01 · 試題原卷 17 題，照原卷順序
填充題 12 題共 17 格（第 1～10 題每格 6 分，第 11～12 題每格 5 分），合計 100 分。本頁把每一格編成一題，共 17 題，依卷面順序排列。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 格全部一致。
填充題(1-10 題每格 6 分,11-12 題每格 5 分)
卷面第 1 題（第 1～5 題） 判斷下列各無窮數列為收斂或發散數列；若為收斂數列，求其極限。若為發散數列則寫發散。
2
(2) ⟨(−1.01) ⟩。（卷面的括號後面留有空白，沒有印出指數，題目照卷面原樣）
4
(4) ⟨3n+1+22n3n−22n+1⟩。
5
(5) ⟨(n−1n2+1−n+1n2−1)⟩。
6
求無窮級數的和 32−31+61−121+⋯= ____。
7
已知無窮等比級數 a+ar+ar2+⋯+arn−1+⋯ 的和為 6，且 a2=34，若首項為 a 與公比為 r，求數對 (a,r)= ____。
8
小華認為 1 比 0.9 大，因為不管如何 0.9999⋯ 一定跟 1 有一定差距，不知這是否為正確看法？請選出下列正確選項（單選） (A) 1>0.9 (B) 1=0.9 (C) 1<0.9 (D) 無法判斷。
9
求函數 f(x)=−x2+2x+8 的定義域為 ____。（卷面第 5 題的第一格） 10
求函數 f(x)=−x2+2x+8 的值域為 ____。（卷面第 5 題的第二格） 11
設 a 為實數，f(x)=x+1，g(x)=ax−1，若 (g∘f)(x)=(f∘g)(x)，求 a 的值為 ____。
12
求 x→2lim(x−23x−9+x2−x−24x+1) 的值為 ____。
13
設 f 為一函數，若 f(−x)=−f(x)，則稱 f 為奇函數，若 f(−x)=f(x)，則稱 f 為偶函數，下列何者為偶函數？（單選） (A) f(x)=2x2+5 (B) f(x)=3x (C) f(x)=(x+1)2 (D) f(x)=sinx
14
在 xy 平面上，以 x 為自變數，y 為應變數，下列哪些是函數圖形？（多選） 選項為附圖的 (A)、(B)、(C)、(D)、(E) 五個圖形。 15
設 x→−1limx+1x2+ax=b，求數對 (a,b)= ____。
16
設 f(x)=⎩⎨⎧x2+x+1,ax+b,3x−3,x≤11<x<2x≥2 且 f(x) 在實數上為連續，則數對 (a,b)= ____。 17
設函數 f(x)=⎩⎨⎧x+1,5,−2x+3,x>1x=1x<1 則 x→1−limf(x)= ____。 第 1 題−3
第 2 題−1.01（卷面的括號後面沒有印出指數，照卷面是常數數列；學校公布的答案也是這個值，見詳解）
第 3 題2
第 4 題−2
第 5 題2
第 6 題94
第 7 題(2,32) 或 (4,31)
第 8 題(B)
第 9 題{x∈R∣−2≤x≤4}
第 10 題{y∈R∣0≤y≤3}
第 11 題1
第 12 題310
第 13 題(A)
第 14 題(A)(D)
第 15 題(1,−1)
第 16 題(0,3)
第 17 題1
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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對完答案了？勾你錯的題號
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免費註冊 04 · 逐題詳解每一題，錯在哪一步
看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。
01卷面第 1 題 (1)～(5)（本頁第 1～5 題）：判斷數列收斂或發散並求極限
第 1 題分子分母同除以 n：4−n3n=n4−13。n→∞ 時 n4→0，所以極限為 0−13=−3，是收斂數列。
n=4 那一項分母為 0、沒有定義，但極限只看 n 很大以後的項，不受影響。
第 2 題卷面印的是 ⟨(−1.01) ⟩，括號後面沒有指數。照卷面，這是每一項都等於 −1.01 的常數數列，常數數列一定收斂，極限就是 −1.01，與學校公布的答案相同。
括號後面留的空白看起來像是原本要印指數 n。如果題目是 ⟨(−1.01)n⟩，那是公比 −1.01 的等比數列：等比數列 ⟨rn⟩ 只有在 −1<r≤1 時收斂，而 −1.01<−1，各項的絕對值愈來愈大而且正負交錯，答案會是「發散」。本頁照卷面所印與學校公布的答案寫 −1.01。
第 3 題⟨(0.99)n⟩ 是公比 0.99 的等比數列，−1<0.99<1，所以 (0.99)n→0。因此 2−(0.99)n→2−0=2，是收斂數列。
0.99 很接近 1，前面幾項掉得很慢，但只要公比的絕對值小於 1，乘的次數夠多就會趨近 0。
第 4 題先把底數統一：22n+1=2×4n，22n=4n，3n+1=3×3n，所以一般項是 3×3n+4n3n−2×4n。底數最大的是 4，分子分母同除以 4n：3(43)n+1(43)n−2。n→∞ 時 (43)n→0，極限為 0+10−2=−2，是收斂數列。
22n 是 4n，不是 2n；要先看出真正最大的底數是 4 而不是 3。
第 5 題兩個分式各自都愈來愈大，不能分開取極限，要先合併。第二個分式可以約分：n+1n2−1=n+1(n−1)(n+1)=n−1。所以一般項 =n−1n2+1−(n−1)=n−1(n2+1)−(n−1)2=n−12n。分子分母同除以 n 得 1−n12，極限為 2，是收斂數列。
n=1 那一項分母為 0、沒有定義，數列從 n=2 開始看，極限不受影響。
分式型的數列先同除以成長最快的那一項；兩個各自發散的式子要先合併成一個式子再取極限。
02卷面第 2、3、4 題（本頁第 6、7、8 題）：無窮等比級數與循環小數
第 6 題後項除以前項：(−31)÷32=−21，61÷(−31)=−21，(−121)÷61=−21，這是首項 32、公比 −21 的無窮等比級數。∣r∣=21<1，級數收斂，和為 1−(−21)32=2332=94。
第 7 題級數有和，所以 ∣r∣<1，且 1−ra=6，得 a=6(1−r)。第二項 a2=ar=34，代入得 6(1−r)r=34，兩邊同乘 23 整理為 9r2−9r+2=0，即 (3r−1)(3r−2)=0，r=31 或 r=32。兩個公比的絕對值都小於 1，都符合。r=31 時 a=6×32=4；r=32 時 a=6×31=2。所以 (a,r)=(2,32) 或 (4,31)。
檢查：(2,32) 的第二項 2×32=34，和 312=6；(4,31) 的第二項 4×31=34，和 324=6。兩組都要寫。
第 8 題答案 (B)。0.9=0.9+0.09+0.009+⋯，是首項 0.9、公比 0.1 的無窮等比級數，∣r∣<1，和為 1−0.10.9=0.90.9=1。所以 0.9 與 1 是同一個數，1=0.9。
小華說的「有一定差距」是指寫到小數第 n 位為止的有限小數 0.99⋯9，它和 1 差 (101)n；但 0.9 指的是這些有限小數的極限，差距 (101)n 趨近 0，極限正好是 1。
無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比；解出兩個公比時要逐一檢查是否收斂。
03卷面第 5、6、8、9 題（本頁第 9、10、11、13、14 題）：函數的定義域、值域、合成、奇偶性與圖形
第 9 題根號內不可為負：−x2+2x+8≥0，同乘 −1 並變號得 x2−2x−8≤0，即 (x−4)(x+2)≤0，所以 −2≤x≤4。定義域為 {x∈R∣−2≤x≤4}。
第 10 題根號內配方：−x2+2x+8=−(x−1)2+9。在定義域 −2≤x≤4 內，x=1 時根號內最大，為 9；x=−2 或 x=4 時根號內最小，為 0；中間的值都取得到。開根號後 0≤f(x)≤3，值域為 {y∈R∣0≤y≤3}。
值域要對根號內的範圍 0 到 9 再開根號，上界是 3 不是 9。
第 11 題(g∘f)(x)=g(x+1)=a(x+1)−1=ax+a−1；(f∘g)(x)=f(ax−1)=(ax−1)+1=ax。兩者對所有 x 都相等，比較常數項得 a−1=0，所以 a=1。
檢查：a=1 時 g(x)=x−1，g(f(x))=(x+1)−1=x，f(g(x))=(x−1)+1=x，相等。
第 13 題答案 (A)。把 x 換成 −x 逐一檢查。(A) f(−x)=2(−x)2+5=2x2+5=f(x)，是偶函數。(B) f(−x)=−3x=−f(x)，是奇函數。(C) f(−x)=(−x+1)2=(x−1)2，例如 f(1)=4、f(−1)=0，既不等於 f(x) 也不等於 −f(x)，不是偶函數也不是奇函數。(D) f(−x)=sin(−x)=−sinx=−f(x)，是奇函數。
(C) 的圖形是對稱於直線 x=−1 的拋物線，不是對稱於 y 軸，所以不是偶函數。
第 14 題答案 (A)(D)。函數的每一個 x 只能對應一個 y，所以任何一條鉛直線與函數圖形最多只能有一個交點。(A) 對：開口向上的拋物線，每條鉛直線恰好交一點。(B) 錯：橢圓，例如 y 軸就與它交於上下兩點。(C) 錯：左右開口的雙曲線，在右邊那一支畫一條鉛直線，會交於上下兩點。(D) 對：圖形雖然在原點有尖點、有高有低，但每條鉛直線都只交一點。(E) 錯：開口向右的拋物線，在 y 軸右邊畫一條鉛直線，會交於上下兩點。
判斷的是鉛直線，不是水平線：(A)、(D) 的水平線可以交到兩點以上，表示不同的 x 對應到同一個 y，這是允許的。
定義域看式子什麼時候有意義，值域再由定義域推出；是不是函數圖形就用鉛直線檢查。
04卷面第 7、10、11、12 題（本頁第 12、15、16、17 題）：函數的極限與連續
第 12 題x→2 時兩個分式的分母都趨近 0，不能分開取極限，先通分。x2−x−2=(x−2)(x+1)，所以原式 =(x−2)(x+1)(3x−9)(x+1)+(4x+1)=(x−2)(x+1)3x2−6x−9+4x+1=(x−2)(x+1)3x2−2x−8=(x−2)(x+1)(3x+4)(x−2)。x=2 時約去 x−2 得 x+13x+4，極限為 2+13×2+4=310。
第 15 題x→−1 時分母 x+1→0。極限存在，分子也必須趨近 0（否則分式的絕對值會愈來愈大）：(−1)2+a×(−1)=0，得 a=1。此時分子 x2+x=x(x+1)，x=−1 時約去 x+1 得 x，極限為 −1，所以 b=−1，(a,b)=(1,−1)。
第 16 題三段各自都是多項式，本身連續，只要檢查兩個接點。在 x=1：f(1)=12+1+1=3，左極限也是 3；右極限用中間那一段，x→1+lim(ax+b)=a+b，所以 a+b=3。在 x=2：f(2)=3×2−3=3，右極限也是 3；左極限用中間那一段，x→2−lim(ax+b)=2a+b，所以 2a+b=3。兩式相減得 a=0，代回得 b=3，(a,b)=(0,3)。
檢查：中間那一段是常數函數 3，兩端的函數值也都是 3，圖形在兩個接點都接得上。
第 17 題x→1− 表示 x 從比 1 小的方向靠近 1，用 x<1 那一段：x→1−limf(x)=x→1−lim(−2x+3)=−2×1+3=1。
左極限與 f(1)=5 無關，也不是用 x>1 那一段算出的 2（那是右極限）。左右極限不相等，所以 x→1limf(x) 不存在。
分母趨近 0 而極限存在，分子也必須趨近 0；分段函數在接點連續，要左極限、右極限與函數值三者相等。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
小港高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
小港高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？
卷面第 1 題第 4 小題要先把 2 的 2n 次方看成 4 的 n 次方，再同除以底數最大的那一項；第 1 題第 5 小題兩個分式各自發散，要先合併再取極限；第 3 題解出兩個公比都符合收斂條件，兩組數對都要寫；第 5 題的值域要對根號內的範圍再開根號；第 7 題要先通分、約去公因式才能代入。另外第 1 題第 2 小題卷面沒有印出指數，本頁照卷面與學校公布的答案。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？
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這份段考卷可以下載列印嗎？
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題目取自小港高中 111 學年度上學期 高三第一次段考 數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。
