

在

0 \leq x < π

範圍內，求滿足不等式

\frac{2}{2} \leq sin 2 x \leq 1

的解為 ____。

卷面第 16 題（第 17～18 題）（第 17～18 題）　設

f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 3

。

(1) 已知

f (x)

表成

(x + 1)

的多項式之形式為

f (x) = a (x + 1)^{3} + b (x + 1)^{2} + c (x + 1) + d

，求

a + b + c + d =

____。

(2) 求

f (- 0.99)

的近似值到小數點以下第二位（第三位四捨五入）。

已知

de g f (x) = 3

的多項式滿足

f (- 1) = f (2) = 0

，

f (3) = 4

與

f (1) = 6

，求

f (x) =

____。

多項式

f (x)

除以

x^{2} - 3 x + 2

得餘式為

12 x + a

，除以

x^{2} - 5 x + 6

得餘式為

24 x - 30

，則

f (x)

除以

x^{2} - 4 x + 3

之餘式為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)(E)

第 2 題

7 π

第 3 題

\frac{1}{4}

第 4 題

43 - \frac{11}{6} π

第 5 題

\frac{1}{24}

第 6 題

4 π - 8

第 7 題

10

第 8 題

100

第 9 題(A)(B)

第 10 題

(2, π)

第 11 題

3

第 12 題

a > d > b > c

第 13 題

(2, 2 π, 0)

第 14 題

(\frac{π}{3}, 2)

第 15 題

\frac{π}{9}

第 16 題

\frac{π}{8} \leq x \leq \frac{3 π}{8}

第 17 題

3

第 18 題

- 9.78

第 19 題

(x + 1) (x - 2) (2 x - 5)

第 20 題

18 x - 12

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01卷面第 1～3 題（第 1～3 題）：同界角、扇形、特殊角

第 1 題兩個角相差

2 π

（也就是

36 0^{\circ}

）的整數倍才是同界角。先換成度：

\frac{π}{5}

弳

= 3 6^{\circ}

。(A) 錯誤。

\frac{6 π}{5} - \frac{π}{5} = π

，只差半圈。(B) 錯誤。

3 6^{\circ} - (- 3 6^{\circ}) = 7 2^{\circ}

，不是

36 0^{\circ}

的整數倍。(C) 錯誤。

32 4^{\circ} - 3 6^{\circ} = 28 8^{\circ}

，不是

36 0^{\circ}

的整數倍（

32 4^{\circ}

是

- 3 6^{\circ}

的同界角）。(D) 正確。

\frac{π}{5} - (- \frac{9 π}{5}) = 2 π

。(E) 正確。

\frac{11 π}{5} - \frac{π}{5} = 2 π

。答 (D)(E)。

第 2 題公式裡的圓心角要用弳：

7 2^{\circ} = 72 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{5}

弳。弧長

S = 5 \times \frac{2 π}{5} = 2 π

；面積

A = \frac{1}{2} \times 5^{2} \times \frac{2 π}{5} = 5 π

。所以

S + A = 2 π + 5 π = 7 π

。

弧長與面積的單位不同，這裡只是把兩個數值相加。

第 3 題逐項求值：

sin \frac{2 π}{3} = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

，

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，相乘得

\frac{3}{4}

。

tan \frac{5 π}{4} = tan 22 5^{\circ} = 1

（第三象限，正切為正），

sin \frac{7 π}{6} = sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

，相乘得

- \frac{1}{2}

。

sin \frac{π}{2} = 1

，

cos π = - 1

，

tan 2 π = 0

。全部相加：

\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + 1 - 1 + 0 = \frac{1}{4}

。

弧長

r θ

與扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

一定用弳；特殊角先換成度、看象限定正負。

02卷面第 4～6 題（第 4～6 題）：圓弧圍成的區域、時鐘

第 4 題設小圓的圓心為

P

、大圓的圓心為

Q

。切線與過切點的半徑垂直，所以

\overline{P A} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{QB} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{P A} = 1

，

\overline{QB} = 3

；兩圓外切，

\overline{P Q} = 1 + 3 = 4

。過

P

作

\overline{P H} ⊥ \overline{QB}

於

H

，則

\overline{Q H} = 3 - 1 = 2

，

\overline{P H} = 4^{2} - 2^{2} = 23

，所以

\overline{A B} = 23

。直角三角形

P Q H

中

cos ∠ P Q H = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

，

∠ P QB = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

；

\overline{P A}

與

\overline{QB}

平行，同側內角互補，

∠ A P Q = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。鋪色區域＝梯形

A B QP

－小圓的扇形－大圓的扇形。梯形面積

= \frac{( 1 + 3 ) \times 2 3}{2} = 43

；小圓的扇形

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

；大圓的扇形

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

。所以面積

= 43 - \frac{π}{3} - \frac{3 π}{2} = 43 - \frac{11}{6} π

。

數值約

6.93 - 5.76 = 1.17

，是一小塊，與圖相符。

第 5 題從

4

點

15

分到

4

點

55

分共

40

分鐘。時針

12

小時（

720

分鐘）轉一圈，

40

分鐘轉

\frac{40}{720} \times 2 π = \frac{π}{9}

弳，針尖走的弧長

a = 1 \times \frac{π}{9} = \frac{π}{9}

。分針

60

分鐘轉一圈，

40

分鐘轉

\frac{40}{60} \times 2 π = \frac{4 π}{3}

弳，針尖走的弧長

b = 2 \times \frac{4 π}{3} = \frac{8 π}{3}

。所以

\frac{a}{b} = \frac{π}{9} \times \frac{3}{8 π} = \frac{1}{24}

。

也可以直接比：同樣的時間裡時針轉的角是分針的

\frac{1}{12}

，長度是分針的

\frac{1}{2}

，弧長的比就是

\frac{1}{12} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{24}

。

第 6 題兩個半圓的半徑都是

2

，圓心分別是

\overline{O A}

的中點

M

與

\overline{O B}

的中點

N

。設兩個半圓除了

O

以外還交於

C

點。四邊形

O M C N

的四個邊都是半徑

2

，又

∠ M O N = 9 0^{\circ}

，所以它是邊長

2

的正方形。鋪色有兩塊。第一塊是兩個半圓重疊的葉形：連

\overline{O C}

把它分成兩個全等的弓形，每個弓形是圓心角

\frac{π}{2}

的扇形減去等腰直角三角形，面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = π - 2

，所以葉形面積是

2 (π - 2) = 2 π - 4

。第二塊在四分之一圓裡面、兩個半圓外面。兩個半圓合起來蓋住的面積是

2 π + 2 π - (2 π - 4) = 2 π + 4

（重疊的葉形只能算一次），四分之一圓的面積是

\frac{1}{4} \times π \times 4^{2} = 4 π

，所以第二塊的面積是

4 π - (2 π + 4) = 2 π - 4

。兩塊相加得

(2 π - 4) + (2 π - 4) = 4 π - 8

。

兩塊的面積正好相等：兩個半圓的面積和

4 π

等於四分之一圓的面積，重疊多算的那一塊就等於外面沒蓋到的那一塊。數值約

4.57

。

圓弧圍成的區域，先找出每段弧的圓心與圓心角，再拆成扇形、三角形或梯形相加減。

03卷面第 7 題（第 7～8 題）：繩長固定的扇形

第 7 題設扇形的半徑是

r

公分、弧長是

s

公分。繩子圍成扇形的周界：

2 r + s = 40

，所以

s = 40 - 2 r

（

0 < r < 20

）。扇形面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (40 - 2 r) = 20 r - r^{2} = - (r - 10)^{2} + 100

。

r = 10

時面積最大，所以半徑是

10

公分。

第 8 題由上一格，面積

= - (r - 10)^{2} + 100

，

r = 10

時的最大值是

100

平方公分。

此時弧長

s = 40 - 20 = 20

公分，圓心角

= \frac{s}{r} = 2

弳。

扇形面積也可以寫成

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長；周長固定時把面積寫成半徑的二次函數再配方。

04卷面第 8～10 題（第 9～11 題）：圖形的平移、由圖形求係數、交點個數

第 9 題圖形往左平移

c

單位是把

x

換成

x + c

，往右平移

c

單位是把

x

換成

x - c

。正弦函數的週期是

2 π

，角相差

2 π

的整數倍時圖形相同。以下把

y = sin (x - \frac{π}{4})

照各選項平移，再和目標

y = sin (x + \frac{3 π}{4})

比較。(A) 正確。 往左

π

得

y = sin (x + π - \frac{π}{4})

，就是目標函數。(B) 正確。 往右

π

得

y = sin (x - \frac{5 π}{4})

，括號裡的角比

x + \frac{3 π}{4}

少

2 π

，圖形相同。(C) 錯誤。 往左

\frac{π}{2}

得

y = sin (x + \frac{π}{4})

。代

x = \frac{π}{4}

時它的值是

1

，目標函數的值卻是

sin π = 0

，兩者不同。(D) 錯誤。 往右

\frac{5 π}{4}

得

y = sin (x - \frac{3 π}{2})

。代

x = 0

時它的值是

1

，目標函數的值卻是

sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}

，兩者不同。答 (A)(B)。

卷面沒有寫單選或多選；往左與往右各移半個週期

π

會到同一個位置，所以 (A)(B) 都對，學校答案也是這兩個。

第 10 題圖形最高到

2

、最低到

- 2

，

a > 0

，所以振幅

a = 2

。圖形從原點出發，上升到最高點、下降到最低點，再回到

x

軸上的

x = 2

，是一個完整的週期，週期是

2

。

b > 0

時週期

= \frac{2 π}{b} = 2

，

b = π

。所以

(a, b) = (2, π)

。

第 11 題兩邊同除以

2

：

sin x = \frac{x}{2 π}

。實根的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{2 π}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，所以只要看

- 1 \leq \frac{x}{2 π} \leq 1

，也就是

- 2 π \leq x \leq 2 π

。

x = 0

是一個交點。

0 < x \leq 2 π

時直線在

x

軸上方，交點只會在

sin x > 0

的

0 < x < π

這一段：

0 < x \leq \frac{π}{2}

時曲線在直線上方（這一段的正弦曲線向上鼓起，在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{2}, 1)

的線段上方，而那條線段又比

y = \frac{x}{2 π}

陡；例如

x = \frac{π}{6}

時

\frac{1}{2} > \frac{1}{12}

，

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{1}{4}

）；

\frac{π}{2} < x < π

時曲線由

1

一路降到

0

，直線由

\frac{1}{4}

一路升到

\frac{1}{2}

，恰好交於一點。

π \leq x \leq 2 π

時

sin x \leq 0

而直線在

\frac{1}{2}

以上，沒有交點。所以

x > 0

有

1

個交點。兩個圖形都對稱於原點（把

x

換成

- x

，兩邊都變號），

x < 0

也有

1

個。合計

1 + 1 + 1 = 3

個實根。

一邊是正弦、一邊是直線的方程式，先用正弦值不超過

1

定出要看的範圍，再一段一段數交點。

05卷面第 11～13 題（第 12～14 題）：比較大小、週期與極值、由圖形求平移量

第 12 題先記三個近似值：

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。因為

3

在

\frac{π}{2}

與

π

之間，所以

a = sin 3

是正的。

4

、

5

、

6

都在

π

與

2 π

之間，所以

b

、

c

、

d

都是負的。

y = sin x

的圖形在

π

到

2 π

這一段是一個波谷，最低點在

x = \frac{3 π}{2}

而且左右對稱，離最低點越近的值越小。三個數到

4.71

的距離分別是：

5

約差

0.29

、

4

約差

0.71

、

6

約差

1.29

。由小到大是

c < b < d < 0 < a

，也就是

a > d > b > c

。

數值約為

a \approx 0.14

，

d \approx - 0.28

，

b \approx - 0.76

，

c \approx - 0.96

。

第 13 題

y = π sin (π x + \frac{2 π}{3}) + π

中，

x

的係數是

π

，週期

T = \frac{2 π}{π} = 2

。正弦值在

- 1

與

1

之間，乘上

π

後在

- π

與

π

之間，再加

π

：最大值

M = π + π = 2 π

，最小值

m = - π + π = 0

。所以

(T, M, m) = (2, 2 π, 0)

。

括號裡的

\frac{2 π}{3}

只讓圖形左右平移，不影響週期與最大、最小值。

第 14 題

y = sin (x + h) + k

的最大值是

1 + k

、最小值是

- 1 + k

。由圖，最高點的高度是

3

、最低點的高度是

1

，所以

1 + k = 3

，

k = 2

（代回最小值

- 1 + 2 = 1

，相符）。最高點在

x = \frac{π}{6}

：此時

sin (\frac{π}{6} + h) = 1

，

\frac{π}{6} + h = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

是整數），

h = \frac{π}{3} + 2 nπ

。在

0 < h < 2 π

內只有

h = \frac{π}{3}

。檢查最低點：

x = \frac{7 π}{6}

時

sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3}) = sin \frac{3 π}{2} = - 1

，相符。所以

(h, k) = (\frac{π}{3}, 2)

。

也可以看成

y = sin x

的最高點

(\frac{π}{2}, 1)

移到

(\frac{π}{6}, 3)

：往左

\frac{π}{3}

、往上

2

。

y = a sin (b x + c) + d

：

∣ a ∣

管高低的幅度，

b

管週期

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，

c

管左右平移，

d

管上下平移。

06卷面第 14～15 題（第 15～16 題）：摩天輪、正弦不等式

第 15 題摩天輪轉一圈，車廂的高度就重複一次，所以函數的週期是

18

分鐘。

b > 0

時

y = 20 sin (b x - \frac{π}{2}) + 22

的週期是

\frac{2 π}{b}

，由

\frac{2 π}{b} = 18

得

b = \frac{π}{9}

。

檢查：

x = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，是最小值，與「開始時在離地最近的位置」相符。

第 16 題令

θ = 2 x

，

0 \leq x < π

時

0 \leq θ < 2 π

，正好是

y = sin θ

的一個週期。正弦值本來就不超過

1

，所以只要解

sin θ \geq \frac{2}{2}

。在這個週期裡

sin θ = \frac{2}{2}

的角是

θ = \frac{π}{4}

與

\frac{3 π}{4}

；由圖形，兩者之間的曲線在高度

\frac{2}{2}

以上，其餘在以下。所以

\frac{π}{4} \leq 2 x \leq \frac{3 π}{4}

，同除以

2

得

\frac{π}{8} \leq x \leq \frac{3 π}{8}

。

圓周運動轉一圈的時間就是週期；括號裡是

2 x

的不等式，先把

2 x

當成一個角，連範圍一起換。

07卷面第 16 題（第 17～18 題）：改寫成 x＋1 的多項式與近似值

第 17 題用連續綜合除法，把

f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 3

連續除以

x + 1

（用

- 1

去除）。第一次：係數

2, - 5, 6, 3

得商的係數

2, - 7, 13

、餘數

- 10

，所以

d = - 10

。第二次：

2, - 7, 13

得

2, - 9

、餘數

22

，所以

c = 22

。第三次：

2, - 9

得

2

、餘數

- 11

，所以

b = - 11

，最後

a = 2

。即

f (x) = 2 (x + 1)^{3} - 11 (x + 1)^{2} + 22 (x + 1) - 10

，

a + b + c + d = 2 - 11 + 22 - 10 = 3

。

只求

a + b + c + d

時有更快的看法：把

x = 0

代進右邊，正好是

a + b + c + d

，所以它等於

f (0) = 3

。

第 18 題用上一格的式子，

x = - 0.99

時

x + 1 = 0.01

：

f (- 0.99) = 2 (0.01)^{3} - 11 (0.01)^{2} + 22 (0.01) - 10 = 0.000002 - 0.0011 + 0.22 - 10 = - 9.781098

。小數點以下第三位是

1

，捨去，所以近似值是

- 9.78

。

(0.01)^{2}

與

(0.01)^{3}

兩項合起來只有約

- 0.0011

，主要的部分是

22 (0.01) - 10 = - 9.78

。

要算

x

很接近

- 1

的函數值，先把多項式改寫成

x + 1

的形式，高次項就小到可以估計。

08卷面第 17～18 題（第 19～20 題）：因式定理、餘式定理

第 19 題

f (- 1) = 0

且

f (2) = 0

，由因式定理，

f (x)

有因式

x + 1

與

x - 2

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x + 1) (x - 2) (p x + q)

。代

x = 3

：

4 \times 1 \times (3 p + q) = 4

，得

3 p + q = 1

。代

x = 1

：

2 \times (- 1) \times (p + q) = 6

，得

p + q = - 3

。兩式相減：

2 p = 4

，

p = 2

，

q = - 5

。所以

f (x) = (x + 1) (x - 2) (2 x - 5)

。

展開是

2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10

，寫哪一種都是同一個多項式。

第 20 題先把三個除式分解：

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

、

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

、

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

。由除法原理可以寫成

f (x) = (x - 1) (x - 2) Q_{1} (x) + 12 x + a

與

f (x) = (x - 2) (x - 3) Q_{2} (x) + 24 x - 30

兩個式子。兩式都代

x = 2

：第一式得

f (2) = 24 + a

，第二式得

f (2) = 48 - 30 = 18

，所以

a = - 6

。接著第一式代

x = 1

得

f (1) = 12 - 6 = 6

，第二式代

x = 3

得

f (3) = 72 - 30 = 42

。設所求的餘式是

p x + q

，也就是

f (x) = (x - 1) (x - 3) Q_{3} (x) + p x + q

。代

x = 1

得

p + q = 6

，代

x = 3

得

3 p + q = 42

，解出

p = 18

、

q = - 12

。所求的餘式是

18 x - 12

。

除式是二次式時先分解，把除式的根代進去，餘式在那些點的值就是

f

在那些點的值。

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03卷面第 7 題（第 7～8 題）：繩長固定的扇形

04卷面第 8～10 題（第 9～11 題）：圖形的平移、由圖形求係數、交點個數

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06卷面第 14～15 題（第 15～16 題）：摩天輪、正弦不等式

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