御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：數甲第五冊 單元 3～單元 4（導數與微分公式、切線、函數的增減、極值、凹凸與反曲點、最佳化問題）

小港高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

填充題 16 題共 21 格，原卷未印配分。本頁全卷連續編號：第 1～4 題是第 1 題的 (1)～(4)，第 5～13 題是第 2～10 題，第 14、15 題是第 11 題的 (1)(2)，第 16～19 題是第 12～15 題，第 20、21 題是第 16 題的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對。

填充題（該題有多解，全對才給分）
卷面第 1 題（第 1～4 題）　求下列各導數：
1
(1) f(x)=(x3+4x2−1)(x2+2x−1)，則 f′(1)= ＿＿＿＿。
2
(2) f(x)=(x−3)5(x3−x2−5)3，則 f′(1)= ＿＿＿＿。
3
(3) f(x)=x−1x2+1​，則 f′(2)= ＿＿＿＿。
4
(4) f(x)=(x2+1)(x−2)(x2−1)(x+2)​，則 f′(1)= ＿＿＿＿。
5
求 f(x)=x3−x+5 圖形上斜率為 2 的切線方程式：＿＿＿＿。
6
若通過 f(x)=x2+ax+b 圖形上一點 P(2,8) 之切線方程式為 7x−y=6，試求數對 (a,b)= ＿＿＿＿。
7
設與曲線 f(x)=−x3+ax2+bx+5 相切的所有切線中，以過切點 (2,3) 的切線，其斜率最大，試求 (a,b)= ＿＿＿＿。
8
四次多項式函數 f(x)，已知 f(1)=f(2)=f′(1)=f′(3)=0，f(0)=−14，試求 f(−1)= ＿＿＿＿。
9
f(x)=x3−3x2+4 在區間 [−2,1] 上的最大值為 M，最小值為 m，試求 (M,m)= ＿＿＿＿。
10
已知 f(x)=x2−2x+2，試求過 P(2,−2) 且與 f(x) 圖形相切的直線方程式：＿＿＿＿。
11
已知點 (1,8) 為三次函數 f(x)=x3+ax2−bx+1 圖形的反曲點，求數對 (a,b)= ＿＿＿＿。
12
已知 f(x)=x3+ax2+bx+4 僅在區間 [−1,3] 上為遞減函數，試求 f(x) 圖形的反曲點：＿＿＿＿。
13
已知三次函數 f(x) 在 x=1 處有極小值 −8，且 (−1,8) 是 f(x) 圖形的反曲點，試求 f(2)= ＿＿＿＿。
卷面第 11 題（第 14～15 題）　已知在拋物線 y=x2、x 軸及直線 x=5 所圍成的區域內，P 是拋物線 y=x2 上一點，△ABC 是以 P 為切點的切線、x 軸及直線 x=5 所圍成的直角三角形，試求：
14
(1) △ABC 面積的最大值 = ＿＿＿＿
15
(2) 承(1)，此時 P 點的坐標 = ＿＿＿＿。
16
f(x)=3x3−3x2+ax+b 之圖形與 x 軸恰有一個交點，且過此點的切線為 x 軸，試求數對 (a,b)= ＿＿＿＿。
17
f(x)=x3+x2−3x，g(x)=3x2+x+k，若 x≥0 時，f(x)>g(x) 恆成立，試求實數 k 的範圍：＿＿＿＿。
18
用一塊寬 3 公尺，長 8 公尺的鐵板，先在四個角落各截去相同大小的正方形，然後折起四邊焊接起來，形成一個無蓋的長方體蓄水箱，若鐵板厚度不計，試求水箱容積最大為 ＿＿＿＿ 立方公尺。
19
若直線 y=mx+4 與曲線 y=−x3−x2+x+4 相切，試求 m= ＿＿＿＿。
卷面第 16 題（第 20～21 題）　如圖，三次函數 f(x)=x3−6x2+8x，令 P1​=(x1​,y1​)=(0,0)，將 P1​ 不作為切點，過 P1​ 作 f(x) 的切線切於 f(x) 上一點 P2​(x2​,y2​)；將 P2​ 不作為切點，過 P2​ 作 f(x) 的切線切於 f(x) 上一點 P3​(x3​,y3​)，……重複上述步驟，可得點 Pn​(xn​,yn​)，則：
20
(1) 若 xn​=a⋅xn−1​+b，試求數對 (a,b)= ＿＿＿＿
載入中...
21
(2) n→+∞lim​xn​= ＿＿＿＿。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題38
第 2 題−12400
第 3 題−1
第 4 題−3
第 5 題2x−y=−3 或 2x−y=−7
第 6 題(3,−2)
第 7 題(6,−9)
第 8 題−108
第 9 題(4,−16)
第 10 題6x−y=14 或 2x+y=2
第 11 題(−3,−9)
第 12 題(1,−7)
第 13 題−1
第 14 題271000​
第 15 題(310​,9100​)
第 16 題(1,−91​)
第 17 題k<−8
第 18 題27200​
第 19 題1 或 45​
第 20 題(−21​,3)
第 21 題2
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01第 1～4 題（卷面第 1 題）：微分公式

第 1 題令 u=x3+4x2−1，v=x2+2x−1，則 u′=3x2+8x，v′=2x+2。x=1 時 u=4，u′=11，v=2，v′=4。由乘法的微分公式，f′(1)=u′v+uv′=11×2+4×4=38。
第 2 題令 u=(x−3)5，v=(x3−x2−5)3。由連鎖律，u′=5(x−3)4，v′=3(x3−x2−5)2(3x2−2x)。x=1 時 x−3=−2，x3−x2−5=−5，3x2−2x=1，所以 u=−32，u′=5×16=80，v=−125，v′=3×25×1=75。f′(1)=u′v+uv′=80×(−125)+(−32)×75=−10000−2400=−12400。
先把 x=1 代進每個括號得到 −2、−5、1，再組合，比把整個式子展開快得多。
第 3 題由除法的微分公式，f′(x)=(x−1)22x(x−1)−(x2+1)⋅1​=(x−1)2x2−2x−1​。所以 f′(2)=14−4−1​=−1。
第 4 題令 N(x)=(x2−1)(x+2)，D(x)=(x2+1)(x−2)，則 f′(x)=D(x)2N′(x)D(x)−N(x)D′(x)​。因為 N(1)=0，第二項整個是 0，所以 f′(1)=D(1)N′(1)​。N′(x)=2x(x+2)+(x2−1)，N′(1)=6；D(1)=2×(−1)=−2。f′(1)=−26​=−3。
分子有因式 x−1，在 x=1 代入後為 0，可以省掉計算 D′(1)。
先把要代的數代進每個括號，再套乘法或除法公式；有因式在那一點為 0 時，整項直接消失。

02第 5、6、10、19 題（卷面第 2、3、7、15 題）：切線方程式

第 5 題f′(x)=3x2−1。斜率為 2：3x2−1=2，x=±1。x=1 時 f(1)=5，切線 y−5=2(x−1)，即 2x−y=−3。x=−1 時 f(−1)=−1+1+5=5，切線 y−5=2(x+1)，即 2x−y=−7。兩條都要寫。
第 6 題P(2,8) 在圖形上：4+2a+b=8。切線 7x−y=6 即 y=7x−6，斜率 7，所以 f′(2)=4+a=7，a=3，代回得 b=−2。(a,b)=(3,−2)。
檢查：f(x)=x2+3x−2，f(2)=8，切線 y=7(x−2)+8=7x−6，與題目相符。
第 10 題f(2)=2=−2，所以 P 不在圖形上，要另設切點 (t, t2−2t+2)。切線斜率 f′(t)=2t−2，切線為 y=(2t−2)(x−t)+t2−2t+2。過 P(2,−2)：−2=(2t−2)(2−t)+t2−2t+2=−t2+4t−2，整理得 t2−4t=0，t=0 或 t=4。t=0：切點 (0,2)，斜率 −2，切線 y=−2x+2，即 2x+y=2。t=4：切點 (4,10)，斜率 6，切線 y=6x−14，即 6x−y=14。
過圖形外一點的切線，不能把那一點當切點；先設切點，再讓切線通過已知點。
第 19 題兩式聯立：−x3−x2+x+4=mx+4，即 x(x2+x+m−1)=0。直線與曲線相切，表示這個方程式有重根。情形一：x=0 是重根，則 x2+x+m−1 也有根 0，m=1，此時方程式為 x2(x+1)=0，切點 (0,4)。情形二：x2+x+m−1=0 本身有重根，判別式 1−4(m−1)=0，m=45​，重根 x=−21​。所以 m=1 或 45​。
用導數檢查：y′=−3x2−2x+1，x=0 時 y′=1；x=−21​ 時 y′=−43​+1+1=45​，與兩個 m 相符。
切線先找切點；已知點不在圖形上時設切點 t 再代入，常會得到不只一條。

03第 7～9、11～13 題（卷面第 4～6、8～10 題）：增減、極值與反曲點

第 7 題切線斜率是 f′(x)=−3x2+2ax+b，這是開口向下的二次函數，在 x=3a​ 時最大。題意要在 x=2 時最大，所以 3a​=2，a=6。切點 (2,3) 在圖形上：−8+4a+2b+5=3，即 −8+24+2b+5=3，b=−9。(a,b)=(6,−9)。
第 8 題f(1)=f′(1)=0 表示 x=1 是 f(x)=0 的重根，又 f(2)=0，所以可設 f(x)=(x−1)2(x−2)(px+q)。f(0)=1×(−2)×q=−14，q=7。令 g(x)=(x−1)2(x−2)，則 g′(x)=2(x−1)(x−2)+(x−1)2，g(3)=4，g′(3)=4+4=8。f′(3)=g′(3)(3p+7)+g(3)⋅p=8(3p+7)+4p=28p+56=0，p=−2。所以 f(x)=(x−1)2(x−2)(−2x+7)，f(−1)=4×(−3)×9=−108。
f(a)=0 且 f′(a)=0，就表示 (x−a)2 是 f(x) 的因式。
第 9 題f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，在 [−2,1] 內的臨界點只有 x=0（x=2 不在區間內）。比較臨界點與兩端點：f(−2)=−8−12+4=−16，f(0)=4，f(1)=1−3+4=2。最大值 M=4，最小值 m=−16，(M,m)=(4,−16)。
閉區間上的最大、最小值要連端點一起比較，不能只看極值。
第 11 題f′(x)=3x2+2ax−b，f′′(x)=6x+2a。反曲點在 x=1：f′′(1)=6+2a=0，a=−3。(1,8) 在圖形上：1+a−b+1=8，即 −1−b=8，b=−9。(a,b)=(−3,−9)。
題目的一次項是 −bx，代入時注意符號。
第 12 題f′(x)=3x2+2ax+b。f(x) 恰在 [−1,3] 上遞減，表示 f′(x)≤0 的範圍恰好是 −1≤x≤3，所以 −1、3 是 f′(x)=0 的兩根：f′(x)=3(x+1)(x−3)=3x2−6x−9，比較係數得 a=−3，b=−9。f′′(x)=6x−6=0，x=1，f(1)=1−3−9+4=−7。反曲點為 (1,−7)。
三次函數的反曲點的 x 坐標，恰好是兩個臨界點 −1、3 的中點。
第 13 題設 f(x)=ax3+bx2+cx+d。反曲點的 x 坐標為 −1：f′′(−1)=−6a+2b=0，b=3a。x=1 處有極值：f′(1)=3a+2b+c=0，c=−9a。又 f(1)=a+b+c+d=−8，f(−1)=−a+b−c+d=8，兩式相減得 2a+2c=−16，即 a−9a=−8，a=1。於是 b=3，c=−9，d=−8−(1+3−9)=−3，f(x)=x3+3x2−9x−3。f(2)=8+12−18−3=−1。
檢查：f′′(1)=6+6=12>0，x=1 確實是極小值；f(1)=−8，f(−1)=8。
f(a)＝0 且 f′(a)＝0 表示 a 是重根；遞減區間的兩端是 f′ 的兩根；反曲點看 f″＝0。

04第 14～18 題（卷面第 11～14 題）：最佳化與相切條件

第 14 題設 P(t,t2)，0<t<5。切線斜率 2t，切線 y=2t(x−t)+t2=2tx−t2。與 x 軸交於 (2t​,0)；與 x=5 交於 (5, 10t−t2)。直角在 (5,0)，兩股長為 5−2t​=210−t​ 與 10t−t2=t(10−t)，面積 S(t)=21​⋅210−t​⋅t(10−t)=4t(10−t)2​。S′(t)=4(10−t)2−2t(10−t)​=4(10−t)(10−3t)​，在 0<t<5 內只有 t=310​ 使 S′(t)=0，且 t<310​ 時 S′>0，t>310​ 時 S′<0，所以 t=310​ 時面積最大：S=4310​×(320​)2​=271000​。
第 15 題由上題，面積最大時 t=310​，P 點坐標為 (310​,9100​)。
第 16 題設交點為 (c,0)。切線是 x 軸，表示 f(c)=0 且 f′(c)=0，c 是 f(x)=0 的重根。又圖形與 x 軸只有這一個交點，第三個根也只能是 c，所以 f(x)=3(x−c)3=3x3−9cx2+9c2x−3c3。比較 x2 係數：−9c=−3，c=31​。於是 a=9c2=1，b=−3c3=−91​。(a,b)=(1,−91​)。
若第三個根不是 c，圖形與 x 軸就會有兩個交點，與題意不合。
第 17 題f(x)>g(x) 即 h(x)=x3−2x2−4x−k>0。h′(x)=3x2−4x−4=(3x+2)(x−2)。在 x≥0 時，0≤x<2 時 h′(x)<0，x>2 時 h′(x)>0，所以 h(x) 在 x≥0 的最小值是 h(2)=8−8−8−k=−8−k。要恆成立，須 −8−k>0，即 k<−8。
題目是嚴格不等號，最小值必須大於 0，所以 k=−8 不可以。
第 18 題設截去的正方形邊長為 x 公尺，0<x<23​。水箱底面為 (3−2x)×(8−2x)，高 x，容積 V(x)=x(3−2x)(8−2x)=4x3−22x2+24x。V′(x)=12x2−44x+24=4(3x−2)(x−3)，在 0<x<23​ 內只有 x=32​ 使 V′(x)=0，且左邊 V′>0、右邊 V′<0，所以 x=32​ 時容積最大：V=32​×35​×320​=27200​ 立方公尺。
x=3 雖然也使 V′(x)=0，但寬只有 3 公尺，x 必須小於 23​，不合。
最佳化題先寫出變數的範圍，再在範圍內找導數為 0 的點，並確認導數由正變負。

05第 20、21 題（卷面第 16 題）：三次函數的切線與遞迴數列

第 20 題在切點 x=t 的切線為 y=f′(t)(x−t)+f(t)。把曲線與切線聯立，f(x)−[f′(t)(x−t)+f(t)]=0 是三次方程式，首項係數 1，且 x=t 是重根，所以可寫成 (x−t)2(x−s)，其中 s 是切線與曲線的另一個交點。比較 x2 的係數：f(x) 的 x2 係數是 −6，切線的部分沒有 x2 項，所以 −(2t+s)=−6，s=6−2t。依題意，在 Pn​ 的切線通過 Pn−1​，且 Pn−1​ 不是切點，所以 Pn−1​ 就是另一個交點：xn−1​=6−2xn​，即 xn​=−21​xn−1​+3。(a,b)=(−21​,3)。
檢查：x1​=0 得 x2​=3，f(3)=27−54+24=−3，f′(3)=27−36+8=−1，切線 y=−x 通過原點，與附圖的 P2​(3,−3) 相符。
第 21 題由 xn​=−21​xn−1​+3，兩邊同減 2：xn​−2=−21​(xn−1​−2)，所以 ⟨xn​−2⟩ 是公比 −21​ 的等比數列，xn​−2=(x1​−2)(−21​)n−1=−2(−21​)n−1。因為 ​−21​​<1，(−21​)n−1→0，所以 n→+∞lim​xn​=2。
極限 2 正是 f(x) 的反曲點的 x 坐標：f′′(x)=6x−12=0，x=2。點列在反曲點兩側來回跳動，越來越靠近它。
三次函數在切點 t 的切線與曲線的另一個交點 s，滿足 s＋2t 等於三根之和，由二次項係數直接讀出。

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第 10 題（卷面第 7 題）：點 P 不在拋物線上，要先設切點再讓切線通過 P，會得到兩條切線。第 19 題（卷面第 15 題）：相切有兩種情形，原點是重根或另一個二次式有重根，兩個 m 都要寫。第 20 題（卷面第 16 題第 1 格）：要看出切線與三次曲線的另一個交點，由三根之和得到遞迴關係。第 8 題（卷面第 5 題）：函數值與導數值同時為 0 表示重根，先設出因式再求係數。詳解逐題寫在本頁。

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