段考詳解範圍：選修數學甲：數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續（卷面未印範圍，依題目內容整理）

小港高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 小港高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 小港高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題：絕對值除以本身的函數只取 1 與負 1 兩個值，在 0 的左右極限不相等；選項 (E) 的判定與連續函數的定義有關，詳解有說明。多選第 4 題：實心點的高度是函數值，空心點的高度才是極限，兩者要分開讀。填充第 8 題（本頁第 13 題）：解出的兩個公比只有絕對值小於 1 的那一個合用。填充第 15 題（本頁第 20 題）：兩個極限存在表示 1 和 2 都是多項式的根，先設成因式的形式再求係數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 5 題（一題 5 分，共 25 分）、填充題 15 題（一題 5 分，共 75 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對；有 1 題加了說明：多選第 3 題的選項 (E) 與連續函數的定義有關，本頁照學校公布的答案，並在詳解說明。

一、多選題（一題 5 分，共 25 分）錯一個選項得 2.5 分，錯兩個選項(含)以上得 0 分，總分四捨五入。

下列無窮數列何者是收斂數列？

(A) $⟨ (- 3)^{n} ⟩$
(B) $⟨ (\frac{1001}{1000})^{n} ⟩$
(C) $⟨ - 1 ⟩$
(D) $⟨ 1 + \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(E) $⟨ (3 - 1)^{n} ⟩$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(A) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(B) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(C) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(D) $1 + (\frac{- 2}{3}) + \frac{4}{9} + (\frac{- 8}{27}) + \dots$
(E) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

關於函數

y = f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

的敘述，何者正確？

(A) $f (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x \neq = 0}$
(B) $f (x)$ 的值域為所有實數 $R$
(C) $f (x)$ 在 $x = 0$ 的極限為 $0$
(D) $f (x)$ 為奇函數
(E) $f (x)$ 為連續函數

已知函數

f (x)

的圖形如右，選出正確的選項。

(A) $f (0)$ 不存在
(B) $x \to 0 lim f (x) = 1$
(C) $x \to 1 lim f (x) = 1$
(D) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(E) $x \to 3 lim f (x) = 2$

載入中...

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 1, 3, - 2 x + 4, 當 x > 1 當 x = 1 當 x < 1

，選出下列敘述正確的選項？

(A) $x \to 1^{+} lim f (x) > 2$
(B) $x \to 1^{-} lim f (x) < 2$
(C) $x \to 1 lim f (x) < f (1)$
(D) $x \to 1^{-} lim f (x) < x \to 1^{+} lim f (x)$
(E) $x \to 1 lim f (x) = 2$

二、填充題（一題 5 分，共 75 分）答案全對才給分。（卷面題號 1～15，本頁接續編為第 6～20 題）

求：

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}}) =

______。

求：

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 1}{n + 1} - \frac{n ^{2} + 3 n + 2}{n + 1}) =

______。

求：

k = 1 \sum 20 k (k + 1) =

______。

求：

k = 1 \sum \infty (- \frac{1}{3})^{k - 1} =

______。

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項

c_{n}

都滿足

- \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \leq c_{n} \leq \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3}

，求

n \to \infty lim c_{n} =

______。

計算無窮級數和：

\frac{2}{5} + \frac{8}{5 ^{2}} + \frac{26}{5 ^{3}} + \dots + \frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} + \dots =

______。

已知

n \to \infty lim \frac{3 n - a n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{1}{2}

，求常數

a =

______。

已知無窮等比級數

a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1} + \dots

為收斂級數，且和為

4

，又

a_{2} = - 3

，則公比

r =

______。(只有一解)

甲、乙兩人輪流投擲一粒公正骰子，約定如下：當擲出點數為

5

或

6

時，此人獲勝；當擲出點數不為

5

或

6

時，改由另一人投擲。已知由甲先投擲，求甲獲勝的機率為 ______。

已知函數

f (x) = x + 1

，

g (x) = x^{2} - 4

，求合成函數：

(g \circ f) (x) =

______。

求：

x \to - 1 lim (x^{101} - 2 x^{51} + 2) =

______。

已知極限

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x - 2}{x - 2}

存在，請問其極限為 ______。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 2 x + 3, - 2 x + a, 當 x \geq 0 當 x < 0

在

x = 0

處連續，求實數

a

的值為 ______。

求極限：

x \to - 1 lim (\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{( x + 1 ) ( x + 2 )}) =

______。

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，求

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x + 1} =

______。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)

第 2 題(A)(D)

第 3 題(A)(D)（照學校公布的答案；(E) 依課本定義也可算成立，見詳解）

第 4 題(D)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

- 3

第 8 題

3080

第 9 題

\frac{3}{4}

第 10 題

- \frac{1}{3}

第 11 題

\frac{5}{4}

第 12 題

- \frac{1}{2}

第 13 題

- \frac{1}{2}

第 14 題

\frac{3}{5}

第 15 題

x^{2} + 2 x - 3

第 16 題

3

第 17 題

3

第 18 題

3

第 19 題

- 4

第 20 題

\frac{5}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、2：數列與無窮等比級數的收斂

第 1 題答案 (C)(D)(E)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。(A) 公比

- 3

，不在範圍內，各項

- 3, 9, - 27, \dots

正負交錯且絕對值愈來愈大，發散，錯。(B) 公比

\frac{1001}{1000} > 1

，各項愈來愈大、沒有上限，發散，錯。(C) 每一項都是

- 1

的常數數列，收斂到

- 1

，對。(D)

n \to \infty

時

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，數列收斂到

1

，對。(E) 公比

3 - 1 \approx 0.732

，在

- 1

與

1

之間，數列收斂到

0

，對。

(B) 的公比只比

1

大一點點，前幾項看起來幾乎不動，但只要公比大於

1

就會發散。

第 2 題答案 (A)(D)。首項不為

0

的無窮等比級數，收斂的條件是公比

∣ r ∣ < 1

。(A) 公比

\frac{3}{3} \approx 0.577

，收斂，對。(B) 公比

\frac{3}{2} > 1

，發散，錯。(C) 公比

- 1

，部分和依序是

1, 0, 1, 0, \dots

，不會靠近一個定值，發散，錯。(D) 公比

- \frac{2}{3}

，

- \frac{2}{3} < 1

，收斂，對。(E) 公比

2 > 1

，發散，錯。

數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂，但無窮等比級數在

r = 1

時發散；兩個條件差在

r = 1

。

等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於等於 1；無窮等比級數收斂的條件是公比的絕對值小於 1。

02多選 3～5：函數的性質、由圖形與分段式讀極限

第 3 題答案 (A)(D)（學校公布）。

x > 0

時

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

。(A) 分母不可為

0

，定義域是

x \neq = 0

的所有實數，對。(B) 函數值只有

1

與

- 1

兩個，值域是

{1, - 1}

，錯。(C)

x

從右邊靠近

0

時函數值是

1

，從左邊靠近

0

時是

- 1

，左右極限不相等，極限不存在，錯。(D)

f (- x) = \frac{∣ - x ∣}{- x} = - \frac{∣ x ∣}{x} = - f (x)

，且定義域對稱於原點，是奇函數，對。(E) 學校公布的答案是 (A)(D)，把 (E) 判為錯：圖形在

x = 0

斷成兩段，

f (0)

沒有定義，左右極限

- 1

與

1

也不相等，所以

f (x)

在

x = 0

不連續。

關於 (E)：若採用「函數在定義域內的每一點都連續，就稱為連續函數」這個定義，

x = 0

不在定義域內，而

f (x)

在

x > 0

與

x < 0

各是常數函數、每一點都連續，這樣 (E) 也成立，答案會是 (A)(D)(E)。本頁答案照學校公布的 (A)(D)，作答時以上課採用的定義為準。

第 4 題答案 (D)(E)。先讀圖：

x < 0

的直線往空心點

(0, 2)

靠近；

(0, 1)

是實心點，

0 < x < 1

的直線由

(0, 1)

往空心點

(1, 2)

靠近；

(1, 1)

是實心點；

x > 1

的曲線由

(1, 2)

往右上；

(3, 2)

是曲線上的實心點。(A)

(0, 1)

是實心點，

f (0) = 1

，存在，錯。(B)

x

從左邊靠近

0

時函數值靠近

2

，從右邊靠近

0

時靠近

1

，左右極限不相等，極限不存在，錯。(C)

x

從左、右兩邊靠近

1

時函數值都靠近

2

，所以極限是

2

而不是

1

，錯。(D)

x

從左邊靠近

2

時圖形在上方（高於

3

），從右邊靠近

2

時圖形在

x

軸下方，兩邊不會靠近同一個數，極限不存在，對。(E) 曲線不間斷地通過

(3, 2)

，

x

從兩邊靠近

3

時函數值都靠近

2

，對。

1

是函數值

f (1)

（實心點的高度），極限看的是

x

靠近

1

但不等於

1

時圖形的高度（空心點的高度）。

第 5 題答案 (C)(E)。右極限用

x > 1

的式子：

x \to 1^{+} lim f (x) = 1 + 1 = 2

。左極限用

x < 1

的式子：

x \to 1^{-} lim f (x) = - 2 + 4 = 2

。左右極限相等，所以

x \to 1 lim f (x) = 2

；而

f (1) = 3

。(A) 右極限等於

2

，不大於

2

，錯。(B) 左極限等於

2

，不小於

2

，錯。(C)

2 < 3

，對。(D) 左右極限相等，錯。(E) 對。

x > 1

時函數值都大於

2

，但極限是「靠近的那個數」，可以剛好等於

2

。

極限看的是靠近那一點時函數值往哪裡去，與那一點本身的函數值無關；左右極限相等，極限才存在。

03填充 6、7、8、10、12（卷面填充 1、2、3、5、7）：數列的極限與求和

第 6 題分子

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，所以原式

= n \to \infty lim \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = n \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}

。

括號裡的項數會隨

n

增加，不可以把每一項各自當成

0

再相加；要先求和。

第 7 題兩項分母相同，先相減：

\frac{( n ^{2} - 1 ) - ( n ^{2} + 3 n + 2 )}{n + 1} = \frac{- 3 n - 3}{n + 1} = \frac{- 3 ( n + 1 )}{n + 1} = - 3

。每一項都等於

- 3

，所以極限為

- 3

。

兩個分式各自都發散，不可以分開取極限再相減。

第 8 題

k = 1 \sum 20 k (k + 1) = k = 1 \sum 20 k^{2} + k = 1 \sum 20 k = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} + \frac{20 \times 21}{2} = 2870 + 210 = 3080

。

第 10 題

n \to \infty

時

\frac{1}{6 n ^{2}} \to 0

、

\frac{1}{2 n} \to 0

，所以左邊

- \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \to - \frac{1}{3}

，右邊

\frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \to - \frac{1}{3}

。

c_{n}

被夾在兩個極限相同的數列之間，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = - \frac{1}{3}

。

第 12 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{3 n - a n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{\frac{3}{n} - a}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{0 - a}{1 - 0} = - a

。由

- a = \frac{1}{2}

得

a = - \frac{1}{2}

。

項數跟著 n 變的和要先求和；兩個發散的式子相減要先合併，再取極限。

04填充 9、11、13、14（卷面填充 4、6、8、9）：無窮等比級數

第 9 題首項是

k = 1

的

(- \frac{1}{3})^{0} = 1

，公比

- \frac{1}{3}

，

- \frac{1}{3} < 1

，級數收斂，和

= \frac{1}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}

。

第 11 題

\frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

。

n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n}

與

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{5})^{n}

的公比絕對值都小於

1

，兩個級數都收斂，可以分開求和：

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} - \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

。

檢查前幾項：

n = 1, 2, 3

時

3^{n} - 1 = 2, 8, 26

，與題目的分子相符。

第 13 題第二項

a_{2} = a r = - 3

，和

\frac{a}{1 - r} = 4

，即

a = 4 (1 - r)

。代入得

4 r (1 - r) = - 3

，

4 r^{2} - 4 r - 3 = 0

，

(2 r - 3) (2 r + 1) = 0

，

r = \frac{3}{2}

或

r = - \frac{1}{2}

。級數收斂需要

∣ r ∣ < 1

，所以

r = - \frac{1}{2}

。

檢查：

r = - \frac{1}{2}

時

a = 6

，和

= \frac{6}{1 + \frac{1}{2}} = 4

，

a_{2} = 6 \times (- \frac{1}{2}) = - 3

，相符。

第 14 題每次投擲擲出

5

或

6

的機率是

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，沒擲出的機率是

\frac{2}{3}

。甲在第

1, 3, 5, \dots

次投擲。甲在第

1

次獲勝的機率是

\frac{1}{3}

；在第

3

次獲勝，要前兩次都沒擲出，機率

(\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{3}

；在第

5

次獲勝的機率

(\frac{2}{3})^{4} \times \frac{1}{3}

；依此類推。甲獲勝的機率

= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{4}{9}) + \frac{1}{3} (\frac{4}{9})^{2} + \dots = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{3}{5}

。

同樣算法，乙獲勝的機率是

\frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{2}{5}

，兩人相加為

1

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比；解出兩個公比時要用收斂條件篩選。

05填充 15～20（卷面填充 10～15）：合成函數、函數的極限與連續

第 15 題

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 1) = (x + 1)^{2} - 4 = x^{2} + 2 x + 1 - 4 = x^{2} + 2 x - 3

。

(g \circ f) (x)

是先算

f

再代進

g

；若順序反過來，

(f \circ g) (x) = x^{2} - 3

，結果不同。

第 16 題多項式函數在每一點都連續，極限等於代入的值：

(- 1)^{101} - 2 (- 1)^{51} + 2 = - 1 - 2 \times (- 1) + 2 = - 1 + 2 + 2 = 3

。

第 17 題

x \to 2

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

4 + 2 a - 2 = 0

，

a = - 1

。此時分子

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

，原式

= x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 1) = 3

。

第 18 題

f (0) = 0 + 0 + 3 = 3

，右極限

x \to 0^{+} lim (x^{2} + 2 x + 3) = 3

，左極限

x \to 0^{-} lim (- 2 x + a) = a

。在

x = 0

連續，左右極限與函數值要相等，所以

a = 3

。

第 19 題通分：

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{( x + 1 ) ( x - 3 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )}

。

x \neq = - 1

時約去

x + 1

，原式

= x \to - 1 lim \frac{x - 3}{x + 2} = \frac{- 4}{1} = - 4

。

兩個分式在

x \to - 1

時各自都沒有極限，要先通分合併。

第 20 題

x \to 1

時分母

x - 1

趨近

0

，極限存在，所以分子

f (x)

也趨近

0

，即

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。第一個條件：

x \to 1 lim (x - 2) (a x + b) = - (a + b) = 1

，得

a + b = - 1

。第二個條件：

x \to 2 lim (x - 1) (a x + b) = 2 a + b = 2

。兩式相減得

a = 3

，

b = - 4

，所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

。所求

= \frac{f ( 3 )}{3 + 1} = \frac{2 \times 1 \times 5}{4} = \frac{5}{2}

。

最後一個極限的分母在

x = 3

時是

4

，不為

0

，直接代入即可。

分式的極限遇到分母趨近 0，分子也要趨近 0；把分子分解出同一個因式約掉再代入。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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多選第 3 題：絕對值除以本身的函數只取 1 與負 1 兩個值，在 0 的左右極限不相等；選項 (E) 的判定與連續函數的定義有關，詳解有說明。多選第 4 題：實心點的高度是函數值，空心點的高度才是極限，兩者要分開讀。填充第 8 題（本頁第 13 題）：解出的兩個公比只有絕對值小於 1 的那一個合用。填充第 15 題（本頁第 20 題）：兩個極限存在表示 1 和 2 都是多項式的根，先設成因式的形式再求係數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自小港高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：選修數學甲：數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續（卷面未印範圍，依題目內容整理）

小港高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、多選題（一題 5 分，共 25 分）錯一個選項得 2.5 分，錯兩個選項(含)以上得 0 分，總分四捨五入。

下列無窮數列何者是收斂數列？

(A) $⟨ (- 3)^{n} ⟩$
(B) $⟨ (\frac{1001}{1000})^{n} ⟩$
(C) $⟨ - 1 ⟩$
(D) $⟨ 1 + \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(E) $⟨ (3 - 1)^{n} ⟩$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(A) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(B) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(C) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(D) $1 + (\frac{- 2}{3}) + \frac{4}{9} + (\frac{- 8}{27}) + \dots$
(E) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

關於函數

y = f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

的敘述，何者正確？

(A) $f (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x \neq = 0}$
(B) $f (x)$ 的值域為所有實數 $R$
(C) $f (x)$ 在 $x = 0$ 的極限為 $0$
(D) $f (x)$ 為奇函數
(E) $f (x)$ 為連續函數

已知函數

f (x)

的圖形如右，選出正確的選項。

(A) $f (0)$ 不存在
(B) $x \to 0 lim f (x) = 1$
(C) $x \to 1 lim f (x) = 1$
(D) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(E) $x \to 3 lim f (x) = 2$

載入中...

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 1, 3, - 2 x + 4, 當 x > 1 當 x = 1 當 x < 1

，選出下列敘述正確的選項？

(A) $x \to 1^{+} lim f (x) > 2$
(B) $x \to 1^{-} lim f (x) < 2$
(C) $x \to 1 lim f (x) < f (1)$
(D) $x \to 1^{-} lim f (x) < x \to 1^{+} lim f (x)$
(E) $x \to 1 lim f (x) = 2$

二、填充題（一題 5 分，共 75 分）答案全對才給分。（卷面題號 1～15，本頁接續編為第 6～20 題）

求：

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}}) =

______。

求：

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 1}{n + 1} - \frac{n ^{2} + 3 n + 2}{n + 1}) =

______。

求：

k = 1 \sum 20 k (k + 1) =

______。

求：

k = 1 \sum \infty (- \frac{1}{3})^{k - 1} =

______。

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項

c_{n}

都滿足

- \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \leq c_{n} \leq \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3}

，求

n \to \infty lim c_{n} =

______。

計算無窮級數和：

\frac{2}{5} + \frac{8}{5 ^{2}} + \frac{26}{5 ^{3}} + \dots + \frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} + \dots =

______。

已知

n \to \infty lim \frac{3 n - a n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{1}{2}

，求常數

a =

______。

已知無窮等比級數

a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1} + \dots

為收斂級數，且和為

4

，又

a_{2} = - 3

，則公比

r =

______。(只有一解)

甲、乙兩人輪流投擲一粒公正骰子，約定如下：當擲出點數為

5

或

6

時，此人獲勝；當擲出點數不為

5

或

6

時，改由另一人投擲。已知由甲先投擲，求甲獲勝的機率為 ______。

已知函數

f (x) = x + 1

，

g (x) = x^{2} - 4

，求合成函數：

(g \circ f) (x) =

______。

求：

x \to - 1 lim (x^{101} - 2 x^{51} + 2) =

______。

已知極限

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x - 2}{x - 2}

存在，請問其極限為 ______。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 2 x + 3, - 2 x + a, 當 x \geq 0 當 x < 0

在

x = 0

處連續，求實數

a

的值為 ______。

求極限：

x \to - 1 lim (\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{( x + 1 ) ( x + 2 )}) =

______。

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，求

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x + 1} =

______。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)

第 2 題(A)(D)

第 3 題(A)(D)（照學校公布的答案；(E) 依課本定義也可算成立，見詳解）

第 4 題(D)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

- 3

第 8 題

3080

第 9 題

\frac{3}{4}

第 10 題

- \frac{1}{3}

第 11 題

\frac{5}{4}

第 12 題

- \frac{1}{2}

第 13 題

- \frac{1}{2}

第 14 題

\frac{3}{5}

第 15 題

x^{2} + 2 x - 3

第 16 題

3

第 17 題

3

第 18 題

3

第 19 題

- 4

第 20 題

\frac{5}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選 1、2：數列與無窮等比級數的收斂

第 1 題答案 (C)(D)(E)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。(A) 公比

- 3

，不在範圍內，各項

- 3, 9, - 27, \dots

正負交錯且絕對值愈來愈大，發散，錯。(B) 公比

\frac{1001}{1000} > 1

，各項愈來愈大、沒有上限，發散，錯。(C) 每一項都是

- 1

的常數數列，收斂到

- 1

，對。(D)

n \to \infty

時

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，數列收斂到

1

，對。(E) 公比

3 - 1 \approx 0.732

，在

- 1

與

1

之間，數列收斂到

0

，對。

(B) 的公比只比

1

大一點點，前幾項看起來幾乎不動，但只要公比大於

1

就會發散。

第 2 題答案 (A)(D)。首項不為

0

的無窮等比級數，收斂的條件是公比

∣ r ∣ < 1

。(A) 公比

\frac{3}{3} \approx 0.577

，收斂，對。(B) 公比

\frac{3}{2} > 1

，發散，錯。(C) 公比

- 1

，部分和依序是

1, 0, 1, 0, \dots

，不會靠近一個定值，發散，錯。(D) 公比

- \frac{2}{3}

，

- \frac{2}{3} < 1

，收斂，對。(E) 公比

2 > 1

，發散，錯。

數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂，但無窮等比級數在

r = 1

時發散；兩個條件差在

r = 1

。

等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於等於 1；無窮等比級數收斂的條件是公比的絕對值小於 1。

02多選 3～5：函數的性質、由圖形與分段式讀極限

第 3 題答案 (A)(D)（學校公布）。

x > 0

時

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

。(A) 分母不可為

0

，定義域是

x \neq = 0

的所有實數，對。(B) 函數值只有

1

與

- 1

兩個，值域是

{1, - 1}

，錯。(C)

x

從右邊靠近

0

時函數值是

1

，從左邊靠近

0

時是

- 1

，左右極限不相等，極限不存在，錯。(D)

f (- x) = \frac{∣ - x ∣}{- x} = - \frac{∣ x ∣}{x} = - f (x)

，且定義域對稱於原點，是奇函數，對。(E) 學校公布的答案是 (A)(D)，把 (E) 判為錯：圖形在

x = 0

斷成兩段，

f (0)

沒有定義，左右極限

- 1

與

1

也不相等，所以

f (x)

在

x = 0

不連續。

關於 (E)：若採用「函數在定義域內的每一點都連續，就稱為連續函數」這個定義，

x = 0

不在定義域內，而

f (x)

在

x > 0

與

x < 0

各是常數函數、每一點都連續，這樣 (E) 也成立，答案會是 (A)(D)(E)。本頁答案照學校公布的 (A)(D)，作答時以上課採用的定義為準。

第 4 題答案 (D)(E)。先讀圖：

x < 0

的直線往空心點

(0, 2)

靠近；

(0, 1)

是實心點，

0 < x < 1

的直線由

(0, 1)

往空心點

(1, 2)

靠近；

(1, 1)

是實心點；

x > 1

的曲線由

(1, 2)

往右上；

(3, 2)

是曲線上的實心點。(A)

(0, 1)

是實心點，

f (0) = 1

，存在，錯。(B)

x

從左邊靠近

0

時函數值靠近

2

，從右邊靠近

0

時靠近

1

，左右極限不相等，極限不存在，錯。(C)

x

從左、右兩邊靠近

1

時函數值都靠近

2

，所以極限是

2

而不是

1

，錯。(D)

x

從左邊靠近

2

時圖形在上方（高於

3

），從右邊靠近

2

時圖形在

x

軸下方，兩邊不會靠近同一個數，極限不存在，對。(E) 曲線不間斷地通過

(3, 2)

，

x

從兩邊靠近

3

時函數值都靠近

2

，對。

1

是函數值

f (1)

（實心點的高度），極限看的是

x

靠近

1

但不等於

1

時圖形的高度（空心點的高度）。

第 5 題答案 (C)(E)。右極限用

x > 1

的式子：

x \to 1^{+} lim f (x) = 1 + 1 = 2

。左極限用

x < 1

的式子：

x \to 1^{-} lim f (x) = - 2 + 4 = 2

。左右極限相等，所以

x \to 1 lim f (x) = 2

；而

f (1) = 3

。(A) 右極限等於

2

，不大於

2

，錯。(B) 左極限等於

2

，不小於

2

，錯。(C)

2 < 3

，對。(D) 左右極限相等，錯。(E) 對。

x > 1

時函數值都大於

2

，但極限是「靠近的那個數」，可以剛好等於

2

。

極限看的是靠近那一點時函數值往哪裡去，與那一點本身的函數值無關；左右極限相等，極限才存在。

03填充 6、7、8、10、12（卷面填充 1、2、3、5、7）：數列的極限與求和

第 6 題分子

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，所以原式

= n \to \infty lim \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = n \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}

。

括號裡的項數會隨

n

增加，不可以把每一項各自當成

0

再相加；要先求和。

第 7 題兩項分母相同，先相減：

\frac{( n ^{2} - 1 ) - ( n ^{2} + 3 n + 2 )}{n + 1} = \frac{- 3 n - 3}{n + 1} = \frac{- 3 ( n + 1 )}{n + 1} = - 3

。每一項都等於

- 3

，所以極限為

- 3

。

兩個分式各自都發散，不可以分開取極限再相減。

第 8 題

k = 1 \sum 20 k (k + 1) = k = 1 \sum 20 k^{2} + k = 1 \sum 20 k = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} + \frac{20 \times 21}{2} = 2870 + 210 = 3080

。

第 10 題

n \to \infty

時

\frac{1}{6 n ^{2}} \to 0

、

\frac{1}{2 n} \to 0

，所以左邊

- \frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \to - \frac{1}{3}

，右邊

\frac{1}{6 n ^{2}} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{3} \to - \frac{1}{3}

。

c_{n}

被夾在兩個極限相同的數列之間，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = - \frac{1}{3}

。

第 12 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{3 n - a n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{\frac{3}{n} - a}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{0 - a}{1 - 0} = - a

。由

- a = \frac{1}{2}

得

a = - \frac{1}{2}

。

項數跟著 n 變的和要先求和；兩個發散的式子相減要先合併，再取極限。

04填充 9、11、13、14（卷面填充 4、6、8、9）：無窮等比級數

第 9 題首項是

k = 1

的

(- \frac{1}{3})^{0} = 1

，公比

- \frac{1}{3}

，

- \frac{1}{3} < 1

，級數收斂，和

= \frac{1}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}

。

第 11 題

\frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

。

n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n}

與

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{5})^{n}

的公比絕對值都小於

1

，兩個級數都收斂，可以分開求和：

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} - \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

。

檢查前幾項：

n = 1, 2, 3

時

3^{n} - 1 = 2, 8, 26

，與題目的分子相符。

第 13 題第二項

a_{2} = a r = - 3

，和

\frac{a}{1 - r} = 4

，即

a = 4 (1 - r)

。代入得

4 r (1 - r) = - 3

，

4 r^{2} - 4 r - 3 = 0

，

(2 r - 3) (2 r + 1) = 0

，

r = \frac{3}{2}

或

r = - \frac{1}{2}

。級數收斂需要

∣ r ∣ < 1

，所以

r = - \frac{1}{2}

。

檢查：

r = - \frac{1}{2}

時

a = 6

，和

= \frac{6}{1 + \frac{1}{2}} = 4

，

a_{2} = 6 \times (- \frac{1}{2}) = - 3

，相符。

第 14 題每次投擲擲出

5

或

6

的機率是

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，沒擲出的機率是

\frac{2}{3}

。甲在第

1, 3, 5, \dots

次投擲。甲在第

1

次獲勝的機率是

\frac{1}{3}

；在第

3

次獲勝，要前兩次都沒擲出，機率

(\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{3}

；在第

5

次獲勝的機率

(\frac{2}{3})^{4} \times \frac{1}{3}

；依此類推。甲獲勝的機率

= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{4}{9}) + \frac{1}{3} (\frac{4}{9})^{2} + \dots = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{3}{5}

。

同樣算法，乙獲勝的機率是

\frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{2}{5}

，兩人相加為

1

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比；解出兩個公比時要用收斂條件篩選。

05填充 15～20（卷面填充 10～15）：合成函數、函數的極限與連續

第 15 題

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 1) = (x + 1)^{2} - 4 = x^{2} + 2 x + 1 - 4 = x^{2} + 2 x - 3

。

(g \circ f) (x)

是先算

f

再代進

g

；若順序反過來，

(f \circ g) (x) = x^{2} - 3

，結果不同。

第 16 題多項式函數在每一點都連續，極限等於代入的值：

(- 1)^{101} - 2 (- 1)^{51} + 2 = - 1 - 2 \times (- 1) + 2 = - 1 + 2 + 2 = 3

。

第 17 題

x \to 2

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

4 + 2 a - 2 = 0

，

a = - 1

。此時分子

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

，原式

= x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 1) = 3

。

第 18 題

f (0) = 0 + 0 + 3 = 3

，右極限

x \to 0^{+} lim (x^{2} + 2 x + 3) = 3

，左極限

x \to 0^{-} lim (- 2 x + a) = a

。在

x = 0

連續，左右極限與函數值要相等，所以

a = 3

。

第 19 題通分：

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{( x + 1 ) ( x - 3 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )}

。

x \neq = - 1

時約去

x + 1

，原式

= x \to - 1 lim \frac{x - 3}{x + 2} = \frac{- 4}{1} = - 4

。

兩個分式在

x \to - 1

時各自都沒有極限，要先通分合併。

第 20 題

x \to 1

時分母

x - 1

趨近

0

，極限存在，所以分子

f (x)

也趨近

0

，即

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。第一個條件：

x \to 1 lim (x - 2) (a x + b) = - (a + b) = 1

，得

a + b = - 1

。第二個條件：

x \to 2 lim (x - 1) (a x + b) = 2 a + b = 2

。兩式相減得

a = 3

，

b = - 4

，所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

。所求

= \frac{f ( 3 )}{3 + 1} = \frac{2 \times 1 \times 5}{4} = \frac{5}{2}

。

最後一個極限的分母在

x = 3

時是

4

，不為

0

，直接代入即可。

分式的極限遇到分母趨近 0，分子也要趨近 0；把分子分解出同一個因式約掉再代入。

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題目取自小港高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

小港高中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

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01多選 1、2：數列與無窮等比級數的收斂

02多選 3～5：函數的性質、由圖形與分段式讀極限

03填充 6、7、8、10、12（卷面填充 1、2、3、5、7）：數列的極限與求和

04填充 9、11、13、14（卷面填充 4、6、8、9）：無窮等比級數

05填充 15～20（卷面填充 10～15）：合成函數、函數的極限與連續

同一次段考的其他學校

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常見問題

小港高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

小港高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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小港高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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