段考詳解範圍：第一冊單元 1 至單元 4：實數與循環小數、根式、絕對值與數線上的分點、算幾不等式、指數、常用對數與科學記號

小港高中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 小港高中 111 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 小港高中 111 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要先把循環小數化成分數並約分，三個指數才能各自化簡；第 6 題的小數部分是原數減去整數部分，要保留根號；第 8 題的差有正負兩個值，第 9 題卻只能取正；第 15 題算幾不等式要用在兩倍的長與三倍的寬上。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題，每題 6 分，共 12 分；多選題 2 題，每題 5 分，共 10 分（錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上 0 分）；填充題 11 題共 13 格，每格 6 分，共 78 分。合計 100 分。本卷第 5～17 題依序為卷面第 5、6、7(1)、7(2)、7(3)、8、9、10、11、12、13、14、15 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題，共 2 題。每題 6 分，共 12 分。

芮氏地震規模

M

與地震釋放能量

E

〔單位：焦耳〕的關係等式為

lo g_{10} E = 4.8 + 1.5 M

。今年 9 月 18 日台東縣池上鄉發生芮氏規模

6.8

的強震，造成花東多處軌道橋梁斷裂，更令許多民眾回憶起民國 88 年 9 月 21 日芮氏規模

7.3

的強震。假設芮氏規模

7.3

的地震釋放能量為

E_{1}

，芮氏規模

6.8

的地震釋放能量為

E_{2}

，試求

\frac{E _{1}}{E _{2}}

最接近下列哪一個選項？參考對數值：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 4 \approx 0.6020

、

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7781

、

lo g 7 \approx 0.8451

、

lo g 8 \approx 0.9030

、

lo g 9 \approx 0.9542

(A) $2$
(B) $4$
(C) $6$
(D) $8$
(E) $10$

將

\frac{490}{3330}

化成小數後，小數點後第

104

位的數字為下列哪一個選項？

(A) $7$
(B) $4$
(C) $3$
(D) $1$
(E) $0$

二、多選題，共 2 題。每題 5 分，共 10 分。〔錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上 0 分〕

關於指數的運算，試選出所有正確的選項

(A) $3^{2} = 9$
(B) $3^{0} = 1$
(C) $3^{- 1} = - 3$
(D) $3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3 ^{2}}$
(E) $3^{2} = 3$

關於科學記號與常用對數，試選出所有正確的選項

(A) 若將 $1.68 \times 1 0^{5}$ 化成整數的形式，則它是 $5$ 位數
(B) 科學記號 $6.370 \times 1 0^{6}$ 公尺，則它有 $3$ 位有效數字
(C) 若 $lo g a = 1.2$ ，則 $1 < a < 10$
(D) $lo g \frac{1}{10000} = - 4$
(E) 若 $b = lo g 3$ ，則 $10 0^{b} = 9$

三、填充題，共 13 格。每格 6 分，共 78 分。

(0. \overline{296})^{- \frac{2}{3}} \times (\frac{1}{4})^{- \frac{3}{2}} \times (3^{- 2})^{22} =

____。

已知

11 - 62

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，求

a - \frac{1}{b} =

____。

卷面第 7 題（第 7～9 題）　已知

2^{a} + 2^{- a} = 5

，試求下列各式的值：

(1)

4^{a} + 4^{- a} =

____。

(2)

2^{a} - 2^{- a} =

____。〔有兩解〕

(3)

(2)^{a} + (2)^{- a} =

____。

型如

2^{n} - 1

的質數稱為梅森質數。已知

a = 2^{61} - 1

是一個梅森質數，求

a

是 ____ 位數。〔

lo g 2 \approx 0.3010

〕

解不等式

∣2 x - 1∣ - x > 4

，得

x

的範圍為 ____。

數線上兩點

A (10)

、

B (4)

，已知數線上有一點

P (x)

，且

\overline{A P} : \overline{P B} = 5 : 3

，試求

P

點座標為 ____。〔有兩解〕

方程式

∣ x - 3∣ + ∣ x + 4∣ = 9

，試求

x =

____。

已知

∣ a x - 2∣ \leq b

的解為

- 9 \leq x \leq 7

，求有序數對

(a, b) =

____。

如圖，一動物園的園區為一矩形〔長為

a

公尺，寬為

b

公尺〕。現欲將園區重新規劃成九個長方型的區域，設計師以鐵欄杆〔實線部分〕分隔任意兩個相鄰的長方形，共需使用五個長型鐵欄杆。外圍則以透明的強化玻璃〔虛線部分〕隔離遊客。如果園區面積為

40000

平方公尺〔不考慮強化玻璃的厚度〕，為使鐵欄杆的數量充足，請問動物園須進貨五個長型鐵欄杆的總長度最小值為 ____ 公尺。（卷面文字印作九個區域；附圖畫的是三條直的、兩條橫的鐵欄杆，分成十二個區域，請依附圖與「五個長型鐵欄杆」作答。）

載入中...

營養學上主要的熱量單位為大卡。而每日生活中大部分從事靜態或坐著的工作者，稱為輕度活動者。衛服部國民健康署的資料指出：一位體重過重的輕度活動者，每天所需熱量為 20~25 大卡

\times

目前體重(公斤)。現有一位體重

80

公斤，體重過重的輕度活動者，若他每日所需熱量為

x

大卡，且所需熱量恰可表示為

∣ x - a ∣ \leq b

，試求有序數對

(a, b) =

____。

若 CT 值

= K

定義為：將檢體病毒基因放大為原始的

2^{K}

倍，使能觀測到病毒。今有一個案採檢當下的 CT 值為

18

，需經數日休養後等病毒慢慢下降才能逐漸康復。若該個案體內病毒基因的放大倍數需為採檢時的

r

倍，CT 值才會提高至

30

〔較無傳染力〕，試求

r =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(A)(B)

第 4 題(D)(E)

第 5 題

\frac{2}{9}

第 6 題

- \frac{2}{2}

第 7 題

23

第 8 題

\pm 21

第 9 題

7

第 10 題

19

第 11 題

x < - 1

或

x > 5

第 12 題

- 5

或

\frac{25}{4}

第 13 題

- 5

或

4

第 14 題

(- 2, 16)

第 15 題

4006

第 16 題

(1800, 200)

第 17 題

4096

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：地震能量的倍數、循環小數

第 1 題把兩個規模分別代入關係式。規模

7.3

：

lo g E_{1} = 4.8 + 1.5 \times 7.3 = 15.75

，所以

E_{1} = 1 0^{15.75}

。規模

6.8

：

lo g E_{2} = 4.8 + 1.5 \times 6.8 = 15

，所以

E_{2} = 1 0^{15}

。相除：

\frac{E _{1}}{E _{2}} = \frac{1 0 ^{15.75}}{1 0 ^{15}} = 1 0^{0.75}

。查參考值：

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7781

，也就是

5 \approx 1 0^{0.6990}

、

6 \approx 1 0^{0.7781}

。因為

0.6990 < 0.75 < 0.7781

，所以

5 < 1 0^{0.75} < 6

。這個數比

5

大、比

6

小，和

6

的差不到

1

，和

4

的差超過

1

，五個選項中最接近的是

6

，選 (C)。

規模只差

0.5

，能量就差了五倍多。兩個能量相除時，指數是相減：

15.75 - 15 = 0.75

，不是把規模直接相除。

第 2 題先約分：

\frac{490}{3330} = \frac{49}{333}

。分子分母同乘

3

得

\frac{147}{999}

，所以

\frac{490}{3330} = 0. \overline{147} = 0.147147147 \dots

，循環節是

1

、

4

、

7

三個數字。

104 = 3 \times 34 + 2

，前

102

位剛好是

34

個完整的循環節，第

104

位是下一個循環節的第

2

個數字，也就是

4

，選 (B)。

直接用長除法

49 \div 333

也可以得到

0.147147 \dots

。餘數是

2

時看循環節的第

2

個數字；餘數是

0

時要看循環節的最後一個數字。

分母是

999

的分數

\frac{ab c}{999}

就是

0. \overline{ab c}

；要找第幾位，把位數除以循環節的長度看餘數。

02多選題（第 3～4 題）：指數的意義、科學記號與常用對數

第 3 題(A) 正確：

3^{2} = 3 \times 3 = 9

。 (B) 正確：不是

0

的數的

0

次方規定為

1

，所以

3^{0} = 1

。 (C) 錯誤：負指數是倒數，

3^{- 1} = \frac{1}{3}

，不是

- 3

。 (D) 錯誤：

3^{\frac{1}{2}} = 3 \approx 1.732

，而

\frac{1}{3 ^{2}} = \frac{1}{9}

，兩者不相等。

\frac{1}{3 ^{2}}

是

3^{- 2}

。 (E) 錯誤：

3 = 3^{\frac{1}{2}}

。底數

3

大於

1

，指數愈大值愈大；

2 \approx 1.414 > \frac{1}{2}

，所以

3^{2} > 3^{\frac{1}{2}} = 3

（其實

3^{2} > 3^{1} = 3

），兩者不相等。所以選 (A)(B)。

負指數是「倒數」、分數指數是「開方」，兩個都不會讓正數變成負數。

第 4 題(A) 錯誤：

1.68 \times 1 0^{5} = 168000

，是

6

位數。 (B) 錯誤：

6.370

的四個數字

6

、

3

、

7

、

0

都是有效數字，共

4

位；小數點後最末的

0

也要算。 (C) 錯誤：

lo g a = 1.2

表示

a = 1 0^{1.2}

。因為

1 < 1.2 < 2

，所以

1 0^{1} < a < 1 0^{2}

，即

10 < a < 100

，不在

1

與

10

之間。 (D) 正確：

\frac{1}{10000} = 1 0^{- 4}

，所以

lo g \frac{1}{10000} = - 4

。 (E) 正確：

b = lo g 3

表示

1 0^{b} = 3

。

10 0^{b} = (1 0^{2})^{b} = (1 0^{b})^{2} = 3^{2} = 9

。所以選 (D)(E)。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

）是

n + 1

位數，不是

n

位數。

lo g a

的整數部分是

1

，

a

的整數部分就是二位數。

03卷面第 5、7、15 題（第 5、7～9、17 題）：指數律

第 5 題三個部分分開算。第一部分：循環小數

0. \overline{296} = \frac{296}{999}

，而

296 = 8 \times 37

、

999 = 27 \times 37

，約分得

\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

。所以

(0. \overline{296})^{- \frac{2}{3}} = [(\frac{2}{3})^{3}]^{- \frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

。第二部分：

\frac{1}{4} = 2^{- 2}

，所以

(\frac{1}{4})^{- \frac{3}{2}} = (2^{- 2})^{- \frac{3}{2}} = 2^{3} = 8

。第三部分：指數相乘，

- 2 \times 22 = - 4

，所以

(3^{- 2})^{22} = 3^{- 4} = \frac{1}{81}

。三者相乘：

\frac{9}{4} \times 8 \times \frac{1}{81} = \frac{72}{324} = \frac{2}{9}

。

卷面循環小數的橫線蓋住

2

、

9

、

6

三個數字，循環節是

296

。遇到循環小數先化成分數並約分，通常會出現可以開方的數。

第 7 題

4^{a} = (2^{2})^{a} = (2^{a})^{2}

，同理

4^{- a} = (2^{- a})^{2}

。把已知式平方：

(2^{a} + 2^{- a})^{2} = (2^{a})^{2} + 2 \cdot 2^{a} \cdot 2^{- a} + (2^{- a})^{2} = 4^{a} + 2 + 4^{- a}

。所以

4^{a} + 4^{- a} = 5^{2} - 2 = 23

。

中間項

2^{a} \cdot 2^{- a} = 2^{0} = 1

，所以平方後多出來的是

2

。

第 8 題先算平方：

(2^{a} - 2^{- a})^{2} = 4^{a} - 2 + 4^{- a} = 23 - 2 = 21

，所以

2^{a} - 2^{- a} = \pm 21

。兩個都會發生：

a > 0

時

2^{a} > 1 > 2^{- a}

，差是

21

；

a < 0

時

2^{a} < 1 < 2^{- a}

，差是

- 21

。已知式把

a

換成

- a

仍然成立，所以正、負兩種

a

都符合條件，答案是

\pm 21

。

卷面已註明有兩解。只寫

21

是漏了

a

為負的情形。

第 9 題

(2)^{a} = (2^{\frac{1}{2}})^{a} = 2^{\frac{a}{2}}

，同理

(2)^{- a} = 2^{- \frac{a}{2}}

。設所求為

t

，則

t^{2} = (2^{\frac{a}{2}})^{2} + 2 \cdot 2^{\frac{a}{2}} \cdot 2^{- \frac{a}{2}} + (2^{- \frac{a}{2}})^{2} = 2^{a} + 2 + 2^{- a} = 5 + 2 = 7

。因為

2^{\frac{a}{2}}

與

2^{- \frac{a}{2}}

都是正數，

t > 0

，所以

t = 7

。

這一小題只有一個答案：兩個正數相加一定是正的，

- 7

不合。

第 17 題依定義，CT 值為

18

時放大倍數是

2^{18}

，CT 值為

30

時放大倍數是

2^{30}

。後者是前者的

r

倍，所以

r = \frac{2 ^{30}}{2 ^{18}} = 2^{30 - 18} = 2^{12} = 4096

。

CT 值相差

12

，倍數是

2^{12}

，不是

12

倍，也不是

\frac{30}{18}

倍。

2^{10} = 1024

，再乘

4

就是

4096

。

已知

x + \frac{1}{x}

的值時：平方可得

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

；求差先算差的平方，正負都要考慮；求

x + \frac{1}{x}

也是先平方，但只取正。

04卷面第 6 題（第 6 題）：雙重根號、整數部分與小數部分

第 6 題先化簡：

62 = 218

，找兩個數和為

11

、積為

18

：

9

和

2

。所以

11 - 62 = (9 - 2)^{2} = (3 - 2)^{2}

，而

3 > 2

，故

11 - 62 = 3 - 2

。因為

1 < 2 < 2

，所以

1 < 3 - 2 < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = (3 - 2) - 1 = 2 - 2

。接著

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 2} = \frac{2 + 2}{( 2 - 2 ) ( 2 + 2 )} = \frac{2 + 2}{2} = 1 + \frac{2}{2}

。所以

a - \frac{1}{b} = 1 - (1 + \frac{2}{2}) = - \frac{2}{2}

。

小數部分是「原數減去整數部分」，要寫成

2 - 2

，不是

0.586

這種近似值，也不是

2

的小數部分

2 - 1

。

05卷面第 8 題（第 10 題）：用常用對數判斷位數

第 10 題

lo g 2 \approx 0.3010

表示

2 \approx 1 0^{0.3010}

，所以

2^{61} \approx (1 0^{0.3010})^{61} = 1 0^{18.361}

。因為

18 < 18.361 < 19

，所以

1 0^{18} < 2^{61} < 1 0^{19}

，

2^{61}

是

19

位數。再看

a = 2^{61} - 1

：

2^{61}

不是

10

的次方（它不是

5

的倍數），所以

2^{61} > 1 0^{18}

，減

1

之後仍然不小於

1 0^{18}

，位數不變，

a

是

19

位數。

1 0^{18}

是

1

後面

18

個

0

，共

19

位數；指數的整數部分是

18

，位數要加

1

。減

1

會少一位的情形只有原數恰好是

10

的次方時。

06卷面第 9～12、14 題（第 11～14、16 題）：絕對值與數線

第 11 題絕對值裡面的

2 x - 1

在

x = \frac{1}{2}

變號，分兩段討論。當

x \geq \frac{1}{2}

：

∣2 x - 1∣ = 2 x - 1

，不等式是

2 x - 1 - x > 4

，得

x > 5

；與

x \geq \frac{1}{2}

合起來是

x > 5

。當

x < \frac{1}{2}

：

∣2 x - 1∣ = 1 - 2 x

，不等式是

1 - 2 x - x > 4

，即

- 3 x > 3

，得

x < - 1

；與

x < \frac{1}{2}

合起來是

x < - 1

。兩段合併，解為

x < - 1

或

x > 5

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取交集。

- 3 x > 3

兩邊除以負數，不等號要變向。

第 12 題

\overline{A P} : \overline{P B} = 5 : 3

的點有兩個，一個在

A

、

B

之間，一個在

\overline{A B}

之外。在

A

、

B

之間：用分點公式，

x = \frac{3 \times 10 + 5 \times 4}{5 + 3} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}

。在

\overline{A B}

之外：

P

離

A

比較遠，所以

P

在

B

的左邊（

x < 4

）。此時

\overline{A P} = 10 - x

、

\overline{P B} = 4 - x

，由

3 (10 - x) = 5 (4 - x)

得

30 - 3 x = 20 - 5 x

，

x = - 5

。驗算：

x = - 5

時

\overline{A P} = 15

、

\overline{P B} = 9

，

15 : 9 = 5 : 3

。所以

P

的坐標是

- 5

或

\frac{25}{4}

。

也可以直接解

3∣ x - 10∣ = 5∣ x - 4∣

：

3 (x - 10) = 5 (x - 4)

得

x = - 5

，

3 (x - 10) = - 5 (x - 4)

得

x = \frac{25}{4}

。分點公式是交叉相乘：靠近

B

的比例

3

乘在

A

的坐標上。

第 13 題

∣ x - 3∣ + ∣ x + 4∣

是數線上

x

到

3

的距離加上

x

到

- 4

的距離。

3

和

- 4

相距

7

：

x

在兩點之間時距離和恆為

7

，不會是

9

，所以

x

在兩點之外，多出來的

9 - 7 = 2

要由外側來回各算一次，也就是

x

離較近的那個點距離

1

。在

3

的右邊：

x = 3 + 1 = 4

；在

- 4

的左邊：

x = - 4 - 1 = - 5

。驗算：

x = 4

時

1 + 8 = 9

；

x = - 5

時

8 + 1 = 9

。所以

x = - 5

或

4

。

也可以分三段去絕對值：

x \geq 3

時

2 x + 1 = 9

，

x = 4

；

- 4 \leq x < 3

時

7 = 9

不成立；

x < - 4

時

- 2 x - 1 = 9

，

x = - 5

。

第 14 題解

- 9 \leq x \leq 7

是數線上到

- 1

的距離不超過

8

的點（

- 9

和

7

的中點是

- 1

，各距

8

），也就是

∣ x + 1∣ \leq 8

。另一方面，

a \neq = 0

時

∣ a x - 2∣ = ∣ a ∣ \cdot x - \frac{2}{a}

，原不等式是

x - \frac{2}{a} \leq \frac{b}{∣ a ∣}

。兩者比較：

\frac{2}{a} = - 1

，得

a = - 2

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 8

，得

b = 16

。所以

(a, b) = (- 2, 16)

。驗算：

∣ - 2 x - 2∣ \leq 16

即

∣ x + 1∣ \leq 8

，解為

- 9 \leq x \leq 7

。

也可以代邊界：

x = - 9

與

x = 7

時等號成立，

∣ - 9 a - 2∣ = ∣7 a - 2∣ = b

。

- 9 a - 2 = 7 a - 2

會得到

a = 0

（不合），所以

- 9 a - 2 = - (7 a - 2)

，

a = - 2

，

b = ∣7 \times (- 2) - 2∣ = 16

。

第 16 題體重

80

公斤，每天所需熱量在

20 \times 80 = 1600

大卡到

25 \times 80 = 2000

大卡之間，即

1600 \leq x \leq 2000

。這個範圍的中點是

\frac{1600 + 2000}{2} = 1800

，中點到兩端的距離是

\frac{2000 - 1600}{2} = 200

，所以範圍可以寫成

∣ x - 1800∣ \leq 200

，

(a, b) = (1800, 200)

。

∣ x - a ∣ \leq b

就是

a - b \leq x \leq a + b

：

a

是中點，

b

是半寬。

∣ x - c ∣ \leq r

是數線上到

c

的距離不超過

r

的點：

c

是兩個端點的中點，

r

是端點距離的一半。

07卷面第 13 題（第 15 題）：算幾不等式

第 15 題照附圖，五條鐵欄杆是兩條橫的與三條直的：橫的每條長

a

公尺，直的每條長

b

公尺，總長度是

2 a + 3 b

公尺。園區面積

ab = 40000

。

2 a

與

3 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 a + 3 b}{2} \geq 2 a \cdot 3 b = 6 ab = 240000 = 2006

，所以

2 a + 3 b \geq 4006

。等號在

2 a = 3 b = 2006

時成立，也就是

a = 1006

、

b = \frac{200 6}{3}

，此時

ab = \frac{20000 \times 6}{3} = 40000

，符合條件。所以總長度的最小值是

4006

公尺（約

979.8

公尺）。

卷面文字寫「九個」區域，但附圖的五條鐵欄杆（三條直的、兩條橫的）分出的是

4 \times 3 = 12

個區域；九個區域只需要四條鐵欄杆，與「五個長型鐵欄杆」不合，所以依附圖作答，學校公布的答案也是

4006

。若把圖轉個方向（三條長

a

、兩條長

b

），總長度是

3 a + 2 b

，最小值同樣是

2 6 ab = 4006

。算幾不等式要用在乘積固定的

2 a

與

3 b

上，並檢查等號成立的

a

、

b

存在。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

小港高中 111 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 111 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要先把循環小數化成分數並約分，三個指數才能各自化簡；第 6 題的小數部分是原數減去整數部分，要保留根號；第 8 題的差有正負兩個值，第 9 題卻只能取正；第 15 題算幾不等式要用在兩倍的長與三倍的寬上。詳解逐題寫在本頁。

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自小港高中 111 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第一冊單元 1 至單元 4：實數與循環小數、根式、絕對值與數線上的分點、算幾不等式、指數、常用對數與科學記號

小港高中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題，共 2 題。每題 6 分，共 12 分。

芮氏地震規模

M

與地震釋放能量

E

〔單位：焦耳〕的關係等式為

lo g_{10} E = 4.8 + 1.5 M

。今年 9 月 18 日台東縣池上鄉發生芮氏規模

6.8

的強震，造成花東多處軌道橋梁斷裂，更令許多民眾回憶起民國 88 年 9 月 21 日芮氏規模

7.3

的強震。假設芮氏規模

7.3

的地震釋放能量為

E_{1}

，芮氏規模

6.8

的地震釋放能量為

E_{2}

，試求

\frac{E _{1}}{E _{2}}

最接近下列哪一個選項？參考對數值：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 4 \approx 0.6020

、

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7781

、

lo g 7 \approx 0.8451

、

lo g 8 \approx 0.9030

、

lo g 9 \approx 0.9542

(A) $2$
(B) $4$
(C) $6$
(D) $8$
(E) $10$

將

\frac{490}{3330}

化成小數後，小數點後第

104

位的數字為下列哪一個選項？

(A) $7$
(B) $4$
(C) $3$
(D) $1$
(E) $0$

二、多選題，共 2 題。每題 5 分，共 10 分。〔錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上 0 分〕

關於指數的運算，試選出所有正確的選項

(A) $3^{2} = 9$
(B) $3^{0} = 1$
(C) $3^{- 1} = - 3$
(D) $3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3 ^{2}}$
(E) $3^{2} = 3$

關於科學記號與常用對數，試選出所有正確的選項

(A) 若將 $1.68 \times 1 0^{5}$ 化成整數的形式，則它是 $5$ 位數
(B) 科學記號 $6.370 \times 1 0^{6}$ 公尺，則它有 $3$ 位有效數字
(C) 若 $lo g a = 1.2$ ，則 $1 < a < 10$
(D) $lo g \frac{1}{10000} = - 4$
(E) 若 $b = lo g 3$ ，則 $10 0^{b} = 9$

三、填充題，共 13 格。每格 6 分，共 78 分。

(0. \overline{296})^{- \frac{2}{3}} \times (\frac{1}{4})^{- \frac{3}{2}} \times (3^{- 2})^{22} =

____。

已知

11 - 62

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，求

a - \frac{1}{b} =

____。

卷面第 7 題（第 7～9 題）　已知

2^{a} + 2^{- a} = 5

，試求下列各式的值：

(1)

4^{a} + 4^{- a} =

____。

(2)

2^{a} - 2^{- a} =

____。〔有兩解〕

(3)

(2)^{a} + (2)^{- a} =

____。

型如

2^{n} - 1

的質數稱為梅森質數。已知

a = 2^{61} - 1

是一個梅森質數，求

a

是 ____ 位數。〔

lo g 2 \approx 0.3010

〕

解不等式

∣2 x - 1∣ - x > 4

，得

x

的範圍為 ____。

數線上兩點

A (10)

、

B (4)

，已知數線上有一點

P (x)

，且

\overline{A P} : \overline{P B} = 5 : 3

，試求

P

點座標為 ____。〔有兩解〕

方程式

∣ x - 3∣ + ∣ x + 4∣ = 9

，試求

x =

____。

已知

∣ a x - 2∣ \leq b

的解為

- 9 \leq x \leq 7

，求有序數對

(a, b) =

____。

如圖，一動物園的園區為一矩形〔長為

a

公尺，寬為

b

40000

載入中...

\times

目前體重(公斤)。現有一位體重

80

公斤，體重過重的輕度活動者，若他每日所需熱量為

x

大卡，且所需熱量恰可表示為

∣ x - a ∣ \leq b

，試求有序數對

(a, b) =

____。

若 CT 值

= K

定義為：將檢體病毒基因放大為原始的

2^{K}

倍，使能觀測到病毒。今有一個案採檢當下的 CT 值為

18

，需經數日休養後等病毒慢慢下降才能逐漸康復。若該個案體內病毒基因的放大倍數需為採檢時的

r

倍，CT 值才會提高至

30

〔較無傳染力〕，試求

r =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(A)(B)

第 4 題(D)(E)

第 5 題

\frac{2}{9}

第 6 題

- \frac{2}{2}

第 7 題

23

第 8 題

\pm 21

第 9 題

7

第 10 題

19

第 11 題

x < - 1

或

x > 5

第 12 題

- 5

或

\frac{25}{4}

第 13 題

- 5

或

4

第 14 題

(- 2, 16)

第 15 題

4006

第 16 題

(1800, 200)

第 17 題

4096

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：地震能量的倍數、循環小數

第 1 題把兩個規模分別代入關係式。規模

7.3

：

lo g E_{1} = 4.8 + 1.5 \times 7.3 = 15.75

，所以

E_{1} = 1 0^{15.75}

。規模

6.8

：

lo g E_{2} = 4.8 + 1.5 \times 6.8 = 15

，所以

E_{2} = 1 0^{15}

。相除：

\frac{E _{1}}{E _{2}} = \frac{1 0 ^{15.75}}{1 0 ^{15}} = 1 0^{0.75}

。查參考值：

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 6 \approx 0.7781

，也就是

5 \approx 1 0^{0.6990}

、

6 \approx 1 0^{0.7781}

。因為

0.6990 < 0.75 < 0.7781

，所以

5 < 1 0^{0.75} < 6

。這個數比

5

大、比

6

小，和

6

的差不到

1

，和

4

的差超過

1

，五個選項中最接近的是

6

，選 (C)。

規模只差

0.5

，能量就差了五倍多。兩個能量相除時，指數是相減：

15.75 - 15 = 0.75

，不是把規模直接相除。

第 2 題先約分：

\frac{490}{3330} = \frac{49}{333}

。分子分母同乘

3

得

\frac{147}{999}

，所以

\frac{490}{3330} = 0. \overline{147} = 0.147147147 \dots

，循環節是

1

、

4

、

7

三個數字。

104 = 3 \times 34 + 2

，前

102

位剛好是

34

個完整的循環節，第

104

位是下一個循環節的第

2

個數字，也就是

4

，選 (B)。

直接用長除法

49 \div 333

也可以得到

0.147147 \dots

。餘數是

2

時看循環節的第

2

個數字；餘數是

0

時要看循環節的最後一個數字。

分母是

999

的分數

\frac{ab c}{999}

就是

0. \overline{ab c}

；要找第幾位，把位數除以循環節的長度看餘數。

02多選題（第 3～4 題）：指數的意義、科學記號與常用對數

第 3 題(A) 正確：

3^{2} = 3 \times 3 = 9

。 (B) 正確：不是

0

的數的

0

次方規定為

1

，所以

3^{0} = 1

。 (C) 錯誤：負指數是倒數，

3^{- 1} = \frac{1}{3}

，不是

- 3

。 (D) 錯誤：

3^{\frac{1}{2}} = 3 \approx 1.732

，而

\frac{1}{3 ^{2}} = \frac{1}{9}

，兩者不相等。

\frac{1}{3 ^{2}}

是

3^{- 2}

。 (E) 錯誤：

3 = 3^{\frac{1}{2}}

。底數

3

大於

1

，指數愈大值愈大；

2 \approx 1.414 > \frac{1}{2}

，所以

3^{2} > 3^{\frac{1}{2}} = 3

（其實

3^{2} > 3^{1} = 3

），兩者不相等。所以選 (A)(B)。

負指數是「倒數」、分數指數是「開方」，兩個都不會讓正數變成負數。

第 4 題(A) 錯誤：

1.68 \times 1 0^{5} = 168000

，是

6

位數。 (B) 錯誤：

6.370

的四個數字

6

、

3

、

7

、

0

都是有效數字，共

4

位；小數點後最末的

0

也要算。 (C) 錯誤：

lo g a = 1.2

表示

a = 1 0^{1.2}

。因為

1 < 1.2 < 2

，所以

1 0^{1} < a < 1 0^{2}

，即

10 < a < 100

，不在

1

與

10

之間。 (D) 正確：

\frac{1}{10000} = 1 0^{- 4}

，所以

lo g \frac{1}{10000} = - 4

。 (E) 正確：

b = lo g 3

表示

1 0^{b} = 3

。

10 0^{b} = (1 0^{2})^{b} = (1 0^{b})^{2} = 3^{2} = 9

。所以選 (D)(E)。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

）是

n + 1

位數，不是

n

位數。

lo g a

的整數部分是

1

，

a

的整數部分就是二位數。

03卷面第 5、7、15 題（第 5、7～9、17 題）：指數律

第 5 題三個部分分開算。第一部分：循環小數

0. \overline{296} = \frac{296}{999}

，而

296 = 8 \times 37

、

999 = 27 \times 37

，約分得

\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

。所以

(0. \overline{296})^{- \frac{2}{3}} = [(\frac{2}{3})^{3}]^{- \frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

。第二部分：

\frac{1}{4} = 2^{- 2}

，所以

(\frac{1}{4})^{- \frac{3}{2}} = (2^{- 2})^{- \frac{3}{2}} = 2^{3} = 8

。第三部分：指數相乘，

- 2 \times 22 = - 4

，所以

(3^{- 2})^{22} = 3^{- 4} = \frac{1}{81}

。三者相乘：

\frac{9}{4} \times 8 \times \frac{1}{81} = \frac{72}{324} = \frac{2}{9}

。

卷面循環小數的橫線蓋住

2

、

9

、

6

三個數字，循環節是

296

。遇到循環小數先化成分數並約分，通常會出現可以開方的數。

第 7 題

4^{a} = (2^{2})^{a} = (2^{a})^{2}

，同理

4^{- a} = (2^{- a})^{2}

。把已知式平方：

(2^{a} + 2^{- a})^{2} = (2^{a})^{2} + 2 \cdot 2^{a} \cdot 2^{- a} + (2^{- a})^{2} = 4^{a} + 2 + 4^{- a}

。所以

4^{a} + 4^{- a} = 5^{2} - 2 = 23

。

中間項

2^{a} \cdot 2^{- a} = 2^{0} = 1

，所以平方後多出來的是

2

。

第 8 題先算平方：

(2^{a} - 2^{- a})^{2} = 4^{a} - 2 + 4^{- a} = 23 - 2 = 21

，所以

2^{a} - 2^{- a} = \pm 21

。兩個都會發生：

a > 0

時

2^{a} > 1 > 2^{- a}

，差是

21

；

a < 0

時

2^{a} < 1 < 2^{- a}

，差是

- 21

。已知式把

a

換成

- a

仍然成立，所以正、負兩種

a

都符合條件，答案是

\pm 21

。

卷面已註明有兩解。只寫

21

是漏了

a

為負的情形。

第 9 題

(2)^{a} = (2^{\frac{1}{2}})^{a} = 2^{\frac{a}{2}}

，同理

(2)^{- a} = 2^{- \frac{a}{2}}

。設所求為

t

，則

t^{2} = (2^{\frac{a}{2}})^{2} + 2 \cdot 2^{\frac{a}{2}} \cdot 2^{- \frac{a}{2}} + (2^{- \frac{a}{2}})^{2} = 2^{a} + 2 + 2^{- a} = 5 + 2 = 7

。因為

2^{\frac{a}{2}}

與

2^{- \frac{a}{2}}

都是正數，

t > 0

，所以

t = 7

。

這一小題只有一個答案：兩個正數相加一定是正的，

- 7

不合。

第 17 題依定義，CT 值為

18

時放大倍數是

2^{18}

，CT 值為

30

時放大倍數是

2^{30}

。後者是前者的

r

倍，所以

r = \frac{2 ^{30}}{2 ^{18}} = 2^{30 - 18} = 2^{12} = 4096

。

CT 值相差

12

，倍數是

2^{12}

，不是

12

倍，也不是

\frac{30}{18}

倍。

2^{10} = 1024

，再乘

4

就是

4096

。

已知

x + \frac{1}{x}

的值時：平方可得

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

；求差先算差的平方，正負都要考慮；求

x + \frac{1}{x}

也是先平方，但只取正。

04卷面第 6 題（第 6 題）：雙重根號、整數部分與小數部分

第 6 題先化簡：

62 = 218

，找兩個數和為

11

、積為

18

：

9

和

2

。所以

11 - 62 = (9 - 2)^{2} = (3 - 2)^{2}

，而

3 > 2

，故

11 - 62 = 3 - 2

。因為

1 < 2 < 2

，所以

1 < 3 - 2 < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = (3 - 2) - 1 = 2 - 2

。接著

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 2} = \frac{2 + 2}{( 2 - 2 ) ( 2 + 2 )} = \frac{2 + 2}{2} = 1 + \frac{2}{2}

。所以

a - \frac{1}{b} = 1 - (1 + \frac{2}{2}) = - \frac{2}{2}

。

小數部分是「原數減去整數部分」，要寫成

2 - 2

，不是

0.586

這種近似值，也不是

2

的小數部分

2 - 1

。

05卷面第 8 題（第 10 題）：用常用對數判斷位數

第 10 題

lo g 2 \approx 0.3010

表示

2 \approx 1 0^{0.3010}

，所以

2^{61} \approx (1 0^{0.3010})^{61} = 1 0^{18.361}

。因為

18 < 18.361 < 19

，所以

1 0^{18} < 2^{61} < 1 0^{19}

，

2^{61}

是

19

位數。再看

a = 2^{61} - 1

：

2^{61}

不是

10

的次方（它不是

5

的倍數），所以

2^{61} > 1 0^{18}

，減

1

之後仍然不小於

1 0^{18}

，位數不變，

a

是

19

位數。

1 0^{18}

是

1

後面

18

個

0

，共

19

位數；指數的整數部分是

18

，位數要加

1

。減

1

會少一位的情形只有原數恰好是

10

的次方時。

06卷面第 9～12、14 題（第 11～14、16 題）：絕對值與數線

第 11 題絕對值裡面的

2 x - 1

在

x = \frac{1}{2}

變號，分兩段討論。當

x \geq \frac{1}{2}

：

∣2 x - 1∣ = 2 x - 1

，不等式是

2 x - 1 - x > 4

，得

x > 5

；與

x \geq \frac{1}{2}

合起來是

x > 5

。當

x < \frac{1}{2}

：

∣2 x - 1∣ = 1 - 2 x

，不等式是

1 - 2 x - x > 4

，即

- 3 x > 3

，得

x < - 1

；與

x < \frac{1}{2}

合起來是

x < - 1

。兩段合併，解為

x < - 1

或

x > 5

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取交集。

- 3 x > 3

兩邊除以負數，不等號要變向。

第 12 題

\overline{A P} : \overline{P B} = 5 : 3

的點有兩個，一個在

A

、

B

之間，一個在

\overline{A B}

之外。在

A

、

B

之間：用分點公式，

x = \frac{3 \times 10 + 5 \times 4}{5 + 3} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}

。在

\overline{A B}

之外：

P

離

A

比較遠，所以

P

在

B

的左邊（

x < 4

）。此時

\overline{A P} = 10 - x

、

\overline{P B} = 4 - x

，由

3 (10 - x) = 5 (4 - x)

得

30 - 3 x = 20 - 5 x

，

x = - 5

。驗算：

x = - 5

時

\overline{A P} = 15

、

\overline{P B} = 9

，

15 : 9 = 5 : 3

。所以

P

的坐標是

- 5

或

\frac{25}{4}

。

也可以直接解

3∣ x - 10∣ = 5∣ x - 4∣

：

3 (x - 10) = 5 (x - 4)

得

x = - 5

，

3 (x - 10) = - 5 (x - 4)

得

x = \frac{25}{4}

。分點公式是交叉相乘：靠近

B

的比例

3

乘在

A

的坐標上。

第 13 題

∣ x - 3∣ + ∣ x + 4∣

是數線上

x

到

3

的距離加上

x

到

- 4

的距離。

3

和

- 4

相距

7

：

x

在兩點之間時距離和恆為

7

，不會是

9

，所以

x

在兩點之外，多出來的

9 - 7 = 2

要由外側來回各算一次，也就是

x

離較近的那個點距離

1

。在

3

的右邊：

x = 3 + 1 = 4

；在

- 4

的左邊：

x = - 4 - 1 = - 5

。驗算：

x = 4

時

1 + 8 = 9

；

x = - 5

時

8 + 1 = 9

。所以

x = - 5

或

4

。

也可以分三段去絕對值：

x \geq 3

時

2 x + 1 = 9

，

x = 4

；

- 4 \leq x < 3

時

7 = 9

不成立；

x < - 4

時

- 2 x - 1 = 9

，

x = - 5

。

第 14 題解

- 9 \leq x \leq 7

是數線上到

- 1

的距離不超過

8

的點（

- 9

和

7

的中點是

- 1

，各距

8

），也就是

∣ x + 1∣ \leq 8

。另一方面，

a \neq = 0

時

∣ a x - 2∣ = ∣ a ∣ \cdot x - \frac{2}{a}

，原不等式是

x - \frac{2}{a} \leq \frac{b}{∣ a ∣}

。兩者比較：

\frac{2}{a} = - 1

，得

a = - 2

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 8

，得

b = 16

。所以

(a, b) = (- 2, 16)

。驗算：

∣ - 2 x - 2∣ \leq 16

即

∣ x + 1∣ \leq 8

，解為

- 9 \leq x \leq 7

。

也可以代邊界：

x = - 9

與

x = 7

時等號成立，

∣ - 9 a - 2∣ = ∣7 a - 2∣ = b

。

- 9 a - 2 = 7 a - 2

會得到

a = 0

（不合），所以

- 9 a - 2 = - (7 a - 2)

，

a = - 2

，

b = ∣7 \times (- 2) - 2∣ = 16

。

第 16 題體重

80

公斤，每天所需熱量在

20 \times 80 = 1600

大卡到

25 \times 80 = 2000

大卡之間，即

1600 \leq x \leq 2000

。這個範圍的中點是

\frac{1600 + 2000}{2} = 1800

，中點到兩端的距離是

\frac{2000 - 1600}{2} = 200

，所以範圍可以寫成

∣ x - 1800∣ \leq 200

，

(a, b) = (1800, 200)

。

∣ x - a ∣ \leq b

就是

a - b \leq x \leq a + b

：

a

是中點，

b

是半寬。

∣ x - c ∣ \leq r

是數線上到

c

的距離不超過

r

的點：

c

是兩個端點的中點，

r

是端點距離的一半。

07卷面第 13 題（第 15 題）：算幾不等式

第 15 題照附圖，五條鐵欄杆是兩條橫的與三條直的：橫的每條長

a

公尺，直的每條長

b

公尺，總長度是

2 a + 3 b

公尺。園區面積

ab = 40000

。

2 a

與

3 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 a + 3 b}{2} \geq 2 a \cdot 3 b = 6 ab = 240000 = 2006

，所以

2 a + 3 b \geq 4006

。等號在

2 a = 3 b = 2006

時成立，也就是

a = 1006

、

b = \frac{200 6}{3}

，此時

ab = \frac{20000 \times 6}{3} = 40000

，符合條件。所以總長度的最小值是

4006

公尺（約

979.8

公尺）。

卷面文字寫「九個」區域，但附圖的五條鐵欄杆（三條直的、兩條橫的）分出的是

4 \times 3 = 12

個區域；九個區域只需要四條鐵欄杆，與「五個長型鐵欄杆」不合，所以依附圖作答，學校公布的答案也是

4006

。若把圖轉個方向（三條長

a

、兩條長

b

），總長度是

3 a + 2 b

，最小值同樣是

2 6 ab = 4006

。算幾不等式要用在乘積固定的

2 a

與

3 b

上，並檢查等號成立的

a

、

b

存在。

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02多選題（第 3～4 題）：指數的意義、科學記號與常用對數

03卷面第 5、7、15 題（第 5、7～9、17 題）：指數律

04卷面第 6 題（第 6 題）：雙重根號、整數部分與小數部分

05卷面第 8 題（第 10 題）：用常用對數判斷位數

06卷面第 9～12、14 題（第 11～14、16 題）：絕對值與數線

07卷面第 13 題（第 15 題）：算幾不等式

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