御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：導數與導函數、切線方程式、導數的應用（遞增遞減、極值與最大最小值、凹口方向與反曲點、邊際成本、最佳化）

小港高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

全卷 18 格（多選題 5 題、填充題 13 題），答對 10 格內每格 6 分，超過部分每格 5 分，共 100 分；多選題錯一個選項得 1/2 題分，錯兩個選項(含)以上得 0 分，總分四捨五入；填充題答案全對才給分。本頁第 6～18 題為卷面填充題第 1～13 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，填充題第 9 題（本頁第 14 題）邊際成本的算法不同，本頁照學校公布的答案，並在詳解說明兩種算法。

一、多選題 錯一個選項得 1/2 題分，錯兩個選項(含)以上得 0 分，總分四捨五入。
1
函數 f(x)=x4+4x3+5 在下列哪些區間上為嚴格遞增函數？
  1. (A) [−5,−4]
  2. (B) [−4,−2]
  3. (C) [−2,0]
  4. (D) [0,3]
  5. (E) [3,∞)
2
設 m∈R，直線 L：y=m(x+2) 與曲線 Γ：y=x3−4x 相切，求 m 之值可為
  1. (A) 0
  2. (B) −2
  3. (C) 1
  4. (D) −1
  5. (E) 8
3
關於函數 f(x)=−2x3+3x2+12x−10，選出正確的選項：
  1. (A) f(x) 在區間 [−1,2] 上是遞增函數
  2. (B) f(x) 在區間 [2,∞) 上是遞減函數
  3. (C) f(x) 在區間 (1,∞) 的圖形是凹口向下
  4. (D) f(x) 的圖形之反曲點為 (1,3)
  5. (E) f(x) 的值恆為負數
4
設 f(x)=4x3−3x2−6x+2，−1≤x≤2，f(x) 的最大值為 M，最小值為 m，則下列何者為真？
  1. (A) M=10
  2. (B) M<8
  3. (C) m=−3
  4. (D) m=−1
  5. (E) M+m=9
5
過曲線 y=x2−2x+2 外一點 (2,−2)，對曲線作切線，下列何者為真？
  1. (A) 切線方程式可為 2x+y−2=0
  2. (B) 切線方程式可為 6x−y−4=0
  3. (C) (0,2) 為一切點
  4. (D) (4,10) 為一切點
  5. (E) 兩切線交點在第三象限內
二、填充題：答案全對才給分。
6
函數 f(x)=x3−6x2+7 圖形的反曲點為 ____。
7
函數 f(x)=x3−6x2+9x+5 的極小值＝____。
8
已知 f(x)=x3−2x2+5，求 x→2lim​x−2f(x)−f(2)​= ____。
9
已知二次函數 f(x) 的導函數 f′(x)=2x+3，且 f(1)=2，求 f(x)= ____。
10
設 f(x)=4x3−3x2−6x+2，求 f(x) 的導函數 f′(x)= ____。
11
求函數 f(x)=x3−2x+1 的圖形上，以點 P(2,5) 為切點之切線方程式為 ____。
12
設 f(x)=x3+ax2+b，a、b∈R，若 y=f(x) 之圖形通過點 (1,4) 且在此點之切線的斜率為 −3，則數對 (a,b)= ____。
13
於一邊長 24 公分的正方形硬紙板，從四個角各截去同大的小正方形，以便摺起而成一個紙盒，問應截去 ____ 公分的正方形，才能使容積達到最大。
14
已知生產 x 件產品的成本函數為 C(x)=7000+400x−0.2x2（元），則產量 500 件時的邊際成本為 ____。
15
在函數 f(x)=x3+3x2−4x−5 的圖形上，已知以點 P 為切點的切線斜率為 5，求切點 P 的坐標為 ____。
16
已知點 P(1,3) 為三次函數 f(x)=x3+ax2+bx+c 圖形的反曲點，a、b、c 為實數，且以點 P 為切點的切線斜率為 4，求序組 (a,b,c)= ____。
17
設函數 f(x)=ax3+bx2+3 在 x=−1 的切線為 y=−x+3，求數對 (a,b)= ____。
18
求在函數 f(x)=x3−3x2+4 的圖形上，斜率最小的切線方程式為 ____。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)
第 2 題(D)(E)
第 3 題(A)(B)(C)
第 4 題(A)(C)
第 5 題(A)(C)(D)
第 6 題(2, −9)
第 7 題5
第 8 題4
第 9 題x2+3x−2
第 10 題12x2−6x−6
第 11 題10x−y−15=0
第 12 題(−3, 6)
第 13 題4（公分）
第 14 題199.8（元）（學校答案；以導數 C′(500) 估算為 200）
第 15 題(1, −5) 或 (−3, 7)
第 16 題(−3, 7, −2)
第 17 題(1, 2)
第 18 題3x+y−5=0
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選題第 1、3、4 題：遞增遞減、凹口方向與最大最小值

第 1 題

答案 (C)(D)(E)。f′(x)=4x3+12x2=4x2(x+3)。x<−3 時 f′(x)<0；x>−3 且 x=0 時 f′(x)>0，只在 x=0 這一點等於 0。所以 f(x) 在 (−∞,−3] 上遞減；在 [−3,0] 與 [0,∞) 上都嚴格遞增（各自區間內部 f′(x)>0）。

(A) 錯誤。[−5,−4] 整段在 x<−3，f(x) 遞減：f(−5)=130，f(−4)=5。

(B) 錯誤。[−4,−2] 跨過 x=−3，先減後增：f(−4)=5，f(−3)=−22，f(−2)=−11，不是遞增。

(C) 正確。在 (−2,0) 內 f′(x)>0，所以 f(x) 在 [−2,0] 上嚴格遞增。

(D) 正確。在 (0,3) 內 f′(x)>0，所以 f(x) 在 [0,3] 上嚴格遞增。

(E) 正確。x>3 時 f′(x)>0，所以 f(x) 在 [3,∞) 上嚴格遞增。

x=0 是 (C)(D) 區間的端點，f′(0)=0 不影響 (C)(D)：判斷閉區間上嚴格遞增，只要函數在閉區間上連續、在區間內部 f′(x)>0。x=0 是水平切線的位置，不是極值點，因為 f′(x) 在 x=0 的兩側都是正的。
第 3 題

答案 (A)(B)(C)。f′(x)=−6x2+6x+12=−6(x2−x−2)=−6(x−2)(x+1)，f′′(x)=−12x+6。

(A) 正確。−1<x<2 時 (x−2)(x+1)<0，所以 f′(x)>0，f(x) 在 [−1,2] 上遞增。

(B) 正確。x>2 時 (x−2)(x+1)>0，所以 f′(x)<0，f(x) 在 [2,∞) 上遞減。

(C) 正確。x>21​ 時 f′′(x)<0，圖形凹口向下；區間 (1,∞) 包含在 x>21​ 裡面。

(D) 錯誤。f′′(x)=0 得 x=21​，且 f′′(x) 在 x=21​ 兩側變號，反曲點的橫坐標是 21​，f(21​)=−41​+43​+6−10=−27​，反曲點是 (21​,−27​)。(1,3) 雖然在圖形上（f(1)=3），但不是反曲點。

(E) 錯誤。f(2)=−16+12+24−10=10>0。

三次函數 ax3+bx2+cx+d 的反曲點橫坐標是 −3ab​，本題為 −3×(−2)3​=21​。(D) 的點 (1,3) 剛好在圖形上，要算 f′′ 才看得出不是反曲點。
第 4 題

答案 (A)(C)。f′(x)=12x2−6x−6=6(2x+1)(x−1)，在 −1<x<2 內 f′(x)=0 的點是 x=−21​ 與 x=1。比較這兩點與兩個端點的函數值： f(−1)=1,f(−21​)=415​,f(1)=−3,f(2)=10 所以最大值 M=10（在端點 x=2），最小值 m=−3（在 x=1）。

(A) 正確。

(B) 錯誤。M=10，不小於 8。

(C) 正確。

(D) 錯誤。m=−3。

(E) 錯誤。M+m=10+(−3)=7。

極大值 f(−21​)=415​ 不是最大值：閉區間上的最大值要連端點一起比，本題最大值出現在右端點 x=2。
先把 f′(x) 因式分解，看正負決定遞增遞減；凹口方向看 f′′(x)；閉區間的最大最小值要把極值點與兩個端點的函數值一起比。

02多選題第 2、5 題：過一點作切線

第 2 題

答案 (D)(E)。直線 y=m(x+2) 一定通過點 (−2,0)，而 (−2)3−4×(−2)=0，所以 (−2,0) 也在曲線上。設切點為 (t, t3−4t)，切線斜率為 3t2−4。切線通過 (−2,0)： t3−4t−0=(3t2−4)(t+2) 展開右邊得 3t3+6t2−4t−8，整理成 2t3+6t2−8=0，即 t3+3t2−4=0。t=1 代入為 0，分解得 (t−1)(t2+4t+4)=(t−1)(t+2)2=0，t=1 或 t=−2。

t=1：m=3−4=−1。

t=−2：m=12−4=8（以 (−2,0) 本身為切點）。

所以 m 只能是 −1 或 8。

(A) 錯誤。m=0 不在其中。

(B) 錯誤。m=−2 不在其中。

(C) 錯誤。m=1 不在其中。

(D) 正確。

(E) 正確。

檢查 m=−1：直線 y=−x−2 與曲線聯立，x3−4x=−x−2，即 x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0，x=1 是二重根，確實相切於 (1,−3)。m=0 是直線 y=0，與曲線交於 x=0, ±2 三點，都是單根，不相切。
第 5 題

答案 (A)(C)(D)。(2,−2) 代入 x2−2x+2 得 2=−2，所以點不在曲線上。設切點為 (t, t2−2t+2)，切線斜率為 2t−2。切線通過 (2,−2)： t2−2t+2−(−2)=(2t−2)(t−2) 左邊 t2−2t+4，右邊 2t2−6t+4，整理得 t2−4t=0，t=0 或 t=4。

t=0：切點 (0,2)，斜率 −2，切線 y=−2x+2，即 2x+y−2=0。

t=4：切點 (4,10)，斜率 6，切線 y−10=6(x−4)，即 6x−y−14=0。

(A) 正確。

(B) 錯誤。另一條切線是 6x−y−14=0，不是 6x−y−4=0（(2,−2) 代入 6x−y−4 得 10=0，這條直線根本不過點 (2,−2)）。

(C) 正確。

(D) 正確。

(E) 錯誤。兩條切線都通過 (2,−2)，交點就是 (2,−2)，在第四象限。

過圖形外一點作切線，一律先設切點、寫出切點處的斜率，再用「切線通過那一點」列方程式；不要把題目給的點當成切點。
過某一點作切線：設切點 (t,f(t))，用斜率 f′(t) 與「通過該點」列出 t 的方程式，解出所有 t。

03填充題第 3、4、5 題（本頁第 8、9、10 題）：導數的定義與導函數

第 8 題這個極限就是 f′(2)。f(2)=8−8+5=5，所以 f(x)−f(2)=x3−2x2=x2(x−2)。x=2 時 x−2f(x)−f(2)​=x2 令 x→2，極限為 4。
也可以直接求導函數：f′(x)=3x2−4x，f′(2)=12−8=4。
第 9 題設 f(x)=px2+qx+r（p=0），則 f′(x)=2px+q。和 2x+3 比較係數：2p=2、q=3，得 p=1、q=3。再由 f(1)=1+3+r=2 得 r=−2。所以 f(x)=x2+3x−2。
檢查：f′(x)=2x+3，f(1)=1+3−2=2，都符合。只知道導函數時常數項決定不了，要靠 f(1)=2 這個條件。
第 10 題逐項求導：(4x3)′=12x2，(−3x2)′=−6x，(−6x)′=−6，常數 2 的導數為 0。所以 f′(x)=12x2−6x−6。
x→alim​x−af(x)−f(a)​ 就是 f′(a)；多項式逐項求導，xn 的導數是 nxn−1。

04填充題第 6、7、10、12、13 題（本頁第 11、12、15、17、18 題）：切線

第 11 題先確認 P 在圖形上：f(2)=8−4+1=5。f′(x)=3x2−2，切線斜率 f′(2)=10。切線為 y−5=10(x−2)，即 y=10x−15，寫成一般式 10x−y−15=0。
第 12 題f′(x)=3x2+2ax。通過 (1,4)：f(1)=1+a+b=4，得 a+b=3。切線斜率：f′(1)=3+2a=−3，得 a=−3。代回得 b=6。所以 (a,b)=(−3,6)。
檢查：f(x)=x3−3x2+6，f(1)=4，f′(x)=3x2−6x，f′(1)=−3。
第 15 題f′(x)=3x2+6x−4。令 f′(x)=5：3x2+6x−9=0，即 x2+2x−3=(x+3)(x−1)=0，x=1 或 x=−3。f(1)=1+3−4−5=−5，f(−3)=−27+27+12−5=7。切點 P 為 (1,−5) 或 (−3,7)，兩個都要寫。
第 17 題切點在直線 y=−x+3 上，x=−1 時 y=4，所以 f(−1)=4：−a+b+3=4，得 b−a=1。切線斜率是 −1：f′(x)=3ax2+2bx，f′(−1)=3a−2b=−1。把 b=a+1 代入：3a−2a−2=−1，a=1，b=2。所以 (a,b)=(1,2)。
檢查：f(x)=x3+2x2+3，f(−1)=−1+2+3=4，f′(x)=3x2+4x，f′(−1)=3−4=−1。
第 18 題切線斜率是 f′(x)=3x2−6x=3(x−1)2−3，配方後可知 x=1 時斜率最小，為 −3。切點為 (1,f(1))=(1,2)。切線為 y−2=−3(x−1)，即 y=−3x+5，寫成一般式 3x+y−5=0。
三次函數 x3 係數為正時，斜率最小的切線就在反曲點：f′′(x)=6x−6=0 得 x=1，與配方的結果相同。
切點 (a,f(a)) 的切線斜率是 f′(a)；反求係數時，「點在圖形上」與「斜率相等」各給一個方程式。

05填充題第 1、2、11 題（本頁第 6、7、16 題）：反曲點與極值

第 6 題f′(x)=3x2−12x，f′′(x)=6x−12。f′′(x)=0 得 x=2，且 x<2 時 f′′(x)<0、x>2 時 f′′(x)>0，凹口方向在 x=2 改變。f(2)=8−24+7=−9，反曲點為 (2,−9)。
反曲點要寫成點的坐標，不是只寫 x=2。
第 7 題f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)。f′(x) 的正負：x<1 時正，1<x<3 時負，x>3 時正。所以 x=1 處由增轉減，有極大值；x=3 處由減轉增，有極小值 f(3)=27−54+27+5=5。
極大值是 f(1)=1−6+9+5=9；題目問的是極小值 5。
第 16 題f′(x)=3x2+2ax+b，f′′(x)=6x+2a。P(1,3) 是反曲點，所以 f′′(1)=6+2a=0，a=−3。以 P 為切點的切線斜率為 4：f′(1)=3+2a+b=3−6+b=4，b=7。P 在圖形上：f(1)=1+a+b+c=1−3+7+c=3，c=−2。所以 (a,b,c)=(−3,7,−2)。
檢查：f(x)=x3−3x2+7x−2，f(1)=3，f′′(x)=6x−6 在 x=1 兩側變號，f′(1)=3−6+7=4。
極值看 f′(x) 在該點兩側是否變號；反曲點看 f′′(x) 在該點兩側是否變號，答案寫成點坐標。

06填充題第 8、9 題（本頁第 13、14 題）：最佳化與邊際成本

第 13 題設截去邊長 x 公分的正方形，摺起後紙盒底面是邊長 24−2x 的正方形，高為 x，其中 0<x<12。容積 V(x)=x(24−2x)2=4x3−96x2+576x V′(x)=12x2−192x+576=12(x2−16x+48)=12(x−4)(x−12)。在 0<x<12 內，0<x<4 時 V′(x)>0，4<x<12 時 V′(x)<0，所以 x=4 時容積最大，最大容積為 4×162=1024 立方公分。應截去邊長 4 公分的正方形。
x=12 時底面邊長為 0，不在範圍內，要捨去。
第 14 題學校公布的答案是 199.8 元，採用的是「邊際成本＝多生產一件（第 501 件）所增加的成本」： C(501)−C(500)=400×1−0.2×(5012−5002)=400−0.2×1001=199.8 另一種常見的做法是用導數估算：C′(x)=400−0.4x，C′(500)=400−200=200（元）。
兩種算法差 0.2 元：導數 C′(500) 是 C(501)−C(500) 的近似值。題目沒有寫「利用導數估算」，學校答案用的是實際多生產一件的成本 199.8 元；若課堂上把邊際成本定義為 C′(500)，答案就是 200 元。本頁照學校公布的答案。
最佳化題先設變數、寫出定義範圍與要最大化的函數，再用導數找極值；邊際成本要看採用「多生產一件的成本」還是「導數估算」。

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題目取自小港高中 112 學年度上學期 高三第二次段考 數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

免責聲明：本站段考卷為各校定期考原卷，由御藍教育重新打字排版，供學生練習與檢討使用；答案與詳解為御藍教育撰寫，不是學校的官方版本。 如有學校、命題老師或出版社認為內容不宜公開，請來信 service@royalblue-education.com，我們會在收到後一週內下架處理。

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