01 · 試題原卷 12 題，照原卷順序
全卷只有一個大題「填充題」，共 12 題、17 格：第 1～10 題每格 6 分（第 1 題 5 格、第 5 題 2 格，共 15 格 90 分），第 11、12 題每格 5 分（共 10 分），合計 100 分。第 4 題是單選、第 8、9 題是多選，卷面都排在填充題內，沒有另外印多選的給分方式。答案已與學校公布的答案逐題核對：17 格中 16 格與學校公布的答案一致；第 2 題依卷面所印計算，與學校印的答案不同，本頁寫依卷面計算的答案，並在詳解說明。
填充題(1-10 題每格 6 分,11-12 題每格 5 分)
1
判斷下列各無窮數列為收斂或發散數列；若為收斂數列，求其極限。若為發散數列則寫發散。
(1) ⟨4−n3n⟩。
(2) ⟨(−1.01)⟩。
(3) ⟨2−(0.99)n⟩。
(4) ⟨3n+1+22n3n−22n+1⟩。
(5) ⟨(n−1n2+1−n+1n2−1)⟩。
（第 (2) 小題卷面括號後留有空白，沒有印出指數；本頁照卷面所印）
2
求無窮級數的和 n=1∑∞9n−14n+1= ______。
3
已知無窮等比級數 a+ar+ar2+⋯+arn−1+⋯ 的和為 6，且 a2=34，若首項為 a 與公比為 r，求數對 (a,r)= ______。
4
小華認為 1 比 0.9 大，因為不管如何 0.9999⋯ 一定跟 1 有一定差距，不知這是否為正確看法？請選出下列正確選項。（單選）- (A) 1>0.9
- (B) 1=0.9
- (C) 1<0.9
- (D) 無法判斷
5
求函數 f(x)=−x2+2x+8 的定義域為 ______，值域為 ______。 6
設函數 f(x)=⎩⎨⎧2x+5,x2−∣x∣,x2−4,若 x>7若 −7≤x≤7若 x<−7，則 (f∘f)(5)= ______。 7
求 x→2lim(x−23x−9+x2−x−24x+1) 的值為 ______。
8
設 f 為一函數，若 f(−x)=−f(x)，則稱 f 為奇函數，若 f(−x)=f(x)，則稱 f 為偶函數，下列何者為偶函數？（多選）- (A) f(x)=2x2+5
- (B) f(x)=3x
- (C) f(x)=(x+1)2
- (D) f(x)=sinx
- (E) f(x)=cosx
9
下列各圖為函數 y=f(x) 的圖形，哪些 x→1limf(x) 存在？（多選）（五個選項的圖形見附圖）- (A) 圖 (A)
- (B) 圖 (B)
- (C) 圖 (C)
- (D) 圖 (D)
- (E) 圖 (E)
10
設 x→−1limx+1x2+ax=b，求數對 (a,b)= ______。
11
設 f(x)=⎩⎨⎧x2+x+1,ax+b,3x−3,x≤11<x<2x≥2 且 f(x) 在實數上為連續，則數對 (a,b)= ______。 12
x→7.5+lim([5−2x])= ______（[x] 表示小於或等於 x 的最大整數）。
第 1 題(1) −3 (2) −1.01 (3) 2 (4) −2 (5) 2
第 2 題5144（依卷面所印從 n＝1 加起；學校公布的答案印 324/5，相當於從 n＝0 加起，見詳解）
第 3 題(2,32) 或 (4,31)
第 4 題(B)
第 5 題定義域 {x∈R∣−2≤x≤4}，值域 {y∈R∣0≤y≤3}
第 6 題45
第 7 題310
第 8 題(A)(E)
第 9 題(B)(C)(E)
第 10 題(1,−1)
第 11 題(0,3)
第 12 題−11
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。
對完答案了？勾你錯的題號
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看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。
01第 1 題：五個數列的收斂與發散
第 1 題答案依序是 −3、−1.01、2、−2、2，五個都是收斂數列。
(1) 分子、分母同除以 n：4−n3n=n4−13。n→∞ 時 n4→0，所以極限是 0−13=−3。
(2) 卷面印的是 ⟨(−1.01)⟩，括號後面沒有指數，照這樣讀，每一項都是 −1.01，是常數數列，收斂，極限就是 −1.01。學校公布的答案也是 −1.01。
(3) 0.99 在 −1 與 1 之間，所以 (0.99)n→0，極限是 2−0=2。
(4) 22n+1=2×4n，22n=4n，3n+1=3×3n，原式 =3×3n+4n3n−2×4n。分子、分母同除以底數最大的 4n：3(43)n+1(43)n−2。(43)n→0，所以極限是 0+10−2=−2。
(5) n+1n2−1=n+1(n+1)(n−1)=n−1，所以一般項 =n−1n2+1−(n−1)=n−1(n2+1)−(n−1)2=n−12n=1−n12，極限是 1−02=2。
(2) 如果括號後面有指數 n，也就是 ⟨(−1.01)n⟩，公比 −1.01 不在 −1<r≤1 的範圍內，各項正負交錯而且絕對值愈來愈大，會是發散數列。本頁照卷面所印與學校公布的答案。(5) 的兩個分式各自都發散，不可以分開取極限再相減，要先合併；另外 n=1 時第一個分式沒有意義，數列從 n=2 看起，不影響極限。
分式型同除以最高次項，指數型同除以底數最大的那一項；兩個發散的式子相減要先合併再取極限。
02第 2～4 題：無窮等比級數
第 2 題答案 5144（依卷面所印計算）；學校公布的答案印 5324。兩種算法如下。
照卷面所印，n 從 1 加起：一般項 9n−14n+1=16×(94)n−1，首項是 n=1 的 9042=16，公比 94。94<1，級數收斂，和 =1−9416=16×59=5144。
學校公布的 5324 相當於 n 從 0 加起：這時首項是 9−141=36，公比一樣是 94，和 =1−9436=36×59=5324。兩個結果正好相差 n=0 那一項的 36：5144+36=5324。 本頁答案欄寫依卷面所印計算的 5144。卷面 ∑ 下方印的是 n=1，前幾項是 16, 964, 81256, ⋯，各項為正、和是 5144=28.8，不會是學校印的 5324=64.8。作答時先把首項（把起始的 n 代進去）與公比寫出來，再套公式。
第 3 題第二項 a2=ar=34。級數有和，所以 ∣r∣<1，且 1−ra=6，即 a=6(1−r)。代入得 6r(1−r)=34，整理成 9r2−9r+2=0，(3r−1)(3r−2)=0，r=31 或 r=32。兩個都符合 ∣r∣<1，所以都要留：r=31 時 a=6×32=4；r=32 時 a=6×31=2。答案是 (a,r)=(2,32) 或 (4,31)。
檢查：1−322=6、2×32=34；1−314=6、4×31=34，兩組都符合。
第 4 題答案 (B)。0.9=0.9+0.09+0.009+⋯ 是首項 0.9、公比 0.1 的無窮等比級數，公比的絕對值小於 1，和 =1−0.10.9=0.90.9=1，所以 1=0.9。
0.9, 0.99, 0.999, ⋯ 這些有限小數每一個都比 1 小，和 1 的差是 0.1, 0.01, 0.001, ⋯；0.9 指的是這個數列的極限，差距趨近 0，所以極限正好是 1。
無窮等比級數先把首項與公比寫出來，確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比。
03第 5、6、8 題：函數的定義域與值域、合成、奇偶性
第 5 題根號內不可為負：−x2+2x+8≥0，即 x2−2x−8≤0，(x−4)(x+2)≤0，所以 −2≤x≤4，這就是定義域。配方：−x2+2x+8=−(x−1)2+9。在 −2≤x≤4 上，x=1 時有最大值 9，x=−2 或 x=4 時有最小值 0，中間的值都取得到，所以根號內的範圍是 0 到 9，開根號後 0≤f(x)≤3。值域是 {y∈R∣0≤y≤3}。
第 6 題(f∘f)(5)=f(f(5))。先算裡面：5 在 −7≤x≤7 的範圍內，用第二個式子，f(5)=52−∣5∣=25−5=20。再算外面：20>7，用第一個式子，f(20)=2×20+5=45。
每代一次都要重新看這個數落在哪一段；f(5)=20 已經超出第二段的範圍，不可以再用 x2−∣x∣。
第 8 題答案 (A)(E)。把 x 換成 −x，看 f(−x) 是否等於 f(x)。(A) f(−x)=2(−x)2+5=2x2+5=f(x)，是偶函數，對。(B) f(−x)=−3x=−f(x)，是奇函數，不是偶函數（例如 f(1)=3、f(−1)=−3），錯。(C) f(−x)=(−x+1)2=(x−1)2，與 (x+1)2 不同（例如 f(1)=4、f(−1)=0），錯。(D) sin(−x)=−sinx，是奇函數（例如 f(2π)=1、f(−2π)=−1），錯。(E) cos(−x)=cosx，是偶函數，對。
偶函數的圖形對稱於 y 軸。(C) 的圖形是拋物線，對稱軸是 x=−1 而不是 y 軸，所以不是偶函數。
定義域先看根號內不可為負，值域用配方找範圍；分段函數每代一次都要重新判斷落在哪一段。
04第 7、9～12 題：函數的極限與連續
第 7 題x2−x−2=(x−2)(x+1)。通分：(x−2)(x+1)(3x−9)(x+1)+(4x+1)=(x−2)(x+1)3x2−6x−9+4x+1=(x−2)(x+1)3x2−2x−8=(x−2)(x+1)(x−2)(3x+4)。x=2 時約去 x−2，原式 =x→2limx+13x+4=310。
兩個分式在 x→2 時各自都沒有極限，要先通分合併。
第 9 題答案 (B)(C)(E)。x→1limf(x) 存在，要 x 從左、右兩邊靠近 1 時函數值靠近同一個數；x=1 那一點本身有沒有定義不影響。(A) 左邊的水平線靠近空心點的高度，右邊的水平線從較低的實心點出發，左、右極限不相等，不存在。(B) 兩條斜線在 (1,1) 相接，左、右兩邊都靠近 1，存在。(C) 曲線在 (1,1) 是空心點，f(1) 沒有定義，但左、右兩邊都靠近 1，存在。(D) x 靠近 1 時曲線在虛線兩側都一直往上、沒有上限，函數值不靠近任何一個數，不存在。(E) 兩段曲線在實心點 (1,3) 相接，左、右兩邊都靠近 3，存在。
(C) 提醒極限與函數值是兩回事：那一點挖空了，極限仍然存在。(E) 的圖形在 (1,3) 有尖角，但尖角不影響極限。
第 10 題x→−1 時分母 x+1 趨近 0，極限要存在，分子也必須趨近 0：(−1)2+a(−1)=1−a=0，所以 a=1。這時分子 x2+x=x(x+1)，原式 =x→−1limx+1x(x+1)=x→−1limx=−1，所以 b=−1。答案 (a,b)=(1,−1)。
若 a=1，分子趨近 1−a=0 而分母趨近 0，分式的絕對值會愈來愈大，極限不存在。
第 11 題三段各自都是多項式，在各自的範圍內連續，只要檢查接點 x=1 與 x=2。在 x=1：f(1)=1+1+1=3，左極限也是 3，右極限 x→1+lim(ax+b)=a+b，所以 a+b=3。在 x=2：f(2)=3×2−3=3，右極限也是 3，左極限 x→2−lim(ax+b)=2a+b，所以 2a+b=3。兩式相減得 a=0，代回得 b=3。答案 (a,b)=(0,3)。
中間那一段是常數函數 y=3，正好把 (1,3) 與 (2,3) 接起來。
第 12 題x→7.5+ 表示 x 比 7.5 大一點點。這時 2x 比 15 大一點點，5−2x 比 −10 小一點點，也就是 −11<5−2x<−10。小於或等於這個數的最大整數是 −11，所以 [5−2x]=−11，極限為 −11。
例如 x=7.51 時 5−2x=−10.02，[−10.02]=−11。若直接把 7.5 代入會得到 [−10]=−10，那是函數值，不是右極限；左極限 x→7.5− 時 5−2x 比 −10 大一點點，高斯符號的值是 −10。
分式的極限遇到分母趨近 0，分子也要趨近 0，分解後約掉同一個因式再代入；高斯符號的單邊極限先判斷裡面的數從哪一邊靠近整數。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
小港高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 12 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
小港高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？
第 12 題：x 從右邊靠近 7.5 時，5 減 2x 是從比負 10 小的那一邊靠近負 10，高斯符號取到負 11 而不是負 10。第 1 題第 (5) 小題：兩個分式各自發散，要先合併成一個分式再取極限。第 3 題：解出的兩個公比都在收斂範圍內，兩組數對都要寫。第 2 題：先把首項與公比寫出來再套公式；這一題本頁的答案依卷面所印計算，與學校印的答案不同，詳解兩種算法都寫了。詳解逐題寫在本頁。
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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自小港高中 111 學年度上學期 高三第一次段考 數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。
