段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）、指數與指數函數（指數律、指數方程式、成長模型與複利）

小港高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

全卷只有填充題 14 題：第 1 到 12 題每題 7 分，第 13 到 14 題每題 8 分，全對才給分，共 100 分。第 5、6、8 題卷面附 (A) 到 (E) 的選項，本頁把選項寫在題幹裡。答案已與學校公布的答案逐題核對，14 題全部相同。

一、填充題：1到12題每題7分，13到14題每題8分(全對才給分)

1

弳約為

57.295 8^{\circ}

，若點

P = (cos 3 - cos 2, cos 5 - cos 4)

，則

P

位在第 ____ 象限。

已知扇形的面積為

8

平方公尺，弧長為

5

公尺，試求其圓心角的弧度量

=

____ 弳。

一隻牛被拴在長方形的草皮

A B C D

的

A

處（如下圖），已知

A B

為

12

公尺，

B C

為

30

公尺，若拴住牛的繩子從牛嘴到

A

點為

24

公尺（也就是說牛能吃到的草，這些草離

A

的最遠距離為

24

公尺），在繩子不斷掉的狀況下則此牛可吃的草皮的最大面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

小如想要彩繪家中一個上下無蓋中空的鐵桶，鐵桶的上開口半徑為

30

公分的圓，鐵桶的下開口半徑為

60

公分的圓，鐵桶的高為

40

公分（如下圖），則小如要彩繪鐵桶的外側其側面鐵皮面積為 ____ 平方公分。

載入中...

如圖，單擺從

A

點開始來回擺動，距離平衡位置

O

以

x

cm 表之，

x

與時間

t

(sec) 的關係如下：

x (t) = 5 sin (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})

，則單擺來回擺動一次需時 ____。(A)

2

sec　(B)

π

sec　(C)

4

sec　(D)

6

sec　(E)

8

sec

載入中...

已知

x

為實數，函數

f (x) = - 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

，則下列敘述何者正確？(A)

f (x)

的週期是

2 π

　(B)

f (x)

的週期是

π

　(C)

f (x)

的圖形對稱

x = \frac{π}{12}

　(D)

f (x)

的圖形對稱於原點　(E)

f (x)

的振幅為

- 3

已知

1

弳約為

57.295 8^{\circ}

，試求

sin x = \frac{x}{21}

方程式的實根個數有 ____ 個：

已知

x

為實數，

ω > 0

，

- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}

，函數

f (x) = A sin (ω x + ϕ)

的部分圖形如下，已知函數

f (x)

的最大值

4

、最小值

- 4

，則下列何者正確？(A)

f (x) = 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})

　(B)

f (x) = 4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{π}{4})

　(C)

f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{π}{4})

　(D)

f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{6})

　(E)

f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})

載入中...

已知

sin x < 0

且

3 sin^{2} x + 7 cos x = 5

，求

tan x =

____。

心理學家常用數學模式

L (t) = k (1 - a^{t})

來描述學生經過

t

星期學習之後所得到的學習成果，這裡的常數

k

與

a

跟學生及學習的科目相關。如果小華一星期可以背熟

162

個單字，兩星期可以背熟

216

個單字，則利用此數學模式可以推算小華三星期可以背熟 ____ 個單字。

某人存入銀行

20000

元，言明年利率

4%

，以半年複利計息，滿一年本利和為

Q

元，則

Q =

____。

試解：

(\frac{1}{4})^{x} - 3 \cdot (\frac{1}{2})^{x - 2} - 64 = 0

，則

x =

____。

化簡：

\frac{3 2 \times 6}{6 6 \times 3 1.5} =

____。

若

a = 3^{\frac{1}{2}}

，

b = 5^{\frac{1}{3}}

，

c = 1 0^{\frac{1}{4}}

，試比較

a

、

b

、

c

之大小為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題二

第 2 題

\frac{25}{16}

第 3 題

723 + 48 π

第 4 題

4500 π

第 5 題(D)

第 6 題(B)(C)

第 7 題

15

第 8 題(E)

第 9 題

- 22

第 10 題

234

第 11 題

20808

第 12 題

- 4

第 13 題

2

第 14 題

c > a > b

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～2 題：弧度角的象限、扇形的圓心角

第 1 題把弧度換成度：

2

弳約

114. 6^{\circ}

、

3

弳約

171. 9^{\circ}

、

4

弳約

229. 2^{\circ}

、

5

弳約

286. 5^{\circ}

。先看

x

坐標：

2

弳與

3

弳都是第二象限角，餘弦值都是負的，而且在第二象限裡角越大、越靠近

18 0^{\circ}

，餘弦值越接近

- 1

，所以

cos 3 < cos 2

，

cos 3 - cos 2 < 0

。再看

y

坐標：

5

弳是第四象限角，

cos 5 > 0

；

4

弳是第三象限角，

cos 4 < 0

，所以

cos 5 - cos 4 > 0

。

x

坐標為負、

y

坐標為正，

P

在第二象限。

數值是

cos 3 - cos 2 \approx - 0.57

、

cos 5 - cos 4 \approx 0.94

。

第 2 題設半徑是

r

公尺、圓心角是

θ

弳。扇形面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，所以

\frac{1}{2} \times r \times 5 = 8

，

r = \frac{16}{5}

。圓心角＝弧長 ÷ 半徑＝

5 \div \frac{16}{5} = \frac{25}{16}

弳。

弧度角先乘上約

57. 3^{\circ}

換成度，就能看出在第幾象限；扇形的面積、弧長、半徑、圓心角，知道其中兩個就能求出其他的。

02第 3～4 題：拆成扇形來算的面積

第 3 題牛吃得到的地方是「離

A

不超過

24

公尺」而且「在草皮裡」的部分。

\overline{A B} = 12 < 24

，繩子往

B

的方向會超出草皮；

\overline{A D} = \overline{B C} = 30 > 24

，往

D

的方向不會超出。設以

A

為圓心、半徑

24

的圓弧與

\overline{B C}

交於

E

。直角三角形

A B E

中，

\overline{A B} = 12

、

\overline{A E} = 24

，所以

\overline{B E} = 2 4^{2} - 1 2^{2} = 123

，而且斜邊是

\overline{A B}

的

2

倍，

∠ B A E = 6 0^{\circ}

，剩下的

∠ E A D = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

弳。可吃的範圍＝直角三角形

A B E

＋圓心角

\frac{π}{6}

的扇形：

\frac{1}{2} \times 12 \times 123 + \frac{1}{2} \times 2 4^{2} \times \frac{π}{6} = 723 + 48 π

所以最大面積是

723 + 48 π

平方公尺。

數值約

275.5

，比整塊草皮的

360

小，也比不管草皮邊界的四分之一圓

144 π \approx 452.4

小，合理。

第 4 題把鐵桶的側邊往上延長，補成一個完整的圓錐。從側面看，上開口半徑

30

是下開口半徑

60

的一半，由相似三角形，補上去的小圓錐的高等於整個大圓錐的高的一半，所以小圓錐高

40

、大圓錐高

80

。大圓錐的斜邊長＝

6 0^{2} + 8 0^{2} = 100

，小圓錐的斜邊長＝

3 0^{2} + 4 0^{2} = 50

。圓錐的側面攤開是一個扇形：半徑是斜邊長，弧長是底圓的周長，面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。大圓錐側面＝

\frac{1}{2} \times 100 \times (2 π \times 60) = 6000 π

；小圓錐側面＝

\frac{1}{2} \times 50 \times (2 π \times 30) = 1500 π

。鐵桶的側面＝

6000 π - 1500 π = 4500 π

平方公分。

圓與長方形重疊的部分，從圓心連到圓弧碰到邊的那一點，就拆成三角形與扇形；圓錐、圓臺的側面攤開來是扇形或兩個扇形的差。

03第 5～6 題：由式子讀出週期、對稱與振幅

第 5 題單擺來回擺動一次，就是函數

x (t)

重複一次，所需的時間是週期。

t

的係數是

\frac{π}{3}

，週期＝

2 π \div \frac{π}{3} = 6

秒。選 (D)。

括號裡加的

\frac{π}{6}

只讓圖形左右平移，前面乘的

5

只改變擺動的幅度，都不影響週期。

第 6 題

f (x) = - 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

，

x

的係數是

2

。 (A)(B) 週期＝

2 π \div 2 = π

，所以 (A) 錯、(B) 對。 (C) 正弦函數的圖形對稱於每一條通過最高點或最低點的鉛直線。代

x = \frac{π}{12}

：

2 \times \frac{π}{12} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

f (\frac{π}{12}) = - 3 sin \frac{π}{2} = - 3

，是最小值，圖形在這裡是最低點，所以圖形對稱於直線

x = \frac{π}{12}

，對。 (D) 圖形若對稱於原點，原點在圖形上，

f (0)

必須是

0

。但

f (0) = - 3 sin \frac{π}{3} = - \frac{3 3}{2} \neq = 0

，錯。 (E) 振幅是最大值與最小值之差的一半：最大值

3

、最小值

- 3

，振幅＝

3

，不會是負數，錯。答 (B)(C)。

選項 (C) 卷面印「的圖形對稱

x = \frac{π}{12}

」，指圖形對稱於這條鉛直線。

y = a sin (b x + c)

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

、振幅是

∣ a ∣

；對稱軸通過最高點或最低點。

04第 7～8 題：用圖形數實根、由圖形找式子

第 7 題實根個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{21}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，

∣ x ∣ > 21

時

\frac{x}{21} > 1

，不會有交點，只看

- 21 \leq x \leq 21

。

x = 0

是一個實根。

x > 0

時直線在

x

軸上方，交點只會出現在

sin x > 0

的地方。

π \approx 3.14

，

21 \div π \approx 6.68

，所以在

0 < x \leq 21

內，正弦曲線在

x

軸上方的部分有四段：

0 < x < π

、

2 π < x < 3 π

、

4 π < x < 5 π

，以及

6 π < x \leq 21

（

6 π \approx 18.85

）。第一段

0 < x < π

：直線從原點出發，上升得很慢，例如

x = \frac{π}{2}

時曲線高度是

1

、直線只有約

0.07

，所以原點附近正弦曲線在直線上方；到

x = π

時曲線回到

0

、直線約

0.15

，曲線在直線下方。這一段除了原點以外交

1

點。第二、三段：兩端曲線的高度是

0

、在直線下方；波峰

x = \frac{5 π}{2}

、

\frac{9 π}{2}

處曲線高度是

1

，直線分別約

0.37

、

0.67

，曲線在上方。各交

2

點。第四段

6 π < x \leq 21

：

x = 6 π

時曲線

0

、直線約

0.90

，曲線在下方；波峰

x = \frac{13 π}{2} \approx 20.42 < 21

，曲線

1

、直線約

0.97

，曲線在上方；

x = 21

時直線是

1

，而

21

弳約

1203. 2^{\circ} = 3 \times 36 0^{\circ} + 123. 2^{\circ}

，

sin 21 = sin 123. 2^{\circ} < 1

，曲線又在下方。這一段也交

2

點。所以

x > 0

有

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個實根。兩個圖形都對稱於原點（把

x

換成

- x

，兩邊都變號），

x < 0

也有

7

個。合計

7 + 7 + 1 = 15

個。

題目給的「

1

弳約

57.295 8^{\circ}

」用在最後一段，確認

x = 21

已經過了最後一個波峰。

第 8 題最大值

4

、最小值

- 4

，所以

A = 4

或

- 4

。由圖，圖形與

x

軸相鄰的兩個交點是

x = - 2

與

x = 6

，相距

8

，是半個週期，所以週期是

16

，

ω = \frac{2 π}{16} = \frac{π}{8}

。五個選項的

ω

都是

\frac{π}{8}

，要靠位置來分。圖形在

- 2

與

6

之間是往下凹的一段，正中間

x = 2

是最低點，

f (2) = - 4

。把

x = 2

代進各選項： (A)

4 sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) = 4 sin \frac{π}{2} = 4

，不合。 (B)

4 sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{4}) = 0

，不合。 (C)

- 4 sin 0 = 0

，不合。 (D)

- 4 sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{6}) = - 4 sin \frac{5 π}{12}

。這個角不是

\frac{π}{2}

，正弦值小於

1

，得不到

- 4

，不合。 (E)

- 4 sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) = - 4 sin \frac{π}{2} = - 4

，符合。再檢查 (E) 的兩個零點：

f (- 2) = - 4 sin 0 = 0

，

f (6) = - 4 sin π = 0

，也符合；

ϕ = \frac{π}{4}

在題目規定的範圍內。選 (E)。

一邊是正弦、一邊是直線的方程式，先用正弦值不超過

1

定出範圍，再一個波一個波數交點；由圖形找式子，先用最高最低定振幅、用零點的間隔定週期，再代特殊的點。

05第 9 題：平方關係

第 9 題用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

把式子全部換成

cos x

：

3 (1 - cos^{2} x) + 7 cos x = 5

，整理得

3 cos^{2} x - 7 cos x + 2 = 0

，

(3 cos x - 1) (cos x - 2) = 0

cos x

不會超過

1

，所以

cos x = \frac{1}{3}

。

sin^{2} x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

，又

sin x < 0

，所以

sin x = - \frac{2 2}{3}

。

tan x = \frac{sin x}{cos x} = - \frac{2 2}{3} \div \frac{1}{3} = - 22

。

餘弦為正、正弦為負，

x

是第四象限角，正切值是負的，符號相符。

06第 10～11 題：成長模型與複利

第 10 題

L (1) = k (1 - a) = 162

，

L (2) = k (1 - a^{2}) = 216

。因為

1 - a^{2} = (1 - a) (1 + a)

，兩式相除：

1 + a = \frac{216}{162} = \frac{4}{3}

所以

a = \frac{1}{3}

，代回第一式

k \times \frac{2}{3} = 162

，

k = 243

。

L (3) = 243 (1 - \frac{1}{27}) = 243 - 9 = 234

，三星期可以背熟

234

個單字。

第 11 題年利率

4%

、半年複利一次，每半年的利率是

2%

，一年共計息

2

次。

Q = 20000 \times (1 + 0.02)^{2} = 20000 \times 1.0404 = 20808

。

若一年只計息一次是

20800

元，半年複利多出的

8

元是上半年的利息

400

元在下半年再生的利息。

07第 12～14 題：指數方程式、指數律、比較大小

第 12 題設

u = (\frac{1}{2})^{x}

，

u > 0

。

(\frac{1}{4})^{x} = [(\frac{1}{2})^{x}]^{2} = u^{2}

；

(\frac{1}{2})^{x - 2} = (\frac{1}{2})^{x} \times (\frac{1}{2})^{- 2} = 4 u

。原式變成

u^{2} - 12 u - 64 = 0

，

(u - 16) (u + 4) = 0

。

u > 0

，所以

u = 16

。

(\frac{1}{2})^{x} = 16 = (\frac{1}{2})^{- 4}

，

x = - 4

。

代回檢查：

(\frac{1}{4})^{- 4} = 256

，

3 \times (\frac{1}{2})^{- 6} = 192

，

256 - 192 - 64 = 0

。

第 13 題全部寫成

2

與

3

的分數指數。分子：

32 \times 6 = 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}} \times 3^{\frac{1}{2}}

。分母：

66 = 2^{\frac{1}{6}} \times 3^{\frac{1}{6}}

，

3 1.5 = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \times 2^{- \frac{1}{3}}

，相乘得

2^{\frac{1}{6} - \frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = 2^{- \frac{1}{6}} \times 3^{\frac{1}{2}}

。相除：

2^{\frac{5}{6} - (- \frac{1}{6})} \times 3^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = 2^{1} \times 3^{0} = 2

。

第 14 題三個數都是正數，指數的分母是

2

、

3

、

4

，最小公倍數是

12

，同時取

12

次方再比：

a^{12} = 3^{6} = 729

，

b^{12} = 5^{4} = 625

，

c^{12} = 1 0^{3} = 1000

。

1000 > 729 > 625

，正數的

12

次方越大、原數越大，所以

c > a > b

。

近似值是

a \approx 1.732

、

b \approx 1.710

、

c \approx 1.778

。

指數方程式裡同時出現

(\frac{1}{4})^{x}

與

(\frac{1}{2})^{x}

，把後者設成新的未知數就變成二次方程式；指數是分數的幾個正數，同乘分母的公倍數次方再比大小。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要一個波峰一個波峰數正弦曲線與斜直線的交點，最外側那個波峰要確認直線還沒高過 1，再用對稱補上負的一半與原點；第 3 題繩子比草皮的短邊長、比長邊短，可吃的範圍要拆成一個直角三角形加一個扇形；第 4 題要把圓臺補成圓錐，用兩個扇形相減；第 8 題振幅前面有負號，要用兩個零點中間是最低點來挑選項。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自小港高中 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）、指數與指數函數（指數律、指數方程式、成長模型與複利）

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、填充題：1到12題每題7分，13到14題每題8分(全對才給分)

1

弳約為

57.295 8^{\circ}

，若點

P = (cos 3 - cos 2, cos 5 - cos 4)

，則

P

位在第 ____ 象限。

已知扇形的面積為

8

平方公尺，弧長為

5

公尺，試求其圓心角的弧度量

=

____ 弳。

一隻牛被拴在長方形的草皮

A B C D

的

A

處（如下圖），已知

A B

為

12

公尺，

B C

為

30

公尺，若拴住牛的繩子從牛嘴到

A

點為

24

公尺（也就是說牛能吃到的草，這些草離

A

的最遠距離為

24

公尺），在繩子不斷掉的狀況下則此牛可吃的草皮的最大面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

小如想要彩繪家中一個上下無蓋中空的鐵桶，鐵桶的上開口半徑為

30

公分的圓，鐵桶的下開口半徑為

60

公分的圓，鐵桶的高為

40

公分（如下圖），則小如要彩繪鐵桶的外側其側面鐵皮面積為 ____ 平方公分。

載入中...

如圖，單擺從

A

點開始來回擺動，距離平衡位置

O

以

x

cm 表之，

x

與時間

t

(sec) 的關係如下：

x (t) = 5 sin (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})

，則單擺來回擺動一次需時 ____。(A)

2

sec　(B)

π

sec　(C)

4

sec　(D)

6

sec　(E)

8

sec

載入中...

已知

x

為實數，函數

f (x) = - 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

，則下列敘述何者正確？(A)

f (x)

的週期是

2 π

　(B)

f (x)

的週期是

π

　(C)

f (x)

的圖形對稱

x = \frac{π}{12}

　(D)

f (x)

的圖形對稱於原點　(E)

f (x)

的振幅為

- 3

已知

1

弳約為

57.295 8^{\circ}

，試求

sin x = \frac{x}{21}

方程式的實根個數有 ____ 個：

已知

x

為實數，

ω > 0

，

- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}

，函數

f (x) = A sin (ω x + ϕ)

的部分圖形如下，已知函數

f (x)

的最大值

4

、最小值

- 4

，則下列何者正確？(A)

f (x) = 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})

　(B)

f (x) = 4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{π}{4})

　(C)

f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} - \frac{π}{4})

　(D)

f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{6})

　(E)

f (x) = - 4 sin (\frac{π x}{8} + \frac{π}{4})

載入中...

已知

sin x < 0

且

3 sin^{2} x + 7 cos x = 5

，求

tan x =

____。

心理學家常用數學模式

L (t) = k (1 - a^{t})

來描述學生經過

t

星期學習之後所得到的學習成果，這裡的常數

k

與

a

跟學生及學習的科目相關。如果小華一星期可以背熟

162

個單字，兩星期可以背熟

216

個單字，則利用此數學模式可以推算小華三星期可以背熟 ____ 個單字。

某人存入銀行

20000

元，言明年利率

4%

，以半年複利計息，滿一年本利和為

Q

元，則

Q =

____。

試解：

(\frac{1}{4})^{x} - 3 \cdot (\frac{1}{2})^{x - 2} - 64 = 0

，則

x =

____。

化簡：

\frac{3 2 \times 6}{6 6 \times 3 1.5} =

____。

若

a = 3^{\frac{1}{2}}

，

b = 5^{\frac{1}{3}}

，

c = 1 0^{\frac{1}{4}}

，試比較

a

、

b

、

c

之大小為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題二

第 2 題

\frac{25}{16}

第 3 題

723 + 48 π

第 4 題

4500 π

第 5 題(D)

第 6 題(B)(C)

第 7 題

15

第 8 題(E)

第 9 題

- 22

第 10 題

234

第 11 題

20808

第 12 題

- 4

第 13 題

2

第 14 題

c > a > b

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～2 題：弧度角的象限、扇形的圓心角

第 1 題把弧度換成度：

2

弳約

114. 6^{\circ}

、

3

弳約

171. 9^{\circ}

、

4

弳約

229. 2^{\circ}

、

5

弳約

286. 5^{\circ}

。先看

x

坐標：

2

弳與

3

弳都是第二象限角，餘弦值都是負的，而且在第二象限裡角越大、越靠近

18 0^{\circ}

，餘弦值越接近

- 1

，所以

cos 3 < cos 2

，

cos 3 - cos 2 < 0

。再看

y

坐標：

5

弳是第四象限角，

cos 5 > 0

；

4

弳是第三象限角，

cos 4 < 0

，所以

cos 5 - cos 4 > 0

。

x

坐標為負、

y

坐標為正，

P

在第二象限。

數值是

cos 3 - cos 2 \approx - 0.57

、

cos 5 - cos 4 \approx 0.94

。

第 2 題設半徑是

r

公尺、圓心角是

θ

弳。扇形面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，所以

\frac{1}{2} \times r \times 5 = 8

，

r = \frac{16}{5}

。圓心角＝弧長 ÷ 半徑＝

5 \div \frac{16}{5} = \frac{25}{16}

弳。

弧度角先乘上約

57. 3^{\circ}

換成度，就能看出在第幾象限；扇形的面積、弧長、半徑、圓心角，知道其中兩個就能求出其他的。

02第 3～4 題：拆成扇形來算的面積

第 3 題牛吃得到的地方是「離

A

不超過

24

公尺」而且「在草皮裡」的部分。

\overline{A B} = 12 < 24

，繩子往

B

的方向會超出草皮；

\overline{A D} = \overline{B C} = 30 > 24

，往

D

的方向不會超出。設以

A

為圓心、半徑

24

的圓弧與

\overline{B C}

交於

E

。直角三角形

A B E

中，

\overline{A B} = 12

、

\overline{A E} = 24

，所以

\overline{B E} = 2 4^{2} - 1 2^{2} = 123

，而且斜邊是

\overline{A B}

的

2

倍，

∠ B A E = 6 0^{\circ}

，剩下的

∠ E A D = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

弳。可吃的範圍＝直角三角形

A B E

＋圓心角

\frac{π}{6}

的扇形：

\frac{1}{2} \times 12 \times 123 + \frac{1}{2} \times 2 4^{2} \times \frac{π}{6} = 723 + 48 π

所以最大面積是

723 + 48 π

平方公尺。

數值約

275.5

，比整塊草皮的

360

小，也比不管草皮邊界的四分之一圓

144 π \approx 452.4

小，合理。

第 4 題把鐵桶的側邊往上延長，補成一個完整的圓錐。從側面看，上開口半徑

30

是下開口半徑

60

的一半，由相似三角形，補上去的小圓錐的高等於整個大圓錐的高的一半，所以小圓錐高

40

、大圓錐高

80

。大圓錐的斜邊長＝

6 0^{2} + 8 0^{2} = 100

，小圓錐的斜邊長＝

3 0^{2} + 4 0^{2} = 50

。圓錐的側面攤開是一個扇形：半徑是斜邊長，弧長是底圓的周長，面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。大圓錐側面＝

\frac{1}{2} \times 100 \times (2 π \times 60) = 6000 π

；小圓錐側面＝

\frac{1}{2} \times 50 \times (2 π \times 30) = 1500 π

。鐵桶的側面＝

6000 π - 1500 π = 4500 π

平方公分。

圓與長方形重疊的部分，從圓心連到圓弧碰到邊的那一點，就拆成三角形與扇形；圓錐、圓臺的側面攤開來是扇形或兩個扇形的差。

03第 5～6 題：由式子讀出週期、對稱與振幅

第 5 題單擺來回擺動一次，就是函數

x (t)

重複一次，所需的時間是週期。

t

的係數是

\frac{π}{3}

，週期＝

2 π \div \frac{π}{3} = 6

秒。選 (D)。

括號裡加的

\frac{π}{6}

只讓圖形左右平移，前面乘的

5

只改變擺動的幅度，都不影響週期。

第 6 題

f (x) = - 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

，

x

的係數是

2

。 (A)(B) 週期＝

2 π \div 2 = π

，所以 (A) 錯、(B) 對。 (C) 正弦函數的圖形對稱於每一條通過最高點或最低點的鉛直線。代

x = \frac{π}{12}

：

2 \times \frac{π}{12} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

f (\frac{π}{12}) = - 3 sin \frac{π}{2} = - 3

，是最小值，圖形在這裡是最低點，所以圖形對稱於直線

x = \frac{π}{12}

，對。 (D) 圖形若對稱於原點，原點在圖形上，

f (0)

必須是

0

。但

f (0) = - 3 sin \frac{π}{3} = - \frac{3 3}{2} \neq = 0

，錯。 (E) 振幅是最大值與最小值之差的一半：最大值

3

、最小值

- 3

，振幅＝

3

，不會是負數，錯。答 (B)(C)。

選項 (C) 卷面印「的圖形對稱

x = \frac{π}{12}

」，指圖形對稱於這條鉛直線。

y = a sin (b x + c)

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

、振幅是

∣ a ∣

；對稱軸通過最高點或最低點。

04第 7～8 題：用圖形數實根、由圖形找式子

第 7 題實根個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{21}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，

∣ x ∣ > 21

時

\frac{x}{21} > 1

，不會有交點，只看

- 21 \leq x \leq 21

。

x = 0

是一個實根。

x > 0

時直線在

x

軸上方，交點只會出現在

sin x > 0

的地方。

π \approx 3.14

，

21 \div π \approx 6.68

，所以在

0 < x \leq 21

內，正弦曲線在

x

軸上方的部分有四段：

0 < x < π

、

2 π < x < 3 π

、

4 π < x < 5 π

，以及

6 π < x \leq 21

（

6 π \approx 18.85

）。第一段

0 < x < π

：直線從原點出發，上升得很慢，例如

x = \frac{π}{2}

時曲線高度是

1

、直線只有約

0.07

，所以原點附近正弦曲線在直線上方；到

x = π

時曲線回到

0

、直線約

0.15

，曲線在直線下方。這一段除了原點以外交

1

點。第二、三段：兩端曲線的高度是

0

、在直線下方；波峰

x = \frac{5 π}{2}

、

\frac{9 π}{2}

處曲線高度是

1

，直線分別約

0.37

、

0.67

，曲線在上方。各交

2

點。第四段

6 π < x \leq 21

：

x = 6 π

時曲線

0

、直線約

0.90

，曲線在下方；波峰

x = \frac{13 π}{2} \approx 20.42 < 21

，曲線

1

、直線約

0.97

，曲線在上方；

x = 21

時直線是

1

，而

21

弳約

1203. 2^{\circ} = 3 \times 36 0^{\circ} + 123. 2^{\circ}

，

sin 21 = sin 123. 2^{\circ} < 1

，曲線又在下方。這一段也交

2

點。所以

x > 0

有

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個實根。兩個圖形都對稱於原點（把

x

換成

- x

，兩邊都變號），

x < 0

也有

7

個。合計

7 + 7 + 1 = 15

個。

題目給的「

1

弳約

57.295 8^{\circ}

」用在最後一段，確認

x = 21

已經過了最後一個波峰。

第 8 題最大值

4

、最小值

- 4

，所以

A = 4

或

- 4

。由圖，圖形與

x

軸相鄰的兩個交點是

x = - 2

與

x = 6

，相距

8

，是半個週期，所以週期是

16

，

ω = \frac{2 π}{16} = \frac{π}{8}

。五個選項的

ω

都是

\frac{π}{8}

，要靠位置來分。圖形在

- 2

與

6

之間是往下凹的一段，正中間

x = 2

是最低點，

f (2) = - 4

。把

x = 2

代進各選項： (A)

4 sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) = 4 sin \frac{π}{2} = 4

，不合。 (B)

4 sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{4}) = 0

，不合。 (C)

- 4 sin 0 = 0

，不合。 (D)

- 4 sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{6}) = - 4 sin \frac{5 π}{12}

。這個角不是

\frac{π}{2}

，正弦值小於

1

，得不到

- 4

，不合。 (E)

- 4 sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) = - 4 sin \frac{π}{2} = - 4

，符合。再檢查 (E) 的兩個零點：

f (- 2) = - 4 sin 0 = 0

，

f (6) = - 4 sin π = 0

，也符合；

ϕ = \frac{π}{4}

在題目規定的範圍內。選 (E)。

一邊是正弦、一邊是直線的方程式，先用正弦值不超過

1

定出範圍，再一個波一個波數交點；由圖形找式子，先用最高最低定振幅、用零點的間隔定週期，再代特殊的點。

05第 9 題：平方關係

第 9 題用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

把式子全部換成

cos x

：

3 (1 - cos^{2} x) + 7 cos x = 5

，整理得

3 cos^{2} x - 7 cos x + 2 = 0

，

(3 cos x - 1) (cos x - 2) = 0

cos x

不會超過

1

，所以

cos x = \frac{1}{3}

。

sin^{2} x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

，又

sin x < 0

，所以

sin x = - \frac{2 2}{3}

。

tan x = \frac{sin x}{cos x} = - \frac{2 2}{3} \div \frac{1}{3} = - 22

。

餘弦為正、正弦為負，

x

是第四象限角，正切值是負的，符號相符。

06第 10～11 題：成長模型與複利

第 10 題

L (1) = k (1 - a) = 162

，

L (2) = k (1 - a^{2}) = 216

。因為

1 - a^{2} = (1 - a) (1 + a)

，兩式相除：

1 + a = \frac{216}{162} = \frac{4}{3}

所以

a = \frac{1}{3}

，代回第一式

k \times \frac{2}{3} = 162

，

k = 243

。

L (3) = 243 (1 - \frac{1}{27}) = 243 - 9 = 234

，三星期可以背熟

234

個單字。

第 11 題年利率

4%

、半年複利一次，每半年的利率是

2%

，一年共計息

2

次。

Q = 20000 \times (1 + 0.02)^{2} = 20000 \times 1.0404 = 20808

。

若一年只計息一次是

20800

元，半年複利多出的

8

元是上半年的利息

400

元在下半年再生的利息。

07第 12～14 題：指數方程式、指數律、比較大小

第 12 題設

u = (\frac{1}{2})^{x}

，

u > 0

。

(\frac{1}{4})^{x} = [(\frac{1}{2})^{x}]^{2} = u^{2}

；

(\frac{1}{2})^{x - 2} = (\frac{1}{2})^{x} \times (\frac{1}{2})^{- 2} = 4 u

。原式變成

u^{2} - 12 u - 64 = 0

，

(u - 16) (u + 4) = 0

。

u > 0

，所以

u = 16

。

(\frac{1}{2})^{x} = 16 = (\frac{1}{2})^{- 4}

，

x = - 4

。

代回檢查：

(\frac{1}{4})^{- 4} = 256

，

3 \times (\frac{1}{2})^{- 6} = 192

，

256 - 192 - 64 = 0

。

第 13 題全部寫成

2

與

3

的分數指數。分子：

32 \times 6 = 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}} \times 3^{\frac{1}{2}}

。分母：

66 = 2^{\frac{1}{6}} \times 3^{\frac{1}{6}}

，

3 1.5 = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \times 2^{- \frac{1}{3}}

，相乘得

2^{\frac{1}{6} - \frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = 2^{- \frac{1}{6}} \times 3^{\frac{1}{2}}

。相除：

2^{\frac{5}{6} - (- \frac{1}{6})} \times 3^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = 2^{1} \times 3^{0} = 2

。

第 14 題三個數都是正數，指數的分母是

2

、

3

、

4

，最小公倍數是

12

，同時取

12

次方再比：

a^{12} = 3^{6} = 729

，

b^{12} = 5^{4} = 625

，

c^{12} = 1 0^{3} = 1000

。

1000 > 729 > 625

，正數的

12

次方越大、原數越大，所以

c > a > b

。

近似值是

a \approx 1.732

、

b \approx 1.710

、

c \approx 1.778

。

指數方程式裡同時出現

(\frac{1}{4})^{x}

與

(\frac{1}{2})^{x}

，把後者設成新的未知數就變成二次方程式；指數是分數的幾個正數，同乘分母的公倍數次方再比大小。

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小港高中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1～2 題：弧度角的象限、扇形的圓心角

02第 3～4 題：拆成扇形來算的面積

03第 5～6 題：由式子讀出週期、對稱與振幅

04第 7～8 題：用圖形數實根、由圖形找式子

05第 9 題：平方關係

06第 10～11 題：成長模型與複利

07第 12～14 題：指數方程式、指數律、比較大小

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小港高中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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02第 3～4 題：拆成扇形來算的面積

03第 5～6 題：由式子讀出週期、對稱與振幅

04第 7～8 題：用圖形數實根、由圖形找式子

05第 9 題：平方關係

06第 10～11 題：成長模型與複利

07第 12～14 題：指數方程式、指數律、比較大小

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常見問題

小港高中 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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小港高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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