御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：導數與導函數、切線方程式、導數的應用（遞增遞減、極值與最大最小值、反曲點、邊際成本、最佳化）

小港高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

填充題 16 題共 21 格，原卷未印配分；有多解的格要全部寫出才給分。本頁第 1～4 題為卷面第 1 題 (1)～(4)，第 5～13 題為卷面第 2～10 題，第 14、15 題為卷面第 11 題 (1)(2)，第 16～19 題為卷面第 12～15 題，第 20、21 題為卷面第 16 題 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對。

填充題（該題有多解，全對才給分）
卷面第 1 題（第 1～4 題）　求下列各導數：
1
(1) f(x)=x3−2x2+5x−4，則 f′(1)= ____。
2
(2) f(x)=(x2+4x−1)(x2+2x)，則 f′(1)= ____。
3
(3) f(x)=xx2+1​，則 f′(2)= ____。
4
(4) f(x)=(x2+1)(x−2)(x2−1)(x+2)​，則 f′(1)= ____。
5
求 f(x)=x3−x+5 圖形上斜率為 2 的切線方程式：____。
6
若通過 f(x)=x2+ax+b 圖形上一點 P(2,8) 之切線方程式為 7x−y=6，試求數對 (a,b)= ____。
7
設與曲線 f(x)=−x3+ax2+bx+5 相切的所有切線中，以過切點 (2,3) 的切線，其斜率最大，試求 (a,b)= ____。
8
四次多項式函數 f(x)，已知 f(1)=f(2)=f′(1)=f′(3)=0，f(0)=−14，試求 f(−1)= ____。
9
f(x)=x3−3x2+4 在區間 [−2,1] 上的最大值為 M，最小值為 m，試求 (M,m)= ____。
10
已知 f(x)=x2−2x+2，試求過 P(2,−2) 且與 f(x) 圖形相切的直線方程式：____。
11
已知點 (1,8) 為三次函數 f(x)=x3+ax2−bx+1 圖形的反曲點，求數對 (a,b)= ____。
12
已知 f(x)=x3+ax2+bx+4 僅在區間 [−1,3] 上為遞減函數，試求 f(x) 圖形的反曲點：____。
13
已知三次函數 f(x) 在 x=1 處有極小值 −8，且 (−1,8) 是 f(x) 圖形的反曲點，試求 f(2)= ____。
卷面第 11 題（第 14～15 題）　已知生產 x 件產品的收入函數為 f(x)=−x3+9x2+48x+52（百元），其中 0≤x≤10，試求：
14
(1) 收入的最大值＝____百元。
15
(2) 承(1)，此時產量＝____件。
16
設生產 x 件產品的成本函數為 C(x)=0.0001x3−0.06x2+50x+650（元），請利用導數，估算出產量 100 件時的邊際成本＝____元。
17
f(x)=x3+x2−3x，g(x)=3x2+x+k，若 x≥0 時，f(x)>g(x) 恆成立，試求實數 k 的範圍：____。
18
用一塊寬 3 公尺，長 8 公尺的鐵板，先在四個角落各截去相同大小的正方形，然後折起四邊焊接起來，形成一個無蓋的長方體蓄水箱，若鐵板厚度不計，試求水箱容積最大為____立方公尺。
19
若直線 y=mx+4 與曲線 y=−x3−x2+x+4 相切，試求 m= ____。
卷面第 16 題（第 20～21 題）　如圖，三次函數 f(x)=x3−6x2+8x，令 P1​=(x1​,y1​)=(0,0)，將 P1​ 不作為切點，過 P1​ 作 f(x) 的切線切於 f(x) 上一點 P2​(x2​,y2​)；將 P2​ 不作為切點，過 P2​ 作 f(x) 的切線切於 f(x) 上一點 P3​(x3​,y3​)，……重複上述步驟，可得點 Pn​(xn​,yn​)，則：
20
(1) 若 xn​=a⋅xn−1​+b，試求數對 (a,b)= ____。
載入中...
21
(2) n→+∞lim​xn​= ____。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題4
第 2 題34
第 3 題43​
第 4 題−3
第 5 題2x−y=−3 或 2x−y=−7
第 6 題(3, −2)
第 7 題(6, −9)
第 8 題−108
第 9 題(4, −16)
第 10 題6x−y=14 或 2x+y=2
第 11 題(−3, −9)
第 12 題(1, −7)
第 13 題−1
第 14 題500（百元）
第 15 題8（件）
第 16 題41（元）
第 17 題k<−8
第 18 題27200​（立方公尺）
第 19 題1 或 45​
第 20 題(−21​, 3)
第 21 題2
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01卷面第 1 題（本頁第 1～4 題）：求導數

第 1 題f′(x)=3x2−4x+5，所以 f′(1)=3−4+5=4。
第 2 題用乘積的微分：f′(x)=(2x+4)(x2+2x)+(x2+4x−1)(2x+2)。代 x=1：x2+2x=3，x2+4x−1=4，2x+4=6，2x+2=4，所以 f′(1)=6×3+4×4=18+16=34。
也可以先展開：f(x)=x4+6x3+7x2−2x，f′(x)=4x3+18x2+14x−2，f′(1)=4+18+14−2=34。
第 3 題用導數的定義。f(2)=25​， f(x)−f(2)=xx2+1​−25​=2x2x2−5x+2​=2x(2x−1)(x−2)​ 所以 x−2f(x)−f(2)​=2x2x−1​（x=2）。令 x→2，得 f′(2)=43​。
也可以把函數寫成 f(x)=x+x1​，用定義分開算：h(2+h)−2​=1，h2+h1​−21​​=−2(2+h)1​→−41​，合起來 f′(2)=1−41​=43​。
第 4 題x=1 時分子 (x2−1)(x+2)=0，所以 f(1)=0。用導數的定義： x−1f(x)−f(1)​=(x−1)(x2+1)(x−2)(x−1)(x+1)(x+2)​=(x2+1)(x−2)(x+1)(x+2)​(x=1) 令 x→1，得 f′(1)=2×(−1)2×3​=−3。
函數值為 0 的點，分子的因式 x−1 正好和定義式的分母約掉，不必把整個分式函數的導函數求出來。
分式函數求某一點的導數，直接用定義 x→alim​x−af(x)−f(a)​，把 x−a 約掉再代入。

02卷面第 2、3、4、7、15 題（本頁第 5、6、7、10、19 題）：切線

第 5 題f′(x)=3x2−1。斜率為 2：3x2−1=2，x=1 或 x=−1。x=1 時 f(1)=5，切線 y−5=2(x−1)，即 y=2x+3（2x−y=−3）；x=−1 時 f(−1)=−1+1+5=5，切線 y−5=2(x+1)，即 y=2x+7（2x−y=−7）。兩條都要寫。
第 6 題切線 7x−y=6 即 y=7x−6，斜率 7。切點在圖形上：f(2)=4+2a+b=8；切線斜率：f′(x)=2x+a，f′(2)=4+a=7，得 a=3，代回得 b=−2。所以 (a,b)=(3,−2)。
檢查：P(2,8) 也在切線上，7×2−8=6。
第 7 題切點 x 處的切線斜率是 f′(x)=−3x2+2ax+b，這是開口向下的二次函數，在頂點 x=3a​ 時最大。斜率最大的切點是 (2,3)，所以 3a​=2，a=6。(2,3) 在圖形上：f(2)=−8+24+2b+5=3，得 b=−9。所以 (a,b)=(6,−9)。
f′(x)=−3x2+12x−9 的最大值發生在 x=2，最大斜率為 3；三次函數斜率最大的點正是反曲點（f′′(2)=−12+12=0）。
第 10 題f(2)=2=−2，P 不在圖形上，要先設切點。設切點為 (t, t2−2t+2)，斜率 f′(t)=2t−2，切線 y=(2t−2)(x−t)+t2−2t+2。過 P(2,−2)： −2=(2t−2)(2−t)+t2−2t+2=−t2+4t−2 得 t2−4t=0，t=0 或 t=4。t=0：切點 (0,2)、斜率 −2，切線 y=−2x+2（2x+y=2）；t=4：切點 (4,10)、斜率 6，切線 y=6x−14（6x−y=14）。
檢查：−2×2+2=−2，6×2−14=−2，兩條都過 P。
第 19 題直線 y=mx+4 過點 (0,4)，這點也在曲線上，但切點不一定是它。設切點為 (t, −t3−t2+t+4)，切線斜率 −3t2−2t+1，切線 y=(−3t2−2t+1)(x−t)−t3−t2+t+4。切線的 y 截距要是 4（令 x=0）： (−3t2−2t+1)(−t)−t3−t2+t+4=4 整理得 2t3+t2=0，即 t2(2t+1)=0，t=0 或 t=−21​。t=0 時 m=1；t=−21​ 時 m=−43​+1+1=45​。所以 m=1 或 45​。
另一種看法：−x3−x2+x+4=mx+4 化成 x(x2+x+1−m)=0；相切時交點要有重根：x=0 是重根時 m=1，或 x2+x+1−m=0 有重根時判別式 1−4(1−m)=0，m=45​。
題目給的點不一定是切點：先設切點 t，寫出切線，再把已知點代進去解 t。

03卷面第 5、6、11、12、13、14 題（本頁第 8、9、14～18 題）：極值、最大最小值與應用

第 8 題f(1)=0 且 f′(1)=0，所以 x=1 是 f(x)=0 的重根，f(x) 有因式 (x−1)2；又 f(2)=0，有因式 x−2。設 f(x)=(x−1)2(x−2)(px+q)。f(0)=1×(−2)×q=−14，得 q=7。令 g(x)=(x−1)2(x−2)，g′(x)=2(x−1)(x−2)+(x−1)2，g(3)=4，g′(3)=4+4=8。由乘積的微分，f′(3)=g′(3)(3p+7)+g(3)⋅p=8(3p+7)+4p=28p+56=0，得 p=−2。所以 f(x)=(x−1)2(x−2)(−2x+7)，f(−1)=4×(−3)×9=−108。
f(1)=f′(1)=0 表示 (x−1)2 整除 f(x)：設 f(x)=(x−1)h(x)，則 f′(1)=h(1)，所以 h(1)=0。
第 9 題f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，在 [−2,1] 內 f′(x)=0 只有 x=0（x=2 不在區間內）。比較臨界點與兩端點：f(−2)=−8−12+4=−16，f(0)=4，f(1)=1−3+4=2。所以 M=4、m=−16，(M,m)=(4,−16)。
第 14 題f′(x)=−3x2+18x+48=−3(x2−6x−16)=−3(x−8)(x+2)。在 0≤x≤10 內，0≤x<8 時 f′(x)>0，遞增；8<x≤10 時 f′(x)<0，遞減。所以最大值在 x=8：f(8)=−512+576+384+52=500（百元）。
端點的值 f(0)=52、f(10)=−1000+900+480+52=432，都比 500 小。
第 15 題由上一題，最大值發生在 x=8，此時產量為 8 件。
第 16 題邊際成本用 C′(x) 估算：C′(x)=0.0003x2−0.12x+50，C′(100)=0.0003×10000−0.12×100+50=3−12+50=41（元）。
意思是：產量在 100 件時，多生產 1 件大約多花 41 元。實際多花的是 C(101)−C(100)=40.9701 元，與估算值很接近。
第 17 題f(x)>g(x) 即 x3−2x2−4x>k。令 h(x)=x3−2x2−4x，題目要求 x≥0 時 h(x)>k 恆成立，也就是 k 要小於 h(x) 在 x≥0 的最小值。h′(x)=3x2−4x−4=(3x+2)(x−2)，在 x≥0 時：0≤x<2 遞減，x>2 遞增，最小值 h(2)=8−8−8=−8。所以 k<−8。
k=−8 不行：x=2 時 f(2)=g(2)，不是嚴格大於。
第 18 題設截去的正方形邊長為 x 公尺，水箱的底是 (8−2x)×(3−2x)、高是 x，要 0<x<23​。容積 V(x)=x(3−2x)(8−2x)=4x3−22x2+24x。V′(x)=12x2−44x+24=4(3x−2)(x−3)，在 0<x<23​ 內只有 x=32​ 使 V′(x)=0；0<x<32​ 時 V′(x)>0，32​<x<23​ 時 V′(x)<0，所以 x=32​ 時容積最大： V(32​)=32​×35​×320​=27200​ （立方公尺）。
x=3 也使 V′(x)=0，但不在 0<x<23​ 內（寬只有 3 公尺，兩邊各截 x 後要剩正的長度），要捨去。
閉區間上的最大最小值：導數為 0 的點與兩端點的函數值一起比較；應用題先寫出變數的範圍，再把不在範圍內的臨界點捨去。

04卷面第 8、9、10 題（本頁第 11～13 題）：反曲點

第 11 題f′(x)=3x2+2ax−b，f′′(x)=6x+2a。反曲點的 x 坐標是 1：f′′(1)=6+2a=0，a=−3。(1,8) 在圖形上：f(1)=1−3−b+1=8，得 b=−9。所以 (a,b)=(−3,−9)。
注意題目的一次項是 −bx，求出 b=−9 表示 f(x)=x3−3x2+9x+1。
第 12 題f′(x)=3x2+2ax+b。「僅在 [−1,3] 上遞減」表示 f′(x)≤0 恰好在 −1≤x≤3 時成立，所以 f′(x)=0 的兩根是 −1 與 3：f′(x)=3(x+1)(x−3)=3x2−6x−9，比較係數得 a=−3、b=−9。f′′(x)=6x−6=0 得 x=1，f(1)=1−3−9+4=−7。反曲點為 (1,−7)。
三次函數的反曲點在導函數兩根的正中間：2−1+3​=1。
第 13 題設 f(x)=px3+qx2+rx+s（p=0），f′(x)=3px2+2qx+r，f′′(x)=6px+2q。反曲點 x=−1：f′′(−1)=−6p+2q=0，q=3p。x=1 有極小值：f′(1)=3p+2q+r=0，得 r=−9p。於是 f(x)=p(x3+3x2−9x)+s。再由 f(1)=−8、f(−1)=8： −5p+s=−8,11p+s=8 相減得 16p=16，p=1、s=−3。所以 f(x)=x3+3x2−9x−3，f(2)=8+12−18−3=−1。
檢查：f′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)，x=1 左邊 f′<0、右邊 f′>0，確實是極小值；f′′(x)=6x+6 在 x=−1 變號，(−1,8) 確實是反曲點。
三次函數的反曲點由二階導數為 0 求得；它也是兩個極值點的中點，可以用來檢查答案。

05卷面第 16 題（本頁第 20、21 題）：一連串切線的切點

第 20 題設已知點的橫坐標為 s（即 xn−1​），切點的橫坐標為 t（即 xn​），t=s。f′(x)=3x2−12x+8。過 (s,f(s)) 且切於 (t,f(t)) 的切線，斜率滿足 s−tf(s)−f(t)​=f′(t) 左邊用 s3−t3=(s−t)(s2+st+t2)、s2−t2=(s−t)(s+t) 約掉 s−t，得 (s2+st+t2)−6(s+t)+8=3t2−12t+8。整理：s2+st−2t2−6s+6t=0，即 (s−t)(s+2t)−6(s−t)=0，(s−t)(s+2t−6)=0。因為 t=s，所以 s+2t=6，t=−21​s+3。也就是 xn​=−21​xn−1​+3，(a,b)=(−21​, 3)。
檢查：x1​=0 得 x2​=3，P2​=(3,f(3))=(3,−3)；過原點的切線 y=−x 斜率 −1，而 f′(3)=27−36+8=−1，正好相切。
第 21 題由 xn​=−21​xn−1​+3，兩邊減 2：xn​−2=−21​(xn−1​−2)。所以 ⟨xn​−2⟩ 是首項 x1​−2=−2、公比 −21​ 的等比數列：xn​−2=−2(−21​)n−1。公比的絕對值小於 1，(−21​)n−1→0，所以 n→+∞lim​xn​=2。
x=2 正是這個三次函數的反曲點橫坐標（f′′(x)=6x−12=0）：切點會在反曲點兩側來回跳，愈來愈靠近 x=2。
過圖形上一點（不作為切點）作三次函數的切線，用「割線斜率＝切線斜率」約掉 s－t 最快。

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